Unidad_17a_sol4¼A_ESO

17
1
SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES
DE CADA EPÍGRAFE
Pág. 1
Página 234
Los coches de este juego se mueven de la siguiente forma: se lanzan dos dados y
avanza un casillero el coche cuyo número coincida con la suma de los puntos.
¿Es lógico que haya tanta diferencia en la posición de unos y otros?
Reproduce el tablero de juego sobre papel cuadriculado y juega una partida
usando fichas en lugar de coches. Aventúrate a pronosticar, antes de jugar, cuál
será la ficha ganadora.
Observa atentamente la tabla de la derecha e intenta relacionar con ella el resultado del juego.
a) Sí es lógico, porque hay más formas de obtener
un 6, 7 que de obtener 12, 1 y, por tanto, aparecerán más veces los valores intermedios que los
valores extremos.
b) La ficha vencedora será, en teoría, la número 7.
2
3
4
5
6
7
3
4
5
6
7
8
4
5
6
7
8
9
5
6
7
8
9 10
6
7
8
9 10 11
7
8
9 10 11 12
c) Según la tabla, el número que tiene más formas de salir es el 7 por lo que, a la
hora de jugar, el 7 aparecerá más veces y por lo tanto esta ficha será la que tenga
más posibilidades de ganar.
Unidad 17. Cálculo de probabilidades
17
1
SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES
DE CADA EPÍGRAFE
Pág. 2
Página 235
1 En los siguientes sucesos, di cuáles corresponden a experiencias regulares y
asígnales probabilidad:
a) Obtener un 3 al lanzar un dado correcto.
b) Obtener un 3 al lanzar un dado chapucero.
c) Extraer un OROS de una baraja española.
d) Que un cierto asegurado de una compañía de seguros tenga un accidente en
el próximo año.
a) Experiencia regular; probabilidad = 1
6
b) Experiencia irregular.
c) Experiencia regular; probabilidad = 10 = 1
40 4
d) Experiencia irregular.
2 Lanzamos muchas veces un dado chapucero y obtenemos los siguientes resultados:
CARA
1
2
3
4
5
6
Nº- DE VECES
94
105
116
62
258
46
Asigna probabilidad a cada una de las caras y di si la asignación es exacta o
aproximada.
N-o TOTAL DE LANZAMIENTOS
= 94 + 105 + 116 + 62 + 258 + 46 = 681
P(OBTENER 2) = 105 ≈ 0,15
P(OBTENER 1) = 94 ≈ 0,14
681
681
P(OBTENER 4) = 62 ≈ 0,09
P(OBTENER 3) = 116 ≈ 0,17
681
681
P(OBTENER 6) = 46 ≈ 0,07
P(OBTENER 5) = 258 ≈ 0,38
681
681
La asignación de probabilidades es aproximada; cuanto mayor es el número de
lanzamientos del dado, más fiable es el valor asignado a la probabilidad.
Página 236
1 Busca cinco sucesos distintos en la experiencia “lanzar una moneda 3 veces y
contar el número de caras”. ¿Cuál es el suceso seguro?
Si llamamos: C → cara
+ → cruz
Unidad 17. Cálculo de probabilidades
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1
SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES
DE CADA EPÍGRAFE
Pág. 3
A = {+ + +} → “Salir tres cruces”
B = {C C C} → “Salir tres caras”
C = {C C +} → “Salir una sola cruz”
D = {C + +} → “Salir una sola cara”
E = {C + +, C C +, C C C} → “Salir al menos una cara”
El suceso seguro es:
E = {C C C, C C +, C + +, + + +} → “Salir alguna cara o alguna cruz”
Página 237
1 Una bolsa contiene 10 bolas numeradas del 1 al 10. La experiencia consiste en
extraer una bola.
a) ¿Cuál es el espacio muestral?
b) Consideramos los sucesos A = “obtener número primo” y B = “obtener
múltiplo de 3”.
Escribe los sucesos A, B, A', B', A U B, A I B, A U A' y A I A'.
El espacio muestral es: E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}.
A = {1, 2, 3, 5, 7}, B = {3, 6, 9}, A U B = {1, 2, 3, 5, 6, 7, 9}, A I B = {3}
A' = {4, 6, 8, 9, 10}, B' = {1, 2, 4, 5, 7, 8, 10}
A U A' = E
AIA=∅
2 En un dado defectuoso se dan las siguientes probabilidades:
P [1] = P [2] = P [3] = 0,1; P [4] = P [5] = 0,2
a) Calcula la probabilidad de 6.
b) Calcula P [NÚMERO IMPAR].
c) Calcula P [NÚMERO PAR].
a) P[1] + P[2] + P[3] + P[4] + P[5] + P[6] = 1
P[6] = 1 – 3 · 0,1 – 2 · 0,2 = 1 – 0,7 → P[6] = 0,3
b) P[NÚMERO IMPAR] = P(1) + P(3) + P(5) = 0,1 + 0,1 + 0,2 = 0,4
c) P[NÚMERO PAR] = 1 – P[NÚMERO IMPAR] = 1 – 0,4 = 0,6
Unidad 17. Cálculo de probabilidades
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1
SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES
DE CADA EPÍGRAFE
Pág. 4
Página 238
1 Se extrae una carta de una baraja española. Calcula la probabilidad de los siguientes sucesos:
a) Que sea una figura
b) Que sea bastos o espadas
c) Que sea oros o rey
a) P [FIGURA] = 12 = 3 ya que en una baraja española hay 12 figuras.
