CÁLCULO GRADO ONCE (auto correcion)1

Instituto Salesiano Pedro Justo Berrio
Departamento de Matemáticas
CÁLCULO GRADO ONCE
UNIDAD I: INECUACIONES Y VALOR ABSOLUTO
 INECUACIONES
CONCEPTOS BÁSICOS
Intervalo: Es un subconjunto de la recta real .Por lo tanto puede ser una semirrecta,
un segmento o la recta misma .Todo intervalo es infinito.
Existen 4 clases de intervalos: Abierto, cerrado, abierto a la derecha y abierto a la
izquierda.
Un intervalo es abierto cuando se puede tomar cualquier punto de él excepto sus
valores extremos .Se denota (a, b)
◄-----------------(---------------------------------------------)--------------------------►
─∞
a
b
∞
◄-----------------○----------------------○--------------------------►
─∞
a
b
∞
Un intervalo es cerrado cuando se puede tomar cualquier punto de él incluidos sus
valores extremos. Se denota [a,b]
◄------------------[-------------------------------------------]--------------------------►
─∞
a
b
∞
◄------------------●---------------------●--------------------------►
─∞
a
b
∞
Se dice que un intervalo es abierto a la derecha cuando se puede tomar cualquier
punto de él excepto su extremo derecho .Se denota [a,b)
◄-----------------[---------------------------------------------)--------------------------►
─∞
a
b
∞
◄-----------------●---------------------○---------------------------►
─∞
a
b
∞
Se dice que un intervalo es abierto a la izquierda cuando se puede tomar cualquier
punto de él excepto su extremo izquierdo. Se denota (a,b ]
◄-----------------(---------------------------------------------]--------------------------►
─∞
a
b
∞
◄-----------------○---------------------------------------------●--------------------------►
─∞
a
b
∞
Inecuación .Es toda desigualdad en la cual se presenta una o más variables. En este
curso se trabajará con una sola variable.
1
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La solución de una ecuación es un punto ( número real ) o conjunto de puntos, según
el grado de ella, para una inecuación su solución es un intervalo.
Para solucionar una inecuación es necesario tener en cuenta las propiedades de las
desigualdades:
Si a,b,c ,son números reales, se cumple :
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
𝑎2 ≥ 0
𝑎 ≥ 𝑏↔𝑎+ 𝑐 ≥ 𝑏+ 𝑐
𝑎 ≤ 𝑏↔𝑎 + 𝑐 ≤ 𝑏+ 𝑐
𝑎 ≥ 𝑏 ↔ 𝑎𝑐 ≥ 𝑏 𝑐 , 𝑠𝑖 𝑐 > 0
𝑎𝑏 ≥ 0 ↔ ( 𝑎 ≥ 0 ∧ 𝑏 ≥ 0 ) ∨ (𝑎 ≤ 0 ∧ 𝑏 ≤ 0 )
𝑎𝑏 ≤ 0 ↔ ( 𝑎 ≥ 0 ∧ 𝑏 ≤ 0 ) ∨ (𝑎 ≤ 0 ∧ 𝑏 ≥ 0 )
a ≥ b ↔ ac ≤ bc , si c< 0
a ≤ b ↔ ac ≥ b c, si c< 0
𝑎
≥ 0 ↔ ( 𝑎 ≥ 0 ∧ 𝑏 > 0 ) ∨ (𝑎 ≤ 0 ∧ 𝑏 < 0 )
𝑏
𝑎
𝑏
≤ 0 ↔ ( 𝑎 ≥ 0 ∧ 𝑏 < 0 ) ∨ (𝑎 ≤ 0 ∧ 𝑏 > 0 )
Uno de los métodos más sencillos para resolver una inecuación es el del cementerio o
de las cruces. Para aplicarlo, se reduce todo a un solo polinomio o a una fracción ,
desigualado a cero, se factoriza cada expresión y se tiene en cuenta hacia donde es
positivo o negativo. Cada uno de los factores resultantes. Se coloca todo en columna y
se aplica la ley de los signos. Para el resultado final se tiene en cuenta que ≥ o >
equivale a + , ≤ o < se toman los intervalos − .
