Invariancia de Norma como principio dinámico, el Modelo

Invariancia de Norma como principio dinámico, el
Modelo Estandard y la simetria de familias
Ezequiel Rodrı́guez Jáuregui
April 7, 2006
Resumen:
En esta charla derivaremos una teorı́a de las interacciones fundamentales,
para esto usaremos la analogı́a de esta con la electrodinámica cuantica QED,
usando como guia el principio de invariancia de norma local de la teorı́a,
formulado por Yang-Mills.
Posteriormente estudiaremos la posibilidad de extender el Modelo Estandard para incluir una simetria de familias que incorpore a los nutrinos
con masa.
1
Invariancia de norma en las ecuaciones de Maxwell
Iniciaremos a partir del estudio de las leyes básicas del electromagnetismo,
conocidas como las leyes de Maxwell, en el sistema de unidades naturales ,
en el cual 6 h = c = 1, las leyes de Maxwell son las siguientes:
∇·E=ρ
∇×E=−
∇·B=0
∇×B−
∂E
∂t
Ley de Gauss.
(1)
Ley de F araday Lenz.
(2)
Ausencia de cargas magneticas.
(3)
= j Ley de Ampere modif icada.
(4)
∂B
∂t
1
En electomagnetismo clásico y en especial en mecánica cuántica, es conveniente introducir el potencial vectorial A(x) y el escalar V para utilizarlo
en lugar de los campos E y B,
B = ∇ × A,
E = −∇V −
∂A
∂t
(5)
estas ecuaciones definen el potencial vectorial A y el potencial escalar V .
Con esta definición, las ecuaciones de Maxwell (2) y (3) secumplen automticamente
∇(∇ × A) = 0
∇ × ∇V = 0
(6)
Para mostrar que las ecuaciones de Maxwell (1) y (4) se satisfacen, es
conveniente trabajar con las ecuaciones de Maxwell escritas en forma covariante, por este y otros motivos cambiamos a la notación tensorial siguiente:
Xµ
:
(t, X)
Aµ
:
(V, A)
con
=
∂
:
∂xµ
∂
, −∇
∂t
∂
µ
V =φ
(7)
Estamos trabajando en la métrica de Minkowski, y el tensor métrico es;
1
0
:
0
0

gµν
0
0
−1 0
0 −1
0
0
0
0 

0 
−1

(8)
este tensor nos permite subir y bajar indices,
1

0
Xµ = gµν X ν : 
0
0

0
0
−1 0
0 −1
0
0
2
0
t
x
0 
   = (t, −X)
0 y 
−1
z
 
(9)
Las ecuaciones de Maxwell también se pueden escribir en forma covariante si introducimos el tensor de estres F µν del campo electromagnetico
como el tensor antisimetrico siguiente:
F µν = ∂ µ Aν − ∂ ν Aµ
(10)
cuyas componentes son:
F 0i = ∂ 0 Ai − ∂ i A0 =
F ij
∂Ai
+ ∇i A0 = −E i
∂t
= ∂ i Aj − ∂ j Ai = −ijk B k
0
1

