Matematicas Financieras y evaluacion de proyectos
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Matemáticas financieras
y evaluación de proyectos
Matemáticas financieras
y evaluación de proyectos
Segunda edición
J AV I E R S E R R A N O R O D R Í G U E Z
cata logación
u n i v er si da d de l os a n de s
Serrano Rodríguez, Javier
Matemáticas financieras y evaluación de proyectos / Javier Serrano Rodríguez. ª ed. -- Bogotá :
Alfaomega : Universidad de los Andes, Facultad de Administración, Ediciones Uniandes,
p. ; x cm.
isbn:----
. Matemáticas financieras . Evaluación de proyectos . Administración financiera . Empresas
- Finanzas I. Universidad de los Andes (Colombia). Facultad de Administración II. Tít.
cdd .
sbua
Matemáticas financieras y evaluación de proyectos
2ª edición
ISBN: 978 958 682 792 8
© 2011
© Javier Serrano Rodríguez
© Alfaomega Grupo Editor, S.A. de C.V.
© Universidad de los Andes.
Facultad de Administración,
Comité de Investigaciones y Publicaciones, 2011
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Contenido
Introducción
17
Capítulo 1. Proyectos de inversión y proyectos de financiamiento
19
La evaluación de proyectos como parte del ciclo del proyecto
22
Términos básicos
23
Diagramas de flujo
26
Ejemplos de diagramas de flujo
29
Ejercicios para resolver
31
Capítulo 2. La tasa de interés de oportunidad y las relaciones de equivalencia
Concepto de equivalencia
33
33
Relaciones de equivalencia más importantes
37
Resumen de las relaciones de equivalencia
61
Observaciones respecto a la utilización de las relaciones de equivalencia
61
Ejercicios resueltos
62
Ejercicios para resolver
65
Capítulo 3. Interés nominal y efectivo
69
Presentación
69
Interés efectivo: pagos vencidos
70
Interés efectivo: pagos anticipados
73
Intereses en dólares o en unidades de valor real (UVR)
78
Tasas de interés reales y nominales. Crecimientos reales y nominales
80
Interés continuo
81
Resumen
83
Ejercicios resueltos
84
Ejercicios para resolver
87
Capítulo 4. Indicadores para medir la bondad
económica de un proyecto de inversión
91
Valor presente neto
91
Tasa interna de retorno
96
Relación beneficio-costo
106
Costo anual equivalente (CAE)
107
Ordenamiento de alternativas mutuamente excluyentes
108
Ordenamiento de alternativas con diferente vida útil
113
Rentabilidad de los recursos propios
114
Resumen
116
Ejercicios resueltos
117
Ejercicios de recapitulación o autoevaluación
125
Ejercicios para resolver
129
Capítulo 5. Matemáticas financieras: resumen
a través de problemas avanzados
135
Tasas de interés: nominales y efectivas
135
Relaciones básicas y tasas efectivas
138
Indicadores de la bondad económica de un proyecto de inversión
141
Amortización y reestructuración de créditos
146
Número de períodos necesarios para lograr un objetivo específico
150
Gradientes, con crecimiento constante, a perpetuidad
o con una duración finita
153
Solución analítica versus solución exhaustiva
162
Capítulo 6. Información financiera. Estructura operacional
y apalancamiento operacional
167
Información financiera
167
Balance general y estado de pérdidas y ganancias
168
El flujo de caja de una empresa o de un proyecto
172
EBITDA y flujo de caja libre para la firma
173
Función de producción y los costos involucrados
en un proyecto de inversión
175
Punto de equilibrio y apalancamiento operacional.
Riesgo operacional
177
Capítulo 7. Rentabilidad del proyecto en sí y rentabilidad
del capital propio aportado al proyecto
183
Tratamiento de la depreciación
184
Tratamiento de otras cuentas
187
Rentabilidad del proyecto en sí. Flujo de
fondos para el proyecto
189
Utilización de la depreciación acelerada
192
Ahorro en impuestos
193
Rentabilidad del capital propio aportado al proyecto. Flujo
de caja para el capital propio aportado al proyecto
o flujo de caja libre para el inversionista
193
Rentabilidad de los recursos propios aportados
al proyecto y uso de la depreciación acelerada
197
Ejemplos detallados del cálculo de la rentabilidad del proyecto en sí
y de la rentabilidad de los recursos propios aportados al proyecto
198
Otros costos en la evaluación de proyectos
206
Ejercicio de recapitulación
209
Proyecciones financieras
212
Ejercicios para resolver
214
Respuestas a los problemas
219
Capítulo 8. Flujo de caja libre para el proyecto
y para el inversionista: casos
227
Caso 1
227
Caso 2
238
Caso 3
251
Capítulo 9. Financiamiento de vivienda
257
Metodología general para la determinación de las cuotas
a pagar (amortización más intereses)
258
Relaciones matemáticas básicas para los cálculos actuariales
involucrados en el financiamiento de vivienda: un resumen
259
Línea en pesos, amortización constante durante
la vigencia del préstamo. Intereses sobre saldos
260
Línea en pesos, cuota mensual uniforme o constante durante
toda la vigencia del préstamo (“Payment”)
261
Línea en UVR, con una cuota de amortización constante en UVR
262
Línea en UVR, con cuota de amortización en UVR,
decreciente por un factor g
263
Ejemplo, Crédito Hipotecario, cuota uniforme en pesos y en UVR
265
Cuota uniforme con crecimiento constante de un año al siguiente
270
Beneficios fiscales a través de una cuenta de ahorro
para el fomento de la construcción
273
Ejercicios
276
Capítulo 10. Rentabilidad de títulos y riesgo de tasa de interés
Valor de un título a descuento
283
283
Valor de mercado de un bono a tasa fija
284
Principales relaciones en bonos
286
Riesgo de tasa de interés. Duration y convexidad
287
Valoración de inversiones a precios de mercado
294
Tasas implícitas
294
Aproximación utilizando duration y convexidad
296
Ejercicios resueltos
298
Valoración a precios de mercado
305
Ejercicios para resolver
309
Capítulo 11. Costo promedio ponderado de capital
y valor económico agregado (VEA)
313
Estructura operativa, estructura financiera y estructura de capital
314
Cálculo del costo promedio ponderado
de capital para una empresa
320
Ejemplos sobre cálculo del costo de capital
325
Valor del apalancamiento financiero
330
Valor económico agregado (VEA)
332
Valor económico agregado: dos aproximaciones
a través de un ejemplo
335
Ejercicios para resolver
340
Respuestas a los problemas
343
Capítulo 12. Tratamiento del riesgo en la evaluación de proyectos
349
Tratamiento de un proyecto en términos
de valor esperado y varianza
352
Utilización del valor esperado y de la varianza para
la toma de decisiones de inversión
358
Simulación de Montecarlo
361
Frontera eficiente en media y varianza
372
Análisis del riesgo a través del análisis de escenarios
381
Ejemplos
382
Ejercicios
392
Capítulo 13. Riesgo operacional y financiero:
ajustes a la tasa de descuento
399
Modelo CAPM: planteamiento general
400
Utilización del modelo CAPM en la selección de proyectos
404
Utilización del modelo CAPM para estimar el costo
de la aportación patrimonial. Estimación del WACC (CPPC)
409
Estimación del costo promedio ponderado de capital
en Colombia: una aproximación a través de un minicaso
414
Caso: distribución de energía eléctrica en Colombia
418
Ejercicios
423
Bibliografía
431
Javier Serrano Rodríguez
Profesor titular de la Facultad de Administración de la Universidad de
los Andes. Es ingeniero Cum Laude de la Universidad Industrial de
Santander, con posgrados en Ingeniería Industrial y Ciencia Política
de la Universidad de los Andes. Tiene una maestría en Operations
Research de la Universidad de Pittsburg, Pa, donde también adelantó
estudios de doctorado en Ingeniería Industrial.
Su experiencia académica pasa los treinta años como profesor de
la Universidad de los Andes, donde ha sido decano de la Facultad
de Administración, director del MBA, fundador y director de la
especialización en Finanzas, director del programa Alta Gerencia y del
magíster en Ingeniería Industrial; en la actualidad es el director de la
Escuela de Posgrados de la Facultad.
El profesor Serrano dicta clases en el área de Finanzas, en particular,
los cursos de Evaluación Financiera de Proyectos de Inversión,
Finanzas Corporativas y Mercado de Capitales; tanto en programas
de posgrado (MBA y especializaciones) como de pregrado. Su
experiencia académica se complementa con su experiencia profesional
en la consultoría y en cargos directivos en el mundo empresarial
latinoamericano.
Agradecimientos
Un agradecimiento a todos mis estudiantes de la Facultad de
Administración de la Universidad de los Andes, en sus diferentes
programas de Maestría, de Pregrado y de Alta Gerencia, que
durante varias promociones contribuyeron con sus observaciones
y preguntas al desarrollo de este libro. Un agradecimiento
especial a la doctora María Lorena Gutiérrez Botero, Decana de
la Facultad de Administración de la Universidad de los Andes por
su apoyo permanente, consejo, observaciones y sugerencias. La
Dra. Gutiérrez ha corregido las diferentes ediciones del libro; en
ese proceso ha hecho observaciones, correcciones y adiciones de
gran importancia y valor que aumentaron significativamente la
riqueza de la versión original. Para esta edición conté con el apoyo
de Paola García H., quien ayudó en la edición del documento,
revisó la versión original e hizo observaciones significativas al
desarrollo de esta nueva edición; para ella mis agradecimientos.
Así mismo quiero agradecer y dedicar el libro a mi esposa, Clara
Elvira Varela Cortés, por su apoyo permanente a mi trabajo como
profesor en la Universidad de los Andes y consultor de empresas
en Jaser Consultores Asociados Ltda. También quiero agradecer a
los dos decanos anteriores de la Facultad de Administración de la
Universidad de los Andes, Raúl Sanabria T. (q.e.p.d.) y Jorge Hernán
Cárdenas S., quienes con su apoyo y confianza contribuyeron a la
primera edición de esta obra. Finalmente, un agradecimiento especial
a todos los profesores que han utilizado el libro, quienes han hecho
observaciones importantes que han contribuido a su enriquecimiento.
Introducción
Este libro de matemáticas financieras y evaluación de proyectos es el resultado del trabajo docente del profesor Javier Serrano Rodríguez en sus cursos de pregrado y
posgrado en la Facultad de Administración de la Universidad de los Andes, durante los
últimos 30 años, especialmente en el curso de Gerencia Financiera del MBA y en el
curso de Análisis de Decisiones de Inversión y Financiamiento en el Magíster en Administración Ejecutivo (EMBA), del cual ha sido su profesor en las nueve promociones del
programa.
En el libro se exponen conceptos básicos de matemáticas financieras y evaluación de
proyectos, que se ilustran con múltiples ejemplos basados en aplicaciones de la vida
real. Su enfoque es integral, ya que a partir de la presentación de los elementos básicos de las matemáticas financieras desarrolla los indicadores para medir la bondad
económica de un proyecto de inversión, a la vez que profundiza en la construcción del
flujo de caja para hacer la evaluación de un proyecto de inversión o la valoración de
una empresa, lo cual se complementa con el análisis de temas más avanzados como el
costo promedio ponderado de capital, EVA y riesgo. En esta nueva edición se han
complementado y actualizado varios capítulos incluidos en la primera edición, enfatizando el uso de Excel en la parte computacional; se incluye la estimación de la frontera
eficiente en media varianza y la utilización del CAPM para estimar el costo de la aportación patrimonial en el cálculo del costo promedio ponderado de capital. Se ha
ampliado la base de ejercicios, incluyendo un nuevo capítulo con problemas de diferente naturaleza y dificultad, que resumen la tipología de problemas que va a
encontrar cualquier profesional en el área financiera, especialmente en lo que se llama
tradicionalmente como matemáticas financieras; y otro capítulo de casos, para analizar
problemas más complejos e ilustrar el efecto de diferentes decisiones, incluyendo algunas de modelaje financiero.
El libro está diseñado para un curso completo de evaluación de proyectos para estudiantes con elementos básicos de finanzas y algún entrenamiento matemático. Parte
de lo sencillo y avanza hacia lo complejo, en forma tal que el estudiante va evaluando
su avance en el tema, y se complementa con ejercicios para resolver al final de la mayoría de capítulos. El estudiante debe aprovechar esos ejercicios como una alternativa
de autoevaluación, y el profesor la solución a los mismos para dar retroalimentación a
sus estudiantes sobre su progreso en el conocimiento de los temas.
[17]
Capítulo 1
PROYECTOS DE INVERSIÓN Y PROYECTOS DE FINANCIAMIENTO
Los proyectos se pueden clasificar en dos categorías básicas: proyectos de inversión y
proyectos de financiamiento. En un proyecto de inversión se realizan desembolsos netos al comienzo del proyecto para obtener unos ingresos netos después del período de
construcción y arranque durante el resto de la vida útil del proyecto, en forma tal que
el inversionista recupere el monto de la inversión realizada y obtenga un rendimiento
acorde con sus expectativas y con las condiciones del mercado. Por ello en un proyecto de inversión lo que importa es la rentabilidad obtenida por el inversionista durante
la vida útil del proyecto. En un proyecto de financiamiento, por ejemplo un crédito, se
reciben unos recursos al comienzo del proyecto y se adquiere la obligación de repagar
el financiamiento otorgado y los gastos financieros correspondientes al mismo, de
acuerdo con las condiciones establecidas en el mercado; por ello lo que importa en el
proyecto de financiamiento es el costo del financiamiento. A continuación dos ejemplos de cada una de las dos categorías de proyectos:
A. Proyectos de inversión
x
Un proyecto consistente en montar una fábrica de cerveza requiere una inversión durante el período de montaje, una vez que se ha tomado la decisión de
construir la planta con base en las expectativas de rentabilidad del negocio y
se ha asegurado el financiamiento correspondiente. Terminado el período de
montaje y de pruebas, se procede a la producción de cerveza dentro de una
estrategia comercial que parte del análisis del mercado correspondiente. La
venta de cerveza genera unos ingresos brutos de los cuales se descuentan impuestos de venta, costos de la mercancía vendida y gastos operativos para
generar una utilidad operativa o utilidad antes de intereses e impuestos. A
partir de esta utilidad operativa se estima la utilidad neta teniendo en cuenta
los gastos financieros y la provisión para impuestos. Con la información anterior se procede a la construcción de un flujo de caja periódico (anual, mensual)
que se contrasta con los desembolsos realizados durante el período de montaje para determinar la rentabilidad del proyecto. La decisión de construir o no la
planta se toma con base en los estimativos de inversión requerida, pronósticos
de ventas, precio de la cerveza, costos de producción, gastos de operación,
etc. Por ello en el momento de analizar la decisión de construir o no la planta,
lo que se tiene es un estimativo de rentabilidad que se puede dar o no. Lo anterior implica que la decisión se toma bajo incertidumbre, y que en últimas la
rentabilidad va a depender del escenario económico que finalmente ocurra.
x
Un fondo de inversión recauda unos recursos del público para invertirlos en un
portafolio de inversiones, tal y como ocurre con un fondo de pensiones obli[19]
Capítulo 1
gatorias administrado por una sociedad administradora de fondos de pensiones y cesantías. Al final de cada mes, los aportes del patrono y los descuentos
al trabajador se invierten con los correspondientes a los otros afiliados al fondo, en un portafolio de títulos valores. La rentabilidad que genera el portafolio
de títulos valores, una vez deducida la comisión que cobra la administradora,
se capitaliza a la cuenta de capitalización individual del afiliado, en forma tal
que con los recursos aportados por el patrono, los descuentos al trabajador y
los rendimientos obtenidos se acumula una suma que es la que se va a utilizar
para comprar un seguro de renta vitalicia una vez el afiliado cumple con todos
los requisitos para obtener la pensión de jubilación de cuerdo con el marco legal correspondiente.
B. Proyectos de financiación
[20]
x
Una empresa de acueducto va a realizar una inversión por valor de 10.000 millones de pesos, de los cuales el 60% se financia con un crédito bancario a 10
años, con una tasa de interés del 24% anual, que se paga mes vencido. Durante el período de construcción la empresa recibe el monto del financiamiento (6.000 millones de pesos), de acuerdo con un cronograma de desembolsos y con el avance de la construcción. Al comienzo la empresa de
acueducto paga los intereses correspondientes, que liquidados al 2% mensual
sobre el saldo inicial, suman 120 millones de pesos mensuales. Una vez que
comienza el período de amortización a capital, el saldo de la deuda disminuye
con la correspondiente amortización periódica, lo cual hace que los intereses
también disminuyan. El costo del financiamiento estará determinado por los
gastos financieros a pagar al banco (intereses del 2% mensual), comisiones de
administración o de compromiso que pueda cobrar el banco, y otros costos en
que pueda incurrir la empresa para obtener el financiamiento (p. ej., constitución de garantías).
x
Una familia va a adquirir un apartamento como vivienda por valor de 100 millones de pesos y recurre a un banco para que le financie un 70% bajo la
modalidad de un crédito hipotecario, que utiliza la vivienda adquirida como
garantía al banco. Selecciona una modalidad de financiamiento en pesos con
una cuota constante durante el período de amortización del crédito (p. ej., 15
años o 180 meses). El grupo familiar se compromete a pagar una cuota uniforme de “A” pesos mensuales, durante los 180 meses de vigencia del
crédito; el monto de esta cuota se estima en forma tal que el banco obtiene el
repago o amortización del crédito y el costo de financiamiento del mismo. Para el grupo familiar, usuario del crédito, el costo depende de los intereses que
cobra el banco y de otros costos necesarios para poder tener acceso al crédito
(p. ej., seguros de vida, gastos de hipoteca).
JAVIER SERR ANO
Proyectos de inversión y proyectos de financiamiento
En estos cuatro proyectos que se acaban de mencionar hay unos elementos comunes:
Una o varias decisiones a analizar. Por ejemplo, realizar la construcción de la cervecería de acuerdo con el escenario esperado y la incertidumbre que rodea al proyecto,
definir el portafolio en el cual se van a invertir los recursos recaudados por la administradora, realizar aportes voluntarios para aumentar el monto de la pensión, tomar un
crédito por 6.000 millones de pesos en las condiciones establecidas por parte de la
compañía de acueducto o recurrir a otras fuentes de financiamiento, y finalmente tomar el crédito hipotecario para adquirir la vivienda por parte del grupo familiar o
posponer su decisión si el monto de la cuota a pagar resulta muy elevado frente a sus
ingresos.
Un horizonte de tiempo. La vida útil de la cervecería, el tiempo durante el cual se van
a hacer aportes al fondo de pensiones, el período de amortización del crédito por parte
de la empresa de acueducto o los 180 meses durante los cuales el grupo familiar va
amortizar o pagar el crédito obtenido para adquirir la vivienda.
Un flujo de caja que cambia de signo. En el proyecto de construcción de la cervecería, unos desembolsos (inversiones) al comienzo y un flujo de caja neto y positivo
(ingresos menos costos y gastos) una vez que comienza la etapa productiva. En el caso
del fondo de pensiones, el afiliado aporta al fondo durante un tiempo, acumula una
suma y después recibe un ingreso mensual correspondiente a su mesada pensional,
una vez se cumplan los requisitos para la pensión de jubilación. En el financiamiento
de la empresa de acueducto, al desembolso de 6.000 millones de pesos durante el
período de construcción, que constituye un ingreso financiero para la empresa, le va a
seguir un período de amortización del crédito en el cual hay que pagar amortización a
capital y los gastos financieros correspondientes al financiamiento. El grupo familiar
que va a adquirir la vivienda recibe un ingreso proveniente del crédito con el cual
completa el monto que va a pagar por la vivienda adquirida; posteriormente tiene que
pagar una cuota mensual de “A” pesos, que contiene amortización a capital e
intereses.
Una rentabilidad esperada para un proyecto de inversión o un costo de financiamiento para un proyecto de financiación. La rentabilidad esperada o el costo de
financiamiento dependerá del flujo de caja asociado, esto es el flujo de caja que cambia de signo al cual se acaba de hacer referencia. En el caso de un proyecto de
financiación, el costo del financiamiento dependerá de los intereses y comisiones que
el establecimiento de crédito está cobrando y de otros costos asociados (p. ej., constitución de garantías).
Un escenario de análisis de la decisión. El resultado de la decisión dependerá en últimas del escenario que ocurra respecto al comportamiento de las variables que pueden
afectar el proyecto (p. ej., inflación, tasas de interés, ingresos). La volatilidad del escenario determina en buena parte el riesgo que va a enfrentar el inversionista, o el costo
ALFAOMEGA
t
FAC U LTA D D E A D M I N I S T R AC I Ó N / U N I A N D E S
[21]
Capítulo 1
del financiamiento (p. ej., la devaluación en una situación donde el financiamiento de
la empresa de acueducto hubiera sido en euros o a tasa de interés variable).
LA EVALUACIÓN DE PROYECTOS COMO PARTE
DEL CICLO DEL PROYECTO
La evaluación de proyectos constituye una etapa del denominado ciclo de proyecto,
que comienza con la identificación de alternativas, estudios de prefactibilidad para seleccionar las más relevantes o promisorias, recolección de información para
documentar las alternativas bajo evaluación, construcción de metodologías e indicadores para medir su conveniencia, evaluación de alternativas, selección de la alternativa
más conveniente según los indicadores seleccionados, e implantación de esa alternativa o proyecto. En esta última fase se van a concretar los beneficios identificados en las
etapas previas.
El Grupo del Banco Mundial identifica ocho etapas bien definidas en el ciclo del proyecto, para aquellos que aspiran a contar con su financiamiento1: estrategia de
asistencia para el país, identificación, preparación, evaluación inicial, negociaciones y
aprobación del directorio, implementación y supervisión, implementación y conclusión,
evaluación final, todo ello como parte de un proceso de planeación. Se cuenta además
con metodologías y documentación bien definida para cada una de las diferentes
etapas.
La diferenciación entre las etapas del ciclo del proyecto es muy importante; sin embargo, a veces no se le da la suficiente relevancia. A manera de ejemplo, la mayor parte
del material que se cubre en este libro se aplica y es útil en el análisis de la toma de la
decisión en situaciones tales como: ¿se hace o no el proyecto?, ¿se posterga la decisión o la iniciación del proyecto?, ¿se continúa con la implementación del proyecto?,
¿se cierra el negocio o se continúa operando?, ¿se toma el crédito o se hace con recursos propios?, ¿cuál es la combinación entre deuda y patrimonio que se va a utilizar
para financiar el proyecto o la inversión?, ¿cuál es la rentabilidad de este fondo de inversión?, ¿se invierte o no en el fondo? Con estos ejemplos se puede apreciar el tipo
de decisiones que se analizan bajo diferentes supuestos, incluyendo la proyección en el
tiempo del negocio que se está considerando.
Una vez tomada la decisión de realizar el proyecto, lo importante es la ejecución de las
actividades necesarias para llevarlo a cabo, su gestión, incluyendo el control sobre el
uso de los diferentes recursos involucrados, para lograr los objetivos buscados con el
proyecto o con la decisión. Por ello, todo el análisis que se hace para tomar la decisión
sirve como referencia para guiar la ejecución del proyecto y para identificar las causas
1 Grupo del Banco Mundial, Ciclo del Proyecto, Proyectos y Programas, página web del Banco Mundial,
www.worldbank.org.
[22]
JAVIER SERR ANO
Términos básicos
de posibles desfases entre lo proyectado y lo ejecutado. Posteriormente se analizará si
se alcanzó o no la rentabilidad esperada. Como se desprende de lo anterior, la etapa
de implantación es crítica para el logro de los objetivos de proyecto y para alcanzar los
beneficios esperados con la ejecución del mismo. Es de esperar la presencia de desfases entre lo planeado, lo ejecutado y los resultados finalmente obtenidos, ya que en la
ejecución se van a presentar desfases importantes que van a afectar los resultados esperados. Sin embargo, proyectos bien formulados pueden fracasar si no se toman las
precauciones necesarias en la fase de implantación. Para un adecuado control de las
actividades involucradas, en la etapa de implementación se suele disponer de herramientas especializadas de gestión y control de proyectos, que permiten hacer
seguimiento a las actividades planeadas, identificar desfases y sus causas, y tomar las
decisiones necesarias a tiempo.
Como tal, la evaluación de proyectos comprende el desarrollo de una serie de metodologías que le permiten al inversionista analizar una o varias alternativas de inversión y
de financiamiento, buscando seleccionar la más adecuada según uno o varios criterios,
tales como rentabilidad, valor presente neto o valor económico agregado, dentro de
un horizonte de planeamiento incierto que requiere una consideración adecuada del
riesgo que enfrenta el inversionista. Como se presenta a lo largo de este libro, la consideración simultánea de las dos dimensiones de rentabilidad esperada y riesgo lleva a
que las decisiones no sean obvias, como consecuencia de la ponderación que ese inversionista le puede dar a estas dos dimensiones, que en últimas depende de varios
factores: tamaño de la inversión, situación financiera del inversionista, propensión o
aversión al riesgo, etc.
Los aspectos computacionales inherentes a las matemáticas financieras y a la evaluación de proyectos han perdido importancia como consecuencia del desarrollo
tecnológico, permitiendo que el analista se concentre en los aspectos conceptuales y
en las consecuencias que una determinada decisión puede traer sobre la situación financiera de la empresa. Las herramientas computacionales cada vez son más
amigables y permiten acercar los temas de matemáticas financieras y evaluación de
proyectos a profesionales de disciplinas no técnicas (p. ej. abogados, psicólogos, médicos) que antes sentían estos temas como algo alejado, no obstante la importancia que
ellos tienen en el ejercicio de su profesión.
TÉRMINOS BÁSICOS
A continuación se definen algunos términos de uso frecuente en matemáticas financieras y evaluación de proyectos, a manera de glosario. Sin embargo, en el transcurso del
libro se vuelven a retomar algunos de estos términos, para explicar su sentido, profundizar la definición y su utilización, establecer indicadores para su medición y plantear
su utilización en el análisis de una situación real, como puede ser el análisis de un proyecto de inversión o de financiamiento.
ALFAOMEGA
t
FAC U LTA D D E A D M I N I S T R AC I Ó N / U N I A N D E S
[23]
Capítulo 1
1. Alternativa de inversión: un proyecto o una decisión cuya implantación contribuye a alcanzar uno o varios objetivos estratégicos de una empresa o una
organización.
2. Proyecto de inversión: programación en el tiempo de una serie de inversiones
buscando que más adelante se genere una serie de beneficios que justifiquen desde el punto de vista económico las inversiones que se realizaron inicialmente.
3. Plan de inversiones: corresponde al conjunto de proyectos necesarios para lograr
el cumplimiento de los objetivos estratégicos de una empresa dentro de un horizonte de planeamiento, por ejemplo 5 años.
4. Financiamiento de un proyecto: se refiere a la mezcla de recursos (crédito, patrimonio, etc.) que se va a utilizar para financiar los desembolsos que requiere la
implantación de un proyecto de inversión.
5. Plan de financiamiento: trata de la combinación de recursos de financiamiento de
corto, mediano y largo plazo que se va a utilizar para financiar el plan de inversiones durante el horizonte de planeamiento de la empresa. En este sentido, para
todo plan de inversiones debe existir el correspondiente plan de financiamiento.
6. Proyecto de financiamiento: al inicio se reciben los desembolsos de un crédito;
posteriormente se hacen los pagos por amortización a capital y pagos de intereses.
7. Interés: algunos lo definen como el costo por utilizar el capital en el caso de un
financiamiento o el retorno por invertir una suma determinada en un proyecto,
posponiendo el consumo actual. Usualmente se mide por el incremento entre una
suma original invertida o tomada en préstamo y el monto final acumulado o pagado.
El interés ganado en términos absolutos, medido en pesos, de una inversión,
durante un período de tiempo, se calcula como:
Interés = Cantidad final acumulada - inversión inicial
Si el dinero fue tomado en préstamo, el interés en términos absolutos, medido
en pesos, será:
Interés = Cantidad pagada - préstamo inicial
La expresión porcentual o tasa de interés se calcula así:
Tasa de interés
Interés por unidad de tiempo
Cantidad inicial
8. Período de interés: unidad de tiempo para expresar la tasa de interés. El interés se
puede expresar en períodos anuales, semestrales, diarios, etc. Cualquiera que sea
el período que se utilice para expresar el interés, siempre debe haber una correspondencia o equivalencia con otros períodos de tiempo; por ejemplo, si el interés
[24]
JAVIER SERR ANO
Términos básicos
se expresa en términos mensuales, se debe poder expresar también en términos
semestrales o anuales.
9. Vida útil de un proyecto de inversión: período de tiempo durante el cual se justifica, desde el punto de vista económico, mantener operando el proyecto. En otras
palabras, período de tiempo durante el cual los beneficios generados por el proyecto superan los costos en que incurre el proyecto.
10. Retorno sobre la inversión: corresponde al rendimiento porcentual que genera
una inversión, medida ésta a través de la relación entre los beneficios netos en el
período (descontando los costos) y el tamaño promedio de la inversión durante el
período de tiempo considerado.
11. Apalancamiento financiero: utilización de la deuda financiera para aumentar la
rentabilidad de los recursos propios aportados a un proyecto o a una empresa.
12. Estructura de costos de un proyecto o de un negocio: combinación entre costos
fijos y costos variables, para varios niveles de producción.
13. Tasa impositiva: porcentaje de las utilidades que se debe pagar como impuestos.
14. Estados proforma: estados financieros de un proyecto o de una empresa proyectados en el tiempo (p. ej., balance, estado de pérdidas y ganancias, flujo de
efectivo).
15. Estructura financiera: combinación de todas las fuentes de financiamiento de una
empresa en un momento dado.
16. Estructura de capital: combinación de las fuentes de financiamiento de mediano y
largo plazo, que utiliza una empresa en un momento dado.
17. Estructura marginal de capital: combinación de las fuentes de financiamiento de
mediano y largo plazo, que va a utilizar la empresa para financiar un proyecto o el
plan de inversiones durante su horizonte de planeamiento.
18. Flujo de fondos: resultado neto de representar o resumir en el tiempo todos los
ingresos y los egresos de un proyecto o de una empresa, para cada uno de los
períodos que se está considerando.
19. Riesgo: variabilidad de los resultados de un proyecto alrededor de su valor promedio o valor esperado, como consecuencia de la incertidumbre existente en el
horizonte de planeamiento.
20. Causación: movimiento de registro contable que no corresponde necesariamente
a un movimiento de efectivo o de caja (p. ej., el cargo por depreciación que afecta
el estado de resultados sin afectar el flujo de caja de la empresa).
21. Valor económico agregado: magnitud de valor que agrega un proyecto a una
empresa o la gestión de una administración a una empresa.
22. Análisis de decisiones de inversión: comparación entre varias alternativas de inversión de acuerdo a un conjunto de criterios.
23. Valor de salvamento (contable): valor en libros de un activo al final de su
período de depreciación.
24. Valor de salvamento (económico): valor que se puede recibir por el activo al final
de su vida útil; también se conoce como valor terminal o valor de disposición.
25. Valor nominal de un bono: cantidad que se va a recibir por el bono el día de su
vencimiento, si la amortización del mismo se hace a través de un solo pago.
ALFAOMEGA
t
FAC U LTA D D E A D M I N I S T R AC I Ó N / U N I A N D E S
[25]
Capítulo 1
26. Valor de reposición de un activo: valor al cual se puede adquirir un activo similar
en una fecha determinada; similar implica un activo con las mismas características.
27. Valor de mercado de un activo usado: valor al cual se puede vender en el mercado un activo usado en una fecha dada.
28. Alternativas mutuamente excluyentes: de las alternativas bajo consideración, solamente se va a escoger una. También, la escogencia de una alternativa excluye a
las otras bajo consideración.
29. Alternativas colectivamente exhaustivas: el conjunto de alternativas bajo consideración constituye el universo de alternativas posibles.
30. Inflación: crecimiento en el índice de precios durante un período dado de tiempo;
también se define como la pérdida del poder adquisitivo del dinero durante un
período dado de tiempo.
31. Devaluación: aumento porcentual en el precio de una divisa (p. ej., el dólar), durante un período determinado.
32. Inversión permanente en un proyecto de inversión: inversión permanente en activos fijos y en capital de trabajo que requiere el proyecto de inversión, para que
pueda operar en condiciones aceptables.
DIAGRAMAS DE FLUJO
Una de las herramientas más importantes para el análisis financiero de una empresa o
de un proyecto son los diagramas de flujo, que representan en el tiempo los flujos de
fondos o de caja que va a necesitar el proyecto (egresos) y los flujos de fondos o de
caja que va a generar el proyecto (ingresos), si se trata de un proyecto de inversión. Si
se trata de un proyecto de financiamiento, representan los desembolsos del crédito
(ingresos financieros) en el momento en que ellos se producen, el plan de amortización a capital según lo acordado y los intereses que se tienen que pagar, en fechas
específicas, según el contrato de crédito. Los elementos básicos de un diagrama de
flujos son:
1. Escala de tiempo: representa la unidad de tiempo básica con relación a la cual se
van a medir todas las variables cuyo comportamiento depende del tiempo: año,
mes, semana.
2. Horizonte de tiempo de un proyecto de inversión: corresponde al tiempo total
dentro del cual se va a analizar el proyecto de inversión (p. ej., la vida útil del proyecto de inversión).
3. Período básico de análisis: corresponde a la unidad de tiempo básica, en la cual se
divide todo el horizonte de tiempo de un proyecto de inversión, para su análisis.
Por ejemplo, un proyecto con una vida útil de 5 años se puede dividir en períodos
mensuales, trimestrales o anuales como períodos básicos de análisis. Entre más
pequeño sea el período básico de análisis, más realista va a ser la representación
del proyecto pero más compleja su solución numérica. La escogencia del período
[26]
JAVIER SERR ANO
Diagramas de flujo
básico de análisis debe ser un compromiso entre la realidad y la simplicidad para la
solución computacional del problema.
4. j-ésimo período básico de análisis: por convención, todos los ingresos y egresos
se concentran al final del período (fecha j, para el j-ésimo período de análisis), sin
tener en cuenta la forma como efectivamente se producen durante el j-ésimo
período. Corresponde a una convención para simplificar los cálculos que va a afectar los resultados. A mayor longitud del período básico, mayor la fuente de error,
como consecuencia de esta aproximación.
5. Fechas dentro de un proyecto de inversión: la fecha cero corresponde a la fecha
actual o de arranque del proyecto. En muchos proyectos, la inversión inicial se
concentra en la fecha cero, que corresponde al inicio del primer período, mientras
que la fecha uno (1) corresponde a la finalización del primer período básico de
análisis. Todos los ingresos y egresos del proyecto durante el primer período básico de análisis, excepto la inversión inicial, se concentran en la fecha 1 o fecha de
finalización del primer período. La fecha dos (2) corresponde a la fecha de finalización del segundo período básico de análisis, que empieza en la fecha uno (1), y así
sucesivamente. La fecha j-1, es el inicio del j-ésimo período, que termina en la fecha j.
6. Flujos de efectivo: los ingresos o flujos de efectivo positivos (como ingresos por
ventas, ingresos operacionales, pagos que se reciben por amortización de créditos,
intereses obtenidos por una inversión, ingresos por venta de activos, etc.) se representan con flechas hacia arriba. En el caso de los egresos o flujos de efectivo
negativos (como inversiones, pagos de intereses por un financiamiento, cuotas
que se pagan por gastos de operación, etc.) se utilizan flechas hacia abajo. Usualmente, los ingresos y egresos se netean, colocando, a manera de resumen, el valor
neto (ingresos menos egresos) en una fecha dada.
En el Cuadro 1.1 se muestran los ingresos y egresos totales de un proyecto de inversión con una vida útil de 5 años:
Cuadro 1.1
Fecha
Año
0
Inversión
-3.000.000
Ingresos totales
Egresos totales
Ingreso neto
0
0
-3.000.000
1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
900.000
400.000
500.000
1.300.000
500.000
800.000
1.800.000
800.000
1.000.000
2.300.000
900.000
1.400.000
3.000.000
1.200.000
1.800.000
Los ingresos que se producen durante cada año se acumulan y representan al final del
año. Los egresos que se producen durante cada año se acumulan y representan al final
del año. Los ingresos netos (ingresos menos egresos) se calculan y representan al final
ALFAOMEGA
t
FAC U LTA D D E A D M I N I S T R AC I Ó N / U N I A N D E S
[27]
Capítulo 1
del año. Por lo tanto el diagrama de flujos resumido correspondería a la última fila en
el Cuadro 1.1, que se muestra en la Figura 1.1
Figura 1.1
En el Cuadro 1.2 se muestran los desembolsos, amortizaciones a capital, saldos al comienzo de cada período e intereses sobre saldos de un proyecto de financiamiento,
correspondiente a un crédito por valor de $80.000.000, a 6 años, amortización a capital en cuatro contados iguales al final de los años 3, 4, 5 y 6; intereses pagaderos año
vencido, sobre el saldo de capital al comienzo del año; tasa de interés del 20%.
Cuadro 1.2
Fecha
0
Año
Tasa de interés
Desembolso
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
20,00%
80.000.000
Amortización capital
0
0
0
-20.000.000
Saldo, comienzo año
0
80.000.000
80.000.000
80.000.000
60.000.000
40.000.000
20.000.000
-16.000.000
-16.000.000
-16.000.000
-12.000.000
-8.000.000
-4.000.000
-16.000.000
-16.000.000
-36.000.000
-32.000.000 -28.000.000 -24.000.000
Intereses
Flujo resumen
80.000.000
-20.000.000 -20.000.000 -20.000.000
Los ingresos corresponden al desembolso del crédito en la fecha cero, esto es en el
comienzo del año 1. Los egresos corresponden a la amortización a capital, al final de
[28]
JAVIER SERR ANO
Ejemplos de diagramas de flujo
los años 3, 4, 5 y 6 y al pago de intereses al final de cada año, para todos los 6 años.
El saldo al comienzo de cada período no corresponde a un flujo de caja, sino a un resultado que define el valor sobre el cual se liquidan los intereses.
En la Figura 1.2 se muestra el diagrama de flujo para los flujos parciales:
Figura 1.2
EJEMPLOS DE DIAGRAMAS DE FLUJO
Ejemplo 1
Suponga que se realiza una inversión de $10.000 mensuales durante 15 meses, al final
de los cuales se recibe un ingreso de $200.000. El diagrama de flujo sería (cifras en
miles):
Horizonte de tiempo del proyecto de inversión: 15 meses.
Período básico de análisis: mes.
Diagrama de flujo, en miles de pesos, en la Figura 1.3:
ALFAOMEGA
t
FAC U LTA D D E A D M I N I S T R AC I Ó N / U N I A N D E S
[29]
Capítulo 1
Figura 1.3
Ejemplo 2
Un proyecto de inversión con una vida útil de 6 años, que se va a analizar anualmente,
para determinar su rentabilidad; el flujo neto del j-ésimo año (ingresos de efectivo menos egresos de efectivo) se representa por FJ, mientras que la inversión que se
concentra en la fecha cero se representa por I0.
Horizonte de tiempo del proyecto de inversión: 6 años.
Período básico de análisis: año.
Diagrama de flujo en la Figura 1.4:
Figura 1.4
Ejemplo 3
Un crédito a 2 años por valor de 100 millones de pesos, que se desembolsa en la fecha
cero y se va a amortizar en dos pagos iguales, uno al final del primer año y otro al final
del segundo año. El interés del crédito es del 20% nominal anual pagadero semestre
[30]
JAVIER SERR ANO
Ejercicios para resolver
vencido; esto es, se paga un 10% al final de cada semestre sobre el saldo del crédito al
comienzo del semestre.
Horizonte de tiempo del proyecto de inversión: 2 años.
Período básico de análisis: semestre, ya que los intereses se pagan cada 6 meses.
Diagrama de flujo en la Figura 1.5:
Figura 1.5
EJERCICIOS PARA RESOLVER
Establecer los diagramas de flujo para:
1.
2.
3.
4.
5.
Un bono ordinario con una madurez de 3 años, amortizaciones iguales al final
de cada año; intereses del 24% anual pagaderos semestralmente; esto es, al final de cada semestre se paga un 12% sobre el saldo al comienzo del semestre.
Un proyecto con una vida útil de 4 años, con una inversión de 1.000 millones
de pesos, que se realiza en la fecha cero. Los flujos netos de fondos para los 4
años son respectivamente de -300, 600, 800, 1.200 millones de pesos. Al final
de los 4 años, los activos completamente depreciados se venden por 500 millones de pesos.
Un crédito a 2 años por valor de 80 millones de pesos, que se amortiza en un
solo pago al final de los 2 años. Intereses del 24% anual, pagaderos trimestre
vencido, sobre saldos; esto es, al final de cada uno de los 8 trimestres se paga
un interés del 6% sobre el saldo al comienzo del trimestre.
El mismo problema 3, pero con amortización semestral (cuatro pagos iguales, al
final de cada semestre).
Un proyecto de inversión con los flujos de caja que se muestran en el Cuadro
1.3:
ALFAOMEGA
t
FAC U LTA D D E A D M I N I S T R AC I Ó N / U N I A N D E S
[31]
Capítulo 1
Cuadro 1.3
Fecha
0
Año
Inversión
[32]
1
2
3
4
5
6
7
1
2
3
4
5
6
7
-2.000.000
Ingresos totales
0
700.000
1.000.000
1.300.000
1.600.000
2.000.000
2.300.000
2.700.000
Egresos totales
0
350.000
500.000
700.000
900.000
1.200.000
1.300.000
1.600.000
JAVIER SERR ANO
Capítulo 2
LA TASA DE INTERÉS DE OPORTUNIDAD
Y LAS RELACIONES DE EQUIVALENCIA
Una de las mayores equivocaciones en el análisis financiero consiste en el tratamiento
igual de cantidades de dinero recibidas en puntos diferentes en el tiempo. Con frecuencia en la realización de un análisis de rentabilidad de un negocio se suman
directamente como utilidad total las utilidades que se obtienen durante un horizonte
de tiempo, por ejemplo 10 años, sin que se considere la diferencia que existe entre los
mismos pesos nominales en diferentes épocas del tiempo. Cuando este es el caso, la
cifra de rentabilidad que se obtiene carece de sentido; y es necesario homogeneizar
las cantidades recibidas antes de proceder a la suma de las mismas. La homogeneización de las cantidades recibidas en puntos diferentes del tiempo se hace a través de
las denominadas relaciones de equivalencia que constituyen el punto central de este
capítulo.
CONCEPTO DE EQUIVALENCIA
Para introducir el concepto de equivalencia se va a considerar el siguiente problema,
que corresponde a un proyecto de inversión que requiere una inversión de
$1.000.000, y va a producir unos ingresos para el inversionista durante los próximos
10 años según lo mostrado en el Cuadro 2.1:
Cuadro 2.1
Año
Flujo de efectivo
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
$ 150.000
$ 200.000
$ 250.000
$ 300.000
$ 350.000
$ 400.000
$ 450.000
$ 500.000
$ 550.000
$ 600.000
La Figura 2.1 muestra el diagrama de flujos de ingresos para los 10 años, en miles de
pesos:
[33]
Capítulo 2
Figura 2.1
600
550
500
450
400
350
300
250
200
150
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 años
En términos nominales la suma de los ingresos para los 10 años es igual a
$3.750.000. La equivocación que se comete frecuentemente consiste en concluir que
la rentabilidad del negocio es del 275% para los 10 años cuando en realidad sólo llega a un 25,88% como se verá en el Capítulo 4. Esta equivocación consiste en darle la
misma importancia a pesos recibidos en diferentes puntos del tiempo.
Se puede afirmar que en términos generales las personas tienen una preferencia por
el dinero en el tiempo; ella lleva a los individuos a preferir una cantidad P hoy en lugar de esa misma cantidad P dentro de 1 año. Algunos argumentan que eso es así
dado que la moneda pierde poder adquisitivo por el proceso inflacionario y que lo
que hoy se puede adquirir con la cantidad P es superior a lo que se podrá adquirir con
esa misma cantidad dentro de 1 año. Otros argumentan que al disponer hoy de la
cantidad P, la pueden invertir a una tasa de interés i y recibir un ingreso por intereses
igual a L3 que sumado a la cantidad original permitirá acumular una suma P iP ó
P(1+i) al final del año, suma mayor que la disponible al comienzo.
Si bien es cierto que el dinero pierde poder adquisitivo en el tiempo, para un inversionista la preferencia en el tiempo proviene de las oportunidades de inversión que él
pueda encontrar para sus excedentes monetarios. En otras palabras, si el inversionista
deja inmovilizado su dinero en una caja fuerte o en una cuenta bancaria (sin intentar
obtener ninguna reciprocidad), la equivalencia de una cantidad futura versus una
cantidad presente sería la misma ya que la suma acumulada al final del período sería
idéntica. Sin embargo, si el inversionista dispone de alternativas de inversión que le
generen un interés determinado, la equivalencia en el tiempo sería mayor; ya que al
[34]
JAVIER SERR ANO
Concepto de equivalencia
invertir en esas oportunidades podría acumular una mayor cantidad al final del período que se está considerando. Lo anterior se ilustra mediante un ejemplo:
Ejemplo 2.1
Se invierte una cantidad inicial de $1.000.000 en alternativas que pagarán un interés
anual del 35%; al final del primer año, el inversionista dispondrá de la siguiente suma:
Principal:
P
=
1.000.000
Interés:
iP
=
350.000
Suma total: P iP
=
1.000.000 + 350.000
=
1.350.000
P iP
=
P (1 i ) = 1.000.000 (1,35)
=
1.350.000
Gráficamente la situación se representaría de la siguiente forma:
Figura 2.2
1.350.000
1.000.000
Para el inversionista existe una equivalencia en el tiempo que se podría definir diciendo que para él, recibir $1.350.000 dentro de 1 año sería equivalente a recibir una
cantidad de $1.000.000 hoy, de acuerdo con las alternativas disponibles. Si la tasa de
interés fuera igual a cero (equivalente a decir que el inversionista no tiene alternativas
de inversión) la suma acumulada sería de $1.000.000.
Para este inversionista, con oportunidades alternas de inversión del 35%, si alguien le
ofreciera tomar en préstamo esa cantidad y devolverle $1.300.000 dentro de un año,
a riesgos iguales, la oferta sería inaceptable ya que él dispone de alternativas que le
permiten acumular $1.350.000 al final del año. Por el contrario, si dispone
$1.000.000 en la fecha cero y le ofrecen $1.400.000 al final del año y le garantizan la
eliminación del riesgo, deberá prestar el dinero, debido a que con las alternativas disponibles no puede acumular esa cantidad.
ALFAOMEGA
t
FAC U LTA D D E A D M I N I S T R AC I Ó N / U N I A N D E S
[35]
Capítulo 2
El ejemplo anterior ilustra el concepto de equivalencia definido alrededor de la tasa de
interés de oportunidad (TIO). Si la tasa de interés de oportunidad para un período es
igual a i, disponer de una cantidad P hoy, será equivalente a disponer de una cantidad 3 (1 L ) dentro de un período; o en forma similar, recibir una cantidad 3 (1 L )
dentro de un período será equivalente a recibir una cantidad P hoy.
El concepto de equivalencia que se acaba de presentar se establece alrededor de la
tasa de interés de oportunidad definida como la tasa de interés correspondiente a las
alternativas convencionales de inversión que están disponibles para una empresa o
un individuo. Como la tasa de interés de oportunidad es diferente para los individuos
o las empresas, las sumas correspondientes a las equivalencias en el tiempo también
lo serán; un par de ejemplos aclaran la situación anterior.
Ejemplo 2.2
Para un individuo cuyas oportunidades de inversión están en el sistema financiero, a
través de la modalidad de cuentas de ahorro, en un momento donde los intereses que
se están pagando son del 4% efectivo anual, la equivalencia en el tiempo se daría en
términos de una tasa de interés de oportunidad del 4% anual, que corresponde al
rendimiento anual de la cuenta de ahorro antes de impuestos. Por otro lado, otro individuo con mayores conocimientos del mercado de capitales, al poder obtener
rendimientos mayores, tendrá una tasa de interés de equivalencia superior ya que su
tasa de interés de oportunidad también es superior; por ejemplo, una inversión en
títulos emitidos por el gobierno central, tal y como ocurre con los TES en Colombia o
con los treasuries en Estados Unidos, que usualmente generan una rentabilidad superior a las cuentas de ahorro, que suelen ser las de menor rendimiento en el sistema
financiero.
Ejemplo 2.3
Una empresa, en el sector industrial, donde la rentabilidad anual del negocio es del
30% después de impuestos, tendrá una tasa de interés de equivalencia inferior a otra
empresa que pertenezca a otro sector industrial donde la rentabilidad anual sea del
40% después de impuestos. Cuando este es el caso, las inversiones marginales se
evaluarán en la primera empresa a una tasa de interés igual o superior al 30% anual,
mientras que en la segunda empresa esas inversiones se evaluarán a una tasa de interés igual o superior al 40% anual.
En los ejemplos anteriores se ha mencionado la palabra impuestos, cuya consideración es crucial en la evaluación de proyectos tal y como se ilustrará en los capítulos
siguientes. En general, las decisiones de inversión y financiamiento se analizan después de impuestos.
[36]
JAVIER SERR ANO
Relaciones de equivalencia más importantes
RELACIONES DE EQUIVALENCIA MÁS IMPORTANTES
Equivalencias considerando distintos horizontes de planeamiento
Equivalencia futura de una suma presente
En el numeral anterior se estableció que al invertir una cantidad P a una tasa de interés i se obtiene una suma acumulada igual a P (1 i ) al final del primer año. La
aplicación repetitiva de este resultado permite obtener la relación de equivalencia más
importante en el campo de las matemáticas financieras, debido a que proporciona la
equivalencia cuando se consideran diferentes horizontes de planeamiento. Para ilustrar lo anterior, se parte de una cantidad inicial P y de una tasa de interés de
oportunidad igual a i. Al final del primer año, la suma acumulada será:
Principal:
P
iP
Interés:
Suma acumulada al final del primer año: F1
F1
=
P iP
=
P (1 i )
Para el segundo año, el principal corresponde a la suma acumulada al final del primer
año; la aplicación del ejercicio anterior lleva a:
Principal:
P (1 i )
Interés:
iP (1 i )
Suma acumulada al final del primer año: F2
F2
=
P (1 i ) iP (1 i )
=
[P(1 i)](1 i) = P (1 i ) 2
Para el tercer año, y procediendo en una forma similar, se obtendrá:
P (1 i ) 2
Principal:
Interés:
iP (1 i ) 2
Suma acumulada al final del tercer año: F3
F3
P (1 i ) 2 iP (1 i ) 2 = [P (1 i ) 2 ](1 i ) = P (1 i ) 3
La repetición del ejercicio anterior lleva a la fórmula general para encontrar la equivalencia de sumas recibidas en puntos diferentes en el tiempo. Para este caso
particular, la equivalencia futura de una suma presente.