Recordemos que:
∧∶ 𝒊𝒏𝒅𝒊𝒄𝒂 𝒊𝒏𝒕𝒆𝒓𝒔𝒆𝒄𝒄𝒊ó𝒏
∨∶ 𝒊𝒏𝒅𝒊𝒄𝒂 𝒖𝒏𝒊𝒐𝒏
EJEMPLOS
1. 3x2 ≥ x ┼ 2
Desigualando a cero:
3x2 ─ x ─2 ≥ 0
Factorizando:
(3x ┼ 2) (x ─ 1) ≥ 0
Considerando:
2
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3x ┼ 2≥ 0 → x ≥ ─2/3
x─1≥0 →x≥1
-------+ ++++++++ ++++ +++++
◄------------●---------------------------------------------------►
─∞
- 2/3
∞
------ -------------- ++++ +++++
◄-------------------------------------●--------------------------►
─∞
1
∞
+
−
+
Por lo tanto, la solución de esta inecuación
es
( ─ ∞ , ─2/3 ] U [ 1,∞ )
2 . 5x-2/2x+1 ≤ 2x-1 / 3x- 2
Desigualando a cero:
5x-2
2x+1
2x-1 ≤ 0
3x- 2
Reduciendo a una sola fracción
11x2 – 16x + 5 ≤ 0
(2x+1) (3x-2)
Factorizando el numerador:
(11x − 5)(x − 1)
≤0
(2x + 1)(3x − 2)
Analizando los factores tenemos:
--- ---- +++++++++ ++++++ ++++
11x – 5 ≥ 0 → x ≥ 5/11 ◄--------------●----------------------------------------------------►
─∞
5/11
∞
-------- ------------ -- -------- ++++
x-1 ≥ 0 → x ≥ 1
◄--------------------------------------------------------●----------►
─∞
1
∞
---- +++ ++++++++++ ++++++ +++ +
2x+1 >0 → x > - ½
◄------○------------------------------------------------------------►
─∞
-½
∞
--- ---- ---------- ---- ++++++ ++++
3x-2 >0 → x > 2/3
◄----------------------------------------○--------------------------►
─∞
2/3
∞
+
+
+
Luego la solución de la inecuación es ( - ½, 5/11 ] U ( 2/3,1 ]
3
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9−25x2
3.
6x2 +5x−6
<0
Factorando numerador y denominador :
( 3+ 5x) (3-5x ) / ( 2x+ 3) (3x-2) <0
Analizando cada factor, se tiene:
----- ------- +++++ ++++++ +++++
3+ 5x >0 → x > - 3/5 ◄----------------------○--------------------------------------------►
─∞
-3/5
∞
++++ +++++ +++++ -------- ------3- 5x >0 → x < 3/5 ◄-------------------------------------○-----------------------------►
─∞
3/5
∞
------ +++++ +++++ ++++++ +++++
2x+ 3> 0 → x > -3/2 ◄---------○---------------------------------------------------------►
─∞
-3/2
∞
----- ------- -------- --------- ++++++
3x-2 > 0 → x > 2/3
◄-----------------------------------------------------○-------------►
─∞
2/3
∞
+
+
Por tanto la solución de la inecuación es ( ─ ∞ ,-3/2 ) U (-3/5,3/5) U ( 2/3 , ∞ )
MÓDULO 1
Soluciona las siguientes inecuaciones
1.
2.
3.
4.
5.
6.
5𝑥+1
𝑥−2
7−𝑥
− 3𝑥−2 ≤ 2𝑥+1
6𝑥 2 −𝑥−2
10𝑥+3
2𝑥+3
6𝑥+7
2𝑥−1
2𝑥+1
≥ 16𝑥 2 −18𝑥−9 + 8𝑥−3
2𝑥−1
6𝑥−1
𝑥−1
6−𝑥
+ 9−16𝑥 2 ≤ 3−4𝑥
4𝑥+3
3𝑥+2
𝑥+2
3𝑥−1
𝑥+1
− 2𝑥−1 ≥ 2𝑥 2 +𝑥−6
𝑥−3
5−𝑥
− 2𝑥 2 −3𝑥−5 ≥ 2𝑥−1
5𝑥−8
𝑥−3
𝑥+2
− 4𝑥 2 −1 ≤ 3𝑥+2
6𝑥 2 +𝑥−2
4
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7.
8.
9𝑥+1
𝑥−1
7𝑥−5
− 10𝑥 2 +7𝑥−12 ≥ 5𝑥−4
2𝑥+3
3𝑥−2
𝑥−2
𝑥−6
+ 𝑥−3 ≤ 8𝑥 2 −23𝑥+24
5𝑥−8
PROBLEMAS SOBRE INECUACIONES
Introducción: Cuando se va a resolver los problemas sobre inecuaciones (ó
Ecuaciones) es necesario tener en cuenta:
1. Leer detenidamente, hasta entender el enunciado del problema.
2. Descubrir las variables que intervienen y asignarles una letra.
3. Obtener un número de ecuaciones igual al número de variables.
4. Imaginar una situación real o similar y hacer el proceso con las variables
(letras) empleadas.
