Matemáticas 3 S EC U N DA R I A T E RC E RO G RA D O Guía para el maestro Bloque 3presentación / secuencia 1 Al maestro: La práctica docente exige cada día más de diferentes recursos para enfrentarla y lograr una educación de calidad. Por eso, Ediciones Castillo ha elaborado para usted esta Guía para el maestro, una herramienta que le facilitará el trabajo diario en el aula considerando los retos que plantea trabajar con el enfoque didáctico de los Programas de estudio 2011: • Abordar los contenidos desde contextos vinculados a la vida personal, cultural y social de los alumnos. • Estimular la participación activa de los alumnos en la construcción de sus conocimientos. • Contribuir al desarrollo de competencias para la vida, al perfil de egreso y a las competencias específicas de la asignatura. El trabajo con secuencias didácticas y proyectos, entendido como una estrategia de enseñanza y de aprendizaje para construir y reconstruir el propio conocimiento, representa, en cuanto a su metodología, una manera radicalmente distinta a la forma tradicional de enseñanza. Es por esto que la guía que ponemos a su alcance tiene como principal objetivo acompañarlo en cada una de las etapas que conforman el proceso de trabajo con las secuencias, señalando, en primer lugar, los conceptos, habilidades y actitudes que se desarrollarán, y los antecedentes que sobre los contenidos tienen los estudiantes. En cada una de las etapas de inicio, desarrollo y cierre, encontrará la explicación de su intención didáctica, así como sugerencias didácticas complementarias y respuestas a cada una de las actividades que conforman la secuencia. Asimismo, en esta guía encontrará el solucionario correspondiente a las evaluaciones tipo pisa y enlace que aparecen en el libro del alumno y una evaluación adicional por bloque recortable con la que usted podrá, si lo considera conveniente, realizar una evaluación diferente a sus alumnos. Al inicio de cada bloque le sugerimos un avance programático que le ayudará a planear y organizar bimestralmente su trabajo en el aula y un resumen del bloque en donde se especifican cuáles son los aprendizajes esperados y las competencias que se favorecerán. Se incluyen recomendaciones de otros recursos, como el uso del CD Recursos digitales para el docente elaborado por Ediciones Castillo como otra herramienta de apoyo a su trabajo en el aula, páginas de Internet, audios, películas, videos, libros, museos, entre otros. Los que participamos en la elaboración de esta guía sabemos que con su experiencia y creatividad logrará potenciar las intenciones didácticas aquí expuestas, y así conseguir que sus alumnos desarrollen, de manera natural, las habilidades y actitudes para el logro de los aprendizajes esperados y las competencias para la vida. 3 4 Estructura de la guía 10 BLOQUE 3 Bloque 3 Contenidos del bloque Competencias que se favorecen • Resolver problemas de manera autónoma. • Comunicar información matemática. • Validar procedimientos y resultados. • Manejar técnicas eficientemente. Aprendizajes esperados • Resuelve problemas que implican el uso de ecuaciones de segundo grado. • Resuelve problemas de congruencia y semejanza que implican utilizar estas propiedades en triángulos o en cualquier figura. contenidos del bloque Al inicio de cada bloque encontrará un resumen de los aprendizajes esperados y las competencias que se desarrollarán a lo largo de cada bloque. Sentido numérico y pensamiento algebraico. En este eje se concluirá el aprendizaje esperado de resolver problemas que implican el uso de ecuaciones de segundo grado con el estudio de la fórmula general y su aplicación. Forma, espacio y medida. Los contenidos de este eje son tres: en el primero, se aplican los criterios de congruencia y semejanza de triángulos para resolver problemas; en el segundo, se resuelven problemas geométricos mediante el teorema de Tales. En el tercer contenido, se concluye el aprendizaje esperado de resolver problemas de congruencia y semejanza que implican utilizar estas propiedades en triángulos o en cualquier figura con la aplicación de la semejanza en la construcción de figuras homotéticas. Manejo de la información. Uno de los temas que se estudian en este eje es el de proporcionalidad y funciones, en dos contenidos. El primero consiste en la lectura y construcción de gráficas de funciones cuadráticas para modelar diferentes fenómenos. En el segundo se extiende este mismo estudio a gráficas formadas por secciones rectas y curvas. En el último tema del eje y del bloque se estudia el cálculo de la probabilidad de ocurrencia de dos eventos independientes. BLOQUE 3 11 Avance programático 16 Sentido numérico y pensamiento algebraico Es una propuesta para planear y organizar, de manera bimestral, el trabajo en el aula, atendiendo a los aprendizajes esperados del libro del alumno. En él se indican los contenidos a desarrollar, así como el tiempo sugerido para abordarlos. Eje Patrones y ecuaciones Tema Figuras y cuerpos 17 18 19 20 21 22 23 Manejo de la información avance programático Semanas Forma, espacio y medida Aprendizajes esperados • Resuelve problemas que implican el uso de ecuaciones de segundo grado. • Resuelve problemas de congruencia y semejanza que implican utilizar estas propiedades en triángulos o en cualquier figura. Proporcionalidad y funciones Análisis y representación de datos Lección Contenido Páginas 14. La fórmula infalible Resolución de problemas que implican el uso de ecuaciones cuadráticas. Aplicación de la fórmula general para resolver dichas ecuaciones. 15. ¡Hágalo con triángulos! Aplicación de los criterios de congruencia y semejanza de triángulos en la resolución de problemas. 118-123 16. Tales para cuales Resolución de problemas geométricos mediante el teorema de Tales. 124-129 17. Dadme un punto de apoyo… y transformaré la figura Aplicación de la semejanza en la construcción de figuras homotéticas. 130-135 18. Gráficas de relaciones cuadráticas Lectura y construcción de gráficas de funciones cuadráticas para modelar diversas situaciones o fenómenos. 136-141 19. Con rectas y curvas Lectura y construcción de gráficas formadas por secciones rectas y curvas que modelan situaciones de movimiento, llenado de recipientes, etcétera. 142-147 20. Probabilidad de eventos independientes Cálculo de la probabilidad de ocurrencia de dos eventos independientes (regla del producto). 148-152 Habilidades digitales, Evaluación pisa, Evaluación enlace 112-117 153-158 Sugerencia. En el cd que acompaña a esta guía encontrará un generador de exámenes. 12 BLOQUE 3 / SECUENCIA 14 SD 14 La fórmula infalible Resolución de problemas que implican el uso de ecuaciones cuadráticas. Aplicación de la fórmula general para resolver dichas ecuaciones. Prepararse para la secuencia Aprendizaje esperado Esta secuencia contribuye a que el alumno alcance el aprendizaje esperado: Resuelve problemas que implican el uso de ecuaciones de segundo grado. Conceptos principáles: ecuación de segundo grado, incógnita, discriminante. Antecedentes • Resolución de problemas que impliquen el uso de ecuaciones cuadráticas sencillas, utilizando procedimientos personales u operaciones inversas. • Uso de ecuaciones cuadráticas para modelar situaciones y resolverlas usando la factorización. Ideas erróneas 1. Los alumnos suelen pensar que el término cuadrático puede ser sumado con el término lineal. 2. La incógnita no puede ser despejada a partir de los primeros dos términos de la ecuación, donde los alumnos factorizan y tratan de resolver con este recurso. Inicio a partir de lo que sé (pág. 112) Se plantea un problema en que los alumnos tendrán que relacionar el área dada de una región rectangular con una restricción perimetral. Resuelvo y aprendo (págs. 112-117) Los alumnos resolverán un problema a partir de su modelación algebraica obteniendo una ecuación completa de segundo grado para determinar las dimensiones de un rectángulo de área conocida. A partir de la forma general de la ecuación de segundo grado, los alumnos identificarán los coeficientes de ésta y el término independiente. Analizarán la naturaleza del discriminante de una ecuación de segundo grado para determinar el número de soluciones posibles de ésta. Consolido mis aprendizajes (pág. 117) Los alumnos refuerzan lo aprendido mediante la resolución de problemas prácticos empleando la fórmula general y manipulándola para observar su comportamiento con diferentes condiciones. prepararse para la secuencia Antes de iniciar la secuencia didáctica, indicamos cuáles son los aprendizajes esperados, los conceptos, habilidades y actitudes que se desarrollarán; así como los antecedentes que tienen los alumnos sobre los contenidos. También señalamos los propósitos de cada una de las fases de la secuencia: inicio, desarrollo y cierre. 5 BLOQUE 3 / SECUENCIA 14 13 Solucionario y sugerencias didácticas Solucionario y sugerencias didácticas En cada una de las etapas de la secuencia encontrará los propósitos de las actividades, algunas sugerencias didácticas adicionales y las respuestas a las actividades del libro del alumno. Encontrará la leyenda “Respuesta libre” cuando sea el caso. 14 La fórmula infalible SECUENCIA Bloque 3 b) Identifiquen los coeficientes a, b y c en cada ecuación cuadrática. Realicen las operaciones necesarias para obtener ecuaciones equivalentes que les permitan responder cada situación. Inicio a partir de lo que sé En equipos analicen y resuelvan el siguiente problema. • 4x 2 1 3x 1 9 5 0 Sonia tiene un terreno que quiere utilizar como jardín para fiestas y eventos sociales; en medio del jardín pretende colocar un piso rectangular cubierto con mosaicos y rodearlo con cenefas como muestra la figura 3.1. Si tiene 46.75 m2 de mosaico y 28 metros lineales de cenefa, ¿cuáles deben ser las dimensiones del piso para aprovechar el mosaico y la cenefa sin que falte ni sobre alguno de los dos materiales? a) Formulen una expresión algebraica que represente el problema. Coeficiente cuadrático (a): Coeficiente lineal (b): Coeficiente independiente (c): • (x 1 1) (x 1 9) 5 3 Coeficiente cuadrático (a): Coeficiente lineal (b): Coeficiente independiente (c): b) Resuelvan la expresión anterior e indiquen su procedimiento para encontrar la solución, así como las dificultades que enfrentaron. c) ¿Cómo podrían comprobar si su respuesta es correcta? • 30 5 9x 2 Coeficiente cuadrático (a): Coeficiente lineal (b): Coeficiente independiente (c): • x (2x 1 7) 5 0 • 0 5 2x(5x 1 3) Coeficiente cuadrático (a): Coeficiente lineal (b): Coeficiente independiente (c): • (x 2 2) (x 1 2) 5 0 Coeficiente cuadrático (a): Coeficiente lineal (b): Coeficiente independiente (c): Fig. 3.1 Resuelvo y aprendo Coeficiente cuadrático (a): Coeficiente lineal (b): Coeficiente independiente (c): • 190x 2 x 2 5 67 La fórmula general Coeficiente cuadrático (a): Coeficiente lineal (b): Coeficiente independiente (c): 1. Formen equipos y resuelvan lo siguiente. a) Calculen las dimensiones de un rectángulo si su largo mide 4 metros más que su ancho y su área es de 45 m2. En grupo expongan sus resultados y procedimientos; compárenlos y determinen si son correctos. • Formulen una ecuación cuadrática que represente el problema, la cual debe tener un término con la incógnita elevada al cuadrado. Una forma de resolver ecuaciones cuadráticas en su forma general consiste en aplicar la formula general de las ecuaciones de segundo grado, que se expresa de la siguiente manera: x= • Reescriban la ecuación de modo que uno de los miembros sea igual a cero. −b ± b 2 − 4ac 2a donde a, b y c corresponden a los coeficientes de la forma general. El símbolo se lee “más, menos” y significa que se deben hacer dos operaciones: una sumando la parte de la raíz al valor de 2b y otra restándolo; es decir, se deben resolver dos ecuaciones para obtener la o las soluciones de la ecuación de segundo grado: • ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo? Toda ecuación de segundo grado o ecuación cuadrática se puede escribir de la siguiente forma: ax 2 1 bx 1 c 5 0, que se conoce como forma general de las ecuaciones de segundo grado, donde a es el coeficiente que acompaña al término cuadrático (x 2) y debe ser distinto de 0 (¿por qué?); b corresponde al coeficiente que acompaña al termino lineal (x), y c es el coeficiente independiente. x= 2 11 g. pá 112 SEXMA3SB_B3_VB.indd 112 3 11 g. pá 113 SEXMA3SB_B3_VB.indd 113 19/07/13 15:30 Inicio a partir de lo que sé 2 −b − b 2 − 4ac y x = −b + b − 4ac 2a 2a 19/07/13 15:30 Página 114 Página 112 Sugerencia didáctica. Trace un dibujo del piso rectangular y señale en él las dimensiones por calcular. c) Represéntese con x el ancho del rectángulo. La ecuación por resolver es x2 + 4x − 45 = 0, en la que a = 1, b = 4 y c = −45. ± 2 x = –b b − 4ac 2a a) x(14 − x) = 46.75 b) x = 5.5 c) Respuesta libre. Resuelvo y aprendo Página 112 La fórmula general 1. a) • x2 + 4x = 45 • x2 + 4x − 45 = 0 • Las dimensiones son de 9 × 5 m. = –4 ± 42 – 4(1) (−45) 2(1) = –4 ± 16 + 180 2 = –4 ± 196 2 ± = –4 196 , 2 Página 113 b) • a = 4, b = 3, c = 9 • a = 2, b = 7, c = 0 • a = 10, b = 6, c = 0 • a = 1, b = 0, c = −4 • a = 1, b = −190, c = 67 • a = 9, b = 0, c = −30 • a = 1, b = 10, c = 6 de donde x = 10 = 5 y x = − 18 = −9, pero este 2 2 último valor no tiene sentido. Como el largo mide 4 m más que el ancho, las dimensiones del terreno son 5 × 9 m, que coinciden con la solución del problema del inciso a). Manos a la ecuación 2. a) 2 m • La ecuación tiene dos soluciones: 2 y −25. 36 BLOQUE 3 / HABILIDADES DIGIALES Bloque 3 HABIlIDADeS DIGITAleS Habilidades digitales Adivina y grafica la función cuadrática Ahora trabajaremos con un software para graficar, con el que aplicarás tus conocimientos sobre funciones cuadráticas. ¡Adelante! Opción cuadrícula Te invito a… 1. Abre el programa (figura 1), da clic sobre el menú Ventana y selecciona la opción Adivinar: se desplegará una nueva ventana llamada Adivinar mi ecuación, que muestra una gráfica que corresponde a una función cuadrática (figura 2). Entrar a la página http://www.edutics. mx/47J para obtener un programa graficador gratuito. (Consulta: 10 de julio de 2013). Ventana cuadrícula Fig. 3 Fig. 1 Fig. 4 3. Ahora haz clic en el menú Ecua y elige la opción Adivinar: aparecerá una ventana donde podrás “adivinar” la ecuación de la gráfica. Obsérvala y en el respectivo campo escribe la ecuación que pienses que le corresponde. Si la ecuación que propones es incorrecta, ésta se graficará junto a la original y podrás intentarlo de nuevo; por el contrario, si la ecuación es correcta, aparecerá la leyenda: ¡Perfecto! (figura 5). Nueva ventana Función cuadrática Fig. 2 2. Da clic sobre el menú Ver, elige la opción Cuadricula (figura 3), llena los campos rectangular y punteado, y presiona aplicar (figura 4). Con base en la información de la gráfica completa la siguiente tabla con los valores de y que corresponden con los valores de x. x 27 26 25 24 23 22 21 0 1 2 3 4 5 6 7 y a) ¿Para qué valores de la variable x la función es igual a cero? Fig. 5 Ahora da clic sobre el menú Ecua y selecciona la opción Respuesta para obtener la ecuación correcta en su forma factorizada. Compara tus resultados con los de tus compañeros. b) ¿Qué valores de la variable x alcanzan los niveles máximo y mínimo? 3 15 g. pá 153 SEXMA3SB_B3_VB.indd 153 4 15 g. pá 154 19/07/13 15:31 SEXMA3SB_B3_VB.indd 154 Habilidades digitales, Evaluación pisa y Evaluación enlace 19/07/13 15:31 Bloque 3 Al final de cada bloque encontrará los solucionarios correspondientes a la sección Habilidades digitales y a las evaluaciones tipo pisa y tipo enlace que aparece en el libro del alumno. 