40 10
b) Entre bastos y espadas hay 20 cartas: P [BASTOS O ESPADAS] = 20 = 1
40 2
c) Si juntamos todos los oros y los reyes, obtenemos 13 cartas (10 oros y los otros
3 reyes): P [OROS O REY] = 13
40
2 De una bolsa que tiene 10 bolas numeradas del 0 al 9, se extrae una al azar.
Calcula la probabilidad de que:
a) Sea impar
b) Sea mayor que 5
c) No sea el 7
a) Números impares del 0 al 9: 1, 3, 5, 7, 9 → P[IMPAR] = 5 = 1
10 2
b) Números mayores que 5: 6, 7, 8, 9 → P[MAYOR QUE 5] = 4 = 2
10 5
c) P[NO SEA 7] = 1 – P[SEA 7] = 1 – 1 = 9
10 10
3 Se extrae una bola de una bolsa que contiene 4 bolas blancas, 5 rojas y 3 azules.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que sea roja?
b) ¿Y la probabilidad de que no sea blanca?
P[ROJA] = 5
12
P[NO BLANCA] = 1 – P[BLANCA] = 1 – 4 = 8 = 2
12 12 3
4 Al lanzar dos dados, ¿cuál es la probabilidad de que la suma sea 4? Para hallar
esta probabilidad, utiliza la tabla de la página 240. Observa que los casos posibles son 6 x 6 = 36 y los favorables (suma 4) son 3.
Observando la tabla, calcula también las siguientes probabilidades:
a) P [SUMA 2]
b) P [SUMA 3]
c) P [SUMA 7]
d) P [SUMA 11]
e) P [SUMA MAYOR QUE 5]
Unidad 17. Cálculo de probabilidades
17
1
SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES
DE CADA EPÍGRAFE
Pág. 5
P[SUMA 4] = 3 = 1
36 12
2
3
4
5
6
7
P[SUMA 2] = 1
36
3
4
5
6
7
8
4
5
6
7
8
9
P[SUMA 3] = 2 = 1
36 18
5
6
7
8
9 10
6
7
8
9 10 11
P[SUMA 7] = 6 = 1
36 6
7
8
9 10 11 12
P[SUMA 11] = 2 = 1
36 18
P[SUMA MAYOR QUE 5] = 1 – P[SUMA MENOR O IGUAL QUE 5] = 1 – 10 = 26 = 13
36 36 18
5 Utilizando una tabla similar a la anterior, halla la probabilidad de que, al lanzar dos dados, alguna de las puntuaciones sea mayor que 4.
Si alguna de las puntuaciones es mayor que 4, la suma de las dos puntuaciones
será mayor que 5.
P[ALGUNA DE LAS PUNTUACIONES MAYOR QUE 4] = P[SUMA MAYOR QUE 5] = 13
18
Página 239
1 Extraes una carta de una baraja española. La miras, la devuelves al montón y
haces otra extracción. ¿Cuál es la probabilidad de que sean dos reyes?
La segunda extracción da un resultado que es independiente de lo que se obtenga en la primera extracción:
P[REY] = 4 = 1
40 10
P[REY EN LA 1ª EXTRACCIÓN Y REY EN LA 2ª EXTRACCIÓN] =
= P[REY] · P[REY] = 1 · 1 = 1
10 10 100
2 ¿Cuál es la probabilidad de obtener tres caras al lanzar tres monedas?
El segundo lanzamiento es independiente de lo que ocurra en el primero; el tercer lanzamiento es independiente de los lanzamientos anteriores. Por tanto:
P[C] = 1 → P[3 CARAS] = P[C] · P[C] · P[C] = 1 · 1 · 1 = 1
2
2 2 2 8
Unidad 17. Cálculo de probabilidades
17
1
SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES
DE CADA EPÍGRAFE
Pág. 6
3 Lanzas dos monedas y un dado. Halla la probabilidad de obtener dos caras y
un cinco.
Los tres lanzamientos son independientes:
P[C] = 1
2
P[5] = 1
6
P[2 CARAS Y UN CINCO] = P[C] · P[C] · P[5] = 1 · 1 · 1 = 1
2 2 6 24
Página 241
1 Extraemos dos cartas de una baraja española. ¿Cuál es la probabilidad de que
la primera sea un REY y la segunda un AS?
En la baraja española hay 40 cartas de las cuales 4 son reyes y 4 son ases.