5. Solucionar las ecuaciones y comparar los resultados con la realidad.
EJEMPLOS
I.
En cierto estanque se crían peces. Si se introducen “n” de ellos allí, se
sabe que la ganancia de peso promedio de cada pez es de (600 – 3n)
gramos. Determine las restricciones de “n” si la ganancia total en peso
de todos los peces debe ser mayor que 28 800 gramos.
Sea:
n : # total de peces
Ganancia total = (# total de peces)(ganancia en peso / pez)
Luego: 𝑛(600 – 3𝑛) ≥ 28 800
Resolviendo: 600𝑛 − 3𝑛2 − 28800 ≥ 0
Multiplicamos por (-1) para ordenar el trinomio:
3n2 − 600n + 28800 ≤ 0, simplificamos por 3 y obtenemos:
𝑛2 − 200𝑛 + 9600 ≤ 0
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Factorando: (𝑛 − 120)(𝑛 − 80) ≤ 0
(𝑛 − 120) ≥ 0 → 𝑛 ≥ 120
------ -------------- +++++
-∞
120
∞
(𝑛 − 80) ≥ 0 → 𝑛 ≥ 80
------ +++++++++++++++
-∞
+
80
+
∞
𝐒 = [𝟖𝟎, 𝟏𝟐𝟎]
R/ Se deben introducir entre 80 y 120 peces
II.
Un peluquero atiende en promedio a 120 clientes a la semana y les
cobra $ 4 por corte. Por cada incremento de 50c en el precio, se pierden
8 clientes. ¿Qué precio máximo deberá fijar para obtener ingresos
mínimos de $ 520?
Sea:
x : incrementos a realizar
Ingreso = ( # clientes)(costo / cliente)
Luego: (120 − 8x)(4 + 0.50x) ≥ 520
Operando: 480 + 60𝑥 − 32𝑥 − 4𝑥 2 − 520 ≥ 0
Simplificando y ordenado tenemos: −4𝑥 2 + 28𝑥 − 40 ≥ 0
Dividiendo por (−𝟒), obtenemos: 𝑥 2 − 7𝑥 + 10 ≤ 0
Factorando: (𝑥 − 5)(𝑥 − 2) ≤ 0
Resolviendo:
(𝑥 − 5) ≥ 0 → 𝑥 ≥ 5
-∞
(𝑥 − 2) ≥ 0 → 𝑥 ≥ 2
------ -------------- +++++
5
∞
------ +++++++++++++++
-∞
+
2
+
∞
𝐒 = [𝟐, 𝟓]
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Por lo tanto; el máximo número de incrementos es de 5 y el precio
máximo es :
𝒑 = 𝟒 + 𝟎. 𝟓𝟎(𝟓)
𝒑 = 𝟒 + 𝟐. 𝟓𝟎
𝒑 = 𝟔. 𝟓𝟎
R/ Deberá fijar un precio máximo de $ 6.50
III.
Una empresa puede vender todos las unidades de un artículo a $ 40. Si
tiene costos fijos mensuales de $ 1500 y gasta en materiales $ 15;
¿Cuántos artículos deberá producir y vender si desea una ganancia de
más de $ 3500 al mes?
Sea:
𝑥 = # 𝑎𝑟𝑡í𝑐𝑢𝑙𝑜𝑠 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑖𝑑𝑜𝑠 𝑦 𝑣𝑒𝑛𝑑𝑖𝑑𝑜𝑠
𝐺𝑎𝑛𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 = 𝐼𝑛𝑔𝑟𝑒𝑠𝑜𝑠 − 𝐸𝑔𝑟𝑒𝑠𝑜𝑠
Luego:
40𝑥 − (1500 + 15𝑥) > 3500
Operando:
40𝑥 − 1500 − 15𝑥 > 3500
25𝑥 > 5000
𝑥>
5000
25
𝑥 > 200
R/ Se deben producir y vender más de 200 artículos
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EJERCICIOS PROPUESTOS
MÓDULO Nº 2
(PROBLEMAS
DE
INECUACIONES):
1. (Decisión de producción). Un fabricante puede vender todas las
unidades que produce al precio de $ 30 cada una. Tiene costos fijos de
$ 12.000 la mes; y además, le cuesta $ 22 producir cada articulo.
¿Cuántas unidades debe producir y vender al mes la compañía para
obtener utilidades?