4. Da clic sobre el menú Ventana y seleccionen la opción 2-dim: aparecerá una nueva ventana con un plano cartesiano. Haz clic sobre el menú Ecua y selecciona la opción Explicita; se desplegará la ventana y 5 f ( x ) (figura 6). En el campo f ( x ) 5 escribe: C(x2A)(x2B) y presiona ok; surgirá la ventana inventario (figura 7). Regresa a la ventana del plano cartesiano, da clic sobre el menú Anim, selecciona la opción Individual y da clic en A; en la pantalla aparecerá la ventana valor actual de A. Sigue el mismo procedimiento para obtener las ventanas de los valores de B y C (figura 7). Fig. 6 Ventana inventario Ventanas Valor de A, B y C, respectivamente Gráfica la función cuadrática y 5 C (x 2 A) (x 2 B) Fig. 7 5. En la ventana valor actual de C presiona las pestañas y para cambiar el valor de este parámetro; haz lo mismo para los parámetros A y B. a) ¿Qué ocurre con la forma de la gráfica de la función al cambiar los valores del parámetro C? b) ¿Qué pasa con los valores en los que la función cambia a cero? c) ¿Qué ocurre cuando se modifican los parámetros A y B? d) Explica qué significan los parámetros A y B en la ecuación cuadrática y por qué modifican la gráfica en la forma en la que lo observas. Compara tus respuestas con las de tus compañeros y en grupo valídenlas con ayuda de su profesor. 5 15 g. pá 155 SEXMA3SB_B3_VB.indd 155 19/07/13 15:31 Respuestas x −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 y 60 45 32 21 12 5 0 −3 −4 −3 0 5 12 21 32 a) Para x = −1 y x = 3. b) El mínimo se alcanza en x = −4 y el máximo se alcanza en x = −7. 5. a) R. M. Cuando cambia el valor de C cambia el ancho de la parábola: si C crece, la parábola se desplaza hacia abajo y se hace más delgada. Si C decrece, la parábola se hace más ancha y el vértice se acerca al eje X. b) R. M. Cuando la función es cero, ocurre que x = A o x = B. c) R. M. Cambia el ancho de la parábola y se desplaza de lugar. d) R. M. A y B son los valores de x para los cuales la función es cero, es decir, donde la parábola interseca al eje X. Si estos valores cambian, los puntos de intersección también, por lo que la parábola se ve modificada. BLOQUE 3 / EVALUACIÓN Evaluación Bloque 3 Nombre del alumno Grupo Fecha Subraya la respuesta correcta. Evaluación adicional Como recurso adicional, le ofrecemos, con reactivos tipo enlace, evaluaciones bimestrales que pueden ser recortadas para su reproducción y aplicación a los estudiantes. 1. El número de soluciones que tiene la ecuación x2 + 4x + 6 = 0 es: A) Ninguna. B) Una. C) Dos. D) Una infinidad. 2. Las soluciones de la ecuación (x − 1) (x + 4) = 16: A) −1 y 4 B) 1 y −4 B) 17 y 12 D) Ninguna de las anteriores. 3. ¿Con cuál de los siguientes casos se construyen triángulos semejantes? A) Con cualquier triángulo equilátero. B) Con cualquier triángulo que sus ángulos sumen 180° C) Con cualquier triángulo que tenga un lado igual a 8 cm, un ángulo de 30° y otro lado de 5 cm. D) Con cualquier triángulo isósceles. 4. ¿Con qué criterio se obtienen triángulos congruentes al trazar la diagonal mayor de un romboide? A) Con ningún criterio, pues no se forman triángulos congruentes al trazar la diagonal mayor. B) Con el criterio de LAL, pues los lados de un romboide miden lo mismo y los dos triángulos tiene un mismo ángulo de 90°. C) Como la diagonal divide en dos partes iguales dos de los ángulos internos del romboide, los triángulos son congruentes por el criterio de AA. D) Son congruentes por el criterio de ALA, pues comparten la diagonal como uno de sus lados y los ángulos que forman la diagonal con lados son miden lo mismo. 5. ¿Cuál es la longitud del segmento EB en la siguiente figura? A) 1.84 B) 2.17 C) 4.89 D) 2.26 A AD = 3 AE = 3.26 DC = 2 C D E B 6. ¿Cuál de las siguientes situaciones se puede resolver con el teorema de Tales? A) Conocer el perímetro de las partes en la que se dividió una pieza triangular si se le hizo un corte paralelo a su altura. B) Conocer el perímetro de las partes en la que se dividió una pieza con forma de un triángulo rectángulo si se le hizo un corte paralelo a su altura. C) Conocer el perímetro de un triángulo rectángulo si sólo de conocen dos de sus lados. D) Conocer el área de cualquier triángulo donde sólo se conoce el perímetro. 6 El trabajo con secuencias didácticas Una secuencia didáctica es un conjunto de actividades, textos, imágenes y otros recursos, organizados –a partir de un nivel de complejidad progresivo– en tres fases: inicio, desarrollo y cierre, cuyo propósito es contribuir al logro de un aprendizaje. Al inicio de la secuencia del libro del alumno presentamos el aprendizaje esperado y una situación problemática y articuladora, cuyo objetivo es movilizar los conocimientos previos y despertar el interés de los estudiantes en torno a los contenidos curriculares relacionados con dicho aprendizaje. En esta fase, es importante que el maestro comparta con los alumnos los propósitos de la secuencia; que se asegure que sus estudiantes identifican la realidad que será objeto de estudio, las cuestiones o problemas que plantea esa realidad, y que indague y revise los posibles esquemas de actuación inicial que proponen sus alumnos para dar respuesta a la situación problemática. Posteriormente, en la fase de desarrollo, se presenta un conjunto de actividades que constituyen un reto para los alumnos y que se encuentran bien apoyadas por textos explicativos, imágenes y organizadores gráficos. La intención de presentar estos recursos es la de promover una comprensión profunda de las explicaciones que ofrecen los libros. En esta fase los alumnos reflexionarán, resolverán y aplicarán estrategias diversas, lo que posibilita poner en marcha el aprendizaje contextualizado de distintos contenidos: conceptuales, procedimentales y actitudinales. Por esto, se sugiere que el docente trabaje con sus alumnos para que reconozcan con claridad el procedimiento que hay que seguir y los conocimientos que deben aplicar para poder actuar eficientemente, pasando progresivamente de conocimientos y procedimientos empíricos hacia procedimientos más expertos. En todo momento, es conveniente que el maestro ofrezca ayudas específicas en función de las características de los alumnos, y revise con ellos el esquema de actuación, la aplicación concreta que hacen de sus conocimientos, y el proceso de construcción de nuevos conocimientos. En el cierre de las secuencias se revisa la solución que ofrecieron en un inicio los alumnos a la situación problemática y se presenta, bien una actividad de transferencia en la que aplicarán lo aprendido en otros contextos, bien una actividad de síntesis en la que los estudiantes tienen que presentar sus conclusiones por escrito o en algún organizador gráfico elaborado por ellos; estas actividades atienden el logro del aprendizaje esperado. De esta forma, y una vez que los alumnos comprenden y dominan el esquema de actuación que los lleva al desarrollo de la competencia, será necesario que el maestro recapitule lo trabajado en la secuencia, acompañe a sus alumnos en la aplicación de lo aprendido a situaciones diversas vinculadas con la realidad de sus estudiantes y evalúe el progreso de sus alumnos, detecte hasta dónde fueron alcanzados los aprendizajes esperados, y promueva la reflexión crítica sobre los contenidos abordados. 7 La evaluación La evaluación es un elemento fundamental en el proceso de enseñanza-aprendizaje, ya que es una oportunidad para que usted valore el desarrollo de las habilidades matemáticas de sus alumnos, lo cual le será útil en el diseño de sus propias estrategias de enseñanza. También son valiosas para los alumnos, ya que les permiten ser reflexivos en cuanto a sus avances. Con este propósito se han incluido en el libro del alumno tres tipos de evaluaciones al final de cada bloque: Autoevaluación, evaluación tipo enlace y evaluación tipo pisa. En las autoevaluaciones, los alumnos leerán una serie de enunciados, uno por cada lección vista en el bloque, y tendrán que responder si consideran que lograron el aprendizaje esperado. Después deberán escribir una propuesta para mejorar su desempeño. A través de este ejercicio, los alumnos podrán valorar su nivel de aprendizaje, pues les permitirá detectar las áreas que dominan y aquellas en las que deben mejorar. Las pruebas tipo enlace (Evaluación Nacional del Logro Académico en Centros Escolares) están elaboradas a partir de preguntas con cuatro respuestas posibles para cada una. Esta evaluación ofrece un beneficio adicional para la preparación de los alumnos ante este instrumento de evaluación oficial. En las pruebas tipo pisa (siglas en inglés del Programa para la Evaluación Internacional de los Estudiantes) los estudiantes tendrán que responder preguntas de análisis de problemas que, además de abarcar contenidos del bloque, implican la movilización de las habilidades y competencias adquiridas. NUESTRA PROPUESTA DIGITAL Ediciones Castillo, del Grupo Macmillan, lanza al mercado una innovadora y probada propuesta educativa con mirasaatenderlasnecesidadesdelasnuevasgeneraciones de alumnos: Comunidad de aprendizaje C+. Este proyecto educativo integral complementa y mejora la calidad y comunicación en el proceso de enseñanza–aprendizajeyaportarexcelentesventajascompetitivasyfuncionalespara lacomunidadescolarentodossusniveles: • Al centro educativo le brinda una herramienta integral que le da acceso a una nueva oferta de contenidos digitales de alta calidad, así como herramientasdeadministracióneducativa. • Aldocenteunanuevamaneradeadministrarcontenidos(impresos y digitales) y un conjunto de herramientas y recursos (como sugerencias didácticas y asesoría permanente) que potencian Convive más. su capacidad didáctica, mejoran la comunicación con sus Comprende más. Construye más. Comparte más. alumnos y le ayudan a optimizar su tiempo. Colabora más. Comunica más. • Alalumno, acceso constante a contenidos (impresos y digitaCrea más. Conoce más. les), además de herramientas para interactuar, comunicarse y trabajardemaneracolaborativaconsusmaestrosycompañeros desde los diferentes espacios de la plataforma digital C+. Sé más C+, Comunidad de aprendizaje para el nuevo milenio Si desea información sobre cómo puede formar parte de la Comunidad de Aprendizaje C+ nos ponemos a su disposición en: infocastillo@grupomacmillan.com 10 Bloque 3 Bloque 3 Contenidos del bloque Competencias que se favorecen • Resolver problemas de manera autónoma. • Comunicar información matemática. • Validar procedimientos y resultados. • Manejar técnicas eficientemente. Aprendizajes esperados • Resuelve problemas que implican el uso de ecuaciones de segundo grado. • Resuelve problemas de congruencia y semejanza que implican utilizar estas propiedades en triángulos o en cualquier figura. Sentido numérico y pensamiento algebraico. En este eje se concluirá el aprendizaje esperado de resolver problemas que implican el uso de ecuaciones de segundo grado con el estudio de la fórmula general y su aplicación. Forma, espacio y medida. Los contenidos de este eje son tres: en el primero, se aplican los criterios de congruencia y semejanza de triángulos para resolver problemas; en el segundo, se resuelven problemas geométricos mediante el teorema de Tales. En el tercer contenido, se concluye el aprendizaje esperado de resolver problemas de congruencia y semejanza que implican utilizar estas propiedades en triángulos o en cualquier figura con la aplicación de la semejanza en la construcción de figuras homotéticas. Manejo de la información. Uno de los temas que se estudian en este eje es el de proporcionalidad y funciones, en dos contenidos. El primero consiste en la lectura y construcción de gráficas de funciones cuadráticas para modelar diferentes fenómenos. En el segundo se extiende este mismo estudio a gráficas formadas por secciones rectas y curvas. En el último tema del eje y del bloque se estudia el cálculo de la probabilidad de ocurrencia de dos eventos independientes. Bloque 3 Avance programático Semanas Eje 16 Sentido numérico y pensamiento algebraico Aprendizajes esperados • Resuelve problemas que implican el uso de ecuaciones de segundo grado. • Resuelve problemas de congruencia y semejanza que implican utilizar estas propiedades en triángulos o en cualquier figura. Tema Patrones y ecuaciones 18 Forma, espacio y medida 17 Figuras y cuerpos 20 21 22 23 Manejo de la información 19 Proporcionalidad y funciones Análisis y representación de datos Lección Contenido 14. La fórmula infalible Resolución de problemas que implican el uso de ecuaciones cuadráticas. Aplicación de la fórmula general para resolver dichas ecuaciones. 112-117 15. ¡Hágalo con triángulos! Aplicación de los criterios de congruencia y semejanza de triángulos en la resolución de problemas. 118-123 16. Tales para cuales Resolución de problemas geométricos mediante el teorema de Tales. 124-129 17. Dadme un punto de apoyo… y transformaré la figura Aplicación de la semejanza en la construcción de figuras homotéticas. 130-135 18. Gráficas de relaciones cuadráticas Lectura y construcción de gráficas de funciones cuadráticas para modelar diversas situaciones o fenómenos. 136-141 19. Con rectas y curvas Lectura y construcción de gráficas formadas por secciones rectas y curvas que modelan situaciones de movimiento, llenado de recipientes, etcétera. 142-147 20. Probabilidad de eventos independientes Cálculo de la probabilidad de ocurrencia de dos eventos independientes (regla del producto). 148-152 Habilidades digitales, Evaluación pisa, Evaluación enlace Sugerencia. En el cd Páginas que acompaña a esta guía encontrará un generador de exámenes. 153-158 11 12 Bloque 3 / secuencia 14 SD 14 La fórmula infalible Resolución de problemas que implican el uso de ecuaciones cuadráticas. Aplicación de la fórmula general para resolver dichas ecuaciones. Prepararse para la secuencia Aprendizaje esperado Esta secuencia contribuye a que el alumno alcance el aprendizaje esperado: Resuelve problemas que implican el uso de ecuaciones de segundo grado. Conceptos principales: ecuación de segundo grado, incógnita, discriminante. Antecedentes • Resolución de problemas que impliquen el uso de ecuaciones cuadráticas sencillas, utilizando procedimientos personales u operaciones inversas. • Uso de ecuaciones cuadráticas para modelar situaciones y resolverlas usando la factorización. Ideas erróneas 1. Los alumnos suelen pensar que el término cuadrático puede ser sumado con el término lineal. 2.La incógnita no puede ser despejada a partir de los primeros dos términos de la ecuación, donde los alumnos factorizan y tratan de resolver con este recurso. Inicio a partir de lo que sé (pág. 112) Se plantea un problema en que los alumnos tendrán que relacionar el área dada de una región rectangular con una restricción perimetral. Resuelvo y aprendo (págs. 112-117) Los alumnos resolverán un problema a partir de su modelación algebraica obteniendo una ecuación completa de segundo grado para determinar las dimensiones de un rectángulo de área conocida. A partir de la forma general de la ecuación de segundo grado, los alumnos identificarán los coeficientes de ésta y el término independiente. Analizarán la naturaleza del discriminante de una ecuación de segundo grado para determinar el número de soluciones posibles de ésta. Consolido mis aprendizajes (pág. 117) Los alumnos refuerzan lo aprendido mediante la resolución de problemas prácticos empleando la fórmula general y manipulándola para observar su comportamiento con diferentes condiciones. Bloque 3 / secuencia 14 Solucionario y sugerencias didácticas 14 La fórmula infalible SECUENCIA Bloque 3 b) Identifiquen los coeficientes a, b y c en cada ecuación cuadrática. Realicen las operaciones necesarias para obtener ecuaciones equivalentes que les permitan responder cada situación. Inicio a partir de lo que sé En equipos analicen y resuelvan el siguiente problema. • 4x 2 1 3x 1 9 5 0 Sonia tiene un terreno que quiere utilizar como jardín para fiestas y eventos sociales; en medio del jardín pretende colocar un piso rectangular cubierto con mosaicos y rodearlo con cenefas como muestra la figura 3.1. Si tiene 46.75 m2 de mosaico y 28 metros lineales de cenefa, ¿cuáles deben ser las dimensiones del piso para aprovechar el mosaico y la cenefa sin que falte ni sobre alguno de los dos materiales? • x (2x 1 7) 5 0 a) Formulen una expresión algebraica que represente el problema. • 0 5 2x(5x 1 3) Resuelvo y aprendo Coeficiente cuadrático (a): Coeficiente lineal (b): Coeficiente independiente (c): • (x 2 2) (x 1 2) 5 0 Coeficiente cuadrático (a): Coeficiente lineal (b): Coeficiente independiente (c): Fig.3.1 Coeficiente cuadrático (a): Coeficiente lineal (b): Coeficiente independiente (c): • (x 1 1) (x 1 9) 5 3 Coeficiente cuadrático (a): Coeficiente lineal (b): Coeficiente independiente (c): b) Resuelvan la expresión anterior e indiquen su procedimiento para encontrar la solución, así como las dificultades que enfrentaron. c) ¿Cómo podrían comprobar si su respuesta es correcta? • 30 5 9x 2 Coeficiente cuadrático (a): Coeficiente lineal (b): Coeficiente independiente (c): Coeficiente cuadrático (a): Coeficiente lineal (b): Coeficiente independiente (c): • 190x 2 x 2 5 67 La fórmula general Coeficiente cuadrático (a): Coeficiente lineal (b): Coeficiente independiente (c): 1. Formen equipos y resuelvan lo siguiente. a) Calculen las dimensiones de un rectángulo si su largo mide 4 metros más que su ancho y su área es de 45 m2. En grupo expongan sus resultados y procedimientos; compárenlos y determinen si son correctos. • Formulen una ecuación cuadrática que represente el problema, la cual debe tener un término con la incógnita elevada al cuadrado. Una forma de resolver ecuaciones cuadráticas en su forma general consiste en aplicar la formula general de las ecuaciones de segundo grado, que se expresa de la siguiente manera: x= • Reescriban la ecuación de modo que uno de los miembros sea igual a cero. donde a, b y c corresponden a los coeficientes de la forma general. El símbolo se lee “más, menos” y significa que se deben hacer dos operaciones: una sumando la parte de la raíz al valor de 2b y otra restándolo; es decir, se deben resolver dos ecuaciones para obtener la o las soluciones de la ecuación de segundo grado: • ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo? Toda ecuación de segundo grado o ecuación cuadrática se puede escribir de la siguiente forma: ax 2 1 bx 1 c 5 0, que se conoce como forma general de las ecuaciones de segundo grado, donde a es el coeficiente que acompaña al término cuadrático (x 2) y debe ser distinto de 0 (¿por qué?); b corresponde al coeficiente que acompaña al termino lineal (x), y c es el coeficiente independiente. 