E
(F µν ) = 
 E2
E3

−E 1
0
B3
−B 2
−E 2
−B 3
0
B1
−E 3
B2 
.
−B 1 
0

Si definimos el tensor j µ de la cuadricorriente,
J µ : (ρ, j)
(11)
en esta notación, la ecuación de continuidad, (o de conservacion de la
carga)
∂ρ
+ ∇j = 0
∂t
se escribe de la manera siguiente,
∂µ J µ = 0
(12)
(13)
Las ecuaciones de Maxwell (1) y (4) restantes, se cumplen con
∂µ F µν = J ν
La ley de Gauss se obtiene de la componente cero de esta ecuación;
∂µ F µ0 = ∂i F i0 = ∂i E i = J 0
La ley de Ampere modificada se obtiene de las componentes restantes
∂µ F µ1 = ∂0 F 01 + ∂2 F 21 + ∂3 F 31 = J 1
∂µ F µ2 = ∂0 F 02 + ∂1 F 12 + ∂3 F 32 = J 2
∂µ F µ3 = ∂0 F 03 + ∂1 F 13 + ∂2 F 23 = J 3
3
(14)
El origen de la invariancia de norma en electromagnetismo clásico esta
en el echo que para E y B dados, los potenciales vectorial A y escalar V no
son únicos.
Se llaman transformaciones de norma a las transformaciones que pueden
experimentar los potenciales vectorial A y escalar V , pero que dejan invariante a los campos fı́sicos E y B, y en consecuencia a las ecuaciones de
Maxwell, decimos por este motivo que las ecuaciones de Maxwell son invariantes de norma.
La transformación de norma esta dada por las ecuaciones siguientes;
A → A0 = A + ∇χ,
V →V0 =V −
∂χ
∂t
(15)
estas ecuaciones expresan el echo de que un cambio local en el potencial
electrostatico V se compensa por un cambio local en el potencial vectorial magnetico A, de tal manera que quedan invariantes las ecuaciones de
Maxwell.
En notación tensorial, las ecuaciones de transformación de norma toman
la siguiente forma:
0
Aµ → A µ = Aµ + ∂ µ χ
(16)
es claro que bajo esta transformacin el tensor de estres F µν cambia al
tensor primado .
0
F µν → F µν
0
F µν
F
F
0
0
= ∂µA ν − ∂ν A µ
0 µν
= ∂ µ (Aν + ∂ ν χ) − ∂ ν (Aµ + ∂ µ χ)
0 µν
= F µν
(17)
como el tensor de estress del campo electromagnetico F µν es invariante ante
la transformación de norma de la Ec.( 16), las ecuaciones de Maxwell dadas
por las Ecs. (1)-(4) son invariantes de norma.
4
Sustituyendo la Ec. (10), en la ecuacioón (14), esta se puede escribir con
el potencial vectorial Aµ de la manera siguiente,
∂µ ∂ µ Aν − ∂ ν (∂µ Aµ ) = j ν
(18)
de aqui vemos que las ecuaciones del cuadripotencial Aµ estan acopladas.
Si en la ecuación ( 16) escogemos a χ tal que Aµ satisfaga la condición
invariante,
∂µ Aµ = 0
(19)
conocida como la condición de Lorentz, en esta norma, las ecuaciones
para el cuadripotencial se reducen a
∂µ ∂ µ Aν = j ν
(20)
En electromagnetismo, decimos que una condición como la dada por la
ecuacion ( 19), es una condicion que fija la norma. Una consecuencia de la
invariancia de norma es que diferentes elecciones de la condición que fija la
norma llevan a formas diferentes para el propagador del fotón.
5
2
Invariancia de Norma en la Mecánica Cuántica
En el caso de una partı́cula relativista con carga eléctrica q y masa m inmersa
en un campo electromagnético externo su dinámica se obtiene a partir del
Hamiltoniano clásico
H=
q
(P − qA)2 + m2 + qV
(21)
para velocidades pequeñas comparadas con la velocidad de la luz, este
Hamiltoniano se escribe como
1
(P − qA)2 + qV
2m
restando una constante de la energı́a obtenemos
H ≈m+
H −m=
1
(P − qA)2 + qV
2m
(22)
(23)
Con el descubrimiento de la mecánica cuántica, se aprendió a cuantizar
y a construir el análogo cuántico de los problemas clásicos si cambiamos
nuestras funciones por operadores
x → x̂ = x
Pi → P̂i = −i
E → Ê = i
h
{Pi , xj } →
∂
∂xi
∂
∂t
i
P̂i , x̂j = δij
(24)
construimos la ecuación del equivalente cuántico para una partı́cula con
carga eléctrica q y masa m inmersa en un campo electromagnético externo
conocida como ecuación de Schrodinger
1
(−i∇ − qA)2 + qV
2m
6
Ψ(x, t) = i
∂Ψ(x, t)
∂t
(25)
Ahora estudiaremos el comportamiento de esta ecuación ante la transformación de norma del potencial vectorial A y escalar V ,
A → A0 = A + ∇χ,
V →V0 =V −
∂χ
∂t
Si hacemos solo la transformación de norma dada por las ecuaciones (15),
la ecuación de Schrodinger (25) cambia en
2
1
∂Ψ(x, t)
−i∇ − qA0 + qV 0 Ψ(x, t) = i
2m
∂t
(26)
sustituimos A0 y V 0 dados por las ecuaciones (15) y tenemos que
∂χ
∂Ψ(x, t)
1
) Ψ(x, t) = i
(−i∇ − qA − ∇χ)2 + q(V −
2m
∂t
∂t
(27)
esta ecuación cambia su forma. Si no queda invariante esto significa que
la mecánica cuántica está en conflicto con las ecuaciones de Maxwell.
Este problema se evita, si damos la regla de transformación de la función
de onda Ψ(x, t), esto es, necesitamos encontrar una ley de transformación
definida que nos permita pasar de la función de onda
0
Ψ(x, t) → Ψ (x, t)
(28)
tal que la ecuación de Schroedinger quede invariante bajo la transformación
de norma dada por la ec (15), y tome la forma;
0
1 ∂Ψ (x, t)
0
0
0 2
−i∇ − qA + qV Ψ (x, t) = i
2m
∂t
(29)
si reescribimos esta ecuación de la manera siguiente:
i2 0
1 h ∂
0
0
0
Ψ (x, t) = i
−i ∇ − iqA
+ iqV Ψ (x, t)
2m
∂t
(30)
Vemos que aqui podemos identificar a los operadores;