2. (Utilidades del fabricante).Un fabricante de aparatos de alta fidelidad
puede vender todas las unidades producidas al precio de $ 150 cada
una. Tiene costos fijos a la semana de $ 15.000 y costos por unidad de $
100 en materiales y mano de obra. Determine el número de aparatos de
alta fidelidad que deberá fabricar y vender cada semana con el propósito
de obtener utilidades de por lo menos $ 1.000? R/ 320
3. (Decisiones de fabricación). Una empresa automotriz dese saber si le
conviene fabricar sus propias correas para el ventilador, que ha estado
adquiriendo de proveedores externos a $ 2.50 cada unidad. La
fabricación de las correas por la empresa incrementará sus costos fijos
en $ 1.5000 al mes, pero sólo le costará $ 170 fabricar cocada correa.
¿Cuántas correas debe utilizar empresa cada mes para justificar la
fabricación de sus propias correas?
4.
(Decisiones sobre contratación de maquiladores). Una empresa
puede encomendar a un contratista que empaque cada unidad de su
producto a un costo de $ 2.75. por otra parte, la empresa puede
empacar sus productos instalando una maquina empaquetadora. Su
instalación incrementará los costos fijos de la empresa a $ 2.000 al mes
y los costos mismos de empaquetamiento en $ 1.50 por unidad.
¿Cuántas unidades tendría que producir al mes para que la instalación
de la maquina empaquetadora fuera rentable?
5. (Publicación de revistas). El costo de la publicación de cada ejemplar
de la revista semanal Compre y venda es de 35c. Los ingresos por
ventas de distribución son de 30c por ejemplar, y los ingresos por
publicidad del 20% sobre los ingresos obtenidos por ventas más allá de
los 2.000 ejemplares. ¿Cuántos ejemplares deberá publicar y vender
cada semana para obtener ganancias de al menos $ 1.000? R/ Vender
al menos 112 000
6. (Publicación de revistas). El editor de una revista mensual tiene costos
de edición de 60.5c por ejemplar. El ingreso por ventas de distribución
es de 70c por ejemplar, y los ingresos por publicidad de 15% sobre
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obtenidos por ventas más allá de los 20.000 ejemplares. ¿Cuántos
ejemplares deberá publicar y vender al mes para asegurar utilidades que
sobrepasen los $ 4.000? R/ 30 500
7. (Ingresos del fabricante). Al precio de p por unidad, x unidades de
cierto artículo pueden venderse al mes en le mercado, con p = 600 - 5x.
¿Cuántas unidades deberán venderse cada mes con objeto de obtener
ingresos por lo menos de $ 18.000? R/ 60 Unidades
8. (Ingresos del fabricante). Un fabricante puede vender x unidades de un
producto cada semana al precio de p dólares por unidad, en donde p =
200 – x. ¿Qué número de unidades deberá venderse a la semana para
obtener ingresos mínimos por $ 9 900?
9. (Decisiones de producción). En el ejercicio 7, si cuesta (800 + 75x)
dólares producir x unidades, ¿Cuántas unidades deberán producirse y
venderse cada mes con objeto de obtener una utilidad de al menos $ 5
500?
10. (Decisiones sobre fijación de precios). En el ejercicio 8, si cuesta
(2800 + 45x) dólares producir x unidades, ¿A qué precio p deberá
venderse cada unidad para generar una utilidad semanal de por lo
menos $ 32 000?
11. (Utilidades). Un fabricante puede vender todas las unidades de un
producto a $ 25 cada una. El costo C (en dólares) de producir x
unidades cada semana está dado por C = 3000 + 20x – 0.1𝑥 2 . ¿Cuántas
unidades deberán producirse y venderse a la semana para obtener
alguna utilidad?
12. (Ingresos del editor). Un editor puede vender 12.000 ejemplares de un
libro a un precio de $ 25 cada uno. Por cada dólar de incremento en el
precio, las ventas bajan en 400 ejemplares. ¿Qué precio máximo deberá
fijarse a cada ejemplar con objeto de lograr ingresos de por lo menos de
$ 300.000? R/ $ 30
13. (Arquitectura). Un granjero desea delimitar un terreno rectangular y
tiene 200 yardas de cerca disponible. Encuentre las dimensiones
posibles del terreno si su área debe ser al menos 2100 yardas
cuadradas.
14. (Inversiones). Un accionista invierte $ 100 a un interés anual del R por
ciento y otros $ 100 a 2R por ciento anual. Si el valor de las dos
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inversiones debe ser de al menos $ 224.80 después de 2 años, ¿Qué
restricciones deben establecerse sobre R?
15. (Política de fijación de precios). Un supermercado se encuentra con
grande existencias de manzanas que debe vender rápidamente. El
gerente sabe que si las manzanas se ofrecen a p centavos por libra,
venderá x libras,
con x = 1000 – 20p. ¿Qué precio deberá fijar
con el fin de obtener ingresos por lo menos de $ 120?