112 SEXMA3SB_B3.indd 112 2 11 g. á p 06/12/13 09:49 Inicio a partir de lo que sé Página 112 Sugerencia didáctica. Trace un dibujo del piso rectangular y señale en él las dimensiones por calcular. a) x(14 − x) = 46.75 b) x = 5.5 c) Respuesta libre. Resuelvo y aprendo Página 112 La fórmula general 1. a) • x2 + 4x = 45 • x2 + 4x − 45 = 0 • Las dimensiones son de 9 × 5 m. Página 113 b) • a = 4, b = 3, c = 9 • a = 2, b = 7, c = 0 • a = 10, b = 6, c = 0 • a = 1, b = 0, c = −4 • a = 1, b = −190, c = 67 • a = 9, b = 0, c = −30 • a = 1, b = 10, c = 6 −b ± b 2 − 4ac 2a x= 2 −b − b 2 − 4ac y x = −b + b − 4ac 2a 2a 3 11 g. á p 113 SEXMA3SB_B3.indd 113 06/12/13 09:49 Página 114 c) Represéntese con x el ancho del rectángulo. La ecuación por resolver es x2 + 4x − 45 = 0, en la que a = 1, b = 4 y c = −45. ± 2 x = –b b − 4ac 2a = –4 ± 42 – 4(1) (−45) 2(1) = –4 ± 16 + 180 2 ± 196 = –4 2 –4 ± 196 = , 2 de donde x = 10 = 5 y x = − 18 = −9, pero este 2 2 último valor no tiene sentido. Como el largo mide 4 m más que el ancho, las dimensiones del terreno son 5 × 9 m, que coinciden con la solución del problema del inciso a). Manos a la ecuación 2. a) 2 m • La ecuación tiene dos soluciones: 2 y −25. 13 14 Bloque 3 / secuencia 14 se tienen dos soluciones diferentes, por último, un discriminante negativo impide obtener soluciones reales. Bloque 3 • En secuencias anteriores aprendieron que una ecuación cuadrática puede tener dos soluciones diferentes. Analicen los problemas de los incisos a) y b) anteriores y respondan en cuáles la ecuación cuadrática tiene dos soluciones diferentes, pero sólo una resuelve el problema. • En los problemas que mencionaron expliquen por qué no tiene sentido usar como respuesta la otra solución de la ecuación. b) Página Problema En grupo expongan sus respuestas y procedimientos, y verifíquenlos con ayuda de su profesor. El discriminante de una ecuación cuadrática 3. Formen equipos y resuelvan las siguientes situaciones. Utilicen la fórmula general. a) Andrés tiene cierta cantidad de dinero, pero debe cuatro veces esa cantidad, y sabe que si consiguiera el cuadrado de lo que tiene más 4 pesos, entonces podría liquidar la deuda. ¿Cuánto dinero tiene Andrés? • ¿Cuántas soluciones tiene el problema? 112 b) El producto de dos números consecutivos es 14. ¿Cuáles son esos números? • Planteen este problema como una ecuación cuadrática y resuélvanla con la fórmula general. • ¿Cuántas soluciones existen para el problema? c) Encuentren dos números opuestos cuyo producto sea 9. • Utilicen métodos personales para resolver el problema o, si consideran que no hay solución, expliquen sus razones. • Planteen una ecuación cuadrática para resolver el problema con la fórmula general; utilicen su calculadora. Anoten sus resultados y observaciones. • ¿Encontraron alguna dificultad para resolver la ecuación? Si su respuesta es afirmativa, expliquen en qué consiste. −b ± b 2 − 4ac x= En la fórmula general x 5 , la expresión b 2 − 4ac que está dentro de la raíz 2a se conoce como discriminante de la ecuación. 114 Números opuestos: son los que sumados dan como resultado 0; también se definen como los números con el mismo valor absoluto, pero diferente signo o aquellos que, en la recta numérica, están separados la misma distancia del origen, pero en sentidos opuestos. Ejemplos: 4 y 24, 2 2 y 2 , p 3 3 y 2p. 115 15 .1 g pá 115 SEXMA3SB_B3.indd 115 Valor del discriminante (b2 − 4ac) Signo Número del dis- de soluciones criminante a) 9 + 2 a) 196 + 2 b) 729 + 2 c) 0 No tiene 1 b) 49 + 2 c) –36 – 0 Integración 06/12/13 09:49 • El problema tiene una solución: 2 m. b)El doblez debe hacerse a 3 o 4 m de alguno de los extremos de cada varilla. • Dos. • Respuesta libre. Página 115 • En el problema del inciso a) la ecuación tiene dos soluciones, pero sólo una de ellas resuelve el problema. En el problema del inciso b) la ecuación tiene dos soluciones y ambas resuelven el problema. • En el problema del inciso a) una solución es −25, la cual no tiene sentido, pues no existen longitudes negativas. El discriminante de una ecuación cuadrática 3.a) • Andrés tiene $2. El problema tiene una solución. • Una. b) • 3 y 4 o −4 y −3. c) • No existen dos números opuestos entre sí cuyo producto sea 9. • Respuesta libre. • Respuesta libre. Página 116 4.La primera es cero, una solución, la segunda tiene raíz real por lo que tiene dos soluciones, y la tercera no tiene solución real, el discriminante es un número negativo. a)Sí. Si el discriminante es cero, se tiene una solución o dos iguales, si el discriminante es positivo 5.a) Dos soluciones. b) Una solución. c) Ninguna solución. 6.a) x2 − x − 2 = 0 b) x2 − 8x + 16 = 0 c) x2 − 2x + 5 = 0 d) Respuesta libre. Página 117 e) Respuesta libre. Consolido mis aprendizajes Página 117 1. 5.5 × 8.5 m a) Hay dos soluciones y ambas resuelven el problema. b) Respuesta libre. c) Respuesta libre. d) Respuesta libre. 2.a) 6.06 × 7.94 m 3.La altura es de 4 cm y la base, de 6 cm. El área es de 12 cm2. Bloque 3 / secuencia 15 SD 15 ¡Hágalo con triángulos! Aplicación de los criterios de congruencia y semejanza de triángulos en la resolución de problemas. Prepararse para la secuencia Aprendizaje esperado Esta secuencia contribuye a que el alumno alcance el aprendizaje esperado en la lección 17 de este bloque: aplicar los criterios de congruencia y semejanza de triángulos en la resolución de problemas. Conceptos principales: congruencia y semejanza, explicitación de los criterios de congruencia y semejanza de triángulos a partir de construcciones con información determinada, construcción de figuras congruentes o semejantes. Materiales: calculadora, escuadras, dos hojas de tamaño carta. Antecedentes • Construcción de triángulos dados ciertos datos. Análisis de las condiciones de posibilidad y unicidad en las construcciones. • Construcción de figuras congruentes o semejantes (triángulos, cuadrados y rectángulos) y análisis de sus propiedades. Ideas erróneas 1. Por lo común, los alumnos se confunden, no se dan cuenta de que todo par de triángulos congruentes son también semejantes, pero no viceversa. 2. Los estudiantes suelen cometer errores al momento de asignar los lados correspondientes en triángulos semejantes que no están en la misma posición. 3. Algunos estudiantes presentan dificultad en esquematizar problemas que se resuelven geométricamente. Inicio a partir de lo que sé (pág. 118) Se plantea un problema que permite recuperar los conocimientos acerca de la semejanza de dos triángulos y poder resolverlo a partir de sus conocimientos previos. Resuelvo y aprendo (págs. 118-123) El alumno aplicará los criterios de semejanza y congruencia para plantear y resolver problemas específicos, también construirá figuras semejantes a otras. Consolido mis aprendizajes (pág. 123) El alumno resolverá nuevamente el problema inicial, así como una variante del mismo y deberá comparar ambos procedimientos. También resolverá un problema adicional de semejanza de triángulos. 15 Bloque 3 / secuencia 15 Solucionario y sugerencias didácticas SECUENCIA 15 ¡Hágalo con triángulos! 16 Bloque 3 b) Consigan dos hojas de papel tamaño carta. Discutan una estrategia para doblar y recortar una y conseguir que sea semejante a la hoja de tamaño original. • Dibujen en su cuaderno los dobleces para obtener la hoja semejante. • ¿Podrán usar el mismo procedimiento para cualquier tamaño de hoja (oficio, media carta, A4, etcétera)? ¿Por qué? Inicio a partir de lo que sé Resuelvan en equipos el siguiente problema. En un momento del día, las sombras de dos edificios contiguos coinciden. Observen la figura 3.4 y respondan. Comparen sus resultados y procedimientos con otros equipos, y decidan cuáles fueron los más ingeniosos. 15 m 2. Realicen la siguiente actividad en parejas. 10 m 6m a) Observen dos procedimientos incompletos para trazar un polígono semejante a otro. Con apoyo de las escuadras se trazan líneas paralelas a los lados de los polígonos. Fig.3.4 C a) ¿Cuál es la altura del edificio más alto? b) Expliquen el procedimiento que siguieron para hacer el cálculo I D B L E Resuelvo y aprendo N J A Problemas geométricos con triángulos K 1. En equipos realicen las siguientes actividades. a) Observen el rombo ABCD, cuyas diagonales son BD y AC y respondan. • ¿Los triángulos ADE y ABE son congruentes? O F M H G Fig.3.6 A E D • Expliquen en su cuaderno el procedimiento completo, y expliquen por qué se puede asegurar que así se obtienen figuras semejantes. • Completen los procedimientos realizando los trazos necesarios. B b) Observen los siguientes cuadriláteros. C Fig.3.5 • ¿Con qué criterio de congruencia pueden demostrar su respuesta? • Si cada lado del rombo mide 15 cm y el segmento AE mide 13.5 cm, ¿cuál es la medida de los segmentos DE , EB y EC ? • ¿Qué procedimiento usaron para encontrar las medidas? 118 SEXMA3SB_B3.indd 118 Fig.3.7 8 11 g. á p SEXMA3SB_B3.indd 119 06/12/13 09:49 06/12/13 09:49 C Inicio a partir de lo que sé Página 118 D B a) 35 m b) Respuesta libre. Q E N A Resuelvo y aprendo P Problemas geométricos con triángulos O 1. a) • Sí. • LLL • DE = BE ≈ 6.5 y EC = 13.5 • Respuesta libre. I L J Página 119 b)Respuesta libre. 2. a) • Figura de la izquierda: Se trazan dos rectas, una que tenga como extremo el punto C y pase por el punto B y otra que tenga como extremo al punto C y pase por el punto A; con ayuda de las escuadras trazar una línea paralela a AB, de forma que dicha línea tenga sus extremos O y N en las líneas antes trazadas. Se trazan dos líneas más de forma que cada una tenga como extremo al punto C y una pase por el punto D y la otra por el E. Utilizando las escuadras se trazan los segmentos de recta OP y PQ, paralelos a AE y ED, respectivamente. Por último, se trazan los segmentos QC y CN, con lo cual tenemos un pentágono ONCQP semejante a ABCDE. Figura de la derecha: Respuesta análoga. 9 11 g. á p 119 P M K O F Página 120 b) • N G H Bloque Bloque33/ /secuencia secuencia151 Bloque 3 SeCueNCIA 15 Cálculo de distancias inaccesibles • Con cuáles de ellos, al dividirlos por alguna de sus diagonales, se obtienen dos triángulos congruentes? 4. En parejas realicen la siguiente actividad. S • ¿Cuánto mide el ancho del río, es decir, cuál es la distancia entre los c) Construyan un cuadrilátero a partir de las rectas de la figura 3.8. Consideren ambas rectas como diagonales del cuadrilátero que se cortan en sus puntos medios. • ¿Qué tipo de cuadrilátero trazaron? U T Fig.3.8 J M 7m postes P y M? • Expliquen el procedimiento que siguieron para encontrar la respuesta. R 5m G Fig.3.9 R Q 10 m P a) Un grupo de ingenieros topógrafos necesita medir el ancho de un río, y para ello colocaron postes en los puntos marcados con las letras G, M, J, P y R; la distancia entre algunos postes se indica en el diagrama. • Observa las figuras geométricas que se forman, ¿cómo son entre sí? • Analicen su respuesta y expliquen qué propiedades deben tener los cuadriláteros para que, al dividirlos por una de sus diagonales, se obtengan dos triángulos congruentes. • Apliquen sus conocimientos sobre triángulos congruentes, criterios de congruencia, semejanza de triángulos, ángulos que se forman en dos paralelas cortadas por una recta y ángulos opuestos al vértice, para comprobar el tipo de cuadrilátero que se forma con los vértices de las rectas. • Tracen en sus cuadernos dos diagonales, distintas a las anteriores, que también se corten en sus puntos medios y construyan el cuadrilátero correspondiente. ¿De qué tipo de cuadrilátero se trata? b) Desde la Antigüedad se ha utilizado la proyección de las sombras del sol para calcular la altura de árboles, pirámides o torres, y en general de alturas de objetos que sería muy difícil medir de manera directa. El siguiente esquema muestra la Torre Latinoamericana en el centro de la Ciudad de México y una pequeña casa. Las medidas de la sombra que proyecta la torre, la altura de la casa y la sombra de ésta se pueden calcular de manera directa y son las que se muestran en la figura 3.10. Con esos datos calculen la altura de la Torre Latinoamericana. • Comparen su trabajo con el de otros equipos. ¿Qué tipo de cuadrilátero trazaron sus compañeros? Integración 3. En grupo y con ayuda de su profesor realicen lo que se pide. Sombra 35.25 m a) Escriban una afirmación que relacione las características del cuadrilátero que formaron con las dos rectas que se cruzan en sus puntos medios y que son las diagonales del cuadrilátero. ¿Esto ocurre para cualquier cuadrilátero con las mismas características? Altura de la casa 16 m Sombra proyectada de la casa 3 m Fig.3.10 • Describan el método que siguieron para calcularla. • Comparen su procedimiento con el de sus compañeros. ¿Qué criterios utilizaron ustedes y cuáles sus compañeros? ¿Los consideran correctos? ¿Cómo podrían validarlos? 20 .1 g pá 120 SEXMA3SB_B3.indd 120 06/12/13 09:49 • Para que esto sea posible, el cuadrilátero debe tener dos pares de lados congruentes. c) S U 21 .1 g pá 121 SEXMA3SB_B3.indd 121 06/12/13 09:49 Página 121 Cálculo de distancias inaccesibles 4. a) • El ancho del río es de 14 m. • Los triángulos MGR y MPJ son semejantes, por el criterio AAA, de lo cual PM = 10 . 7 5 Luego, PM = 14 m. b) La altura de la Torre Latinoamericana es de 188 m. • Respuesta libre. • Respuesta libre. T R Página 122 c) • Respuesta libre. • 5.147 815 km, aproximadamente. • Respuesta libre. • Respuesta libre. Q • Un paralelogramo. • Como ∠RQS = ∠USQ, resulta que estos ángulos son alternos internos. Por tanto, US es paralelo a QR. Con un razonamiento análogo resulta que UQ y SR son paralelos. Así, el cuadrilátero USRQ es un paralelogramo. • Respuesta libre. • También un paralelogramo. Integración 3. a) Por el criterio LAL los triángulos RTS y UTQ son congruentes. En consecuencia ∠TSR = ∠TQU y ∠TRS = ∠TUQ. Luego, QU es paralelo a RS, ya que los ángulos alternos internos son iguales. d) 29 m, aproximadamente. Página 123 e) Respuesta libre. Consolido mis aprendizajes 1. a) • 35 m • Respuesta libre. b) 50 m 2. 51.75 m 3. Respuesta libre. 