∂
+ iqV 0
(31)
∂t
en función de estos operadores la ecución de Schodinger se escribe como
D0 = ∇ − iqA0
D00 =
1 0 2
0
0
0
−iD Ψ (x, t) = iD0 Ψ (x, t)
2m
7
(32)
Asi que si encontramos una regla de transformación que permita pasar
0
de Ψ(x, t) → Ψ (x, t) , en este caso, la transformación combinada
A → A0
=
A + ∇χ,
V →V0
=
V −
∂χ
∂t
0
Ψ(x, t) → Ψ (x, t)
(33)
de la función de onda Ψ y de los campos vectorial A y escalar V deja
ninvariante la ecuación de Schrodinger y preserva la invariancia de norma
de las ecuaciones de Maxwell en la mecánica cuántica.
La regla de transformación de la función de onda Ψ requerida, que deja
invariante la fı́sica es la siguiente
0
Ψ(x, t) → Ψ (x, t) = eiqχ(x,t) Ψ(x, t)
(34)
esta ecuación nos dice que la transformación de norma del potencial electromagnético ec (15) induce un cambio de fase en la ecuación de onda Ψ, y
al ir de un punto a otro del espacio tiempo, cambia la fase de la partı́cula
descrita por Ψ. Vemos pues que una traslacion de los potenciales electromagnéticos en espacio de Minkowsky induce una traslación de la función de
onda en el espacio de Hilbert.
Veamos como se transforma el termino izquierdo de la ecuación (29),
−i∇ − qA
0
0
Ψ (x, t) = [−i∇ − qA − q∇χ] eiqχ(x,t) Ψ(x, t)
= q∇χeiqχ(x,t) Ψ(x, t) + eiqχ(x,t) (−i∇Ψ(x, t))
+ eiqχ(x,t) (−qAΨ(x, t)) − q(∇χ)eiqχ(x,t) Ψ(x, t)
el primer y el último termino de la derecha se cancelan, con lo que obtenemos
−i∇ − qA
0
0
Ψ (x, t) = eiqχ(x,t) (−i∇ − qA) Ψ(x, t)
(35)
escrita con los operadores de la ec. (31),
0
0
−iD Ψ (x, t) = eiqχ(x,t) (−iDΨ(x, t))
8
(36)
De igual manera tenemos para el operador de derivada temporal que
0
∂
0
+ iqV )eiqχ(x,t) Ψ(x, t)
∂t
∂
∂χ
= i
+ iq(V −
) eiqχ(x,t) Ψ(x, t)
∂t
∂t
0
iD0 Ψ (x, t) = i(
= eiqχ(x,t) (iD0 Ψ(x, t))
(37)
para el término de la derivada segunda en la ecuación de Schrodinger
obtenemos
1 1
0 2
0
−iD Ψ (x, t) = eiqχ(x,t)
(−iD)2 Ψ(x, t)
2m
2m
(38)
si hacemos uso de la Ec. de Schodinger no transformada, el lado derecho
se escribe como
1 0
0 2
−iD Ψ (x, t) = eiqχ(x,t) iD0 Ψ(x, t)
2m
(39)
y sustituyendo la ecuacion (37) obtenemos
1 0
0
0
0 2
−iD Ψ (x, t) = iD0 Ψ (x, t)
2m
(40)
como se requiere.
Asi que en conclusión, la invariancia de norma de las ecuaciones de
Maxwell se preserva en la mecánica cuántica siempre y cuando se haga la
transformación combinada dada en las ecs. (41)- (34)
A → A0 = A + ∇χ,
V →V0 = V −
0
∂χ
∂t
Ψ(x, t) → Ψ (x, t) = eiqχ(x,t) Ψ(x, t)
9
(41)
3
El argumento invertido: La invariancia de norma
como principio dinámico.
Si no conocemos las leyes de interacción fundamentales, podemos derivarlas
de la ecuación de movimiento de una partı́cula libre si demandamos que
esta sea invariante bajo transformaciones de fase que dependen del espaciotiempo.
0
Ψ(x, t) → Ψ (x, t) = eiqχ(x,t) Ψ(x, t)
(42)
En mecánica cuántica la ecuación de Schrodinger de una particula libre
de masa m y carga q esta dada de la manera siguiente
1
∂Ψ(x, t)
(−i∇)2 Ψ(x, t) = i
(43)
2m
∂t
Vamos a invertir el argumento, demandamos que esta ecuación quede
invariante bajo la transformación de fase de la ec.(42):
0
(−i∇)2
∂Ψ(x, t)
(−i∇)2 0
∂Ψ (x, t)
Ψ(x, t) = i
→
Ψ (x, t) = i
2m
∂t
2m
∂t
para el termino derecho obtenemos que
0
∂Ψ (x, t)
∂Ψ(x, t)
∂χ(x, t)
i
= ieiqχ(x,t)
+ iqΨ(x, t)
∂t
∂t
∂t
(44)
(45)
Vemos que el segundo término arruina la invariancia de fase de la ec.
(44), y en consecuencia, la transformación de fase local no es una simetrı́a
de la partı́cula libre.
Si deseamos que la teorı́a sea invariante de fase y elevar la invariancia
de fase local a principio dinámico, devemos de ver la manera de eliminar
el término extra, asi que si sumamos un término adicional a la derivada
∂
ordinaria ∂t
, podriamos anular el término extra:
∂
∂
∂χ(x)
→ D0 =
+ algo que cancele a iq
∂t
∂t
∂t
y podriamos restaurar la invariancia de fase de la teorı́a.
10
(46)
Si introducimos un campo escalar V 0 conocido como el campo de norma,
en abos lados de la Ecuación (45),
∂
∂Ψ(x, t)
0
(i − qV 0 )Ψ (x, t) = ieiqχ(x,t)
∂t
∂t
∂χ(x, t)
0
+ iqΨ(x, t)
+ iqV Ψ(x, t)
∂t
encontramos que siempre que V 0 = V −
mino se transforma de la manera correcta.
∂χ(x,t)
∂t
(47)
obtenemos que este ter-
∂
∂
0
i( + iqV 0 )Ψ (x, t) = ieiqχ(x,t)
+ iqV
∂t
∂t
Ψ(x, t)
(48)
Bajo la accion de la transformación de fase, D0 se transforma
0
D0 Ψ(x, t) → D00 Ψ (x, t) = eiqχ(x,t) D0 Ψ(x, t)
(49)
Para el término de la derivada espacial tenemos:
−i
0
∇Ψ (x, t) =
2m
=
−i iqχ(x,t)
∇ e
Ψ(x, t)
2m
−i iqχ(x,t)
e
(iq∇χΨ(x, t) + ∇Ψ(x, t))
2m
(50)
vemos que el término iq∇χ arruina la invariancia de fase de la ecuación
de Schrodinger.
Si deseamos que la teorı́a sea invariante de fase y elevar la invariancia
de fase local a principio dinámico, devemos de ver la manera de eliminar
el término extra, asi que si sumamos un término adicional a la derivada
∂
ordinaria ∂x
, podriamos anular el término extra:
∇ → D = ∇ + (algo que cancele a iq∇χ)
(51)