Fn
P(1 i) n
ALFAOMEGA
t
(1)
FAC U LTA D D E A D M I N I S T R AC I Ó N / U N I A N D E S
[37]
Capítulo 2
En la expresión anterior, Fn corresponde a la suma futura equivalente dentro de n
períodos a una suma presente igual a P. Gráficamente, se tiene:
Figura 2.3
FN = P(1+1)N
0
1
2
3
n-2
n-1
n
años
0
1
2
3
n-2
n-1
n
años
P
Un ejemplo aclara la aplicación de la fórmula anterior.
Ejemplo 2.4
Se invierte una suma de $1.000.000 durante 10 años a una tasa de interés anual
igual al 35%; no se retiran los intereses, se capitalizan cada año y se reinvierten a la
misma tasa de interés. La suma que se acumulará al final de los 10 años se obtiene de
la siguiente forma:
F10
P * 1 i 10
F10
1.000 .000 * 1 0,35 10
F10
1.000 .000 * 1,35 10
F10
1.000 .000 * 20,106
20 .106 .556
En la situación anterior, el inversionista podría retirar $20.106.556 al final del año 10.
Es decir, para la tasa de interés considerada, disponer de $1.000.000 hoy será equivalente a disponer de $20.106.556 dentro de 10 años. En forma similar, para esa tasa
de interés, $20.106.556 recibidos dentro de 10 años serían equivalentes a recibir
$1.000.000 en la fecha presente, tal y como se muestra en la Figura 2.4:
[38]
JAVIER SERR ANO
Relaciones de equivalencia más importantes
Figura 2.4
F10 = 20.106.556
0
1
2
3
8
9
10
años
0
1
2
3
8
9
10
años
1.000.000
Por lo tanto, se puede decir que para una tasa de interés de equivalencia o tasa de
interés de oportunidad del 35%, el valor actual o presente correspondiente a una
cantidad igual a $20.106.556 recibidos dentro de 10 años es igual a $1.000.000. Estos valores permiten mostrar el efecto ilusorio del dinero, especialmente cuando se
está trabajando con tasas de interés elevadas.
Vale la pena destacar varios aspectos sobre la relación de equivalencia:
1. En la relación de equivalencia está presente el concepto de interés compuesto o
interés sobre intereses, figura que no siempre está permitida según las disposiciones del Código de Comercio (anatocismo). Esto es, en la fórmula (1) está implícita
la capitalización de intereses al final del período para el cual se están causando.
2. No se retira cantidad alguna de dinero durante los n años que se están contemplando; todos los retiros se hacen al final del período n.
3. La tasa de interés permanece constante durante los n años, lo cual era necesario
en el pasado para facilitar la realización de los cálculos. Si este no es el caso, se
puede utilizar la siguiente relación:
FN
P * (1 i1 ) * (1 i2 ) *............* (1 iN1 ) * (1 iN )
Que se transforma en (1), si las tasas de interés de cada período son iguales.
4. La relación es válida independientemente de la longitud de tiempo que se esté
considerando para el período básico, siempre y cuando los intereses se refieran a
ese período de tiempo. Un ejemplo aclara lo anterior.
Ejemplo 2.5
Un fondo de inversión liquida intereses diariamente, equivalentes a una tasa nominal
anual del 9,75937%, que corresponde a un interés diario del 0.026738%, para un
ALFAOMEGA
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FAC U LTA D D E A D M I N I S T R AC I Ó N / U N I A N D E S
[39]
Capítulo 2
año de 365 días. Suponga un depósito de $10.000.000 que se coloca en el banco por
38 días, devengando ese interés diario. La cantidad acumulada al final de los 38 días
será:
F38
P 1 id 38
F38
10 .000 .000 * 1 0,00026738 38
F38
10 .000 .000 * 1,00026738 38
F38
10 .000 .000 * 1,0102108
10.102.108
La suma anterior indica que el monto ganado por concepto de intereses durante el
período de 38 días es igual a $102.108.
Una notación comúnmente utilizada para la representación de los factores en las
fórmulas de equivalencia es:
>F / P, i, n@ 1 i n
Donde F/P se lee F dado P. Esta notación era útil cuando el valor del factor se tenía
que encontrar en tablas de factores para un interés i y un número de períodos n, lo
cual ha perdido toda vigencia, como consecuencia de los desarrollos en las herramientas de computación. De esta forma, la fórmula para la equivalencia, que la
mantenemos por propósitos de notación, será:
F
P>F / P, i, n@
Ejemplo 2.6
Un fondo de inversión paga un interés del 1,01% mensual. Suponga que se hace una
inversión en el fondo por valor de $8.500.000, durante 24 meses, sin realizar retiros
durante este período. La cantidad acumulada al final de los 24 meses será:
F24
P1 im 24
F24
8.500.000 * 1 0,010124
F24
F24
8.500.000 * 1,010124
8.500.000 * 1.272755
10.818.419
La cantidad acumulada al final de los 24 meses será de $10.818.419.
[40]
JAVIER SERR ANO
Relaciones de equivalencia más importantes
Equivalencia presente de una suma futura
La expresión anterior, para la determinación de la suma futura equivalente a una suma presente, se puede utilizar para encontrar el equivalente presente de una suma
futura. Despejando de la expresión básica, se obtiene:
P
Fn
(2)
1 i n
A continuación se presenta la representación gráfica:
Figura 2.5
FN
0
1
2
3
n-2
n-1
n
años
0
1
2
3
n-2
n-1
n
años
P=FN/(1+i)N
Un ejemplo aclara la utilización de la expresión anterior.
Ejemplo 2.7
Suponga que alguien le ofrece la promesa de entregarle $100 millones dentro de 20
años. Se quiere determinar el valor actual (valor real) de esa promesa, si la tasa de
interés de equivalencia es del 35% anual.
P
P
P
P
100.000.000
1 0,3520
100.000.000
1,3520
100.000.000
404,27
247.357
ALFAOMEGA
t
FAC U LTA D D E A D M I N I S T R AC I Ó N / U N I A N D E S
[41]
Capítulo 2
La cifra anterior pone de manifiesto el efecto ilusorio del dinero. El valor actual o real
de los $100.000.000 recibidos dentro de 20 años es de $247.357.
En la expresión para encontrar el equivalente presente de una suma futura es interesante observar el efecto del tiempo (n) y de la tasa de interés (i).
1. Efecto del tiempo: para la misma suma anterior, se consideran 3 épocas para la
recepción de los $100 millones: 5, 10 y 20 años. Los equivalentes presentes respectivos, a una tasa de interés del 35%, son:
Cuadro 2.2
1
n
P
(1 0.35) n
5
10
20
0,223014
0,049735
0,002474
22.301.350
4.973.502
247.357
Los resultados presentados en el Cuadro 2.2 muestran cómo el equivalente presente de una suma futura disminuye drásticamente cuando esa suma futura se
aleja en el tiempo.
2. Efecto de la tasa de interés: considere la suma de $100 millones a recibirse
dentro de 10 años. Se requiere determinar los equivalentes presentes para tres tasas de interés diferentes: 20%, 35% y 45%.
Cuadro 2.3
1
I
1 i10
P
20%
35%
45%
0,161506
0,049735
0,024340
16.150.558
4.973.502
2.433.997
Los resultados presentados en el Cuadro 2.3 muestran cómo el equivalente presente de una suma futura disminuye cuando se incrementa la tasa de interés.
Cuando las tasas de interés son elevadas, el valor presente de sumas alejadas en
el tiempo es muy bajo. Esto hace que proyectos de tardío rendimiento como son
los proyectos de desarrollo, difícilmente pasen un examen o estudio de viabilidad
económica; y por eso en épocas recesivas es necesario bajar las tasas de interés
para lograr una reactivación de la economía.
[42]
JAVIER SERR ANO
Relaciones de equivalencia más importantes
La representación del factor para hallar el equivalente presente de una suma futura
es:
1
>P / F, i, n@
1 i n
De esta forma, la fórmula para la equivalencia será:
P
F>P / F, i, n@
Ejemplo 2.8
Una persona debe acumular en 10 años $38 millones; para esto va a invertir en un
fondo de inversión que le ofrece un interés semestral del 6,8%. ¿Cuál es el monto
que se debe invertir en el fondo en la fecha cero?
P
P
38.000.000
1 0,06820
38.000.000
1,06820
38.000.000
3,727563
P 10.194.326
P
Valor futuro de una serie uniforme
Otra relación de equivalencia que puede resultar útil es la correspondiente a la equivalencia entre una serie uniforme de pagos iguales al final de cada período, durante n
períodos, y una suma futura al final de esos n períodos. En la Figura 2.6 se muestra la
situación a contemplar en términos gráficos:
Figura 2.6
FN =P[(1+i)N-1]/i
0
1
2
3
n-2
n-1
N
n
años
0
A
ALFAOMEGA
A
t
A
A
A
1
A
FAC U LTA D D E A D M I N I S T R AC I Ó N / U N I A N D E S
2
3
n-2
n-1
n
años
[43]
Capítulo 2
Donde “A” se refiere al flujo periódico (ingreso o egreso) al final de cada período; por
ejemplo, se refiere a anualidades iguales en el caso de que los períodos sean de 1
año. Para propósitos de la presentación se supone, como lo muestra la gráfica, que se
trata de egresos o depósitos en un fondo. El equivalente futuro de cada uno de los
desembolsos estará dado por:
Cuadro 2.4
Egresos
Equivalente futuro
1
A1 i 2
A1 i n 2
3
A1 i n3
…
…
(n-2)
A1 i 2
(n-1)
N
n1
A1 i 1
A
Por lo tanto, la suma acumulada al final de los n períodos es igual a:
F
>
@
A 1 in1 1 in2 ... 1 i2 1 i1 1
Multiplicando ambos lados de la ecuación por (1+i) se obtiene:
1 iFn
>
A 1 in 1 in1 ... 1 i3 1 i2 1 i1
@
Restando de esta expresión la anterior, se obtiene:
1 iFn Fn
>
@
A 1 i n 1
Despejando F de la expresión anterior:
Fn
>
@
A 1 in 1
i
(3)
Ejemplo 2.9
Suponga que se hacen depósitos a un fondo de inversión por un valor de $25.000 al
final de cada mes durante 5 años. El primer depósito se hace dentro de 1 mes, mientras que el último se hace al final del mes 60. El fondo paga un interés del 2.5%
[44]
JAVIER SERR ANO
Relaciones de equivalencia más importantes
mensual; además, los intereses se reinvierten dentro del mismo fondo a la misma tasa
de interés. El diagrama de flujo de caja se muestra en la Figura 2.7. La cantidad acumulada al final de los 60 meses se calcula de acuerdo con la expresión anterior:
Figura 2.7
F
0
F60
F60
F60
F60
1
2
3
A
A
A
>
…
58
59
60
A
A
A
0
1
2
3
…
58
59 60
@
25.000 1 0,025 60 1
0,025
25.000 >4,39979 1@
0,025
84.994,74
0.025
3.399 .790
En una hoja electrónica Excel el valor futuro de una serie uniforme se calcula utilizando la función “Valor futuro” de un pago periódico, VF (i,n,A), donde i corresponde a
la tasa de interés periódica, n al número de períodos y A la anualidad o pago periódico. Para resolver el ejemplo anterior, la función sería VF(0,025,60,25.000).
Ejemplo 2.10
Considere la situación anterior, pero suponga que los depósitos se hacen en una forma más
real, al comienzo de cada período. El primero se hace en el período cero, por lo cual se ganarán intereses durante los 60 períodos; el segundo al final del año 1 y comienzo del 2, por
lo cual se ganarán intereses durante 59 períodos, y así sucesivamente.
ALFAOMEGA
t
FAC U LTA D D E A D M I N I S T R AC I Ó N / U N I A N D E S
[45]
Capítulo 2
Figura 2.8
F
0
1
2
3
A
A
A
A
…
58
59
A
A
60
0
1
2
3
…
58
59 60
Una forma de resolver este caso consiste en considerar por aparte el primer depósito,
que genera intereses durante 60 períodos, y luego los 59 depósitos restantes, como
se muestra a continuación:
1. Depósito en la fecha 0:
F60 25.000* 1,02560 109.995
Figura 2.9
2. Serie uniforme de depósitos para los siguientes 59 meses. La cantidad acumulada
al final del mes 59 se obtiene aplicando la relación (3):
F59
F59
F59
[46]
>
@
25.000 * 1 0,025 59 1
0,025
25.000 * >4,292478 1@
0,025
3.292 .477
JAVIER SERR ANO
Relaciones de equivalencia más importantes
Figura 2.10
F59
0
1
2
3
…
58
59
60
0
1
2
3
…
58 59 60
25.000
En la Figura 2.11 se muestran los dos valores resultantes de lo que se acaba de
presentar en 1 y 2; un valor de $3.292.478 al final del mes 59 y un valor de
$109.995 al final del mes 60.
Figura 2.11
3.292.478
109.995
…
0
1
2
3
56
57
58
59 60
El valor de los $3.292.478 en el mes 59, al final del mes 60, sería:
F60
F59 * 1,025 3 .374 .790
3. El total acumulado al final del mes 60 sería:
F60
109 .994 3.374 .790
3.484 .784
En la Figura 2.12 se resume el planteamiento del problema y su resultado:
ALFAOMEGA
t
FAC U LTA D D E A D M I N I S T R AC I Ó N / U N I A N D E S
[47]
Capítulo 2
Figura 2.12
3.484.784
0
1
2
3
4
56
57
25.000
58
59
60
meses
25.000
La representación del factor para encontrar el valor futuro de una serie uniforme
es:
n
>F / A, i, n@ 1 i 1
i
Es decir, dada una serie periódica uniforme de valor A, durante n períodos y un
interés periódico i, calcular el valor futuro acumulado al final de los n períodos.
De esta forma, la fórmula para la equivalencia será:
F
A>F / A, i, n@
Ejemplo 2.11
Una persona desea ahorrar $1.500.000 mensualmente en un fondo que genera un
interés mensual del 1,5%. ¿Cuánto acumulará en el fondo después de hacer 12 depósitos, si el primero lo hace en un mes? ¿Cuánto acumulará si el primero lo hace
inmediatamente?
Si el primer depósito se hace en un mes:
F12
F12
F12
F12
>
@
1.500 .000 * 1 0,015 12 1
0,015
1.500 .000 * >1,195618 1@
0,015
293 .427,25
0,015
19.561 .817
Si el primer depósito se hace inmediatamente y siguiendo los pasos indicados anteriormente se obtiene que:
[48]
JAVIER SERR ANO
Relaciones de equivalencia más importantes
1. Depósito en la fecha 0:
F12
1.500,000 * 1,01512
1.793.427
2. Serie uniforme de depósitos para los siguientes 11 meses:
>
@
1.500.000 * 1 0,01511 1
0,015
1.500.000 * >1,17794 1@
0,015
266.923,40
0,015
17.794.894
F11
F11
F11
F11
El valor de la cantidad anterior, al final del mes 12, sería:
F11 * 1,015
F12
18.061.817
3. El total acumulado al final del mes 60 sería:
F12
1.793.427 18.061.817 19.855.244
Valor presente de una serie uniforme
Para encontrar la expresión del valor presente de una serie uniforme, definida en la
misma forma utilizada en la deducción de la expresión (3), se trae a valor presente la
suma acumulada al final de los n años, resultante de aplicar la misma expresión (3):
Figura 2.13
P
0
ALFAOMEGA
1
2
3
A
A
A
t
…
n-2 n-1 n
A
A
0 1
2
3
…
n-2 n-1 n
A
FAC U LTA D D E A D M I N I S T R AC I Ó N / U N I A N D E S
[49]
Capítulo 2
El resultado correspondiente será:
P
ª 1 i n 1º
A«
n »
¬ i1 i ¼
(4)
Ejemplo 2.12
Considere la misma serie uniforme de pagos vencidos del ejemplo 2.9; esto es una
serie uniforme de 60 pagos mensuales por valor de $25.000 cada uno, al final del
respectivo mes. Se quiere calcular el valor presente de la serie uniforme, si la tasa de
interés de oportunidad es del 2,5% mensual.
P60
P60
P60
P60
>
@
25.000 * 1 0,02560 1
0,025 1 0,02560
25.000 >4,39979 1@
0,025 4,39979
84.994,74
0,10999
772.716
Figura 2.14
772,716
0
1
2
3
…
58 59
60
0 1
2
3
…
58 59
60
25,000
En una hoja electrónica de Excel el valor presente de una serie uniforme se calcula
utilizando la función valor actual de una serie periódica uniforme, VA(i,n,A), donde i
es la tasa de interés, n el número de períodos y A el valor de la serie periódica uniforme. Para resolver el ejemplo anterior, la función sería VA(0,025,60,25.000).
La representación del factor para hallar el valor presente de una serie uniforme es:
n
>P / A, i, n@ 1 i n 1
i1 i [50]
JAVIER SERR ANO
Relaciones de equivalencia más importantes
De esta forma, la fórmula para la equivalencia será:
P
A>P / A, i, n@
Ejemplo 2.13
Considere la misma serie uniforme de pagos anticipados del ejemplo 2.10.
1. Serie uniforme de depósitos para los últimos 59 pagos. El valor presente se obtiene aplicando la relación (4):
P
P
P
P
>
@
25.000 * 1 0,02559 1
0,025 * 1 0,02559
25.000*>4,292478 1@
0,025 * 4,29247
82.311,94
0,10731
767.034
2. Valor presente de los 60 pagos:
P
767 ,034 25,000
792,034
En la Figura 2.15 se resume el planteamiento del problema y los resultados del
mismo.
Figura 2.15
792.034
0
1
2
3
A
A
A
A
ALFAOMEGA
t
…
58
A
59
60
0
1
2
3
…
58
59
60
A
FAC U LTA D D E A D M I N I S T R AC I Ó N / U N I A N D E S
[51]
Capítulo 2
Serie uniforme equivalente a un valor futuro
La expresión (3), que corresponde al valor futuro de una serie uniforme, se puede
utilizar para encontrar el equivalente en términos de una serie uniforme para una suma futura:
Figura 2.16
F
0
1
2
3
…
n-2 n-1 n
0
1
2
3
A
A
A
…
n-2 n-1 n
A
A
A
El resultado correspondiente será:
A
ª
º
i
F«
»
n
¬ 1 i 1¼
(5)
Ejemplo 2.14
Suponga que al término de 6 meses se desea retirar una suma de $6.000.000 de una
cuenta de ahorros, depositando una suma constante al final de cada mes. Si el interés
que se puede obtener mensualmente es del 1,8%, ¿qué cantidad debe ahorrarse cada mes?
A
A
A
[52]
ª
º
0,018
6.000.000 * «
»
6
¬« 1 0,018 1¼»
ª 0,018 º
6.000.000 * «
»
¬ 0,11297 ¼
6.000.000 * >0,15932@ 955.936
JAVIER SERR ANO
Relaciones de equivalencia más importantes
Figura 2.17
En una hoja electrónica Excel el valor de una serie uniforme teniendo el valor futuro
se calcula utilizando el comando PAGO (i,n,0,F), donde i es la tasa de interés periódica, n el número de períodos, 0 un indicador de que los pagos son vencidos y F el
valor futuro, al final de los n períodos. Para resolver el ejemplo anterior, la función
sería PAGO(0.018,6,0,6.000.000). Si los pagos son vencidos, se utiliza un 1 como
indicador; en vez de cero, también se puede dejar en blanco, para pagos vencidos.
La representación del factor para hallar el valor de una serie uniforme dado un valor
futuro es:
>A / F, i, n@
ª
º
i
«
»
n
¬ 1 i 1¼
De esta forma, la fórmula para la equivalencia será:
A
F>A / F, i, n@
Serie uniforme equivalente a un valor presente
La expresión (4), que corresponde al valor presente de una serie uniforme, se puede
utilizar para encontrar la serie uniforme dado un valor presente:
Figura 2.18
P
0 1
ALFAOMEGA
t
2
3
…
n-2 n-1 n
0
1
2
3
A
A
A
FAC U LTA D D E A D M I N I S T R AC I Ó N / U N I A N D E S
…
n-2 n-1 n
A
A
A
[53]
Capítulo 2
El resultado correspondiente será:
A
ª i1 i n º
P«
»
n
¬ 1 i 1¼
(6)
Ejemplo 2.15
Se quiere saber cuál es el pago mensual (al final de cada mes) que se debe realizar
por un crédito de $6.000.000 a 6 años (72 meses), si la tasa de interés mensual es del
2,3%.
A 6.000.000 *
0,023 * (1 0,023)72
(1 0,023)72 1
A = 6.000.000*0,028554 = 171.325
Figura 2.19
P = $ 6.000.000
0
1
2
3
…
70
71 72
0
1
2
3
…
70
72
A = $171.325
En una hoja electrónica Excel el valor de una serie uniforme teniendo el valor presente
se calcula utilizando la función PAGO(i,n,P). Para resolver el ejemplo anterior, la función sería PAGO(0.023,72,6.000.000).
La representación del factor para hallar el valor de una serie uniforme dado un valor
presente, es:
>A / P, i, n@
ª i1 i n º
»
«
n
¬ 1 i 1¼
De esta forma, la fórmula para la equivalencia será:
A
[54]
P >A / P, i, n@
JAVIER SERR ANO
Relaciones de equivalencia más importantes
Valor presente de una serie infinita que tiene un crecimiento
constante igual a g
En muchos casos se tiene una situación donde los flujos de caja crecen de un período
al siguiente con un crecimiento constante, en forma tal que:
FJ = FJ-1 * (1+g), donde g es la tasa de crecimiento periódica.
Si el flujo de caja se extiende hasta infinito, se puede encontrar una expresión cerrada
que permite calcular el valor presente de la serie, en términos del flujo de caja al final
del primer período, la tasa de interés y la tasa de crecimiento.
Para encontrar la fórmula a que se hace mención, suponga que el ingreso al final del
primer período, D1, es igual a D.
El ingreso al final del segundo período, D2, es igual a D*(1+g)
El flujo de caja al final del tercer período, D3, es igual a:
D3
D2 * (1 g )
D * (1 g ) 2
El flujo de caja al final del cuarto período, D4, es igual a:
D4
D3 * (1 g) D * (1 g)3
En general,
DJ
D J 1 * (1 g )
D * (1 g ) J 1
En la Figura 2.20 se muestra el resumen de la secuencia de ingresos que se comportan de acuerdo con el modelo de crecimiento constante, para una serie infinita:
Figura 2.20
D5
D4
D2
D3
D
D1
0
ALFAOMEGA
t
1
2
3
4
FAC U LTA D D E A D M I N I S T R AC I Ó N / U N I A N D E S
5
[55]
Capítulo 2
El valor presente de esta serie, en términos generales, sería igual al resultado de traer
a la fecha cero cada uno de los pagos, utilizando repetitivamente la expresión (1); en
términos resumidos:
P
D ¦ ¨¨ 1 kJ J
J 1©
J D§
·
¸
¸
¹
J 1
¨ D * 1 g
¦ ¨ 1 k J
J 1©
J D§
·¸
¸
¹
donde k es la tasa de descuento y corresponde al símbolo de infinito.
P
D J D § 1 g ·
¨¨
¸¸
1 k ¦
J 1 © 1 k ¹
J 1
D I D § 1 g ·
¨¨
¸¸
1 k ¦
I 0 © 1 k ¹
I
En el paso anterior se hizo un cambio de variable, definiendo I=J-1, para tomar la
sumatoria desde cero, y poder utilizar el siguiente resultado bien conocido del álgebra
clásica:
I D
1
¦ aI 1 a
I 0
Si valor absoluto de a es inferior a 1; de otra forma la serie es divergente.
Por lo tanto,
P
§
·
¨
¸
1
D ¨
¸,
1 k ¨ 1 1 g ¸
¨
1 k ¸¹
©
si k > g; esto es, si la tasa de descuento o tasa de interés de oportunidad es mayor
que la tasa de crecimiento.
P
D § 1 k ·
¸
¨
1 k ¨© k g ¸¹
D
k g ,
si k > g
Si k < g, la serie sería divergente y el valor de P sería igual a infinito. ¿Cuál sería la
interpretación de esta situación?
La expresión anterior es bastante útil en cálculos financieros y cuando se aplica a un
flujo infinito de dividendos con un crecimiento constante g se conoce como el modelo
de Gordon para calcular el precio de una acción. Este resultado se utilizará posteriormente; el mismo requiere una consistencia en la definición de parámetros, ya que
k y g deben estar ambos en condiciones nominales o ambos en condiciones reales.
[56]
JAVIER SERR ANO
Relaciones de equivalencia más importantes
Ejemplo 2.16
¿Cuál es el precio de la acción si el primer dividendo de $400.000 será pagado en un
año? El crecimiento esperado de la acción es del 7% anual y la tasa interna de oportunidad del inversionista es del 18% anual.
P
400.000
0,18 0,07
400.000
0,11000
3.636.363,63
El precio de la acción es de $3.636.363,63.
Valor presente de una serie finita que tiene un crecimiento
constante igual a g
Condiciones similares al planteamiento anterior, crecimiento constante, salvo que el
número de períodos es finito e igual a N.
El planteamiento general sería el siguiente:
P
J N§
D
·
J N§
D * 1 g J 1 ·¸
¸
¹
¦ ¨¨ 1 kJ J ¸¸ ¦ ¨¨ 1 k J
J 1©
¹ J 1©
Siguiendo un procedimiento similar al utilizado, en el caso finito se llega a la siguiente
expresión:
P
­° ª 1 g º N ½°
D
* 1
k g ®°̄ «¬ 1 k »¼ ¾°¿
Ejemplo 2.17
¿Cuál es el precio de la acción, si el primer dividendo de $600.000 será pagado en un
año? El número de dividendos anuales esperado es infinito, el crecimiento esperado
de la acción es del 8,5% anual y la tasa interna de oportunidad del inversionista es
del 20% anual.
¿Cuál es el precio de la acción anterior, si el número de dividendos anuales esperado
es de 20?
Si el número de dividendos anuales esperado es infinito:
ALFAOMEGA
t
FAC U LTA D D E A D M I N I S T R AC I Ó N / U N I A N D E S
[57]
Capítulo 2
600 .000
P
0,200 0,085 P
0,11500 P
5.217.391, 30
600 .000
¿Cuál sería el precio de la acción, si el número de dividendos anuales esperado es de
20?
P
­° ª 1 0,085 º 20 ½°
600 .000
* ®1 «
0,200 0,085 °̄ ¬ 1 0,200 »¼ ¾°¿
P
600 .000
* 1 >0,90417 @20
0,11500 P
600 .000
* ^1 0,13334`
0,11500 P
5.217.391, 30 * ^0,86666`
P
4.521.689, 30
^
`
Serie uniforme equivalente a cantidades que varían de
manera uniforme (gradientes)
Suponga que se tiene un flujo de caja que se muestra en la Figura 2.21:
Figura 2.21
[58]
JAVIER SERR ANO
Relaciones de equivalencia más importantes
Para encontrar la equivalencia entre una serie de sumas futuras cuyo valor aumenta
gradualmente en la cantidad g, y una serie uniforme, se utiliza la expresión:
A
ª1
º
n
g« »
n
¬ i 1 i 1¼
(7)
El nuevo diagrama será:
Figura 2.22
0
1
2
3
A
A
A
n-2 n-1 n
…
A
A
A
Ejemplo 2.18
Encontrar el equivalente en términos de una serie periódica uniforme anual, del siguiente esquema (i=35%).
Figura 2.23
0
1
2
3
4
5
6
0
1
2
3
4
5
6
300
350
400
450
A
500
550
La serie original es equivalente a la suma de las siguientes dos series:
Figura 2.24
0
1
2
3
4
5
6
0
1
2
3
4
5
6
50
100
150
200
250
ALFAOMEGA
t
FAC U LTA D D E A D M I N I S T R AC I Ó N / U N I A N D E S
300
[59]
Capítulo 2
Figura 2.25
0
1
2
3
4
5
6
0
1
A1=300
2
3
4
5
6
A2
50
100
150
200
300
250
A2 = g[A/g, 0,35,6] = 50*(1,6698) = 83,4917
A = A1 + A2 = 300 + 83,4917 = 383,49
La representación del factor para hallar el valor de la serie uniforme es:
>A / g, i, n@
ª1
º
n
« »
n
¬ i 1 i 1¼
De esta forma, la fórmula para la equivalencia será:
A
[60]
g>A / g, i, n@
JAVIER SERR ANO
Resumen de las relaciones de equivalencia
RESUMEN DE LAS RELACIONES DE EQUIVALENCIA
En el Cuadro 2.5 se presenta un resumen de las principales relaciones de equivalencia:
Cuadro 2.5
Para encontrar
Dado
Factor
Valor futuro
F
Valor presente
P
>F / P, i, n@ 1 i n
Valor presente
P
Valor futuro
F
Valor futuro
F
Serie uniforme
A
>F / A, i, n@
Valor presente
P
Serie uniforme
A
n
>P / A, i, n@ 1 i n 1
i1 i Serie uniforme
A
Valor futuro
F
Serie uniforme
A
Valor presente
P
Serie uniforme
A
Gradiente
G
Valor presente,
gradiente
creciente,
crecimiento
constante
infinito
Dividendo del
año 1 igual a
D
Valor presente,
gradiente
creciente,
crecimiento
constante
finito
>P / F, i, n@
>A / F, i, n@
1
1 i n
1 in 1
>A/ g,i, n@
P >F / P , i, n @
F >P / F , i, n @
A >F / A, i, n @
i
i
1 i n 1
n
>A / P, i, n@ i1 ni 1 i 1
º
ª1
n
»
« n
¬ i 1 i 1¼
A >P / A, i, n @
F >A / F , i, n @
P >A / P , i, n @
Excel
VF(i,n,VA)
VA(i,n,VF)
VF(i,n,A)
VA(i,n,A)
PAGO(i,n,0,F)
PAGO(i,n,P)
g >A / g , i, n @
P= D/(k-g), donde k es
la tasa de descuento y g
el crecimiento
3
Dividendo del
año 1 igual a
D, número de
años igual a N
Fórmula
­° ª 1 J º 1 ½°
'
* ®1 «
N J °̄ ¬ 1 N »¼ ¾°¿
donde k es la tasa de
descuento, g, la tasa de
crecimiento y N, el
número de años
OBSERVACIONES RESPECTO A LA UTILIZACIÓN
DE LAS RELACIONES DE EQUIVALENCIA
Algunas observaciones para tener en cuenta al aplicar las relaciones de equivalencia
cuyo resumen se acaba de presentar:
ALFAOMEGA
t
FAC U LTA D D E A D M I N I S T R AC I Ó N / U N I A N D E S
[61]
Capítulo 2
a) Se supone la reinversión de los intereses. Se estarían pagando intereses sobre intereses (interés compuesto en oposición al interés simple).
b) Las relaciones de equivalencia suponen que los intereses se pagan período vencido; si ese no es el caso no se pueden utilizar directamente. Para el pago de intereses anticipados habría que encontrar las equivalencias correspondientes, tal y
como se verá posteriormente.
c) Para la consideración de pagos anticipados en lugar de pagos vencidos, algunas
calculadoras y hojas de cálculo permiten hacer fácilmente la conversión, haciendo
la indicación correspondiente, sin que el usuario tenga que realizar cálculos adicionales.
d) Las relaciones de equivalencia suponen que la tasa de interés permanece constante durante todo el tiempo del flujo que se está analizando. Esta suposición era
crítica cuando no existían las hojas de cálculo, que permiten realizar los cómputos
necesarios en el caso de que la tasa de interés varíe, como es usual en una situación de la vida real.
e) Si la tasa de interés varía período a período, para traer a valor presente una suma
futura Fn, al final del período n, habría que utilizar la expresión general, con los
factores de descuento individuales para cada período; esto es:
P
Fn
1 i1 * 1 i2 * 1 i3 * ... * 1 i J * ...1 i n2 * 1 i n1 * 1 i n EJERCICIOS RESUELTOS
Los siguientes seis ejercicios se presentan para ilustrar en forma resumida la utilización
de las relaciones de equivalencia:
1.
Suponga un fondo que reconoce un interés del 1.5% mensual. Se van a hacer
48 depósitos al fondo por un valor de $100.000 mensuales durante los próximos 4 años. ¿Cuánto se acumularía en el fondo si el primer depósito se hace
dentro de un mes a partir del momento en que la persona se afilia al fondo de
inversión?
Para la solución de este problema se aplica directamente la fórmula para encontrar el equivalente futuro de una serie uniforme mensual, por valor de
$100.000, con una tasa de interés del 1.5% mensual, durante 48 períodos de
un mes.
>1 0,015 48
F48
F48
[62]
@
1
0.015
100 .000 * 69,56529 6.956 .521
100 .000 *
JAVIER SERR ANO
Ejercicios resueltos
2.
Para el caso del ejemplo anterior suponga, como es usual, que el primer depósito se hace inmediatamente.
No se puede aplicar directamente la fórmula anterior, ya que los pagos se
hacen anticipados y no vencidos. Con pequeñas adaptaciones, se puede resolver el problema, para lo cual existirían diferentes alternativas. En este ejemplo,
se van a considerar dos de ellas.
La más sencilla consistiría en mirar la serie de pagos un período atrás de la fecha cero (fecha -1). Desde ese punto del tiempo se ven 48 pagos vencidos,
que se acumulan en el mes 47, con un valor total de 6.956.521. Para llevar el
valor anterior al mes 48, simplemente habría que multiplicar por (1+0,015),
obteniendo un valor acumulado al final del mes 48 de 7.060.869.
Otra forma de resolver el problema sería la siguiente:
Lleve el primer pago a la fecha 48, utilizando la relación 100.000*(1.015)48, lo
cual daría 204.347,82. Lleve los 47 pagos restantes, vencidos, si se mira la serie de 47 pagos desde la fecha cero, a la fecha 47, utilizando la fórmula
correspondiente para n=47, pago de 100.000 y tasa de interés del 1,5% mensual; esto es,
>1 0,015
47
F47
100.000 *
0,015
@
1
6.755.194
Lleve a la fecha 48 el valor anterior, multiplicando por (1+0.015), para obtener
6.856.521,93. El valor acumulado por este segundo método sería igual a:
F48 = 6.856.521,93 + 204.347,82 = 7.060.869
Se deja al lector, como ejercicio, encontrar otro método equivalente para resolver este problema.
3.
El dividendo de una empresa para el primer año va a ser de $5.000 por acción,
y se supone que para los siguientes años crece al 18%. El pago de los dividendos cada año, se va a concentrar al final del año. ¿Cuál sería el precio actual de
la acción si la tasa de interés de oportunidad es del 28% anual y el primer pago de dividendos se hace exactamente dentro de un año, y así sucesivamente?
Aplicando la fórmula deducida de crecimiento constante que se denomina como modelo de Gordon, se obtendría:
ALFAOMEGA
t
FAC U LTA D D E A D M I N I S T R AC I Ó N / U N I A N D E S
[63]
Capítulo 2
P
D
5.000
k g 0,28 0,18 50.000
El precio actual de la acción sería de $50.000.
4.
Un préstamo de $20.000.000 a 48 meses con un interés mensual del 2,2%,
que se paga mes vencido. La cuota mensual que se va a pagar va a ser uniforme o constante durante los 48 meses y comprende tanto amortización a
capital como intereses. ¿Cuál sería la cuota mensual a pagar?
Como los pagos se hacen vencidos y se realizan 48 pagos iguales, se puede
encontrar el valor de la cuota a pagar utilizando la fórmula de la equivalencia
entre una suma presente y una serie uniforme de 48 pagos mensuales. Para
este caso, P = 20.000.000, i = 2,2%, n = 48.
1 0,022
20.000 .000
M*
20 .000 .000
M * 29 ,46138
48
1
0,22 * 1 0,022
48
M*
1,842123
0,0622672
Despejando M, se obtiene el valor de la cuota mensual igual a $678.854
5.
Se compra un activo por valor de $100.000.000 y se va a colocar en un contrato de leasing con una opción de compra del 20% al final del contrato, el
cual tiene una duración de 3 años. Los pagos son mensuales, pero vencidos (el
primer pago se hace dentro de un mes); la tasa de interés que la empresa de
leasing quiere cobrar es del 2.5% mensual; ¿cuál debería ser el canon mensual
de arrendamiento, si el mismo va a permanecer constante durante la duración
del contrato?
Valor del activo en la fecha 0 = 100.000.000
Valor de la opción de compra en el mes 36 = 20.000.000
Valor actual del activo menos el valor presente de la opción de compra (VNA)
VNA 100.000.000 20.000.000
1 0,02536
91.778.125,53
Este valor se hace equivalente a una serie uniforme de 36 pagos mensuales
iguales (canon de arrendamiento), que por pagarse vencidos (primer pago al
final del primer mes) permite aplicar directamente la fórmula:
[64]
JAVIER SERR ANO
Ejercicios para resolver
91.778 .125,53
M*
1 0,025 36 1
0,0251 0,025 36
M * 23,55625
Despejando M, se obtiene:
M = $3.896.126,14, como canon de arrendamiento mensual.
6.
¿Cómo variaría el problema anterior, si el primer pago se hace inmediatamente, esto es, el pago se hace por anticipado?
VNA 100.000.000 20.000.000
1 0,02536
91.778.125,53
Este valor se hace equivalente a una serie uniforme de 36 pagos mensuales
iguales (canon de arrendamiento), que por pagarse adelantados (primer pago
en la fecha cero) no permite aplicar directamente la fórmula.
Para resolver este problema, se resta el primer pago del VNA, encontrado previamente, y el valor resultante se hace equivalente a una serie de 35 pagos
vencidos, también de valor M. En términos notacionales:
VNA M
91 .778 .125,53 M
M*
1 0,025 35 1
0,025 * 1 0,025 35
M * 23,145157
Despejando M, se obtiene:
91.778.125,53 = 24,145157*M
M = $3.801.098 de canon mensual, pagadero por anticipado.
EJERCICIOS PARA RESOLVER
1.
2.
3.
Si la tasa de interés de oportunidad es del 25% anual, ¿cuál es el equivalente
futuro dentro de 6 años de una suma actual de $100.000? ¿Cómo cambiaría
el equivalente futuro si la tasa de interés de oportunidad disminuye al 20%.
¿Cómo cambiaría si la tasa de interés de oportunidad fuera del 35%?
($298.598,40; $381.470,73; $605.345,51).
Si la tasa de interés de oportunidad es del 2,5% mensual, ¿cuál es el equivalente futuro dentro de 2 años de una suma presente de $100.000 invertida
hoy? ¿Cómo cambiaría su respuesta si los intereses se liquidan trimestre vencido, y la tasa de interés de oportunidad es del 7,5% trimestral? ($180.872,59;
$178.347,78).
Suponga un flujo de fondos durante 6 años, con los siguientes valores para
cada año, que se supone ingresan al final del año: $1.500.000; $2.000.000;
ALFAOMEGA
t
FAC U LTA D D E A D M I N I S T R AC I Ó N / U N I A N D E S
[65]
Capítulo 2
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
[66]
$2.500.000; $3.000.000; $3.500.000; $4.000.000. Su tasa de interés de oportunidad es del 25% anual. Usted tiene derecho a recibir ese flujo o a cederlo a
un tercero. ¿Cuánto debería cobrar como mínimo, por ceder el flujo de fondos
a un tercero? ($7.184.256,00).
¿Cómo cambiaría el problema anterior si su tasa de interés de oportunidad
fuera del 22%? ¿Y si la misma fuera del 30%?. ¿Qué conclusiones sacaría de
los resultados encontrados? ($ 7.812.307,17; $ 6.296.933,44).
Si la tasa de interés de un fondo es del 24% anual, ¿cuánto debe invertir al
final de cada año durante los próximos 5 años, para acumular al final de dicho
período una suma de $50.000.000? ¿Cómo cambiaría su respuesta si los depósitos se hacen mensualmente y la tasa de interés mensual es del 2%?
($6.212.385,74; $438.398,29).
Suponga un fondo de inversión que reconoce un interés mensual del 2,1%.
Usted planea ahorrar una suma de $50.000.000 al final de 4 años, haciendo
48 depósitos iguales en ese fondo, al final de cada mes, el primero de ellos al
mes contado a partir de la fecha actual. ¿Cuál debería ser el monto del depósito a realizar? ($613.438,72).
¿Cómo cambiaría el valor del depósito en el problema anterior si se hacen los
mismos 48 depósitos, pero el primero de ellos se hace hoy (fecha “cero”) y así
sucesivamente? ($600.821,47).
Una empresa tiene que pagar una indemnización con un valor actual (fecha
“cero”) de $100.000.000. Se ha llegado a un acuerdo entre las partes para
pagar esa indemnización en 36 pagos mensuales iguales, el primero de los
cuales se hará dentro de un mes. Así mismo, se ha acordado como tasa de interés a reconocer una del 2,5% mensual. ¿Cuál debería ser el monto de cada
pago mensual? ($4.245.158).
¿Cómo cambiaría el valor del pago mensual en el problema anterior si se
hacen los mismos 36 pagos, pero el primero de ellos se hace hoy (fecha “cero”) y así sucesivamente? ($4.141.617,24).
Una compañía de leasing adquiere un activo que implica una inversión de
30.000.000. Lo arrienda a una empresa en forma tal que le permita obtener
un rendimiento (antes de impuestos) mensual del 2,8%. Si la vida del activo es
de 4 años, con un valor de salvamento nulo, ¿cuál deberá ser el monto del
arrendamiento que se debe cobrar? ($1.143.888,43).
Se adquiere un activo con un desembolso de $50.000.000; la vida útil del activo es de 10 años; su valor de salvamento es de $300.000. ¿Cuál es el costo
económico equivalente anual por la utilización de ese activo? Suponga una tasa de interés de oportunidad del 30%. ($16.166.133,95).
¿Cuál es el costo económico de utilizar un activo que tiene un valor de
$100.000.000, una vida útil de 5 años y un valor de salvamento de
$5.000.000? Suponga una tasa de interés de oportunidad del 30%.
($40.505.247,09).
JAVIER SERR ANO
Ejercicios para resolver
13.
14.
15.
En un fondo que da un rendimiento del 6% trimestral, ¿cuánto se debe depositar al final de cada trimestre para acumular $10.000.000 dentro de cuatro
años? ($389.521,44).
El mismo caso del problema anterior, pero cuando los depósitos se hacen al
comienzo del trimestre. ($367.473,05).
¿Cuál es el valor actual de la siguiente serie, a una tasa de interés del 35%
(flujos en miles de pesos)? ($39,75).
Figura 2.26
0
1
2
3
4
5
6
7
8
5
10
15
20
25
30
35
40
16.
17.
18.
19.
El dividendo de una empresa para el primer año va a ser de $16.000 por acción, para los siguientes años se supone que va a crecer con un crecimiento
nominal del 20%. El pago anual se va a concentrar al final del año ¿Cuál sería
el precio actual de la acción si la tasa de interés de oportunidad es del 30%
anual y el primer pago de dividendos se hace exactamente dentro de un año y
así sucesivamente? ($160.000,00).
¿Cómo cambiaría el problema anterior si los dividendos se pagan al final de
cada trimestre en cuatro pagos trimestrales iguales, manteniendo los demás
supuestos del problema anterior? Esto es, en el primer año habría 4 pagos trimestrales de $4.000 cada uno, en el segundo año, 4 pagos trimestrales de
$4.800 cada uno, y así sucesivamente. Además la tasa de interés de oportunidad trimestral es del 6,8% y el primer pago de dividendos se hace exactamente dentro de un trimestre, y así sucesivamente. ($175.279,12).
Un préstamo de $40.000.000 a 36 meses con un interés mensual del 2,5%,
que se paga mes vencido. La cuota mensual que se va a pagar va a ser uniforme o constante durante los 36 meses y comprende tanto amortización a
capital como intereses. ¿Cuál sería la cuota mensual a pagar? ($1.698.063,07).
Un fondo de inversión le reconoce un interés del 2% mensual; usted va a
hacer depósitos mensuales, durante los próximos 4 años. Los depósitos que
hace cada año son iguales; sin embargo, de un año al otro se va a presentar
un incremento del 3% en el valor del depósito. En el primer año se hacen doce
depósitos de $200.000; en el segundo año 12 depósitos iguales de $206.000,
ALFAOMEGA
t
FAC U LTA D D E A D M I N I S T R AC I Ó N / U N I A N D E S
[67]
Capítulo 2
20.
[68]
y así sucesivamente. ¿Cuánto se acumularía al final de los 4 años, si no se hace
ningún retiro parcial? ($6.361.353,62).
Se compra un activo por valor de $150.000.000 y se va a colocar en un contrato de leasing con una opción de compra del 15% al final del contrato, el
cual tiene una duración de 4 años. Los pagos son mensuales, pero vencidos (el
primer pago se hace dentro de un mes); la tasa de interés que la empresa de
leasing quiere cobrar es del 2,3% mensual; ¿cuál debería ser el canon mensual
de arrendamiento, si el mismo va a permanecer constante durante la duración
del contrato? ($4.932.014,89).
JAVIER SERR ANO
Capítulo 3
INTERÉS NOMINAL Y EFECTIVO
PRESENTACIÓN
En el Capítulo 2, al presentar la equivalencia futura de una suma presente P, se demostró que la misma se establecía a través de la relación Fm P *1 iv m , donde iv corresponde al interés para el período básico de pago de intereses y m corresponde al
número total de períodos básicos. Por ejemplo, si se trata de un interés nominal del
24% anual, pagadero mes vencido, el interés nominal anual sería del 24%, que al
pagarse mes vencido da un interés periódico iv del 2% mensual. Por ello, si se trata de
encontrar la suma acumulada al final de 4 años a partir de una suma presente de
$100.000, suponiendo que los intereses se pagan mes vencido, la expresión para su
cálculo sería:
F48
100.000 * 1 0,0248
258.707
Observe que si el interés nominal (in) es del 24% anual, el número de veces que se
paga el interés mensual en un año, que denominaremos n, es igual a 12; por lo tanto:
iv
in
n
m = 4*n
F48 = 100.000 * (1+ in/n)4*n = 100.000 * (1+0,24/12)12*4 = 258.707
En la tabla siguiente se muestra la suma acumulada al final de 4 años para diferentes
valores del interés nominal y para diferentes frecuencias de pago de interés: diario
(n=365), quincenal (n=24), mensual (n=12), trimestral (n=4), semestral (n=2) y anual
(n=l). Allí se puede observar que para el mismo interés nominal anual, a mayor frecuencia de pago de intereses (mayor valor de n), mayor será la cantidad acumulada al
final de los 4 años.
Asimismo, se muestra que a medida que aumenta la tasa de interés nominal, se
amplían las diferencias entre las sumas acumuladas para un mismo interés nominal,
como función de la frecuencia de pago de intereses. Por ello, así se trate del mismo
interés nominal, van a existir diferencias significativas dependiendo de la frecuencia
de pago de intereses, las cuales son mayores a medida que aumentan las tasas de
interés.
[69]
Capítulo 3
Cuadro 3.1
Suma inicial
100.000
Plazo
4 años
Interés nominal
12,00%
16,00%
24,00%
28,00%
36,00%
42,00%
48,00%
Suma acumulada
Día vencido
161.595
189.621
261.087
306.354
421.770
536.038
681.236
Quincena vencida
Mes vencido
Trimestre vencido
Semestre vencido
Año vencido
161.414
161.223
160.471
159.385
157.352
189.246
188.848
187.298
185.093
181.064
259.927
258.707
254.035
247.596
236.421
304.505
302.567
295.216
285.259
268.435
417.580
413.225
397.031
375.886
342.102
528.815
521.359
494.079
459.497
406.587
669.293
657.053
613.039
558.951
479.785
La argumentación que hasta ahora se ha presentado, resumida en la tabla, permite
introducir uno de los conceptos más importantes en el análisis financiero: el de interés
efectivo equivalente a un interés nominal con una frecuencia dada de pago.
INTERÉS EFECTIVO: PAGOS VENCIDOS
Suponga una tasa de interés anual i. Si se coloca una cantidad P a la tasa de interés
mencionada, al final del año se habrá acumulado una cantidad P(1 i) ; si se coloca la
misma cantidad P, a una tasa de interés mensual de i/12, al final del año (con rein12
i ·
§
versión de los intereses) se acumularía una cantidad P ¨ 1 ¸ .
12 ¹
©
En general se tiene que:
12
i ·
§
P ¨1 ¸ ² P 1 i , para i > 0
12 ¹
©
Esto se puede ver mediante un ejemplo. Suponga una tasa de interés anual i del
24%; entonces:
0,24 ·
§
¨1 ¸
12 ¹
©
12
1,024 12
1,26824
Mientras que:
(1+ i) = (1+ 0,24) = 1,24
Con lo anterior se demuestra que, si el interés se computa mensualmente, la suma
acumulada al final del año será mayor. Se puede encontrar una tasa efectiva anual
[70]
JAVIER SERR ANO
Interés efectivo: pagos vencidos
equivalente a una tasa nominal anual del i% con una periodicidad dada de pago,
que permita acumular la misma suma al final del año. Teniendo en cuenta el concepto de equivalencia, esa tasa efectiva (ie) se obtiene a partir de la siguiente igualdad:
i ·
§
P (1+i e ) = P ¨ 1+ ¸
© 12 ¹
12
En otras palabras, la tasa efectiva corresponde a aquella tasa de interés que pagada
una sola vez al final del año permitirá acumular la misma cantidad que una tasa nominal pagadera por período vencido, cuando los intereses devengados se reinvierten.
Por lo tanto, la expresión general para el interés efectivo correspondiente a uno nominal anual igual a i, cuando éste se paga mensualmente y vencido, será:
§ i ·
ie = ¨1+ ¸
© 12 ¹
12
1
Ejemplo 3.1
Si se tiene un interés nominal i=36%, pagadero mensualmente al final del mes,
§ 0,36 ·
i e = ¨ 1+
¸
12 ¹
©
12
1 0,42576
Para este caso, 42,576% será el interés efectivo anual correspondiente a un interés
nominal del 36% anual, pagadero mensualmente.
El caso particular presentado en el ejemplo 3.1 se puede generalizar para cualquier
período de tiempo y/o frecuencia de capitalización de intereses. Para ello se definen:
i
n
ie
= Interés nominal anual
= Número de períodos iguales en un año; frecuencia de pago del interés
= Interés efectivo anual
iv
= Interés vencido por período (id si es diario, it si es trimestral, etc.)
= (i/n)
Forma de pago: vencido (al final del período)
§ i ·
P (1+ie ) = P ¨ 1+ n ¸
© n¹
n
P 1+iv n
ALFAOMEGA
t
FAC U LTA D D E A D M I N I S T R AC I Ó N / U N I A N D E S
[71]
Capítulo 3
Entonces,
ie = (1+iv)n-1
(8)
Ejemplo 3.2
¿Cuál es el interés efectivo equivalente a un 32% anual pagado trimestralmente?