 VALOR ABSOLUTO
Definición: El valor absoluto de un número real “a”, denotado por ∥ 𝑎 ∥.
Es la distancia que existe entre el número “a” y el cero (“0”)en la recta
real. Esta dado por la expresión:
∥ 𝒂 ∥= {
𝒂; 𝒔𝒊 𝒂 ≥ 𝟎
}
−𝒂; 𝒔𝒊 𝒂 < 0
Ejemplos
1. ∥ −
√7
4
∥= − (−
√7
)
4
⇒
√7
4
2. ∥ −25 ∥= −(−25) ⇒ 25
7
7
8
8
∥ ∥=
3.
Propiedades del valor absoluto
∀𝑎, 𝑏 ∈ ℝ, 𝑠𝑒 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒:
1. ∥ 𝑎 ∥2 = 𝑎 2
2. ∥ 𝑎 ∥≥ 0
3. ∥ 𝑎𝑏 ∥=∥ 𝑎 ∥∗∥ 𝑏 ∥
4. ∥
𝑎
𝑏
∥=
∥𝑎∥
∥𝑏∥
;𝑏 ≠ 0
5. ∥ 𝑎 + 𝑏 ∥≤∥ 𝑎 ∥ +∥ 𝑏 ∥
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ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO
Cuando se va a resolver una ecuación con valor absoluto, es
indispensable tener en cuenta la siguiente propiedad:
∥ a ∥= b ≥ 0 ∧ (a = b ∨ a = −b)
I)
II)
III)
Ejemplos:
1. ∥ 5𝑥 − 1 ∥= 3𝑥 2 − 3
Aplicando la propiedad I) , se tiene:
3x 2 − 3 ≥ 0 ⇒ x 2 − 1 ≥ 0 ⇒ (x + 1)(x − 1) ≥ 0
Resolviendo, tenemos que:
x + 1 ≥ 0 ⇒ x ≥ −1
x−1≥0⇒x>1
------ +++++++++++++++
−∞
-1
∞
---------------------+++++
−∞ +
1
+
∞
𝑺 = (−∞, −1] ∪ [1, ∞)
Aplicando la propiedad II) :
5x − 1 = 3x 2 − 3 ⇒ 3x 2 − 5x − 2 = 0
Factorando:
(3x + 1)(x − 2) = 0
Luego:
3x + 1 = 0 ∨ x − 2 = 0
𝑥=−
1
∨ 𝑥=2
3
Aplicando la propiedad III) :
3x 2 + 5x − 4 = 0
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Resolviendo por la fórmula general, obtenemos:
x=
−5 ± √25 + 48
6
x1 =
−5 + √63
5 + √63
∨ x2 = −
6
6
Teniendo en cuenta la solución I), sólo cumplen la condición.
x=2 ∧ 𝑥=−
5+√63
6
Módulo nº3
Resuelva:
1. ∥ 3𝑥 − 4 ∥= 2𝑥 − 1
R/ 𝑥 = 3
𝑥=
2. ∥ 2𝑥 + 1 ∥= 𝑥 2 − 14
5
6
R/ 𝑥 = 5
𝑥 = 2√14 − 1
𝑥 = −2√14 − 1
3. ∥ 7𝑥 + 2 ∥= 𝑥 2 + 8
4. ∥ 2𝑥 − 3 ∥= 𝑥 2 − 11
5. ∥ 7𝑥 − 5 ∥= 𝑥 2 + 1
Inecuaciones con valor absoluto
Para resolver una inecuación con valor absoluto, se debe tener presente una
de las 2 siguientes propiedades:
12
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1. ∥ 𝑎 ∥≤ 𝑏 ⇔ 𝑏 ≥ 0 ∧ 𝑎 ≤ 𝑏 ∧ 𝑎 ≥ −𝑏
Equivalente a: −𝑏 ≤ 𝑎 ≤ 𝑏
2. ∥ 𝑎 ∥≥ 𝑏 ⇔ 𝑎 ≥ 𝑏 ∧ 𝑎 ≤ −𝑏
Ejemplos:
Resuelva:
1. ∥
7𝑥−4
𝑥+3
−
𝑥−2
2𝑥 2 +𝑥−15
∥≤
8−9𝑥
2𝑥 2 +𝑥−15
En este caso se debe tener en cuenta la propiedad:
∥ 𝑎 ∥≤ 𝑏 ⇔ 𝑏 ≥ 0 ∧ 𝑎 ≤ 𝑏 ∧ 𝑎 ≥ −𝑏
i)
ii)
iii)
Teniendo en cuenta la 1ª condición:
I.