y podriamos restaurar la invariancia de fase de la teorı́a.
Para restaurarla, debemos de introducir un campo qA0 conocido como
campo de norma de tal manera que cancele este término.
0
1
−ieiqχ(x,t)
−i∇ − qA0 Ψ (x, t) =
iq∇χ + ∇ − iqA0 Ψ(x, t)
2m
2m
(52)
el término extra se cancela solo si A0 = A + ∇χ, y obtenemos que;
0
DΨ(x, t) → D0 Ψ (x, t) = eiqχ(x,t) DΨ(x, t)
11
(53)
4
RESUMEN
Si demandamos que la ecuación de Schrodinger de una partı́cula libre
1
∂Ψ(x, t)
(−i∇)2 Ψ(x, t) = i
2m
∂t
sea invariante ante una transformación de fase local
(54)
0
Ψ(x, t) → Ψ (x, t) = eiqχ(x,t) Ψ(x, t)
(55)
vemos que la invariancia de fase local no es una posible para una teorı́a
de partı́cula libre, y requiere que introduscamos los campos de interacción
A
y
V
(56)
conocidos como campos de norma, con leyes de transformación bien
definidas
∂χ(x, t)
∂t
Asi que la ecuación de Scrodinger que es invariante de fase local
A → A0 = A + ∇χ
V →V0 =V −
∂
1
(−i (∇ − iqA))2 Ψ(x, t) = i
+ iqV
2m
∂t
(57)
Ψ(x, t)
(58)
describe a una partı́cula que no es libre y está sujeta a interacciones con
los campos de norma.
Solo si se cumple que A y V se transforman de acuerdo a la ecuación
(57) podemos elevar la invariancia de norma a principio dinṕamico.
12
5
Transformación de fase global
La dinámica de una partı́cula relativista de masa m y espin
la lagrangiana de Dirac,
L0 = Ψ̄ (γ µ pµ − m) Ψ
1
2
esta dada por
(59)
con
∂
(60)
∂xµ
De donde obtenemos a partir del principio de mı́nima acción la ecuación
de Dirac de una partı́cula libre.
pµ = −i 6 h
(6 p − m) Ψ = 0
(61)
Si exigimos que la lagrangiana de Dirac de la partı́cula libre sea invariante
bajo la transformación de fase global
U = e+iα
(62)
esto es, bajo esta transformación de fase,
L0
0
0
→ L = Ψ̄ (γ µ pµ − m) Ψ
0
y
0
Ψ → Ψ = e+iα Ψ
0
Ψ̄ → Ψ̄ = Ψ̄e−iα
(63)
como la fase α no depende del espacio-tiempo x, el término con la
derivada cambia de la manera siguiente
∂µ Ψ → (∂µ Ψ)0 = e+iα ∂µ Ψ
= e+iα ∂µ U −1 U Ψ
= ∂µ Ψ0
(64)
vemos que la lagrangiana queda invariante
0
L = L0
13
(65)
6
Transformación de fase local y Abeliana
Las transformaciones de fase que varian de punto a punto en el espacio
tiempo se llaman transformaciones locales, en este caso, la fase depende del
espacio tiempo a travez de las coordenadas x,
α = α(x)
(66)
Si demandamos que la lagrangiana de la partı́cula libre
L0 = Ψ̄ (γ µ pµ − m) Ψ
(67)
sea invariante bajo la transformación de fase local
U = e+iα(x)
(68)
bajo la acción de U , las funciones Ψ y Ψ̄ se transforman como,
Ψ → Ψ0 = U Ψ
Ψ̄ → Ψ̄0 = Ψ̄U †
(69)
y para el termino con la derivada tenemos,
∂µ Ψ(x) → (∂µ Ψ(x))0 = +i
∂α(x)
∂Ψ(x) −iα(x)
Ψ(x) +
e
∂xµ
∂xµ
(70)
el termino que rompe la invariancia de fase de la lagrangiana es
∂α(x)
∂xµ
y la transformación de fase local no es una simetrı́a de la partı́cula libre.
Si deseamos que la teorı́a sea invariante de fase local como principio
dinámico, devemos de ver como se transforma la derivada es claro que si
cambiamos derivada ordinaria ∂µ por la derivada covariante Dµ
∂α(x)
∂µ → Dµ = ∂µ + algo que cancele a i
Ψ(x)
∂xµ
podriamos restaurar la invariancia de fase de la teorı́a.
14
(71)
Asi que deseamos tener una derivada covariante Dµ tal que se transforme
de la manera siguiente
0
Dµ Ψ → (Dµ Ψ) = eiα(x) Dµ Ψ
(72)
Si multiplicamos por la unidad 1 = U −1 U ,
0
Dµ Ψ → (Dµ Ψ) = eiα(x) Dµ U −1 U Ψ
(73)
vemos que la derivada covariante se debe de transformar de la manera siguiente
0
Dµ → (Dµ ) = U Dµ U −1
(74)
si introducimos un campo vectorial Aµ conocido como el campo de norma,
tal que,
Dµ = ∂µ − ieAµ
(75)
en este caso, bajo la transformación de fase la derivada covariante se escribe
como:
0
(∂µ − ieAµ ) → ∂µ − ieAµ
= U (∂µ − ieAµ ) U −1
= ∂µ + U ∂µ U −1 − ieU Aµ U −1
(76)
escribimos U a primer orden de la manera siguiente,
U (x) ≈ 1 + iα(x)
(77)
con esto obtenemos que la lagrangiana de una partı́cula libre qj queda invariante si Aµ se transforma como
1
0
Aµ → Aµ = Aµ + ∂µ α(x)
(78)
e
Vemos que demandando invariancia de face local, hemos introducido un
campo de norma Aµ que se acopla a la particula de Dirac con carga eléctrica
e, esto es, hemos obtenido partiendo de la lagrangiana de una particula libre,
la lagrangiana de una particula inmersa en un campo Aµ .
Lo → L = Ψ̄ (γ µ Dµ − m) Ψ
(79)
la particula ya no es libre, esta sujeta a fuerzas electromagneticas que
aparecieron de forma geometrica, Aµ es el potencial vectorial y la independencia de la norma la garantizamos con el termino
Fµν = ∂µ Aν − ∂ν Aµ
(80)
Si deseamos que Aµ sea un campo fı́sico devemos agregar a L el termino de
la energı́a cinetica de este campo, con esto tenemos la lagrangiana completa
de la electrodinámica cuántica o QED por sus siglas en ingles
L = Ψ̄ (γ µ pµ − m) Ψ + e Ψ̄ γ µ Aµ Ψ −
15
1 µν
F Fµν
4
(81)
7
Transformación de fase local y no-abeliana
Veremos ahora como generalizar del caso electromagnético, el principio de
invariancia local de fase.