En el año se tienen 4 trimestres. De esta forma:
4
ie
0,32 ·
§
¨1 ¸ 1 0,3605 36,05%
4 ¹
©
Ejemplo 3.3
¿Cuál es el interés efectivo equivalente a un 36% anual pagado semestralmente?
2
ie
0,36 ·
§
¨1 ¸ 1 0,39240 39,24%
2 ¹
©
Ejemplo 3.4
Suponga una cuenta de ahorro de un banco, que le paga un interés efectivo anual del
19%; ¿cuál sería el interés diario equivalente a ese interés efectivo del 19%?
ie
1 id 365
1
0,19
19 %
Despejando se obtiene:
1,19
id
1 id 365
1,19 1/ 365
1 0,00047
0,047 %
Nota: Observe que si en lugar de un interés efectivo anual del 19% se hablara de un
19% nominal anual, computado diariamente, el interés efectivo anual sería del:
ie
§ 0,19 ·
¨1
¸
365 ¹
©
365
1 0,20919
20,919%
[72]
JAVIER SERR ANO
Interés efectivo: pagos anticipados
En el Cuadro 3.1, para diferentes valores del interés nominal y para diferentes frecuencias de pago, se observa que a mayor frecuencia de pagos, mayor el interés efectivo correspondiente a un mismo interés nominal. Por ello, el orden de mayor a menor interés efectivo, en términos de intereses pagados en forma vencida, sería: diario,
quincenal, mensual, trimestral, semestral, anual.
Ejemplo 3.5
Encontrar el interés nominal anual que, pagadero trimestre vencido, es equivalente a
un pago de interés del 18% nominal anual, pagadero mes vencido.
Primero se calcula el interés efectivo equivalente a un interés nominal del 18% anual,
pagadero mes vencido:
ie
0,18 ·
§
¨1 ¸
12 ¹
©
12
1 0,19562
19,562 %
Luego, se encuentra el interés que, pagadero trimestre vencido, es equivalente a un
interés del 19,562% efectivo anual.
(1 0,19562 )
1 itv 4
Despejando,
itv
1,19562 1/ 4 1
0,04567
Por lo tanto, el interés nominal anual que, pagadero trimestre vencido, es equivalente
a un interés del 18% nominal anual pagadero mes vencido, sería igual a:
4* itv = 4*0,0456 = 0,18271=18,271%
Por ello, un interés nominal anual del 18,271%, pagadero trimestre vencido, es equivalente a un interés del 18% nominal anual, pagadero mes vencido.
INTERÉS EFECTIVO: PAGOS ANTICIPADOS
Para el cálculo de intereses efectivos cuando se pagan por anticipado, se procede de
la siguiente forma (caso de un préstamo):
i = Interés nominal anual
ia= Interés anticipado por período (iad si es diario, iat si es trimestral, etc.)
ALFAOMEGA
t
FAC U LTA D D E A D M I N I S T R AC I Ó N / U N I A N D E S
[73]
Capítulo 3
ia = (i/n)
Forma de pago: anticipado (al comienzo del período)
Suponga el caso de un préstamo, a un período (p. ej., un trimestre, un mes), donde el
interés se paga al comienzo del período. La situación se describe en el siguiente flujo:
Figura 3.1
LQQ3
3
3
Cantidad recibida: P – (in/n)*P
Cantidad pagada al final del período: P
Costo efectivamente pagado:
Cantidad pagada - préstamo inicial
Préstamo inicial
> n P @
P i P
n
P P i
Despejando se encuentra el costo que se paga realmente, en términos de su equivalente vencido:
ino min al
ie
(1 n
ino min al
n
)
ia
1 ia
El interés anterior corresponde al equivalente vencido del interés cobrado anticipadamente. Para el cálculo del interés efectivo se utilizará este interés en la expresión
(8). Un ejemplo aclara lo que se acaba de exponer.
Ejemplo 3.6
Suponga un interés del 36% nominal anual cuyos intereses se pagan por trimestre
anticipado. Para su cálculo, se siguen tres pasos:
[74]
JAVIER SERR ANO
Interés efectivo: pagos anticipados
1. Interés trimestral: 0,36/4 = 0,09, pagado o cobrado (según sea el caso) por anticipado.
2. Equivalente vencido para el interés pagado por anticipado:
itv
§ 0,36
¨
4
¨
¨ 1 0,36
¨
4
©
·
¸
¸
¸
¸
¹
0,09890
9,890 %
En otras palabras, un interés del 9% trimestral pagadero o cobrado por anticipado
(comienzo del trimestre), es equivalente a uno del 9.890% pagadero o cobrado vencido (al final de trimestre).
3. Interés efectivo
ie
1 0,098904 1
0,4583 45,83 % e.a
Ejemplo 3.7
¿Cuál es el interés efectivo correspondiente a uno nominal del 32% pagadero por semestre anticipado?
1. Interés semestral: 16% pagado por anticipado.
2. Interés semestral vencido equivalente a uno del 16% semestral pagadero por anticipado:
§ 0,16 ·
¸
¨
© 1 0,16 ¹
i sv
0,19048
19,048 %
3. Interés efectivo:
ie
1 0,19048 2 1
0.4172
41,72 %
Ejemplo 3.8
¿Cuál es el interés efectivo correspondiente a un interés nominal del 30%? si los intereses se pagan:
ALFAOMEGA
t
FAC U LTA D D E A D M I N I S T R AC I Ó N / U N I A N D E S
[75]
Capítulo 3
1. Mes vencido:
0,30 ·
§
¨1 ¸
12 ¹
©
ie
12
1
1 0,02512 1
0,3449
34,49%
1 0,075 4
0,3355
33,55 %
2. Trimestre vencido:
4
0,30 ·
§
¨1 ¸ 1
4 ¹
©
ie
1
3. Día vencido:
0,30 ·
§
¨1 ¸
365 ¹
©
ie
365
1 0,000822 365
1
1
0.3497
34,97 %
4. Trimestre anticipado:
a) Interés trimestral anticipado: ita= 0,075
b) Interés trimestral vencido equivalente:
i tv
§ 0,075 ·
¸
¨
© 1 0,075 ¹
0,08108
8,108 %
c) Interés efectivo:
ie
1 0,08108 4 1
0,3659 36,59 %
5. Semestre anticipado:
a) Interés semestre anticipado: isa= 0.15
b) Interés semestre vencido equivalente:
i sv
§ 0,15 ·
¨
¸
© 1 0,15 ¹
0,17647
17,647 %
c) Interés efectivo:
ie
1 0,17647 2 1
0,3841
38,41%
[76]
JAVIER SERR ANO
Interés efectivo: pagos anticipados
Ejemplo 3.9
¿Cuál es el interés nominal que, pagadero mes vencido, es equivalente a un interés
del 20% nominal anual, pagadero trimestre anticipado?
Primero se calcula el interés que, pagadero trimestre vencido, es equivalente a un
pago trimestral anticipado del 5%.
itv
§ in ·
¨
¸
0,05 ·
¨ 4 ¸ §¨
¸ 0,05263 5,263%
¨ 1 in ¸ © 1 0,05 ¹
¨
¸
4¹
©
Ahora se calcula el interés efectivo anual equivalente a un pago trimestral vencido del
5,263%, que a su vez es el interés efectivo, correspondiente a un interés nominal del
20% pagadero trimestre anticipado.
ie
1 0,05263 4
1
0,22773
22,773 %
En el siguiente paso, se calcula el interés que, pagadero mes vencido, es equivalente a un
interés efectivo del 22,773%.
1 i m 12
1,22773
de donde, imv = 0,01724 = 1,7244%
Por lo tanto el interés nominal que, pagadero mes vencido, es equivalente a un interés del 20% nominal anual, pagadero trimestre anticipado, sería igual a:
12*0,01724 = 0,20693 = 20,693%
Entonces, un interés del 20,693% nominal anual pagadero mes vencido es equivalente a un interés del 20% nominal anual pagadero trimestre anticipado.
En el siguiente cuadro se muestra el ordenamiento para diferentes tasas de interés
nominal y para diferentes frecuencias de pago de interés (vencidos y anticipados):
ALFAOMEGA
t
FAC U LTA D D E A D M I N I S T R AC I Ó N / U N I A N D E S
[77]
Capítulo 3
Cuadro 3.2
Intereses efectivos
Interés nominal
12,00%
16,00%
24,00%
28,00%
36,00%
42,00%
48,00%
Año anticipado
Semestre anticipado
Trimestre anticipado
Mes anticipado
Quincena anticipada
Continuo
Día vencido
Quincena vencida
Mes vencido
Trimestre vencido
Semestre vencido
Año vencido
13,64%
13,17%
12,96%
12,82%
12,78%
12,75%
12,75%
12,72%
12,68%
12,55%
12,36%
12,00%
19,05%
18,15%
17,74%
17,48%
17,41%
17,35%
17,35%
17,29%
17,23%
16,99%
16,64%
16,00%
31,58%
29,13%
28,08%
27,43%
27,28%
27,12%
27,11%
26,97%
26,82%
26,25%
25,44%
24,00%
38,89%
35,21%
33,68%
32,75%
32,53%
32,31%
32,30%
32,10%
31,89%
31,08%
29,96%
28,00%
56,25%
48,72%
45,83%
44,12%
43,72%
43,33%
43,31%
42,95%
42,58%
41,16%
39,24%
36,00%
72,41%
60,23%
55,85%
53,35%
52,76%
52,19%
52,16%
51,64%
51,11%
49,09%
46,41%
42,00%
92,31%
73,13%
66,75%
63,21%
62,40%
61,60%
61,56%
60,84%
60,10%
57,35%
53,76%
48,00%
Los valores que se muestran en la tabla permiten las siguientes conclusiones:
a) Para una misma tasa de interés nominal, el ordenamiento de mayor a menor interés
efectivo es: año anticipado, semestre anticipado, trimestre anticipado, mes anticipado,
quincena anticipada, interés continuo, día vencido, quincena vencida, mes vencido,
trimestre vencido, semestre vencido y año vencido.
b) Para una misma tasa de interés nominal, las diferencias existentes para diferentes frecuencias de pago se aumentan en la medida en que se incrementa la tasa de interés
nominal.
c) En el caso colombiano, donde es usual cobrar intereses anticipados, las diferencias
fueron muy grandes en la época (período comprendido entre 1985-1998) cuando los
intereses nominales fluctuaron entre el 30% y el 48% nominal anual. Hoy, con
intereses más bajos, las diferencias han disminuido significativamente.
INTERESES EN DÓLARES O EN UNIDADES DE VALOR REAL (UVR)
Para el cálculo del interés efectivo en pesos de una cuenta en dólares, se utiliza la siguiente expresión, cuya deducción se deja al lector como ejercicio:
(1+Rent efectiva anual en pesos) = (1+Rent efectiva anual en dólares)*(1+Devaluación efectiva anual)
Con mucha frecuencia, para calcular la rentabilidad efectiva en pesos, se suma la devaluación a la rentabilidad efectiva en dólares, lo cual es un error, que aumenta con el
incremento de la tasa de interés y/o de la devaluación.
[78]
JAVIER SERR ANO
Intereses en dólares o en unidades de valor real (UVR)
En el caso de créditos en unidades de valor real, se tendría una expresión similar, teniendo en cuenta que la UVR se ajusta por la inflación:
(1+Costo efectivo anual en pesos) = (1+Costo efectivo anual en UVR)*(1+ Inflación efectiva anual)
Con mucha frecuencia, para calcular la rentabilidad efectiva en pesos, se suma la inflación a la rentabilidad efectiva en UVR, lo cual también es un error, que aumenta
con el incremento de la tasa de interés en UVR y/o con la inflación.
Ejemplo 3.10
Suponga un Certificado de Depósito a Término, CDT, en dólares con un rendimiento
del 5% nominal anual pagadero semestre vencido. La devaluación efectiva anual
proyectada es del 12%. ¿Cuál sería la rentabilidad efectiva en pesos?
Rentabilidad efectiva anual en dólares = 1 0,05 22 1 0,050625 5,0625%
Devaluación efectiva anual = 12%
Rentabilidad efectiva en pesos = 1 0,050625 * 1 0,12 1 0,1767 17,67%
La rentabilidad efectiva en pesos del CDT en dólares sería del 17,67%
Ejemplo 3.11
Suponga que una entidad financiera en el exterior ofrece un rendimiento en dólares
del 7,5% nominal anual pagadero trimestre vencido. La devaluación efectiva anual
proyectada es del 4% efectiva anual. ¿Cuál sería el rendimiento equivalente efectivo
anual en pesos?
Rentabilidad efectiva anual en dólares = 1 0,075 44 1 0,077136 7,7136%
Devaluación efectiva anual = 4%
Rentabilidad efectiva en pesos = 1 0,077136 * 1 0,04 1 0,12022
La rentabilidad efectiva en pesos del CDT en dólares sería del 12,0221%
Ejemplo 3.12
Suponga un crédito en unidades de valor real (UVR) con un costo efectivo del 12%
en UVR, con una inflación proyectada para el año del 10% efectivo anual. ¿Cuál es el
costo efectivo del crédito en pesos?
Costo efectivo en pesos
Costo efectivo en pesos
1 + Costo efectivo en UVR * 1 Inflación
1 + 0,12 * 1 0,10 1 23,20 %
efectiva anual
1
ALFAOMEGA
t
FAC U LTA D D E A D M I N I S T R AC I Ó N / U N I A N D E S
[79]
Capítulo 3
Ejemplo 3.13
Suponga un crédito en unidades de valor real (UVR) con un costo del 10,55% NASV
(nominal anual semestre vencido) en UVR, con una inflación proyectada para el año
del 6,5% efectivo anual, ¿Cuál es el costo efectivo del crédito en pesos?
Costo efectivo en UVR = 1 0,1055 22 1 0,108283 10,8283%
Costo efectivo en pesos
Costo efectivo en pesos
1 + Costo efectivo en UVR * 1 Inflación efectiva
1 + 0,108283 * 1 0,065 1 18,0320 %
anual
1
TASAS DE INTERÉS REALES Y NOMINALES. CRECIMIENTOS
REALES Y NOMINALES
Suponga la siguiente notación:
iR
iN
inf
= tasa de interés efectiva en reales
= tasa de interés efectiva en nominales
= Inflación efectiva anual
La relación existente entre tasas de interés nominales y tasas de interés reales está
dada por la siguiente expresión:
(1 + i N ) = (1 + i R ) * (1 + inf)
A su vez, suponga la siguiente notación:
gR
gN
inf
= crecimiento efectivo en reales
= crecimiento efectivo en nominales
= Inflación efectiva anual
La relación existente entre el crecimiento efectivo en nominales y el crecimiento efectivo en reales está dada por la siguiente expresión:
(1 + g N ) = (1 + g R ) * (1 + inf)
Algunos ejemplos aclaran lo que se acaba de exponer:
Ejemplo 3.14
Suponga una tasa real efectiva del 8% y una inflación anual del 10%. ¿Cuál sería la
tasa efectiva en nominales?
[80]
JAVIER SERR ANO
Interés continuo
i N = (1 + 0,08) * (1 + 0,10) - 1
0,1880
18,80%
Nuevamente, se comete una equivocación cuando a la tasa en reales se suma la inflación, para encontrar la tasa de interés en nominales. El error aumenta con el aumento
de la tasa de interés y/o con el aumento de la inflación.
Ejemplo 3.15
El pronóstico de crecimiento de la economía para el próximo año es del 4% efectivo
en reales, y la inflación proyectada para el próximo año es del 10%. ¿Cuál sería el
crecimiento proyectado de la economía en nominales?
g N = (1 + 0,04) * (1 + 0,10) - 1
0,1440
14,40%
INTERÉS CONTINUO
En el mundo de los negocios no es usual cobrar un interés continuo. Sin embargo,
esta modalidad se utiliza con alguna frecuencia en documentos académicos. Una
forma simple de aproximarse al interés continuo es ir disminuyendo el período de pago o aumentando la frecuencia de pago, hasta que la primera llegue a cero y la segunda a infinito. A manera de ejemplo, mes vencido (frecuencia: 12 meses); día vencido (frecuencia: 365 días); hora vencida (frecuencia: 8.760 horas); minuto vencido
(frecuencia: 525.600 minutos). Con el fin de encontrar la expresión para el interés
continuo, se hacen las siguientes consideraciones:
La fórmula general para encontrar el equivalente futuro de una suma presente dentro
de k años, si los intereses se pagan en n períodos cada año, es:
Fkn
§ i ·
P * ¨1 n ¸
n¹
©
k*n
Si el interés se liquida diariamente (día vencido), la expresión anterior se convierte en:
F365k
i ·
§
P * ¨1 n ¸
© 365 ¹
365k
Recordando que,
in ·
§
¸
Lim ¨ 1 n¹
no f ©
kn
e ki
ALFAOMEGA
t
FAC U LTA D D E A D M I N I S T R AC I Ó N / U N I A N D E S
[81]
Capítulo 3
donde e = 2,71828, corresponde a la base de los logaritmos naturales; por lo tanto, si
n tiende a infinito (computación continua del interés), y se utiliza un interés i calculado continuamente, el valor futuro dentro de k años de una suma presente P estaría
dado por:
Fk
P * e ki
Si k=1, entonces F1
P * ei
Por ello, para calcular el interés efectivo correspondiente a un interés nominal del i%,
computado continuamente, se utilizaría la expresión:
1 i e e i , donde i es el interés nominal anual.
Ejemplo 3.16
¿Cuál es el interés efectivo, correspondiente a un interés nominal anual del 24%,
computado en forma continua?
ie
e 0.24 1 0 .2712
27 .12 %
[82]
JAVIER SERR ANO
Resumen
RESUMEN
En el Cuadro 3.3 se muestran, a manera de resumen, las relaciones principales para
calcular intereses pagaderos en forma vencida y en forma anticipada.
Cuadro 3.3
Para encontrar
Dado
Fórmula
Interés vencido por
período, iv
Interés nominal anual, i
Forma de pago: final del período
iv
i
n
Interés anticipado
por período, ia
Interés nominal anual, i
Forma de pago: principio del período
ia
i
n
Interés vencido por
período, iv
Interés anticipado por período, ia
iv
Interés efectivo
anual, ie
Interés vencido por período, iv
ie
Interés efectivo
anual, ie
Interés anticipado por período, ia
1.Interés vencido por período
2.Interés efectivo por período
ie 1 iv n 1
Interés efectivo en
pesos, ie$
Interés efectivo (anual) en dólares
(ieUS$) y devaluación efectiva anual
(dev)
1+ie$ 1+ie$us * 1 Interés efectivo en
pesos, ie$
Interés efectivo (anual) en UVR(ieUVR) e
inflación efectiva anual (inf)
1+i e $ 1+i eUVR * 1 inf Tasa de interés nominal, iN
Tasa efectiva (anual) de interés real (iR)
e inflación efectiva anual (inf)
1+i N 1+i R * 1 inf Tasa de crecimiento
nominal, gN
Tasa de crecimiento (anual) en reales
(gR) e inflación efectiva anual (inf)
1+g N 1+g R * 1 inf i
ia
n
1 i n
1 ia
1 iv n 1
dev ALFAOMEGA
t
FAC U LTA D D E A D M I N I S T R AC I Ó N / U N I A N D E S
[83]
Capítulo 3
EJERCICIOS RESUELTOS
La solución de los siguientes ocho ejercicios resume la aplicación de los conceptos
aprendidos en este capítulo.
1. ¿Cuál es el interés efectivo de un préstamo en pesos, con una tasa de interés
nominal anual del 24%, que se cobra trimestre anticipado?
Interés trimestre vencido equivalente: itv
ie
1 0,0638298 4
1
0,28082
§ 0,06 ·
¨
¸
© 1 0,06 ¹
0,0638298
6,38298%
28,082 %
El interés efectivo del préstamo en pesos es del 28,08%.
2. ¿Cuál es el interés nominal anual que, pagadero trimestre vencido, es equivalente
a un interés del 18% nominal anual, pagadero semestre anticipado?
Primero se encuentra el interés efectivo equivalente a un interés del 18% nominal
anual, pagadero semestre anticipado:
Interés semestre vencido equivalente: i sv
Interés efectivo anual: ie
§ 0,09 ·
¸
¨
© 1 0,09 ¹
1 0,0989011 2 1
Interés trimestre vencido equivalente: itv
0,0989011
0,20758
9,89011 %
20,758 %
1 0,20758 1/ 4 1
4,8284%
Interés nominal anual, pagadero trimestre vencido: 4*0,048284% = 0,19313 = 19,313%
Por lo tanto, un interés del 19,313% nominal anual pagadero trimestre vencido
es equivalente a un interés del 18% nominal anual pagadero semestre anticipado.
3. ¿Cuál es el interés efectivo en términos nominales equivalente a un interés efectivo en términos reales del 10%, si la inflación efectiva actual es del 10%?
(1+ iN ) = (1+ 0,10)* (1+ 0,10) 1,21
Por lo tanto, el interés efectivo en términos nominales sería del 21%, diferente a
sumar la tasa efectiva real y la inflación, lo cual daría un 20%.
[84]
JAVIER SERR ANO
Ejercicios resueltos
4. ¿A qué es equivalente, en términos nominales, un crecimiento de la economía del
3,8% anual en términos reales, si la inflación proyectada es del 11% efectivo
anual?
(1+ gN) = (1+ 0,038)* (1+ 0,11) 1,15218
Por lo tanto, el crecimiento en términos nominales sería del 15,218% efectivo
anual, diferente a sumar el crecimiento real y la inflación, lo cual daría un 14,8%.
5. En el capítulo anterior se encontró una expresión cerrada para el valor presente
de una serie infinita que crece de un período al siguiente con un modelo de crecimiento constante. La fórmula encontrada conocida con el nombre del modelo
de Gordon, es:
P
D1
kg
Con frecuencia surge una discusión respecto de si se deben utilizar valores nominales o valores reales. No importa si se trabaja con valores reales o nominales,
siempre y cuando se sea consistente; esto es, si se trabaja con valores reales, los
tres términos en la fórmula, D1, k y g, deben estar expresados en valores reales; si
se trabaja en valores nominales, los mismos tres términos deben estar expresados
en valores nominales.
Demostrar que el resultado es el mismo, trabajando en valores nominales o en
valores reales, siempre y cuando se sea consistente en los términos definidos en el
párrafo anterior.
Las relaciones entre tasas de interés y crecimientos nominales y reales serían las
siguientes:
1+kN 1+kR * 1 inf
1+gN 1+gR * 1 inf
Por lo tanto, kN gN 1 inf*kR gR Entonces, la expresión para P, en nominales, sería:
P
DN
kN g N
ALFAOMEGA
t
DN
1 inf * k R g R FAC U LTA D D E A D M I N I S T R AC I Ó N / U N I A N D E S
[85]
Capítulo 3
Recordando que
DN
1 inf
corresponde al valor del dividendo del primer año, ex-
presado en reales, que denominamos DR, la demostración quedaría completa,
conduciendo a:
P
DR
kR g R
6. ¿Cuál debería ser el interés en pesos de una cuenta de ahorro, que liquida intereses diariamente, para que el interés efectivo fuera el mismo de una cuenta en
dólares que paga un interés del 4,5% nominal anual, liquidado diariamente. La
devaluación efectiva proyectada para el año en curso es del 12%.
365
§ 0,045·
4,6025 %
¨1+
¸ - 1 0,0460251
365 ¹
©
Interés efectivo de la cuenta en pesos= (1+0,046025)*(1+0,12)-1=0,171548 =17,1548%
Interés efectivo en US$
Interés diario en pesos de la cuenta de ahorro = (1+0,171548)(1/365)-1 = 0,0004339
Interés nominal de la cuenta de ahorro = 365*0,0004339 = 0,15836 = 15,836%
Por lo tanto, la cuenta de ahorros debería ofrecer un interés del 15,836% nominal anual, liquidado diariamente.
7. ¿Cuál es el costo efectivo en pesos de un préstamo en dólares con una tasa de
interés nominal anual del 8%, que se paga trimestre vencido? La devaluación del
último trimestre ha sido del 3,5% efectivo y se va a utilizar para proyectar la devaluación de todo el año.
§
©
Tasa efectiva del préstamo en dólares: ¨ 1 4
0.08 ·
¸ 1
4 ¹
Devaluación proyectada para el año: 1 0,035 1
4
0,0824322
8,2432%
0,147523 = 14,7523%
Costo efectivo del préstamo en pesos: (1,147523)*(1,0824322) - 1 = 0,242115
El costo efectivo del préstamo en pesos sería del 24,21%.
8.
¿Cuál es el costo efectivo en pesos de un préstamo en UVR, con una tasa del
12% nominal anual, pagadera mes vencido sobre UVR, si la inflación proyectada
es del 10%?
[86]
JAVIER SERR ANO
Ejercicios para resolver
12
0,12 ·
§
Costo efectivo del préstamo en UVR: ¨ 1 ¸
12 ¹
©
1 0,126825
12.682%
Costo efectivo del préstamo en pesos = 1+ 0,126825 * 1+ 0,10 - 1 = 0,239507
El costo efectivo del préstamo en pesos sería del 23,95%, bien diferente a sumar
la tasa efectiva en UVR y la inflación efectiva, lo cual daría 22,68%.
EJERCICIOS PARA RESOLVER
1.
2.
3.
4.
5.
Considere un negocio en el cual usted invierte hoy $8.000.000, para recibir, en
forma garantizada, $8.300.000 dentro de dos meses.
a) ¿Cuál es la rentabilidad esperada en el negocio, para los dos meses del
mismo? (3,75%).
b) ¿Cuál es la rentabilidad efectiva del negocio? (24,71%).
c) ¿Se justificaría invertir en este negocio, si la tasa de interés de oportunidad
fuera del 20%? (Sí).
¿Cómo cambiaría el negocio planteado en el problema 1, si se demoran 15
días, adicionales a los dos meses, en entregarle los $8.300.000 que le prometieron? (3,75%, 19,62%, No).
Suponga una inversión de $10.000.000. ¿Cuánto acumulará al final de tres
años (suponiendo reinversión automática de intereses) en un fondo, con una
tasa nominal anual de interés del 22%, si los intereses los pagan:
a) Día vencido ($19.344.082,69), año de 365 días.
b) Quincena vencida ($19.289.838,93), para 24 quincenas en el año.
c) Mes vencido ($19.232.624,38).
d) Trimestre vencido ($19.012.074,86).
e) Trimestre anticipado ($19.715.976,73).
f) Mes anticipado ($19.466.792.88).
Un fondo de inversión le ofrece un rendimiento del 20% efectivo anual. Usted
va a hacer depósitos mensuales, el primero de los cuales se haría en la fecha
de hoy (fecha cero); el valor de cada depósito mensual es de $100.000. Usted
espera permanecer en el fondo de inversión por 3 años, haciendo 36 depósitos
dé $100.000, ¿Cuál sería la suma acumulada al final de los 3 años, si usted no
hace ningún retiro del fondo? ($ 4.828.026,46).
Usted está considerando invertir $5.000.000 en un CDT de un banco, para lo
cual ha investigado 4 instituciones que le ofrecen las siguientes alternativas:
a) Una tasa de interés del 18% nominal anual pagadera trimestre anticipado.
b) Una tasa de interés del 18,5% nominal anual pagadera trimestre vencido.
c) Una tasa de interés del 18,2% nominal anual pagadera mes vencido.
d) Una tasa de interés del 17% nominal anual pagadera semestre anticipado.
ALFAOMEGA
t
FAC U LTA D D E A D M I N I S T R AC I Ó N / U N I A N D E S
[87]
Capítulo 3
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
[88]
¿Cómo ordenaría las alternativas de inversión que le están ofreciendo los 4
bancos? ¿Cuál sería su selección? (Orden: a, b, c y d, selección: a).
¿Cuál es el interés nominal anual que, pagadero semestre vencido, es equivalente a un interés del 21% nominal anual pagadero mes anticipado?
(22,34%).
¿Cuál es el interés nominal anual que, pagadero trimestre anticipado, es equivalente a un interés del 24% nominal anual pagadero mes vencido?(23,07%).
¿Cuál es el interés nominal anual que, pagadero semestre anticipado, es equivalente a un interés del 22% nominal anual pagadero día vencido? (20,82%).
¿Cuál es el interés nominal en pesos que, pagadero trimestre vencido, es equivalente a un interés en dólares del 6% nominal anual pagadero mes vencido?
Suponga una devaluación efectiva anual del 12,5%. (18,16%).
¿Cuál es el interés nominal anual en dólares que, pagadero mes vencido, sería
equivalente a un interés en pesos del 18% nominal anual pagadero trimestre
anticipado? Suponga una devaluación efectiva del 12%. (7,10%).
¿Cuál es el valor de las cuotas mensuales que se deben pagar a un concesionario por un carro que vale $30.000.000 si se paga una cuota inicial del 40% y el
concesionario financia el resto 3 años, con un interés efectivo del 28%?
($715.121,72).
Un crédito bancario a 3 años por valor de $20.000.000, con un interés efectivo del 28% anual, se va a amortizar en 36 cuotas mensuales iguales durante la
vigencia del crédito; la primera cuota se paga un mes después del desembolso.
¿Cuál será el valor de la cuota a pagar cada mes? ($794.579,69).
Resuelva el problema anterior, suponiendo que las cuotas van a subir un 0,5%
cada mes; esto es, la primera cuota que usted debe calcular sería igual a M; la
segunda igual a M* 1,005; la tercera igual a M* 1,0100, y así sucesivamente.
($735.233,50).
Suponga un crédito en dólares, a 2 años, con una tasa de interés nominal
anual del 10% en dólares, pagadera trimestre vencido. Para los próximos tres
años se espera una devaluación efectiva anual del 12%. ¿Cuál sería el costo
efectivo del crédito en pesos? ¿Cuál sería el riesgo de tomar ese crédito en
dólares frente a un crédito en pesos? (23,63%, riesgo de la devaluación del
peso frente al dólar).
Suponga una línea de crédito para financiamiento de vivienda en unidades de
valor real (UVR), con una tasa de interés sobre UVR del 11% nominal anual
pagadera mes vencido. La inflación esperada para los próximos años es del
11%. ¿Cuál sería el costo efectivo del crédito en pesos? (23,84%).
Una empresa va a pagar dividendos anuales una vez al final del año; el primer
pago de dividendos, por valor de $35.000 por acción, se hará al año a partir
de la fecha actual y así sucesivamente. Se espera que los dividendos en los
próximos años crezcan a una tasa constante en reales del 3,5% anual; la inflación esperada para los próximos años es en promedio del 12%. La tasa de
interés de mercado a la que se van a descontar los dividendos es del 28%
JAVIER SERR ANO
Ejercicios para resolver
17.
18.
19.
20.
efectivo anual (en nominales). Usando el modelo de crecimiento constante de
los dividendos, ¿cuál sería el valor actual de la acción? ($289.735,10).
El Banco de la República fijó como tasa máxima de interés para financiamiento
de vivienda una del 13% nominal anual pagadera mes vencido sobre unidades
de valor real (UVR). La inflación esperada para el año en curso es del 11%.
¿Cuál sería la tasa de interés equivalente, para una línea de financiamiento en
pesos, que cobra los intereses mensualmente? (20,73%).
Suponga una línea de crédito para pequeña y mediana empresa, con una tasa
de interés real del 12% nominal anual, pagadera mes vencido. Se está tramitando un crédito por valor de $30.000.000, que se va a pagar en 36 cuotas
iguales durante la vigencia del crédito, la cual es de 3 años. ¿Cuál sería el valor
de cada cuota, si se utiliza para su determinación la inflación proyectada para
el próximo año, que es del 9%? ($1.126.178,54).
Un fondo de inversión reconoce un interés del 20% nominal anual, calculado
en forma continua. Usted va a invertir $10.000.000 en ese fondo, los cuales
va a dejar ahí por los próximos 3 años. ¿Cuál sería la cantidad acumulada al final de esos tres años? ($18.221.118,00).
Usted tiene tres alternativas de financiamiento:
a) Un crédito en dólares con una tasa de interés del 11% efectivo anual, liquidada mes vencido. La devaluación esperada es del 12%.
b) Un crédito en pesos, con una tasa de interés del 23,5% nominal anual,
pagadero mes vencido.
c) Un crédito en UVR, con una tasa de interés del 13% nominal anual, pagadero mes vencido. La inflación esperada es del 10%.
¿Cuál sería su selección? ¿Qué factores influyeron en la misma? (Selección: alternativa a con un costo de financiamiento del 24,32%).
ALFAOMEGA
t
FAC U LTA D D E A D M I N I S T R AC I Ó N / U N I A N D E S
[89]
Capítulo 4
INDICADORES PARA MEDIR LA BONDAD ECONÓMICA
DE UN PROYECTO DE INVERSIÓN
La determinación de la viabilidad económica de un proyecto de inversión requiere la
proyección del flujo de fondos del proyecto durante su vida útil y la construcción de
un conjunto de indicadores para medir la bondad económica del proyecto. En este
capítulo se aborda el tema de los indicadores más importantes para medir la bondad
económica de un proyecto de inversión o de financiamiento, tales como valor presente neto, tasa interna de retorno, relación beneficio-costo y costo anual equivalente,
enfatizando el alcance de los mismos y su interpretación, lo cual es especialmente
importante para entender su utilización en el proceso de toma de decisiones. Inicialmente no se va a discutir la construcción del flujo de fondos para medir la
rentabilidad del proyecto en sí y la rentabilidad del capital propio aportado al proyecto, tema que será abordado en el Capítulo 7 de este libro.
La construcción de los indicadores para medir la bondad económica de un proyecto
de inversión, que se presentan en este capítulo, es una extensión de los conceptos
presentados en los capítulos 2 y 3 de este libro, y como tal la parte computacional es
bastante fácil, especialmente si se dispone de ayudas tales como calculadoras financieras y/o hojas electrónicas, por ejemplo Excel. Por ello, el aporte más importante de
este capítulo está en la interpretación de cada uno de los indicadores, sus limitaciones
y su utilización en el proceso de toma de decisiones, para evitar conclusiones equivocadas a las cuales se puede llegar si no se tienen claros los conceptos.
VALOR PRESENTE NETO
Definición e interpretación del valor presente neto
El valor presente neto es el resultado algebraico de traer a valor presente, utilizando
una tasa de descuento adecuada, todos los flujos (positivos o negativos) relacionados
con un proyecto.
Ejemplo 4.1
Si la tasa de interés de oportunidad es del 35%, ¿cuál es el valor presente neto para
el proyecto que corresponde al diagrama de flujo mostrado en la Figura 4.1, para un
horizonte de 5 años? Los flujos se muestran al final de cada año.
[91]
Capítulo 4
Figura 4.1
VPN (i) = -1.000.000 + 500.000 [P/A, i = 0,35, n = 5]
VPN
1,000,000 500,000
(1 i)n 1
i1 i n
VPN (i) = -1.000.000 + 500.000 * 2,21996 = 109.980,7
Si la tasa de interés de oportunidad es del 35%, el valor presente neto del proyecto es
de 109.980,7. La pregunta importante se relaciona con el significado de la cifra obtenida anteriormente.
El valor presente neto corresponde a una cifra relativa adicional a lo que se obtendría
al invertir en las oportunidades convencionales (para el ejemplo, aquellas con un rendimiento del 35%).
En términos generales, si el flujo de fondos de un proyecto descontado a la tasa de
interés de oportunidad es igual a B (VPN(i = TIO) = B), entonces el valor de B sería la
magnitud adicional de valor a precios de la fecha cero, que el proyecto generaría respecto a las oportunidades convencionales, que tienen un rendimiento igual a la tasa
de interés de oportunidad. Esta interpretación se puede ver más clara en los siguientes cuatro puntos:
a) Suponga que la inversión de una suma P durante un horizonte de tiempo dado
en las alternativas convencionales, con una tasa de interés de oportunidad dada,
permite acumular al final de este período una cantidad FA.
b) Por otro lado, se tiene un proyecto con una inversión de P pesos en la fecha cero
y con una vida útil igual al período considerado anteriormente. El flujo de fondos
[92]
JAVIER SERR ANO
Valor presente neto
del proyecto se descuenta a una tasa de interés igual a la tasa de interés de oportunidad y nos da un valor igual a B.
c) Los flujos de caja que libera el proyecto reinvertidos a la tasa de interés de oportunidad permitirían acumular, al final de la vida útil del proyecto, una cantidad FP.
d) La diferencia entre FP, la cantidad que permite acumular el proyecto, y FA, la cantidad que permiten acumular las oportunidades convencionales (FP - FA), traída a
valor presente a la tasa de interés de oportunidad, sería igual a B, que es el valor
presente neto del proyecto.
Para el ejemplo bajo análisis, la situación a que se hace referencia es:
a) La inversión inicial de $1.000.000, hecha a la tasa de interés de oportunidad del
35%, permitiría acumular al final de los 5 años una cantidad igual a
$4.484.033,43.
b) El valor presente neto del proyecto descontado a la tasa de interés de oportunidad del 35% resultó igual a $109.980,7.
c) Los flujos de caja liberados por el proyecto bajo análisis, reinvertidos a la tasa de
interés de oportunidad, permitirían acumular al final de los 5 años, que corresponde a la vida útil del proyecto, una cantidad igual a $4.977.190,62.
FP = 500.000 * [(1+0,35)5-1]/0,35 = 4.977.190,62
d) La diferencia al final del año 5 entre lo que permite acumular el proyecto
($4.977.190,62) y lo que permite acumular la inversión en las oportunidades
convencionales ($4.484.033,43) es igual a $493.157,19, que traída a valor presente a la tasa de interés de oportunidad del 35% resulta igual a $109.908,7, que
es precisamente el valor presente neto del proyecto bajo análisis.
En este caso, por invertir en el proyecto y no en las oportunidades convencionales se
obtienen $109.980,7 adicionales (en pesos de la fecha 0) al valor presente que se
tendría si en vez de invertir en el proyecto se invirtiera en las oportunidades convencionales de la empresa, esto es, en aquellas que determinan la tasa de interés de
oportunidad.
En otras palabras, si la tasa de interés de oportunidad del inversionista es del 35%, y
alguien ofrece una prima para que se le ceda el proyecto anterior, el valor mínimo de
dicha prima debería ser de $109.980,7.
Si el costo de capital fuese del 35%, el proyecto anterior generaría una ganancia neta
en términos de valor presente de $109.980,70; o lo que es lo mismo, la magnitud de
ALFAOMEGA
t
FAC U LTA D D E A D M I N I S T R AC I Ó N / U N I A N D E S
[93]
Capítulo 4
valor agregado a la empresa por el proyecto sería de $109.980,70. Esta sencilla interpretación del valor presente neto descontado a una tasa de interés igual al costo de
capital es la base del concepto moderno de EVA1, que se analizará posteriormente.
Por lo tanto, para definir la conveniencia económica de un proyecto de inversión se
tiene la siguiente regla de decisión:
Si VPN > 0, el proyecto es conveniente, ya que agrega valor.
Si VPN < 0, el proyecto no es conveniente desde el punto de vista económico, ya que
destruye valor.
Un VPN > 0, significa que el proyecto genera un beneficio adicional al que generan
las oportunidades convencionales de la empresa (cuando se usa como tasa de descuento a la tasa de interés de oportunidad) o un beneficio económico neto con
respecto al costo de financiación (tasa de descuento igual al costo de capital de la
empresa). Por lo tanto, proyectos con valor presente neto positivo agregan valor a
una empresa; lo contrario ocurre con proyectos con un valor presente neto negativo.
Caso ilustrativo
1. Proyecto A: Suponga que se tiene una tasa de interés de oportunidad del 35% y
considere un proyecto cuyos flujos de caja se pueden representar en el siguiente
esquema (flujos en miles de pesos):
Cuadro 4.1
Año
0
1
2
3
4
5
6
Flujo
(3.000)
1.000
1.500
2.000
2.500
2.800
3.000
VPN (i=35%) = 1.249.364,2
2. Inversión B: Suponga que existe una alternativa que consiste en invertir
$3.000.000 al 35% de interés, con el flujo de caja mostrado en el Cuadro 4.2, en
miles de pesos
Cuadro 4.2
Año
0
1
2
3
4
5
6
Flujo
(3.000)
1.050
1.050
1.050
1.050
1.050
4.050
1 EVA, Economic Value Added, es una marca registrada de Stern Stewart & Co.
[94]
JAVIER SERR ANO
Valor presente neto
Claramente el proyecto de inversión que se muestra en el Cuadro 4.2 tiene un
rendimiento del 35%.
La diferencia entre el proyecto A y esta inversión B en miles de pesos está dada
por:
Cuadro 4.3
Año
0
1
2
3
4
5
6
Flujo
0.0
(50)
450
950
1.450
1.750
(1.050)
El valor presente de la diferencia, a una tasa del 35% será:
VPN = 1.249.364,2
El valor presente de la diferencia permite interpretar al valor presente neto como
una cantidad relativa, correspondiente al valor presente de la diferencia acumulada al final de la vida útil del proyecto, entre los flujos del proyecto y los de
cualquier inversión cuyo rendimiento sea igual a la tasa de descuento utilizada
(p. ej., la tasa de interés de oportunidad).
Variación del valor presente neto con la tasa de interés
Suponga que se está considerando el proyecto A del caso ilustrativo. El siguiente cuadro muestra cuál sería el valor presente neto para el proyecto si cambia la tasa de
interés de oportunidad:
Cuadro 4.4
Tasa de interés de oportunidad
0%
10%
20%
30%
35%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
VPN (TIO)
9.800.000,0
5.790.925,1
3.367.991,3
1.818.106,5
1.249.364,2
778.272,7
51.851,9
(473.468,8)
(864.833,9)
(1.164.010,7)
(1.397.901,4)
En este caso se puede observar claramente cómo disminuye el valor presente neto
cuando se incrementa la tasa de interés de oportunidad, como consecuencia del me-
ALFAOMEGA
t
FAC U LTA D D E A D M I N I S T R AC I Ó N / U N I A N D E S
[95]
Capítulo 4
nor peso que tendrían los flujos alejados en el tiempo. De modo simultáneo se observa el corte, cuando el valor presente neto pasa de positivo a negativo, que
corresponde precisamente a la tasa interna de retorno del proyecto, concepto que se
presenta y analiza posteriormente. La conclusión principal está relacionada con la
menor probabilidad que tiene un proyecto de inversión de resultar factible desde el
punto de vista financiero, cuando se aumentan las tasas de interés, enfatizando la
importancia de tasas de interés bajas para motivar a que la gente invierta en proyectos de inversión, especialmente cuando se trata de reactivar una economía después
de una recesión. En la Figura 4.2 se muestra la curva del valor presente neto como
función de la tasa de descuento, para el proyecto que se ha venido analizando.
Figura 4.2
Valor Presente Neto, como función de la tasa de interés.
Proyecto de inversión
12.000.000
Valor Presente Neto
10.000.000
8.000.000
6.000.000
4.000.000
2.000.000
0
0%
20%
- 2.000.000
40%
60%
80%
100%
Tasa de interés
TASA INTERNA DE RETORNO
Definición y cálculo de la tasa interna de retorno
La tasa interna de retorno corresponde a aquella tasa de interés que hace igual a cero
(0) el valor presente neto de un proyecto.
Ejemplo 4.2
Para el ejemplo 4.1 se tendría:
VPN (i) = -1.000.000+500.000[P/A, i, n = 5]
[96]
JAVIER SERR ANO
Tasa interna de retorno
Por lo tanto, la tasa interna de retorno corresponde a aquella tasa de interés que satisface la siguiente ecuación:
500.000 [P/A, i, n = 5] = 1.000.000
[P/A, i, n = 5] = 2
1 i 5 1
i1 i 5
2
Buscando la tasa de interés que hace válida la ecuación anterior se encuentra un valor
i, igual a: 0,4104. Por consiguiente, la tasa interna de retorno correspondiente al
ejemplo es 41,04%. En el pasado la tasa interna de retorno se obtenía a través de un
proceso de prueba y error denominado interpolación, similar al que se describe en el
Cuadro 4.4, lo cual era bastante dispendioso. Hoy las herramientas de computación
han resuelto cualquier dificultad computacional para encontrar tanto el valor presente
neto como la tasa interna de retorno.
Ejemplo 4.3
¿Cuál es la tasa interna de retorno para el proyecto A en el cuadro 4.1?
La gráfica del valor presente neto, como función de la tasa de interés de oportunidad,
muestra que el valor presente neto se vuelve igual a cero para una tasa de interés del
50,85%, que es precisamente la tasa interna de retorno, obtenida en este caso a
través de una solución gráfica de la ecuación.
En el caso del proyecto A en el cuadro 4.1, la tasa interna de retorno fue la solución a
la siguiente ecuación:
VPN (i)=0= -3000 +1.000/(1+i) +1.500/(1+i)2 + 2.000/(1+i)3 +…+3.000/(1+i)6
La ecuación anterior es una ecuación polinomial de grado seis, que puede tener seis
posibles soluciones, no obstante que en la mayoría de proyectos existe una sola
solución a la ecuación. La solución a la ecuación anterior para encontrar la tasa interna de retorno a través de Excel se hace utilizando la función TIR, que se cubrirá
posteriormente.
Ejemplo 4.4
Encontrar la tasa interna de retorno para el proyecto que corresponde al siguiente
diagrama de flujos:
ALFAOMEGA
t
FAC U LTA D D E A D M I N I S T R AC I Ó N / U N I A N D E S
[97]
Capítulo 4
Figura 4.3
10.000
250
0
1
2
3
4
5
6
10.000
VPN = -10.000 + 250 [P/A, i, n = 6] + 10.000[P/F, i, n = 6] = 0
ª 1 i 6 1º
ª 1 º
10,000 «
250 «
6 »
6»
«¬ i1 i »¼
¬ 1 i ¼
10,000
Si i = 0,022 el lado izquierdo será igual a 10.166.90.
Si i = 0,028 el lado izquierdo será igual a 9.836,40.
Por lo tanto, el valor de i que hace válida la ecuación se encuentra entre 0,022 y
0,028. Escogiendo un valor de i = 0,025 se obtiene un valor para el lado izquierdo
igual a 10.000. Por lo tanto, la tasa interna de retorno para el proyecto en cuestión es
del 2,5% (i = 0,025).
En general para un proyecto de inversión con una vida útil de n años, y con flujos de
fondos FJ, j=1,2,…,n-1, n, para cada uno de los años del proyecto, y una inversión I0
en la fecha cero, la expresión general para el valor presente neto, descontado a una
tasa de interés i, sería la siguiente:
VNP(i) = - I0 +
Fn
F1
F2
F3
+
+
+ ... +
(1 + i) (1 + i)2 (1 + i)3
(1 + i)n
Para encontrar la tasa interna de retorno se resuelve la siguiente ecuación:
- I0 +
F1
F2
F3
Fn
+
+
+ ... +
(1 + i) (1 + i)2 (1 + i)3
(1 + i)n
0
La ecuación anterior es una ecuación polinomial de grado n, que se resuelve a través
de métodos numéricos (p. ej., interpolación o prueba y error), no obstante que hoy
en día las ayudas computacionales existentes (calculadoras, hojas de cálculo) hacen
que el método de solución sea relativamente transparente al usuario.
[98]
JAVIER SERR ANO
Tasa interna de retorno
Sin embargo, no se puede olvidar que una ecuación polinomial de grado n puede
tener hasta n raíces, tema que se volverá a plantear posteriormente.
Interpretación de la tasa interna de retorno
Entonces, ¿cuál es el significado de la tasa de interna de retorno? La tasa interna de
retorno es la rentabilidad de los fondos que realmente se encuentran invertidos en el
proyecto, o la rentabilidad que el proyecto le permite generar a un peso, mientras el
mismo se encuentre invertido en el proyecto.
Con frecuencia se habla de la tasa interna de retorno como la rentabilidad del proyecto. En un sentido estricto esto será cierto si los fondos que libera el proyecto
se reinvierten a una tasa de interés igual a esa tasa interna de retorno. Esto es, la
rentabilidad final del proyecto durante un cierto período depende finalmente de la
forma como se inviertan los fondos que libera el proyecto en fechas anteriores a su
culminación.
Como se mencionó anteriormente, la tasa interna de retorno es la rentabilidad del
proyecto, interpretada como la rentabilidad que el proyecto le permite generar a un
peso mientras el mismo se encuentre invertido en el proyecto. Por ello es necesario
distinguir entre dos conceptos:
a) La rentabilidad del proyecto interpretada, como se acaba de mencionar, esto es la
rentabilidad que el proyecto le permite generar a un peso mientras se encuentre
invertido en el mismo.
b) La rentabilidad de la inversión durante la vida útil del proyecto, que tiene en
cuenta lo que permite hacer el proyecto (generación de unos flujos de fondos) y
la reinversión de los flujos fondos que libera el proyecto, que se hace precisamente a la tasa de interés de oportunidad.
Considere el proyecto de inversión que se muestra en el Cuadro 4.5:
Cuadro 4.5
ALFAOMEGA
t
Período
Flujo
0
1
2
3
4
5
(4.500.000)
2.000.000
2.000.000
2.500.000
3.000.000
3.500.000
FAC U LTA D D E A D M I N I S T R AC I Ó N / U N I A N D E S
[99]
Capítulo 4
Para el proyecto anterior, la tasa interna de retorno se calcula a partir de la expresión:
2.000.000 2.000.000
+
(1 + i)
(1 + i)2
2.500.000 3.000.000 3.500.000
+
+
(1 + i)4
(1 + i)5
(1 + i)3
0
VNP(i) = - 4.500.000 +
Resolviendo la ecuación por prueba y error, o utilizando la función TIR de Excel, se
obtiene:
TIR = 0,4342 = 43,42%
La interpretación de la tasa interna de retorno como la rentabilidad que el proyecto
le permite generar a un peso mientras se encuentre invertido en el proyecto, se puede observar en el Cuadro 4.6 (se considera que el rendimiento de cualquier peso
invertido en el proyecto es igual a la tasa interna de retorno):
Cuadro 4.6
Año
Monto inversión,
comienzo del año
(a)
1
2
3
4
5
4.500.000
4.453.969
4.387.950
3.793.265
2.440.359
Retiro al final
del año
(b)
2.000.000
2.000.000
2.500.000
3.000.000
3.500.000
Intereses
Saldo inversión
(c)=(a)*0,4342
Retiro de capital
al final del año
(d)=(b)-(c)
1.953.969
1.933.981
1.905.315
1.647.094
1.059.641
46.031
66.019
594.685
1.352.906
2.440.359
4.453.969
4.387.950
3.793.265
2.440.359
0
(a)-(d)
El siguiente ejemplo aclara aún más el concepto de la tasa interna de retorno.