17 18 Bloque 3 / secuencia 16 SD 16 Tales para cuales Resolución de problemas geométricos mediante el teorema de Tales. Prepararse para la secuencia Aprendizaje esperado Esta secuencia contribuye a que el alumno alcance el aprendizaje esperado: Resuelve problemas de congruencia y semejanza que implican utilizar estas propiedades en triángulos o en cualquier figura. Conceptos principales: teorema de Tales, división de un segmento en partes iguales, aplicación del teorema de Tales. Materiales: calculadora, regla, compás, un bolígrafo, un palito de madera delgado y una hoja de cuaderno de rayas. Antecedentes • Construcción de triángulos dados ciertos datos. Análisis de las condiciones de posibilidad y unicidad en las construcciones. • Construcción de figuras congruentes o semejantes (triángulos, cuadrados y rectángulos) y análisis de sus propiedades. • Explicitación de los criterios de congruencia y semejanza de triángulos a partir de construcciones con información determinada. • Aplicación de los criterios de congruencia y semejanza de triángulos en la resolución de problemas. Ideas erróneas 1. Los estudiantes suelen cometer errores al momento de asignar los segmentos correspondientes al aplicar el teorema de Tales. 2. Algunos estudiantes presentan dificultad en interpretar los esquemas de problemas que se resuelven geométricamente. 3. Algunos estudiantes tienen dificultad para trazar construcciones geométricas con regla y compás. Inicio a partir de lo que sé (pág. 124) Se plantea un problema que introduce al teorema de Tales. Se espera que los alumnos lo resuelvan a partir de sus conocimientos previos. Resuelvo y aprendo (págs. 124-129) El alumno comprenderá y aplicará el teorema de Tales para resolver problemas específicos. También será capaz de utilizarlo para dividir un segmento en partes iguales. Consolido mis aprendizajes (pág. 129) El alumno resolverá nuevamente el problema inicial, y deberá comparar ambos procedimientos. También resolverá un problema adicional utilizando el teorema de Tales y otros conocimientos previos. Bloque 3 / secuencia 16 19 Solucionario y sugerencias didácticas 16 Bloque 3 Inicio a partir de lo que sé SeCueNCIA 16 3. Formen parejas y resuelvan los siguientes problemas. • Determinen las medidas del segmento FG . Resuelvan en equiposel siguiente problema. El señor Martínez quiere cercar el terreno que se identifica como el lote 2 de la manzana 1 (L2M1) del fraccionamiento Héroes de la independencia, el cual se representa en el croquis. Si los BF BF , ¿cuántos segmentos AB , CD , EG y FH son paralelos entre sí y perpendiculares al segmento metros de cerca necesitará? A D 8.24 m Calle de la Paz Tales para cuales SECUENCIA BD AF Calle Niño s Héroes G L3M1 14 m Calle Reforma GC 5 1 cm O b) Tracen un triángulo cualquiera con dos rectas paralelas a uno de los lados como en el ejercicio anterior. Intercambien su triángulo con el de otro equipo. Determinen las medidas de los segmentos que se forman entre las dos paralelas y los lados del triángulo, y calculen los cocientes. Anoten sus conclusiones en su cuaderno. • Comparen sus resultados con los de otros equipos. ¿Qué tienen en común los cocientes en cada triángulo? H L2M1 C FG EC 5 A 1 cm 2 cm N P T 18 m B DE 5 • Comparen los resultados. ¿Qué observan? L1M1 8m a) En la siguiente construcción geométrica, los segmentos NO , PT , QU y SV son paralelos entre sí. Encuentren las medidas que se especifican en el cuadro y justifiquen cada resultado. • Calculen los siguientes cocientes. F Fig.3.13 3 cm Q 4 cm cm S U Fig.3.16 V Segmento 6m E 4.5 Medida Justificación OT Fig.3.13 TU c) Recapitulen. Completen el enunciado. a) ¿Qué procedimiento usaron para calcular la distancia DG ? Expliquen. UV Al trazar dos rectas paralelas a uno de los lados de un triángulo que cortan los b) ¿Qué procedimiento usaron para calcular las distancias CD y EG ? otros dos lados, en ambos lados se forman segmentos NO entre sí. PT Resuelvo y aprendo A AF 5 2 cm El Teorema de Tales cm F a) En el triángulo ABC se trazaron dos recG tas paralelas al lado AB , originando los segmentos DF y EG . B D E • Observen los triángulos ABC, DE 5 4 cm EC 5 5 cm BD 5 3 cm FDC y GEC que se forman. Fig.3.14 ¿Cómo son entre sí? Justifiquen su respuesta en su cuaderno. • Si el segmento AB mide 9.7 cm, ¿cuánto miden los segmentos DF y EG ? QU 2. En grupo y con apoyo del profesor completen el siguiente texto. SV a) Una generalización de la propiedad que relaciona los segmentos formados por dos rectas paralelas que cortan dos lados de un triángulo es el teorema de Tales, el cual se enuncia de la siguiente manera: m 9.7 8c 1. En equipos resuelvan la siguiente situación. Integración b) En la siguiente figura, las rectas AB , HI , FE y DG son paralelas. Calculen las distancias: • IE = • EG = Si dos rectas cualesquiera se cortan por una serie de rectas paralelas, cada uno de los segmentos determinados en una de las rectas es C DF 5 1.8 C segmento E D B FH 5 2.2 . • El segmento HA 5 0.91 . SEXMA3SB_B3.indd 124 24 .1 g pá 06/12/13 09:49 Fig.3.15 segmento 25 .1 g pá 125 06/12/13 09:49 Inicio a partir de lo que sé Integración Página 124 2. Proporcional. • 57.02 m, aproximadamente. a)Respuesta libre. b)Respuesta libre. Resuelvo y aprendo El teorema de Tales 1. a) • Los triángulos ABC, FDC y GEC son semejantes entre sí por el criterio AAA. • DF = 7.275 cm y EG ≈ 4.041 6 cm • FC = 6 cm y GC = 3.3 cm • Respuesta libre. Página 125 • FG = 2.6 cm y GC = 3.3 cm • BD == 1.5; 3 DE = 4 ≈ 1.5; 2.6 AF 2 FG EC = 5 ≈ 1.5. GC 3.3 • Todas las razones son iguales. b) Si dos rectas se cortan por varias rectas paralelas, los segmentos determinados en una de las rectas son proporcionales a los segmentos correspondientes en la otra. • Todas las razones son iguales. c) Proporcionales. BI 5 0.91 B Comparen sus resultados con los de otros equipos y verifíquenlos aplicando el teorema de Tales. . SEXMA3SB_B3.indd 125 A Fig.3.17 • El segmento AF es proporcional al • Expliquen el procedimiento que usaron para determinar las medidas. I H es proporcional al segmento F 124 E F • El segmento AB es proporcional al A • ¿Cuánto miden los segmentos FC y GC sabiendo que el segmento AC mide 8 cm. G D al segmento correspondiente en la otra recta. Por ejemplo: 6 12 g. á p 126 SEXMA3SB_B3.indd 126 06/12/13 09:49 • AB es proporcional a CE. • BF es proporcional a ED. • AF es proporcional a CD. Página 126 3. a) Segmento Medida Justificación OT 2 cm OT = OT ; NP NP OT = 1(2) 1 TU 3 cm TU = AO ; PQ AN 1(3) TU = 1 UV 4 cm UV = AO ; QS AN 1(4) TU = 1 NO 1.5 cm NO = AN ; PT AP NO = 1(4.5) 3 PT 4.5 cm Medida dada. QU 9 cm SV 15 cm QU = AQ ; PT AP 6(4.5) QU = 3 SV = AS ; PT AP 10(4.5) QU = 3 20 Bloque 3 / secuencia 16 Bloque 3 SeCueNCIA 16 6. Un procedimiento experto para dividir una recta en n partes iguales es el siguiente. Analícenlo en parejas y reprodúzcanlo en su cuaderno utilizando su juego de geometría. División de un segmento en partes iguales 4. En equipos consigan un palito de madera delgado, un bolígrafo, una hoja de cuaderno de rayas y una regla. a) Tracen un segmento de recta AB . En la figura 3.20 puedes ver un ejemplo. b) Tracen una semirrecta AC que forme un ángulo cualquiera con el segmento AB . El punto A es común a ambas rectas. c) Tracen con el compás arcos de una medida cualquiera iniciando en el punto A; consecutivamente, lo arcos deben iniciar en los puntos de intersección de cada arco anterior con la semirrecta. Tracen tantos arcos como el número de partes en que quieran dividir el segmento AB . d) Unan con una recta el punto donde coinciden la semirrecta y el último arco con el punto B, y tracen paralelas que pasen por los puntos de intersección entre la semirrecta y el resto de los arcos; las paralelas deben cortar el segmento AB . Los puntos de corte señalan la divisiones del segmento. a) Coloquen el palito inclinado sobre la hoja rayada, de modo que sus extremos coincidan con dos líneas del cuaderno. Observen la figura 3.18. C F Fig.3.18 E b) Marquen con el bolígrafo los puntos donde las líneas del cuaderno coinciden con el largo del palito. • Midan la distancias entre cada marca. ¿Cómo son entre sí? D Fig.3.20 • Justifiquen el resultado a partir del teorema de Tales. Consideren que las líneas del cuaderno son equidistantes y paralelas. A M N B • ¿Por qué funciona este procedimiento? Expliquen. Equidistantes: que se encuentran a la misma distancia. • ¿El método seguiría siendo válido si el segmento y la semirrecta formaran un ángulo distinto? ¿Y si cambiaran la abertura del compás? Justifiquen sus respuestas. 5. En parejas dividan la recta AB en ocho partes iguales y la recta FG en cinco, utilicen el método anterior. Expliquen sus procedimientos. F Compartan en grupo sus respuestas a las actividades 4 y 6, y con ayuda de su profesor concluyan cómo dividir un segmento de recta aplicando el teorema de Tales. A A D B B G Fig.3.19 27 .1 g pá 127 SEXMA3SB_B3.indd 127 06/12/13 09:49 b)• IE = 2.2 Fig.3.21 E C El teorema de Tales recibe su nombre en honor a Tales de Mileto, filosofo griego de la Antigüedad que vivió en el siglo VI a. n. e. Tales enunció el teorema al analizar las propiedades de las rectas paralelas y su relación con los triángulos semejantes. Observó que al trazar una recta paralela a uno de los lados de un triángulo se obtiene un nuevo triángulo semejante al primero y, por tanto, sus lados son proporcionales al original. ABC ≈ DBE De ahí se obtiene el teorema de Tales, tal como lo has estudiado en esta secuencia. 28 .1 g pá 128 SEXMA3SB_B3.indd 128 • EG = 1.8 06/12/13 09:49 AM = MN = NB. Página 127 División de un segmento en partes iguales 4.a) Observar la imagen. b) • Iguales. • A partir de la siguiente figura: AB = BC ; AB = BC × AE , AE ED ED • El método es válido mientras el segmento y la semirrecta no formen un ángulo llano. A excepción de este caso, la amplitud del ángulo no altera los resultados de la construcción geométrica. La abertura del compás tampoco afecta los resultados obtenidos. La validez de este método tiene su base en el teorema de Tales. Página 129 Aplicación del teorema de Tales pero AF = ED. Luego, AB = BC. A 7. a) • 1.875 m • 3.75 m • 1.25 m b) El punto P divide al segmento en la forma que se pide. B E D C P 5. Respuesta libre. Página 128 6. • El procedimiento funciona porque los triángulos ADM, AEN y AFB son semejantes entre sí (por el criterio AAA, ya que DM, EN y FB son paralelas). Por el teorema de Tales: AM = MN = NB . AD DE EF Y como AD = DE = EF, entonces c) Se traza el segmento AB sobre la hoja rayada, de manera que uno de sus extremos (A en este caso) esté sobre una de las rayas del cuaderno. Luego se traza un segmento de recta AC, tal que C esté sobre una raya del cuaderno y el segmento de recta AB interseque seis veces con los renglones del cuaderno, incluyendo los extremos, de forma que el segmento AC quedará dividido en cinco partes iguales con los puntos de intersección con las rayas del cuaderno. Al trazar el segmento BC y los segmentos paralelos a él, dividimos el segmento AB en cinco partes iguales, de modo que el punto Bloque 3 / secuencia 16 K divide al segmento AB en dos partes donde sus longitudes mantienen una razón 2 a 3, como se muestra en la figura que sigue. Bloque 3 Aplicación del teorema de Tales 7. En parejas resuelvan los siguientes problemas y valídenlos en grupo con ayuda de su profesor. a) Una antena se instalará sujetándola con 12 cables tensores, tres orientados a cada uno de los puntos cardinales. Cada cable tensor debe ser paralelo a los otros dos del mismo punto cardinal como se muestra en la figura 3.22. Con base en la información de la imagen respondan. • ¿A qué distancia de la base de la antena se encuentra el punto N? B J BK 5 5 m BM 5 3 m LM 5 3 m JL 5 2 m L M • ¿A qué distancia de la base de la antena está el punto O? P • ¿Cuál es la distancia entre los puntos O y K? Q R B N O K Fig.3.22 b) A partir del teorema de Tales dividan el siguiente segmento en dos partes, de manera que una de ellas mida el doble que la otra. Fig.3.23 C c) Expliquen en su cuaderno cómo utilizar el método de la hoja rayada para dividir un segmento en dos partes donde sus longitudes mantengan una razón de 2 a 3. K Te invito a… Consolido mis aprendizajes 1. De manera individual resuelve los siguientes problemas. a) Utiliza el teorema de Tales para resolver el problema inicial (página 124). Compara tu resultado y procedimiento con el que hiciste al principio. ¿Fue correcto? ¿Cuál es más exacto? b) Observa la siguiente figura. Considera que la cuadrícula es de 1 u2 y, sin necesidad de medir, encuentra las distancias de los segmentos. A • AH 5 H I • DH 5 visitar las siguientes direcciones electrónicas: http://www.edutics. mx/4nC http://www.edutics. mx/4nj, donde encontrarás modelos interactivos para el teorema de Tales. (Consulta: 24 de junio de 2013). J • FJ 5 K • JC 5 B D E F G C Fig.3.24 29 .1 g pá 129 A SEXMA3SB_B3.indd 129 06/12/13 09:49 Consolido mis aprendizajes u = (1.03w)2 − w2 1. a)El señor Martínez necesitará 57.02 m, aproximadamente. CE + EG + DG + CD ≈ u = w Procedimiento para calcular la longitud de DG. Por el teorema de Tales se tiene que DG = 14 . 8.24 8 Así, DG = 14(8.24) = 14.42 m. 8 Procedimiento para calcular las longitudes de CD y EG. Para calcular estas longitudes, es necesario completar el triángulo que se forma al extender los segmentos BC, AH y BF hacia el lado donde éstos se intersecan en el punto K, como lo muestra la siguiente figura. A 18 B 8.24 D 8 C y 14 8 + 14 + 6 + w = w , u 18 w 28 + w = . 18 0.609w Así, w ≈ 72.94 − 28 = 44.94. Como los triángulos ABK y DCK son semejantes: x = 14 + 6 + w . 18 8 + 14 + 6 + w De donde x = 64.94(18) ≈ 16.03. 72.94 Luego, CD ≈ 16.03 m. Como los triángulos ABK y GEK son semejantes: G x Como los triángulos ABK y HFK son semejantes: 14 + 12.57 + 14.42 + 16.03 = 57.02. 0.060 9 . H u K E 6 F De donde w Por el teorema de Tales se tiene que w v = . 8 8.24 Así, v = 8.24w = 1.03w. 8 Como FH es perpendicular a BF, también lo es a BK y el triángulo HFK es rectángulo, por lo que u2 = v2 − w2 y 6 + w . = 8 + 14 + 6 + w 18 v y = 50.94(18) ≈ 12.57. 72.94 Luego, EG ≈ 12.57 m. b) • AH ≈ 1.662 unidades. • DH ≈ 2.4 unidades. • FJ ≈ 1.6 unidades. • JC ≈ 2.3324 unidades 21 22 Bloque 3 / secuencia 17 SD 17 Dadme un punto de apoyo… y transformaré la figura Aplicación de la semejanza en la construcción de figuras homotéticas. Prepararse para la secuencia Aprendizaje esperado Al terminar esta secuencia se espera que el alumno resuelva problemas de congruencia y semejanza que implican utilizar estas propiedades en triángulos o en cualquier figura. Conceptos principales: semejanza, homotecia, centro de homotecia, razón de homotecia. Material: regla graduada. Antecedentes • Construcción de figuras congruentes o semejantes (triángulos, cuadrados y rectángulos) y análisis de sus propiedades. • Explicitación de los criterios de congruencia y semejanza de triángulos a partir de construcciones con información determinada. • Aplicación de los criterios de congruencia y semejanza de triángulos en la resolución de problemas. • Resolución de problemas geométricos mediante el teorema de Tales. Ideas erróneas 1. Es posible que los alumnos se confundan al calcular la razón de semejanza, es decir, que inviertan el numerador y el denominador. Por ejemplo, si se tiene un triángulo equilátero de 1 cm por lado y otro triángulo homotético donde cada uno de sus lados mide 2 cm, se tienen dos ra1 zones de semejanza 2 y 2 de acuerdo con la razón que se pida será el resultado. En ocasiones, de las dos opciones, darán la razón incorrecta. Inicio a partir de lo que sé (pág. 112) Se plantea un problema que los alumnos tendrán que resolver utilizando la semejanza de figuras. Concepto que aprendieron en contenidos anteriores. Resuelvo y aprendo (págs. 112-117) Los alumnos resolverán una serie de actividades con las que estudiarán el concepto de homotecia mediante la razón de semejanza entre figuras. Consolido mis aprendizajes (pág. 117) Los alumnos utilizarán lo aprendido para corroborar la respuesta del problema inicial y resolverán problemas para fortalecer el conocimiento adquirido. 