Un elemento U del grupo no abeliano G esta dado de la manera siguiente;
U = e−igT
a αa (x)
(82)
U esta definido por N constantes αa , T a son los generadores del grupo G y
satisfacen el algebra de Lie
h
i
T a , T b = if a,b,c T c
a, b, c = 1, 2, ..., N
(83)
La acción del grupo G sobre los campo Ψ y Ψ̄ es la siguiente
0
U :Ψ→Ψ
0
U : Ψ̄ → Ψ̄
= UΨ
= Ψ̄U −1
(84)
en cada caso, los generadores T del grupo se eligen apropiados para la representación de Ψ.
La idea de Yang, Mills y Shaw al comparar con el caso del electromagnetismo fué que si la fase α es función del espacio tiempo, y el termino de
la derivada arruina la invariancia de fase de la teorı́a, en este caso, la lagrangiana invariante de norma local se construye con la derivada covariante
Dµ ,
U : Dµ Ψ → (Dµ Ψ)0 = U Dµ Ψ
(Dµ Ψ)0 = U Dµ U −1 U Ψ
0
0
(Dµ Ψ)0 = Dµ Ψ
(85)
esto es, la derivada se transforma de la manera siguiente
Dµ0 = U Dµ U −1
(86)
con Dµ = ∂µ − igAµ se obtiene que bajo un grupo general y local de Lie,
el potencial vectorial Aµ se transforma como
i
0
Aµ → Aµ = Aµ + U (x)∂µ U −1 (x) + U (x)Aµ U −1 (x)
g
16
(87)
Como
U = e−igα
a (x)T a
≈ 1 − igαa (x)T a
obtenemos sustituyendo en la expresión (88), que
0
Aµ = Aµ − igαa (x) [T a , Aµ ] − T a [∂µ αa (x)]
(88)
si expresamos al campo de norma Aµ en la base de los generadores del
grupo
Aµ = T a Aaµ
a = 1, ..., N
(89)
obtenemos que Aaµ se transforma de la manera siguiente
0
Aaµ (x) → Aµa (x) = Aaµ (x) − ∂µ αa (x) + gf abc αb (x)Acµ (x)
(90)
La construcción de la derivada covariante Dµ nos llevo a intrucir N campos de norma Aaµ donde N es la dimensión del grupo de norma G.
Para un grupo SU (n), la dimensión del grupo es N = n2 − 1.
La lagrangiana invariante bajo el grupo de norma G es
1 a µν
Fa + L Ψ, Ψ̄, Dµ Ψ, Dµ Ψ̄
L = − Fµν
4
(91)
con el campo de estress para los campos vectoriales Abµ dado por
a
−igT a Fµν
= [Dµ , Dν ]
(92)
a diferencia del fotón, los bosones de norma tienen autointeracción y esto
hace la teorı́a distinta y no linenal
b
Fµν
= ∂µ Abν (x) − ∂ν Abµ (x) + gf bcd Acµ (x)Adν (x)
17
(93)
7.1
Cromodinámica Cuántica, QCD
De manera analoga podemos derivar la estructura de la Cromodinámica
Cuántica, solo que en este caso, el grupo de norma U (1) dado por
U (1) = eiα(x)
(94)
es reemplazado por el grupo de norma no Abeliano SU (3), que es el
grupo de las matrices unitarias de tres por tres con determinante uno, la
dimensión de SU (3) es ocho y un elemento de este grupo es
U = eiαa (x)Ta
a = 1, 2, ..., 8
(95)
con Ta los generadores del grupo SU (3), estos satisfacen el álgebra de
Lie
[Ta , Tb ] = ifa,b,c Tc
(96)
en esta expresión, fa,b,c son las constantes de estructura del grupo.
Al igual que en la Electrodinámica cuántica, partimos de la ecuación de
Dirac de una partı́cula libre
L0 = q̄j (γ µ pµ − m) qj
j = r , y, b
(97)
en este caso qj es la función que representa al quark de color j.
Si demandamos que la lagrangiana de Dirac del quark libre sea invariante
bajo una transformación de fase global U , elemento de SU (3),
L0 → L0 = UL0
(98)
bajo la acción de este grupo, las funciones qj y q̄j se transforman de la
manera siguiente
0
qj → qj
0
q̄j → q̄j
= Uqj
= q̄j U−1
(99)
como el grupo es no abeliano, los generadores Ta no conmutan y devemos
introducir ocho campos de norma Gaµ ,
Dµ = ∂µ + igT a Gaµ
a = 1, ..., 8
(100)
tales que se transformen de la manera siguiente,
1
0
Gaµ → Gµa = Gaµ − ∂µ αa (x) − fabc αb Gcµ
g
18
(101)
ası́ que como producto final obtenemos la Lagrangiana de la Cromodinámica
Cuántica,
1
LQCD = q̄ (iγ µ ∂µ − m) q − g (q̄γµ T a q) Gaµ − Gaµν Gµν
a
4
(102)
Gaµν = ∂µ Gaν − ∂ν Gaµ − fabc Gbµ Gcν
(103)
con
7.2
Las interacciones débiles, WI
En la descripción de las interacciones fuertes y electromagnéticas, los bosones
de norma (gluones y fotones) deven de permanecer sin masa, ya que la presencia de un boson de norma con masa destruye la invariancia de norma de
la Lagrangiana.
El problema que surge al construir la teorı́a de las interacciones débiles
es que al ser esta de corto alcanse, los bosones de norma son masivos.
Como introducimos un término de masa para los bosones de norma de
las interacciones débiles?
Lmasa = m2 Wµ W µ
(104)
El mecanismo que nos permitira introducir estos bosones de norma masivos sin violar la invariancia de norma es el rompimiento espontáneo de la
simetrı́a de norma SU (2).
19
Un grupo de Lie se puede definir por la representación de sus elementos
U = e−iTa αa en términos de sus generadores.
1. Las generadoras del grupo SU (2) por sus siglas en ingles special unitary, esta formado por las matrices unitarias σi conocidas como las
matrices de Pauli:
σ1 =
0
1
1
0
,
σ2 =
0 −i
i 0
,
σ3 =
1
0
0
−1
,
(105)
el algebra de Lie de estas matrices es
σi σj
σk
= ifijk
,
2 2
2
(106)
2. Las generadoras del grupo SU (3),son las matrices λi conocidas como
las matrices de Gell-Mann Zweig,
λ1
0
= 1
0
1
0
0
0
0,
0
0 −i 0
λ2 =  i 0 0  ,
0 0 0
1
λ3 =  0
0
0
−1
0
λ4
0