8−9𝑥
2𝑥 2 +𝑥−15
≥0
Factorando:
8 − 9𝑥
≥0
(2𝑥 − 5)(𝑥 + 3)
Resolviendo la desigualdad:
8
8 − 9x ≥ 0 ⇒ x ≤ 9
+++++++++ --------------8
−∞
∞
9
5
2x − 5 > 0 ⇒ x > 2
--------------------- ++++
5
−∞
8
8 − 9x > 0 ⇒ x ≤ 9
∞
2
------+++++++++++ ++++
−∞
−3
+
∞
-
+
Por lo tanto:
8 5
𝑆𝑖) = (−∞, −3) ∪ [ , )
9 2
13
-
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Aplicando la 2ª condición:
7𝑥−4
II.
𝑥+3
−
𝑥−2
2𝑥 2 +𝑥−15
≤
8−9𝑥
2𝑥 2 +𝑥−15
Desigualando a cero y simplificando, obtenemos:
7𝑥 − 4
𝑥−2
8 − 9𝑥
−
−
≤0
𝑥 + 3 (2𝑥 − 5)(𝑥 + 3) (2𝑥 − 5)(𝑥 + 3)
(7𝑥 − 4)(2𝑥 − 5) − (𝑥 − 2) − (8 − 9𝑥)
≤0
(2𝑥 − 5)(𝑥 + 3)
14𝑥 2 − 43𝑥 + 20 − 𝑥 + 2 − 8 + 9𝑥
≤0
(2𝑥 − 5)(𝑥 + 3)
14𝑥 2 − 35𝑥 + 14
≤0
(2𝑥 − 5)(𝑥 + 3)
Factorizando:
(2𝑥 − 1)(𝑥 − 2)
≤0
(2𝑥 − 5)(𝑥 + 3)
Resolviendo la inecuación, obtenemos:
1
2x − 1 ≥ 0 ⇒ x ≤ 2
---- ---- +++++++++++++
−∞
x−2 ≥0⇒ x > 2
1
---- ---- ------- ++++++++
−∞
2
∞
5
2x − 5 > 0 ⇒ x > 2
---- ---- ------ ------ +++
5
−∞
x + 3 > 0 ⇒ x > −3
∞
2
2
∞
---- ++++++++ ++++ ++++
−∞
−3
∞
+
+
+
Luego:
1
5
𝑆𝑖𝑖) = (−3, ] ∪ [ 2, )
2
2
14
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Aplicando la 3ª condición.
III.
7𝑥−4
𝑥+3
−
𝑥−2
2𝑥 2 +𝑥−15
≥−
8−9𝑥
2𝑥 2 +𝑥−15
Desigualando a cero y simplificando, obtenemos:
7𝑥 − 4
𝑥−2
8 − 9𝑥
−
+
≥0
𝑥 + 3 (2𝑥 − 5)(𝑥 + 3) (2𝑥 − 5)(𝑥 + 3)
(7𝑥 − 4)(2𝑥 − 5) − 𝑥 + 2 + 8 − 9𝑥
≥0
(𝑥 + 3)(2𝑥 − 5)
14𝑥 2 − 43𝑥 + 20 − 𝑥 + 2 + 8 − 9𝑥
≥0
(𝑥 + 3)(2𝑥 − 5)
14𝑥 2 − 53𝑥 + 30
≥0
(𝑥 + 3)(2𝑥 − 5)
Aplicando la fórmula general para factorar el numerador, obtenemos que:
𝑥=
53 ± √2809 − 1680
28
𝑥=
53 ± √1129
28
𝑥=
53 ± 33.60
28
𝑥1 =
53 + 33.60
⇒ 𝑥1 = 3.09 ⇒ (𝑥 − 3.09)
28
𝑥2 =
53 − 33.60
⇒ 𝑥2 = 0.69 ⇒ (𝑥 − 0.69)
28
La inecuación anterior equivale a:
(𝑥 − 3.09)(𝑥 − 0.69)
≥0
(𝑥 + 3)(2𝑥 − 5)
15
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Resolviendo la inecuación, se tiene que:
x − 3.09 ≥ 0 ⇒ x ≥ 3.09
---------------------- ++++
−∞
3.09 ∞
x − 0.69 ≥ 0 ⇒ x ≥ 0.69
-------- ++++++++ +++++
−∞
0.69
∞
x + 3 ≥ 0 ⇒ x > −3
---++++++++++++++++++
−∞
−3
∞
5
2x − 5 ≥ 0 ⇒ x > 2
--------------- +++++++++
5
−∞
∞
2
+
-
+
-
+
Luego:
5
𝑆𝑖𝑖𝑖) = (−∞, −3) ∪ [0.69, ) ∪ [3.09, ∞)
2
Por lo tanto la solución de la inecuación planteada es:
−∞
𝑆𝑖)
𝑆𝑖𝑖)
𝑆𝑖𝑖𝑖)
1
−3
)
(
)
8
0.69
2
9
2
[
]
[
[
𝟓
𝑺𝑻 = [𝟐, ]
𝟐
2. ∥
7𝑋+1
5𝑋−3
−
5𝑋+3
5𝑋 2 +2𝑋−3
∥≥
7𝑋+1
5𝑋 2 +2𝑋−3
En este caso hay que tener en cuenta la propiedad:
∥ a ∥ ≥ b ⇔ a ≥ b ∨ a ≤ −b
i)
ii)
16
5
2
)
)
)
3.09
(
∞
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Aplicando la 1ª condición, tenemos que:
I.
