Análisis Espectral de Señales determinísticas Ejercicio 1: DFT: error de truncamiento / sub-muestreo Calcule la transformada discreta de Fourier de X i (n) DFT {xi (k )} de las siguientes series: x1 (k ) sin(k / 8), para k =0 x2 (k ) sin(k / 2), para k =0 x3 (k ) sin(k 3 / 2), para k =0 7 así como también k 0 7 así como también k 0 7 así como también k 0 63 63 63 Utilice Matlab la función fft(x). Grafique la señal en el dominio de tiempo xi(k), así como los valores absolutos de los espectros de |Xi(n)| para ambos rangos de índices de tiempo. En cuales casos es el espectro de la señal continua sinusoidal xi(t), reproducida exactamente? Ejercicio 2: DFT de series con valores reales. Mediante el uso de la transformada discreta de Fourier (DFT) al transformar una serie de valores reales, el resultado contiene redundancia: es un par conjugado. Este detalle puede ser utilizado para transformar una serie de valores reales x1(k) de longitud 2N utilizando una FFT de N puntos. Escriba una función en Matlab X1 = lfft (x1), que use este detalle de la DFT aplicada a un conjunto real de datos. x1 tiene que ser un vector renglon: Determinar la longitud de la serie x1. Considere el hecho de una longitud impar de la serie. Descomponer la serie x1 en dos sub-series descritas por las siguientes ecuaciones: y (k ) x1 (2k ) z (k ) x1 (2k 1) k 0,...., N 1 Construya la serie complejo x(k) utilizando las sub-series y(k) y z(k). x( k ) y ( k ) j z ( k ) Transforme x(k) al espectrum de X(n) y extiéndalo a una longitud de N+1. Puede usar el comando X=[X X(1)]. Ahora determine los espectros de las sub-series y(k) y z(k) usando las siguientes ecuaciones: 1 Y (n) [ X (n) X * ( N n)] 2 1 Z (n) [ X (n) X * ( N n)] 2j Eq.3 Eq.4 Ayuda de Matlab: Para las ecuaciones 3 y 4, puede usar el comando de Matlab fliplr(). El espectro solicitado x1(k) deberá ser calculado mediante la ecuación: X1 (n) Y (n) e j n/ N Z (n) Escriba un programa en matlab, que muestre la exactitud mediante esta aproximación, en comparación con la función de Matlab X1=fft(x1). Ejercicio 3: Comparación de funciones ventana. Grafique los coeficientes f(k) y el valor absoluto del espectro normalizado F e j / F e j 0 (en dB) de una ventana rectangular, Hann, Hamming, Blackman y una Dolph-Chebyshev (48.6 dB y 76.1 dB en la banda de atencuación) con N=63 coeficientes. Compare las atenuaciones en las bandas de paro y la resolución espectral obtenida con el ventaneo. Ayuda en Matlab: Las funciones ventana de longitud N son boxcar(N) (rectangular), hanning(N), haming(N), blackman(N) y chebwin(N,dB). La función de frecuencia continua F e j puede ser aproximada por una DFT F(n) de 512 puntos, es decir F n F e j para 2 n / 512 . El valor absoluto puede ser obtenido con plot(20*log10(abs(fft(f,512)))). Ejercicio 4: Reducción de la fuga con el ventaneo. Grafique las dos siguientes funciones en tiempo x1 (k ) sin(k / 8) y x2 (k ) sin(k /10) para k 0 7 y k 0 63 Así como el valor absoluto de su FFT de 64 puntos Xi(n)=FFT{ xi(k)}. Ahora multiplique la serie de datos xiHm (k ) xi (k ) f Hm (k ) con una ventana Hamming f Hm (k ) y nuevamente grafique las dos series de tiempo de xiHm (k ) , así como también el valor absoluto de sus FFT´s de 64 puntos de xiHm (k ) . Cuales son los efectos de la ventana de Hamming en los valores absolutos de los coeficientes de la FFT? Ayuda de Matlab: El calculo y graficado de los resultados del ventaneo pueden ser manejados con stem(0:63,abs(fft(xi.*hamming(64).'))). Ejercicio 5: Atenuación de la banda lateral en la ventana de Blackman. Grafique el valor absoluto del espectro normalizado F e j / F e j 0 (en dB) de una ventana Blackman con N=32, N=64 y N=128 coeficientes. Determine (para esos valores de N) la razón del máximo valor y el segundo mayor valor. Que efecto puede ser observado aquí, así como también con las otras funciones ventana tradicionales?