23 Bloque 3 / secuencia 17 Solucionario y sugerencias didácticas Homotecia 17 Dadme un punto de apoyo... y transformaré la figura SECUENCIA Inicio a partir de lo que sé Resuelvan en equipos el problema siguiente. En la clase de Artes, el equipo de Karina planea presentar una obra de teatro basada en la obra Drácula de Bram Stoke. Para dar más realismo a su presentación planean proyectar Fig.3.25 sombras de murciélagos de cartón, como el de la figura 3.25. Cuando la figura original está a 10 cm de distancia del proyector, sobre la pared se ve un murciélago 10 veces más grande. a) ¿A qué distancia deberán colocar el murciélago si quieren que la proyección sea cinco veces más grande que la original? b) ¿Y para que sea 12.5 veces más grande? Resuelvo y aprendo Imágenes en un proyector 1. En equipos analicen las imágenes que se producen con un proyector. Material - Una fuente de luz: linterna de mano, vela o foco incandescente. - Una pantalla, puede ser una pared blanca o un lienzo de tela sobre una pared. - Diferentes objetos planos para proyectar. Fig.3.26 Procedimiento 1. Dirijan la fuente de luz hacia la pantalla. 2. Coloquen un objeto entre la fuente de luz y la pantalla; observen la sombra que se proyecta. 3. Modifiquen las distancias a las que colocaron la fuente de luz y el objeto de la pantalla. Análisis de resultados y conclusiones • ¿Cómo son las imágenes que se forman sobre la pantalla en relación con la forma de las imágenes que se colocan frente a la linterna?; es decir, indiquen si son semejantes, congruentes, distintas, etcétera. • ¿Qué sucede a la imagen si acercan el objeto a la fuente de luz?, ¿se modifica su tamaño?, ¿se modifica su forma? 130 SEXMA3SB_B3.indd 130 0 13 g. á p 06/12/13 09:49 Inicio a partir de lo que sé Página 130 Sugerencia didáctica. Si nota que los alumnos tienen dificultades para responder, trace un ejemplo en el pizarrón para obtener la razón de semejanza entre figuras. Después, incítelos a que vinculen el ejemplo y la actividad. a) El murciélago se debe colocar a 20 cm del proyector para que se vea 5 veces más grande. b) El objeto debe estar a 8 cm del proyector. Resuelvo y aprendo Página 130 Imágenes en un proyector Análisis de resultados y conclusiones 1. • Son semejantes entre sí. • La imagen en la pantalla se verá más grande mientras más cerca esté el objeto a la fuente de luz. La forma es la misma. 2. a) • La razón de semejanza es 3.3 y se obtuvo calculando el cociente de un par de lados correspondientes, por ejemplo, D′E′ . DE • Que coinciden en un solo punto, en el punto O. • La distancia es 1.3 cm. • La distancia es 4.3 cm. • El valor es 3.3. • La distancia es 1.8 cm. • La distancia es 6 cm. • El valor es 3.3. • La distancia es 1.2 cm. • La distancia es 5.6 cm. • El valor es 3.3. • Que todos los valores son iguales. • Sí. La relación anterior se cumple porque los triángulos OCB y OC′B′ son semejantes, por lo que existe una relación de proporcionalidad entre lados correspondientes. Esto mismo va a ocurrir con cada uno de los lados de la figura. • Por la razón de la respuesta anterior, el valor de los cocientes en ambos casos es la misma. Página 132 b) • Respuesta modelo. Todos tienen la misma razón de proporcionalidad. • Respuesta modelo. Es el mismo valor que el de la respuesta anterior. Integración 3. a) Las rectas no coincidirán en ningún punto porque son rectas paralelas. b) Las rectas se intersecan en un punto. 4. a) • Respuesta modelo. Primero trazamos segmentos de recta que unan cada vértice de la figura con el centro de homotecia. Después, en cada segmento marcamos, con un punto, a un cuarto de distancia partiendo del punto O al otro punto en la figura. Por último, unimos cada punto trazado en el paso anterior obteniendo un cuarto de la figura original. c Página 131 • Mientras más lejos se coloque el objeto de la fuente de luz, más grande se verá la imagen en la pantalla. • La imagen en la pantalla crece si disminuye la distancia del objeto al proyector, y decrece si la misma distancia aumenta. • Respuesta libre. c′ O B′ A′ B A D D′ 24 Bloque 3 / secuencia 17 Página 133 Página 135 b) • Es el punto marcado en el centro de éstas. Su razón de semejanza es 2. c) • El punto de homotecia se encuentra donde se intersecan las rectas que pasan por el vértice de una estrella y el vértice correspondiente de la otra estrella. La razón de semejanza es: 0.36 = r k 4 . 11 r′ j′ Q′ k′ i′ u′ s′ h′ g′ t′ i u s h O t • En ambas actividades la razón de semejanza fue menor que 1, esto quiere decir que la figura nueva es menor que la original. Por otro lado, observamos que el punto de homotecia se encuentra en distintas posiciones. d) B D F C E Figura 1 B′ C′ D′ E′ Figura 2 F′ B ″ D ″ F ″ C ″ Homotecia con razón negativa 6.a)•Sí, porque aunque la orientación y el tamaño es distinto, la forma es la misma. •Que ahora la imagen aparece volteada respecto al objeto. Además, se localiza del otro lado del centro de homotecia. •La razón de semejanza es 0.4. Consolido mis aprendizajes Página 135 A″ A′ A O •Respuesta modelo. q j g Sugerencia didáctica. Si lo considera pertinente, para realizar el dibujo, comente con los alumnos que el orificio de la caja representa el centro de homotecia. E ″ 1. a)Se halla a 1 m de distancia, es decir, a 100 cm. •El proyector se encuentra a 20 cm del punto de homotecia. •El murciélago se debe colocar a 8 cm del proyector. 2. Respuesta modelo. Figura 3 A′ Página 134 • La razón de semejanza es 2 que se obtuvo del cociente OA′ . OA • La razón de semejanza es 1.5 o 3 que se obtu2 vo del cociente OA″ . OA′ • La razón de semejanza es 3 que se obtuvo del cociente OA″ . OA • Se puede ver que si se multiplica la razón de semejanza que hay entre los polígonos ABCDEF y A′B′C′D′E′F′ por la razón de semejanza entre A′B′C′D′E′F′ y A″B″C″D″E″F″ se obtiene la razón de semejanza entre los polígonos ABCDEF y A″B″C″D″E″F″. Cámara oscura Análisis de resultados y conclusiones 5. A O B C B′ 3. Respuesta libre. a)La figura resultante es congruente con la original, pero invertida. b)Respuesta modelo. Con una homotecia con razón 1. 4. Respuesta libre. •La proporción es de 9 el área original. 4 Recursos adicionales Figuras homotéticas: http://www.edutics.mx/4KN •Las imágenes se ven invertidas y más pequeñas. •El tamaño de la imagen es mayor si el objeto se encuentra cerca del orificio. La imagen disminuye de tamaño al alejar el objeto del orificio. C′ Bloque 3 / secuencia 18 SD 18 Gráficas de relaciones cuadráticas Lectura y construcción de gráficas de funciones cuadráticas para modelar diversas situaciones o fenómenos. Prepararse para la secuencia Aprendizaje esperado Esta lección contribuye a que el alumno alcance el aprendizaje esperado: Lee y representa, gráfica y algebraicamente, relaciones lineales y cuadráticas. Conceptos principales: variación cuadrática, parábola, valores máximos y mínimos, modelo matemático y sus restricciones. Material: geoplano casero. Antecedentes • Análisis de representaciones (gráficas, tabulares y algebraicas), que corresponden a una misma situación. Identificación de las que corresponden a una relación de proporcionalidad. • Representación tabular y algebraica de relaciones de variación cuadrática identificadas en diferentes fenómenos de la física, la biología, la economía y otras disciplinas. Ideas erróneas 1. Es muy común que los estudiantes crean que toda gráfica debe ser necesariamente una línea continua, que no podría consistir en unos cuantos puntos. 2.Lo anterior puede deberse a que creen que es más importante la expresión algebraica f(x) que el conjunto de valores que puede tomar x (el dominio de la función), en realidad, son igual de relevantes. 3.También pueden creer que si una relación f(x) modela un fenómeno, lo hace de manera completa, esto no necesariamente es así. Inicio a partir de lo que sé (pág. 136) Con el problema inicial los estudiantes podrán recuperar sus conocimientos previos acerca de relaciones de variación cuadrática y observar la forma en que tales variaciones pueden usarse en problemas prácticos. No es un ejercicio de álgebra, no, se plantea un problema para que los estudiantes analicen la forma en que se construye el modelo matemático de un fenómeno real, observen sus restricciones y obtengan información consistente con la realidad a partir de ello. Resuelvo y aprendo (págs. 136-140) Durante el desarrollo de la secuencia, se trabajan pocos ejemplos de modelos matemáticos aplicados a problemas diversos, pero se analizan con mucho detalle. Todos ellos ponen a discusión los puntos principales a considerar en la construcción de modelos matemáticos: la obtención de la expresión algebraica y los valores permitidos para las variables. A partir de esto se discuten sus alcances y limitaciones. Consolido mis aprendizajes (pág. 141) Se resuelve completamente el problema inicial en función de los procedimientos aprendidos durante el desarrollo de la secuencia. También se retoman otros problemas del desarrollo de la secuencia para analizar los alcances y limitaciones del modelo matemático construido a partir de ellos. Por último, se invita a los estudiantes a proponer modelos propios con base en fenómenos de su interés y analizarlos. 25 Bloque 3 / secuencia 18 Solucionario y sugerencias didácticas 18 Gráficas de relaciones cuadráticas Bloque 3 Procedimiento Inicio a partir de lo que sé 1. Tracen un cuadrado de 10 cm por lado en el centro del papel ilustración o de la tabla. 2. Coloquen los clavos en el perímetro del cuadrado, de manera que queden separados 1 cm entre sí, y que haya uno en cada vértice del cuadrado. 3. Identifiquen del 0 al 10 las posiciones de los clavos en cada lado, comenzando por un vértice, de modo que la lectura siempre sea en el sentido horario como muestra la figura 3.38. 4. Seleccionen un número entero entre 0 y 10 y tensen la liga rodeando los cuatro clavos de cada lado del cuadrado con el número elegido (la figura 3.38 ilustra cómo luce la liga cuando se elige el número 3). Luego respondan. En parejas analicen la siguiente situación y respondan. Doña Elena tiene una pequeña fábrica de galletas, y como sus recursos son limitados en términos de espacio de trabajo, almacenamiento, herramientas y utensilios, lleva un registro de la productividad en relación con el número de empleados que contrata, todo con la idea de optimizar la producción. Completen la siguiente tabla, que muestra algunos datos de doña Elena. Observen cómo cambia la producción y sigan ese patrón. Número de trabajadores 0 Producción (galletas/hora) 0 1 50 2 90 3 120 4 140 5 150 Producción (galletas/hora) 180 160 140 120 100 80 60 40 20 Análisis de resultados y conclusiones • ¿Si eligen otro número se formará el mismo tipo de figura? • Justifiquen su respuesta a partir de sus conocimientos de geometría. 0 6 0 1 2 3 4 5 6 7 Número de trabajadores 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 10 • ¿Qué tipo de cuadrilátero forma la liga? 9 1 8 2 7 3 6 4 5 5 4 6 3 Fig.3.37 7 2 7 Discutan sus argumentos con otros equipos. Sólo al final, usen regla y transportador para corroborar sus respuestas. a) Consideren los datos de la tabla como pares ordenados (trabajadores, producción) y represéntenlos en el plano cartesiano. Unan esos puntos trazando una línea curva. • ¿Con base en la gráfica que construyeron dirían que la producción es directamente proporcional al número de trabajadores? ¿Por qué? • ¿Qué pasaría si el número de empleados continúa aumentando? • Señalen y expliquen algunas causas que justifiquen el cambio en la producción con relación al aumento de trabajadores. • ¿Cuál es la cantidad óptima de trabajadores para obtener la mayor producción? Justifiquen su respuesta. 8 1 9 0 10 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 Fig.3.38 • ¿Cuál es el área del cuadrilátero que formaron con la liga? Sugerencia: observen la figura que se forma con los clavos en línea y la liga. • Comparen su resultado con el de otros equipos. ¿Cómo varía el área en relación con el número del clavo donde colocaron la liga? • Completen la tabla. Relacionen la posición, x, de los clavos donde colocaron la liga con el área del cuadrilátero formado, A(x). Tracen los puntos (x, A(x)) en el plano cartesiano y construyan una curva que los una. ¿Qué forma tiene la gráfica? Resuelvo y aprendo Representación gráfica de funciones cuadráticas 1. En equipos resuelvan las siguientes situaciones. x Área A(x) (cm2) 0 100 90 2 80 3 a) En esta actividad formarán cuadrados en un geoplano. 4 5 Material - Un cuadrado de papel ilustración o una tabla de 15 cm por lado 1 - 40 clavos de 2 pulgada - Una escuadra graduada - Una liga grande - Un martillo SEXMA3SB_B3.indd 136 50 40 7 30 8 20 9 10 6 13 06/12/13 09:49 70 60 6 10 g. pá 136 100 1 Área (cm2) SECUENCIA 0 2 4 6 8 Número x 10 Fig.3.39 7 13 g. á p 137 SEXMA3SB_B3.indd 137 06/12/13 09:49 Inicio a partir de lo que sé Resuelvo y aprendo Página 136 Representación gráfica de funciones cuadráticas Sugerencia didáctica. Discuta con los estudiantes las ideas erróneas 1 y 2. Producción (galletas/hora) 0 50 90 120 140 150 150 140 Número de trabajadores 0 1 2 3 4 5 6 7 a) Producción (galletas/hora) 26 180 160 140 120 100 80 60 40 20 • • • • 5 6 • • • • 0 1 2 3 4 7 Número de trabajadores • No, porque la gráfica no es una línea recta. • La producción disminuirá. • Cuando los trabajadores son pocos, su trabajo es eficiente y la producción aumenta. Al haber más trabajadores se imponen las limitaciones de espacio y de herramientas, entonces no todos pueden trabajar, y se estorban mutuamente, por ello la producción deja de crecer. Página 137 1. a) Análisis de resultados y conclusiones. • Un cuadrado. • Sí. • Los cuatro triángulos que forman las esquinas y la liga son congruentes, pues los lados correspondientes miden lo mismo y todos son rectángulos. De aquí se sigue que los cuatro lados del cuadrilátero formado por la liga son iguales. Ahora, por ser triángulos rectángulos, la suma de sus ángulos agudos es 90°, de esto se sigue que los ángulos del cuadrilátero que forma la liga son todos de 90°. Entonces, como la figura siempre tiene sus cuatro lados y sus cuatro ángulos iguales, siempre es un cuadrado. • Respuesta libre. • Al ir aumentando el número seleccionado, el área del cuadrado disminuye, pero después empieza a crecer de nuevo. • Tabla completa. x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Área A(x) (cm2) 100 82 68 58 52 50 52 58 68 82 100 Bloque 3 / secuencia 18 Bloque 3 SeCueNCIA 18 • En grupo expongan sus procedimientos para obtener las áreas y valídenlos con apoyo de su profesor. Elijan el que consideren más adecuado. 