Capítulo 6

CAPITULO 6
INTRODUCCION AL METODO DE RIGIDEZ
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Capítulo 6
Introducción al Método de Rigidez
6.1- Generalidades
El diseño estructural lleva implícito determinar las proporciones de los elementos y la
configuración de conjunto que permitan resistir económica y eficientemente las condiciones de
carga posibles durante la vida útil de las estructuras. El aspecto central de esta función es el
cálculo de la distribución de fuerzas (internas o esfuerzos, y externas o reacciones) sobre las
estructuras, y las deformaciones (desplazamientos, giros, curvaturas, deformaciones específicas)
de las mismas. En este capítulo se presenta el planteo general de análisis de estructuras de barras
prismáticas por el Método de los Desplazamientos, también conocido como Método de Rigidez.
Existe una amplia gama de estructuras que pueden representarse satisfactoriamente, a los
fines de su análisis, por un modelo de elementos de barras; tal es el caso de: edificios de diversos
tipos, parte de aviones y de barcos, torres, etc.
El criterio de diseño que se aplica en la mayoría de los casos es el requerimiento de
comportamiento elástico de la estructura bajo la acción de las cargas de ocurrencia normal, pero
para cargas extremas es habitual aceptar que la estructura sufra deformaciones permanentes,
siempre y cuando no se afecte su capacidad de soportar las cargas permanentes a que se
encuentra sometida. El comportamiento de cualquier tipo de estructura de barras, placas,
cáscaras o sólidos puede ser representado por medio de ecuaciones diferenciales al nivel de
un elemento o barra. Sin embargo, a nivel del sistema de barras que conforman una estructura,
resulta posible utilizar las soluciones analíticas de las ecuaciones diferenciales de la barra para
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formular el problema en términos algebraicos sin pérdida de precisión respecto a las hipótesis
habituales de la teoría de vigas.
A partir de dichas soluciones bien conocidas es posible obtener relaciones entre las
fuerzas y los desplazamientos de los extremos de cada barra y combinarlas con las ecuaciones de
equilibrio y compatibilidad de los nudos para obtener un sistema de ecuaciones algebraicas
que describe el comportamiento de la estructura.
En los casos de elementos estructurales que no encuadran en una definición básicamente
unidimensional del problema (a lo largo del eje de la barra), es decir en caso de elementos
bidimensionales o tridimensionales, el problema es más complicado porque raramente existen
soluciones exactas para las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales que las gobiernan.
Una manera práctica de obtener soluciones numéricas en tales casos es la aplicación del
método de elementos finitos. El concepto básico de este método es que el continuo (toda la
estructura) puede modelarse analíticamente subdividiéndolo en regiones (elementos finitos) cuyo
comportamiento puede describirse por una serie de funciones, propuestas de antemano, que
aproximan los desplazamientos y/o las tensiones en dichas regiones. Este planteo también
conduce a un sistema de ecuaciones algebraicas, aunque estas ecuaciones introducen
aproximaciones de tipo numérico que no son necesarias en las estructuras de barras prismáticas.
Todo miembro o elemento de una estructura de barras puede ser considerado un caso
particular, relativamente simple, dentro del concepto de elementos finitos, sólo que dado que se
dispone de la solución analítica de las ecuaciones que rigen en comportamiento individual de las
mismas, no requieren aproximaciones numéricas adicionales a las propias de las teorías de vigas.
6.2- Tipos de estructuras
Una estructura está formada por elementos conectados entre sí que pueden agruparse en
conjuntos de una, dos o tres dimensiones. En realidad, todo elemento tiene largo, ancho y
espesor, pero si el ancho y el espesor son pequeños respecto a la longitud puede considerarse al
elemento como unidimensional (barra). En el caso de placas y cáscaras, el espesor es pequeño
respecto al largo y al ancho por lo que pueden considerarse como elementos bidimensionales.
Si el espesor, el largo y el ancho poseen el mismo orden de magnitud, deberá considerarse
al elemento como tridimensional. La definición del carácter unidimensional, bidimensional o
tridimensional del conjunto depende del criterio de quien tiene la responsabilidad de efectuar el
análisis estructural, y será analizado en más detalle en los capítulos siguientes.
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A fin de su estudio puede ser de utilidad clasificar las estructuras de barras según su
configuración de la siguiente manera:
 Reticulado Plano
Nudos Articulados 
 Reticulado Espacial