Ejemplo 4.5
Figura 4.4
5,123
0
1
2
3
10,000
[100]
JAVIER SERR ANO
Tasa interna de retorno
La tasa interna de retorno, es del 25%, ya que:
VPN(i =0,25) = -10.000 + 5.123 * [P/A,0,25,3] = 0
VPN(i =0,25) = -10.000 + 5.123 * 1,952 = 0
Cuadro 4.7
Período
Saldo acumulado al
principio del período
Intereses ganados
durante el período
10.000,00
7.377,00
4.098,25
2.500,00
1.844,25
1.024,56
0-1
1-2
2-3
Saldo al final
del período
12.500,00
9.221,25
5.123,00
Retiros al final
del período
5.123,00
5.123,00
5.123,00
Esto aclara el significado de la tasa interna de retorno: como el interés compuesto
que ganan los dineros que se mantienen invertidos en el proyecto, durante el tiempo
que se mantengan invertidos. En este sentido, la tasa interna de retorno se interpreta
como la rentabilidad interna del proyecto.
¿Cómo determinar la verdadera rentabilidad de la inversión? ¿Cuál es el rendimiento
que se obtiene de los 10.000 durante los tres años que dura el proyecto? Para responder estas preguntas se debe establecer cuál es la cantidad total de dinero que se
puede acumular al cabo de 3 años al invertir 10.000 en el proyecto y reinvertir los
dineros que se van liberando a la tasa de interés de oportunidad del inversionista (p.
ej., 20%).
Al finalizar el primer año se reciben 5.123, los cuales, reinvertidos a la tasa del 20%
anual compuesto durante 2 años, acumulan:
5.123 * 1 + 0,22
5.123 * (1,2) 2 = 7.377,12
Al final del segundo año se reciben 5.123 los cuales reinvertidos a la tasa del 20%
anual durante 1 año, acumulan al final del período considerado:
5.123 * 1 + 0,2 = 5.123 * (1,2) = 6.147,6
La cantidad total acumulada al final del tercer año, con las posibilidades de reinversión que tiene nuestro inversionista, es igual a:
7.377,12 + 6.147,6 + 5.123 = 18.647,72
El proyecto de inversión resultante, considerado bajo las oportunidades de reinversión
disponibles, será equivalente a:
ALFAOMEGA
t
FAC U LTA D D E A D M I N I S T R AC I Ó N / U N I A N D E S
[101]
Capítulo 4
Figura 4.5
Para calcular la rentabilidad de los $10.000 durante los tres años, se procede de la
siguiente forma:
10.000*(1+i)3 = 18.647,72
(1+i)
= (1,864772)(1/3) = 1,2309
= 0,2309
= 23,09%
i
El proyecto de inversión resultante, teniendo en cuenta el proyecto inicial y las oportunidades de reinversión disponibles para los flujos de caja que libera el proyecto,
permite que el capital original tenga un rendimiento del 23,09% anual. En otras palabras, mientras un peso se encuentre invertido en el proyecto, su rentabilidad será
igual a la tasa interna de retorno. Una vez que el proyecto libera un peso, éste se
reinvierte a la tasa de interés de oportunidad. Los $10.000 iniciales tendrán una rentabilidad promedio diferente a la tasa interna de retorno, durante los tres años de la
vida útil del proyecto, ya que hay que tener en cuenta la forma como se invierten los
fondos liberados por el proyecto. Al tener en cuenta esa reinversión, se obtiene una
rentabilidad del 23,09%, que resulta de lo que permite hacer el proyecto, a través de
los flujos de caja liberados, combinado con la reinversión de los fondos que genera el
proyecto a la tasa de interés de oportunidad.
Si la reinversión se hace a la tasa interna de retorno se tendrían los siguientes resultados:
5.123 * (1+0,25)2
5.123 * 1,25
5.123
Total acumulado al final del tercer año
=
8.004,69
=
=
=
6.403,75
5.123,00
19.531,44
El proyecto considerado, con una alternativa de reinversión al 25% anual, sería equivalente al que se muestra en la Figura 4.6:
[102]
JAVIER SERR ANO
Tasa interna de retorno
Figura 4.6
19.531,44
0
1
2
3
10.000
10.000 * 1+i 3
19.531,44
1+i 1,953144 1/ 3
1,250004
i = 0,250004 = 25%
Ejemplo 4.6
Considere nuevamente el caso del proyecto A en el cuadro 4.8 (valores en miles de
pesos):
Cuadro 4.8
Año
0
1
2
3
4
5
6
Flujo
(3.000)
1.000
1.500
2.000
2.500
2.800
3.000
Como la tasa interna de retorno corresponde a la tasa de interés que hace igual a cero el valor presente neto, en este caso se plantea la siguiente ecuación:
1.000.000 1.500.000
+
(1 + i)
(1 + i)2
2.000.000 2.500.000 2.800.000 3.000.000
+
+
(1 + i)3
(1 + i)4
(1 + i)5
(1 + i)6
VNP(i) = 0
- 3.000.000 +
Resolviendo la ecuación anterior se encuentra que:
TIR = 0,5086 = 50,86%
La tasa interna de retorno es del 50,86% y corresponde a la rentabilidad que el proyecto le permitirá devengar a cualquier peso invertido en el mismo durante el tiempo
que se encuentre invertido, que será diferente a la rentabilidad de los 3.000 durante
el período de 6 años, cuyo cálculo se deja como ejercicio al lector.
ALFAOMEGA
t
FAC U LTA D D E A D M I N I S T R AC I Ó N / U N I A N D E S
[103]
Capítulo 4
Proyectos con múltiples tasas internas de retorno
Como se mencionó la tasa interna de retorno para un proyecto con una inversión
inicial I0 y con unos flujos FJ, J=1,2,…,n, durante la vida útil del proyecto, es la solución a la ecuación:
- I0 +
F1
F2
F3
Fn
+
+
+ ... +
2
3
(1 + i) (1 + i)
(1 + i)
(1 + i)n
0
La ecuación anterior es una ecuación polinomial de grado n que puede tener hasta n
raíces, lo cual podría complicar el cálculo y la interpretación de la tasa interna de retorno en algunas situaciones particulares.
En la mayoría de los casos, solamente se va a presentar una raíz real; ¿cómo reconocer la existencia potencial de una o más raíces? Para ello se define un proyecto de
inversión puro, como uno en el cual hay un período de inversión al comienzo seguido
por unos flujos positivos; o un proyecto de financiamiento puro, como uno en el cual
se contabilizan unos ingresos al comienzo (desembolsos del crédito), seguidos por
unos flujos negativos (pago de intereses y amortización del crédito). En ambos casos,
solamente existe un cambio en el signo o en la dirección de los flujos representando
el proyecto, lo cual permite asegurar que solamente existe una raíz real, que se puede
calcular e interpretar tal y como se ha mencionado hasta este momento.
Cuando hay varios cambios de signo o de dirección en los flujos de fondos que conforman el diagrama de flujos, éste se denomina “no convencional”; y puede haber
varias tasas de interés que hacen igual a cero el valor presente neto. Esto es, puede
haber varias tasas internas de retorno. El número potencial de tasas internas de retorno o de raíces es equivalente al número de cambios de signo en el flujo.
Figura 4.7
a) Proyecto de inversión puro
Una sola raíz
b)
Proyecto no convencional
Podría haber dos raíces
En la Figura 4.7 que se acaba de mostrar, en el proyecto a) (izquierda), se puede asegurar que solamente hay una raíz (un solo cambio de signo); mientras que en el
proyecto b) (derecha), podría haber hasta dos raíces ya que hay dos cambios de signo, lo cual no quiere decir que haya necesariamente dos raíces reales, puesto que
[104]
JAVIER SERR ANO
Tasa interna de retorno
depende de las magnitudes involucradas; una raíz puede ser real y la otra imaginaria.
Cuando se sospecha la presencia de tasas múltiples (p. ej., varios cambios de signo en
el diagrama de flujo del proyecto), se deberá proceder a graficar el valor presente
neto del proyecto como función de la tasa de interés, para revisar su presencia, ya
que usualmente las herramientas computacionales calculan una sola tasa o se bloquean ante una situación de esta naturaleza.
En presencia de tasas múltiples se pierde la interpretación de la tasa interna de retorno a que se hizo referencia, y habrá que analizar cada situación en particular para
poder interpretar los valores obtenidos. Por ejemplo, el proyecto b, mostrado en la
gráfica (proyecto no convencional), se podría analizar como un proyecto de inversión
inicialmente y como un proyecto de financiamiento posteriormente.
Para ilustrar el problema de tasas múltiples considere el siguiente proyecto (flujos en
miles de pesos):
Tasa de interés de oportunidad = 35%
Cuadro 4.9
Año
Flujo
0
0
1
-7.000
2
15.000
3
8.000
4
-20.000
5
-15.000
6
14.500
7
5.000
VPN (i= 0,35) = (62.598,5)
Cuadro 4.10
ALFAOMEGA
t
Tasa de interés de oportunidad
VPN
35%
0%
5%
10%
15%
20%
25%
30%
35%
40%
45%
50%
55%
60%
65%
70%
75%
80%
85%
90%
95%
100%
105%
(62.598,5)
500.000,0
16.064,2
(179.850,1)
(228.952,3)
(208.833,5)
(161.536,0)
(109.152,1)
(62.598,5)
(26.595,5)
(2.503,6)
10.059,4
12.304,7
5.762,6
(7.992,2)
(27.480,5)
(51.382,9)
(78.559,5)
(108.048,6)
(139.052,6)
(170.919,9)
(203.125,0)
(235.249,7)
FAC U LTA D D E A D M I N I S T R AC I Ó N / U N I A N D E S
[105]
Capítulo 4
El flujo descrito presenta tres cambios de signo, es decir, pueden existir tres tasas internas de retorno, tal y como aquí ocurre, cuya magnitud se puede observar en la
Figura 4.8.
Figura 4.8
Tasas múltiples de rentabilidad
600.000
500.000
400.000
300.000
200.000
100.000
0
0%
20%
40%
60%
80%
100%
120%
-100.000
-200.000
-300.000
Los valores aproximados de las tasas internas de retorno son 5,27%, 45,72% y
62,39%.
Cuando se presenta el problema de múltiples tasas internas de retorno es recomendable utilizar para la evaluación de alternativas de inversión los métodos de valor
presente neto o costo anual equivalente.
RELACIÓN BENEFICIO-COSTO
La relación beneficio-costo se calcula como el cociente entre el valor presente de los
ingresos y el valor presente de los egresos para una tasa de interés i. La expresión
general para su cálculo está dada por:
Bi Valor presente de los ingresos i
=
Ci
Valor presente de los egresos i
Cuando la relación beneficio costo es mayor que 1 (el valor presente de los ingresos
supera al valor presente de los egresos), se justifica el proyecto desde el punto de vista económico ya que esto equivale a decir que el valor presente neto es positivo.
Para el proyecto A resumido en el cuadro 4.11 se tendría (flujos en miles de pesos):
[106]
JAVIER SERR ANO
Costo anual equivalente (CAE)
Cuadro 4.11
Año
0
1
2
3
4
5
6
Flujo
(3.000)
1.000
1.500
2.000
2.500
2.800
3.000
Valor presente de los ingresos (i = 0,35) = 4.249.364,2
Valor presente de los egresos (i = 0,35) = 3.000.000,0
(BENEFICIO-COSTO)i = 1,42
Como la relación (beneficio-costo), a una tasa de interés del 35%, es mayor que 1, el
proyecto se justificaría desde el punto de vista económico, para esa tasa de interés de
oportunidad.
COSTO ANUAL EQUIVALENTE (CAE)
Para explicar el costo anual equivalente se suponen tres alternativas de inversión que
proporcionan un mismo servicio. Los beneficios para cada una de esas alternativas
son los mismos y no se pueden cuantificar. Se quiere decidir por la alternativa de
mínimo costo. La tasa de interés de oportunidad es del 35% (i=0,35). Las alternativas
se muestran en el Cuadro 4.12:
Cuadro 4.12
Alternativa A
Inversión
Operación y mantenimiento por año
Vida útil (años)
Valor al final
CAE de la inversión
Costo anual total
4.000.000
1.200.000
6
0
1.677.039
2.877.039
Alternativa B
Alternativa C
5.000.000
800.000
6
0
2.096.298
2.896.298
6.000.000
500.000
6
0
2.515.558
3.015.558
El costo anual equivalente de la inversión corresponde a las 6 anualidades equivalentes al monto de la inversión para cada alternativa, con un interés del 35%; por
ejemplo, para determinar el CAE de la inversión para la alternativa A, se tiene:
CAEA= P*(A/P,i,n) = 4.000.000*[0,35*(1+0,35)6]/[(1+0,35)6-1] = 1.677.038
Para una tasa de interés de oportunidad del 35%, la alternativa más económica de
proporcionar el servicio es la A, ya que representa el costo total anual equivalente
más bajo.
ALFAOMEGA
t
FAC U LTA D D E A D M I N I S T R AC I Ó N / U N I A N D E S
[107]
Capítulo 4
En el Cuadro 4.13 se presenta un análisis de sensibilidad de la decisión, para diferentes tasas de interés de oportunidad.
Cuadro 4.13
Tasa de interés
de oportunidad
0,15
0,20
0,25
0,30
0,35
0,40
0,45
0,50
0,55
0,60
0,65
Alternativa A
Alternativa B
Alternativa C
Decisión
2.256.947,6
2.402.823.0
2.555.278,0
2.713.577,2
2.877.038,7
3.045.040,4
3.217.021,4
3.392.481,2
3.570.976,8
3.752.118,1
3.935.563,6
2.121.184,5
2.303.528,7
2.494.097,5
2.691.971,5
2.896.298,4
3.106.300,5
3.321.276,7
3.540.601,5
3.763.721,0
3.990.147,6
4.219454,5
2.085.421,4
2.304.234,5
2.532.917,0
2.770.365,8
3.015.558,1
3.267.560,6
3.525.532,0
3.788.721,8
4.056.465,2
4.328.177,1
4.603.345,4
C
B
B
B
A
A
A
A
A
A
A
Los resultados anteriores muestran la forma como puede cambiar la decisión, al variar
la tasa de interés de oportunidad.
ORDENAMIENTO DE ALTERNATIVAS MUTUAMENTE EXCLUYENTES
El problema de ordenamiento de alternativas mutuamente excluyentes se presenta
frecuentemente en la vida cotidiana y no siempre se analiza en la forma debida. Un
ejemplo permitirá hacer la correspondiente aclaración:
Considere las alternativas de inversión que se muestran en las Figuras 4.9, 4.10 y
4.11, las cuales son mutuamente excluyentes:
A:
Figura 4.9
294.833
0
1
2
3
500.000
[108]
JAVIER SERR ANO
Ordenamiento de alternativas mutuamente excluyentes
B:
Figura 4.10
629.358
0
1
2
3
1.000.000
C:
Figura 4.11
3.153.700
.
0
1
2
3
1.200.000
Si la tasa de interés de oportunidad fuera del 30%, ¿cuál será el ordenamiento preferencial de las tres alternativas?
1. Utilizando el criterio del valor presente neto:
VPNA(i=0,30) = -500.000 + 294.833 [P/A, i=0,30,n=3]
VPNA(i=0,30) = -500.000 + 535.450 = 35.450
VPNB(i=0,30) = -1.000.000 + 629.358 [P/A, i=0,30,n=3]
VPNB(i=0,30) = -1.000.000 + 1.142.985,2 = 142.985,2
VPNC(i=0,30) = -1.200.000 + 3.153,700 [P/F, i=0,30, n=3]
VPNC(i=0,30) = -1.200.000 + 1.435.457 = 235.457,4
El ordenamiento correcto de las alternativas será C > B > A, lo cual indica que se
prefiere la alternativa C a las demás.
ALFAOMEGA
t
FAC U LTA D D E A D M I N I S T R AC I Ó N / U N I A N D E S
[109]
Capítulo 4
2. Utilizando el criterio de la tasa interna de retorno:
Proyecto A: VPNi
= 0
Entonces, TIRA
= 0,35
= -500.000 + 294.833[P/A,i,n=3]
Proyecto B: VPNi
= 0
Entonces, TIRB
= 0,40
Proyecto C: VPNi
= 0
Entonces, TIRC
= 0,38
= -1.000.000 + 629.358[P/A,i,n=3]
= -1.200.000 + 3.153.700[P/F,i,n=3]
El ordenamiento de las alternativas será B > C > A, e indica que se prefiere la alternativa B a las demás, lo cual es un ordenamiento incorrecto como se demostrará a
continuación.
Observe la existencia de una aparente inconsistencia entre el ordenamiento producido por el valor presente neto y el producido por la tasa interna de retorno. La
inconsistencia se deriva del hecho de que las magnitudes involucradas en las tres alternativas son diferentes. Para determinar el ordenamiento correcto se debe tener en
cuenta la cantidad acumulada al tercer año, si se dispone de una misma cantidad de
dinero en el período cero, y se contempla tanto la inversión en el proyecto como en
aquellas oportunidades convencionales que corresponden a la tasa de interés de
oportunidad del 30%.
Si se dispone de 1.200.000 en el período cero, las cantidades acumuladas serían:
Proyecto A e inversión de 700.000 en la fecha 0 al 30%:
2
3
2
3
Cantidad acumulada = 294.833+294.833(1,3)+294.833(1,3) +700.000(1,3)
Cantidad acumulada = 2.714.283,70
Proyecto B e inversión de 200.000 en la fecha 0 al 30%:
Cantidad acumulada = 629.358+629.358(1,3)+629.358(1,3) +200.000(1,3)
Cantidad acumulada = 2.950.538,42
Proyecto C sin inversión adicional en la fecha 0:
Cantidad acumulada = 3.153.700,00
Teniendo en cuenta la cantidad acumulada al final del año 3, partiendo de la misma
magnitud y considerando simultáneamente cada proyecto y las oportunidades con-
[110]
JAVIER SERR ANO
Ordenamiento de alternativas mutuamente excluyentes
vencionales de inversión, el ordenamiento preferencial es C > B > A. Este ordenamiento coincide con el ordenamiento producido por el valor presente neto. Esto era
de esperarse, si se tiene en cuenta su significado (recuerde su sentido relativo con
respecto a las oportunidades convencionales, esto es, aquellas que corresponden a la
tasa de interés de oportunidad). Al utilizar el criterio del valor presente neto, se supone implícitamente que los fondos que libere el proyecto o cualquier cantidad en
exceso a la que requiere el proyecto se invierten a una tasa de interés igual a la tasa
de interés de oportunidad.
Por eso, el criterio del valor presente neto siempre genera el ordenamiento correcto,
en el caso de alternativas mutuamente excluyentes, con la misma vida útil, aun en el
caso de que los montos iniciales de inversión sean diferentes.
Nota: Si las cantidades acumuladas al final del tercer año, se traen a valor presente y
se resta 1.200.000, precisamente se obtiene el valor presente neto:
Proyecto A: 2.714.283,7*0,4551 – 1.200.000 = 35.450,0
Proyecto B: 2.950.538,4*0,4551 – 1.200.000 = 142.985,2
Proyecto C: 3.153.700,0*0,4551 – 1.200.000 = 235.457,4
La tasa interna de retorno produce el ordenamiento correcto si se consideran las alternativas diferenciales; esto es, si se consideran las diferencias involucradas en las
inversiones originales y se comparan las alternativas por pares.
Alternativa B - Alternativa A: (B-A):
Figura 4.12
VPN(B-A)
= -500.000+334.505[P/A, i,n=3] = 0
§ 1 i 3 1·
¸
= 500.000 334.505¨¨
3 ¸
i
1
3
©
¹
= 44,92%
VPN(B-A)
TIR(B-A)
ALFAOMEGA
t
FAC U LTA D D E A D M I N I S T R AC I Ó N / U N I A N D E S
0
[111]
Capítulo 4
El proyecto diferencial tiene una TIR mayor al 30%; esto indica que la inversión adicional de 500.000 que requiere el proyecto B se justifica cuando se compara con el
proyecto A, dado que en el proyecto B esta cantidad genera un rendimiento mayor
que el que se generaría en las oportunidades convencionales. Entonces B > A.
Alternativa C - Alternativa B: (C-B):
Figura 4.13
VPNC-B 200,000 629,358 629,358 2,524,342
1 i 1 i 2
1 i 3
0
TIR(C-B) = 0,3604= 36,04% > 0,30
Por lo tanto, se justifica la inversión adicional que requiere el proyecto C, cuando se le
compara con el proyecto B; esto es, C > B, Por lo tanto, C > B > A.
Al comparar la tasa interna de retorno con el valor presente neto, la comparación resulta favorable al segundo de los indicadores, especialmente si se tiene en cuenta
que:
a) El valor presente neto es más fácil de calcular que la tasa interna de retorno, no
obstante que esto ha perdido importancia con las herramientas modernas de
computación.
b) Pueden existir tasas internas de retorno múltiples, lo cual complica su utilización e
interpretación.
c) En el caso de alternativas mutuamente excluyentes con vidas iguales, el valor presente neto siempre lleva al ordenamiento correcto de ellas, tal y como se acaba
de demostrar. No ocurre lo mismo con la tasa interna de retorno aplicada directamente.
[112]
JAVIER SERR ANO
Ordenamiento de alternativas con diferente vida útil
Teniendo en cuenta lo anterior, surge la pregunta sobre la utilización de la tasa interna de retorno como un indicador usual para medir la conveniencia financiera de un
proyecto de inversión. ¿Por qué no utilizar únicamente el valor presente neto? La respuesta a esta pregunta o inquietud se relaciona con la preferencia que tienen los
inversionistas a utilizar directamente un indicador de rentabilidad, con el cual están
más familiarizados y con una presentación intuitiva mejor para ellos que el valor presente neto, cuya interpretación en términos de valor relativo o adicional no siempre
es fácilmente comprensible.
ORDENAMIENTO DE ALTERNATIVAS CON DIFERENTE VIDA ÚTIL
El método de valor presente neto, como se ha presentado, permite comparar proyectos de igual duración. En el caso de vidas útiles diferentes, se requiere unificar la
duración de los proyectos utilizando el mínimo común múltiplo de la vida útil de todas las alternativas. Un ejemplo permite aclarar la situación.
Ejemplo 4.7
Suponga que una industria requiere comprar una máquina, para lo cual cuenta con
las alternativas que se muestran en el Cuadro 4.14:
Cuadro 4.14
Inversión inicial
Vida útil (años)
Costo de operación anual
Valor de venta de la máquina al final de la vida útil
Máquina 1
Máquina 2
1.000.000
2
250.000
700.000
1.500.000
3
350.000
1.400.000
La tasa de interés de oportunidad es del 30%.
En el Cuadro 4.15, se presenta el flujo de efectivo con el mínimo común múltiplo de
la duración de las máquinas (6 en este ejemplo):
Cuadro 4.15
Máquina 1
Año
Inversión inicial
Costo de operación
Valor de venta
Flujo
V.P.N.
ALFAOMEGA
t
0
-1.000.000
-1.000.000
-1.798.216
1
2
-1.000.000
-250.000
-250.000
700.000
-250.000
-550.000
3
-250.000
-250.000
FAC U LTA D D E A D M I N I S T R AC I Ó N / U N I A N D E S
4
5
6
-1.000.000
-250.000 -250.000 -250.000
7.000.000
700.000
-550.000 -250.000 450.000
[113]
Capítulo 4
Máquina 2
Año
Inversión inicial
Costo de operación
Valor de venta
Flujo
V.P.N.
0
-1.500.000
1
2
-350.000
-350.000
-1.500.000 -350.000
-2.180.431
-350.000
3
4
-1.500.000
-350.000 -350.000
1.400.000
-450.000 -350.000
5
6
-350.000
-350.000
1.400.000
-350.000 1.050.000
Observe que cada flujo se repite hasta que la duración del proyecto sea igual al
mínimo común múltiplo. En este caso la mejor alternativa es la compra de la máquina
1, ya que presenta un valor presente neto mayor.
Para evaluar las alternativas de diferente duración a través de la tasa interna de retorno, se requiere hacer un análisis incremental unificando la duración de los proyectos
utilizando el mínimo común múltiplo de la vida útil de cada par de alternativas.
La evaluación con el método del costo anual equivalente se realiza en la forma convencional; no es necesario unificar la duración de las alternativas porque la base de
comparación es la misma para todas, independientemente de su duración (se comparan flujos anuales). Por esta razón conviene usar el CAE para la evaluación de alternativas con diferente vida útil.
RENTABILIDAD DE LOS RECURSOS PROPIOS
Considere el proyecto de inversión que se muestra en la Figura 4.14:
Figura 4.14
7,5 Teniendo en cuenta que la tasa de interés de oportunidad de un inversionista es del
35%, no es atractivo adelantar el proyecto. El inversionista cuenta con recursos por
$285.000.000; y para adelantar el proyecto le ofrecen un crédito “atado” a la realización del proyecto, cuyas condiciones se aprecian en el diagrama de flujos que se
muestra en la Figura 4.15:
[114]
JAVIER SERR ANO
Rentabilidad de los recursos propios
Figura 4.15
7,5 Desde el punto de vista del inversionista, la rentabilidad de los recursos propios, es
decir, la rentabilidad de los recursos que efectivamente aporta al proyecto, está dada
por la suma de los dos flujos anteriores, tal y como se observa en la Figura 4.16:
Figura 4.16
7,5 La rentabilidad de los recursos propios es del 40%, superior a la tasa de interés de
oportunidad, por lo cual se podría llegar a pensar en adelantar el proyecto.
En este caso se observa que la rentabilidad total del proyecto no es atractiva pero la
rentabilidad de los recursos propios sí lo es. La financiación puede hacer atractiva la
inversión en proyectos que por sí solos no lo son. Como se verá posteriormente, esto
se justifica únicamente si el financiamiento está atado al proyecto, tal y como ocurría
anteriormente en Colombia, cuando se tenía crédito de fomento subsidiado, atado
específicamente a un determinado proyecto. En general no se deben utilizar fuentes
de financiamiento baratas, para justificar e implantar proyectos que no tienen por sí
solos la rentabilidad adecuada.
En los capítulos 6, 7 y 8 de este libro se precisan el concepto de flujo de caja libre para la firma o para el proyecto, y el de flujo de caja libre para el equity, patrimonio o
inversionista, cuya diferenciación, estimación y aplicación son la base de todo el campo de valoración de activos.
ALFAOMEGA
t
FAC U LTA D D E A D M I N I S T R AC I Ó N / U N I A N D E S
[115]
Capítulo 4
RESUMEN
En el Cuadro 4.16 se presenta un resumen de los principales indicadores para medir la
bondad económica de un proyecto de inversión o el costo de un proyecto de financiación, incluyendo las funciones de Excel utilizadas para su estimación
Cuadro 4.16
Método de
evaluación
Definición
Características
- i: interés de oportunidad
- Se seleccionan proyectos con
VPN > 0
- Considera las magnitudes
Cifra relativa adicional
involucradas en los proyectos
a lo que se obtendría
- Genera el ordenamiento
Valor presente
al invertir en
correcto en el caso de alternatineto
oportunidades
vas mutuamente excluyentes de
convencionales
igual vida útil
- Requiere unificar flujos para
evaluar alternativas con
diferente vida útil
Tasa interna
de retorno
Rentabilidad de los
fondos que se
encuentran invertidos
en un proyecto. Tasa
de interés que hace 0
el valor presente neto
- Se seleccionan proyectos con
TIR mayor a la tasa de interés de
oportunidad
- Difiere de la rentabilidad de una
inversión si los montos liberados
no se reinvierten a la misma TIR
- Requiere análisis incremental al
evaluar alternativas mutuamente
excluyentes de igual vida útil
- Requiere análisis incremental y
unificar flujos para evaluar
alternativas con diferente vida
útil
- Puede haber proyectos con
múltiples tasas internas de
retorno
VNA(i,rango), si los
períodos son
constantes
VNA.NO.PER., si los
períodos no son
constantes
TIR(rango, resultado
aproximado), si los
períodos son
constantes
El resultado aproximado es un punto de
partida para que
Excel inicie las
iteraciones; se puede
cambiar en caso de
error
TIR.NO.PER., si los
períodos no son
constantes
- Se seleccionan proyectos con
relación B/C>1
- Requiere análisis incremental al
evaluar alternativas mutuamente
excluyentes de igual vida útil
Relación
beneficio
/costo
Relación entre los
ingresos y los costos
traídos a valor
presente neto.
Costo anual
equivalente
- Se seleccionan proyectos con
menor costo anual equivalente o
Serie uniforme
mayor beneficio anual
equivalente a los flujos
equivalente
de un proyecto
- Útil para evaluar alternativas con
diferente duración
[116]
Excel
JAVIER SERR ANO
Ejercicios resueltos
EJERCICIOS RESUELTOS
Los siguientes nueve ejercicios resumen la mayoría de los conceptos presentados en
este capítulo.
1.
Considere los siguientes dos proyectos de inversión, con los flujos que se muestran en el Cuadro 4.17, el cual incluye el cálculo de los valores presentes netos y
las tasas internas de retorno para cada proyecto y para la alternativa incremental.
Cuadro 4.17
Año
a)
b)
Proyecto A
Proyecto B
(B-A)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
-300.000
160.000
164.800
169.744
174.836
180.081
185.484
191.048
196.780
202.683
208.764
-300.000
140.000
151.200
163.296
176.360
190.468
205.706
222.162
239.935
259.130
279.861
0
-20.000
-13.600
-6.448
1.523
10.387
20.222
31.114
43.156
56.447
71.097
TIO
VPN (i=0,25)
TIR
25,00%
322.326
55%
332.625
53%
10.299
31%
Graficar el valor presente neto como una función de la tasa de interés de
oportunidad.
¿Cuál sería su recomendación sobre el proyecto a escoger, si fueran mutuamente excluyentes y la tasa de interés de oportunidad fuera del 25%?
Justifique su respuesta.
4PMVDJØO
a) Gráficas del valor presente neto para cada proyecto:
ALFAOMEGA
t
FAC U LTA D D E A D M I N I S T R AC I Ó N / U N I A N D E S
[117]
Capítulo 4
Figura 4.17
2.000.000
Valor Presente Neto
1.500.000
1.000.000
500.000
0
-500.000
0%
20%
40%
60%
80%
100%
Tasa de interés
Proyecto A
Proyecto B
En la Figura 4.17, tomada de Excel, se muestra el comportamiento del valor
presente neto para los dos proyectos A y B, donde se puede apreciar cómo
el mismo disminuye con la tasa de interés de oportunidad hasta volverse
negativo en ambos casos, para tasas de interés elevadas. Allí también se
muestra la tasa de interés para la cual el valor presente neto de cada proyecto es igual a cero, que corresponde precisamente a la tasa interna de
retorno de cada proyecto.
b)
Selección entre los dos proyectos, si los mismos son mutuamente excluyentes, para una tasa de interés de oportunidad del 25%.
Se escogería el proyecto con el mayor valor presente neto, que es el proyecto B, no obstante que la tasa interna de retorno del proyecto A es mayor. Se
recalca que en caso de alternativas mutuamente excluyentes el valor presente neto siempre conduce al ordenamiento correcto de alternativas; no así
la tasa interna de retorno aplicada directamente.
La alternativa incremental (B-A) tiene un valor presente neto positivo, para
una tasa de interés de oportunidad del 25%. La tasa interna de retorno de
la alternativa incremental (31%) es superior a la tasa de interés de oportunidad, mostrando una vez más que el proyecto B se prefiere al proyecto A.
2.
[118]
Un proyecto de inversión A con el flujo de fondos que se muestra en el Cuadro
4.18:
JAVIER SERR ANO
Ejercicios resueltos
Cuadro 4.18
a)
b)
c)
Año
0
1
2
3
4
5
Flujo
-10.000
3.000
4.500
5.500
6.000
7.000
¿Cuál es el valor presente neto del proyecto para una tasa de interés de
oportunidad del 25%? ¿Cómo interpreta la cifra obtenida?
¿Cuál es la tasa interna de retorno del proyecto? ¿Cómo interpreta la cifra
obtenida?
¿Cuál es la rentabilidad de los 10.000 durante el horizonte de 5 años? ¿Cuál
es la diferencia con el valor obtenido en b)?
4PMVDJØO
a) El valor presente neto del proyecto para la tasa de interés de oportunidad
del 25% es igual a 2.847,36. Esta cifra se puede interpretar como el valor
adicional que se genera por invertir en el proyecto y no en las oportunidades
convencionales, con un rendimiento del 25%.
b)
La tasa interna de retorno del proyecto es del 36,41%. Esta cifra se puede
interpretar como la rentabilidad que el proyecto le permite generar a un peso mientras el peso se encuentre invertido en el proyecto.
c)
Para calcular la rentabilidad de los 10.000, durante los 5 años, hay que tener
en cuenta los flujos de fondos liberados por el proyecto y su reinversión a la
tasa de interés de oportunidad del 25%, lo cual permite acumular la siguiente cifra al final de los 5 años:
Ac5 = 3.000*(1+0,25)4
6.000*(1+0,25)1 + 7.000
Ac5
=
+
4.500*(1+0,25)3
+
5.500*(1+0,25)2
+
39.207,03
Para encontrar la rentabilidad de los 10.000, durante los 5 años, se plantea
la siguiente ecuación:
10.000 * (1+R)5 = 39.207,03
Despejando R, se obtiene R = 31,42% como la rentabilidad anual de los
10.000 durante los 5 años, que es inferior a la tasa interna de retorno, ya
que los flujos liberados por el proyecto se reinvierten a una tasa del 25% y
no a la tasa interna de retorno.
ALFAOMEGA
t
FAC U LTA D D E A D M I N I S T R AC I Ó N / U N I A N D E S
[119]
Capítulo 4
3.
Considere un proyecto de inversión B con el flujo de fondos que se muestra en el
Cuadro 4.19:
Cuadro 4.19
a)
b)
c)
Año
0
1
2
3
4
5
Flujo
-15.000
5.500
6.000
6.800
8.500
9.500
¿Cuál es el valor presente neto del proyecto para una tasa de interés de
oportunidad del 25%? ¿Cómo interpreta la cifra obtenida?
¿Cuál es la tasa interna de retorno del proyecto? ¿Cómo interpreta la cifra
obtenida?
Suponga que este proyecto y el del ejercicio anterior son mutuamente excluyentes, ¿Cuál de los dos proyectos escogería?
4PMVDJØO
a) El valor presente neto del proyecto para la tasa de interés de oportunidad
del 25% es igual a 3.316,16. Esta cifra se puede interpretar como el valor
adicional en la fecha “cero” que se genera por invertir en el proyecto y no
en las oportunidades convencionales, con un rendimiento del 25%.
4.
b)
La tasa interna de retorno del proyecto es del 34,35%. Esta cifra se puede
interpretar como la rentabilidad que el proyecto le permite generar a un peso mientras el peso se encuentre invertido en el proyecto.
c)
El proyecto B, de este problema tiene un valor presente neto de 3.316 superior al del proyecto A del segundo problema (2.847), y por lo tanto sería el
proyecto a seleccionar en el caso de que ambos fueran mutuamente excluyentes, no obstante que la tasa interna de retorno del proyecto B (34,35%)
es menor que la tasa interna de retorno del proyecto A (36,41%).
Comparando los proyectos A y B de los dos problemas anteriores, ¿cómo podría
utilizar la tasa interna de retorno para hacer la selección correcta si los dos proyectos fueran mutuamente excluyentes?
Como se trata de inversiones de tamaño diferente, se analizaría la alternativa incremental, representada por (B-A), cuyo flujo se resume en el Cuadro 4.20:
Cuadro 4.20
[120]
Año
0
1
2
3
4
5
(B-A)
-5.000
2.500
1.500
1.300
2.500
2.500
JAVIER SERR ANO
Ejercicios resueltos
La tasa interna de retorno de este flujo incremental (B-A) es igual a 29,48%, superior a la tasa de interés de oportunidad del 25%, por lo cual se justifica invertir
los 5.000 adicionales en el proyecto B y no en las oportunidades convencionales
que solo rentan un 25%. Como conclusión, se prefiere el proyecto B al A, que era
precisamente el ordenamiento que se había obtenido anteriormente a través del
valor presente neto.
5.
Un proyecto de inversión con los siguientes flujos durante su vida útil de 4 años:
año 0, -3.000; año 1, 900; año 2, 1.500; año 3, 1.800; año 4, 2.500, y cuya tasa
de interés de oportunidad es del 25%. ¿Cuál es la rentabilidad de los 3.000 durante los 4 años?
La tasa interna de retorno del proyecto es del 34,53%, que va a resultar superior
a la rentabilidad de los 3.000, durante los 4 años, ya que los flujos de fondos liberados por el proyecto se reinvierten a la tasa de interés de oportunidad, la cual es
del 25%.
Para el cálculo de la rentabilidad de los 3.000 durante los 4 años, hay que tener
en cuenta los flujos de fondos liberados por el proyecto y la reinversión de esos
flujos a la tasa de interés de oportunidad, lo cual permite acumular al final del
cuarto año:
= 900*(1+0,25)3 + 1.500*(1+0,25)2 + 1.800*(1+0,25) + 2.500
= 8.851,56
Ac4
Ac4
Para encontrar la rentabilidad de los 3.000, durante los 4 años, se plantea la siguiente ecuación:
3.000 * (1+R)4 = 8.851,56
Despejando R, se obtiene R = 31,06% como la rentabilidad anual de los 3.000
durante los 4 años, que es inferior a la tasa interna de retorno, ya que los flujos
liberados por el proyecto se reinvierten a una tasa del 25% y no a la tasa interna
de retorno.
6.
Dos proyectos de inversión mutuamente excluyentes, con un horizonte de 5
años, muestran los flujos presentados en el Cuadro 4.21:
ALFAOMEGA
t
FAC U LTA D D E A D M I N I S T R AC I Ó N / U N I A N D E S
[121]
Capítulo 4
Cuadro 4.21
Fecha
Proyecto A
Proyecto B
0
1
2
3
4
5
(280)
70
120
150
180
210
(400)
100
162
203
258
300
Tasa de interés de oportunidad: 25%.
a)
b)
¿Cuál de los dos proyectos seleccionaría?
Si únicamente existen esos dos proyectos, adicionalmente a las inversiones
convencionales que determinan la tasa de interés de oportunidad, ¿cuál
sería la rentabilidad promedio de los 400 millones durante los 5 años?
4PMVDJØO
a) Para la selección de uno de los dos proyectos se utiliza el valor presente neto:
El valor presente neto del proyecto A es igual a 72,14.
El valor presente neto del proyecto B es igual a 91,59.
Por lo tanto se escogería el proyecto B, con un mayor valor presente neto.
b)
Para determinar la rentabilidad de los 400 millones de pesos, durante el
período de 5 años, se selecciona el proyecto B, reinvirtiendo los flujos de
fondos a la tasa de interés de oportunidad del 25%, lo cual permitiría acumular al final de los 5 años:
Ac5 = 100*(1+0,25)4 +162*(1+0,25)3 +203*(1+0,25)2 + 258*(1+0,25) +300
Ac5 = 1.500,23
Para encontrar la rentabilidad de los 400 millones, durante los 5 años, se
plantea la siguiente ecuación:
400 * (1+R)5 = 1.500,23
Despejando R, se obtiene R =30,26% como la rentabilidad anual de los 400
durante los 5 años, que es inferior a la tasa interna de retorno, ya que los
flujos liberados por el proyecto se reinvierten a una tasa del 25% y no a la
tasa interna de retorno.
[122]
JAVIER SERR ANO
Ejercicios resueltos
7.
Un crédito a 2 años, que paga intereses netos del 28% nominal anual, pagaderos
trimestre vencido, se amortiza en dos pagos iguales, al final de cada año. Los gastos de tramitación del crédito, incluyendo constitución de hipotecas, son del
1,5%, pagaderos al comienzo del crédito. ¿Cuál es el costo efectivo del crédito
antes y después de impuestos?
Período básico de análisis: trimestre, ya que los intereses se pagan trimestralmente.
En el Cuadro 4.22 se muestran los flujos de fondos antes de impuestos:
Cuadro 4.22
Trim
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Desembolso
Trámites
1.000
Amortización
Intereses
Flujo neto
-15
985
-70
-70
-70
-570
-35
-35
-35
-535
-70
-70
-70
-70
-35
-35
-35
-35
-500
-500
La tasa interna de retorno del flujo anterior (antes de impuestos) es del 7,3239%
trimestral, que anualizada da un costo del 32,67% efectivo anual, como costo del
crédito antes de impuestos.
El flujo de fondos después de impuestos, al tener en cuenta el crédito tributario
derivado de los gastos para la tramitación del crédito y de los pagos de intereses,
que por simplicidad se consideran acumulados al final del primer y segundo año,
se muestra en el Cuadro 4.23:
Cuadro 4.23
Trim. Desembolso Trámites
0
1
2
3
4
5
6
7
8
ALFAOMEGA
1000
Amortización
Intereses
-15
-500
-500
t
Crédito
Flujo neto
tributario
FAC U LTA D D E A D M I N I S T R AC I Ó N / U N I A N D E S
-70
-70
-70
-70
-35
-35
-35
-35
103,25
49
985
-70
-70
-70
-466,75
-35
-35
-35
-486
[123]
Capítulo 4
La tasa interna de retorno del flujo anterior sería del 4,9369% trimestral, que
anualizada da un costo efectivo del crédito, después de impuestos, del 21,258%
efectivo anual.
Observe que al considerar el costo del crédito antes de impuestos (32,67%), multiplicado por 0,65 (1-tasa de impuestos), el costo después de impuestos sería del
21,235%.
8.
A un Certificado de Depósito a Término (CDT), que paga un interés del 28%
nominal anual pagadero trimestre anticipado, emitido inicialmente a 90 días, le
faltan 37 días para su vencimiento. ¿Cuál es el valor de mercado actual del CDT,
si la tasa de interés del mercado es del 24% efectivo anual?
El flujo de fondos del proyecto sería:
Entonces: P0
Fecha (días)
Flujo
0
37
-P0
100
100
1+id 37
Recordando que:
1+ie = 1+id 365
id
1+ie 1/ 365
Entonces, P0
100
100
1+id 37 / 365
1+0,2437 / 365
97,843%
El valor actual del CDT, para una tasa de interés de mercado del 24% efectiva
anual, sería del 97,843% de su valor nominal (100%).
9.
Un bono a 4 años amortizable totalmente al final de los 4 años paga intereses del
22% nominal anual pagaderos semestre vencido. Le faltan 217 días para su vencimiento. La tasa de interés de mercado es del 23% efectiva anual. ¿Cuál es el
valor de mercado del bono?
El flujo de fondos del bono, cuando le faltan 217 días para su vencimiento, es el
siguiente:
[124]
JAVIER SERR ANO
Ejercicios de recapitulación o autoevaluación
Fecha (días)
Flujo
37
217
11
111
Para determinar el valor del bono en la fecha cero con el anterior flujo de fondos,
se calcula el valor presente del flujo a una tasa de interés diaria equivalente al
23% efectivo anual que es la tasa de interés del mercado. Lo anterior se puede
expresar en términos generales como:
11
`
11
P
1,2337/ 365 1,23217/ 365
P
10,7715 98,1459
`
108,91
El valor actual del bono es del 108,91% de su valor nominal.
EJERCICIOS DE RECAPITULACIÓN O AUTOEVALUACIÓN
Problema 1
Suponga tres proyectos mutuamente excluyentes, con los montos de inversión y de
flujo de caja anual que se muestran en el Cuadro 4.24. ¿Cuál sería el ordenamiento
correcto de las tres alternativas de inversión, si la tasa de interés de oportunidad es
del 20%?
Cuadro 4.24
Proyectos
Fecha
A
B
C
0 -2.500.000 -3.000.000 -3.500.000
1
500.000
350.000
400.000
2
700.000
450.000
600.000
3
900.000
550.000
700.000
4 1.000.000
700.000
800.000
5 1.100.000
900.000 1.100.000
6 1.250.000 1.200.000 1.700.000
7 1.400.000 1.500.000 2.200.000
8 1.550.000 1.900.000 3.000.000
9 1.700.000 2.500.000 4.000.000
10 1.900.000 3.000.000 5.000.000
Tasa de interés de oportunidad
Valor presente neto
Tasa interna de retorno
Tasa de rentabilidad verdadera
ALFAOMEGA
t
20%
1.654.079
33,64%
26,25%
FAC U LTA D D E A D M I N I S T R AC I Ó N / U N I A N D E S
853.133
25,27%
23,04%
1.946.725
29,13%
25,43%
[125]
Capítulo 4
Al final del Cuadro 4.24 se muestran los resultados de los tres indicadores que se utilizan para hacer la comparación: valor presente neto al 20%, tasa interna de retorno
(TIR) y tasa interna de retorno modificada (TIRM), utilizando respectivamente las
funciones de Excel, VNA, TIR y TIRM. En el caso de la tasa interna de retorno modificada (TIRM), se supone que la reinversión de los flujos que libera el proyecto se hace
a una tasa especificada, que para nuestro ejemplo fue la TIO del 20%. La función en
Excel, tiene la siguiente forma:
TIRM = TIRM (rango de valores; tasa de financiamiento; tasa de reinversión)
TIRM = TIRM (C5:C15;18%), suponiendo que el rango de valores se encuentra en el
rango C5:C15 de la hoja de Excel, no se considera tasa de financiamiento y la tasa de
reinversión es del 20%.
El ordenamiento correcto para alternativas de inversión mutuamente excluyentes con
la misma vida, independientemente de que los montos de inversión sean diferentes,
es el que se obtiene a través de la utilización del valor presente neto, ya que supone
correctamente que cualquier peso por fuera del proyecto se reinvierte a la TIO. Por lo
tanto, el ordenamiento correcto de la tres alternativas de inversión es:
C>A>B
¿Cómo explicar los ordenamientos incorrectos que se producen utilizando la TIR y la
TIRM? En el caso de la TIR, se estaría suponiendo incorrectamente que los pesos por
fuera del proyecto se están reinvirtiendo a la TIR, lo cual en general es incorrecto.
En el caso de la TIRM, ésta no tiene en cuenta los montos diferentes de inversión, no
obstante que la misma considera que la reinversión de los flujos que libera el proyecto
se hace a la TIO. Para que los tres proyectos sean mutuamente excluyentes se debe
disponer inicialmente de $3.500.000; si se utiliza la alternativa A, $2.500.000 se invierten inicialmente en el proyecto, que genera una rentabilidad interna igual a la TIR
(mientras un peso se encuentre invertido en el proyecto). Por ello, la TIRM es del
26,25%, una combinación entre una rentabilidad interna del 33,64% y una reinversión del 20%. Sin embargo, inicialmente quedan $1.000.000 por fuera del proyecto,
que invertidos al 20% hacen que la rentabilidad ponderada sea inferior a la que se
obtiene a través de la alternativa C, donde los $3.500.000 se invierten totalmente en
el proyecto C, con una rentabilidad interna (TIR) del 29.13% y una tasa de reinversión igual a la TIO, esto es, 20%, para obtener una tasa interna de retorno
modificada del 25.43%, que ya tuvo en cuenta la inversión adicional de los
$1.000.000 que hay de diferencia entre la alternativa C y la A.
Se deben comprobar los resultados anteriores a través de los montos acumulados al
final de los 10 años, suponiendo que la reinversión de cualquier suma por fuera del
proyecto se hace a la TIO del 20%.
[126]
JAVIER SERR ANO
Ejercicios de recapitulación o autoevaluación
Si las alternativas son mutualmente excluyentes, la comparación se tiene que hacer
entre:
x $2.500.000 invertidos inicialmente en el proyecto A y $1.000.000 a la tasa de
interés de oportunidad del 20%, durante 10 años. Los flujos que libera el proyecto A se reinvierten a la TIO.
x $3.000.000 invertidos inicialmente en el proyecto B y $500.000 a la tasa de interés de oportunidad del 20%, durante 10 años. Los flujos que libera el proyecto
B se reinvierten a la TIO.
x $3.500.000 invertidos inicialmente en el proyecto C. Los flujos que libera el proyecto C se reinvierten a la TIO.
Los resultados se resumen en el Cuadro 4.25, que confirma lo mostrado previamente,
con el ordenamiento correcto correspondiente al del valor presente neto.
Cuadro 4.25
Proyectos
Fecha
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Acumulado al final del año 10
A
B
C
A
B
C
2.500.000
500.000
700.000
900.000
1.000.000
1.100.000
1.250.000
1.400.000
1.550.000
1.700.000
1.900.000
3.000.000
350.000
450.000
550.000
700.000
900.000
1.200.000
1.500.000
1.900.000
2.500.000
3.000.000
3.500.000
400.000
600.000
700.000
800.000
1.100.000
1.700.000
2.200.000
3.000.000
4.000.000
5.000.000
2.579.890
3.009.872
3.224.863
2.985.984
2.737.152
2.592.000
2.419.200
2.232.000
2.040.000
1.900.000
1.805.923
1.934.918
1.970.749
2.090.189
2.239.488
2.488.320
2.592.000
2.736.000
3.000.000
3.000.000
2.063.912
2.579.890
2.508.227
2.388.787
2.737.152
3.525.120
3.801.600
4.320.000
4.800.000
5.000.000
Acumulado, inversión inicial:
Acumulado inversión restante:
Acumulado, inversión $3.500.000:
Tasa de rentabilidad verdadera:
25.720.961 23.857.587 33.724.688
6.191.736 3.095.868
0
31.912.697 26.953.455 33.724.688
24,74%
22,65%
25,43%
Problema 2
Un bono emitido inicialmente a 6 años, con un cupón semestral del 5%. El 15 de septiembre del año 2009, fecha de la valoración, al bono le faltan 3 años y 143 días para
su vencimiento. ¿Cuál es el valor de mercado del bono si la tasa de interés de mercado es del 14% efectivo anual?
ALFAOMEGA
t
FAC U LTA D D E A D M I N I S T R AC I Ó N / U N I A N D E S
[127]
Capítulo 4
Valor nominal del bono
Cupón semestral
Tasa de interés de mercado
Tasa de interés de mercado
=
=
=
=
$1.000.000
5,00%
14,00% efectivo anual
6,77% semestral
En el Cuadro 4.26 se muestran los cálculos necesarios para determinar el valor de
mercado el 15 de septiembre del año 2009, si la tasa de interés de mercado es del
14% efectivo anual:
Cuadro 4.26
Fecha (días) Fecha (años)
0
143
325
508
690
873
1.055
1.238
Suma =
Fecha
0 15/09/2009
0,39 5/02/2010
0,89 6/08/2010
1,39 5/02/2011
1,89 6/08/2011
2,39 5/02/2012
2,89 5/08/2012
3,39 4/02/2013
Flujo caja
0
50.000
50.000
50.000
50.000
50.000
50.000
1.050.000
Valor presente
0
47.498
44.494
41.665
39.030
36.548
34.237
673.256
916.728
El valor de mercado, a la fecha del 15 de septiembre del 2009, es de $916.728 por un
bono de valor nominal o facial de $1.000.000.
Al mismo valor se puede llegar aplicando la función de valor presente no periódico
(VNA.NO.PER), que calcula el valor presente de un flujo de caja que no es periódico.