27 SeCueNCIA 18 • ¿Entre qué valores está la producción diaria de leche? • De acuerdo con la gráfica, ¿qué distancia recorre un objeto a los dos segundos de • ¿Cuál fue la producción en el primer día de lactancia? • Si un objeto ha recorrido 45 m, ¿cuánto tiempo habrá transcurrido desde que se soltó? • El sistema óseo de los becerros alcanza su máximo desarrollo entre los 90 y 120 días. ¿Observan alguna relación entre este dato y la información que aporta la gráfica? • ¿Qué distancia ha recorrido a los 0 segundos? haberlo soltado? • Observen las figuras que forman los clavos en línea y las ligas que forman el cuadrado. ¿de qué figuras se trata? • Expresa los lados de esta figura en términos de x. • Propongan una expresión algebraica para calcular el área del cuadrilátero que forma la liga en términos del número x. • Si la relación entre la distancia recorrida y el tiempo es de tipo cuadrático, entonces debe tener la forma de la ecuación general de segundo grado, es decir, de la forma: d 5 at2 1 bt 1 c • De acuerdo con la gráfica, ¿en qué día, aproximadamente, ocurre la producción máxima de leche? • ¿Cómo cambia el área del cuadrilátero que forma la liga al variar el número x y cómo se aprecia este cambio en la gráfica? donde d es la distancia recorrida y t, el tiempo transcurrido. Te invito a… • La expresión algebraica que corresponde a la situación tiene la forma Y t = α + β1t – β2t2, donde Y t es la producción de leche en el día t, y α, β1, β2 son parámetros (cantidades constantes), con β2 < β1 muy pequeños. Los investigadores plantean que β1 es el factor relacionado con el aumento en la producción que predomina durante los primeros 120 días del periodo, mientras que β2 refleja la disminución diaria de la producción, que predomina en los siguientes días. ¿Este planteamiento es razonable? ¿Cómo se relacionan estos parámetros con el valor de t y la producción de leche? • ¿Es posible formar con la liga cuadriláteros de áreas iguales eligiendo números distintos? Señalen con qué números se obtienen áreas iguales. • ¿El área del cuadrilátero que forma la liga alcanza un valor mínimo, máximo o ambos? Indiquen para qué valores de x ocurre esto. • Por la forma en que se ha construido el geoplano, x no puede tomar valores mayores a 10. ¿La expresión algebraica que obtuvieron es consistente con este hecho? visitar la página electrónica: http://www. edutics.mx/4fN, donde observarás cómo varía la gráfica de una función cuadrática, y = ax2 + bx + c, al variar los parámetros a, b o c, y dejar fijos los demás. (Consulta: 10 de julio de 2013). • Sustituyan en la ecuación anterior los datos obtenidos en las preguntas anteriores para distancias y tiempos. Para t = 0 5 a(0)2 1 b(0) 1 c Por tanto c = Para t = 2 5a 2 1b 1c Para t = 3 5a 2 1b 1c • Calculen los valores de a, b y c. En su curso de Matemáticas de segundo grado aprendieron a resolver sistemas de ecuaciones 2 × 2. ¿Cómo pueden utilizar esos procedimientos para obtener esos valores? Expliquen. • ¿Qué relación observan entre la expresión algebraica de la producción de leche y la forma general de las ecuaciones de segundo grado? Expliquen. • Analicen la tabla y la gráfica, y decidan en cada una si se puede hablar de simetría. • De acuerdo con su respuesta anterior escriban la expresión algebraica que relaciona la distancia que recorre un objeto en caída libre y el tiempo. Expliquen su respuesta. 80 b) La ganadería bovina de doble propósito consiste en la producción de carne y leche, combinando el ordeño con el amamantamiento de los becerros hasta el destete. Para mejorarla, los investigadores agropecuarios construyen modelos matemáticos que faciliten la toma de decisiones relacionadas con el manejo del ganado. Aquí se muestra la gráfica llamada “curva de lactancia” construida a partir de registros de la producción diaria de leche durante la lactancia. Analícenla y respondan. 3 2 1 0 • ¿Consideran que la gráfica representa la información sobre un solo animal o es el promedio de la producción de cierto número de ellos? ¿Qué sería más útil? Discutan su respuesta con otros compañeros y con su maestro. 5 1 30 60 90 120 150 180 210 240 270 Días de lactancia Fuente: http://www.corpoica.org.co/sitioweb/Archivos/ Revista/8_Determinacindelacurvadel.PDF 138 SEXMA3SB_B3.indd 138 c) En su curso de Ciencias 2 estudiaron el movimiento de caída libre y aprendieron que la ecuación que relaciona la distancia que recorre un objeto en este movimiento y el tiempo de caída es cuadrática. La figura 3.41 muestra la gráfica de esta relación. 06/12/13 09:49 4 6 Área (cm2) Integración 40 2. En grupo y con ayuda del profesor completen los enunciados. Número x 8 a) Cuando una situación se puede modelar mediante una función cuadrática, su gráfica tendrá 20 la forma de 10 b) En la representación 0 1 2 3 4 5 Tiempo (s) 6 SEXMA3SB_B3.indd 139 10 Página 138 • Respuesta modelo. Se calcula el área del geoplano y se le resta el área de los cuatro triángulos. La expresión es: x (10 − x) A(x) × 100 − ( ), 2 donde x es el número elegido. Otra opción es aplicar el teorema de Pitágoras a uno de estos triángulos, ya que el área es el cuadrado de la hipotenusa. Así: A(x) = x2 + (10 − x)2. • Por la respuesta anterior, podemos afirmar que la variación de A(x) es cuadrática; esto se aprecia también en la gráfica, que es una parábola. • Sí es posible, si elegimos los números x y 10 − x, o sea, 0 y 10, 1 y 9, 2 y 8, 3 y 7, 4 y 6. • Alcanza ambos. Es mínima cuando x = 5 y máxima cuando x = 0 o x = 10. • Sí, porque los valores del área que se obtienen mediante la expresión corresponden con los valores de la gráfica en el intervalo de 0 a 10. • Sí. En la tabla, la columna muestra los mismos datos, reflejados de arriba abajo a partir de x = 5; este . de una relación cuadrática es más fácil observar si existen valores máximos o mínimos. 9 13 g. á p 139 • 100 • 90 • • 80 70 • • 60 • • • • • 50 40 30 20 10 2 50 Fig.3.41 La gráfica es una parábola. 0 En grupo compartan sus respuestas y procedimientos y valídenlos con ayuda de su profesor. 60 30 8 13 g. á p Fig.3.40 70 Distancia (m) Producción de leche (kg/día) 6 4 06/12/13 09:49 140 SEXMA3SB_B3.indd 140 0 14 g. á p 06/12/13 09:49 problema tiene su equivalente en la gráfica, pues la parábola tiene un eje vertical de simetría que pasa por su vértice. b) • Entre 3 y 5.3 kg al día. • 4 kg Página 139 • Sí. Se puede decir, a partir de la gráfica, que a esta etapa de máximo desarrollo óseo en el becerro le corresponde una etapa de máxima producción de leche en la vaca. • Alrededor del día 120. • Sí, porque cuando t es pequeño β1t > β2t2 y la curva crece. Pero después de cierto valor crítico de t, β1t < β2t2 y la curva decrece. Tal t crítico, por tanto, debe ser cercano al día de máxima producción. • El modelo matemático de la producción de leche es una función cuadrática. Cuando esta función se iguala a algún valor constante, se obtienen una ecuación de segundo grado o cuadrática. • Es razonable pensar que la información es estadística, pues para la ganadería sería más útil comprender el comportamiento de todo un conjunto de vacas, que sólo el de una de ellas. Página 140 c) • 20 m •3s •0m El punto donde el tiempo es 0 tiene las coordenadas (0, 0), por lo que la distancia también es 0. • A partir de los datos de las preguntas y respuestas anteriores tenemos que para t = 0 0 = a(0)2 + b(0) + c. 28 Bloque 3 / secuencia 18 • No, después de 11 personas el modelo pierde sentido, pues la producción empieza a dar un número negativo de galletas, lo cual carece de sentido. b) P = 0. En la realidad, la gente se organizaría para mantener algún nivel de producción, aun cuando tuviera espacios y herramientas limitados. 2. a) c = 100 b) a = 2 y b = −20 Usamos el procedimiento que ya se ha descrito. Para x = 1, Bloque 3 Te invito a… Consolido mis aprendizajes 1. En parejas respondan las siguientes cuestiones. a) Volvamos a la situación inicial y planteen una expresión algebraica que la modele. • ¿Tiene sentido considerar números negativos en este modelo? En la sección Herramientas digitales de la página 153, te invitamos a utilizar un software con el que relacionarás las gráficas de las relaciones cuadráticas con su ecuación • ¿En este modelo se podría considerar cualquier número (positivo) de personas? Si la respuesta es negativa, ¿hasta qué número de personas es razonable tratar? Si la respuesta es positiva, justifíquenla. b) A partir de la expresión algebraica que obtuvieron para la producción de galletas, cuando t 5 11, P 5 . ¿Esto es razonable en la realidad? Comenten y discutan sus conclusiones con sus compañeros y valídenlas con apoyo del profesor. 2. En la actividad 1 de la sección Resuelvo y aprendo, a partir de la gráfica construida podemos proponer una expresión A(x) 5 ax2 1 bx 1 c que modele el área de los cuadriláteros construidos con la liga y el geoplano. a) Sabiendo que cuando x 5 0, A(0) 5 100, concluimos que c 5 . b) Calculen los valores de a y b? • Entonces, la expresión buscada es A(x) 5 x2 x1 82 = a(1)2 + b(1) + 100; . ¿Es congruente esta expresión con la que obtuvieron anteriormente? para x = 2, c) ¿El punto (3.5, 54.5) pertenece a la gráfica que trazaron en el inciso a) de la actividad 1? ¿Qué sentido o interpretación se le puede asignar a ese punto? 68 = a(2)2 + b(2) + 100. d)¿El punto (3, 54) pertenece a la misma gráfica? Expliquen su respuesta. 3. En equipo propongan una ecuación cuadrática cualquiera. Las dos últimas expresiones nos llevan al siguiente sistema de ecuaciones: a) Elaboren su gráfica y planteen una situación que se represente con ella. b) Compartan con otro equipo la gráfica y la situación, y pidan que obtengan la expresión algebraica. Al final validen sus resultados. 41 .1 g pá a + b = −18, 4a + 2b = −32. 141 SEXMA3SB_B3.indd 141 06/12/13 09:49 Por tanto, c = 0. Para t = 2, 20 = a(2)2 + b(2); Al dividir la segunda ecuación por 2, este sistema se convierte en el nuevo sistema: a + b = −18, 2a + b = −16. para t = 3, 45 = a(3) + b(3). 2 • a = 5, b = 0, c = 0. Para obtener los valores se resuelve el siguiente sistema de ecuaciones: 4a + 2b = 20, 9a + 3b = 45. Respuesta modelo. Primero se divide la primera ecuación entre 2 y la segunda entre 3 para obtener: 2a + b = 10, 3a + b = 15. Después, se resta la primera a la segunda, para obtener a = 5. Al sustituir este valor en cualquiera de las ecuaciones se obtiene b = 0. • d = 5t2. Integración Página 140 2. a) Parábola. b) Gráfica. Consolido mis aprendizajes Página 141 1. a) S i P(t) es la producción y t el número de trabajadores, se tendrá que P(t) = −5t2 + 55t. • No tiene sentido, pues la variable representa un número de trabajadores, que ciertamente carece de un significado adecuado de ser negativo. Al restar de la segunda ecuación la primera, en este último par de ecuaciones, obtenemos a = 2. Al sustituir este valor en la primera de las ecuaciones del último par tenemos: 2 + b = −18 b = −18 −2 b = −20. • La expresión buscada es: A(x) = 2x2 − 20x + 100. Esta expresión es congruente con la que se obtuvo anteriormente, pues se obtiene al desarrollar la expresión A(x) = 100 − 4 ( x (10 − x) ). 2 c) El punto (3.5, 54.5) no pertenece a la gráfica, debido a que el geoplano restringe la cantidad x a sólo valores enteros. d) (3, 54) no pertenece a la gráfica, pues A(3) = 58 ≠ 54. 3. Respuesta libre. Recursos adicionales http://www.edutics.mx/4z7 Bloque 3 / secuencia 19 SD 19 Con rectas y curvas Lectura y construcción de gráficas formadas por secciones rectas y curvas que modelan situaciones de movimiento, llenado de recipientes, etcétera. Prepararse para la secuencia Aprendizaje esperado Esta secuencia contribuye a que el alumno alcance el aprendizaje esperado: Lee y representa, gráfica y algebraicamente, relaciones lineales y cuadráticas. Conceptos principales: lectura y construcción de gráficas, rectas, curvas, movimiento, llenado de recipientes. Materiales: hojas cuadriculadas y regla. Antecedentes • Lectura y construcción de gráficas de funciones lineales asociadas a diversos fenómenos. • Análisis de los efectos al cambiar los parámetros de la función y = mx + b, en la gráfica correspondiente. • Análisis de representaciones (gráficas, tabulares y algebraicas), que corresponden a una misma situación. Identificación de las que corresponden a una relación de proporcionalidad. Ideas erróneas 1. Los alumnos frecuentemente suponen que una gráfica representa directamente el problema por resolver, sin atender las verdaderas relaciones entre las variables. Inicio a partir de lo que sé (pág. 142) Se plantean diferentes gráficas que relacionan el radio del Universo con el tiempo, problema que los alumnos deben resolver a partir de las características geométricas de cada una de las gráficas y su interpretación. Resuelvo y aprendo (págs. 143-147) Los alumnos resolverán problemas a partir de sus conocimientos acerca de gráficas y las relaciones geométricas existentes entre sus variables. Determinarán, a partir de las observaciones de los diferentes puntos de interés de las gráficas, la información solicitada, así como la interpretación y mejor comprensión de los problemas modelados. Consolido mis aprendizajes (pág. 147) Los alumnos refuerzan lo aprendido por medio de la resolución de problemas prácticos empleando la observación y el razonamiento para interpretar las gráficas. 29 Bloque 3 / secuencia 19 Solucionario y sugerencias didácticas 19 Bloque 3 SeCueNCIA 19 Gráficas con secciones rectas y curvas Resuelvo y aprendo Inicio a partir de lo que sé En parejas analicen la siguiente situación y resuelvan lo que se pide. Gráficas formadas por segmentos de rectas Silvia y Bruno prepararon, para su clase de Ciencias, una exposición sobre distintos esquemas de evolución del Universo (incluyendo algunos ya descartados por los cosmólogos actuales, pero de cierto interés histórico) . Hicieron gráficas que muestran cómo cambia el radio del Universo con el tiempo. a) b) c) d) 1. En parejas analicen las gráficas y respondan. e) f) R R • ¿Qué distancia recorrió el automóvil en carretera durante la prueba? t g) h) R R t t R t t t t 2 1 km L Fig.3.42 Modelos de evolución del Universo; el eje horizontal representa el tiempo y el eje vertical, el radio del Universo. Descripción I El Universo primero se comprime y después se dilata. II Universo abierto: se expande sin límite. III Universo cerrado: primero se expande y después se contrae. 0 Fig.3.45 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 Distancia recorrida (km) • ¿Cuál será la población mundial estimada en 2050? IV Universo pulsante: se expande y se contrae una y otra vez. V El Universo se expande de manera directamente proporcional al tiempo. VI El Universo se expande cada vez más lento, aproximándose a un radio límite. Universo estacionario: su tamaño siempre permanece igual. VIII El Universo se expande, permanece estacionario cierto tiempo y después continúa su expansión. g) • Entre 1950 y 2000 el crecimiento poblacional anual fue de 12.000 millones de habitantes/año. Evolucióndelapoblaciónmundial 1500-2050 10.000 8.000 6.000 4.000 2.000 0 Años 2. En grupo completen los enunciados y analicen sus propuestas. Valídenlas con apoyo de su profesor • La pelota está a una altura fija. Fig.3.44 a) En una gráfica formada por secciones rectas, cada segmento de recta indica una • La pelota se lanza desde el suelo, alcanza cierta altura y cae al suelo. variación de tipo c) Argumenten y comparen sus respuestas con las de otros equipos. Valídenlas con ayuda de su maestro y corríjanlas si es necesario. las variables les corresponde una SEXMA3SB_B3.indd 142 entre las variables involucradas. Si las de los segmentos son distintas, entonces a la relación entre 42 .1 g pá 142 06/12/13 09:49 43 .1 g pá 143 06/12/13 09:49 Inicio a partir de lo que sé Sugerencia didáctica. Muestre las variaciones geométricas de expansión y contracción al subir y bajar en las gráficas. E 200 G 250 300 350 400 b) Propongan otra situación que se describa con la gráfica anterior. d) Propongan otra situación que se exprese mediante una gráfica como la anterior (es decir, planteen otras variables). Escríbanla en su cuaderno. 144 SEXMA3SB_B3.indd 144 4 14 g. á p 06/12/13 09:49 Modelo Gráfica I f) II c) III h) IV b) V g) VI e) VII a) VIII d) Resuelvo y aprendo Página 143 1. a) • 20 km •2L • En el recorrido por carretera. • 8 km/L en la ciudad; 10 km/L en carretera. • La inclinación de la recta. b) • 10 200 millones de habitantes. • Sí. 1.6 veces. • 76 millones al año. a) Integración 2. a) Lineal, inclinaciones, constante. Página 144 3. a) • A partir del pizarrón, Gregorio camina junto a la ventana hacia el fondo del salón con aire pensativo. Va y viene, cada vez un poco más de prisa hasta que se detiene, iluminado quizá por una revelación. R t 150 c) En a) la gráfica permanece constante. En h) primero aumenta y después disminuye. Página 142 R Fig.3.46 de proporcionalidad distinta. SEXMA3SB_B3.indd 143 100 a) Analicen la gráfica y lean las siguientes situaciones. ¿A cuál de éstas corresponde? • El pistón de una máquina hidráulica sube y baja de manera uniforme (siempre con la misma rapidez) hasta que una falla eléctrica provoca que se detenga. • A partir del pizarrón, Gregorio camina junto a la ventana hacia el fondo del salón con aire pensativo. Va y viene, cada vez un poco más de prisa hasta que se detiene, iluminado quizá por una revelación. • En una carrera de obstáculos de un parque de diversiones, Jimena sube y desciende para cruzar una zona de colinas aumentando su rapidez para aventajar a las demás competidoras. Finalmente deja atrás las colinas y llega a una meseta. c) La alcoholemia es la cantidad de alcohol en la sangre expresada como una concentración (gramos de alcohol puro por litro de sangre). Al registrar los niveles de alcoholemia a lo largo del tiempo desde la ingesta del alcohol se obtiene una gráfica conocida como Curva de Widmark (distinta para cada individuo). Ubiquen en esta gráfica las regiones que corresponden con las siguientes fases del comportamiento del alcohol en el organismo. • Absorción: es el paso del alcohol desde la vía Alcoholemia (g/L) digestiva hasta la sangre; se absorbe en el estomago y el intestino delgado, y alcanza la mayor con1.4 centración en la sangre 30 minutos después de 1.2 ingerirse. • Distribución: una vez que se absorbe el alcohol, 1 se distribuye de manera uniforme por todo el 0.8 organismo a través de la sangre. 