 Pórtico Plano
 Planas 
Nudos Rígidos 
 Emparrillado Plano
 Espaciales Pórtico Espacial


6.3- Objeto del análisis estructural
El análisis estructural es un conjunto de herramientas del diseño para la determinación de
los desplazamientos, deformaciones, esfuerzos internos y reacciones exteriores de la estructura.
Una vez determinados los desplazamientos se procede a calcular las tensiones a partir de las
relaciones cinemáticas entre desplazamientos y deformaciones específicas, y las relaciones
constitutivas del material, y finalmente evaluar los márgenes de seguridad respecto a la fluencia,
pandeo o rotura del material.
El análisis estructural se realiza sobre una estructura pre-dimensionada que está definida a
través de su configuración geométrica y dimensiones, y a través de las características de los
materiales. También supone ya definidas las acciones a considerar, tales como cargas de diversa
naturaleza, defectos de montaje, variaciones de temperatura, etc.
El cálculo de tensiones puede indicar la necesidad de introducir modificaciones más o
menos importantes en la estructura original. En esos casos se debe repetir el análisis, después de
adecuar las dimensiones originales, generando un segundo ciclo de análisis.
El proceso de análisis y diseño de una estructura puede esquematizarse de la manera
indicada en el cuadro mostrado a continuación.
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Diseño estructural:
Datos:
a) Definición de la estructura
b) Definición de las cargas
(acciones externas, peso
propio, etc.)
No satisfactorio
(repetir el ciclo)
a) Características funcionales
b) Acciones externas
Análisis estructural:
Determina:
a) Fuerzas extremos de barra
b) Desplazamientos de nudos
Cálculo de tensiones:
-Utilización de alguna teoría
de falla
Satisfactorio
Fin:
Ejecución de planos, etc.
6.4- Solución completa de problemas de mecánica
estructural
Se comienza repasando algunos conceptos fundamentales ya vistos anteriormente y que
se vinculan a la definición de lo que normalmente se interpreta como una solución "completa" de
un problema estructural. Ésta consiste en determinar:
a) Esfuerzos internos y reacciones externas
b) Desplazamientos
Para lograr estos objetivos necesariamente deben utilizarse en alguna etapa de cálculo las
siguientes relaciones:
1) Ecuaciones de equilibrio
2) Condiciones de compatibilidad
3) Relaciones constitutivas
4) Condiciones de vínculo
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Sustituyendo grupos de estas ecuaciones en las restantes es posible llegar a un sistema de
ecuaciones que satisfacen los cuatro tipos de relaciones enunciadas pero cuyas incógnitas pueden
ser exclusivamente fuerzas o desplazamientos. Según sea el orden en que se sustituyan unas
ecuaciones en otras y las incógnitas que se adoptan se obtienen las ecuaciones propias del
método de las fuerzas o las del método de los desplazamientos.
Para finalizar este capítulo de introducción se describen las características fundamentales
de ambos métodos a través de un ejercicio que muestra la forma de operar en cada uno de esos
procedimientos de análisis.
6.5- Análisis compartivo de los dos métodos de análisis
estructural
Método de las Fuerzas
I) En primera instancia se plantean y se resuelven las ecuaciones de compatibilidad cuyas
incógnitas son fuerzas (incógnitas hiperestáticas). Por esta manera de encarar el problema
también se lo conoce como método de compatibilidad o método de flexibilidad.
El número de ecuaciones está asociado al grado de indeterminación estática.
II) En una segunda etapa de cálculo se calcular los desplazamientos en los distintos
puntos de la estructura, aunque este es un subproducto que no siempre se requiere cuando se
selecciona este método de análisis.
Método de Rigidez
I) En primera instancia se plantean y resuelven ecuaciones de equilibrio cuyas incógnitas
son desplazamientos; también se lo conoce como método de equilibrio o método de los
desplazamientos.
El número de ecuaciones está asociado al grado de indeterminación geométrica, que es
igual al número de “grados de libertad” necesarios para definir la configuración deformada de la
estructura.
II) En una segunda etapa del cálculo se procede a determinar en forma sucesiva los
esfuerzos en los distintos puntos de la estructura.
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6.6- Ejemplo de aplicación de los dos métodos
Se propone resolver el problema hiperestático simétrico de la Figura 6.1.
Datos:   ;  l1 , E1 , A1  ;  l2 , E2 , A2  ;  P 
l1 , E1 , A1
l2 , E2 , A2
 2
1