La forma de la función es:
Valor presente = VNA.NO.PER (C3;F6:F13;E6:E13), donde C3, corresponde a la tasa
de interés de mercado, F6:F13 al rango en que se encuentran los valores y E6:E13 a
las fechas en las cuales hay flujo de caja. Para nuestro ejemplo:
Valor presente = VNA.NO.PER(14%;0,50.000,…,1.050.000;15/09/2009…4/02/2013)
Valor presente = 916,728
¿Cual sería la rentabilidad de una inversión, si el bono se compra por un valor de
$890.000 el 15 de septiembre del año 2009?
En el Cuadro 4.27 se muestran los valores necesarios para una respuesta a la pregunta formulada; como se trata de períodos que no son iguales, no se puede utilizar
directamente la tasa interna de retorno (TIR). Una forma de resolver el problema es
utilizar la función “Buscar objetivo” de Excel al flujo de caja, donde la celda objetivo
[128]
JAVIER SERR ANO
Ejercicios para resolver
es la suma de los valores presentes individuales, la cual muestra el valor final de
890.000, y la celda a variar es la que contiene la tasa de interés de mercado, cuyo
valor inicial fue de 14%.
Cuadro 4.27
Fecha (días) Fecha (años)
0
143
325
508
690
873
1.055
1.238
Suma =
Fecha
0 15/09/2009
0,39 5/02/2010
0,89 6/08/2010
1,39 5/02/2011
1,89 6/08/2011
2,39 5/02/2012
2,89 5/08/2012
3,39 4/02/2013
Flujo caja
-890.000
50.000
50.000
50.000
50.000
50.000
50.000
1.050.000
Valor presente
47.308
44.091
41.077
38.283
35.666
33.241
650.333
890.000
Al utilizar la función “Buscar objetivo” de Excel se obtiene una tasa de interés de
mercado igual al 15,17% efectivo anual.
Este valor también se hubiera podido encontrar utilizando directamente la función
TIR.NO.PER, que devuelve la tasa interna de retorno para un flujo no periódico. En
este caso:
Rentabilidad = TIR.NO.PER(F22:F29; E22:E29; 0,12), donde el rango F22:F29 contiene los valores del flujo de caja; el rango E22:E29 contiene las fechas en las cuales hay
flujo de caja; 0,12 es un valor inicial, para que comience a iterar; se podría haber utilizado otro valor cercano:
Rentabilidad = TIR.NO.PER (- 890.000,50.000…,1.050.000;15/09/2009…4/02/2013;0,12)
Rentabilidad = 15,17%
EJERCICIOS PARA RESOLVER
1. Considere los dos proyectos de inversión A y B, con los flujos de fondos que se
muestran en el Cuadro 4.28, donde también se presenta la alternativa incremental (B-A); los dos proyectos son mutuamente excluyentes:
ALFAOMEGA
t
FAC U LTA D D E A D M I N I S T R AC I Ó N / U N I A N D E S
[129]
Capítulo 4
Cuadro 4.28
Año
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Proyecto A
Proyecto B
-400.000
190.000
195.700
201.571
207.618
213.847
220.262
226.870
233.676
240.686
247.907
-400.000
165.000
178.200
192.456
207.852
224.481
242.439
261.834
282.781
305.403
329.836
(B-A)
0
-25.000
-17.500
-9.115
234
10.634
22.177
34.964
49.105
64.717
81.929
a) Grafique el valor presente neto de los dos proyectos.
Figura 4.18
2.500.000
2.000.000
1.500.000
1.000.000
500.000
0
0%
-500.000
20%
40%
60%
80%
100%
VPN(A)
VPN(B)
b) Calcule el valor presente neto y la tasa interna de retorno para los dos proyectos; la tasa de interés de oportunidad es del 25%. ($339.011,99,
$345.593,23).
c) ¿Cuál sería el proyecto a seleccionar, si los dos proyectos son mutuamente
excluyentes? (Selección, B).
2. Para el problema anterior y utilizando la tasa interna de retorno, llegue al ordenamiento correcto de las dos alternativas de inversión.
3. Para el problema 1, ¿cuál sería la rentabilidad anual de los $400.000 durante los
10 años, si la tasa de interés de oportunidad, a la cual se reinvierten los flujos de
[130]
JAVIER SERR ANO
Ejercicios para resolver
fondos liberados por el proyecto, es del 25% efectivo anual? (Rentabilidad del
proyecto A: 32,91%, rentabilidad de B: 33,03%).
4. Considere los dos proyectos de inversión que se muestran en el Cuadro 4.29, si
ambos son mutuamente excluyentes; la tasa de interés de oportunidad es del
25% efectivo anual.
a) Calcule el valor presente neto de los dos proyectos. ($344.564,44,
$403.749,70).
b) Calcule la tasa interna de retorno de los dos proyectos. (51,27%, 46,04%).
c) ¿Cómo se compara el ordenamiento a través del valor presente neto, con el
que se obtiene a través de la tasa interna de retorno? (Contradictorio, orden
por valor presente neto: B, A; orden por tasa interna de retorno: A, B).
d) Calcular la relación beneficio - costo para los dos proyectos. (1,91, 1,80).
e) ¿Cuál sería la selección adecuada entre los dos proyectos, si son mutuamente excluyentes? Justifique su respuesta. (B, porque tiene un mayor presente neto).
Cuadro 4.29
Año
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Proyecto A
Proyecto B
-375.000
185.000
190.550
196.267
202.154
208.219
214.466
220.900
227.527
234.352
241.383
-500.000
200.000
216.000
233.280
251.942
272.098
293.866
317.375
342.765
370.186
399.801
(B-A)
-125.000
15.000
25.450
37.014
49.788
63.879
79.400
96.475
115.238
135.834
158.418
5. Para el problema anterior y utilizando la tasa interna de retorno, llegue al ordenamiento correcto de las dos alternativas de inversión.
6. Para el proyecto del problema 4, ¿cuál sería la rentabilidad anual de los $500.000
durante los 10 años, si la tasa de interés de oportunidad, a la cual se reinvierten
los flujos de fondos liberados por el proyecto, es del 25% efectivo anual?
(29,63%, 32,62%).
7. Considere los tres proyectos de inversión que se muestran en el Cuadro 4.30, con
la misma vida útil a 6 años, pero con montos de inversión diferentes; la tasa de
interés de oportunidad es del 25% y los tres proyectos son mutuamente excluyentes.
ALFAOMEGA
t
FAC U LTA D D E A D M I N I S T R AC I Ó N / U N I A N D E S
[131]
Capítulo 4
Cuadro 4.30
Año
0
1
2
3
4
5
6
Proyecto A
Proyecto B
Proyecto C
-400.000
-600.000
-800.000
200.000
250.000
300.000
280.000
350.000
420.000
392.000
490.000
588.000
548.800
686.000
823.200
768.320
960.400
1.152.480
1.075.648
1.344.560
1.613.472
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
[132]
a) ¿Cuál es el valor presente neto para cada uno de los tres proyectos?
($898.430,25, $1.123.037,81, $1.147.645,37).
b) ¿Cuál es la tasa interna de retorno para cada uno de los tres proyectos?
(78,27%, 67,42%, 61,71%).
c) ¿Cuál es la relación beneficio-costo para cada uno de los tres proyectos?
(3,24, 2,70, 2,43).
d) ¿Cuál sería el ordenamiento correcto de los tres proyectos? Justifique su respuesta. (C, B, A, por el criterio del valor presente neto).
Para los tres proyectos considerados en el problema 7, llegue al ordenamiento
correcto utilizando análisis incremental y la tasa interna de retorno. (Orden por
análisis incremental: C, B, A; orden por tasa interna de retorno: A, B, C).
Para el problema 7, ¿cuál sería la rentabilidad anual de los $800.000 durante los
6 años? (35,50%, 40,64%, 44,98%).
Calcule el costo efectivo de un préstamo, que es pactado a un interés del 32%
nominal anual y plazo de un año, para las siguientes dos condiciones:
a) Si los intereses se pagan:
- Trimestre anticipado (39,58%).
- Quincena anticipada (38,00%).
b) ¿Cuál será si a las condiciones iniciales (trimestre anticipado) se agrega el
pago de una comisión por estudio del crédito del 1%, cobrada anticipadamente? (41,32%).
¿Cuál es el costo efectivo anual de un crédito ordinario con las siguientes condiciones?
Interés: 30% nominal anual trimestre anticipado.
Plazo: 2 años.
Comisión de manejo: 2% pagadera anticipadamente, una sola vez.
Amortización: la deuda se amortiza semestralmente a partir del final del cuarto
trimestre y los intereses se pagan sobre saldo. (39,05%).
¿Cuál es la rentabilidad de un CDT (Certificado de Depósito a Término) que paga
un interés del 6% NASV, emitido a 6 meses, si se compra por un 92,50% de su
valor nominal? (23,99%).
El propietario de un CDT que paga un interés del 6% NASV, cuyo vencimiento es
dentro de 13 días le propone que usted se lo descuente (compre) por un valor
igual al 99% de su valor nominal. ¿Le interesaría el negocio? ¿Qué rentabilidad
efectiva obtendría? (204,07%).
¿Cuánto debería ofrecer por un CDT al que le faltan 48 días para su vencimiento? El CDT fue emitido inicialmente a 90 días, con un interés del 14% nominal
JAVIER SERR ANO
Ejercicios para resolver
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
anual pagadero mes vencido. El objetivo es obtener en la transacción una rentabilidad efectiva del 24% anual. (99,48%).
¿Cuánto debería ofrecer por un CDT emitido en las siguientes condiciones nominales?
Interés: 18% pagadero trimestre anticipado
Plazo: 90 días
Valor nominal: $1.000.000
Al certificado le faltan 52 días para su madurez. El objetivo es obtener una rentabilidad efectiva anual del 24%. ($969.818,80).
¿Cuánto se debe ofrecer por un CDT emitido en las siguientes condiciones?:
Interés: 17% nominal anual pagadero mes vencido
Plazo: 90 días
Valor nominal: $10.000.000
Actualmente le faltan 37 días para su madurez. El objetivo es obtener una rentabilidad efectiva anual del 23%. ($10.072.166,66).
¿Cuál es la rentabilidad en pesos de un bono en dólares emitido a 2 años, con un
interés del 7% nominal anual, pagadero trimestre vencido, el cual se compra a un
98,5% de su valor nominal? La devaluación efectiva esperada para los próximos
2 años es del 12% anual. (21,01%).
¿Cuál es el costo de una financiación en dólares otorgada en las siguientes condiciones?
Interés: “Prime” más dos puntos y medio (Prime+2,5), pagaderos trimestre vencido sobre saldo
Amortización: semestral
Plazo: 4 años
Período de gracia: 1 año
Adicionalmente se cobra un gasto administrativo del 1,5% anual sobre el saldo al
comienzo del mismo período. La devaluación efectiva esperada para los próximos
años es del 12% anual. (25,32%).
¿Cuál es la rentabilidad de un bono en pesos, emitido a 3 años, que paga un interés del 18% nominal anual pagadero trimestre vencido, el cual se compra a un
98% de su valor nominal? (20,27%).
Para el problema anterior, ¿cuánto debería ofrecer por el bono, cuando le faltan
187 días para su vencimiento, si el objetivo es obtener una rentabilidad efectiva
anual del 23,5%? (102,52%).
Una compañía de leasing lo contrató a usted para que realice los cálculos necesarios para desarrollar su “Tabla de precios” (tarifas) oficial. El objetivo de la
compañía es obtener en todas sus operaciones una rentabilidad efectiva anual del
32% antes de impuestos. Se cobran las cuotas mensualmente de manera anticipada y se ofrecen contratos de arrendamiento a 24 y 36 meses con opciones de
compra (valor residual) al final del contrato del 5% o 10% a libre escogencia del
cliente.
Asuma que el cliente paga el valor residual un mes después del último canon de
arrendamiento.
ALFAOMEGA
¬
t
FAC U LTA D D E A D M I N I S T R AC I Ó N / U N I A N D E S
[133]
Capítulo 4
(Cuota: mes anticipado, 24 meses, valor residual del 5% = 5,21%; cuota: mes
anticipado, 24 meses, valor residual del 10% = 5,05%; cuota: mes anticipado, 36
meses, valor residual del 5% = 3,95%, y cuota: mes anticipado, 36 meses, valor
residual del 10% = 3,87%).
22. Una empresa productora de carnes frías emitió bonos en las siguientes condiciones:
Fecha de emisión: 26 de octubre de 1998
Fecha de vencimiento: 26 de octubre de 2001
Valor nominal; $100.000.000
Interés: 18% nominal anual pagadero semestre anticipado
Actualmente faltan 569 días para el vencimiento. ¿En cuánto se debe comprar el
bono en el mercado secundario para obtener una rentabilidad del 24% efectivo
anual? ($95.099.511,12).
23. Un constructor se encuentra indeciso sobre la forma de pago que más le conviene al vender una propiedad. Las alternativas son:
a) Pago de contado por valor de $35.000.000.
b) Cuota inicial de $6.000.000 el 1º de abril, 12 cuotas mensuales (al final del
mes) de $1.500.000 y $17.500.000 al final del mes 12.
c) 4 cuotas de $6.000.000 pagaderas trimestre anticipado a partir del 1º de abril
y $17.500.000 el 1º de abril del siguiente año.
Los pagos que se reciben se invierten a una tasa de interés efectiva anual del
20%. ¿Cuál es la mejor decisión para el constructor? (Mejor decisión: alternativa
C, maximiza el valor presente neto: $37.026.391,35).
24. Un préstamo en dólares por valor de US$ 200.000 a 18 meses, con un interés
nominal igual a Prime + 2, se va a amortizar totalmente al final de los 18 meses.
Los intereses se cobran mensualmente; además se cobra una comisión del 1,5%
al comienzo del préstamo por una sola vez. Suponga una tasa Prime nominal
anual del 7,5% y una devaluación efectiva anual del 12%. ¿Cuál sería el costo
del préstamo en pesos? (24,44%).
[134]
JAVIER SERR ANO
Capítulo 5
MATEMÁTICAS FINANCIERAS: RESUMEN A TRAVÉS
DE PROBLEMAS AVANZADOS
Los capítulos 2, 3 y 4 muestran las principales relaciones que comprenden las bases
de las finanzas y que se conocen usualmente como matemáticas financieras. Su derivación es bastante sencilla; sin embargo, su utilización requiere la familiarización con
la correcta aplicación de esas relaciones, especialmente con los supuestos inherentes a
cada una de las fórmulas derivadas, que solamente se adquiere con la realización de
muchos ejercicios. En este capítulo y a manera de resumen de las relaciones conocidas
como matemáticas financieras, se presenta un conjunto de problemas de mayor dificultad que permiten interrelacionar las diferentes expresiones derivadas paulatinamente a lo largo de los capítulos 2, 3 y 4 anteriores. El objetivo es dar una visión
integral de las matemáticas financieras, independientemente del orden en el cual fueron derivadas, y preparar al lector, a manera de repaso, para los siguientes capítulos.
TASAS DE INTERÉS: NOMINALES Y EFECTIVAS
En el Capítulo 3 se dedujeron y aplicaron las relaciones que permiten encontrar el
interés efectivo equivalente a un interés nominal pagadero período vencido o período
anticipado, y se propusieron varios ejemplos que ilustran aplicaciones que se presentan con frecuencia. En este capítulo, a modo de ilustración, se ofrecen cuatro ejemplos que resumen lo expuesto en el Capítulo 3.
Ejemplo 5.1
Encontrar el interés que, pagadero trimestre anticipado, es equivalente a un interés
del 16% nominal anual pagadero mes vencido.
El primer paso para resolver este problema es encontrar el interés efectivo correspondiente a un interés del 16% nominal anual pagadero mes vencido. Para ello, se aplica
la fórmula que relaciona el interés efectivo con un interés pagado periódicamente;
esto es:
§
§ 0,16
i e = (1 + i p ) #periódos - 1 = ¨¨ 1 + ¨
© 12
©
··
¸ ¸¸
¹¹
12
- 1 = (1 + (0,01333))
12
- 1 = 0,17227
De igual forma se encuentra el interés periódico que, pagadero trimestre vencido, es
equivalente a un interés del 17,227% efectivo anual.
[135]
Capítulo 5
itv = (1+0,17227)(1/4) –1 = 0,040535
Ahora se encuentra el interés trimestral, pagadero trimestre anticipado, equivalente a
un interés del 4,0535%:
ita =
itv
0,040535
=
= 0,038956
(1+ itv ) (1+ 0,040535)
Por lo tanto, un interés del 15,5826%, pagadero trimestre anticipado, es equivalente
a un interés del 16% nominal anual pagadero mes vencido, en la medida en que ambos tienen el mismo interés efectivo.
Ejemplo 5.2
Construir una tabla que permita encontrar equivalencias entre diferentes modalidades
de pagos, para un mismo interés vencido. La tabla se debe construir para un rango de
intereses que fluctúe entre el 12% y el 24% efectivo, con incrementos del 2%. Los
resultados se muestran en el Cuadro 5.1 y se obtuvieron aplicando las relaciones derivadas en el Capítulo 3. A manera de ejemplo, un interés del 14,570% nominal anual
pagadero trimestre anticipado es equivalente a un interés del 15,121% nominal anual
pagadero trimestre vencido, ya que ambos tienen el mismo interés efectivo del 16%.
Los resultados se presentan en el Cuadro 5.1:
Cuadro 5. 1
Tasa de interés efectiva
Frecuencia
Frecuencia 12,000% 14,000% 16,000% 18,000% 20,000% 22,000% 24,000%
1
2
4
12
24
365
AV
SV
TV
MV
QV
DV
Interés nominal, pagadero período vencido
12,000% 14,000% 16,000% 18,000% 20,000%
11,660% 13,542% 15,407% 17,256% 19,089%
11,495% 13,320% 15,121% 16,899% 18,654%
11,387% 13,175% 14,934% 16,666% 18,371%
11,360% 13,139% 14,888% 16,609% 18,302%
11,335% 13,105% 14,845% 16,555% 18,237%
22,000%
20,907%
20,388%
20,051%
19,968%
19,891%
24,000%
22,711%
22,100%
21,705%
21,608%
21,517%
365
24
12
4
2
1
DA
QA
MA
TA
SA
AA
Interés nominal, pagadero período anticipado
11,331% 13,100% 14,839% 16,548% 18,228%
11,306% 13,067% 14,796% 16,495% 18,163%
11,280% 13,032% 14,751% 16,438% 18,094%
11,174% 12,891% 14,570% 16,214% 17,823%
11,018% 12,683% 14,305% 15,885% 17,426%
10,714% 12,281% 13,793% 15,254% 16,667%
19,880%
19,803%
19,721%
19,399%
18,929%
18,033%
21,505%
21,415%
21,319%
20,943%
20,395%
19,355%
[136]
JAVIER SERR ANO
Tasas de interés: nominales y efectivas
Ejemplo 5.3
¿Cuál es el interés nominal anual que, pagadero mes vencido, es equivalente a un
interés del 13% nominal anual trimestre vencido?
Interés solicitado: NA MV
Interés nominal dado:13,00% NA TV
Interés trimestral (vencido): 3,25%
Relación básica: (1+ ie) = (1+ipv)Número de períodos
a) Interés efectivo correspondiente a un interés del 13,00% NATV
(1+ ie) = (1+itv)4
ie = 13,648%
b) Interés mes vencido equivalente a un interés efectivo del 13,648%
(1+ 0,13648) = (1+imv) 12
imv = (1,13648)(1/12) - 1 = 1,0718%
c) Interés solicitado
NA MV = 12* 1,0718% = 12,86%
d) Comprobación:
Ambas modalidades de interés son equivalentes, porque tienen el mismo interés
efectivo:
NA TV: 13,00%; Efectivo:13,648%,
NA MV: 12,86%; Efectivo:13,648%
Ejemplo 5.4
¿Cuál es el interés nominal anual que pagadero trimestre vencido es equivalente a un
interés del 11% nominal anual pagadero día vencido?
Interés solicitado: NA TV
Interés nominal dado: 11,00% NA DV
Interés diario: 0,0301% DV
ALFAOMEGA
t
FAC U LTA D D E A D M I N I S T R AC I Ó N / U N I A N D E S
[137]
Capítulo 5
Fórmula básica
Relación básica: (1+ ie) = (1+ipv) Número de períodos
a) Interés efectivo correspondiente a un interés del 11,00% NA DV
(1+ ie) = (1+idv)365
ie = 11,626%
(1+ 0,11626) = (1+itv) 4
itv = (1,11626)(1/4) - 1 = 2,7877%
b) Interés solicitado
NA TV = 4* 2,7877 =11,15%
c) Comprobación
Ambos son equivalentes, porque tienen el mismo interés efectivo
NA DV: 11,00%; efectivo: 11,626%
NA TV: 11,15%; efectivo: 11,626%
RELACIONES BÁSICAS Y TASAS EFECTIVAS
Las relaciones de equivalencia presentadas en los capítulos 2 y 3 constituyen las bases
de las matemáticas financieras; el desarrollo moderno de las herramientas de computación, especialmente las hojas de cálculo, facilita la realización de cómputos que de
otra manera serían complejos y tomarían un tiempo apreciable. La derivación de las
relaciones de equivalencia se hizo en una forma independiente de la expresión de las
tasas de interés en términos anuales, ya sea en términos de intereses efectivos o de
intereses nominales pagaderos período vencido. En los dos problemas que se presentan a continuación se hace una integración de las principales relaciones de equivalencia y de las tasas de interés expresadas inicialmente en períodos diferentes: períodos
mensuales y tasas anuales. Como se explicó las fórmulas de equivalencia se pueden
aplicar a cualquier período (día, mes, año, etc.) siempre y cuando se mantenga una
consistencia con la tasa de interés que se está utilizando.
[138]
JAVIER SERR ANO
Relaciones básicas y tasas efectivas
Ejemplo 5.5
Un fondo de inversión reconoce un interés efectivo del 13% anual; se van a hacer 96
depósitos mensuales al fondo durante los próximos 8 años, por valor de $800.000
cada uno; el primer depósito se hace dentro de un mes y así sucesivamente hasta finalizar el año 8. ¿Cuál sería la cantidad acumulada al final de los 8 años?
Interés efectivo: 13% anual
Número de años: 8
Número de depósitos a realizar: 96
Valor de cada depósito: $800.000, vencido, al final de cada mes
a) Conversión del interés efectivo en un interés mensual
Relación básica: (1+ ie) = (1+ipv) Número de períodos
Para el caso mensual: (1+ ie) = (1+imv)12
Por lo tanto, Interés mensual (vencido), imv = (1+ ie)(1/12) – 1 = 1,0237%
b) Valor futuro de una serie uniforme
FN = Depósito * [(1+imv)N - 1]/imv
F96 = 800.000 * [(1+imv)96 - 1]/imv
F96 = 800.000 * [(1+0,010237)96 - 1] / 0,010237
F96 = 800.000 * 162,01 = 129.605.893
c) Utilización de la función “Valor futuro” de Excel
El mismo valor se hubiera podido encontrar utilizando la función de valor futuro
de Excel.
F96 = - FV (Tasa de interés; Número de períodos; valor del pago mensual)
F96 = - FV (1,0237%; 96; 800.000) = 129.605.893
Ejemplo 5.6
¿Cómo cambia la respuesta a la pregunta anterior si los depósitos se hacen anticipados, esto es, el primer depósito se hace hoy (fecha cero) y así sucesivamente, y el
ALFAOMEGA
t
FAC U LTA D D E A D M I N I S T R AC I Ó N / U N I A N D E S
[139]
Capítulo 5
depósito 96 que es el último, se hace al finalizar el mes 95 (comienzo del mes 96),
(las demás condiciones permanecen iguales)?
En la Figura 5.1 se muestra la diferencia en los diagramas de flujos entre la situación
planteada en este problema y la del problema anterior:
Figura 5.1
Si nos situamos en la fecha -1, en el diagrama de flujo correspondiente a este problema (segundo), se tienen 96 pagos iguales que acumularían al final del mes 95 la
misma suma que se calculó en el problema anterior, pero en el mes 96. Por ello, para
llevar al mes 96, lo único que se tendría que hacer es llevar el valor acumulado al final
del mes 95 al mes 96, multiplicando por (1+imv).
Por lo tanto,
ª
[(1 + imv) 96 - 1] º
» * (1 + 0,010237)
F96 = «800.000 *
imv
»¼
«¬
F96 = 129.605.893 * 1,010237 = 130.932.648
El mismo valor se hubiera podido encontrar utilizando la función “Valor futuro” de
Excel.
F96 = -FV (tasa de interés; número de períodos; valor del pago mensual; 1)
El 1 como argumento al final del conjunto de parámetros, indica que los pagos son
anticipados, que corresponde exactamente a lo propuesto en este problema.
F96 = -FV (1,0237%; 96; 800.000; 1) = 130.392.648
Este problema se puede resolver a través de otros esquemas que son equivalentes; el
más extenso, llevando cada pago a valor futuro, lo cual se puede hacer en una forma
muy fácil en Excel. Otra alternativa, sería llevar el primer pago a valor futuro, los 59
restantes a valor futuro al final del mes 59 utilizando la forma de una serie uniforme
[140]
JAVIER SERR ANO
Indicadores de la bondad económica de un proyecto de inversión
con 59 pagos, llevar nuevamente el valor resultante al mes 60 y sumar el valor futuro
equivalente al primer pago; brevemente:
F96,1 = 800.000 * (1+0,010237)96 = 2.126.755
ª
[(1+ 0,010237) 95 - 1] º
F96,2 = «800.000 *
» * (1+ 0,010237) = 128.805.893
0,010237
¬«
¼»
F96 = 2.126.755 + 128.805.893 = 130.932.648
INDICADORES DE LA BONDAD ECONÓMICA
DE UN PROYECTO DE INVERSIÓN
Los dos indicadores principales para medir la bondad de una inversión, valor presente
neto y tasa interna de retorno cubiertos en el Capítulo 4, tienen un amplio campo de
aplicación en problemas de la vida real, ya sea para encontrar precios actuales de activos financieros, valor económico agregado por decisiones de inversión o simplemente la rentabilidad de decisiones gerenciales. En los siguientes dos ejemplos se revisa el
cálculo de los indicadores, su interpretación, su aplicación, y se derivan otros indicadores de rentabilidad como la rentabilidad media o verdadera, que combina la rentabilidad interna del proyecto con la rentabilidad externa, medida esta última a través
de la tasa de interés de oportunidad (TIO).
Ejemplo 5.7
Considere el siguiente proyecto de inversión, con una vida útil de 10 años y los flujos
de caja libre para el proyecto que se muestran en el Cuadro 5.2:
Cuadro 5.2
Año
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Proyecto A
Flujos
-150.000.000
35.000.000
40.000.000
44.000.000
50.000.000
60.000.000
70.000.000
80.000.000
90.000.000
105.000.000
125.000.000
ALFAOMEGA
t
FAC U LTA D D E A D M I N I S T R AC I Ó N / U N I A N D E S
[141]
Capítulo 5
La tasa de interés de oportunidad del inversionista (TIO) es del 20%
a) ¿Cuál es el valor presente neto del proyecto?
b) ¿Cuál es la tasa interna de retorno?
c) ¿Cuál es la interpretación del valor presente neto que usted encontró en a)?
d) ¿Cuánto acumula al final del año 10 un inversionista a través del proyecto y de
las oportunidades convencionales?
e) ¿Cuál es la rentabilidad verdadera del inversionista para su inversión de
$150.000.000, a través de lo que permite el proyecto y lo que él puede hacer por
fuera del proyecto?
f) ¿Por qué la diferencia entre el valor encontrado en e) y el encontrado en b)? 4PMVDJØO
En el Cuadro 5.3 se muestran los cálculos necesarios para dar respuesta a las preguntas solicitadas:
Cuadro 5.3
Año
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
TIO=
VPN(i=TIO)
TIR =
Proyecto A
Flujos
-150.000.000
35.000.000
40.000.000
44.000.000
50.000.000
60.000.000
70.000.000
80.000.000
90.000.000
105.000.000
125.000.000
20.00%
87.871.131
32,18%
Valor presente
Flujo individual
-150.000.000
29.166.667
27.777.778
25.462.963
24.112.654
24.112.654
23.442.858
22.326.532
20.931.124
20.349.703
20.188.198
87.871.131 Acum10 =
RV =
Acumulación al
final del año 10
180.592.312
171.992.678
157.659.955
149.299.200
149.299.200
145.152.000
138.240.000
129.600.000
126.000.000
125.000.000
1.472.835.346
25,66%
Rentabilidad
verdadera
-150.000.000
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1.472.835.346
25,66%
a) El valor presente neto del proyecto es igual a $87.871.131. Para su cálculo se
utilizó la función de valor presente neto (VNA en español) de Excel, utilizando
como tasa de descuento la TIO del 20%.
b) La tasa interna de retorno es igual al 32,18% y corresponde a la rentabilidad interna del proyecto; para su cálculo se utilizó la función TIR de Excel.
[142]
JAVIER SERR ANO
Indicadores de la bondad económica de un proyecto de inversión
c) La interpretación del valor presente neto encontrado en a) corresponde a un valor económico adicional en la fecha cero, que el proyecto en estudio le agregaría
a la empresa, frente a las inversiones convencionales que generan una rentabilidad del 20%. Lo anterior significa que si las oportunidades convencionales generan un valor económico igual a Z, este proyecto genera Z + $87.871.131 en
términos de valor económico.
d) La penúltima columna muestra la cantidad acumulada al final del año 10, por
cada flujo que libera el proyecto, reinvertido a la tasa de interés de oportunidad.
A manera de ejemplo, para el flujo liberado al final del año 5:
AC10 = 60.000.000 * (1+0,20)5 = 149.299.200
Procediendo de igual forma para cada flujo y sumando, se obtiene:
AC10 = 1.472.835.346
e) Para encontrar la rentabilidad verdadera, se debe encontrar la tasa de interés que
permite acumular la cifra anterior ($1.472.835.346), partiendo de una inversión
de $150.000.000, esto es:
150.000.000 * (1+Rv)10 =1.472.835.346
Despejando, se obtiene:
Rv = (1.472.835.346/150.000.000)(1/10) -1 = 25,66%
El mismo valor se puede obtener encontrando la tasa interna de retorno (TIR) del
flujo que se muestra en la última columna, lo cual da nuevamente 25,66%.
Así mismo, el valor anterior se puede obtener aplicando directamente la función
de tasa de interés modificada (TIRM) al flujo original (flujos del proyecto A); esto
es:
RV = TIRM(valores; tasa de financiamiento; tasa de reinversión)
RV = TIRM(35.000:125.000.000; 0; 0,20) = 25,66%
f) La tasa encontrada en b) es una rentabilidad interna del proyecto; es lo que el
proyecto le permite generar a 1 peso, mientras el mismo se encuentre invertido
en el proyecto. La rentabilidad verdadera es un promedio entre lo que renta internamente el proyecto y lo que se puede hacer por fuera del proyecto, esto es,
reinvertir los flujos liberados a la tasa de interés de oportunidad (20%).
ALFAOMEGA
t
FAC U LTA D D E A D M I N I S T R AC I Ó N / U N I A N D E S
[143]
Capítulo 5
Ejemplo 5.8
Considere los dos proyectos de inversión A y B, mutuamente excluyentes, que se
muestran en el Cuadro 5.4, donde también se muestran los resultados de los cálculos
para el valor presente neto calculado para una TIO del 18% y la tasa interna de retorno, cálculos que se deben verificar. Como se muestra, el ordenamiento o selección
que produce el valor presente neto es diferente al ordenamiento o selección que produce la tasa interna de retorno.
a) ¿Cuál ordenamiento es el correcto? ¿Por qué?
b) ¿Cuál es la suma que permite acumular cada proyecto y las oportunidades convencionales?
c) ¿Cuál es la rentabilidad verdadera del inversionista para su inversión de
$150.000.000, a través de lo que permite hacer cada proyecto y lo que él puede
hacer por fuera del proyecto?
Cuadro 5.4
Año
Proyecto A
Flujos
Proyecto B
Flujos
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
-150.000.000
35.000.000
40.000.000
44.000.000
50.000.000
60.000.000
70.000.000
80.000.000
90.000.000
105.000.000
-150.000.000
20.000.000
30.000.000
35.000.000
45.000.000
50.000.000
70.000.000
95.000.000
120.000.000
170.000.000
10
125.000.000
190.000.000
TIO=
20.00%
VPN (i=TIO)=
TIR =
87.871.131
32,18%
91.046.876
30,39%
4PMVDJØO
En el Cuadro 5.5 se muestran los cálculos necesarios para responder a las preguntas:
[144]
JAVIER SERR ANO
Indicadores de la bondad económica de un proyecto de inversión
Cuadro 5.5
Año
Proyecto A
flujos
Proyecto B
flujos
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
150.000.000
35.000.000
40.000.000
44.000.000
50.000.000
60.000.000
70.000.000
80.000.000
90.000.000
105.000.000
125.000.000
-150.000.000
20.000.000
30.000.000
35.000.000
45.000.000
50.000.000
70.000.000
95.000.000
120.000.000
170.000.000
190.000.000
TIO=
Valor presente
flujo individual
Proyecto A
-150.000.000
29.166.667
27.777.778
25.462.963
24.112.654
24.112.654
23.442.858
22.326.532
20.931.124
20.349.703
20.188.198
Valor presente
flujo individual
Proyecto B
-150.000.000
16.666.667
20.833.333
20.254.630
21.701.389
20.093.879
23.442.858
26.512.756
27.908.165
32.947.139
30.686.061
91.046.876
87.871.131
Acum10 =
RV =
Acumulación al
final del año 10
Proyecto A
Acumulación al
final del año 10
Proyecto B
180.592.312
171.992.678
157.659.955
149.299.200
149.299.200
145.152.000
138.240.000
129.600.000
126.000.000
125.000.000
103.195.607
128.994.509
125.411.328
134.369.280
124.416.000
145.152.000
164.160.000
172.800.000
204.000.000
190.000.000
1.472.835.346
25,66%
1.492.498.724
25,83%
20,00%
VPN(i=TIO)
TIR =
87.871.131
32,18%
91.046.876
30,39%
a) El ordenamiento correcto es el que produce el valor presente neto, ya que tiene
implícito el supuesto correcto, esto es, que los flujos que libera el proyecto se reinvierten a la tasa de interés de oportunidad (TIO). Como se verá posteriormente, este ordenamiento coincide con el de la rentabilidad verdadera o rentabilidad
media.
b) En el cuadro se muestran los cálculos intermedios y el resultado final para cada
proyecto:
ACA,10 = $1.472.835.346
ACB,10 = $1.492.498.724
La acumulación a través del proyecto B es mayor que la acumulación a través
del proyecto A.
c) Encontrar la rentabilidad verdadera del inversionista para su inversión de
$150.000.000, para ello se resuelve en cada caso la ecuación:
150.000.000 * (1+RVA)10 =1.472.835.346
150.000.000 * (1+RVB)10 =1.492.498.724
Por lo tanto,
RVA = 25,66%
RVB = 25,83%
ALFAOMEGA
t
FAC U LTA D D E A D M I N I S T R AC I Ó N / U N I A N D E S
[145]
Capítulo 5
AMORTIZACIÓN Y REESTRUCTURACIÓN DE CRÉDITOS
La determinación de la cuota a pagar para amortizar un crédito es un problema relativamente sencillo, que requiere un trabajo adicional bastante importante para descomponer la cuota mensual en intereses y amortización a capital. Hay que recordar
que el valor total de la cuota afecta el flujo de caja de un proyecto o de una empresa;
sin embargo, solamente los intereses hacen parte del estado de pérdidas y ganancias
(gastos financieros) y son deducibles de impuestos. En los siguientes cinco ejemplos
se ilustra el cálculo de la cuota mensual y su descomposición en intereses y amortización a capital.
Ejemplo 5.9
Suponga un crédito a 5 años, con un interés efectivo del 20% anual, y 60 pagos
mensuales iguales al final de cada mes (cuota uniforme). El valor del crédito es de
$60.000.000. ¿Cuál sería la cuota mensual?
Para calcular la cuota mensual se debe tener en cuenta que las 60 cuotas mensuales
traídas a valor presente a una tasa mensual equivalente a un 20% efectivo anual,
tienen que ser iguales al monto del crédito. En otras palabras, se trata de calcular el
valor presente correspondiente a una serie uniforme de 60 pagos, que sea igual a
$60.000.000, utilizando una tasa de interés mensual equivalente a una tasa efectiva
anual del 20%. Esta tasa mensual es del 1,5309%. Por lo tanto:
60.000.000 = Cuota mensual *
[(1+ 0,015309)60 - 1]
[0,015309* (1+ 0,015309)60 ]
60.000.000 = Cuota mensual * 39,068786
Cuota mensual = 1.535.752,84
El valor de la cuota anterior se podría haber calculado directamente utilizando la función de pago de Excel: PAGO(0,015309,60,60.000.000).
Ejemplo 5.10
Descomponer el valor de la cuota mensual del problema anterior entre intereses y
amortización a capital.
Para la descomposición de la cuota en intereses y amortización a capital hay que
construir una tabla como la que se muestra en el Cuadro 5.6, en la cual del valor de la
cuota mensual se resta el monto de los intereses mensuales a pagar, sobre saldo al
comienzo del período. A manera de ejemplo, al comienzo del mes 15, el saldo del
crédito era de $50.444.636; si se aplica un interés del 1,5309% mensual sobre este
saldo, el valor de los intereses mensuales sería de $772.281. El valor de la cuota uni
[146]
JAVIER SERR ANO
Amortización y reestructuración de créditos
forme es de $1.535.753; por lo tanto la amortización a capital durante el mes 15 corresponde a la diferencia ($1.535.753-$772.281), para un valor de $763.472; de
igual forma se hace la descomposición entre intereses y amortización a capital, para
cualquier mes durante la vigencia del crédito. Como se mencionó, los gastos financieros son los únicos deducibles de impuestos.
Para encontrar el valor correspondiente al pago de intereses y a la amortización de
capital se podrían haber utilizado respectivamente las dos fórmulas de Excel,
PAGOINT y PAGOPRIN.
PAGOINT(0,015309;15;60;60.000.000) = 772.281
PAGOPRIN(0,015309;15;60;60.000.000) = 763.472
Cuadro 5.6
Cuota
Valor
Cuota
Saldo
Crédito
Interés
Amortización
Cuota
a capital
Valor
Cuota
Saldo
Crédito
Interés
Amortización
a capital
1
1.535.753
59.382.815
918.568
617.185
2
1.535.753
58.756.182
909.119
626.633
31
1.535.753
35.747.524
562.181
973.572
32
1.535.753
34.759.047
547.276
3
1.535.753
58.119.955
899.526
988.477
636.227
33
1.535.753
33.755.437
532.143
1.003.610
4
1.535.753
57.473.988
5
1.535.753
56.818.131
889.786
645.967
34
1.535.753
32.736.462
516.778
1.018.975
879.896
655.857
35
1.535.753
31.701.887
501.178
6
1.535.753
1.034.575
56.152.234
869.856
665.897
36
1.535.753
30.651.473
485.339
7
1.050.414
1.535.753
55.476.142
859.661
676.092
37
1.535.753
29.584.978
469.258
1.066.495
8
1.535.753
54.789.700
849.310
686.442
38
1.535.753
28.502.155
452.930
1.082.823
9
1.535.753
54.092.748
838.801
696.952
39
1.535.753
27.402.755
436.353
1.099.400
10
1.535.753
53.385.127
828.131
707.622
40
1.535.753
26.286.524
419.522
1.116.231
11
1.535.753
52.666.672
817.298
718.455
41
1.535.753
25.153.204
402.433
1.133.320
12
1.535.753
51.937.218
806.299
729.454
42
1.535.753
24.002.533
385.082
1.150.671
13
1.535.753
51.196.596
795.131
740.622
43
1.535.753
22.834.247
367.466
1.168.287
14
1.535.753
50.444.636
783.793
751.960
44
1.535.753
21.648.074
349.580
1.186.173
15
1.535.753
49.681.164
772.281
763.472
45
1.535.753
20.443.742
331.421
1.204.332
16
1.535.753
48.906.003
760.592
775.161
46
1.535.753
19.220.972
312.983
1.222.770
17
1.535.753
48.118.976
748.725
787.028
47
1.535.753
17.979.482
294.263
1.241.490
18
1.535.753
47.319.899
736.676
799.077
48
1.535.753
16.718.985
275.256
1.260.497
19
1.535.753
46.508.588
724.443
811.310
49
1.535.753
15.439.191
255.959
1.279.794
20
1.535.753
45.684.857
712.022
823.731
50
1.535.753
14.139.804
236.366
1.299.387
21
1.535.753
44.848.516
699.411
836.342
51
1.535.753
12.820.524
216.473
1.319.280
22
1.535.753
43.999.370
686.607
849.146
52
1.535.753
11.481.047
196.275
1.339.477
23
1.535.753
43.137.224
673.607
862.146
53
1.535.753
10.121.063
175.769
1.359.984
24
1.535.753
42.261.879
660.408
875.345
54
1.535.753
8.740.258
154.948
1.380.805
25
1.535.753
41.373.133
647.007
888.746
55
1.535.753
7.338.314
133.809
1.401.944
26
1.535.753
40.470.781
633.401
902.352
56
1.535.753
5.914.907
112.346
1.423.407
27
1.535.753
39.554.615
619.586
916.167
57
1.535.753
4.469.708
90.554
1.445.199
28
1.535.753
38.624.422
605.560
930.193
58
1.535.753
3.002.384
68.429
1.467.324
29
1.535.753
37.679.989
591.319
944.433
59
1.535.753
1.512.596
45.965
1.489.788
30
1.535.753
36.721.096
576.861
958.892
60
1.535.753
23.157
1.512.596
0
Con frecuencia se presenta la necesidad de reestructurar un crédito una vez que ha
transcurrido un período de tiempo desde el momento del desembolso y la deuda se
ha estado sirviendo adecuadamente. La reestructuración puede consistir en cambiar
ALFAOMEGA
t
FAC U LTA D D E A D M I N I S T R AC I Ó N / U N I A N D E S
[147]
Capítulo 5
una o varias condiciones de las que fueron pactadas inicialmente (p. ej., plazo, tasa de
interés, modalidad de pago, modalidad de amortización).
Ejemplo 5.11
En el crédito del problema anterior, una vez que han transcurrido 26 meses desde el
desembolso, y se han hecho 26 pagos, se solicita una reestructuración del crédito,
para ampliar su plazo por cinco años más a partir de la finalización del mes 26 y disminuir la tasa de interés al 16% efectivo anual. ¿Cuál debería ser el monto de la cuota a pagar, si se mantiene el sistema de una cuota uniforme o constante, durante la
vigencia del crédito?
La tasa de interés del 16% efectiva anual es equivalente a una tasa de interés del
1,2445% mes vencido. El saldo del crédito al finalizar el mes 26, después de 26 pagos
mensuales, es de $40.470.781, tal y como se puede observar en la tabla que se construyó para el problema anterior. Hay que recordar que todo pago tiene dos componentes, uno de interés y otro de amortización a capital.
Por lo tanto, el valor del crédito, o sea el saldo por amortizar a la finalización del mes
26, una vez se ha hecho el correspondiente pago, es de $40.470.781, que sería el
monto a amortizar durante la vigencia del crédito reestructurado, esto es durante 5
años o 60 meses. Aplicando nuevamente la relación básica para encontrar el valor
presente de una cuota mensual uniforme o constante durante 60 meses, a una tasa
de interés mensual del 1,2445%, se obtiene el valor de la nueva cuota a pagar:
40.470.781 = Nueva cuota mensual *
[(1+ 0,012445) 60 - 1]
[0,012445 * (1+ 0,012445) 60 ]
Despejando, se obtiene el valor de la nueva cuota a pagar:
Nueva cuota a pagar: $961.399,05
Ejemplo 5.12
Un crédito por valor de $100.000.000 a 7 años, se va a pagar mensualmente, en pagos iguales, al final de cada mes, durante la vigencia del crédito (cuota constante). La
tasa de interés del crédito es del 21% nominal anual, trimestre vencido. ¿Cuál es el
valor de la cuota mensual?
Monto del crédito: $100.000.000
Tasa de interés: 21% NA TV
Plazo: 7 años
Plazo: 84 meses
[148]
JAVIER SERR ANO
Amortización y reestructuración de créditos
Tasa efectiva del crédito: 22,71%
Tasa mensual: 1,720%
Valor de la cuota anual:
100.000.000 = Cuota*
[(1+ imv ) 84 - 1]
[imv * (1+ imv ) 84 ]
100.000.000 = Cuota * 44,26
Valor de la cuota mensual: $2.259.490
Utilizando la función “Pago” de Excel:
Valor de la cuota = PAGO(1,720%;84;100.000.000) = $2.259.490
Ejemplo 5.13
¿Cómo se descompone la cuota número 50 del problema 5.12, entre amortización a
capital y pago de interés?
En el Cuadro 5.7 se muestra parcialmente un procedimiento para descomponer la
cuota pagada en pago de interés y amortización a capital; para el caso de la cuota del
mes 50, el valor de la cuota ($2.259.490) se descompone en pago de intereses
($1.015.684) y amortización a capital ($1.243.806).
En la Figura 5.2 se muestra la cuota, y su descomposición mes a mes, durante la vida
del crédito:
Figura 5.2
Descomposición de la cuota
ALFAOMEGA
t
FAC U LTA D D E A D M I N I S T R AC I Ó N / U N I A N D E S
[149]
Capítulo 5
La descomposición de cualquier cuota entre intereses y amortización a capital se puede realizar utilizando las dos funciones de Excel:
PAGOINT(tasa; período solicitado; número de períodos; monto)
PAGOINT(1,720%; 50; 84; 100.000.000) = $1.015.684
PAGOPRIN(tasa; período solicitado; número de períodos; monto)
PAGOPRIN(1,720%; 50; 84; 100.000.000) = $1.243.805
Cuadro 5.7
Año
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
81
82
83
84
Saldo comienzo mes
100.000.000
99.460.748
98.912.220
98.354.256
97.786.694
97.209.368
96.622.111
96.024.752
95.417.117
94.799.028
73.422.219
72.425.766
71.412.172
70.381.142
69.332.375
68.265.568
67.180.408
66.076.581
64.953.766
63.811.636
62.649.858
61.468.095
60.266.003
59.043.232
8.662.254
6.551.775
4.404.992
2.221.278
Cuota
2.259.490
2.259.490
2.259.490
2.259.490
2.259.490
2.259.490
2.259.490
2.259.490
2.259.490
2.259.490
2.259.490
2.259.490
2.259.490
2.259.490
2.259.490
2.259.490
2.259.490
2.259.490
2.259.490
2.259.490
2.259.490
2.259.490
2.259.490
2.259.490
2.259.490
2.259.490
2.259.490
2.259.490
Interés
1.720.238
1.710.962
1.701.526
1.691.927
1.682.164
1.672.233
1.662.130
1.651.854
1.641.402
1.630.769
1.263.037
1.245.896
1.228.459
1.210.723
1.192.682
1.174.330
1.155.663
1.136.675
1.117.359
1.097.712
1.077.727
1.057.398
1.036.719
1.015.684
149.011
112.706
75.776
38.211
Amortización
539.252
548.528
557.964
567.562
577.326
587.257
597.359
607.635
618.088
628.721
996.453
1.013.594
1.031.030
1.048.766
1.066.808
1.085.159
1.103.827
1.122.815
1.142.130
1.161.778
1.181.763
1.202.092
1.222.771
1.243.806
2.110.478
2.146.784
2.183.713
2.221.278
NÚMERO DE PERÍODOS NECESARIOS PARA LOGRAR
UN OBJETIVO ESPECÍFICO
En algunos casos es necesario estimar el número de períodos para lograr un objetivo
específico, bajo ciertas circunstancias, por ejemplo cuando un inversionista quiere conocer el tiempo que le lleva recuperar una inversión teniendo en cuenta el valor del
dinero en el tiempo, o cuando se quiere acumular una cantidad haciendo depósitos
[150]
JAVIER SERR ANO
Número de períodos necesarios para lograr un objetivo específico
en algún fondo para cubrir un gasto futuro, tal como el pago de una pensión o la
matrícula de un estudiante. En los siguientes dos ejemplos usted se enfrentará a determinar los períodos de tiempo necesarios para alcanzar un objetivo específico.
Ejemplo 5.14
Considere el flujo de caja del ejemplo 5.7 de este capítulo y estime el número de años
que se requieren para recuperar la inversión, teniendo en cuenta el valor del dinero
en el tiempo.
En el Cuadro 5.8 se muestran los cálculos necesarios para dar respuesta a la pregunta
formulada:
Cuadro 5.8
Año
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
TIO=
VPN (i=TIO)
TIR =
Proyecto A
flujos
-150.000.000
35.000.000
40.000.000
44.000.000
50.000.000
60.000.000
70.000.000
80.000.000
90.000.000
105.000.000
125.000.000
20,00%
87.871.131
32,18%
Valor presente
flujo individual
-150.000.000
29.166.667
27.777.778
25.462.963
24.112.654
24.112.654
23.442.858
22.326.532
20.931.124
20.349.703
20.188.198
Número de años=
Número de meses=
Valor presente
acumulado
-150.000.000
-120.833.333
-93.055.556
-67.592.593
-43.479.938
-19.367.284
4.075.574
26.402.106
47.333.230
67.682.933
87.871.131
5,826
69,91
En la última columna se muestra el valor presente acumulado hasta ese momento, el
cual se vuelve positivo en algún punto entre los años 5 y 6. Si se hace una aproximación en línea recta, el tiempo necesario para recuperar la inversión sería de 5,826
años o su equivalente de 69,91 meses.
Ejemplo 5.15
Considere una situación en la cual se quiere acumular una suma de $120.000.000,
haciendo depósitos mensuales iguales (serie uniforme), durante N meses. El valor de
cada uno de los N depósitos será igual a $800.000. Se quiere averiguar el número de
meses necesarios para acumular los $120.000.000. La tasa de interés anual es del
20% efectivo que corresponde a una tasa mensual vencida del 1,5309%.
Nuevamente se parte de la fórmula del valor futuro de una serie mensual uniforme,
donde cada pago mensual es igual a $800.000.