0.6 • Metabolismo y eliminación: el metabolismo es el 0.4 conjunto de reacciones químicas que se producen en el organismo mediante las que se degrada 0.2 el alcohol (principalmente en el hígado); así se 0 degrada entre 90% y 98%. El resto, entre 2% y 0 1 2 3 4 5 6 10%, no se metaboliza y se elimina a través de secreciones corporales: sudor, orina, aire que Tiempo de permanencia del alcohol en el organismo desde la ingesta (h) espiran los pulmones. 1 500 1750 1800 1850 1900 1950 2000 2050 Integración b) Si R corresponde a la altura a la que se ubica una pelota, ¿cuál de las gráficas anteriores se ajusta a las siguientes descripciones: C 50 I Tiempo Fig.3.43 • ¿El crecimiento de la población mundial fue mayor entre los años 1950 y 2000 que entre 1500 y 1950? De ser así, ¿cuántas veces fue mayor? A 0 b) La gráfica muestra la población mundial, medida o estimada, para varios siglos. h) H 0 miento del automóvil? Gráfica VII b) • Gráfica a). • Gráfica h). en carretera. • ¿Qué característica de la gráfica se relaciona con el rendi- a) Completen la tabla relacionando las gráficas con sus descripciones. Bosquejen las gráfica de los modelos III y V. Modelo km L en la ciudad. F 3 • Sin hacer ningún cálculo numérico indiquen en qué tramo del recorrido el rendimiento del auto fue mayor. 3 2.5 2 1.5 1 0.5 D 4 • ¿Cuántos litros de gasolina consumió en ese tramo? • El rendimiento del automóvil en kilómetros recorridos por cada litro de gasolina es de: B 5 Distancia R R t a) La gráfica representa el consumo de combustible de un automóvil compacto popular en América Latina. Para obtener los datos se hizo circular el automóvil con rapidéz constante, primero en la ciudad y luego en carretera. Gasolina consumida (L) R 3. En parejas resuelvan lo siguiente. 6 Millones de habitantes SECUENCIA Con rectas y curvas 30 t Bloque 3 / secuencia 19 Bloque 3 SeCueNCIA 19 e) Para determinar la duración y regularidad del ciclo menstrual, así como la fecha de ovulación (información útil para implementar métodos conceptivos o anticonceptivos), los médicos recomiendan registrar la temperatura basal, esto es, la temperatura corporal de una mujer que acaba de despertar luego de dormir por lo menos 5 horas. Analicen la siguiente gráfica y respondan. • Dos recipientes, como los de los incisos a) y b), se ensamblan y conectan para formar el del inciso c). Consideren que los tres se llenan con llaves que mantienen flujos constantes e iguales de agua. Relacionen cada inciso con una de las siguientes gráficas, según el aumento de la altura del líquido en los recipientes. Argumenten sus respuestas. Temperatura (0 °C) I 37.4 37.3 37.2 37.1 37 36.9 36.8 36.7 36.6 36.5 36.4 36.3 36.2 II III h (cm) h (cm) Menstruación Menstruación IV h (cm) h (cm) Ovulación ( ) t (s) ( 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 Días t (s) ) ( t (s) ) ( ) t (s) • ¿Cómo sería el recipiente que le correspondería a la gráfica que sobra? Fig.3.49 1 Fig.3.47 • Describan cómo varía la temperatura en los siguientes periodos. • ¿Las gráficas serían distintas si la base de los prismas fuera circular, pero con la • Del día 1 al 14: misma área y conservaran el mismo volumen? • Del día 14 al 16: • Si los recipientes estuvieran llenos y el experimento consistiera en extraer igual cantidad de agua en el mismo tiempo, ¿cómo serían las gráficas de cada uno? Dibújenlas en sus cuadernos. • Del día 16 al 26: • Del día 26 al 30: g) Se tienen dos recipientes cónicos de la misma altura e igual radio, pero orientados como se muestra en los incisos a) y b) de la figura 3.50, y se llenan a la misma razón. • A partir de la temperatura basal, ¿podrían decir cuál es la fecha de ovulación? • ¿En cuál de ellos la altura aumentará más rápido en los primeros instantes de • ¿Cómo determinarían la presencia del periodo menstrual con base en la temperatura basal? llenado? • ¿Cómo identificas en la gráfica los momentos en que la altura aumenta rápidamente? • ¿Cómo utilizarían gráficas como esta para determinar si el periodo menstrual en una mujer es regular? a) f) Se tienen dos recipientes con forma de prisma rectangular iguales, pero orientados como muestra la figura 3.48, incisos a) y b). b) • Relaciona cada recipiente con la gráfica que le corresponde. ( a) b) ) ( c) ) Volumen • Si ambos recipientes se llenan de agua simultáneamente con lla- Il Volumen I ves iguales que arrojan la misma cantidad de agua en tiempos iguales, ¿cuál se llenará primero? Fig.3.50 h Tiempo • ¿La altura del líquido aumenta de la misma manera en ambos casos? ¿Por qué? Tiempo • ¿Cómo se relaciona la rapidez con que aumenta la altura y la forma de la gráfica? Fig.3.48 45 .1 g pá 145 06/12/13 09:49 Página 145 e) • La descripción es: - La temperatura es menor en 0.1 °C, aproximadamente. - La temperatura presenta un ligero aumento de 0.65 °C, aproximadamente. - La temperatura se mantiene por arriba del promedio. - La temperatura desciende 0.45 °C y llega a su valor inicial. • Es el día anterior al aumento pronunciado de la temperatura. • Respuesta libre. • Respuesta modelo. Comparando los periodos correspondientes a dos ovulaciones contiguas. f) • Se llenarán al mismo tiempo. • No. Aumenta más rápido en el recipiente vertical porque se mantiene la igualdad de volúmenes y la base de los recipientes tienen áreas diferentes. 06/12/13 09:49 Página 146 • Ib, la altura aumenta constante y lentamente, pues la base del prisma es grande; IIa, la altura aumenta constante y rápidamente, pues la base del prisma es pequeña; IIIc, se da una combinación de los casos anteriores. • Corresponde a los recipientes ensamblados verticalmente, pero en otro orden posible. • No, las gráficas serían iguales. I II h (cm) h (cm) t (s) t (s) III h (cm) t (s) g) • En el del inciso b). I a) II b) Tiempo Volumen b) Respuesta modelo. Un elevador sube y baja la misma distancia cada vez con mayor rapidez hasta que finalmente se detiene a una distancia de tres unidades. c) De 0 a 30 min, absorción; de 30 min a 1 h, distribución; después de 1 h metabolismo y eliminación. d) Respuesta libre. SEXMA3SB_B3.indd 146 Volumen SEXMA3SB_B3.indd 145 46 .1 g pá 146 Tiempo 31 32 Bloque 3 / secuencia 19 Integración Bloque 3 h) Supón que los siguientes recipientes se llenan con un flujo igual y constante de agua. Esboza la gráfica de la variación de la altura en función del tiempo. h (cm) a) b) zona 2 h (cm) zona 2 zona 1 zona 1 zona 1 zona 2 t (s) 4. a) A menor área, mayor rapidez de cambio. h (cm) c) zona 2 zona 1 zona 2 t (s) zona 1 zona 1 zona 2 t (s) Consolido mis aprendizajes Fig.3.51 Integración visitar la página electrónica: http://www. edutics.mx/4SQ para realizar simulaciones y gráficas de llenado de recipientes. a) En el llenado de recipientes, la rapidez con que cambia la altura del líquido depende del área de la sección transversal del recipiente. A área, 1. a) Respuesta libre. 2. a) Respuesta modelo. El candidato representado con línea roja disminuyó su popularidad 10%, entre junio y octubre de 2011. Después la elevó 3.6%, entre octubre y noviembre de 2011. Finalmente bajó 8.4%, de noviembre de 2011 a mayo de 2012. Te invito a… 4. En grupo y con la ayuda de su profesor completen lo siguiente. rapidez de cambio. Consolido mis aprendizajes 1. En parejas analicen las situaciones y respondan. a) Revisen sus respuestas al problema de la situación inicial y valídenlas en grupo con ayuda de su profesor. 2. La gráfica muestra los resultados de las preferencias electorales de candidatos a un cargo de elección popular. a) Describan el comportamiento de las preferencias de cada candidato. 50% 40% 37.0 39.9 33.3 30% 20% 30.6 26.0 25.3 29.8 31.3 27.0 26.3 26.8 26.3 30.6 32.9 26.9 22.2 10% Jun 11 Jul 11 Ago 11 Spt 11 Oct 11 Nov 11 Abr 12 May 12 b) ¿En qué momento alcanzaron respectivamente la mayor y menor popularidad? ¿Su popularidad se igualó en algún momento?, ¿en cuál? Fig.3.52 c) Si la elección fuera a principios de junio de 2012, ¿quién se esperaría que ganara según las encuestas? ¿Esta estimación se hubiera esperado en junio de 2011? h (cm) 3. La siguiente gráfica ilustra el llenado de un recipiente cuando recibe un flujo de agua constante. Esbocen en su cuaderno el perfil del recipiente. 4. Imaginen que desean construir un reloj de agua graduado para la clase de Ciencias. A partir de las gráficas que han analizado, ¿qué forma de recipiente considerarían la mejor? zona 1 zona 2 Fig.3.53 zona 3 t (s) 47 .1 g pá 147 SEXMA3SB_B3.indd 147 06/12/13 09:49 • La inclinación de la curva es mayor cuando la altura cambia rápidamente; identificando las regiones más inclinadas de la gráfica se tienen los aumentos más rápidos de altura. Página 147 h) h (cm) El candidato con línea azul elevó su popularidad 0.3%, de junio a octubre de 2011. Y de octubre a noviembre de 2011 la elevó 4.3% más. Sin embargo, de noviembre de 2011 a abril de 2012 aumentó 9.3%. En cambio, de abril a mayo de 2012 disminuyó 7%. b) El candidato azul tuvo mayor preferencia en abril de 2012 y la menor en julio de 2011; el rojo tuvo la mayor en junio de 2011 y la menor en mayo de 2012. Tuvieron la misma popularidad en octubre y noviembre de 2011. c) Ganaría el candidato representado por la línea azul, contrario a lo esperado el 11 de junio. 3. Respuesta modelo. a) t (s) Zona 1 Zona 2 h (cm) b) t (s) Zona 1 Zona 2 h (cm) 4. Cualquier prisma recto. c) Recursos adicionales t (s) Zona 1 Zona 2 Gráfica por pedazos: http://www.edutics.mx/4zh Bloque 3 / secuencia 20 SD 20 Probabilidad de eventos independientes Cálculo de la probabilidad de ocurrencia de dos eventos independientes (regla del producto). Prepararse para la secuencia Aprendizaje esperado Al término de esta secuencia el estudiante podrá resolver problemas que implican calcular la probabilidad de eventos complementarios, mutuamente excluyentes e independientes. Conceptos principales: probabilidad, espacio muestral, eventos dependientes, eventos independientes, regla del producto. Materiales: hojas cuadriculadas y regla. Antecedentes • Conocimiento de la escala de la probabilidad. Análisis de las características de eventos complementarios, eventos mutuamente excluyentes e independientes. • Cálculo de la probabilidad de ocurrencia de dos eventos mutuamente excluyentes y de eventos complementarios (regla de la suma). Ideas erróneas 1. El estudiante tal vez no pondere la importancia del espacio muestral como herramienta para calcular probabilidades. 2. También puede tener dificultades para discernir cuándo dos eventos son dependientes y cuándo independientes. 3. Puede ser que la notación le induzca la idea de que el cálculo de probabilidades de eventos compuestos es difícil, sin embargo, la dificultad puede estar en los planteamientos, la notación que usamos aquí puede ser de gran ayuda si se usa correctamente. Inicio a partir de lo que sé (pág. 148) El problema inicial brinda la posibilidad de que el alumno recupere sus conocimientos acerca de la forma de calcular probabilidades y el uso de la regla de la suma; también presenta de una manera muy intuitiva la regla del producto para el cálculo de la probabilidad de un evento compuesto por dos eventos, en este caso dependientes. Resuelvo y aprendo (págs. 148-151) Las actividades y problemas propuestos están estructurados de manera muy concatenada, es indispensable seguir el orden establecido y no hacer omisiones para alcanzar los aprendizajes esperados. Se introduce una notación para eventos compuestos que permite distinguir eventos dependientes de eventos independientes, y se presenta la regla del producto general, para eventos de cualquiera de estos dos tipos. Consolido mis aprendizajes (pág. 152) Se resuelve completamente el problema inicial en términos de las reglas del producto y de la suma. La decisión que se pedía al inicio puede tomarse con base en argumentos en su totalidad intuitivos, sin embargo, usando los conocimientos adquiridos puede darse una respuesta cuantitativa, eso se realiza en esta sección. Aquí se ha procurado desplegar todos los conocimientos que hasta ahora tiene el alumno sobre la probabilidad. 33 34 Bloque 3 / secuencia 20 Solucionario y sugerencias didácticas 20 Probabilidad de eventos independientes SECUENCIA Bloque 3 b) Un segundo experimento consiste en extraer otra canica una vez que se ha realizado el primero sin devolver la canica a la bolsa. • Si se sabe que la primera canica extraída es azul, completen el espacio muestral de este segundo experimento. {A, , , R, } • Ahora consideren los siguientes eventos del segundo experimento. A2: Sale la canica azul. V2: Sale la canica verde. R2: Sale la canica roja. • Calculen las siguientes probabilidades, suponiendo que la primera canica extraída fue azul: Inicio a partir de lo que sé En parejas lean la siguiente situación. La prueba final del programa de televisión Dos por tres: ¡responda de una vez!, consiste en elegir entre dos urnas que liberan al azar una bola cuando se giran sus perillas; el participante gana si saca una bola negra. Una de las urnas es simple y contiene dos bolas blancas y una negra; la otra es doble y hay que accionar dos perillas: al girar la de arriba una de las dos bolas de la cabina superior se libera y cae en la cabina inferior; luego se acciona la perilla de abajo para sacar una de las tres bolas de la cabina inferior. P (A2 A1) 5 Urna doble P (A2 V1) 5 Fig.3.54 P (V2 V1) 5 c) Expliquen su procedimiento para encontrar la respuesta, expónganlo ante el grupo y valídenlo con ayuda de su profesor. a) ¿Qué urna debería elegir el participante para tener las mayores probabilidades de ganar? ¿Por qué? Argumenten su respuesta. d) Supongamos ahora que para realizar el segundo experimento, primero se devuelve a la bolsa la primera canica extraída. • ¿Cómo sería el espacio muestral de este segundo experimento? Represéntenlo en su cuaderno. Resuelvo y aprendo • Entonces: P (A2 A1) 5 Notación El símbolo P (B A) indica la probabilidad de que ocurra el evento B una vez que ha ocurrido el evento A. P (B ) significa, entonces, la probabilidad de que ocurra B sin considerar que ha ocurrido A o cualquier otro evento. P (V2 A1) 5 • ¿Estas probabilidades cambiarían si la primera canica extraída hubiese sido ver- Probabilidad de eventos dependientes e independientes de? Explica. 1. En equipos analicen y resuelvan las siguientes situaciones. e) Si la canica extraída se devuelve a la bolsa, ¿los eventos A1 y A2 son dependientes o independientes? Justifiquen su respuesta. a) En una bolsa hay tres canicas azules, dos rojas y una verde. Un primer experimento consiste en sacar una canica al azar y registrar su color. • Completen la siguiente representación del espacio muestral de este experimento. {A, A, , R, , } • Consideren los siguientes eventos: • A1: Sale una canica azul. • V1: Sale una canica verde. • R1: Sale una canica roja. • Cuando la canica extraída no se devuelve a la bolsa, ¿los eventos A1 y A2 son dependientes o independientes? Justifiquen su respuesta. • Calculen: P (A1) 5 Integración P (V1) 5 2. En grupo y con ayuda de su profesor completen las siguientes hipótesis. Fig.3.55 • Completen el siguiente enunciado. Los eventos (A1 o V1) y R1 son complementarios, y por ello podemos calcular P (R1) así: P (R1) 5 1 2 [ + P (V1)] 5 . ¿Cómo comprobarían este resultado? 