7𝑥+1
5𝑥−3
−
5x+3
5x2 +2x−3
≥
7x+1
5x2 +2x−3
Desigualando a cero y simplificando, tenemos que:
7x + 1
5x + 3
7x + 1
−
−
≥0
5x − 3 (5x − 3)(x + 1) (5x − 3)(x + 1)
(7x + 1)(x + 1) − 5x − 3 + 7x − 1
≥0
(5x − 3)(x + 1)
7𝑥 2 + 8𝑥 + 1 − 5𝑥 − 3 − 7𝑥 − 1
≥0
(5𝑥 − 3)(𝑥 + 1)
7𝑥 2 − 4𝑥 − 3
≥0
(5𝑥 − 3)(𝑥 + 1)
(7𝑥 + 3)(𝑥 − 1)
≥0
(5𝑥 − 3)(𝑥 + 1)
Resolviendo la inecuación, se obtiene:
3
7x + 3 ≥ 0 ⇒ x ≥ − 7
---------- +++++++++ +++
3
−∞
x−1 ≥0⇒ x ≥ 1
−7
------------------------ +++
−∞
1
∞
3
5x − 3 > 0 ⇒ x > 5
------------------++++ +++
3
−∞
x + 1 > 0 ⇒ x > −1
∞
5
∞
---- ++++ +++++++++ +++
−∞
−1
∞
+
+
+
Por tanto:
3 3
𝑆𝑖) = (−∞, −1) ∪ [− , ) ∪ [1, ∞)
7 5
17
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Aplicando la 2ª condición:
7𝑥+1
II.
5𝑥−3
−
5𝑥+3
5𝑥 2 +2𝑥−3
≤−
7𝑥+1
5𝑥 2 +2𝑥−3
Desigualando a cero y simplificando:
7𝑥 2 + 8𝑥 + 1 − 5𝑥 − 3 + 7𝑥 + 1
≤0
(5𝑥 − 3)(𝑥 + 1)
7𝑥 2 + 10𝑥 − 1
≤0
(5𝑥 − 3)(𝑥 + 1)
Aplicando la fórmula general para factorar el numerador, se tiene que:
𝑥=
−10 ± √100 + 28
14
𝑥=
−10 ± √128
14
𝑥=
−10 ± 11.31
14
𝑥1 =
𝑥2 =
−10 + 11.31
⇒ 𝑥1 = 0.09 ⇒ (𝑥 − 0.09)
14
−10−11.31
14
⇒ 𝑥2 = −1.52 ⇒ (𝑥 + 1.52)
La inecuación en consideración, equivale a:
(𝑥 − 0.09)(𝑥 + 1.52)
≤0
(5𝑥 − 3)(𝑥 + 1)
Resolviendo esta inecuación, se tiene:
x − 0.09 ≥ 0 ⇒ x ≥ 0.09
-----------------++++ +++
18
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−∞
0.09
∞
x + 1.52 ≥ 0 ⇒ x ≥ −1.52
---- ++++++++ ++++ ++++
−∞
−1.52
∞
3
5x − 3 ≥ 0 ⇒ x > 5
-----------------------++++
3
−∞
x + 1 ≥ 0 ⇒ x > −1
5
--------- +++++++++++++
−∞
−1
∞
+
+
+
Luego:
3
𝑆𝑖𝑖) = [−1.52, −1) ∪ [0.09, )
5
Por tanto:
3 3
𝑆𝑇 = (−∞, −1) ∪ [− , ) ∪ [1, ∞)
7 5
EJERCICOS Propuestos de valor absoluto
Módulo nº4
1. ∥
4x−5
2. ∥
7x+1
3. ∥
7x+1
4. ∥
7x+1
5. ∥
7x−4
6. ∥
x+1
7. ∥
2x+1
8. ∥
x+7
2x−5
3x+1
3x+1
2x+1
2x+1
x+3
−
−
−
−
−
−
2x−1
4x−3
x−3
2x2 −x+10
x−1
6x2 −x+1
x−1
x−2
6x2 −7x+5
x−2
6x2 −7x−5
x−3
−
x+4
2x−5
9−x
3x+1
19−x
∥≤
10x2 +x−2
17−x
∥≤
6x2 −7x+2
12−x
∥≤
∥≤
6x2 +x−2
16−3x
∥≤
∥≤
10x2 +x−2
6x2 +x−2
−
∞
∥≤
3x+2
8x2 −10x+3
6x2 −7x−5
9−x
2x2 +x−15
11−x
2x2 +x−2
∥≤
4−x2
8x2 −10x+3
19
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9. ∥
10. ∥
2x−3
3x−5
4x+1
3x+2
−
−
x+3
6x2 −7x−5
3x−2
2x−1
∥≤
∥≤
4−x2
6x2 −7x−5
1−x2
6x2 +x−2
UNIDAD II: FUNCIONES
DEFINICIÓN: Sea A ∧ B, dos conjuntos; ninguno de ellos vacios. Se denomina
𝐹
función de A en B, denotado 𝐹: 𝐴 → 𝐵 ó 𝐴 → 𝐵, a toda relación que asigna a
cada elemento de A un elemento de B, y sólo uno.