=
0
1
0
0
0
1
0,
0
0 0

λ5 = 0 0
i 0
−i
0 ,
0
0

λ6 = 0
0
0
0
1
λ7
0
= 0
0
0
0
i
0
−i  ,
0








1
1
λ8 = √  0
3 0




0
1
0

0
0 ,
−2
0
0,
0

0
1,
0


(107)
con el algebra de Lie
λj λk
λl
,
= ifjkl
2 2
2
como T r(λj ) = 0 y T r(λk λl ) = 2δkl tenemos que
fjkl =
1
T r(λl [λj , λk ])
4i
(108)
(109)
f123 = 1
1
f147 = f246 = f257 = f345 = f516 = f637 =
2
√
3
f458 = f678 =
2
20
(110)
3. El grupo de las matrices unitarias de cinco por cinco con determinante
uno se llama el grupo SU (5), las matrices La con a = 1, ..., 24 son las
generadoras de este grupo,


a
L



= 

0
0
0 0
0 0


0 0,

0 0
0 0
λa
0
0
0
0
0 0
0 0


= 0 0

0 0
0 
0
L12 =
0 0 0
0 0 0


0 0 0  , i = 1, 2, 3


0 σi
0

−2 0
0 0 0
 0
−2 0 0 0 

1 


√  0
0 −2 0 0  ,


15  0
0
0 3 0
0
0
0 0 3

L13
0
0


= 0

1
0

L15
0
0


= 0

0
0

L17
0
0


= 0

0
0
(son los generadores de SU (3)),


L9,10,11
a = 1, 2, ..., 8
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0


0,

0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0


0,

0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
0


0,

0
0
L14
1
0


e = 0

0
0
0
 0


= 0

 −i
0
0
0
0
0
0
L16

0
0
1
0
0
0
0
0
1
0


0 0 0 0 0
0 0 0 i 0




= 0 0 0 0 0,


 0 −i 0 0 0 
0 0 0 0 0

L18
0
1
0
0
0
0 i 0
0 0 0


0 0 0,

0 0 0
0 0 0


21



0
0
0
0
0
(son los generadores de SU (2)),
0
0


= 0

0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
−i
0

0 0
0 0


i 0,

0 0
0 0

0
0


0,

0
1

L19
0
0


= 0

0
1

L21
0
0


= 0

0
0

L23
0
0


= 0

0
0


0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0


0,

0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1


0,

0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0


1,

0
0
L20
0
 0


= 0

 0
−i
0
0
0
0
0
0 i
0 0


0 0,

0 0
0 0
0 0
0 0


= 0 0

0 0
0 −i
0
0
0
0
0
0 0
0 i


0 0,

0 0
0 0
0
0
0
0
−i
0 0
0 0


0 i ,

0 0
0 0


L22


L24

0
0
0
0
0
0
0


= 0

0
0
0
0
0
0
0


el algebra de Lie de SU (5) es
Li Lj
Lk
,
= ifijk
2 2
2
22
(112)
(111)
8
El Modelo Estandard de las interacciones electrodébiles y fuertes
El Modelo Estandard de las interacciones electrodébiles y fuertes es una
teorı́a de norma y proporciona un marco téorico consistente y bien definido
en el cual se unifican la electrodinámica cuántica y las interacciones nucleares débiles y nucleares fuertes.
El grupo de norma GM E de la teorı́a es un grupo semisimple local y no
abeliano,
GM E = SU (3)C ⊗ SU (2)L ⊗ U (1)Y
(113)
con bosonoes de norma :
Gµi , i = 1, .., 8,
Wiµ , i = 1, 2, 3
y
Bµ
y con acoplos de norma
g3 ,
g2
y
g1 .
para los factores SU (3), SU (2), y U (1) respectivamente.
El mecanismo de Higgs del rompimiento espontáneo de la simetrı́a de
norma SU (2)L ⊗ U (1)Y , da masas a los bosones de norma Z y W ± y a los
fermiones; seis quarks y tres leptones.
Las masas mf de los fermiones se obtienen de las interacciones de Yukawa
formadas por los términos que acoplan el campo de Higgs con dos campos
fermiónicos,
√
mf = (v λf )/ 2,
λf se ajusta de los datos experimentales y se conoce como el acoplo de
Yukawa del fermión f, y v es el valor de expectación del vacio del campo de
Higgs.
En el mecanismo de Higgs, se introduce un solo campo escalar Φ conocido
como campo o bosón de Higgs; que es singlete de SU (3)C y doblete de
SU (2)L .
23
8.1
Evidencia experimental
No hay aun suficiente información experimental que confirme o que excluya
de manera definitiva el bosón escalar de Higgs Φ que surgiria del mecanismo
de Higgs, esto nos da la libertad de postular la existencia de otros campos
de Higgs.
Los datos experimentales existentes hasta hoy son consistentes con un
solo boson de Higgs del Modelo Estandard siempre y cuando la masa del
bosón de Higgs
mhsm
esté en el rango
mhsm ≤ 200 GeV
para que sea consistente con los analisis de presicion electrodébiles, y
mhsm ≥ 114 GeV
para que sea consistente con los lı́mites experimentales de LEP2.
Hay muchas razones teóricas para poner en duda la idea de que el Modelo Estandard con un solo sector de Higgs en el cual solo hay un doblete de
Higgs sea la solucion correcta:
En el Modelo Estandard, no hay una explicación para el patrón de masas
que se observa.
Jerarquı́a de masas: experimentalmente se observa que fermiones de la
misma carga pero de diferentes generaciones o familias tienen una gran diferencia en sus masas.
Para obtener los valores correctos de las masas de los fermiones es necesario elegir de manera apropiada los parámetros de Yukawa,
λf
esto hace que tomen valores en un intervalo de
O(10−6 )
a
O(1)
En una primera aproximación se pueden tomar como nulas las masas de
las dos primeras familias.
24
La replicación de los fermiones: para explicar el espectro observado de
partı́culas se introducen tres generaciones o familias de fermiones, sin que
haya una razón teórica que explique por que la naturaleza es ası́.
Las interacciones débiles violan la simetrı́a de conjugación de carga y
paridad (CP), particularmente en los decaimientos de los mesones K o [1] y
B o [2], y este problema tampoco está completamente explicado.
En el Modelo Estandard, la violación de CP se introduce agregando
como parámetro libre adicional una fase compleja en la matriz de mezclas
de los quarks para tres familias, llamada la matriz de Cabibbo-KobayashiMaskawa ó VCKM [3].
En el Modelo Estandard tal como está formulado, la matriz de mezclas
de los leptones, análoga es una matriz unidad ya que el Modelo Estandard
se formuló para neutrinos de masa nula.