8 14 g. á p 148 SEXMA3SB_B3.indd 148 06/12/13 09:49 Inicio a partir de lo que sé Página 148 a) Respuesta modelo. La urna doble. Respuesta libre. Resuelvo y aprendo Probabilidad de eventos dependientes e independientes Página 148 1. a) • {A, A, A, R, R, V}. Sugerencia didáctica. Discuta la idea errónea 1 en el contexto de este problema. Señale a los alumnos la importancia de tener a la vista el espacio muestral y considerar si se modifica o no tras realizar cada experimento. • 0.5 • 0.167 • Respuesta modelo. Los eventos (A1 o V1) y R1 son complementarios, por ello, podemos calcular P(R1) así: P(R1 ) = 1 − [P(A1) + P(V1)] P (V2 A1) 5 • ¿Cómo serían estas probabilidades si la primera canica extraída hubiese sido verde? Urna simple = 0.333. a) Si los eventos A y B son se cumple que P (B A) 5 P (B). b) Si los eventos A y B son se cumple que P (B A) P (B). 9 14 g. á p 149 SEXMA3SB_B3.indd 149 06/12/13 09:49 Página 149 b) • {A, A, R, R, V}. • Tendríamos que considerar los tres casos posibles, correspondientes a que la primera canica extraída sea azul (que ya se enlistó en el punto anterior), roja: {A, A, A, R, V}, o verde: {A, A, A, R, R}. • P(A2|A1) = 0.4 y P(V2|A1) = 0.2. • P(A2|V1) = 0.6 y P(A2|V1) = 0. c) Respuesta libre. d) • {A, A, A, R, R, V}. • P(A2|A1) = 0.5 y P(V2|A1) = 0.167. • No cambiarían, pues si la primera canica ha sido devuelta a la bolsa, el espacio muestral a considerar es el mismo. e) Respuesta libre. Integración 2. a) Son independientes. b) Son dependientes. Página 150 3. a) Son independientes. • P(S1) = 0.5 y P(S2|S1) = 0.5. • Respuesta libre. b) Hay que escribir en los recuadros, respectivamente y en el sentido de las manecillas del reloj co1 1 1 1 menzando desde arriba: , , A, S, A, , . 2 2 2 2 Bloque 3 / secuencia 20 • P(S2|S1) = 0.25. • Se relacionan mediante un producto, esto es: P(S2S1) = P(S2) × P(S1) = 1 × 1 2 2 = 1 . 4 • P(S2|A1) = 0.25. • Sí, pues también se cumple que P(S2|A1) = P(S2) × P(A1) = 1 × 1 2 2 = 1 . 4 c) • P(S1 S2S3) = 0.125. 1 1 1 • P(S1S2S3) = × × = 1 . 2 2 2 8 • P(S1S2S3) = P(S1) × P(S2S1) × P(S3S1|S2); P(S1 S2S3) = P(S1) × P(S2) × P(S3). • Sí, porque los eventos S1, S2 y S3 son independientes, de modo que P(S2) = P(S2|S1) y P(S3) = P(S3|S1S2). d) P(A1 S2 A3) = 0.125. Página 151 • Siguiendo los resultados anteriores, se observa que P(A1 S2 A3) = P(A1) × P(S2) × P(A3). 4. a) • P(R1) = 0.33. • P(V2|R1) = 0.2. • P(A3|R1V2) = 0.75. • P(R1V2A3) = 0.05. b) Respuesta libre. 5. a) P(A y B) = 0.028. Integración 6. a) Si los eventos A y B son dependientes, se cumple que P(B y A) = P(B) × P(B|A). b) Si los eventos A y B son independientes, se cumple que P(B y A) = P(B) × P(A). c) P(C y B y A) = P(C) × P(B) × P(A). Consolido mis aprendizajes Página 152 1. a) • {B, B, N}; 1 . 3 • {B, B, N}. • {B, N, N}. • El diagrama se completa escribiendo 21 en la casilla de la izquierda y 31 en cada una de las casillas de la columna derecha. • 1 3 • 1 6 b) P(N2 y B1) = P(B1) × P(N2|B1) 1 × 1 = 2 3 1 = , 6 o P(N2 y N1) = P(N1) × P(N2|N1) 1 × 2 = 2 3 1. = 3 • Suman; 1 + 1 = 3 = 1 . 6 2 3 6 c) 1 ; 1 ; doble. 3 2 Recursos adicionales Miller, Charles D. et al., Matemática: Razonamiento y aplicaciones, 8a.ed., Pearson, México, 1999. Su exposición de la probabilidad, en particular de la regla del producto, y su tratamiento de los eventos compuestos puede serle de mucha utilidad. 35 36 Bloque 3 / HABILIDADES DIGIALES Bloque 3 HABIlIDADeS DIGITAleS Habilidades digitales Adivina y grafica la función cuadrática Ahora trabajaremos con un software para graficar, con el que aplicarás tus conocimientos sobre funciones cuadráticas. ¡Adelante! Opción cuadrícula Te invito a… 1. Abre el programa (figura 1), da clic sobre el menú Ventana y selecciona la opción Adivinar: se desplegará una nueva ventana llamada Adivinar mi ecuación, que muestra una gráfica que corresponde a una función cuadrática (figura 2). Entrar a la página http://www.edutics. mx/47J para obtener un programa graficador gratuito. (Consulta: 10 de julio de 2013). Ventana cuadrícula Fig.3 Fig.1 Fig.4 3. Ahora haz clic en el menú Ecua y elige la opción Adivinar: aparecerá una ventana donde podrás “adivinar” la ecuación de la gráfica. Obsérvala y en el respectivo campo escribe la ecuación que pienses que le corresponde. Si la ecuación que propones es incorrecta, ésta se graficará junto a la original y podrás intentarlo de nuevo; por el contrario, si la ecuación es correcta, aparecerá la leyenda: ¡Perfecto! (figura 5). Nueva ventana Función cuadrática Fig.2 2. Da clic sobre el menú Ver, elige la opción Cuadricula (figura 3), llena los campos rectangular y punteado, y presiona aplicar (figura 4). Con base en la información de la gráfica completa la siguiente tabla con los valores de y que corresponden con los valores de x. x 27 26 25 24 23 22 21 0 1 2 3 4 5 6 7 y a) ¿Para qué valores de la variable x la función es igual a cero? Fig.5 Ahora da clic sobre el menú Ecua y selecciona la opción Respuesta para obtener la ecuación correcta en su forma factorizada. Compara tus resultados con los de tus compañeros. b) ¿Qué valores de la variable x alcanzan los niveles máximo y mínimo? 3 15 g. á p 153 SEXMA3SB_B3.indd 153 4 15 g. á p 154 06/12/13 09:49 SEXMA3SB_B3.indd 154 06/12/13 09:49 Bloque 3 4. Da clic sobre el menú Ventana y seleccionen la opción 2-dim: aparecerá una nueva ventana con un plano cartesiano. Haz clic sobre el menú Ecua y selecciona la opción Explicita; se desplegará la ventana y 5 f ( x ) (figura 6). En el campo f ( x ) 5 escribe: C(x2A)(x2B) y presiona ok; surgirá la ventana inventario (figura 7). Regresa a la ventana del plano cartesiano, da clic sobre el menú Anim, selecciona la opción Individual y da clic en A; en la pantalla aparecerá la ventana valor actual de A. Sigue el mismo procedimiento para obtener las ventanas de los valores de B y C (figura 7). Fig.6 Ventana inventario Ventanas Valor de A, B y C, respectivamente Gráfica la función cuadrática y 5 C (x 2 A) (x 2 B) Fig.7 5. En la ventana valor actual de C presiona las pestañas y para cambiar el valor de este parámetro; haz lo mismo para los parámetros A y B. a) ¿Qué ocurre con la forma de la gráfica de la función al cambiar los valores del parámetro C? b) ¿Qué pasa con los valores en los que la función cambia a cero? c) ¿Qué ocurre cuando se modifican los parámetros A y B? d)Explica qué significan los parámetros A y B en la ecuación cuadrática y por qué modifican la gráfica en la forma en la que lo observas. Compara tus respuestas con las de tus compañeros y en grupo valídenlas con ayuda de su profesor. 55 .1 g pá 155 SEXMA3SB_B3.indd 155 Respuestas 06/12/13 09:49 x −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 y 60 45 32 21 12 5 0 −3 −4 −3 0 5 12 21 32 a) Para x = −1 y x = 3. b) El mínimo se alcanza en x = −4 y el máximo se alcanza en x = −7. 5. a) Respuesta modelo. Cuando cambia el valor de C cambia el ancho de la parábola: si C crece, la parábola se desplaza hacia abajo y se hace más delgada. Si C decrece, la parábola se hace más ancha y el vértice se acerca al eje X. b) Respuesta modelo. Cuando la función es cero, ocurre que x = A o x = B. c) Respuesta modelo. Cambia el ancho de la parábola y se desplaza de lugar. d) Respuesta modelo. A y B son los valores de x para los cuales la función es cero, es decir, donde la parábola interseca al eje X. Si estos valores cambian, los puntos de intersección también, por lo que la parábola se ve modificada. Bloque 3 / EVALUACIÓN PoNTe A PRueBA PISA Ponte a prueba PISA 1. La figura 1 muestra el cuadrado ABCD; el punto O se encuentra en el centro y el área en color verde tiene 36 cm2. B A O Fig.1 D C a) ¿Cuánto miden los lados del cuadrado? 2. Los triángulos ΔBAD, ΔDEH y ΔFGH se obtuvieron a partir de trazos y dobleces con una hoja rectangular como se observa en la figura 2. FG es paralelo a BD . A B C D E F H Fig.2 G a) Explica por qué los triángulos DEH y FGH son semejantes. b) ¿Los ángulos ABD y HFG son iguales? Explica tu respuesta. c) ¿Los triángulos DEH y BAD son semejantes? Justifica tu respuesta. 156 SEXMA3SB_B3.indd 156 06/12/13 09:49 Respuestas 1. a) 12 cm 2. a) ∠DHE = ∠GHF, por ser opuestos por el vértice; ∠DEH = ∠HGF = 90°, por construcción; ∠GFH = ∠EDH, consecuencia lógica de lo anterior. Por tanto, DEH ~ FGH. b) Hay que demostrar que DEH ∼ ABD ∼ FGH. De donde AD = HG. EH EH Por tanto, AD = HG. Así, ABD = HFG. c) Pruébese que ABD ∼ BDH y que BDH ∼ DEH. 37 Bloque 3 1 / secuencia Evaluación 17 Bloque 3 3. Ana y Javier juegan con tres dados: uno con 3 caras azules y 3 verdes, otro con 2 caras azules y 4 verdes y el tercero con todas las caras verdes. Javier y Ana lanzan cada uno sólo un dado: si las caras que quedan hacia arriba en los dos dados son del mismo color, gana Ana, de lo contrario gana Javier. Javier elije el dado con 4 caras verdes y 2 azules. a) ¿Qué dado le conviene elegir a Ana? 4. En 1984, científicos del Massachusetts Institute of Technology (MIT) diseñaron un avión impulsado por pedales al que se le llamó Daedalus 88, y que se construyó con los materiales ligeros más avanzados, por lo que su masa era de apenas 31 kg, menos de la mitad que su piloto; sin embargo, la envergadura de la nave fue de 34 m, mayor que la de un jet Boeing 727. En abril de 1988, el Daedalus 88 hizo una histórica travesía de 118 kilómetros entre las islas de Creta y Santorini. En una de las pruebas, la velocidad del viento a favor fue de 5 km y el aparato tardó media h hora menos en recorrer los 75 km. a) De las siguientes expresiones subraya la que represente algebraicamente el tiempo de recorrido del Daedalus 88. Recuerda que t = d , donde t es el tiempo de recorrido; d, es la distancia, y v, la velocidad. • V 75 2 1 2 5 v V15 75 • V 75 2 1 2 5 V25 75 75 • V 2 1 2 75 75 • V 2 5 V15 1 2 75 5 V25 5. En la siguiente gráfica se muestra un mareograma basado en datos tomados en el puerto de Morgat, Francia, el 4 de julio de 2013. Gráfica de la marea en el puerto de Morgat, Francia 6 5.5 5 Altura (m) 38 4.5 4 3.5 3 2.5 2 0 2 4 6 8 10 12 14 Tiempo (horas) 16 18 20 22 Fig.3 a) ¿Qué es la marea? ¿Qué información se obtiene de un mareograma? b) ¿Qué información proporciona el punto en la gráfica? c) ¿Qué horas del día son adecuadas para practicar surf con la marea alta? 157 SEXMA3SB_B3.indd 157 06/12/13 09:49 Respuestas 3. a) El dado con tres caras verdes y tres azules. 75 1 75 . 4. a) V − 2 = V+5 5. a) La marea es un movimiento periódico y alternativo de ascenso y descenso de las aguas del mar, producido por la atracción del Sol y de la Luna. Un mareograma es un registro de las oscilaciones del nivel del mar. b) Que en la cuarta hora la altura de la marea era de 5 m. c) A las 3 o a las 15 h, aproximadamente. Bloque 3 / EVALUACIÓN PoNTe A PRueBA eNlACe Ponte a prueba ENLACE Una hoja rectangular mide 8 1 x centímetros de base por 15 1 x centímetros de altura, y el área total de la hoja es de 460 cm2. Si se pretende resolver el problema con la fórmula general para ecuaciones cuadráticas, ¿cuáles son los valores de a, b y c que permiten aplicar la fórmula de manera correcta? a) a 5 1, b 5 23 y c 5 340 c) a 5 8, b 5 15 y c 5 460 b) a 5 28, b 5 215 y c 5 460 d)a 5 1, b 5 223 y c 5 340 1. La figura muestra dos construcciones que proyectan su sombra a la misma hora del día. Calcula la altura de la construcción más alta. a) 7 u c)6 u b) 5 u c)4.2 u 2u 1.2 u 4.2 u 2. Observa la figura y encuentra las medidas de a y b. 3u 4u a) a 5 3, b 5 4 5u b) a 5 3.5, b 5 4.6 a c) a 5 3.36, b 5 4.48 b d) a 5 4, b 5 5 5.6 u 3. Determina el valor de la razón de homotecia de la siguiente construcción homotética. B’ C’ A b) 2 O c) 21 A’ B a) 1 C d)22 4. La gráfica muestra la posición de un móvil con respecto del tiempo. ¿En qué momento se detuvo? c) Del segundo 3 al 5. b) Del segundo 2 al 3. d) Del segundo 6 al 8. 7 5. Al lanzar cuatro dados de cubilete de seis caras, ¿qué probabilidad hay de que en todas las caras superiores salga un as? 1 a) 64 1 b) 46 1 c) 24 4 d) 6 Posición (m) a) Del segundo 0 al 2. 6 5 4 3 2 1 D A 0 1 B C 2 3 E 4 5 6 Tiempo (s) 7 F 8 158 SEXMA3SB_B3.indd 158 06/12/13 09:49 39 Bloque 3 / Evaluación Evaluación Bloque 3 Nombre del alumno Grupo Fecha Subraya la respuesta correcta. 1. El número de soluciones que tiene la ecuación x2 + 4x + 6 = 0 es: A)Ninguna. B) Una. C)Dos. D) Una infinidad. 2.Las soluciones de la ecuación (x − 1) (x + 4) = 16: A)−1 y 4 B) 1 y −4 B)17 y 12 D) Ninguna de las anteriores. 3.¿Con cuál de los siguientes casos se construyen triángulos semejantes? A)Con cualquier triángulo equilátero. B)Con cualquier triángulo que sus ángulos sumen 180° C)Con cualquier triángulo que tenga un lado igual a 8 cm, un ángulo de 30° y otro lado de 5 cm. D)Con cualquier triángulo isósceles. 4.¿Con qué criterio se obtienen triángulos congruentes al trazar la diagonal mayor de un romboide? A)Con ningún criterio, pues no se forman triángulos congruentes al trazar la diagonal mayor. B)Con el criterio de LAL, pues los lados de un romboide miden lo mismo y los dos triángulos tiene un mismo ángulo de 90°. C)Como la diagonal divide en dos partes iguales dos de los ángulos internos del romboide, los triángulos son congruentes por el criterio de AA. D)Son congruentes por el criterio de ALA, pues comparten la diagonal como uno de sus lados y los ángulos que forman la diagonal con lados son miden lo mismo. 5.¿Cuál es la longitud del segmento EB en la siguiente figura? A)1.84 B) 2.17 C)4.89 D) 2.26 A AD = 3 AE = 3.26 DC = 2 C D E B 6.¿Cuál de las siguientes situaciones se puede resolver con el teorema de Tales? A)Conocer el perímetro de las partes en la que se dividió una pieza triangular si se le hizo un corte paralelo a su altura. B)Conocer el perímetro de las partes en la que se dividió una pieza con forma de un triángulo rectángulo si se le hizo un corte paralelo a su altura. C)Conocer el perímetro de un triángulo rectángulo si sólo de conocen dos de sus lados. D)Conocer el área de cualquier triángulo donde sólo se conoce el perímetro. 42 Bloque 3 / Evaluación 7.Una figura es homotética a otra si… A)existe una razón de proporcionalidad entre los lados correspondientes. B)son figuras congruentes y la recta que une los vértices correspondientes coinciden en el mismo punto. C)la recta que une a los vértices correspondientes coinciden en un mismo punto. D)son figuras semejantes y la recta que une a los vértices correspondientes coinciden en un mismo punto. 8.El área de un círculo se obtiene con la ecuación A = πr 2. En un plano cartesiano se grafica esta expresión, donde los valores de r se representan en el eje horizontal y los de A en el vertical. ¿Cómo es la gráfica? A)Una recta que sube de izquierda a derecha y pasa por en punto (0, π) B)Una recta que baja de izquierda a derecha y pasa por el punto (0, 0). C)Una curva que sube de izquierda a derecha y pasa por en punto (0, 0) D)Una recta que baja de izquierda a derecha y pasa por el punto (0, π). 9.La gráfica de la distancia que recorre un automóvil se compone por tres secciones: la primera es un línea curva que sube de izquierda a derecha, luego una línea recta que sube de izquierda a derecha y la tercera una recta horizontal. ¿Qué enunciado describe el comportamiento del automóvil? A)Primero el auto va aumentando su velocidad, luego se mantiene a una velocidad constante, al final disminuye su velocidad pero sigue avanzado a una velocidad constante. B)Primero el auto va aumentando su velocidad, luego se mantiene a una velocidad constante, luego se detiene. C)El auto va a una velocidad constante luego disminuye su velocidad y al final la aumenta y avanza con esa velocidad constante. D)El auto va disminuyendo su velocidad, luego la aumenta y sigue avanzado con esa velocidad constante, luego la disminuye otra vez y sigue avanzado con esa velocidad constante. 10.Pablo está buscando la casa de Jorge. Primero llega a una esquina donde la calle se divide en tres calles y si toma cualquiera de esas calles va a llegar a una esquina donde la calle se divide ahora en dos. Si elije las calles al azar y sólo un camino a la casa de Jorge, ¿cuál es la probabilidad de que escoja el camino correcto? A) 1 6 B) 1 3 C) 5 6 D) 1 2 Respuestas a las evaluaciones Respuestas a las evaluaciones BLOQUE 3 1 A B C D 2 A B C D 3 A B C D 4 A B C D 5 A B C D 6 A B C D 7 A B C D 8 A B C D 9 A B C D 10 A B C D 42