ALFAOMEGA
t
FAC U LTA D D E A D M I N I S T R AC I Ó N / U N I A N D E S
[151]
Capítulo 5
120.000,00 0 = 800.000 *
[(1 + 0,015309) N - 1]
[0,015309]
Despejando N en la ecuación anterior se obtiene:
1+ (VF/Cuota)*i = (1+i)N
VF
) * i]
Cuota
Ln[1+ i]
Ln[1+ (
N=
N=
1,1928
0,015193
= 78,5
Si se hicieran 78 depósitos, el valor acumulado sería de $118.668.148
Si se hicieran 79 depósitos, el valor acumulado sería de $121.284.839
Otra forma de encontrar la misma respuesta sería a través de Excel, utilizando la función “Buscar objetivo”, para resolver la ecuación:
120.000.000 =
800.000 * [(1+ 0.015309)N - 1]
[0.015309]
Se calcula la función financiera de valor futuro (VF), para una cuota mensual de
800.000, con un interés mensual de 1,5309% y un número de períodos cualquiera,
por ejemplo 70. Esto es,
VF(0,015309;70;800.000) = 99.108.005
A manera de ejemplo, en una hoja de cálculo en Excel (Cuadro 5.9):
Cuadro 5.9
45
46
47
48
49
50
51
Columna A
Valor futuro
Cuota mensual
Columna B
99.108.005
800.000
Tasa de interés
20,00%
1,5309%
Plazo
70
En la celda B45 se introduce la función de valor futuro, relacionada con las otras celdas, esto es, VF(B49,B51,B46), y aparece el número 99,108,005, que corresponde al
valor futuro para las condiciones especificadas. Inmediatamente se busca en Herramientas, la función “Buscar objetivo”, donde la celda objetivo es la celda B45, con un
valor objetivo de 120.000.000, para variar el contenido de la celda B51, esto es el
[152]
JAVIER SERR ANO
Gradientes con crecimiento constante, a perpetuidad o con una duración finita
número de meses. Una vez que hacemos lo anterior y aceptamos, la hoja de cálculo
nos devuelve el valor de 78,5 en la celda B51 y la celda B45 queda con el valor de
120.000.000.
La utilización de la función “Buscar objetivo” de Excel puede ser útil en problemas
con una estructura matemática más compleja, que no permitan encontrar una expresión cerrada, como la que se acaba de encontrar en este ejemplo.
GRADIENTES CON CRECIMIENTO CONSTANTE, A PERPETUIDAD
O CON UNA DURACIÓN FINITA
El gradiente con crecimiento constante tiene múltiples aplicaciones en la vida real tal y
como se mostrará en los siguientes ejemplos.
El planteamiento general del problema es el mismo del gradiente infinito con crecimiento constante g. Esto es, un flujo que para el primer año es igual a F1, para el segundo año sería igual a:
F2 = F1* (1+g)
Para el tercer año, F3 = F2*(1+g) = F1*(1+g)2
Para el cuarto año, F4 = F3*(1+g) = F1*(1+g)3
Para el enésimo año, FN = FN-1*(1+g) = F1*(1+g)(N-1)
Cuando se trata de un gradiente con crecimiento constante a perpetuidad, en el
Capítulo 2 de este libro se demostró que el valor presente es igual a:
P=
D1
(TIO- g)
Cuando el número de períodos durante el cual se da el crecimiento constante g es
finito e igual a N, la relación anterior se modifica a:
N
§ D · § § (1+ g) · ·¸
P = ¨¨ 1 ¸¸ * ¨1- ¨
¸
© (k - g) ¹ ¨© © (1+ k) ¹ ¸¹
Ejemplo 5.16
Suponga un flujo de caja con un crecimiento constante, pero finito. El flujo del primer
año es de 1.850, y de ahí en adelante crece a una tasa constante g igual a 10%. La
tasa de interés de oportunidad es del 18%. ¿Cuál es el valor presente si se trata de un
flujo finito a 40 años?
ALFAOMEGA
t
FAC U LTA D D E A D M I N I S T R AC I Ó N / U N I A N D E S
[153]
Capítulo 5
Si se tratara de un flujo infinito, en las condiciones de crecimiento y de tasa de interés
especificados, el valor presente sería:
Pinfinito =
1.850
= 23.125
(0,18- 0,10)
En la medida en que se trata de un flujo finito a 40 años, el factor de corrección sería:
§
m·
§
¨
©
© (1 + k) ¹ ¸¹
¨
©
§ (1 + g · ¸ ¨ § (1 + 0,10) ·
Factor de corrección = ¨ 1- ¨
= 1- ¨
¸
¸
40
© (1 + 0,18) ¹
·
¸ = 0,9397
¸
¹
40
1.850 · §¨ § 1 + 0,10 · ·¸
¸¸
¸ * 1- ¨¨
© (0,18 - 0,10) ¹ ¨© © 1 + 0,18 ¹ ¸¹
§
Por lo tanto, P40 = ¨
P40 = 23.125 * 0,9397 = 21.730
En el Cuadro 5.10 se muestran los resultados para una serie finita, hasta 40 años, en las
condiciones de tasa de interés de oportunidad y crecimiento definidas previamente.
Cuadro 5.10
Año
FJ
FJ
(1+ TIO)J
Valor
presente
Año
FJ
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
1.850
2.035
2.239
2.462
2.709
2.979
3.277
3.605
3.966
4.362
4.798
5.278
5.806
6.387
7.025
7.728
8.501
9.351
10.286
11.314
1.568
1.462
1.362
1.270
1.184
1.104
1.029
959
894
833
777
724
675
629
587
547
510
475
443
413
1.568
3.029
4.392
5.662
6.846
7.949
8.978
9.937
10.831
11.665
12.442
13.166
13.841
14.471
15.057
15.604
16.114
16.590
17.033
17.446
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
12.446
13.690
15.060
16.565
18.222
20.044
22.049
24.253
26.679
29.347
32.281
35.510
39.060
42.967
47.263
51.990
57.188
62.907
69.198
76.118
FJ
Valor
(1+ TIO) J Presente
385
359
335
312
291
271
253
236
220
205
191
178
166
155
144
134
125
117
109
101
17.831
18.190
18.524
18.836
19.127
19.398
19.651
19.886
20.106
20.310
20.501
20.679
20.845
21.000
21.144
21.278
21.403
21.520
21.629
21.730
[154]
JAVIER SERR ANO
Gradientes con crecimiento constante, a perpetuidad o con una duración finita
Ejemplo 5.17
Estamos al finalizar el año 2009 y se quiere valorar el precio de una acción, que va a
pagar dividendos para el año 2010 de $16.000 por acción. El pago de dividendo se
va a hacer en cuatro contados trimestrales iguales, al finalizar los meses de marzo,
junio, septiembre y diciembre. La tasa de interés de oportunidad del inversionista es
del 20% efectivo anual. ¿Cuál es el valor de mercado de la acción, bajo el siguiente
escenario: los dividendos crecen de un año al siguiente en un 10%; sin embargo, el
dividendo de cada año se paga en cuatro contados iguales al final de los meses especificados?
En el Cuadro 5.11 y en la Figura 5.3 se muestra la secuencia de pagos esperados para
los próximos 6 años y para cada año el equivalente anual al final del año. En otras
palabras, el flujo de pagos trimestrales iguales durante un año se puede transformar
en un flujo de pagos anuales que crecen a una tasa constante g igual al 10%, que
corresponde al crecimiento supuesto de un año al siguiente.
Cuadro 5.11
Año
Trimestre
1
1
1
1
2
2
2
2
3
3
3
3
4
4
4
4
5
5
5
5
6
6
6
6
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
Pago
trimestral
4.000
4.000
4.000
4.000
4.400
4.400
4.400
4.400
4.840
4.840
4.840
4.840
5.324
5.324
5.324
5.324
5.856
5.856
5.856
5.856
6.442
6.442
6.442
6.442
Equivalente
anual
Crecimiento
anual
17.154
18.870
10,00%
20.757
10,00%
22.833
10,00%
25.116
10,00%
27.627
10,00%
ALFAOMEGA
t
FAC U LTA D D E A D M I N I S T R AC I Ó N / U N I A N D E S
[155]
Capítulo 5
Figura 5.3
Para el año 1, el dividendo anual que se paga se representa por D1; por lo tanto, el
dividendo trimestral sería igual a D1/4; se trata de cuatro pagos trimestrales iguales.
Si el interés efectivo anual es igual a i, el interés trimestral vencido equivalente sería
igual a itv; para estas condiciones generales, el flujo acumulado al final del primer año
o flujo equivalente al final del primer año, sería igual a:
§ (1 + i tv ) 4 - 1 ·
D
¸
F1 = §¨ 1 ·¸ * ¨
© 4 ¹ ¨©
i tv
¸
¹
Para el año 2, el dividendo anual que se paga se representa por D2; por tanto, el dividendo trimestral sería igual a D2/4. Sin embargo, D2 es igual a D1*(1+g), donde g es
la tasa de crecimiento del dividendo entre años. Se trata de cuatro pagos trimestrales
iguales. Si el interés efectivo anual es igual a i, el interés trimestral vencido equivalente sería igual a itv; para estas condiciones generales, el flujo acumulado al final del segundo año o flujo equivalente al final del segundo año sería igual a:
§ (1 + i tv ) 4 - 1 ·
¸
F2 = (D 1/4) * (1 + g) * ¨
¨
¸
i tv
©
¹
De igual forma, el flujo equivalente anual al final del tercer año sería igual a:
§ (1 + i tv ) 4 - 1 ·
¸
F3 = (D 1/4) * (1 + g) 2 * ¨
¨
¸
i tv
©
¹
En general, el flujo equivalente anual al final del j-ésimo año sería igual a:
[156]
JAVIER SERR ANO
Gradientes con crecimiento constante, a perpetuidad o con una duración finita
§ (1 + i tv ) 4 - 1 ·
¸ , para todo J, J = 1, 2, 3, 4, 5,…, infinito
FJ = (D 1/4) * (1 + g) J-1 * ¨
¨
¸
i tv
©
¹
Como se puede observar, se trata de un flujo infinito anual que crece a una tasa
constante g, con un valor para el primer año igual a 17.154,45; para el problema particular que se está resolviendo,
§ (1 + i tv ) 4 - 1 ·
¸
F1 = (D 1/4) * ¨
¸
¨
i tv
¹
©
Por lo tanto, el valor de la acción en la fecha cero es igual al valor presente de un flujo que crece a una tasa constante g igual al 10%, con una tasa de interés efectiva
anual del 20%.
Precio de la acción = P0 =
F1
17.154,45
= 171.544,46
=
(i - g) (0,20 - 0,10)
Ejemplo 5.18
¿Cuál es el valor de una acción que para el primer año paga un dividendo de
$1.500.000, al año a partir de la fecha actual (fecha cero)? Los dividendos crecen
anualmente con una tasa de crecimiento del 4% en términos reales. La inflación esperada es del 5%. La tasa de interés de oportunidad del inversionista es del 18%
efectivo anual.
Dividendo, primer año: $1.500.000
Tasa de crecimiento: 4% en términos reales
Inflación: 5%
Cálculo del crecimiento en términos nominales
Fórmula a utilizar: (1+iN) = (1+iR)*(1+inflación)
iN = (1+0,04)*(1+0,05)-1 = 0,092
Tasa de crecimiento en términos nominales: 9,200%
Tasa de interés de oportunidad del inversionista = 18,00%
ALFAOMEGA
t
FAC U LTA D D E A D M I N I S T R AC I Ó N / U N I A N D E S
[157]
Capítulo 5
Valor de la acción, horizonte infinito =
D1
1.500.000
=
=
(1- g) (0,18- 0,092)
El valor de la acción en las condiciones especificadas sería de $17.045.455
Ejemplo 5.19
Suponga el mismo ejemplo 5.18, pero en donde usted tiene una obligación de vender
la acción al final del año 10 por valor de $20.000.000, después de haber recibido el
dividendo de ese año. La tasa de interés de oportunidad del inversionista es del 18%.
Valor presente crecimiento infinito = 17.045.455
Valor presente crecimiento finito = 17.045.455 * FC
§ § (1+ 0,092) · ·
¸ ¸¸
Valor presente crecimiento finito = 17.045.455 * ¨¨ 1- ¨
© © (1+ 0,18) ¹ ¹
10
Valor presente crecimiento finito = 17.045.455 * 0,539 = 9.192.829
El valor presente de los $20.000.000 (recompra) al final de los 10 años, a una tasa de
descuento del 18% (TIO), es igual a $3.821.289. La suma de los dos valores daría
$13.014.118, que correspondería al precio de la acción en las condiciones señaladas.
Al mismo resultado se podría haber llegado si se toma en cuenta el flujo de ingresos
esperados de la acción, de acuerdo con las condiciones especificadas, tal y como se
muestra en el cuadro adjunto (columna derecha, Cuadro 5.12). El valor presente de
ese flujo, descontado a la TIO del 18%, es igual a $13.014.118; para ello se utiliza la
función de valor presente neto (VNA en español) o se trae a valor presente cada flujo
individualmente (Cuadro 5.12).
Cuadro 5.12
Año
Dividendos
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1.500.000
1.638.000
1.788.696
1.953.256
2.132.956
2.329.188
2.543.473
2.777.472
3.033.000
3.312.036
Venta
Flujo total
20.000.000
1.500.000
1.638.000
1.788.696
1.953.256
2.132.956
2.329.188
2.543.473
2.777.472
3.033.000
23.312.036
[158]
JAVIER SERR ANO
Gradientes con crecimiento constante, a perpetuidad o con una duración finita
Ejemplo 5.20
Para el problema anterior, ¿cuánto le deberían dar por la acción al final del año 10,
para que resultara indiferente, frente al valor que tiene la acción si no la tiene que
vender al final del año 10, esto es el valor encontrado en el ejemplo 5.18?
Para encontrar el valor de recompra que lleve al mismo resultado de la acción bajo el
escenario de crecimiento infinito ($17.045.455), se aplica la función “Buscar objetivo” al Cuadro 5.12, y se varía la celda que contiene el valor de recompra, para dar el
monto especificado. El resultado obtenido para el valor de recompra es de
$41.099.354, tal y como se muestra en el Cuadro 5.13.
Cuadro 5.13
Año
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
VNA =
Dividendos
1.500.000
1.638.000
1.788.696
1.953.256
2.132.956
2.329.188
2.543.473
2.777.472
3.033.000
3.312.036
$ 17.045.455.00
Venta
41.099.354
Flujo
1.500.000
1.638.000
1.788.696
1.953.256
2.132.956
2.329.188
2.543.473
2.777.472
3.033.000
44.411.390
Ejemplo 5.21
Al finalizar el año 2009 se requiere hacer 80 pagos trimestrales, durante los 20 años
siguientes. Los cuatro pagos trimestrales que se hacen durante un año son iguales y
van a crecer de un año al siguiente a una tasa constante g igual al 10% (p. ej., el crecimiento podría ser igual a la inflación esperada más unos puntos por encima de ella).
Cada pago trimestral se hará al finalizar los meses de marzo, junio, septiembre y diciembre.
La tasa de interés de oportunidad del inversionista es del 20% efectivo anual. A usted
le proponen reemplazar la secuencia de pagos anteriormente descrita por un solo pago
al final de diciembre de 2009, equivalente en valor presente utilizando las condiciones
especificadas, y le dan un descuento del 10%. ¿Cuál sería el valor del pago a realizar?
El valor del pago para el primer año es de 160 millones de pesos; por lo tanto, el pago
para cada uno de los cuatro trimestres del año sería de 40 millones de pesos.
ALFAOMEGA
t
FAC U LTA D D E A D M I N I S T R AC I Ó N / U N I A N D E S
[159]
Capítulo 5
Siguiendo la lógica del problema anterior, se calcularía el valor presente de un flujo de
pagos anuales equivalentes al final de cada año que crecen a una tasa constante g
igual al 10%, durante 20 años. El valor del flujo para el primer año sería igual a:
4
4
·
§
·
§
F1= §¨ 160 000.000 ·¸ * ¨ ((1 + itv ) - 1) ¸ = 40.000.000 * ¨ ((1 + itv ) - 1) ¸
¸
¨
¸
4
itv
itv
©
¹ ¨
©
¹
©
¹
Si se tratara de un flujo infinito de pagos anuales que crecen a una tasa constante del
10% anual, el valor presente sería:
VP = F1/(i-g) = 171.544.464/(0,20-0,10) = 1.715.444.640
Sin embargo, se trata de un flujo finito a 20 años. Aplicando el factor de corrección
correspondiente derivado previamente, se obtendría:
§
N·
§
¨
©
© (1 + k) ¹ ¸¹
¨
©
§ (1 + g) · ¸ ¨ § (1 + 0,10) ·
Factor de corrección para 20 años = ¨ 1- ¨
¸
¸ = 1- ¨
© (1 + 0,20) ¹
20
·
¸ = 0,8245
¸
¹
Por lo tanto, el valor presente sería igual a 1.715.444.640*0,8245 =1.414.417.613
Con un descuento del 10%, el valor a pagar sería de $1.272.975.852.
Ejemplo 5.22
Un fondo de inversión reconoce un interés efectivo del 12% anual, y se van a hacer
84 depósitos mensuales al fondo durante los próximos 7 años. El primer depósito se
hace dentro de un mes y así sucesivamente hasta finalizar el año 7; los 12 depósitos
que se hacen cada año son iguales; sin embargo, incrementan de un año al siguiente
con la inflación esperada que es del 5%. ¿Cuál sería la cantidad acumulada al final de
los 7 años, si cada uno de los 12 depósitos que se hacen durante el primer año tiene
un valor de $900.000?
En la Figura 5.4 se muestra el diagrama de depósitos mensuales que se hacen de inversión:
[160]
JAVIER SERR ANO
Gradientes con crecimiento constante, a perpetuidad o con una duración finita
Figura 5.4
Comportamiento de los depósitos
MESES
El interés mensual equivalente (imv) a un interés efectivo del 12% es del 0,9489%.
imv = (1+0,12)(1/12) – 1 = 0,009489
Los 84 depósitos mensuales se pueden reemplazar por 7 depósitos anuales, que se
incrementan con la inflación, a través de la siguiente expresión:
F1 = 900.000 *
[(1 + imv )12 - 1]
= 900.000 * 12,646 = 11.381.848
imv
F2 = 900.000 * (1 g) *
[(1 + imv )12 - 1]
= 900.000 * (1 0,05) * 12,646
imv
F2 = 11.381.848 *(1+0,05) = 11.950.941, y así sucesivamente.
Por lo tanto, los siete flujos anuales equivalentes (Cuadro 5.14) son:
Cuadro 5.14
Año
1
2
3
4
5
6
7
Equivalencia
Equivalente
Crecimiento
11.381.848
11.950.941
5,00%
12.548.488
5,00%
13.175.912
5,00%
13.834.708
5,00%
14.526.443
5,00%
15.252.765
5,00%
ALFAOMEGA
t
FAC U LTA D D E A D M I N I S T R AC I Ó N / U N I A N D E S
[161]
Capítulo 5
Ahora se tiene un gradiente anual finito a 7 años equivalente a los 84 depósitos mensuales, con un primer valor de $11.381.848 y una tasa de crecimiento anual del 5%;
para esta situación, el valor presente es:
P=
11.381.848
* FC
(0,12 - 0,05)
§ § (1 + 0,05) ·7 ·
FC = ¨ 1 - ¨
¸ ¸ = 0,363499
¨ © (1 + 0,12) ¹ ¸
©
¹
P=
11.381.848
* 0,363499 = 59.104.186
(0,12- 0,05)
Todos los pasos que se realizaron hasta el momento se pueden resumir en la siguiente
expresión:
12
·
§
¨ 900.000 * (1+ imv ) - 1) ¸
¸
¨
imv
¹ * FC
©
P=
(i - g)
ª 900.000 ((1 + 0,009849) 12 - 1)º
«
»
0,009849
¬«
¼» * 0,036499
P=
(0,12 - 0,05)
El valor futuro solicitado sería igual a
F84 = 59.104.186 * (1+0,12)7 = 130.660.525
SOLUCIÓN ANALÍTICA VERSUS
SOLUCIÓN EXHAUSTIVA
Los siguientes dos problemas muestran situaciones de alguna complejidad, que aunque se pueden resolver analíticamente, como se hace en cada uno de ellos, se pueden
a su vez resolver más fácilmente si se hace una solución exhaustiva en Excel, proyectando el flujo correspondiente y calculando un valor presente o un valor futuro.
Ejemplo 5.23
Un crédito por valor de $300 millones, con un plazo de 5 años, se va a amortizar en
60 cuotas mensuales tales que las 12 cuotas de cada año permanecen constantes o
iguales. Sin embargo, las cuotas aumentan de un año al siguiente en un 2% en térmi
[162]
JAVIER SERR ANO
Solución analítica versus solución exhaustiva
iguales. Sin embargo, las cuotas aumentan de un año al siguiente en un 2% en términos reales, con una inflación anual del 5%. La tasa de interés del crédito es una equivalente al 21% nominal anual pagadero trimestre vencido. Determinar el valor de la
cuota durante el primer año.
a) Solución analítica (utilización de fórmulas)
Monto del crédito = $300.000.000
Tasa de interés: 21% NA TV
Plazo del crédito (años) = 5 años
Plazo del crédito (meses) = 60 meses
Cuota uniforme durante el año:
Incremento de la cuota anual: 2% real
Inflación proyectada: 5%
Incremento de la cuota anual: 7,1% nominal
Tasa de interés efectiva, crédito: 22,71% efectivo
Tasa de interés del crédito mensual: 1,72%
§
§ [(1+ im )12 - 1] · (1 + g a )
¸*
300.000.000 = ¨ Cuota 1 * ¨
¨
¸ (i a - g a )
¨
im
©
¹
©
§ § (1 + g ) ·
a ¸
FC = ¨ 1 - ¨¨
¨
(1 + i a ) ¸¹
©
©
5
·
¸ * FC
¸
¹
·
¸ = 0,494
¸
¹
300.000.000 = Cuota1 * 13,203 * 6,405 * 0,494
300.000.000 = Cuota1 * 41,74
Cuota1 = 7.187.090
b) Solución exhaustiva
En el Cuadro 5.15 se muestra parcialmente el flujo de caja del crédito mes a mes,
omitiendo, para facilitar, la presentación de los valores comprendidos entre los
meses 19 y 46. Se parte de un valor supuesto de la cuota para el primer año (p.
ej., $6.000.000) y se calcula el flujo en las condiciones especificadas, tal y como
aparece en la segunda columna (cuota supuesta) del Cuadro 5.15.
El valor presente de ese flujo es inferior a los $300.000.000 que corresponden al
monto del crédito; si se aumenta la cuota del primer año aumentará el valor presente, por lo cual la solución se podría encontrar por prueba y error.
ALFAOMEGA
t
FAC U LTA D D E A D M I N I S T R AC I Ó N / U N I A N D E S
[163]
Capítulo 5
Esto se hace más fácilmente si se utiliza la función “Buscar objetivo” de Excel,
donde la celda objetivo es el valor presente neto (VNA) a la tasa de interés mensual del crédito (1,7202%), el objetivo a alcanzar es el monto de $300.000.000
(desembolso del crédito) y la celda a modificar es el valor de la cuota en el año 1;
automáticamente se obtiene la columna de la derecha (cuota real), para la cual el
valor presente neto es igual al monto del crédito:
Cuadro 5.15
VNA(i) =
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
250.449.059
Cuota supuesta
300.000.000
Cuota real
6.000.000
6.000.000
6.000.000
6.000.000
6.000.000
6.000.000
6.000.000
6.000.000
6.000.000
6.000.000
6.000.000
6.000.000
6.426.000
6.426.000
6.426.000
6.426.000
6.426.000
6.426.000
6.426.000
7.370.885
7.370.885
7.370.885
7.894.218
7.894.218
7.894.218
7.894.218
7.894.218
7.894.218
7.894.218
7.894.218
7.894.218
7.894.218
7.894.218
7.894.218
7.187.090
7.187.090
7.187.090
7.187.090
7.187.090
7.187.090
7.187.090
7.187.090
7.187.090
7.187.090
7.187.090
7.187.090
7.697.374
7.697.374
7.697.374
7.697.374
7.697.374
7.697.374
7.697.374
8.829.203
8.829.203
8.829.203
9.456.077
9.456.077
9.456.077
9.456.077
9.456.077
9.456.077
9.456.077
9.456.077
9.456.077
9.456.077
9.456.077
9.456.077
Ejemplo 5.24
El problema del ejemplo 5.22, resuelto en forma exhaustiva.
[164]
JAVIER SERR ANO
Solución analítica versus solución exhaustiva
En el Cuadro 5.16 se presenta parcialmente el flujo de caja de los depósitos que se
hacen al fondo de inversión, al final de cada mes, escondiendo los depósitos entre los
meses 24 y 70. Para estimar el valor acumulado al final de los 7 años o de los 84 meses, con una tasa de interés del 12% efectivo, equivalente a una tasa del 0,9489%
mensual, se aplica la función de valor presente neto, VNA, al flujo de depósitos, lo
cual da un valor presente en la fecha cero de $59.104.186. Para llevar el valor presente anterior a un valor futuro en el mes 84, se utiliza la fórmula convencional para
llevar un valor presente a valor futuro; esto es:
F84 = 59.104.186 * (1+0,009489)84 = 130.660.525
Cuadro 5.16
Mes
Real
Depósito
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
900.000
900.000
900.000
900.000
900.000
900.000
900.000
900.000
900.000
900.000
900.000
900.000
945.000
945.000
945.000
945.000
945.000
945.000
945.000
945.000
945.000
945.000
945.000
945.000
1.148.653
1.148.653
1.148.653
1.206.086
1.206.086
1.206.086
1.206.086
1.206.086
1.206.086
1.206.086
1.206.086
1.206.086
1.206.086
1.206.086
1.206.086
ALFAOMEGA
t
FAC U LTA D D E A D M I N I S T R AC I Ó N / U N I A N D E S
[165]
Capítulo 6
INFORMACIÓN FINANCIERA
ESTRUCTURA OPERACIONAL Y APALANCAMIENTO OPERACIONAL
INFORMACIÓN FINANCIERA
Cualquier decisión de inversión o de financiamiento requiere información interna de
la empresa, tal como costos, capacidad operacional, estrategia de producto precio,
etc. e información externa a la misma, tal como comportamiento de la demanda de
los bienes y servicios que vende la empresa, disponibilidad y precio de los insumos
básicos, tasas de interés, tasas de cambio, etc. Esta información a veces la genera la
misma empresa a través del registro contable y de los estados de resultados; sin embargo, no siempre se encuentra disponible en la forma como lo requiere la evaluación
de un proyecto y hay que conseguirla o estimarla, lo cual es fuente permanente de
incertidumbre y por lo tanto de riesgo.
La información financiera de una empresa comprende un grupo de estados financieros entre los cuales se pueden mencionar: balance de la empresa (activos y pasivos),
estado de pérdidas y ganancias del negocio (ingresos y egresos causados en la ejecución de las actividades propias del negocio), flujo de caja de la empresa o del
proyecto (ingresos recibidos y egresos efectivos pagados), cambio en el capital de
trabajo de la empresa y cambio en el patrimonio de los accionistas. Con la información anterior se construyen indicadores que permiten hacer el seguimiento al negocio,
desde las razones financieras tradicionales de liquidez, rentabilidad, eficiencia, endeudamiento y riesgo, hasta sistemas más complejos de indicadores de gestión como el
Balanced Score Card (BSC) de Kaplan y Norton1 que muestra la interacción entre las
diferentes perspectivas2, para obtener un objetivo específico.
Los profesionales que por diferentes razones se dedican al análisis de empresas cuentan con información proveniente de firmas especializadas tales como Bloomberg,
Reuters o Morningstar, a nivel nacional e internacional; las entidades de vigilancia o
de supervisión cuentan con información general y especializada sobre los estados financieros de las empresas que regulan o supervisan. En el caso específico de
Colombia, las superintendencias Financiera, de Sociedades, de Servicios Públicos, proveen información básica muy útil e información procesada que han bajado a bases de
datos de fácil acceso y utilización, lo que permite el análisis de alguna empresa en
particular o de sectores empresariales. Las mismas empresas, como parte de sus programas de buen gobierno corporativo o para informar a sus inversionistas, han
1
Kaplan & Norton, Balanced Score Card.
2
Perspectiva financiFra, del cliente o del mercado, de los procesos internos y del crecimiento y aprendizaje, Kaplan & Norton, Balanced Score Card.
[167]
Capítulo 6
comenzado a colocar en Internet la información básica del negocio, tal como estados
de resultados periódicos o memorias anuales.
Para un proyecto de inversión hay que construir y proyectar los estados financieros
básicos a partir de estimaciones sobre proyecciones de precios, demanda, participación en el mercado y estimaciones de los costos y gastos propios del proyecto. Para la
proyección de los estados proforma de un proyecto hay que hacer supuestos sobre el
escenario macroeconómico en que se va a desarrollar el proyecto, la generación de
ingresos y su estructura de egresos, lo cual requiere utilizar fuentes externas para definir un escenario básico (inflación, devaluación, crecimiento del PIB, etc.), fuentes
externas para estimar los precios de venta del producto en el mercado por parte de la
competencia, los precios de los insumos que requiere el proyecto y fuentes internas
tales como gastos directos e indirectos asociados con el proyecto, y la política laboral
para estimar el crecimiento de los costos laborales, etc., que suministrará el área contable o el área de recursos humanos de la empresa.
Con esta información y con los supuestos que sea necesario y razonable hacer sobre
inversiones requeridas en activos fijos y en capital de trabajo, comportamiento de la
estructura de ingresos del proyecto (precio de venta, demanda y participación en el
mercado), supuestos sobre la estructura de costos del proyecto (costos involucrados,
clasificación entre costos fijos y variables, etc.), políticas de depreciación y amortización de diferidos, política de provisiones, se proyectan los estados proforma durante
el horizonte correspondiente a la vida útil del proyecto. Con los estados proforma del
proyecto, proyectados para el horizonte de su vida útil, se tiene información básica
para entrar a analizar el proyecto, a través de los indicadores que se cubrieron en el
capítulo 4.
BALANCE GENERAL Y ESTADO DE PÉRDIDAS Y GANANCIAS
El balance general y el estado de pérdidas y ganancias son los estados básicos de
cualquier negocio o proyecto; el primero comprende los activos que posee la empresa
en una fecha dada y las obligaciones que tiene con diferentes proveedores de financiamiento a la misma fecha, lo cual da el valor neto o patrimonio contable del
negocio, mientras que el estado de pérdidas y ganancias registra los ingresos, costos y
gastos de la empresa para establecer su utilidad neta. En el Cuadro 6.1 se muestra el
balance de ISAGEN, una empresa de generación de energía eléctrica en Colombia,
para los años 2007 y 2008; en el Cuadro 6.2 se muestra la participación relativa de
las diferentes cuentas del balance respecto a los activos totales, para los años 2007 y
2008. Para este caso, las tres cuentas más importantes del activo son: propiedad
planta y equipo; valorizaciones, y deudores, neto, con una participación relativa al
finalizar el año 2008 del 56,19%, el 24,76% y el 7,72% respectivamente. La principal fuente de financiamiento es el patrimonio de los accionistas, con una participación
[168]
JAVIER SERR ANO
Balance general y estado de pérdidas y ganancias
del 74,79%, mientras que las obligaciones financieras sólo representaban un 12,9%
del total de activos.
Cuadro 6.1
ISAGEN – Balance, años 2007 y 2008
ACTIVOS
DISPONIBLE
INVERSIONES, NETO
DEUDORES, NETO
2007
2008
185.553
291.408
66.218
61.203
PASIVOS
2007
2008
OBLIGACIONES FINANCIERAS
24.595
24.654
CUENTAS POR PAGAR
93.718
165.720
IMPUESTOS, CONTRIBUCIONES
34.475
45.626
7.433
8.076
231.465
323.300
GASTOS PAGO x ANTICIPADO
20.778
30.580
OBLIGACIONES LABORALES
OTROS
26.216
30.846
DEPÓSITOS RECIBIDOS
12.374
820
INVENTARIOS, NETO
16.351
15.938
OTROS PASIVOS
11.770
14.825
546.581
753.275
TOTAL PASIVOS CORRIENTES
184.365
259.721
27.820
28.323
OBLIGACIONES FINANCIERAS
538.409
515.452
300
396
TOTAL, ACTIVO CORRIENTE
DEUDORES, NETO
INVERSIONES, NETO
PROPIEDAD, PLANTA Y EQUIPO
2.343.494 2.353.398
DIFERIDOS
OTROS ACTIVOS
OBLIGACIONES LABORALES
IMPUESTO DIFERIDO
48.777
60.671
186.082
220.010
796.133
25.487
9.434
TOTAL PASIVOS NO
CORRIENTES
773.268
5.847
6.300
TOTAL PASIVOS
957.633 1.055.854
TOTAL ACTIVOS NO CORRIENTES
2.402.948 2.397.851
VALORIZACIONES
1.044.103 1.037.219
TOTAL ACTIVOS
3.993.632 4.188.345
PATRIMONIO
3.035.999 3.132.491
TOTAL PASIVO Y PATRIMONIO
3.993.632 4.188.345
Fuente: Informe Anual Isagen, años 2007 y 2008
Cuadro 6.2
ISAGEN – Balance, años 2007 y 2008
ACTIVOS
2007
2008
PASIVOS
2007
2008
DISPONIBLE
4,65%
6,96%
OBLIGACIONES FINANCIERAS
0,62%
0,59%
INVERSIONES, NETO
1,66%
1,46%
CUENTAS POR PAGAR
2,35%
3,96%
DEUDORES, NETO
5,80%
7,72%
IMPUESTOS, CONTRIBUCIONES
0,86%
1,09%
GASTOS PAGO x ANTICIPADO
0,52%
0,73%
OBLIGACIONES LABORALES
0,19%
0,19%
OTROS
0,66%
0,74%
DEPÓSITOS RECIBIDOS
0,31%
0,02%
INVENTARIOS, NETO
0,41%
0,38%
OTROS PASIVOS
0,29%
0,35%
13,69%
17,99%
TOTAL PASIVOS CORRIENTES
4,62%
6,20%
13,48%
12,31%
TOTAL, ACTIVO CORRIENTE
DEUDORES, NETO
0,70%
0,68%
OBLIGACIONES FINANCIERAS
INVERSIONES, NETO
0,01%
0,01%
OBLIGACIONES LABORALES
1,22%
1,45%
58,68%
56,19%
IMPUESTO DIFERIDO
4,66%
5,25%
DIFERIDOS
0,64%
0,23%
TOTAL PASIVOS NO
CORRIENTES
19,36%
19,01%
OTROS ACTIVOS
0,15%
0,15%
TOTAL PASIVOS
23,98%
25,21%
TOTAL ACTIVOS NO CORRIENTES
60,17%
57,25%
PATRIMONIO
76,02%
74,79%
VALORIZACIONES
26,14%
24,76%
100,00%
100,00%
PROPIEDAD, PLANTA Y EQUIPO
TOTAL ACTIVOS
100,00% 100,00%
TOTAL PASIVO Y PATRIMONIO
Fuente: Informe Anual Isagen, años 2007 y 2008
ALFAOMEGA
t
FAC U LTA D D E A D M I N I S T R AC I Ó N / U N I A N D E S
[169]
Capítulo 6
El estado de pérdidas y ganancias muestra los ingresos y egresos causados en el desarrollo del negocio, durante un período dado de tiempo (por ejemplo, un año), así los
mismos no se hayan materializado aún en un ingreso de efectivo o en un pago real;
en otras palabras, los registros contables del balance y del estado de pérdidas y ganancias se hacen por causación. El análisis de cualquier decisión financiera, por
ejemplo, la viabilidad de un proyecto de inversión, requiere la proyección del balance
y del estado de pérdidas y ganancias, para lo cual hay que hacer supuestos sobre los
escenarios probables en los cuales se va a desenvolver la economía y sobre el comportamiento de los parámetros críticos que inciden significativamente sobre los
resultados, en los escenarios que se estén utilizando para proyectar el negocio.
En el Cuadro 6.3 se muestra la estructura general del estado de pérdidas y ganancias,
mientras que en el Cuadro 6.4 se muestra el estado de pérdidas y ganancias simplificado para ISAGEN, durante los años 2007 y 2008, a partir de los informes a las
asambleas de accionistas de esos años. En el Cuadro 6.4 se discriminan aquellos gastos que, como la depreciación de activos fijos y la amortización de diferidos, son
causaciones que no afectan el flujo de efectivo:
Cuadro 6.3
Estructura general del estado de P y G
Ingresos operacionales
- Costo de ventas
Utilidad bruta
- Gastos de operación
- Gastos de administración
- Gastos de ventas
Utilidad operacional, UAII
+ Ingresos no operacionales
- Egresos no operacionales
Utilidad antes de impuestos
- Provisión impuesto de renta
Utilidad neta
La participación del costo de ventas en el caso de ISAGEN representó un 63,63% y
un 62,57% respectivamente para los años 2007 y 2008; la utilidad operacional, resultante de restar de los ingresos operacionales los costos de ventas y los gastos
administrativos y de operación, representó un 30,55% y un 31,49% de los ingresos
operacionales del negocio, consistentes en venta de energía; la participación de la
utilidad operacional en los ingresos operacionales se conoce como margen operacional, mientras que la participación de la utilidad neta en los ingresos operacionales, se
conoce como margen neto; este fue respectivamente del 19,43% y el 21,14% para
los años 2007 y 2008.
[170]
JAVIER SERR ANO
Balance general y estado de pérdidas y ganancias
Cuadro 6.4
ISAGEN, Estado de pérdidas y ganancias, años 2007 y 2008
2007
Ingresos operacionales
Costos de venta
Compra de energía
Cargos por uso y conexión
Depreciación
General y personal
Otros
Utilidad bruta
Gastos de administración
Gastos de personal, sin ajuste pensiones
Ajuste pensiones
Impuestos y contribuciones
Depreciaciones de activos fijos
Amortizaciones diferidos y otros
Honorarios
Publicidad
Otros gastos de administración
Utilidad operacional
Ingresos no operacionales
Egresos no operacionales
Utilidad antes de impuestos
Provisión impuesto de renta
Utilidad neta
2008
1.070.018 1.231.700
680.842
770.621
185.017
216.454
148.872
166.633
100.306
100.561
129.983
149.150
116.664
137.823
389.176
461.079
62.247
73.191
20.573
24.757
6.375
18.524
3.945
6.758
2.243
2.792
3.625
2.946
4.650
5.245
9.490
753
11.346
11.416
326.929
387.888
28.506
40.073
70.019
64.248
285.416
363.713
77.521
103.392
207.895
260.321
2007
2008
Participación Participación
100,00%
100,00%
63,63%
62,57%
17,29%
17,57%
13,91%
13,53%
9,37%
8,16%
12,15%
12,11%
10,90%
11,19%
36,37%
37,43%
5,82%
5,94%
1,92%
2,01%
0,60%
1,50%
0,37%
0,55%
0,21%
0,23%
0,34%
0,24%
0,43%
0,43%
0,89%
0,06%
1,06%
0,93%
30,55%
31,49%
2,66%
3,25%
6,54%
5,22%
26,67%
29,53%
7,24%
8,39%
19,43%
21,14%
Fuente: Informes anuales años 2007 y 2008
Cuadro 6.5
ISAGEN - Indicadores financieros
Indicadores financieros, ejemplo
Rentabilidad
Margen neto
Margen operacional
Rentabilidad sobre patrimonio
Liquidez
Razón corriente
EBITDA, flujo de caja operacional
Endeudamiento y riesgo
Endeudamiento total
Solvencia
Endeudamiento financiero
Cobertura de gastos financieros, veces
Cobertura de gastos financieros, veces
Eficiencia
Eficiencia operacional
Rotación de cartera, veces
Período medio de recaudo, días
Definición
2007
2008
(Utilidad neta/Ingresos operacionales)
(Utilidad operacional/Ingresos operacionales)
(Utilidad neta/Patrimonio promedio)
19,43%
30,55%
7,20%
21,14%
31,49%
8,44%
(Activo corriente/ pasivo corriente)
Utilidad operacional+depreciaciones+amort.
2,96
433.405
2,90
493.986
(Pasivo/Activo)
(Patrimonio/Activos)
(Obligaciones financieras/Activos)
(Utilidad operacional/Gastos financieros)
(EBITDA/Gastos financieros)
23,98%
76,02%
14,10%
5,16
6,85
25,21%
74,79%
12,90%
6,12
7,80
5,82%
3,50
104,2
5,94%
4,44
82,2
(Gastos admin y operacionales/Ing. operac.)
(Ingresos operacionales/Cartera promedio)
(365/Rotación de cartera)
ALFAOMEGA
t
FAC U LTA D D E A D M I N I S T R AC I Ó N / U N I A N D E S
[171]
Capítulo 6
El cruce entre la información del balance y la del estado de pérdidas y ganancias permite la generación de indicadores básicos sobre rentabilidad, endeudamiento,
liquidez, eficiencia, etc., que han sido usados en el análisis financiero tradicional. En el
Cuadro 6.5 se muestran algunos de estos indicadores para el caso de ISAGEN, durante los años 2007 y 2008, en cuatro categorías: rentabilidad, liquidez, endeudamiento
y riesgo y eficiencia operacional.
FLUJO DE CAJA DE UNA EMPRESA O DE UN PROYECTO
El estado de pérdidas y ganancias de la empresa o del proyecto muestra los resultados
de la causación de los ingresos, costos y gastos de acuerdo con la normatividad contable vigente en un momento dado. Entre las causaciones que afectan los resultados
de la empresa se encuentran algunas que inciden sobre el resultado contable del negocio pero que no corresponden a un desembolso efectivo de caja; las más
importantes son: depreciación de activos fijos, amortización de diferidos, provisión de
cuentas por cobrar, inventarios y activos fijos, ajustes por tasa de cambio, amortización de pensiones de jubilación, cuando sea el caso, etc.
En el estado de flujo de efectivo se parte de la utilidad neta y se devuelven todas las
causaciones que, aunque afectan el estado de pérdidas y ganancias, no afectan la
caja de la empresa; se contabilizan las variaciones en las cuentas del balance, dependiendo de si se trata de un uso o de una fuente; se restan las inversiones que realiza
la empresa, y se contabiliza el efecto del financiamiento de la empresa, para explicar
el aumento o la disminución de efectivo.
En el Cuadro 6.6 se muestra el estado de flujo de efectivo simplificado para ISAGEN
durante los años 2007 y 2008, donde se puede observar lo que se acaba de exponer.
Algunas observaciones:
a) Se parte de la utilidad neta.
b) Se devuelven aquellas causaciones que afectando la utilidad neta no afectan la
caja, tales como depreciación de activos fijos, amortización de diferidos, amortización del cálculo actuarial por pensiones, impuestos diferidos, provisiones, ajustes
de cambio, utilidades o pérdidas en la venta de propiedad planta y equipo, etc.
c) El cambio en activos y pasivos se calcula en la siguiente forma:
Un aumento en un activo es un uso y como tal consume caja.
Una disminución en un activo es una fuente y como tal genera caja.
Un aumento en un pasivo es una fuente y como tal genera caja.
Una disminución en un pasivo es un uso y como tal consume caja.
[172]
JAVIER SERR ANO
E B I T DA
y flujo de caja libre para la firma
d) El flujo de efectivo utilizado en actividades de inversión comprende principalmente
la inversión en activos fijos.
e) El efectivo neto utilizado en las actividades de financiación tiene en cuenta los dividendos que la empresa paga anualmente a sus accionistas o las amortizaciones a
los créditos que ha contratado la empresa.
Cuadro 6.6
Estados de flujos de efectivo – ISAGEN
Utilidad neta
Más (menos) gastos (ingresos) que
no afectaron el capital de trabajo
Depreciación de activos fijos
Amortización diferidos
Amortización del cálculo actuarial
Impuesto diferido
Otros (neto)
Subtotal
Cambios en activos y pasivos
Deudores
Gastos pagados por anticipado
Cuentas por pagar
Impuestos, contribuciones y tasas
Otros (neto)
Efectivo provisto por la operación
Efectivo utilizado en actividades de inversión
Efectivo neto utilizado en actividades de financiación
Aumento neto en efectivo y equivalentes
Efectivo y equivalentes al principio del año
Efectivo y equivalentes al final del año
2007
207.895
2008
260.321
102.877
3.625
6.375
30.019
1.880
352.671
103.176
2.946
18.524
33.935
-248
418.654
-64.976
-3.849
22.506
-13.591
-81
292.680
-112.503
-178.044
2.133
249.638
251.771
-42.536
-9.802
38.860
-10.309
-8.570
386.297
-127.016
-158.441
100.840
251.771
352.611
Fuente: Informes anuales ISAGEN, años 2007 y 2008
EBITDA Y FLUJO DE CAJA LIBRE PARA LA FIRMA
El EBITDA y el flujo de caja libre son dos indicadores muy utilizados. El primero es la
utilidad antes de intereses, impuestos, depreciación y amortización, por sus siglas en
inglés: earnings before interests, taxes and depreciation. Este es un indicador de flujo
de caja operativo que corresponde a la siguiente expresión:
EBITDAJ = UAIIJ + (depreciación A.F)J + (amortización diferidos)J
En algunas versiones del cálculo del EBITDA se suman las provisiones y otras causaciones que afectando a la utilidad operacional no implican un desembolso de efectivo.
En el Cuadro 6.7 se muestra el cálculo del EBITDA para ISAGEN durante los años
2007 y 2008:
ALFAOMEGA
t
FAC U LTA D D E A D M I N I S T R AC I Ó N / U N I A N D E S
[173]
Capítulo 6
Cuadro 6.7
Cálculo del EBITDA para ISAGEN
EBITDA
Utilidad operacional
Depreciaciones
Ajustes depreciaciones
Amortizaciones
EBITDA
2007
Monto
326.929
102.549
302
3.625
433.405
2008
2007
2008
Monto
Porcentaje Porcentaje
387.888
30,55%
31,49%
103.353
9,58%
8,39%
-201
0,03%
-0,02%
2.946
0,34%
0,24%
493.986
40,50%
40,11%
El segundo indicador, flujo de caja libre para la firma, descuenta del EBITDA lo que
habría que pagar en impuestos sin tener en cuenta el efecto de los gastos financieros
sobre los impuestos y las inversiones que hay que hacer en activos fijos y en capital
de trabajo para cumplir con las proyecciones de ingresos y egresos.
FCLFJ = UAIIJ * (1-timp) + (depreciación A.F)J + (amortización diferidos)J
– (inversión en A.F)J - (inversión en C.T)J
En el Cuadro 6.8 se muestra un estimativo del flujo de caja libre para la firma
ISAGEN, durante los años 2007 y 2008. Para esta estimación se tomó la tasa de impuestos nominal para los años 2007 y 2008 vigente en Colombia, que es diferente a
la tasa de impuestos efectiva que tuvo la empresa para esos años. Así mismo, se toma
únicamente la inversión en capital de trabajo operativo (aumento de cuentas por cobrar deudores comerciales + aumento de inventarios menos aumento de cuenta por
pagar, proveedores principalmente) generada en el giro ordinario del negocio. Para
rehacer los cálculos hay que tener en cuenta que el saldo al finalizar el año 2006, de
deudores corto plazo, era de $179.938 millones, y de deudores largo plazo, de
$13.444 millones; así mismo, los saldos de inventarios y cuentas por pagar al finalizar
el año 2006 fueron respectivamente de $13.777 millones y $71.140 millones.
Cuadro 6.8
ISAGEN – Flujo de caja libre para la firma
[174]
Año
Utilidad operacional
+ Depreciación de activos fijos
+ Ajustes depreciaciones
+ Amortización de diferidos
EBITDA
Tasa de impuestos corporativa, nominal
2007
326.929
102.549
302
3.625
433.405
34,00%
2008
387.888
103.353
-201
2.946
493.986
33,00%
EBITDA*(1-timp)
- Inversiones en activos fijos
- Inversiones en capital de trabajo operativo
+ Aumento de cuentas por cobrar, deudores
+ Aumento de inventarios
- Aumento de cuentas por pagar
Flujo de caja libre para la firma, FCLFJ
286.047
112.503
45.899
65.903
2.574
22.578
127.645
330.971
127.016
19.923
92.338
-413
72.002
184.032
JAVIER SERR ANO
Función de producción y los costos involucrados en un proyecto de inversión
FUNCIÓN DE PRODUCCIÓN Y LOS COSTOS INVOLUCRADOS
EN UN PROYECTO DE INVERSIÓN
La función de producción muestra el costo total de producir un cierto volumen de
unidades, con la tecnología propia del proceso que se está analizando; es una función
de costos que contempla todos los costos involucrados en el proceso de producción,
sean costos fijos o costos variables. Existen varias categorías de costos: costos fijos y
variables de producción, costo total y promedio de producción, costo marginal, costo
de oportunidad, etc. A continuación, las definiciones de cada uno de ellos.
Costo fijo: el que no varía con el nivel de producción durante un período dado de
tiempo.
Costo fijo = CF = constante, durante un período dado de tiempo.
Algunos ejemplos de costo fijo: mano de obra asociada con un proceso productivo,
costo conocido usualmente como la mano de obra directa (MOD); arrendamiento de
instalaciones industriales o de bodegaje.
Costo variable unitario: costo variable asociado con la producción de una unidad;
puede ser constante, cuando el costo variable unitario no se modifica con el nivel de
producción, o puede ser variable, si el costo variable unitario se modifica con el nivel
de producción, por ejemplo, ante la presencia de economías de escala.
Algunos ejemplos de costo variable unitario: la materia prima utilizada para producir
una unidad de alimento balanceado para animales; los kilos de clinker para producir
una tonelada de cemento.
Costo variable: se modifica directamente con el nivel de producción; puede variar en
forma lineal con el nivel de producción, cuando el costo variable unitario no varía, o
con cualquier otra función, por ejemplo exponencial.
CVT = F(Q), siendo Q el nivel de producción.
Para el caso lineal, cuando el costo variable unitario es constante:
CVT = CVU * Q
Costo total de producción: la suma de los costos fijos más los costos variables totales.
CT = CF + CVT
Para el caso lineal, cuando el costo variable unitario es constante:
CT = CF + CVU * Q
ALFAOMEGA
t
FAC U LTA D D E A D M I N I S T R AC I Ó N / U N I A N D E S
[175]
Capítulo 6
Costo promedio de producción: el costo total de producir un cierto volumen de unidades dividido por el número de unidades producidas.
Costo medio = CM = CT/Q
Para el caso lineal, cuando el costo variable unitario es constante:
CM = CF/Q + CVU
Costo marginal: el costo incremental de producir una unidad adicional, respecto al
volumen actual de producción.
Costo marginal= CMg =
wCT
wQ
Costo de oportunidad: el costo de mercado de un artículo o de un insumo que puede
ser diferente al costo contable de producir el mismo artículo o del costo histórico al
que se adquirió el artículo.
En el Cuadro 6.9 se muestran los valores de las diferentes categorías de costos, para
un rango de unidades producidas entre 605 y 700 unidades, para un proceso que
tiene un costo fijo por valor de $6.500.000, y un costo variable unitario constante de
$10.000. En este caso el costo marginal de producir una unidad coincide con el costo
variable unitario, mientras que el costo medio va disminuyendo en la medida en que
el número de unidades producidas va aumentando.