Evidencia experimental reciente indica que en el sector leptónico hay
fı́sica mas allá del Modelo Estándar; en particular: los experimentos de
neutrinos han dejado establecido que los neutrinos se mezclan y que probablemente tienen masa.
En el caso particular de los neutrinos sabemos por la evidencia experimental obtenida de Kamiokande, del experimento Troitsk y los reultados
obtenidos en PSI y LEP que las cotas para las masas de los neutrinos son
diferentes de cero,
mνe < 3.9 eV
mνµ < 170 KeV
mντ < 18.2 M eV.
(114)
estas cotas no nulas son la primer evidencia experimental de fı́sica nueba
que muestra la necesidad de extender el marco del Modelo Estandard.
Los neutrinos son difı́ciles de detectar porque sólo participan en la interacción electrodébil y su carga eléctrica es nula y su masa es muy pequeña.
Si los neutrinos adquieren masa por el mecanismo de Higgs
v
mν = √ λν
2
(115)
el problema es que se requiere un acople de Yukawa muy pequeño λν < 10−10
para poder explicar la magnitud de las masas mν < 10 eV .
En el Modelo Estándar, tal como está ahora formulado, no se pueden
introducir términos de masa para los neutrinos debido a que en el modelo
25
no hay una representación del grupo de norma donde podamos acomodar
a los neutrinos derechos de tal modo que se puedan acoplar con sus correspondientes neutrinos izquierdos para formar términos de masa de Dirac.
Los términos de masa para los neutrinos se pueden clasificar en tres tipos
de acuerdo al acoplamiento de los campos de quiralidad izquierda y derecha
del neutrino con el campo de Higgs.
En el Modelo Estándar una masa tipo Dirac es aquella que conecta com† 0
ponentes izquierdas ψL y derechas conjugadas ψ̄R = ψR
γ del mismo campo.
Para las partı́culas que portan cualquier número cuántico U (1) , como
la carga electromagnética, una masa de Dirac es el único término de masa
posible, ya que para preservar estos números cuánticos U (1) es necesario
tener interacción partı́cula-antipartı́cula.
Sin embargo, los neutrinos son una excepción a esta regla; debido a
que no tienen carga electromagnética, es posible introducir otros tipos de
términos de masa ademas de los términos de masa tipo Dirac.
Estos otros términos de masa violan la conservación del número leptónico
y en algunos casos SU (2) × U (1), pero están permitidos por la invariancia
de Lorentz.
Una masa de tipo Majorana es aquella que conecta componentes izquierdas ψL y derechas ψR de campos conjugados; podemos introducir dos masas
de Majorana diferentes.
El primer tipo de masa de Majorana acopla partı́cula con partı́cula.
El segundo tipo de masa de Majorana, acopla antipartı́cula con antipartı́cula.
26
Una teorı́a mixta que contenga masas de Dirac y Majorana se obtiene
con la lagrangiana
c
LDM = MD ψ̄L ψR + MT ψ̄Lc ψL + MS ψ̄R
ψR + h.c.
(116)
Una teorı́a que contenga masas de Majorana viola la conservación de
cualquier número aditivo que porten los campos fermiónicos ψ, por ejemplo
la carga eléctrica, ası́ que todos los fermiones fundamentales, excepto los
neutrinos, deben tener MT = MS = 0.
Para neutrinos de Majorana, se viola el número leptónico por dos unidades
y pueden ocurrir los decaimientos doble beta: (Z − 1) → (Z + 1) + e + e, o
los decaimientos K − → π + ee del Kaón; si ocurren estos decaimientos, ésta
será una evidencia experimental clara de que existen neutrinos con masa de
Majorana, hasta hoy las cotas experimentales para que ocurran estos procesos son nulas.
Si los eigenvalores de MT son nulos o muy pequeños y si los eigenvalores
de MS son grandes comparados con los de MD , entonces el espectro de
masas de los neutrinos se puede separar en un sector de neutrinos ligeros
cuya matriz de masas de 3 × 3 se escribe como;
(Mν )light = MTD M−1
S MD
(117)
y un sector de neutrinos pesados cuya matriz de masas de 3×3 se escribe
como;
(Mν )heavy = MS
(118)
Este es el llamado mecanismo de see-saw que nos permite entender las
masas pequeñas para los neutrinos que son del orden de eV .
Existen varias posibilidades para dar masa a los neutrinos en el Modelo
Estándar;
• Extender el sector de Higgs
• Extender el sector de leptones, agregando la parte derecha de los neutrinos.
• Extender tanto el sector de Higgs como el sector leptónico.
Estudiado la posibilidad de que la tercer hipótesis sea correcta.
27
8.2
La simetrı́a de familias
Nos planteamos la posibilidad de construir un extensión del Modelo Estandard en la que agregaremos un grupo de familias o grupo de sabor que
nos permita incluir de manera natural en las representaciones irreducibles
del grupo de sabor las tres familias de fermiones fundametales que se observan en la naturaleza.
Una simetrı́a no abeliana de sabor podria explicar varios fenómenos de
la fı́sica del sabor que en la actualidad paresen independientes, mas aun,
podria dar una indicación de cual es la fı́sica correcta mas allá del Modelo
Estandard.
Estudiaremos la posibilidad de que tal simetrı́a del sabor existe a la escala de Fermi y las implicaciónes fenomenológicas de esta hipótesis.
La simetrı́a que estudiaremos es la simetrı́a permutacional S3 [?, ?], la
cual es la simetrı́a no abelian mas pequeña.
El grupo S3 contiene las seis permutaciones posibles de de tres objetos
(f1 , f2 , f3 )
La representacin de tres dimenciones de S(3) se puede descomponer en
la suma directa de dos representaciones irreducibles, un singlete
1
fs = √ (f1 + f2 + f3 )
3
y un doblete
√1
2

fD = 
(f1 − f2 )

√1
6
(f1 + f2 − 2 + f3 )