P[REY Y AS] = P[REY] · P[AS SUPUESTO QUE LA 1ª FUE REY] =
= 4 · 4 = 4 = 2
40 39 390 195
2 Completa el diagrama en árbol del ejercicio resuelto de esta página y sobre él halla P [NINGÚN AS].
3.ª EXTRACCIÓN
2.ª EXTRACCIÓN
1.ª EXTRACCIÓN
4/40
AS
3/39
2/38
36/38
3/38
4/39
NO AS
Quedan 38 cartas.
De ellas, 2 ases
Quedan 39 cartas.
De ellas, 3 ases
36/39
36/40
AS
NO AS
AS
Quedan 38 cartas.
De ellas, 3 ases
Quedan 38 cartas.
De ellas, 3 ases
Quedan 39 cartas.
De ellas, 4 ases
35/39
35/38
3/38
35/38
4/38
NO AS
Quedan 38 cartas.
De ellas, 4 ases
34/38
AS
NO AS
AS
NO AS
AS
NO AS
AS
NO AS
P[NINGÚN AS] = 36 · 35 · 34 = 357
40 39 38 494
3 Se lanzan dos monedas y un dado. ¿Cuál es la probabilidad de obtener cara en
ambas monedas y seis en el dado? ¿Cuál la de obtener cruz en las monedas y
par en el dado?
Hacemos el diagrama en árbol:
Unidad 17. Cálculo de probabilidades
SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES
DE CADA EPÍGRAFE
17
1
Pág. 7
DADO
2ª MONEDA
1ª MONEDA
1/2
C
1/2
1/2
5/6
No 6
1/6
6
5/6
No 6
1/6
6
5/6
No 6
1/6
6
5/6
No 6
C
+
1/2
P[C, C, 6] = 1 · 1 · 1 = 1
2 2 6 24
6
+
1/2
1/2
1/6
C
+
P[+, +, (2, 4, 6)] = 1 · 1 · 1 = 1
2 2 2 8
4 Se lanzan 5 monedas. Halla la probabilidad de obtener 5 caras y la de obtener
alguna cruz.
1/2
1/2
1/2
1/2
+
C
1/2
1/2
1/2
1/2
+
C
+
C
1/2
1/2 1/2
1/2 1/2
1/2
C
1/2
1/2 1/2
1/2
C
1/2 1/2
1/2
+
1/2 1/2
C
1/2 1/2
1/2
C
1/2
+
1/2 1/2
1/2
+
1/2
1/2
C
+
1/2 1/2 1/2 1/2
2-ª MONEDA
+
1/2
+
1/2
1/2
C
1/2
+
C
1/2
1-ª MONEDA
+
C
1/2
C
1/2
1/2
C
+
1/2 1/2
1/2
1/2 1/2
3-ª MONEDA
+
1/2
1/2
1/2
1/2
C
+
C
+
1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2
1/2 1/2
4-ª MONEDA
1/2
C + C + C + C + C + C + C + C + C + C + C + C + C + C + C + C +
5-ª MONEDA
P[CINCO CARAS] = 1 · 1 · 1 · 1 · 1 = 1
2 2 2 2 2 32
P[ALGUNA CRUZ] = P[0 CARAS Y 5 CRUCES] + P[1 CARA Y 4 CRUCES] +
+ P[2 CARAS Y 3 CRUCES] + P[3 CARAS Y 2 CRUCES] +
+ P[4 CARAS Y 1 CRUZ] = 1 – P[5 CARAS] = 1 – 1 = 31
32 32
5 Se extraen, una tras otra, 3 cartas de una baraja, con reemplazamiento (cada
vez se vuelve a introducir la carta en el mazo). ¿Cuál es la probabilidad de obtener BASTOS las tres veces?
Unidad 17. Cálculo de probabilidades
17
1
SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES
DE CADA EPÍGRAFE
Pág. 8
1-a EXTRACCIÓN
2-a EXTRACCIÓN
10/40
30/40
BASTOS
30/40
NO BASTOS
10/40
BASTOS
30/40
NO BASTOS
10/40
BASTOS
30/40
NO BASTOS
10/40
BASTOS
30/40
NO BASTOS
NO BASTOS
BASTOS
10/40
30/40
10/40
BASTOS
BASTOS
10/40
3-a EXTRACCIÓN
NO BASTOS
30/40
NO BASTOS
P[TRES BASTOS] = P[BASTOS] · P[BASTOS] · P[BASTOS] = 10 · 10 · 10 = 1
40 40 40 64
6 Una urna contiene 5 bolas negras y 3 blancas. Extraemos tres bolas. ¿Cuál es la
probabilidad de que las tres sean blancas? ¿Y negras?
N → bola negra; B → bola blanca
1-a EXTRACCIÓN
4/7
2-a EXTRACCIÓN
3/7
3/8
5/7
P[3 BLANCAS] = 3 · 2 · 1 = 1
8 7 6 56
P[3 NEGRAS] = 5 · 4 · 3 = 5
8 7 6 28
Unidad 17. Cálculo de probabilidades
N
3/6
B
4/6
N
2/6
B
4/6
N
3/6
B
5/6
N
1/6
B
B
N
B
2/7
3/6
N
N
5/8
3-a EXTRACCIÓN
B