Cuadro 6.9
Costos para un rango de producción
605
610
615
620
625
630
635
640
645
650
655
660
665
670
675
680
685
690
695
700
[176]
CF1
6.500.000
6.500.000
6.500.000
6.500.000
6.500.000
6.500.000
6.500.000
6.500.000
6.500.000
6.500.000
6.500.000
6.500.000
6.500.000
6.500.000
6.500.000
6.500.000
6.500.000
6.500.000
6.500.000
6.500.000
CVT1
6.050.000
6.100.000
6.150.000
6.200.000
6.250.000
6.300.000
6.350.000
6.400.000
6.450.000
6.500.000
6.550.000
6.600.000
6.650.000
6.700.000
6.750.000
6.800.000
6.850.000
6.900.000
6.950.000
7.000.000
CT1
12.550.000
12.600.000
12.650.000
12.700.000
12.750.000
12.800.000
12.850.000
12.900.000
12.950.000
13.000.000
13.050.000
13.100.000
13.150.000
13.200.000
13.250.000
13.300.000
13.350.000
13.400.000
13.450.000
13.500.000
Ingreso
12.100.000
12.200.000
12.300.000
12.400.000
12.500.000
12.600.000
12.700.000
12.800.000
12.900.000
13.000.000
13.100.000
13.200.000
13.300.000
13.400.000
13.500.000
13.600.000
13.700.000
13.800.000
13.900.000
14.000.000
Costo medio Costo marginal
20.744
10.000
20.656
10.000
20.569
10.000
20.484
10.000
20.400
10.000
20.317
10.000
20.236
10.000
20.156
10.000
20.078
10.000
20.000
10.000
19.924
10.000
19.848
10.000
19.774
10.000
19.701
10.000
19.630
10.000
19.559
10.000
19.489
10.000
19.420
10.000
19.353
10.000
19.286
10.000
JAVIER SERR ANO
Puntos de equilibrio y apalancamiento operacional. Riesgo operacional
La importancia del costo marginal y del ingreso marginal en un proceso productivo se
deriva del resultado demostrable de que el nivel óptimo de producción se obtiene
cuando el costo marginal de producir una unidad es igual al ingreso marginal derivado de la venta de esa unidad marginal.
Para el caso de un proceso de producción con un costo variable unitario constante la
función de producción es una función lineal, como se puede ver en la Figura 6.1:
Figura 6.1
Costo total de producción
En la Figura 6.1 se muestra el costo total de producir Q unidades, señalado como
C(Q), que involucra un costo fijo y un costo variable.
PUNTOS DE EQUILIBRIO Y APALANCAMIENTO OPERACIONAL.
RIESGO OPERACIONAL
El punto de equilibrio operacional se define como el punto a partir del cual se comienzan a generar utilidades operacionales, o sea el punto para el cual la utilidad
operacional es igual a cero.
Para el caso de relaciones lineales:
Ingresos operacionales = P * Q
Costo operacionales = CF + CVU * Q
UAII = P * Q – CF - CVU * Q
ALFAOMEGA
t
FAC U LTA D D E A D M I N I S T R AC I Ó N / U N I A N D E S
[177]
Capítulo 6
Si UAII es igual a cero, se tiene:
0 = P * Q – CF – CVU * Qo
Despejando Qo, para el punto de equilibrio (Qo),
Qo = CF/(P-CVU)
En un proceso de producción con relaciones lineales, el punto de equilibrio operacional es igual al costo fijo de producción (CF) dividido por el margen de contribución a
costos fijos (P - CVU).
En la Figura 6.2 se resume la determinación del punto de equilibrio operacional:
Figura 6.2
Punto de equilibrio operacional
!"#&'
&+
El punto de equilibrio operacional, señalado como PE, se da cuando los ingresos operacionales igualan a los costos operacionales, incluyendo los costos fijos. El riesgo
inicial de un proyecto es el de no alcanzar el punto de equilibrio operacional o tardar
un tiempo prolongado para ello, lo cual puede afectar sensiblemente las finanzas de
la empresa que está realizando la inversión.
A manera de ejemplo, un proceso de producción con las siguientes características:
Costo fijo: $6.500.000
CVU: $10.000
P: $20.000
El punto de equilibrio, Qo = 6.500.000 /(20.000-10.000) = 650 unidades.
[178]
JAVIER SERR ANO
Puntos de equilibrio y apalancamiento operacional. Riesgo operacional
En términos gráficos, la Figura 6.3 muestra la determinación del punto de equilibrio,
para el proceso que se acaba de describir.
Figura 6.3
Determinación gráfica del punto de equilibrio
En la Figura 6.4 se muestra el comportamiento de la utilidad antes de intereses e impuestos o utilidad operacional. A manera de ejemplo, si el pronóstico de ventas
fluctúa entre 450 y 850 unidades, la utilidad antes de intereses e impuestos estaría
entre -$2.000.000 y $2.000.000, tal y como se muestra en la Figura 6.4:
Figura 6.4
Determinación de la utilidad operacional (UAII)
La volatilidad de la utilidad operacional frente a un cambio en el volumen de ventas
es la segunda componente del riesgo operacional o comercial de un proceso productivo.
ALFAOMEGA
t
FAC U LTA D D E A D M I N I S T R AC I Ó N / U N I A N D E S
[179]
Capítulo 6
Suponga otro proceso productivo para producir el mismo artículo con unos costos
fijos de $3.000.000 y unos costos variables unitarios de $15.000. Para este proceso
productivo, el punto de equilibrio será de 600 unidades, inferior al anterior que tenía
un mayor volumen de costos fijos.
En la Figura 6.5 se muestra el comportamiento de la utilidad operacional para los dos
procesos, para un rango de ventas entre 450 y 850 unidades; la volatilidad de la utilidad operacional es menor en el segundo proceso productivo, con un menor volumen
de costos fijos, fluctuando entre -$750.000 si las ventas fueran de 450 unidades y
$1.250.000 si las ventas fueran de 850 unidades.
Esta menor fluctuación de la utilidad operacional ante una fluctuación en el volumen
de ventas indica un menor riesgo operativo o comercial del proceso 2, con un menor
volumen de costos fijos frente al proceso 1, con un mayor volumen de costos fijos.
Por ello las empresas con mayor volumen de costos fijos, esto es, con una mayor apalancamiento operacional, tienen un mayor riesgo operacional, consistente en que una
vez que realizan las inversiones en activos fijos y capital de trabajo, definiendo una
estructura operativa, quedan expuestas a las volatilidades y/o cambios que se produzcan en el mercado (reducción de la demanda, aumento de la competencia, etc.).
En la medida en que la estructura operacional permanece en la empresa por un buen
número de años, la empresa con un mayor volumen de costos fijos queda mayormente expuesta que la empresa con un menor volumen de costos fijos, que se puede
adaptar mejor a los cambios en el entorno del negocio.
Figura 6.5
Utilidad operacional y apalancamiento operacional
Un análisis de la función de producción del proyecto y su adecuación al mercado es
crítico en la evaluación de cualquier proyecto de inversión. En general se parte de un
[180]
JAVIER SERR ANO
Puntos de equilibrio y apalancamiento operacional. Riesgo operacional
estudio de prefactibilidad en el cual se hace una primera evaluación del mercado al
cual se dirige el producto que se va a producir con el proyecto de inversión que se
está analizando, incluyendo el análisis de la participación esperada, el precio de ventas esperado y una estimación del volumen de ventas para ese precio de ventas y
para esa participación en el mercado. Posteriormente se establece la función de producción propia de la tecnología que se va a utilizar en el proyecto, para poder hacer
un estimativo del punto de equilibrio operacional del proyecto y de la viabilidad de
alcanzar ese punto de equilibrio, con las condiciones de mercado que va a enfrentar
el proyecto. Con este análisis se define la primera componente del riesgo comercial u
operacional de un proyecto de inversión, consistente en un estimativo de la probabilidad de alcanzar el punto de equilibrio operacional, o también, un estimativo del año a
partir del cual se va a alcanzar un punto de equilibrio operacional, bajo un escenario
de comportamiento del mercado, de la participación en el mercado, del precio de
ventas esperado, que permita hacer una proyección de los ingresos esperados y por lo
tanto una estimación de la utilidad operacional, teniendo en cuenta la estructura de
costos del negocio. Así mismo, se debe analizar otro componente del riesgo, la volatilidad de la utilidad operacional para un rango razonable de fluctuación de las ventas.
ALFAOMEGA
t
FAC U LTA D D E A D M I N I S T R AC I Ó N / U N I A N D E S
[181]
Capítulo 7
RENTABILIDAD DEL PROYECTO EN SÍ Y RENTABILIDAD DEL CAPITAL
PROPIO APORTADO AL PROYECTO
Este capítulo profundiza en la construcción del flujo de fondos para analizar la viabilidad financiera de un proyecto de inversión y en la identificación de los costos
relevantes para hacer la correspondiente evaluación. Especialmente, se aborda la
construcción del flujo de fondos para medir la rentabilidad del proyecto en sí, independientemente de cómo se va a financiar, y para medir la rentabilidad del capital
propio aportado al proyecto, la cual tiene en cuenta el efecto del apalancamiento financiero. Los dos flujos a que se hace referencia son, respectivamente, el flujo de caja
para el proyecto y el flujo de caja para los recursos propios aportados al proyecto,
conocido también como flujo de caja para el patrimonio o flujo de fondos para el
equity, o para el inversionista.
La construcción del flujo de caja para evaluar la rentabilidad de un proyecto de inversión usualmente parte de la información contable disponible o proyectada (balances
proforma), la cual lleva implícitamente un tratamiento particular de algunas cuentas
según las reglas de contabilidad establecidas al respecto. El flujo de caja que se utiliza
para la evaluación de un proyecto de inversión se construye sobre movimientos de
caja, lo cual requiere una adecuación de la información contable, que se basa en el
concepto de causación. Por ello, para la construcción del flujo de caja para medir la
rentabilidad del proyecto en sí, se requiere:
a) Identificar aquellas cuentas que afectan el estado de pérdidas y ganancias pero no
afectan el flujo de caja, para hacer la correspondiente adecuación de la información
contable, hacia la construcción del flujo de caja para evaluar un proyecto de
inversión. Entre estas cuentas se tendrían las siguientes:
x Depreciación.
x Amortización de diferidos.
x Provisiones por pensiones de jubilación que aumentan la reserva actuarial.
x Ajustes por inflación.
b) Identificar aquellas cuentas que sin afectar el estado de pérdidas y ganancias, si
afectan el flujo de caja, para hacer la correspondiente adecuación de la información
contable, hacia la construcción del flujo de caja para evaluar un proyecto de
inversión. Entre estas cuentas se tendrían:
x Pagos parciales o totales de jubilados actuales contra una provisión para pensiones de jubilación.
x Pagos efectivos incurridos en el mantenimiento de equipos especiales, que se
cargan contra una reserva realizada previamente.
[183]
Capítulo 7
c) Corregir las diferencias en el tiempo entre el momento en que se causa contablemente un ingreso o un egreso y aquel en que se recibe o se paga el correspondiente flujo de efectivo, tal y como ocurre con los ingresos por ventas a crédito, o
con las causaciones mensuales por cesantías. En general, la diferencia entre ingresos
y egresos causados e ingresos y egresos efectivamente recibidos va a dar lugar a
una inversión neta en capital de trabajo operativo, como se analizará posteriormente.
Además de las correcciones que se acaban de mencionar hay que establecer los costos relevantes que se deben considerar en la evaluación de proyectos, tema sobre el
cual se profundiza al final del capítulo, ya que puede existir una diferencia importante
entre el tratamiento contable de un costo y su consideración en la evaluación de proyectos, tal y como ocurre con los denominados costos muertos (sunk costs en inglés).
El criterio principal a utilizar para determinar si un costo es relevante o no en la evaluación de un proyecto de inversión se desprende de la respuesta a la pregunta
relacionada con el hecho de si el mismo se genera como consecuencia de la ejecución
del proyecto, o se puede evitar en caso de que el proyecto no se realice.
En síntesis, este capítulo se centra básicamente en la construcción de los flujos de caja
para el proyecto y para el capital propio aportado al proyecto, enfatizando la separación entre la información contable y la información relevante para la evaluación de
proyectos. Los flujos de caja que aquí se ilustran también se conocen como flujo de caja
libre para el proyecto y flujo de caja libre para el patrimonio o para el inversionista.
TRATAMIENTO DE LA DEPRECIACIÓN
El cargo por depreciación que se lleva periódicamente al estado de pérdidas y ganancias se puede ver desde dos puntos de vista complementarios:
x
Llevar al estado de pérdidas y ganancias un cargo (gasto) por la utilización del activo
correspondiente.
x
Generar internamente los recursos necesarios para la reposición del activo, una vez
haya transcurrido su vida útil.
Cualquiera que sea el punto de vista que se esté utilizando, el cargo que se hace periódicamente por depreciación no implica la realización de un pago efectivo en ese
momento; el pago en efectivo se hace efectivamente en el momento en que se realiza
la inversión. Por ello, si se consideran simultáneamente la inversión (por ejemplo, como un flujo negativo en la fecha cero) y los cargos periódicos por depreciación, se
estaría haciendo una doble contabilización de la inversión:
[184]
JAVIER SERR ANO
Tratamiento de la depreciación
x
x
Correctamente en la fecha en que se incluyó la inversión (usualmente al comienzo
del proyecto).
Incorrectamente en cada período en el cual se ha llevado al estado de pérdidas y
ganancias un cargo por depreciación, ya que no se tiene en cuenta el valor del
dinero en el tiempo.
Por ello, para evitar una doble contabilización de la inversión se requiere corregir en el
flujo de caja el cargo por depreciación, sumándolo a la utilidad neta proyectada. Corregir no significa eliminar, ya que el cargo por depreciación está afectando la utilidad
antes de intereses e impuestos y por lo tanto afecta el monto de los impuestos a pagar, cifra que es muy importante en la determinación de la rentabilidad del proyecto
después de impuestos.
Ejemplo 7.1
Para ilustrar lo que se acaba de mencionar considere el proyecto de inversión que se
presenta en el Cuadro 7.1, donde se suministra el monto de la inversión y la utilidad
neta (después de impuestos), para cada uno de los 5 años que constituyen la vida útil
del proyecto. Para simplificar la presentación se supone que no existen gastos financieros, o sea que el proyecto se financia en un 100% con recursos propios. Así mismo
se supone que la inversión es en activos fijos, los cuales se deprecian en un 100%; al
final de la vida útil, lo que se obtendría por la venta del activo depreciado sería exactamente igual al costo de preparar la maquinaria para su disposición y entrega al
comprador potencial.
Rentabilidad del proyecto en sí
Supuestos:
Valor depreciable:100%
Depreciación en línea recta
No hay ajustes por inflación
El proyecto se financia con recursos propios
Tasa de impuestos:35%
Inversión en la fecha 0:$100.000
Cuadro 7.1
Rentabilidad del proyecto en sí
Año
0
1
2
3
4
5
ALFAOMEGA
t
Utilidad neta
30.000
40.000
50.000
60.000
70.000
FAC U LTA D D E A D M I N I S T R AC I Ó N / U N I A N D E S
[185]
Capítulo 7
Una de las principales equivocaciones que se comete en la evaluación de proyectos es
igualar el flujo de caja a la utilidad neta, lo cual lleva a subestimar la rentabilidad del
proyecto. En el caso específico del ejemplo considerado, una equivocación de esta
naturaleza resulta en una estimación equivocada de la rentabilidad del 34,12%, que
sería la tasa interna de retorno del flujo compuesto únicamente por las utilidades netas, lo cual llevaría a rechazar el proyecto si la tasa de interés de oportunidad fuera del
40%.
Para calcular la rentabilidad correcta del proyecto hay que construir el flujo de caja a
partir de la utilidad neta sumando la depreciación que se cargó anualmente al estado
de pérdidas y ganancias, la cual no genera un pago efectivo en el momento en que se
hace el cargo correspondiente, además de que la inversión ya se ha considerado por
su valor real en la fecha cero.
Partiendo del supuesto especificado de que el proyecto se está financiando con recursos propios, el flujo de caja o flujo de fondos para determinar la rentabilidad del
proyecto se construye sumando a la utilidad neta el valor de la depreciación de cada
año, tal y como se muestra en el Cuadro 7.2, utilizando la expresión:
FJ = (Utilidad neta)J + (Depreciación)J
donde:
FJ:
(Depreciación)J:
(Utilidad neta)J:
Flujo de caja en el período j
Depreciación en el período j
Utilidad neta en el período j
Cuadro 7.2
Tratamiento de la depreciación
Año
Utilidad neta
Depreciación
1
30.000
20.000
50.000
2
40.000
20.000
60.000
3
50.000
20.000
70.000
4
60.000
20.000
80.000
5
70.000
20.000
90.000
0
Flujo de fondos
-100.000
Tasa de interés de oportunidad:
Tasa interna de retorno:
Valor presente neto:
40,00%
54,97%
29.395
Para el ejemplo que se está analizando, tal y como se muestra en el Cuadro 7.2, la
rentabilidad del proyecto, medida a través de la tasa interna de retorno, resulta igual
al 54,97%, cifra bastante mayor a la que se había estimado previamente en forma
equivocada, y superior a la tasa de oportunidad del 40%, lo cual llevaría a aceptar el
proyecto.
[186]
JAVIER SERR ANO
Tratamiento de otras cuentas
TRATAMIENTO DE OTRAS CUENTAS
Amortización de diferidos
La amortización de diferidos debe ser tratada en forma similar a la depreciación, debido a que la inversión y/o gasto correspondiente al desembolso real se realizó en otro
momento, todo ello para evitar una doble contabilización que lleva a subestimar la
rentabilidad de un proyecto de inversión.
FJ = (Utilidad neta)J + (Depreciación)J + (Amortización de diferidos)J
Ajustes por inflación
Para tener en cuenta los ajustes por inflación en la construcción del flujo de caja de un
proyecto, hay que considerar los siguientes puntos:
a) La cuenta de corrección monetaria hace parte del estado de pérdidas y ganancias.
b) El ajuste de los activos no monetarios aumenta el valor del activo y genera un
ingreso en la cuenta de corrección monetaria. Su resultado neto sobre la utilidad
antes de intereses e impuestos es positivo, o sea aumenta dicha utilidad.
c) El ajuste del patrimonio aumenta el valor del patrimonio (revalorización del
patrimonio) y genera un egreso en la cuenta de corrección monetaria. Su resultado
neto sobre la utilidad antes de intereses e impuestos es negativo, es decir disminuye
dicha utilidad.
d) En el momento no se requiere hacer ajustes por inflación. Esto simplifica la situación
respecto a la que existía anteriormente, cuando había necesidad de realizar dichos
ajustes a las diferentes cuentas del estado de pérdidas y ganancias y al balance
general.
Por lo tanto, para corregir el efecto de la cuenta de corrección monetaria hay que
restar de la utilidad neta el ajuste de los activos no monetarios y sumar a la utilidad
neta el ajuste del patrimonio; lo anterior sería equivalente a restar con el signo algebraico correspondiente el valor de la cuenta de corrección monetaria. En otras
palabras, si la cuenta de corrección monetaria resulta positiva se resta dicho valor; si
resulta negativa, se suma dicho valor.
Llamando:
FJ =
(Utilidad neta)J + (Depreciación)J + (Amortización de diferidos)J - (A x Inf)J
ALFAOMEGA
t
FAC U LTA D D E A D M I N I S T R AC I Ó N / U N I A N D E S
[187]
Capítulo 7
Valor de salvamento
En muchos proyectos el valor de salvamento contable difiere del valor de salvamento
real, que corresponde al dinero que efectivamente se va a recibir al final de la vida útil
del activo cuando se venda. Por ello, en la evaluación de proyectos habría que tener
en cuenta como un ingreso el valor proyectado que efectivamente se recibiría si el
activo se llegara a vender, menos el monto de los impuestos que habría que pagar en
el caso de generarse una ganancia ocasional (diferencia entre el precio de venta y el
costo fiscal del activo).
VSNT: Valor de salvamento neto, después de impuestos, al disponer del activo en la
fecha T (final de su vida útil).
VSNT = (Ingreso por venta activo)T - (Ingreso por venta activo - valor fiscal del activo)T*t
donde t corresponde a la tasa de tributación.
FJ = (Utilidad neta)J + (Depreciación)J + (Amortización de diferidos)J - (A x Inf )J
+ VSNT
Provisión para pensiones de jubilación
Algunas empresas aún llevan a su estado de pérdidas y ganancias una provisión para
pensiones de jubilación con el fin de incrementar su reserva actuarial. Cuando ese sea
el caso, como la misma no corresponde a un desembolso de efectivo, habría que sumar a la utilidad neta el valor de esa provisión para construir el flujo de caja o de
fondos del proyecto. La situación contraria se presentaría cuando se pagan las pensiones de jubilación con cargo a la reserva actuarial. En este último caso, habría que
llevar al flujo de caja el valor efectivamente pagado, ya que el mismo no estaría incluido en la utilidad neta.
(Am. Cact)J: Amortización del cálculo actuarial en el j-ésimo período
(Pag efect jub)J: Pago efectivo a los jubilados en el j-ésimo período, contra la reserva
actuarial
FJ = (Utilidad neta)J + (Depreciación)J + (Amortización de diferidos)J - (A x Inf )J
+ VSNT + (Am. Cact)J - (Pag efect jub)J
Ventas a crédito
Para hacer el ajuste por ventas a crédito hay que desplazar el valor de las mismas a la
fecha en que efectivamente se espera recaudar el importe de esas ventas. El ingreso
de la venta a crédito se causa en el momento de su realización; pero el ingreso de
[188]
JAVIER SERR ANO
Rentabilidad del proyecto en sí. Flujo de fondos para el proyecto
efectivo se recibe en el momento en que se recauda la correspondiente cuenta por
cobrar. La diferencia anterior da lugar a una cartera o cuentas por cobrar, que surgen
en el giro ordinario del negocio y hacen parte de la inversión en el capital de trabajo
operativo, conjuntamente con los inventarios. La inversión en cuentas por cobrar y en
inventarios se financia parcialmente con las cuentas por pagar a proveedores.
Cesantías (Ley 50)
Las cesantías, según la Ley 50, se causan periódicamente pero sólo se transfieren a las
Sociedades Administradoras de Fondos de Cesantías y Pensiones en el mes de febrero
del próximo año. Por ello, habría que hacer la correspondiente corrección para tener
en cuenta la diferencia entre la causación y el desembolso de caja que efectivamente
se realizará en una fecha posterior.
Impuesto de renta
Usualmente se hace una provisión para el impuesto de renta, al final de cada ejercicio,
sin que el pago del mismo se realice en esa fecha. El pago real del impuesto de renta
se realiza en el siguiente año, de acuerdo con el calendario tributario que para tal
efecto acuerda la Dirección de Impuestos Nacionales, el cual se reparte en varios pagos, dependiendo del tipo de contribuyente. En sentido estricto, el desembolso por
impuestos se debería establecer en las fechas reales de pago; sin embargo, se acostumbra como una aproximación, concentrar esos pagos al final del año, para
simplificar el tratamiento correspondiente.
Otros casos
En cada situación específica hay que tener en cuenta la fecha en que se hace la causación del ingreso (o egreso) y aquella en la cual efectivamente se recauda el mismo
(o se desembolsa efectivamente el pago). Sin embargo, cuando se proceda a la realización de este tipo de correcciones no hay que perder el sentido de las proporciones,
y hay que realizar sólo aquellas que por su tamaño y/o discrepancia puedan tener un
efecto realmente significativo sobre los resultados de la evaluación del proyecto.
RENTABILIDAD DEL PROYECTO EN SÍ. FLUJO DE FONDOS
PARA EL PROYECTO
En la evaluación de un proyecto de inversión hay dos conceptos que se suelen confundir y por lo tanto conducen a decisiones equivocadas, a saber:
x
x
Rentabilidad del proyecto en sí.
Rentabilidad de los recursos propios aportados al proyecto.
ALFAOMEGA
t
FAC U LTA D D E A D M I N I S T R AC I Ó N / U N I A N D E S
[189]
Capítulo 7
El primero de los conceptos, rentabilidad del proyecto en sí, corresponde a una característica intrínseca del proyecto, independientemente de la forma como se vaya a
financiar; corresponde a una rentabilidad sin tener en cuenta el apalancamiento financiero. Por ello, algunos la denominan como rentabilidad del proyecto en sí,
independientemente de sus fuentes de financiación.
Para la definición del flujo de caja correspondiente a la rentabilidad del proyecto en sí, o
flujo de caja libre para el proyecto, se supone que el mismo se va a financiar con recursos propios. En otras palabras, no se consideran los gastos financieros correspondientes
a la deuda utilizada para financiar la inversión (activos fijos y capital de trabajo). Los
pasos que se deben seguir para calcular esa rentabilidad son los siguientes:
a) Calcular la utilidad antes de intereses e impuestos. Mejor aún, parta de la utilidad
antes de intereses o impuestos (UAII).
b) Hacer la utilidad antes de impuestos igual a la utilidad antes de intereses e impuestos, a que se hace referencia en a) (UAI).
c) Calcular los impuestos a pagar, sobre la base de la utilidad definida en el literal b)
(sin gastos financieros; esto es sin considerar el efecto del apalancamiento
financiero).
d) Calcular la utilidad neta, con base en c) y b).
e) Calcular el flujo de caja, sumando a la utilidad neta encontrada en d) la depreciación
de cada período, adicionalmente a efectuar los ajustes correspondientes por efecto
de las amortizaciones de diferidos, provisiones por pensiones de jubilación que
aumentan la reserva actuarial, ajustes por inflación y demás ajustes a que se hizo
referencia
f) Lo anterior conduce al flujo de caja que se fue construyendo paulatinamente, el cual
se conoce como el flujo de caja libre para el proyecto, o flujo de caja para calcular la
rentabilidad del proyecto en sí, independientemente de la forma como se vaya a
financiar.
g) Estimar la inversión en activos fijos y en capital de trabajo que se requiere en cada
período.
Inversión en activos fijos durante el j-ésimo período.
IJ:
(ICT)J: Inversión en capital de trabajo durante el j-ésimo período.
Usualmente,
[190]
JAVIER SERR ANO
Rentabilidad del proyecto en sí. Flujo de fondos para el proyecto
(ICT)J = (CCJ - CCJ-1) + (INVJ - INVJ-1) - (CPJ - CPJ-1)
donde:
CCJ:
Valor de las cuentas por cobrar al final del j-ésimo período.
INVJ:
Valor de los inventarios al final del j-ésimo período.
CPJ:
Valor de las cuentas por pagar al final del j-ésimo período.
h) La expresión final para el flujo de caja libre para el proyecto, o flujo de caja para
calcular la rentabilidad del proyecto en sí, sería la siguiente:
FJ =
(Utilidad neta)J + (Depreciación)J + (Amortización de diferidos)J
- (A x Inf)J + (Am. Cact)J - (Pag efect jub)J - IAFJ - ICTJ
para J= 1,2,…T-1
(Utilidad neta)T + (Depreciación)T + (Amortización de diferidos)T
- (A x inf)T + (Am. Cact)T - (Pag efect jub)T – IAFT - ICTT + VSNT
FT=
Para aquellas empresas que no tienen a su cargo el cálculo actuarial ni jubilados, la
expresión anterior se reduce a:
FJ =
(Utilidad neta)J + (Depreciación)J + (Amortización de diferidos)J
- (A x inf)J - IAFJ - ICTJ
J= 1,2,… T-1
(Utilidad neta)T + (Depreciación)T + (Amortización de diferidos)T
- (A x inf)T – IAFT - ICTT + VSNT
FT =
Hay que enfatizar que en las expresiones que se acaban de presentar la utilidad neta
se calcula sin tener en cuenta los gastos financieros correspondientes a la deuda que
utilice la empresa en su estructura de capital y con base en unos impuestos que no
tienen en cuenta esos gastos financieros. Esto es, la utilidad neta se calcula sin tener
en cuenta el apalancamiento financiero, lo cual sería equivalente a partir de la utilidad
antes de intereses e impuestos (UAII), ya que solamente se tienen en cuenta ingresos
operativos, costos y gastos operativos. Como se ve, en el cálculo del flujo de caja libre
para el proyecto se asume, independientemente de que ese sea el caso, que el proyecto se va a financiar en su totalidad con recursos propios. Los pasos necesarios para
la construcción del flujo de caja para el cálculo de la rentabilidad del proyecto en sí,
independientemente de sus fuentes de financiamiento.
Para el ejemplo que se ha venido analizando, la rentabilidad del proyecto en sí es del
54,97%, superior a la tasa de interés de oportunidad, lo que significa la viabilidad
financiera del proyecto de inversión. Para el mismo flujo de caja o de fondos, el valor
presente neto del proyecto, a la tasa de interés de oportunidad del 40%, es 29.395.
ALFAOMEGA
t
FAC U LTA D D E A D M I N I S T R AC I Ó N / U N I A N D E S
[191]
Capítulo 7
Para que un proyecto de inversión resulte atractivo desde el punto de vista financiero,
la rentabilidad del proyecto en sí debe ser mayor a la tasa de interés de oportunidad,
o lo que es equivalente, el valor presente neto del flujo de caja libre para el proyecto,
utilizado para analizar la rentabilidad del proyecto en sí, descontado a la tasa de interés de oportunidad, debe ser mayor que cero.
UTILIZACIÓN DE LA DEPRECIACIÓN ACELERADA
La escogencia del método de depreciación puede afectar la rentabilidad del proyecto
en sí, por la incidencia que la selección de un método específico tiene sobre el flujo de
impuestos a pagar. Para ilustrar lo que se acaba de afirmar, se va a comparar la rentabilidad del proyecto en sí utilizando un método de depreciación en línea recta
versus un método de depreciación acelerado (40%, 40%, 20%). Para ello se utiliza el
mismo ejemplo que se ha venido trabajando, donde la utilidad neta mostrada inicialmente, se supone que se produjo utilizando un método de depreciación en línea recta. En este caso, la rentabilidad del proyecto en sí resultó igual al 54,97%, con un
valor presente neto a una tasa de interés de oportunidad del 40%, igual a 29.395.
En el Cuadro 7.3 se muestra el flujo de caja necesario para calcular la rentabilidad del
proyecto en sí, utilizando el método de depreciación acelerada. Cuando se utiliza la
depreciación acelerada, la rentabilidad del proyecto se incrementa del 54,97% al
58,55%, y el valor presente neto para una tasa de interés de oportunidad del 40% se
incrementa de 29.395 a 34.843.
Depreciación acelerada
Supuestos:
Depreciación acelerada:
Tasa de impuestos:
40%, 40%, 20%
35%
Cuadro 7.3
Depreciación acelerada
Años
Utilidad neta
con deprec.
(línea recta)
Utilidad antes
de impuestos
(línea recta)
Utilidad antes
de impuestos
y depreciación
Depreciación
acelerada
Utilidad
antes de
impuestos
Utilidad
neta
deprec. aceler.
0
[192]
Flujo de caja
libre para el
proyecto
-100.000
1
30.000
46.154
66.154
40.000
26.154
17.000
57.000
2
40.000
61.538
81.538
40.000
41.538
27.000
67.000
3
50.000
76.923
96.923
20.000
76.923
50.000
70.000
4
60.000
92.308
112.308
0
112.308
73.000
73.000
5
70.000
107.692
127.692
0
127.692
83.000
83.000
JAVIER SERR ANO
Ahorro en impuestos
Tasa de interés de oportunidad
Tasa interna de retorno
Valor presente neto
40%
58,55%
34.843
AHORRO EN IMPUESTOS
La explicación del aumento de la rentabilidad del proyecto en sí y del valor presente
neto que se mostró en el numeral anterior al utilizar un método de depreciación acelerada versus uno en línea recta, se encuentra en el flujo diferente de los impuestos
que se pagan en cada caso, tal y como se ilustra en el Cuadro 7.4, bajo el título de
ahorro en impuestos.
Cuadro 7.4
Ahorro en impuestos
Año
Impuestos utilizando
depreciación en línea recta
Impuestos utilizando
depreciación acelerada
Ahorro en
impuestos
1
16.154
9.154
7.000
2
21.538
14.538
7.000
3
26.923
26.923
0
4
32.308
39.308
-7.000
5
37.692
44.692
-7.000
Tasa de interés de oportunidad:
40%
Valor presente del ahorro en impuestos: 5.448
Diferencia en valor presente:
5.448
Aunque en ambos casos se paga el mismo monto de impuestos en valor nominal durante el período de 5 años, cuando se utiliza un método de depreciación acelerada se
pagan menos impuestos al principio y más al final, respecto de los impuestos que se
pagarían si se utilizara un método de depreciación en línea recta. Si no se tiene en
cuenta el valor del dinero en el tiempo, no habría un ahorro neto en impuestos; sin
embargo, al tener en cuenta el valor del dinero en el tiempo, se tendría un ahorro
neto en impuestos, cuyo valor presente a la tasa de interés de oportunidad del 40%
resulta igual a 5.448, que es precisamente la diferencia existente entre el valor presente del proyecto utilizando un método de depreciación acelerado y el valor presente
del proyecto utilizando un método en línea recta.
RENTABILIDAD DEL CAPITAL PROPIO APORTADO AL PROYECTO.
FLUJO DE CAJA PARA EL CAPITAL PROPIO APORTADO AL PROYECTO
O FLUJO DE CAJA LIBRE PARA EL INVERSIONISTA
En este caso se tiene en cuenta el apalancamiento financiero, esto es, el efecto de la
deuda utilizada para financiar el proyecto sobre la rentabilidad de los recursos propios
ALFAOMEGA
t
FAC U LTA D D E A D M I N I S T R AC I Ó N / U N I A N D E S
[193]
Capítulo 7
que efectivamente se aportaron para financiar el proyecto. Los pasos a seguir para la
construcción del flujo de caja se ilustran en el Cuadro 7.5, que se presenta a continuación, donde la inversión se va a financiar de la siguiente forma: el 50% con
recursos propios y el 50% con un crédito, a 5 años, amortizado totalmente al final de
los 5 años, con un interés del 40% anual que se paga al final de cada año.
Inversión en la fecha 0:
Deuda:
Recursos propios:
Tasa interés deuda:
100.000
50.000
50.000
40%
Cuadro 7.5
Cálculo de la rentabilidad de los recursos propios aportados al proyecto
Año
Utilidad
antes de
intereses e
impuestos
Gastos
financieros
Utilidad
antes de
impuestos
Utilidad
neta
Depreciación Amortización
(línea recta)
a capital
0
Flujo
de caja
inversionista
-50.000
1
46.154
20.000
26.154
17.000
20.000
37.000
2
61.538
20.000
41.538
27.000
20.000
47.000
3
76.923
20.000
56.923
37.000
20.000
57.000
4
92.308
20.000
72.308
47.000
20.000
5
107.692
20.000
87.692
57.000
20.000
Tasa de interés de oportunidad:
Tasa interna de retorno:
Valor presente neto:
67.000
-50.000
27.000
40%
84,47%
43.642
Para la construcción del flujo de caja para calcular la rentabilidad de los recursos propios aportados al proyecto, conocido también como flujo de caja libre para el
inversionista o para el patrimonio, hay que seguir los siguientes pasos:
1. Calcular los recursos propios invertidos en el proyecto; igual al monto de la inversión
menos los ingresos derivados del financiamiento: I0 - F0,
I0: Inversión en la fecha cero
F0: Financiamiento en la fecha cero
2. Calcular la utilidad antes de intereses e impuestos utilizando el método de
depreciación escogido.
3. Calcular los gastos financieros, teniendo en cuenta la tasa de interés de los créditos
utilizados para financiar el proyecto.
[194]
JAVIER SERR ANO
Rentabilidad del capital propio aportado al proyecto...
4. Calcular la utilidad antes de impuestos, teniendo en cuenta 2 y 3.
5. Calcular los impuestos sobre la base de la utilidad definida en 4.
6. Calcular la utilidad neta teniendo en cuenta 4 y 5.
7. Corregir la depreciación, amortización de diferidos, etc., tal y como se hizo cuando
se calculó el flujo de caja libre para el proyecto, o flujo de caja para medir la
rentabilidad del proyecto en sí.
8. Estimar la inversión en activos fijos y en capital de trabajo que se requiere en cada
período, diferente a la fecha cero: IJ e ICTJ.
9. Restar la amortización del crédito hasta completar el servicio de la deuda utilizada
para financiar el proyecto. Esto es, la amortización periódica que hay que realizar
correspondiente al desembolso F0, con el cual se financió la inversión inicial I0 o
cualquier otro crédito cuyo desembolso haya sido contabilizado como un ingreso
financiero.
(Amort deuda)J: amortización de la deuda, correspondiente al financiamiento inicial,
para el j-ésimo período, o para cualquier otro crédito cuyo desembolso se haya
realizado previamente y contabilizado como un ingreso financiero.
10. En términos notacionales y para una empresa que no tenga a su cargo el cálculo
actuarial ni jubilados, el flujo de caja libre para calcular la rentabilidad de los recursos
propios aportados al proyecto o flujo de caja libre para el capital propio aportado al
proyecto o para el inversionista, sería:
FJ = (Utilidad neta)J + (Depreciación)J + (Amortización de diferidos)J - (A x Inf)J
+ VSNT - IJ - (ICT)J - (Amort deuda)J
donde:
(Utilidad neta)J = UAIIJ - GFJ - (UAIIJ - GFJ)*t
(Utilidad neta)J = (UAIIJ - GFJ)*(1-t)
UAIIJ:
GFJ:
t:
Utilidad antes de intereses e impuestos durante el j-ésimo período
Gastos financieros durante el j-ésimo período
Tasa de tributación
11. Comparar el flujo anterior con la inversión neta de recursos propios del inversionista,
en la fecha cero, que es igual a I0 - F0.
ALFAOMEGA
t
FAC U LTA D D E A D M I N I S T R AC I Ó N / U N I A N D E S
[195]
Capítulo 7
Otra forma de analizar la rentabilidad de los recursos propios aportados al proyecto consiste en definir separadamente el flujo de caja del proyecto de inversión y el flujo de caja
del proyecto de financiación, para encontrar el flujo neto, restando el uno del otro.
Cuando se utilice esta metodología, hay que tener en cuenta el impacto de los gastos
financieros sobre el monto de los impuestos a pagar, como consecuencia del crédito tributario que se genera. Este procedimiento se explica en los Cuadros 7.6, 7.7 y 7.8.
Cuadro 7.6
Forma alterna de calcular la rentabilidad de los recursos propios aportados al proyecto
Año
0
1
2
3
4
5
Utilidad antes de
intereses e impuestos
Utilidad neta
Depreciación
46.154
61.538
76.923
92.308
107.692
30.000
40.000
50.000
60.000
70.000
20.000
20.000
20.000
20.000
20.000
Flujo de caja proyecto de
inversión
-100.000
50.000
60.000
70.000
80.000
90.000
En el Cuadro 7.6 se muestra el flujo de fondos para el proyecto de inversión, y en el
Cuadro 7.7 se muestra el flujo de fondos para el proyecto de financiación.
Cuadro 7.7
Proyecto de financiación
Ingresos
por financia-miento
Año
0
1
2
3
4
5
Gastos
financieros
Amortización
del capital
Crédito
tributario
gastos financ.
Flujo de caja
proyecto de
financiación
7.000
7.000
7.000
7.000
7.000
50.000
-13.000
-13.000
-13.000
-13.000
-63.000
50.000
-20.000
-20.000
-20.000
-20.000
-20.000
-50.000
En el Cuadro 7.8 se muestra la superposición entre el flujo de caja para el proyecto de
inversión y el flujo de caja para el proyecto de financiación:
Cuadro 7.8
Flujo de caja para el inversionista
Año
0
1
2
3
4
5
[196]
Flujo de fondos proyecto
de inversión
A
-100.000
50.000
60.000
70.000
80.000
90.000
Flujo de fondos proyecto
de financiación
B
50.000
-13.000
-13.000
-13.000
-13.000
-63.000
Flujo de fondos
neto
(A+B)
-50.000
37.000
47.000
57.000
67.000
27.000
JAVIER SERR ANO
Rentabilidad de los recursos propios aportados al proyecto y uso de la depreciación acelerada
Tasa de interés de oportunidad:
Tasa interna de retorno:
Valor presente neto:
40%
84,47%
43.642
RENTABILIDAD DE LOS RECURSOS PROPIOS APORTADOS
AL PROYECTO Y USO DE LA DEPRECIACIÓN ACELERADA
En los siguientes cuadros 7.9, 7.10 y 7.11 se repiten los cálculos necesarios para encontrar la rentabilidad de los recursos propios aportados al proyecto utilizando un
método de depreciación acelerada y el correspondiente ahorro en impuestos que se
generaría frente a la situación cuando se utiliza un método de depreciación en línea
recta. En el Cuadro 7.9 se muestran los cálculos necesarios para llegar a la utilidad
neta, utilizando un método de depreciación acelerada.
Cuadro 7.9
Cálculo de la rentabilidad de los recursos propios aportados al proyecto utilizando
un método de depreciación acelerada
Año
Utilidad antes
de intereses
e impuestos
(línea recta)
Utilidad antes
de intereses,
impuestos y
depreciación
Depreciación
acelerada
Gastos
financieros
Utilidad
antes de
impuestos
Utilidad
neta
(depreciación
acelerada)
0
1
46.154
66.154
40.000
20.000
6.154
4.000
2
61.538
81.538
40.000
20.000
21.538
14.000
3
76.923
96.923
20.000
20.000
56.923
37.000
4
92.308
112.308
0
20.000
92.308
60.000
5
107.692
127.692
0
20.000
107.692
70.000
En el Cuadro 7.10 se muestran los cálculos necesarios para determinar la rentabilidad
de los recursos propios aportados al proyecto, utilizando un método de depreciación
acelerada.
Cuadro 7.10
Construcción del flujo de caja para el inversionista
Año
Inversión
Financiamiento
0
-100.000
50.000
Utilidad
neta
Depreciación
Amortización
Flujo de
Fondos
-50.000
1
4.000
40.000
44.000
2
14.000
40.000
54.000
3
37.000
20.000
57.000
4
60.000
0
5
70.000
0
ALFAOMEGA
t
60.000
-50.000
FAC U LTA D D E A D M I N I S T R AC I Ó N / U N I A N D E S
20.000
[197]
Capítulo 7
Tasa de Interés de Oportunidad:
Tasa Interna de Retorno:
Valor presente neto:
40%
93,59%
49.089
En el Cuadro 7.11 se muestra el valor presente del ahorro en impuestos al utilizar un
método de depreciación acelerada versus uno de línea recta.
Cuadro 7.11
Ahorro en impuestos
Impuestos
(línea recta)
Impuestos
(dep. acel.)
Ahorro en
impuestos
1
9.154
2.154
7.000
2
14.538
7.538
7.000
Año
3
19.923
19.923
0
4
25.308
32.308
-7.000
5
30.692
37.692
-7.000
Tasa de interés de oportunidad:
Valor presente ahorro en impuestos:
Diferencia valor presente:
40%
5.448
5.448
EJEMPLOS DETALLADOS DEL CÁLCULO DE LA RENTABILIDAD
DEL PROYECTO EN SÍ Y DE LA RENTABILIDAD DE LOS
RECURSOS PROPIOS APORTADOS AL PROYECTO
Ejemplo 7.2
En el Cuadro 7.12 se muestra la utilidad antes de intereses e impuestos para un proyecto con una inversión inicial en activos fijos por valor de $180.000 y con una vida
útil de 5 años; la inversión inicial en activos fijos se deprecia en un 100%, utilizando
un método de depreciación en línea recta. La inversión inicial se va a financiar en un
60% con un crédito a 5 años, que se amortiza en un solo pago al final de los 5 años;
la tasa de interés del crédito es del 35% y se supone que se paga al final de cada año.
La tasa de impuestos es del 35%.
Cuadro 7.12
[198]
Año
0
UAII
1
53.846
2
69.231
3
92.308
4
107.692
5
138.462
JAVIER SERR ANO
Ejemplos detallados del cálculo de la rentabilidad del proyecto en sí...
a) Calcular la rentabilidad del proyecto en sí, utilizando un método de depreciación en
línea recta y un método de depreciación acelerado (40%, 40%, 20%). Calcular el
valor presente del ahorro en impuestos.
b) Calcular la rentabilidad de los recursos propios aportados al proyecto, utilizando un
método de depreciación en línea recta y un método de depreciación acelerado.
Calcular el valor presente del ahorro en impuestos.
a) Calcular la rentabilidad del proyecto en sí, utilizando un método de depreciación
en línea recta y un método de depreciación acelerado (40%, 40%, 20%).
Los principales supuestos son:
Valor depreciable: 100%
Depreciación en línea recta
No hay ajustes por inflación
El proyecto se financia con recursos propios
Tasa de impuestos: 35%
Inversión fecha 0: 180.000
En el Cuadro 7.13 se muestran los cálculos necesarios para determinar la rentabilidad del proyecto en sí, independientemente de sus fuentes de financiamiento.
Cuadro 7.13
Tratamiento de la depreciación
Utilidad neta sin financiamiento
Depreciación (LR)
1
35.000
36.000
71.000
2
45.000
36.000
81.000
3
60.000
36.000
96.000
4
70.000
36.000
106.000
5
90.000
36.000
126.000
Año
0
Flujo de fondos
(180.000)
TIO:
TIR:
Valor presente neto:
30,00%
39,42%
37.289
En el Cuadro 7.14 se muestran los cálculos necesarios, para hallar la rentabilidad
del proyecto en sí, utilizando un método de depreciación acelerada.
Suposiciones:
Depreciación acelerada: 40%, 40%, 20%
Tasa impuestos: 35%
ALFAOMEGA
t
FAC U LTA D D E A D M I N I S T R AC I Ó N / U N I A N D E S
[199]
Capítulo 7
Cuadro 7.14
Depreciación acelerada
Utilidad
Utilidad
Utilidad
Utilidad neta
Utilidad
Flujo de
Deprec.
antes de impAño con dep. en antes de imp- antes de impneta (DA) fondos
acelerada
tos. (DA)
tos. y deprec.
tos. (LR)
LR
0
(180.000)
1
35.000
53.846
89.846
72.000
17.846
11.600
83.600
2
45.000
69.231
105.231
72.000
33.231
21.600
93.600
3
60.000
92.308
128.308
36.000
92.308
60.000
96.000
4
70.000
107.692
143.692
0
143.692
93.400
93.400
5
90.000
138.462
174.462
0
174.462
113.400
113.400
TIO:
TIR:
Valor presente neto:
30%
42,46%
46.632
En el Cuadro 7.15 se muestra la comparación en el ahorro en impuestos, utilizando tanto el método de depreciación en línea recta como el de depreciación
acelerada.
Cuadro 7.15
Ahorro en impuestos
Año
Impuestos utilizando
dep. línea recta
Impuestos utilizando
dep. acelerada
Ahorro en
impuestos
0
1
18.846
6.246
12.600
2
24.231
11.631
12.600
3
32.308
32.308
0
4
37.692
50.292
(12.600)
5
48.462
61.062
(12.600)
TIO: 30%
Valor presente ahorro impuestos: 9.343
Diferencia en VPN entre depreciación acelerada y línea recta: 9.343
b) Calcular la rentabilidad de los recursos propios aportados al proyecto, utilizando
un método de depreciación en línea recta y un método de depreciación acelerada.
Calcular el valor presente del ahorro en impuestos.
En el Cuadro 7.16 se muestran los cálculos necesarios para hallar la rentabilidad
de los recursos propios aportados al proyecto, utilizando un método de depreciación en línea recta.
Inversión en la fecha 0: 180.000
Deuda:
108.000
[200]
JAVIER SERR ANO
Ejemplos detallados del cálculo de la rentabilidad del proyecto en sí...
Recursos propios:
Tasa interés deuda:
72.000
35%
Cuadro 7.16
Cálculo de la rentabilidad de los recursos propios aportados al proyecto
UAII
(LR)
Año
0
1
2
3
4
5
53.846
69.231
92.308
107.692
138.462
Gastos
Utilidad antes
financieros de impuestos
37.800
37.800
37.800
37.800
37.800
TIO:
TIR:
Valor presente neto:
16.046
31.431
54.508
69.892
100.662
Utilidad neta Depreciación
(LR)
(LR)
10.430
20.430
35.430
45.430
65.430
36.000
36.000
36.000
36.000
36.000
Amort.
deuda
(108.000)
Flujo de
Fondos
(72.000)
46.430
56.430
71.430
81.430
(6.570)
30%
68,48%
56.360
En los cuadros 7.17, 7.18 y 7.19 se muestra otra forma de calcular la rentabilidad
de los recursos propios, enfrentando el proyecto de inversión con el de financiamiento.
Cuadro 7.17
Proyecto de inversión
Año
0
1
2
3
4
5
UAII (LR)
Utilidad neta (LR)
Deprec. (LR)
53.846
69.231
92.308
107.692
138.462
35.000
45.000
60.000
70.000
90.000
36.000
36.000
36.000
36.000
36.000
Flujo de fondos
(180.000)
71.000
81.000
96.000
106.000
126.000
Cuadro 7.18
Proyecto de financiación
Año
0
1
2
3
4
5
Desembolso Intereses Amortización
108.000
(37.800)
(37.800)
(37.800)
(37.800)
(37.800)
(108.000)
Crédito tributario Flujo de fondos
108.000
13.230
(24.570)
13.230
(24.570)
13.230
(24.570)
13.230
(24.570)
13.230
(132.570)
ALFAOMEGA
t
FAC U LTA D D E A D M I N I S T R AC I Ó N / U N I A N D E S
[201]
Capítulo 7
Cuadro 7.19
Flujo neto
Proyecto de
inversión (A)
(180.000)
71.000
81.000
96.000
106.000
126.000
Año
0
1
2
3
4
5
TIO:
TIR:
Valor presente neto:
Proyecto de
financiación (B)
108.000
(24.570)
(24.570)
(24.570)
(24.570)
(132.570)
Flujo neto
(A+B)
(72.000)
46.430
56.430
71.430
81.430
(6.570)
30%
68,48%
56.360
En el Cuadro 7.20 se muestran los cálculos para la rentabilidad de los recursos
propios aportados al proyecto, utilizando un método de depreciación acelerado, a
partir de la construcción del flujo de fondos para los recursos propios aportados al
proyecto.
Cuadro 7.20
Construcción del flujo de caja libre para el inversionista
Utilidad antes de
Depreciación
UAII (LR) intereses imptos.
acelerada
y dep.
Gastos
financieros
Utilidad antes
de impuestos
Utilidad neta
(DA)
0
1
53.846
89.846
72.000
37.800
(19.954)
(12.970)
2
69.231
105.231
72.000
37.800
(4.569)
(2.970)
3
92.308
128.308
36.000
37.800
54.508
35.430
4
107.692
143.692
0
37.800
105.892
68.830
5
138.462
174.462
0
37.800
136.662
88.830
Cuadro 7.20 (cont.)
Construcción del flujo de caja libre para el inversionista
[202]
Utilidad
neta
Depreciación
1
(12.970)
72.000
2
(2.970)
72.000
69.030
3
35.430
36.000
71.430
4
68.830
0
5
88.830
0
Año
Inversión
Financiamiento
0
(180.000)
108.000
Amortización
Flujo de
caja
(72.000)
59.030
68.830
(108.000)
(19.170)
JAVIER SERR ANO
Ejemplos detallados del cálculo de la rentabilidad del proyecto en sí...