Esta es la simetrı́a de un triángulo regular y tiene una interpretación
geométrica simple.
Si aceptamos que el grupo S3 como una simetrı́a fundamental en el sector
de materia del Modelo Estandard.
28
El producto directo de dos doblets
pD =
pD1
pD2
y qD =
qD1
qD2
contiene un singlete simétrico que es un invariante de S(3)
rs = pD1 qD1 + pD2 qD2
y un singlete antisimétrico, que no es invariante de S(3)
rA = pD1 qD2 − pD2 qD1
y un doblete
rD = ( rD1
rD2 ) = ( pD1 qD2 + pD2 qD1
pD1 qD1 − pD2 qD2 )
Esto nos lleva de manera automática a extender el sector de Higgs, como
el Modelo Estandard solo contiene un Higgs Φ que es doblete de SU (2)L ,
el cual solo puede ser un singlete del grupo de imetrı́a de familias S3 y
como el grupo S3 tiene solo dos representaciones irreducibles, un singlete y
un doblete, no hay una razón convinsente de por que debe existir solo un
campo de Higgs Φ que es singlete del grupo de familias S3 .
Incluir en el Modelo Estandard la simetrı́a permutacional S3 implica no
solo la igualdad de tres objetos, implica también la igualdad de sus representaciones irreducibles.
Una ventaja es que este grupo permite diferencias entre las generaciones
de las partı́culas elementales que se realizan en la naturaleza.
La extención del Modelo Estandard con el grupo de familias S3 es inmediata, ademas del campo de Higgs HS del Modelo Estandard, introduciremos
un campo de Higgs HD que es doblete de S3 .
Introduciremos también un neutrino derecho νR por cada sabor de neutrino izquierdo νL .
29
Finalmente, el contenido de campos de materia de quarks, leptones y
Higgs que se transforman como los singletes de S3 son:
QT3 = (uL , dL )3 , u3R , d3R , LT3 = (νL , eL )3 , e3R , ν3R , HS , (119)
los campos de materia de quarks, leptones y Higgs que se transforman como
los dobletes de S3 portan los indices I, J que corren de 1 a 2
QTI = (uL , dL )I
, uIR , dIR , LTI = (νL , eL )I , eIR , νIR , HI (120)
de esta manera, por cada uno de los campos de materia tenemos tres especies
que forman una representación irreducible de 1S + 2. Las interacciones de
Yukawa renormalizables mas generales con simetria de familias exacta S3
son:
LY
= LYD + LYU + LYE + LYν ,
(121)
donde
LYD
= −Y1d QI HS dIR − Y3d Q3 HS d3R
− Y2d [ QI κIJ H1 dJR + QI ηIJ H2 dJR ]
− Y4d Q3 HI dIR − Y5d QI HI d3R + h.c.,
LYU
=
−
−
LYE
=
−
−
LYν
=
−
−
(122)
−Y1u QI (iσ2 )HS∗ uIR − Y3u Q3 (iσ2 )HS∗ u3R
Y2u [ QI κIJ (iσ2 )H1∗ uJR + ηQI ηIJ (iσ2 )H2∗ uJR
Y4u Q3 (iσ2 )HI∗ uIR − Y5u QI (iσ2 )HI∗ u3R + h.c.,
−Y1e LI HS eIR − Y3e L3 HS e3R
Y2e [ LI κIJ H1 eJR + LI ηIJ H2 eJR ]
Y4e L3 HI eIR − Y5e LI HI e3R + h.c.,
−Y1ν LI (iσ2 )HS∗ νIR − Y3ν L3 (iσ2 )HS∗ ν3R
Y2ν [ LI κIJ (iσ2 )H1∗ νJR + LI ηIJ (iσ2 )H2∗ νJR ]
Y4ν L3 (iσ2 )HI∗ νIR − Y5ν LI (iσ2 )HI∗ ν3R + h.c.,
]
(123)
(124)
(125)
y
κ =
0 1
1 0
!
and η =
30
1 0
0 −1
!
.
(126)
El Modelo Estandard extendido con simetı́a de familias S3 nos permite
introducir términos de Majorana para los neutrinos derechos
LM
T
T
= −M1 νIR
CνIR − M3 ν3R
Cν3R ,
(127)
donde C es la matriz de conjugación de carga.
Debido a la presencia de los tres campos de Higgs, el potencial de Higgs
VH (HS , HD ) es mas complicado que el del Modelo Estandard.
El potencial de Higgs invariante bajo SU (2)L × U (1)Y × S3 can be expressed as [?],[?],[?]:
2
= µ1 2 (H 1 H1 + H 2 H2 ) + µ0 2 (H 3 H3 ) + a(H 3 H3 ) +
V
2
b(H 3 H3 )(H 1 H1 + H 2 H2 ) + c(H 1 H1 + H 2 H2 ) +
2
2
2
d(H 1 H2 − H 2 H1 ) + g((H 1 H1 − H 2 H2 ) + (H 1 H2 + H 2 H1 ) ) +
f [(H 3 H1 )(H 1 H3 ) + (H 3 H2 )(H 2 H3 )] +
(128)
h[(H 3 H1 )(H 3 H1 ) + (H 3 H2 )(H 3 H2 ) + (H 1 H3 )(H 1 H3 ) +
(H 2 H3 )(H 2 H3 )]
Podemos suponer que los valores de expectación sobre estados del vacio
de los campos de Higgs sean reales con
< H1 >=< H2 >
.1
Estos campos de Higgs también satisfacen la constricción
< HS >2 + < H1 >2 + < H2 >2 ' (246 GeV)2 /2
.
1
Ver por ejemplo [?] en donde se considera un potencial con tres campos de Higgs con
simetrı́a S3 .
31
Entonces de las interacciones de Yukawa Then from the Yukawa interactions (122)–(125) y (127) derivamos las matrices de masa, con la forma
general siguienteone


m1 + m2
m2
m5


m2
m1 − m2 m5  .
M=
m4
m4
m3
(129)
Las masas de Majorana para los neutrinos izquierdos νL se pueden
obtener del mecanismo de see-saw[?], y esta dada por
Mν = MνD M̃−1 (MνD )T
, donde
M̃ = diag(M1 , M1 , M3 )
.
Todas las entradas en la matriz de masas pueden ser complejas; S3 no
impone ninguna restricción.
Ası́ que en las matrices de masas hay 4 × 5 = 20 parámetros complejos,
los cuales se deben comparar con los 4 × 9 = 36 parámetros del Modelo
Estandard con masas de Majorana de los neutrinos izquierdos.
Las matrices de masas se diagonalizan por matrices unitarias
†
Md(u,e) Ud(u,e)R = diag(md(u,e) , ms(c,µ) , mb,(t,τ ) ),
Ud(u,e)L
UνT Mν Uν
= diag(mν1 , mν2 , mν3 ).
(130)
(131)
Como las masas diagonales m pueden ser complejas, las masas fı́sicas están
dadas por los módulos |m|.2
Las matrices de mezcla están definidas de la manera siguiente
VCKM
†
†
= UuL
UdL , VM N S = UeL
Uν .
2
(132)
Denotaremos las masas fı́sicas de los neutrinos por mνi , pero νiL no son los eigenestados de masa.
32
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