Una función puede darse por medio de:
I.
II.
III.
IV.
Una ecuación
Un diagrama sagital
Un diagrama cartesiano (gráfica)
Pares ordenados
I.
𝐹(𝑥) = 𝑦 = 3𝑥 2 − 5𝑥 − 7
II.
1
3
5
7
25
(
)
ó
𝑎
𝑏
𝑐
𝑑
𝑒
𝑓
(𝑔)
III. 𝐹: 𝐴 → 𝐵 = {(1, 𝑏), (3, 𝑐), (5, 𝑑)(7, 𝑒), (25, 𝑒)}
IV.
20
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B
g
f
e
d
c
b
a
A
1
3
5
7
25
Se debe tener en cuenta que para que haya función en cada forma, se cumplan
las siguientes condiciones:
En el Diagrama Sagital: De cada elemento del primer conjunto (A) debe
salir una sola flecha
En los pares ordenados: No pueden existir dos elementos con la
primera componente igual y las segundas componentes diferentes.
En el Diagrama Cartesiano ó Gráfica: Al trazar una recta vertical sólo
puede haber un punto en cada una de ellas ó cortar la curva una sola
vez.
EJERCICIO
Conteste Verdadero ( V ) ó Falso ( F ) en cada una de las siguientes premisas:
1. Toda recta es una función (
)
2. Toda parábola cóncava hacia arriba ó hacia abajo representa una
función (
)
3. Toda circunferencia es una función (
4. Toda elipse es una función (
)
)
5. Algunas hipérbolas son funciones (
Conceptos esenciales
21
)
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Dominio: Se denomina Dominio de una función F: A → B, denotado por
Dom (F) ó D(F) a todos los elementos del conjunto A.
Rango: Se llama Rango o recorrido ó conjunto imagen de una función F: A →
B, denotado por: R (F) ó I (F) al conjunto de elementos que están en B y son
imagen ó están relacionadas con algún elemento de A.
Función Real: es aquella función en la cual tanto el Dominio como el Rango, son
los números reales ó un subconjunto de ellos.
Cuando se da una función y no se especifica, se asume que son funciones
reales.
Dominio y rango
I.
Para hallar el dominio de una función y = F(x), se debe en cuenta lo
siguiente:
1. Despejar “y” en términos de “x”
2. Considerar:
a) Si hay una raíz con índice par, se hace el radicando mayor ó
igual a cero, es decir:
2n
y = √Q(x) ⇒ Q(X) ≥ 0
b) Si se obtiene una fracción, se hace el denominador diferente de
cero, es decir:
y=
II.
P(x)
⇒ R(X) ≠ 0
R(x)
Para hallar el rango de una función y = F(X), se despeja “x” en términos de
“y” y se tiene en cuenta las condiciones a) ∧ b) del Dominio.
Ejemplos
Hallar Dom (F) ∧ R(F) en cada una de las funciones dadas
1. F(x) = √3x 2 + x − 2
22
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2.
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