1
l1 , E1 , A1
A
P
Figura 6.1
Incógnitas:
Fuerzas en las barras:  F1 , F2 
Elongaciones de las barras:  e1 , e2 
El desplazamiento vertical del punto A: U A 
Tenemos en total cinco incógnitas:
a) Ecuaciones de equilibrio:
2.F1.cos( )  F2  P
(Ec. 6.1)
b) Ecuaciones constitutivas:
Se suponiendo que el material es linealmente elástico (se cumple la ley de Hooke), y se
utiliza la nomenclatura K =
A.E
que se conoce como rigidez axial de la barra:
l
e1 
F1
K1
(Ec. 6.2)
e2 
F2
K2
(Ec. 6.3)
c) Ecuaciones de compatibilidad:
Para desplazamientos pequeños se puede calcular el alargamiento de la barra proyectando
el desplazamiento relativo entre los extremos sobre la dirección original de la barra.
e1  U A .cos  
(Ec. 6.4)
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e2  U A
(Ec. 6.5)
Se han obtenido así cinco ecuaciones que permiten determinar las cinco incógnitas. Debe
enfatizarse que el problema no puede resolverse a menos que se utilicen todas las ecuaciones.
Método de las Fuerzas
De las ecuaciones (Ec. 6.4) y (Ec. 6.5) se llega a una sola ecuación de compatibilidad
donde no figura el desplazamiento U A como incógnita.
e2 
e1
cos  
(Ec. 6.6)
Sustituyendo (Ec. 6.2) y (Ec. 6.3) en (Ec. 6.6) se tiene:
F1
F
 2
K1.cos   K 2
(Ec. 6.7)
Despejando F2 de (Ec. 6.1) y sustituyendo en (Ec. 6.7) resulta:
P  2.F1 .cos  
F1

K1.cos  
K2
(Ec. 6.8)
Ésta es una ecuación de compatibilidad geométrica donde ambos miembros son
dimensionalmente longitudes. Se trata de una versión de la (Ec. 6.6) que cumple además
equilibrio y que tiene en cuenta las características mecánicas de las barras.
De (Ec. 6.8) se despeja la fuerza incógnita F1 , se calcula F2 sustituyendo en la (Ec. 6.1),
luego se calculan las elongaciones según (Ec. 6.2) y (Ec. 6.3) y finalmente se determina el
desplazamiento U A según (Ec. 6.5).
Método de Rigidez
Sustituyendo las ecuaciones (Ec. 6.4) y (Ec. 6.5) en (Ec. 6.2) y (Ec. 6.3) se tienen
expresadas las fuerzas en función del desplazamiento U A :
F1  K1.U A .cos  
(Ec. 6.9)
F2  K 2 .U A
(Ec. 6.10)
Sustituyendo ahora estos valores en la ecuación (Ec. 6.1) queda:
2.K1.U A .cos 2    K 2 .U A  P
 2.K .cos    K  .U
2
1
2
A
P
(Ec. 6.11)
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Que en notación abreviada se expresa:
K .U  P
(Ec. 6.12)
La (Ec. 6.11) es una ecuación de equilibrio (ambos miembros son fuerzas) que satisfacen
además compatibilidad de deformaciones y tiene en cuenta las características elásticas de las
barras.
El desplazamiento se determina a partir de (Ec. 6.11) y luego por simple sustitución se
calculan las fuerzas empleando (Ec. 6.9) y (Ec. 6.10).
Los métodos que permiten plantear sistemáticamente ecuaciones de compatibilidad en
función de fuerzas incógnitas, tales como: Trabajos Virtuales, Castigliano, Tres Momentos, etc.,
son distintas variantes del “Método de las Fuerzas”.
La atención se concentra ahora en el desarrollo de un procedimiento que permita el
planteo sistemático de ecuaciones del tipo de (Ec. 6.12), o sea, ecuaciones de equilibrio estático
en función de los desplazamientos, donde las fuerzas elásticas K .U equilibran a las fuerzas
exteriores P conocidas.
U : Vector desplazamiento generalizado (corrimientos y giros)
P : Vector de carga generalizado (fuerzas y momentos)
K : Matriz de rigidez que depende de las propiedades elásticas y geométricas de cada
barra y además de la forma en que se conectan.
En el siguiente capítulo se comienza el desarrollo general del “Método de Rigidez” para
el análisis de reticulados planos.
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