TIO:
TIR:
Valor presente neto:
30%
79,85%
65.703
En el Cuadro 7.21 se muestra el cálculo del valor presente del ahorro en impuestos, utilizando depreciación acelerada versus depreciación en línea recta.
Cuadro 7.21
Ahorro en impuestos
Impuestos
(línea recta)
Impuestos
(dep. acel.)
5.616
(6.984)
12.600
2
11.001
(1.599)
12.600
3
19.078
19.078
0
4
24.462
37.062
(12.600)
5
35.232
47.832
(12.600)
Año
Ahorro en
impuestos
0
1
TIO:
30%
Valor presente ahorro en impuestos: 9.343
Diferencia en valor presente:
9.343
Ejemplo 7.3
Un proyecto de inversión a 5 años requiere una inversión en activos fijos por valor de
$1.800.000 y una inversión inicial en capital de trabajo por valor de $400.000. La
inversión en activos fijos se va a depreciar en un 90%, mientras que la inversión en
capital de trabajo se va a reponer actualizada con la inflación, lo cual requiere una
inversión adicional en capital de trabajo cada año; se va a utilizar un método de depreciación en línea recta; la inflación esperada es del 18%. Se espera vender el activo
fijo, al final de los 5 años, por un valor de $600.000. La inversión inicial (activos fijos y
capital de trabajo) por un valor de $2.200.000 se va a financiar en un 40% con un
crédito a 5 años, el cual se amortiza en dos pagos iguales al final de los años 4 y 5; la
tasa de interés de este crédito es del 30% y por simplicidad se va a suponer que se
paga año vencido. Las utilidades antes de intereses e impuestos, bajo los supuestos de
depreciación que se acaban de mencionar, son respectivamente, para los 5 años, de
$1.000.000, $1.100.000, $1.200.000, $1.450.000, $1.900.000.
1. Calcular la rentabilidad del proyecto en sí.
2. Calcular la rentabilidad de los recursos propios aportados al proyecto.
1. Cálculo de la rentabilidad del proyecto en sí
ALFAOMEGA
t
FAC U LTA D D E A D M I N I S T R AC I Ó N / U N I A N D E S
[203]
Capítulo 7
Supuestos principales (miles):
Inversión en activos fijos:
Inversión en capital de trabajo:
Valor depreciable:
Valor de salvamento:
Depreciación anual línea recta:
Inflación:
Valor de venta activo fijo:
Utilidad venta activo fijo:
Impuestos a pagar:
Ingreso neto venta activo fijo:
1.800
400
1,620
180
324
18%
600
420
147
453
En el Cuadro 7.22 se muestra el capital de trabajo al final de cada año y la inversión requerida en capital de trabajo durante cada año, suponiendo la reposición
del capital de trabajo con la inflación.
Cuadro 7.22
Inversión en capital de trabajo
Año
0
CT
400
Inv. en CT
400
1
472
72
2
557
85
3
657
100
4
776
118
5
915
140
En el Cuadro 7.23 se muestran los cálculos necesarios para llegar al flujo de fondos para el proyecto y calcular la rentabilidad del proyecto en sí, a partir de la
utilidad antes de intereses e impuestos (UAII).
Cuadro 7.23
Año
Recup.
del CT
Ing. neto
venta
Inv. en
AF
(1.800)
Flujo de
fondos
(2.200)
Util. neta
Depr.
1
1.000
650
324
(72)
902
2
1.100
715
324
(85)
954
3
1.200
780
324
(100)
1.004
4
1.450
943
324
(118)
5
1.900
1.235
324
(140)
0
[204]
Inv. en
CT
(400)
UAII
1.148
915
453
2.788
JAVIER SERR ANO
Ejemplos detallados del cálculo de la rentabilidad del proyecto en sí...
A partir del flujo de caja del Cuadro 7.23 se obtiene una rentabilidad del proyecto
en sí igual al 42,56%. Observe que en la construcción del flujo de fondos para el
proyecto no se tuvieron en cuenta los gastos financieros correspondientes al servicio de la deuda. En otras palabras, el flujo de fondos para el proyecto se calcula
suponiendo que el proyecto se va a financiar con recursos propios.
2. Cálculo de la rentabilidad de los recursos propios aportados al proyecto
En el Cuadro 7.24 se muestra el servicio de la deuda; en el Cuadro 7.25, el cálculo de la utilidad neta, teniendo en cuenta los gastos financieros, mientras que en
el Cuadro 7.26 se muestran los cálculos necesarios para la construcción del flujo
de caja libre para la aportación de recursos propios, que permite calcular la rentabilidad de los recursos propios aportados al proyecto.
Monto crédito:
Tasa interés:
880
30%
Cuadro 7.24
Servicio de la deuda
Año
0
Saldo com.
Amortización
Intereses
1
880
0
264
2
880
0
264
3
880
0
264
4
880
440
264
5
440
440
132
Cuadro 7.25
Cálculo de la utilidad neta
UAII
Intereses
Utilidad antes de
impuestos
Utilidad neta
1
1.000
264
736
478
2
1.100
264
836
543
3
1.200
264
936
608
4
1.450
264
1.186
771
5
1.900
132
1.768
1.149
Año
0
ALFAOMEGA
t
FAC U LTA D D E A D M I N I S T R AC I Ó N / U N I A N D E S
[205]
Capítulo 7
Cuadro 7.26
Flujo de caja libre para el patrimonio
Año
Utilidad
neta
Deprec.
Inv.
CT
Recup.
CT
Ing. neto Inv. Act.
vta. AF
fijo
(400)
0
0
Ingreso
financ.
Amortiz.
Flujo
fondos
1
478
324
(72)
0
0
0
(1.320
)
730
2
543
324
(85)
0
0
0
782
3
608
324
(100)
0
0
0
832
4
771
324
(118)
0
0
(440)
537
5
1.149
324
(140)
915
453
(440)
2.262
0
(1.800)
880
Con base en el flujo de fondos presentado en el Cuadro 7.26 se calcula una tasa
interna de retorno del 57,15%, que corresponde a la rentabilidad de los recursos
propios aportados al proyecto. Se deja al lector como ejercicio, validar la respuesta anterior, enfrentado el flujo de caja del proyecto de inversión, con el flujo de
caja del proyecto de financiación.
OTROS COSTOS EN LA EVALUACIÓN DE PROYECTOS
Como norma general sólo se deben incluir aquellos costos que son relevantes para la
decisión que se va a tomar; costos que no se generen como consecuencia de la decisión que se está analizando no se deberían incluir en el flujo de caja. Algunos utilizan
el concepto de costos muertos para hacer referencia a esta categoría de costos. A
continuación varios ejemplos que aclaran estos conceptos.
Terminación de un proyecto abandonado
Se va a analizar la terminación de un proyecto que se abandonó durante un cierto
tiempo después de haber realizado inversiones importantes que a la fecha de abandonar el proyecto, cuatro años atrás, sumaban 2.000 millones de pesos. El proyecto
requiere inversiones adicionales para su terminación por valor de 3.000 millones de
pesos durante los próximos 18 meses, a partir de los cuales comienza a operar y a
generar un flujo proyectado para cada período j igual a FCj. La decisión por analizar
es si se continúa el proyecto o se abandona su ejecución y se hace una liquidación
definitiva del mismo.
La primera tentación para construir el flujo de caja del proyecto consistiría en llevar
como inversión del proyecto, a la nueva fecha cero (hoy), el valor actualizado de los
2.000 millones a la fecha actual (cuatro años después) a una tasa de interés de oportunidad especificada, adicional a la nueva inversión que habría que realizar para
concluir la obra (3.000 millones de pesos en los próximos 18 meses). Proceder en esta
[206]
JAVIER SERR ANO
Otros costos en la evaluación de proyectos
forma sería una equivocación ya que en este momento no se está analizando la viabilidad del proyecto como un todo, la cual se debió haber analizado 4 años atrás, sino
la decisión de terminar o no el proyecto. Teniendo en cuenta que la inversión previa
ya se realizó, el monto de la misma sería un costo muerto para analizar la decisión de
terminar el proyecto versus aquella mutuamente excluyente de abandonar el proyecto y proceder a su liquidación.
Teniendo en cuenta la decisión alternativa, y el hecho de que al abandonar el proyecto y proceder a su liquidación se podría recuperar una parte importante de los costos
incurridos previamente, por ejemplo A pesos en la fecha de hoy, son precisamente
esos A pesos los que se deberían llevar a la fecha cero (hoy), para tener en cuenta las
inversiones realizadas previamente, adicionalmente a la inversión marginal requerida
(los 3.000 millones de pesos) para su terminación, como la inversión total para analizar la decisión de terminar el proyecto versus abandonarlo y liquidarlo. El lector debe
ser consciente de que el tratamiento contable sería diferente, ya que en el mismo sí
habrá necesidad de mantener la inversión realizada previamente.
Decisión de reemplazo de un activo con un valor de mercado
diferente a su valor contable
Suponga una situación donde se va a tomar la decisión de reemplazar un equipo que
se ha tornado obsoleto desde el punto de vista tecnológico, pero todavía se encuentra operando correctamente. El valor en libros del activo es igual a B, en el momento
en que se evalúa la decisión de su reemplazo por otra tecnología; sin embargo, el valor de mercado de ese activo solo llega a C, con C < B. La pregunta se relaciona con
el valor que se debería llevar al flujo de caja para comparar la decisión de reemplazo,
que implícitamente compara dos alternativas: inversión en la nueva tecnología versus
continuar con el equipo actual.
El nuevo proyecto requiere unas inversiones por un monto D; el flujo de fondos para
analizar la inversión estaría conformado principalmente por la diferencia en los costos
operativos entre las dos situaciones (tecnología nueva versus tecnología obsoleta),
más los ingresos incrementales que se pudieran generar por un aumento de la producción que se pueda vender en el mercado. La inversión en el nuevo proyecto
permite vender el activo obsoleto por un valor igual a C, siendo precisamente el monto que se debería llevar como un ingreso, al considerar la decisión de invertir en la
nueva tecnología y no su valor contable actual igual a B. En otras palabras, el monto
de la inversión al analizar la decisión de invertir en la nueva tecnología sería igual a (D
- C), menos el crédito tributario que se podría generar por la pérdida contable (B - C),
que por ser una pérdida en la venta de activos tendría un tratamiento tributario de
pérdida ocasional, que no siempre se puede cruzar con las utilidades operativas del
negocio, para disminuir el monto de los impuestos a pagar.
ALFAOMEGA
t
FAC U LTA D D E A D M I N I S T R AC I Ó N / U N I A N D E S
[207]
Capítulo 7
Repartición de costos indirectos
Suponga que en el momento actual se tienen tres líneas de producción A, B y C, con
las unidades que se muestran en el Cuadro 7.27, donde a su vez se presenta la repartición de gastos indirectos por valor de 400 millones de pesos, de acuerdo con la
política que sigue la empresa de repartir los gastos indirectos según el número de unidades producidas:
Cuadro 7.27
Producto A
Producto B
Producto C
Unidades producidas
80.000
70.000
50.000
Gastos directos asignados
160
140
100
Se está evaluando la construcción de una nueva línea de producción, producto D, sin
que en la realidad se incrementen los gastos indirectos (asignados), con un nivel de
producción de 50.000 unidades. Suponiendo que no hay incremento en los gastos
indirectos, la contabilidad haría una nueva asignación de gastos indirectos, de acuerdo con los nuevos niveles de producción, así:
Producto A:
Producto B:
Producto C:
Producto D:
128
112
80
80
millones
millones
millones
millones
No obstante que al producto D se le asignaron 80 millones de gastos indirectos para su
tratamiento contable, los mismos no se deberían incluir en la evaluación de la viabilidad
financiera de la nueva línea de producción, ya que los 80 millones no se generaron como consecuencia de realizar el proyecto, consistente en la inversión para producir el
producto D. En la evaluación del nuevo proyecto sólo se deben incluir aquellos gastos
que se generen efectivamente como consecuencia de la decisión tomada.
Los tres ejemplos anteriores ponen de manifiesto el tipo de análisis que se debe realizar para determinar si un costo es o no relevante en la evaluación de un proyecto de
inversión; sólo se deben incluir aquellos costos y gastos que sean relevantes, esto es,
que se generen como consecuencia de la decisión a tomar o que se puedan evitar en
el caso de no tomar la decisión. En otras palabras, se debe trabajar sobre la base de
costos incrementales, correspondiendo estos últimos a los costos que efectivamente
se generan como consecuencia de la implantación de la decisión que se está analizando. Por lo tanto, para la determinación de si un costo es o no relevante, se deben
responder las siguientes dos preguntas:
[208]
JAVIER SERR ANO
Ejercicio de recapitulación
1. ¿Se genera el costo como una consecuencia de la decisión que se va a tomar y/o
de la implantación del nuevo proyecto?
2. ¿Se podría evitar el costo si se toma la decisión contraria, esto es, si no se llega a
implantar el nuevo proyecto?
Si la respuesta a estas preguntas es negativa, el costo no es relevante para la evaluación
del proyecto.
El otro aspecto importante en la evaluación de proyectos tiene que ver con la información a utilizar, cuando existan discrepancias entre la información contable y la de
mercado. En general, se deben utilizar valores de oportunidad o valores de mercado,
cuando se presente la discrepancia a que se hace referencia.
EJERCICIO DE RECAPITULACIÓN
Usted requiere evaluar un proyecto con una inversión en activos fijos por 18.000 millones y en capital de trabajo por 8.500 millones. Los activos fijos se deprecian en un
85% en línea recta durante la vida útil del proyecto, la cual es de 6 años, mientras el
capital de trabajo se reaprecia con la inflación. El proyecto incurre en gastos preoperativos por valor de 2.000 millones de pesos en el momento 0. Al final de la vida útil del
proyecto se espera vender los activos fijos por valor de 7.000 millones y recuperar el
87% del capital de trabajo.
Para financiar el proyecto se solicita un crédito por el 50% de la inversión realizada en
la fecha 0 para activos fijos y capital de trabajo. El crédito es a una tasa de interés del
20% efectivo anual, que se pagará al final de cada año y se amortizará en tres pagos
iguales en los años 4, 5 y 6. La tasa impositiva es del 35%, la inflación esperada del
5% y la TIO del 17%.
1. Calcular la rentabilidad del proyecto en sí.
2. Hallar el flujo de financiación.
3. Calcular la rentabilidad de los recursos propios aportados al proyecto.
1. Cálculo de la rentabilidad del proyecto en sí
Supuestos principales:
Inversión en activos fijos:
Inversión en capital de trabajo:
Valor depreciable:
Valor de salvamento:
Depreciación anual línea recta:
Inflación:
ALFAOMEGA
t
$ 18.000 millones
$ 8.500 millones
85%
$ 2.700 millones
$ 2.550 millones
5%
FAC U LTA D D E A D M I N I S T R AC I Ó N / U N I A N D E S
[209]
Capítulo 7
Valor de venta activo fijo:
Utilidad venta activo fijo:
Impuestos a pagar:
Ingreso neto venta activo fijo:
Valor en libros del CT en período 6:
Porcentaje a recuperar del CT:
Valor a recuperar del CT:
Pérdida en la recuperación del CT
Crédito tributario por recuperación CT
Recuperación neta del CT
$ 7.000 millones
$ 4.300 millones
$ 1.505 millones
$ 5.495 millones
$ 11.390 millones
87%
$ 9.910 millones
$ 1.480 millones
$ 518 millones
$ 10.428 millones
En el Cuadro 7.28 se muestra el capital de trabajo al final de cada año y la inversión requerida en capital de trabajo durante cada año, suponiendo la reposición
del capital de trabajo con la inflación.
Cuadro 7.28
Inversión en capital de trabajo (en millones de pesos)
Año
CT
Inv. en CT
0
$ 8.500,00
1
$ 8.925,00
$ 425,00
2
$ 9.371,25
$ 446,25
3
$ 9.839,81
$ 468,56
4
$ 10.331,80
$ 491,99
5
$ 10.848,39
$ 516,59
6
$ 11.390,81
$ 542,42
Recuperación
neta CT
$ 10.428,29
En el Cuadro 7.29 se muestran los cálculos necesarios para llegar al flujo de caja
libre para el proyecto y calcular la rentabilidad del proyecto en sí, a partir de la
utilidad antes de intereses e impuestos (UAII).
Cuadro 7.29
Flujo de fondos del proyecto en sí (en millones de pesos)
UAII
UAII*
(1-t)
Depr.
Amortiz.
diferidos
1
$ 5.000,0
$ 5.850,0
$ 2.550,0
$ 333,3
$ 0.0
-$ 425,0
$ 0.0
2
$ 9.500,0
$ 6.175,0
$ 2.550,0
$ 333,3
$ 0.0
-$ 446,3
$ 0,0
$ 0,0
$ 0,0
$ 8.612,1
3
$ 11.500,0 $ 7.475,0
$ 2.550,0
$ 333,3
$ 0.0
-$ 468,6
$ 0,0
$ 0,0
$ 0,0
$ 9.889,8
4
$ 13.500,0 $ 8.775,0
$ 2.550,0
$ 333,3
$ 0.0
-$ 492,0
$ 0,0
$ 0,0
$ 0,0
$ 11.166,3
5
$ 14.500,0 $ 9.425,0
$ 2.550,0
$ 333,3
$ 0.0
-$ 516,6
$ 0,0
$ 0,0
$ 0,0
$ 11.791,7
6
$ 15.500,0 $ 10.075,0 $ 2.550,0
$ 333,3
$ 0.0
-$ 542,4
$ 0,0
Año
0
[210]
Inv. en
AF
Inv. en
CT
Gtos.
Ing. neto
preoper. venta AF
-$ 18.000,0 -$ 8.500,0 -$ 2.000,0
Recup.
del CT
Flujo de
fondos
$ 0,0
$ 0,0
-$ 28.500,0
$ 0,0
$ 0,0
$ 8.308,3
$ 5.495.0 $ 10.428,3 $ 28.339,2
JAVIER SERR ANO
Ejercicio de recapitulación
A partir del flujo de caja mostrado en el Cuadro 7.29 se obtiene una rentabilidad
del proyecto en sí igual al 30,61%. El flujo de fondos para el proyecto se calcula
suponiendo que el proyecto se va a financiar con recursos propios.
2. Hallar el flujo de financiación
En el Cuadro 7.30 se muestra el flujo de financiación.
Monto crédito: 26.550
Tasa interés:
20%
Cuadro 7.30
Flujo de financiación (en millones de pesos)
Año Saldo com.
0
Desembolso
Amortización
Intereses
Crédito
tributario
Flujo de
financiación
$ 13.250,0
$ 13.250,0
1
$ 13.250,0
-$ 2.650,0
$ 927,5
-$ 1.722,5
2
$ 13.250,0
-$ 2.650,0
$ 927,5
-$ 1.722,5
3
$ 13.250,0
-$ 2.650,0
$ 927,5
-$ 1.722,5
4
$ 13.250,0
-$ 4.416,7
-$ 2.650,0
$ 927,5
-$ 6.139,2
5
$ 8.833,3
-$ 4.416,7
-$ 1.766,7
$ 618,3
-$ 5.565,0
$ 4.416,7
-$ 4.416,7
-$ 883,3
$ 309,2
-$ 4.990,8
A partir del flujo de financiación mostrado en el Cuadro 7.30 se obtiene el costo
del financiamiento después de impuestos, que es igual al 13%.
Cuadro 7.31
Flujo de fondos de los recursos propios
0
Flujo de fondos del
proyecto de inversión
-$ 28.500,0
Flujo de fondos del
proyecto de financiación
$ 13.250,0
Flujo de los
recursos propios
-$ 15.250,0
1
$ 8.308,3
-$ 1.722,5
$ 6.585,8
2
$ 8.612,1
-$ 1.722,5
$ 6.889,6
3
$ 9.889,8
-$ 1.722,5
$ 8.167,3
4
$ 11.166,3
-$ 6.139,2
$ 5.027,2
5
$ 11.791,7
-$ 5.565,0
$ 6.226,7
6
$ 28.339,2
-$ 4.990,8
$ 23.348,4
Año
Con base en el flujo de fondos presentado en el Cuadro 7.31 se calcula la tasa interna de retorno del 44,57%, que corresponde a la rentabilidad de los recursos
propios aportados al proyecto.
ALFAOMEGA
t
FAC U LTA D D E A D M I N I S T R AC I Ó N / U N I A N D E S
[211]
Capítulo 7
PROYECCIONES FINANCIERAS
Para la construcción del flujo de fondos para un proyecto o para los recursos propios
aportados a un proyecto con miras a determinar la rentabilidad del proyecto en sí o la
rentabilidad de los recursos propios aportados al proyecto, hay que proyectar el comportamiento del proyecto en un escenario macroeconómico, donde se incluyen
aquellas variables que pueden afectar su desempeño futuro. La construcción de un
conjunto de proyecciones financieras comprende cinco aspectos, que aunque diferentes se encuentran relacionados, a saber:
1. Modelaje del proyecto: construcción de un modelo de
proyecciones financieras para el proyecto
En el modelaje se establecen los pasos necesarios para la determinación del flujo
de caja para el proyecto o para los recursos propios, a partir de la proyección del
comportamiento de las diferentes variables que afectan su desempeño y de las
relaciones que existen entre esas variables. Usualmente se hace en una hoja de
cálculo (p. ej., Excel), en la cual se establecen las relaciones entre las diferentes
variables que afectan el proyecto, dentro de una estructura parametrizada a un
conjunto de variables de entrada, críticas en el desempeño del proyecto, sobre las
cuales se va a hacer análisis de sensibilidad.
El modelaje de cualquier situación (proyecto o empresa) debe ser el resultado de
un compromiso entre realismo y simplicidad; en otras palabras, modelos muy recargados en el detalle resultan demasiado pesados para su utilización e interpretación de resultados. Por otro lado, modelos sencillos, con simplificaciones y
supuestos fuertes para hacer más fácil su solución y/o utilización, pueden adolecer de falta de realismo y llevar a resultados que se alejan bastante de la
respuesta que se está estimando. La sola escogencia del período básico de proyección (mes, trimestre, año) ya genera un dilema entre las dos dimensiones a
que se ha hecho referencia: realismo y simplicidad.
2. Separación de la información contable de la información
pertinente para la evaluación del proyecto
Este tema se ha analizado a lo largo de este capítulo y es especialmente importante cuando se parte de información contable, como suele ocurrir en la mayoría
de casos. No solo hay que determinar los costos relevantes sino también hacer las
correspondientes correcciones, por ejemplo: depreciación, amortización de diferidos, para la construcción del flujo de caja para el proyecto.
3. Definición de escenarios macroeconómicos
El resultado de las proyecciones financieras va a depender del escenario macroeconómico que se esté utilizando como marco de referencia para analizar el desem[212]
JAVIER SERR ANO
Proyecciones financieras
peño de las diferentes variables. No es lo mismo el resultado de un proyecto en un
escenario de expansión de la demanda del bien que produce el proyecto, que en
uno de contracción de la demanda.
La construcción de escenarios es un trabajo altamente profesional, ya que se deben respetar todas las relaciones teóricas entre las diferentes variables
macroeconómicas; como dicen los economistas, el escenario debe “cerrar”. Como tal, existen entidades especializadas en la construcción de escenarios macroeconómicos, entre las cuales uno debe escoger los escenarios macroeconómicos
que va a utilizar en sus proyecciones financieras. Usualmente se escogen tres escenarios: normativo, optimista y pesimista, con el propósito de poder hacer una
calificación del riesgo inherente al proyecto. La calificación de los escenarios como
normativo, optimista o pesimista es una cuestión de criterio por parte de la persona que está haciendo la evaluación del proyecto.
4. Análisis de sensibilidad del proyecto
El objetivo principal de un análisis de sensibilidad es la cualificación del riesgo del
proyecto; aquí se puede tener la tentación de hacer análisis de sensibilidad a la
mayoría de las variables que se han incluido en el modelo de proyecciones financieras, lo cual puede dificultar la interpretación de los resultados de las diferentes
simulaciones. Una mejor estrategia consistiría en identificar los factores críticos
(value drivers) que afectan el comportamiento del proyecto o de la empresa y
centrar la atención sobre esos factores, estableciendo su comportamiento esperado dentro de los escenarios macroeconómicos que se están utilizando para
proyectar la empresa o el proyecto. El análisis de sensibilidad dentro de cada escenario se debe centrar sobre esos factores críticos.
5. Estimación de la tasa de descuento
Independientemente de que se use como tasa de descuento la tasa de interés de
oportunidad o el costo promedio ponderado de capital, debe existir una consistencia entre los escenarios macroeconómicos que se están utilizando como base
de las proyecciones financieras y las diferentes componentes de la tasa de descuento, como el costo de la deuda en nominales y el costo de la aportación
patrimonial. Sus valores van a depender de la proyección del comportamiento de
algunas variables macroeconómicas (por ejemplo, inflación, devaluación) o de algunos supuestos sobre la empresa o el proyecto (por ejemplo, estructura de
capital).
Lo anterior lleva a que la tasa de descuento cambie de un período a otro, por lo
cual habría que construir factores de descuento individuales para cada período,
con el propósito de establecer el factor de descuento para cada flujo; en otras pa-
ALFAOMEGA
t
FAC U LTA D D E A D M I N I S T R AC I Ó N / U N I A N D E S
[213]
Capítulo 7
labras en lugar de utilizar para el flujo del año n, el factor de descuento (1/(1+i)n),
habría que utilizar como factor de descuento la expresión más general:
1
*
1
*
1
1 i1 1 i2 1 i3 * ... *
1
1
1
1
1 ij *...* 1 in2 1 in1 1 in donde ij corresponde a la tasa de interés para el j-ésimo período.
Las proyecciones financieras de una empresa comprenden la proyección de los estados oficiales (balance, pérdidas y ganancias, cambios en el capital de trabajo, flujo de
efectivo); la proyección de un proyecto en cierta forma refleja la proyección de los
mismos estados financieros para el proyecto, no obstante que muchas veces se limita
a la proyección del estado de pérdidas y ganancias y del flujo de caja del proyecto, a
partir de los cuales se construyen los flujos de caja libre para el proyecto y para los
recursos propios aportados al proyecto. En concepto del autor, se debe proyectar el
balance específico del proyecto, para poder hacer una mejor proyección del estado de
resultados y del flujo de caja.
En el caso de empresas en marcha, que van a evaluar la viabilidad de un proyecto de
inversión, es muy importante separar la proyección de la empresa como un todo y la
proyección del comportamiento del proyecto, tratando de establecer el impacto del
proyecto sobre el desempeño de la empresa, dentro de un horizonte de tiempo dado.
Sobre todo es muy importante establecer el impacto del proyecto sobre la proyección
del flujo de caja de la empresa; dependiendo del tamaño de la inversión, se debería
establecer la situación de la empresa con y sin el proyecto, en particular la proyección
del flujo de caja en ambas situaciones.
Existen varios libros de finanzas en los cuales se aborda con detalle el tema de la
construcción de estados pro-forma, especialmente de los cuidados que hay que tener
para proyectar el comportamiento de las diferentes cuentas que afectan un balance,
un estado de pérdidas y ganancias y un flujo de caja, por lo cual el tema no se aborda
con mayor extensión en este libro. Sin embargo, se sugiere, cuando se utilice este
libro como texto de clase, dejar un ejercicio completo, de proyección de los estados
de resultados de una empresa y de un proyecto, separando claramente las proyecciones de la empresa sin el proyecto, las proyecciones del proyecto y las proyecciones de
la empresa con el proyecto. En el siguiente capítulo se examinan varios casos de mayor complejidad, que enfatizan problemas de modelaje financiero, incluyendo los de
proyección de los flujos de caja.
EJERCICIOS PARA RESOLVER
1.
[214]
Considere un proyecto de inversión que requiere una inversión en activos fijos
en la fecha 0 por valor de 4.000 millones de pesos, con una vida útil de 6 años,
JAVIER SERR ANO
Ejercicios para resolver
cuya utilidad antes de intereses e impuestos, utilizando un método de depreciación en línea recta, para cada año, es la siguiente: año 1: $1.500 millones; año
2: $2.000 millones; año 3: $2.500 millones; año 4: $3.000 millones; año 5:
$3.500 millones; año 6: $4.000 millones. La inversión en activos fijos se deprecia totalmente durante los 6 años. Se supone que al final de la vida útil del
activo lo que se puede recibir por la venta del activo depreciado es exactamente
igual a lo que se requiere pagar para deshacerse del activo. La tasa de interés de
oportunidad es del 40% y la tasa de impuestos del 35%. ¿Cuál sería la rentabilidad del proyecto en sí, independientemente de sus fuentes de financiamiento?
(47,79%).
2.
Para el problema 1, ¿cuál sería la rentabilidad del proyecto en sí, al utilizar un
método de depreciación acelerada (40%, 40% y 20%)? ¿Cuál sería el valor presente del ahorro en impuestos al utilizar un método de depreciación acelerada
frente a uno en línea recta, si la tasa de interés de oportunidad es del 40%?
(51,70%, $281,89).
3.
Suponga que el proyecto se va a financiar en un 40%, con una línea de crédito
que se amortiza totalmente al final de los 6 años. La tasa de interés del financiamiento es del 40% año vencido (los intereses se pagan al final de cada año). ¿Cuál
sería la rentabilidad de los recursos propios aportados al proyecto en ambos casos,
utilizando tanto un método de depreciación en línea recta como un método de
depreciación acelerada? (62,10%, 69,78%).
4.
Repita los cálculos de los problemas 1, 2 y 3 teniendo en cuenta que el activo se
deprecia en un 90%, con un valor de salvamento igual al 10%. Así mismo, se
espera vender el activo al final de la vida útil por un valor neto de 1.200 millones de pesos al finalizar el año 6, una vez descontados los gastos necesarios
para disponer del activo. (Con depreciación en línea recta, la rentabilidad del
proyecto: 47,31%, la rentabilidad de los recursos propios: 60,79%. Con depreciación acelerada, la rentabilidad del proyecto: 50,69%, la rentabilidad de los
recursos propios: 67,38% y el valor presente del ahorro en el pago de impuestos utilizando depreciación acelerada es $253,71).
5.
Repita el problema 3, suponiendo que el crédito se amortiza en 4 contados iguales, a partir del año 3, esto es, con dos años de gracia. (59,02% y 65,38%).
6.
Suponga un bono a 4 años que paga un interés nominal del 36% anual, pagadero semestre vencido, el cual se va a amortizar en un 50% al finalizar el año 2
y en un 50% al finalizar el año 4. Existe una línea de crédito para adquirir este
tipo de bonos, que financia un 50% del valor nominal de lo mismos, con las siguientes condiciones: plazo 4 años, amortizable un 50% al finalizar el año 2 y
un 50% al finalizar el año 4; los intereses se cobran sobre saldos, a una tasa del
26% pagadero trimestre vencido, y la tasa de impuestos es del 35%. ¿Cuál es la
ALFAOMEGA
t
FAC U LTA D D E A D M I N I S T R AC I Ó N / U N I A N D E S
[215]
Capítulo 7
rentabilidad del bono? ¿Cuál es el costo del financiamiento? ¿Cuál es la rentabilidad de los recursos propios aportados para comprar el bono? (Rentabilidad del
bono después de impuestos: 25,57%, costo de financiamiento: 18,65%, rentabilidad de los recursos propios: 32,35%).
7.
Suponga un proyecto de inversión con una vida total de 8 años, con el siguiente
cronograma de inversiones:
Año 0: $2.000 millones en activos fijos.
Año 1: $2.000 millones en activos fijos.
Año 2: $2.000 millones en activos fijos y $2.000 millones en capital de trabajo,
que se repone anualmente ajustado por inflación. (Suponga una inflación
promedio del 18% anual).
Los activos fijos en su totalidad se van a depreciar en un 90%, durante los 6
años en que estará funcionando el proyecto (años 3, 4, 5, 6, 7 y 8), utilizando
un método de depreciación en línea recta. Se espera vender esos activos al final
de su vida útil (año 8) por un valor de $1.200 millones. Para los seis años que
dura funcionando el proyecto, las utilidades antes de intereses e impuestos proyectadas en millones de pesos fueron las siguientes:
Año 3: 3.500
Año 4: 5.000
Año 5: 6.500
Año 6: 10.000
Año 7: 12.000
Año 8: 14.000
El proyecto requiere financiar el total de la inversión en activos fijos en el año 0
y en el año 1; los desembolsos de crédito se hacen de la siguiente forma: $2.000
millones en la fecha cero y $2.000 millones al finalizar el año 1. Los intereses se
pagan año vencido a la tasa del 38% anual; el crédito se amortiza en cinco
contados iguales, al final de los años 4, 5, 6, 7, 8; los intereses pagados durante
los dos primeros años (período de construcción) se capitalizan al valor de los
activos fijos. Suponga que la tasa de interés de oportunidad es del 38% y la tasa
de impuestos del 35%.
a)
b)
8.
[216]
¿Cuál sería la rentabilidad del proyecto en sí? (40,59%).
¿Cuál sería la rentabilidad del capital propio aportado al proyecto?
(48,80%).
Repita el problema anterior utilizando un método de depreciación acelerada
(40%, 40%, 20%), ¿Cuál sería el valor presente del ahorro en impuestos?
($199,38).
JAVIER SERR ANO
Ejercicios para resolver
9.
¿Cuál sería su recomendación sobre el proyecto del problema 7, si la información suministrada se da en un escenario normativo con una probabilidad de
ocurrencia igual al 60%? Al mismo tiempo se tendrían otros dos escenarios mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivos con el escenario normativo:
uno pesimista, en el cual las utilidades mencionadas pueden estar un 25% por
debajo de las mostradas, y uno optimista, donde las utilidades antes de intereses
e impuestos pueden estar un 35% por encima de las mostradas en el escenario
normativo. Las probabilidades de ocurrencia de los escenarios pesimista y optimista son respectivamente del 15% y 25%.
10. Suponga un proyecto de inversión a 5 años que requiere en la fecha 0 una inversión en activos fijos por valor de $1.500 millones y una inversión en capital
de trabajo por valor de 300 millones de pesos. La inversión en activos fijos se va
a depreciar en un 90% durante la vida útil del proyecto que es de 5 años, utilizando un método de depreciación en línea recta, mientras que la inversión en
capital de trabajo se renueva anualmente mediante el índice de inflación, que se
supone del 12% anual para el período de 5 años; asimismo, se espera vender el
activo depreciado al final de su vida útil en 600 millones de pesos. La tasa de
impuestos tanto para ganancias ordinarias como de capital es del 35%. La utilidad antes de intereses e impuestos para cada uno de los 5 años se muestra en el
Cuadro 7.32:
Cuadro 7.32
Año
1
UAII
650
2
850
3
1.050
4
1.250
5
1.550
El proyecto requiere financiar un 40% de la inversión total requerida en el
período 0 (activos fijos y capital de trabajo) utilizando una línea de crédito que
se amortiza en tres contados iguales al final de los años 3, 4 y 5, con intereses
del 30% anual pagaderos sobre saldos al final de cada año.
a)
b)
Calcular la rentabilidad del proyecto en sí. (42,02%).
Calcular la rentabilidad de los recursos propios aportados al proyecto.
(54,76%).
11. Mencione dos situaciones en las cuales se presentarían costos muertos o no relevantes en la evaluación de proyectos. ¿Cuál sería el tratamiento a seguir en
ambas situaciones?
ALFAOMEGA
t
FAC U LTA D D E A D M I N I S T R AC I Ó N / U N I A N D E S
[217]
Capítulo 7
12. En relación con la evaluación financiera de un proyecto de inversión, presente
una situación en la cual usted tendría que utilizar valores de mercado en vez de
los valores contables registrados en los libros oficiales de la empresa.
13. Suponga un proyecto de inversión a 5 años que requiere en la fecha 0 una inversión en activos fijos por valor de $2.500 millones y una inversión en capital
de trabajo por valor de $800 millones. La inversión en activos fijos se va a depreciar en un 90% durante la vida útil del proyecto que es de 5 años, utilizando
un método de depreciación en línea recta, mientras que la inversión en capital
de trabajo se renueva anualmente mediante el índice de inflación, que se supone del 12% anual para el período de 5 años; asimismo, se espera vender el
activo depreciado al final de su vida útil en $1.400 millones. La tasa de impuestos tanto para ganancias ordinarias como de capital es del 35%. La utilidad
antes de intereses e impuestos para cada uno de los 5 años se muestra en el
Cuadro 7.33, en millones de pesos.
Cuadro 7.33
Año
UAII
1
1.500
2
1.800
3
2.200
4
2.800
5
3.500
El proyecto se va a financiar en un 50% utilizando una línea de crédito que se
amortiza en dos contados iguales al final de los años 4 y 5, con un interés del
32% anual pagadero sobre saldos al final de cada año.
a)
b)
Calcular la rentabilidad del proyecto en sí. (47,64%).
Calcular la rentabilidad de los recursos propios aportados al proyecto.
(70,80%).
14. Repita los cálculos del problema 13, suponiendo depreciación acelerada (40%,
40% y 20%). (Rentabilidad del proyecto en sí: 49,67%, rentabilidad de los recursos propios: 75,94%).
15. Un bono a cuatro años que paga intereses del 20% nominal anual pagadero
semestre vencido, se compra en el momento de su emisión a un 97% de su valor inicial, y se amortiza en 2 pagos iguales, al final de los años 3 y 4. Existe un
financiamiento (subsidiado) del 40% del valor de compra atado a la adquisición
del bono, en las siguientes condiciones: tasa de interés del 18% nominal anual
pagadero semestre vencido, con una amortización en dos pagos iguales, al final
de los años 2 y 3.
[218]
JAVIER SERR ANO
Respuestas a los problemas
a)
b)
Calcular la rentabilidad del bono. (Rentabilidad efectiva anual después de
impuestos: 14,88%).
Calcular la rentabilidad de una inversión de $1.000.000, invertidos para
adquirir bonos en las condiciones especificadas, utilizando el financiamiento ofrecido. (Rentabilidad anual después de impuestos: 36,27%).
RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS
Aquí se presentan las respuestas a la mayoría de problemas; se ha incluido información adicional a la pura respuesta, por ejemplo, los flujos de caja en algunos casos,
para guiar al lector en el desarrollo del problema si es que no obtiene la respuesta
adecuada en su primer intento.
Problema 1
El flujo de fondos, para determinar la rentabilidad del proyecto en sí, se calcula como
si el mismo se financiara con recursos propios, esto es, sin tener en cuenta la estructura de capital.
Año Inversión UAII
0
1
2
3
4
5
6
Depreciación
(LR)
UAI
Impuestos
Util.
neta
Flujo:
Util. neta+dep.
667
667
667
667
667
667
1.500
2.000
2.500
3.000
3.500
4.000
525
700
875
1.050
1.225
1.400
975
1.300
1.625
1.950
2.275
2.600
-4.000
1.642
1.967
2.292
2.617
2.942
3.267
-4.000
1.500
2.000
2.500
3.000
3.500
4.000
Tasa de interés de oportunidad: 40%
Valor presente neto: 673,1
Tasa interna de retorno: 47,79%
Para una tasa de interés de oportunidad del 25%, el proyecto tiene un valor presente
neto positivo. La rentabilidad del proyecto en sí, independientemente de las fuentes
de financiamiento, es del 47.79%, superior a la tasa de interés de oportunidad.
Problema 2
Utilización de la depreciación acelerada
ALFAOMEGA
t
FAC U LTA D D E A D M I N I S T R AC I Ó N / U N I A N D E S
[219]
Capítulo 7
Año Inversión UAII y dep. Depreciación
UAI Impuestos Util. neta
0
-4.000
1
2.167
1.600
567
198
368
2
2.667
1.600
1.067
373
693
3
3.167
800
2.367
828
1.538
4
3.667
3.667
1.283
2.383
5
4.167
4.167
1.458
2.708
6
4.667
4.667
1.633
3.033
Flujo
-4.000
1.968
2.293
2.338
2.383
2.708
3.033
Tasa de interés de oportunidad: 40%
Valor presente neto: 955,01
Tasa interna de retorno: 51,70%
Impuestos
LR
Impuestos
DA
Ahorro
1
525
198
327
2
700
373
327
3
875
828
47
4
1.050
1.283
-233
5
1.225
1.458
-233
6
1.400
1.633
-233
Suma
5.775
5.775
0
Año
0
Valor presente, ahorro en impuestos: 281,9
Diferencia en valor presente (DA - DLR): 281,9
Problema 3
Cálculo de la utilidad neta con financiamiento:
Año Inversión UAII (LR)
0
-4.000
1
1.500
2
2.000
3
2.500
4
3.000
5
3.500
6
4.000
[220]
Depreciación (LR) Intereses UAI
667
667
667
667
667
667
640
640
640
640
640
640
860
1.360
1.860
2.360
2.860
3.360
Impuestos Utilidad neta
301
476
651
826
1.001
1.176
559
884
1.209
1.534
1.859
2.184
JAVIER SERR ANO
Respuestas a los problemas
Cálculo del flujo de caja libre para el patrimonio (equity)
Año
0
1
2
3
4
5
6
Utilidad
neta
Depreciación
559
884
1.209
1.534
1.859
2.184
667
667
667
667
667
667
Inversión
Financiación Amortización
-4.000
1.600
-1.600
Flujo de
caja libre
-2.400
1.226
1.551
1.876
2.201
2.526
1.251
Valor presente neto: 1.159
Rentabilidad recursos propios: 62,10%
El mismo resultado, contrastando el proyecto de inversión con el de financiación:
Año
0
1
2
3
4
5
6
Proyecto
inversión
-4.000
1.642
1.967
2.292
2.617
2.942
3.267
Financiamiento Intereses Amortización
1.600
-640
-640
-640
-640
-640
-640
-1.600
Crédito
Proyecto
tributario financiación
1.600
224
-416
224
-416
224
-416
224
-416
224
-416
224
-2.016
Flujo neto
-2.400
1.226
1.551
1.876
2.201
2.526
1.251
Problema 4
Año Inversión
0
1
2
3
4
5
6
UAII
Deprec.
(LR)
UAI
1.500
2.000
2.500
3.000
3.500
4.000
600
600
600
600
600
600
1.500
2.000
2.500
3.000
3.500
4.000
Imptos. Util. neta Depreciac.
Ing. Venta
activo fijo
-4.000
525
700
875
1.050
1.225
1.400
975
1.300
1.625
1.950
2.275
2.600
600
600
600
600
600
600
920
Flujo
-4.000
1.575
1.900
2.225
2.550
2.875
4.120
Tasa de interés de oportunidad: 40%
Valor presente neto: 650,8
Tasa interna de retorno: 47,31%
Para determinar el efecto de la depreciación acelerada y la rentabilidad de los recursos
propios se pueden seguir los pasos que se siguieron en los problemas 2 y 3.
ALFAOMEGA
t
FAC U LTA D D E A D M I N I S T R AC I Ó N / U N I A N D E S
[221]
Capítulo 7
Problema 5
Los flujos de caja de los proyectos de inversión y de financiamiento y el flujo de caja
resultante para el inversionista serían:
AÑO
Proyecto
inversión
Proyecto
financiación
Flujo neto
inversionista
0
-4.000
1.600
-2.400
1
1.642
-416
1.226
2
1.967
-416
1.551
3
2.292
-816
1.476
4
2.617
-712
1.905
5
2.942
-608
2.334
6
3.267
-504
2.763
Rentabilidad recursos propios o rentabilidad para el inversionista: 60,25%.
Problema 6
El flujo del bono, después de impuestos:
Semestre
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Amortización
500
500
Valor
del bono
-1.000
Intereses
del bono
180
180
180
180
90
90
90
90
Impuestos
a pagar
-126,0
-126,0
-63,0
-63,0
Flujo de
fondos
-1000,0
180,0
54,0
180,0
554,0
90,0
27,0
90,0
527,0
Rentabilidad del bono, después de impuestos: 12,06% semestral
Rentabilidad efectiva anual: 25,57% anual
Para las condiciones del crédito, con períodos trimestrales de pago de intereses, se
obtienen los siguientes resultados:
Costo efectivo del crédito, después de impuestos: 4,37% trimestral
Costo efectivo anual, después de impuestos: 18,65%
Para calcular la rentabilidad de los recursos propios se contraponen los flujos del proyecto de inversión y del proyecto de financiamiento; como el período del proyecto de
inversión es semestral y el de financiación es trimestral, se hizo una homologación a
[222]
JAVIER SERR ANO
Respuestas a los problemas
períodos trimestrales, replanteando el flujo de inversión en términos trimestrales, pero
suponiendo que todo el flujo se recibe al final del trimestre, tal y como se muestra en
el siguiente cuadro:
Trimestre
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
Proyecto
de inversión
-1.000,0
0
180,0
0
54,0
0
180,0
0
554,0
0
90,0
0
27,0
0
90,0
0
527,0
Proyecto de
financiamiento
500,00
-32,50
-32,50
-32,50
13,00
-32,50
-32,50
-32,50
-237,00
-16,25
-16,25
-16,25
6,50
-16,25
-16,25
-16,25
-243,50
Flujo neto
-500,00
-32,50
147,50
-32,50
67,00
-32,50
147,50
-32,50
317,00
-16,25
73,75
-16,25
33,50
-16,25
73,75
-16,25
283,50
Para este flujo, la rentabilidad de los recursos propios resulta en:
Rentabilidad de los recursos propios, después de impuestos: 7,26% trimestral
Rentabilidad de los recursos propios, después de impuestos: 32,35%
La respuesta hubiera sido diferente si se hubiera hecho otro supuesto para equiparar
el período del proyecto de inversión con el período del proyecto de financiación.
Problema 10
1. El flujo del proyecto de inversión resultante, flujo de caja libre para el proyecto,
para determinar la rentabilidad del proyecto en sí, sería:
Año
Flujo de caja
proyecto
0
-1.800
1
657
2
782
3
907
4
1.032
5
2.192
Rentabilidad proyecto en sí: 42,02%
ALFAOMEGA
t
FAC U LTA D D E A D M I N I S T R AC I Ó N / U N I A N D E S
[223]
Capítulo 7
Si la tasa de interés de oportunidad es del 25% el valor presente neto sería de
831,3.
2. Para el cálculo de la rentabilidad de los recursos propios aportados al proyecto, el
flujo de caja resultante para el inversionista sería:
Año
0
1
2
3
4
5
Utilidad neta
282
412
542
719
961
Flujo fondos
1.080
516
642
527
698
1.905
Rentabilidad del capital propio aportado al proyecto: 54,76%.
Problema 13
1. El flujo del proyecto de inversión resultante, flujo de caja libre para el proyecto,
para determinar la rentabilidad del proyecto en sí, sería:
Año
0
1
2
3
4
5
Flujo proyecto
Inversión
-3.300
1.329
1.512
1.760
2.135
4.981
Rentabilidad proyecto en sí: 47,64%.
Si la tasa de interés de oportunidad es del 25%, el valor presente neto resultante sería
de 2.138,9.
2. Para el cálculo de la rentabilidad de los recursos propios aportados al proyecto, el
flujo de caja resultante para el inversionista sería:
Año
Utilidad neta
0
1
2
3
4
5
632
827
1.087
1.477
2.103
Flujo de caja
Inversionista
-1.650
986
1.169
1.416
967
3.985
Rentabilidad del capital propio aportado al proyecto: 70,80%.
[224]
JAVIER SERR ANO
Respuestas a los problemas
Problema 14
Rentabilidad proyecto en sí: 49,67%.
La rentabilidad del proyecto en sí aumenta del 47.64% al 49.67%.
Si la tasa de interés de oportunidad es del 25%, el valor presente neto, con depreciación
acelerada, sería de 2.249,6; el valor presente neto con depreciación en línea recta resultó
en 2.138,9, con un aumento de 110,7, como consecuencia del valor presente neto del
ahorro en impuestos en el método de depreciación acelerada respecto al método de depreciación en línea recta.
ALFAOMEGA
t
FAC U LTA D D E A D M I N I S T R AC I Ó N / U N I A N D E S
[225]
Capítulo 8
FLUJO DE CAJA LIBRE PARA EL PROYECTO
Y PARA EL INVERSIONISTA: CASOS
En este capítulo se presentan tres casos que permiten hacer un análisis detallado del
material presentado en el Capítulo 7, relacionado con la estimación de los flujos de
caja libre para el proyecto y para el patrimonio o inversionista, y la respectiva
estimación de la rentabilidad del proyecto en sí y de la rentabilidad de los recursos
propios aportados al proyecto (rentabilidad del inversionista).
CASO 1
Un proyecto de inversión para producir el producto ABC requiere una inversión en
activos fijos y en capital de trabajo durante el primer año de $8.300 y $4.300
millones respectivamente. El activo fijo se va a depreciar un 93% en línea recta, y el
capital de trabajo (inventarios, cartera, menos cuentas por pagar proveedores) se
debe reajustar cada año con la inflación y el nivel operativo, medido este último a
través de las ventas. La empresa espera vender 2.300.000 unidades durante el primer
año y a un precio promedio de $16.500 por unidad. Los estimativos de mercadeo en
el escenario más probable son tales que se espera un crecimiento de las ventas del
1% anual y del precio en un 1.8% en términos reales por año, con una inflación
esperada del 6% promedio para los 10 años que constituyen la vida útil del proyecto.
La tasa de impuestos corporativa es del 33%.
La empresa incurrió en gastos preoperativos (permisos, licencias, promoción del
proyecto, etc.) por valor de $2.300 millones que va a amortizar durante la vida útil
del proyecto (10 años). El margen bruto estimado para el primer año es del 45% y se
espera que el mismo mejore en un 0.23% cada año, durante la vida del proyecto. Los
gastos fijos de administración durante el primer año son de $8.300 millones, con un
crecimiento esperado del 1.7% anual en términos reales, durante la vida del
proyecto. Los gastos de ventas se han estimado en un 15% de los ingresos operativos
por ventas.
Al final de la vida útil del proyecto se cuenta con disponer de los activos fijos por un
valor esperado de $5.300 millones. Así mismo, se espera una recuperación del capital
de trabajo parcial, equivalente a un 93% del valor del mismo al final de la vida útil del
activo (10 años). La tasa de impuestos de las ganancias por capital es igual a la tasa
de impuestos de la renta ordinaria.
[227]
Capítulo 8
Las primeras preguntas en relación con este proyecto se refieren a:
a) ¿Cuál es el flujo de caja libre para el proyecto?
b) ¿Cuál es la rentabilidad del proyecto? (Rentabilidad del proyecto en sí,
independiente de sus fuentes de financiación).
Datos básicos del problema
En el Cuadro 8.1 se muestra un resumen de los datos principales del proyecto que se
acaba de plantear, con los cálculos básicos para estimar la depreciación, amortización
de preoperativos, utilidad en la venta de activos fijos, impuestos a pagar por este
concepto y el ingreso neto en la venta del activo fijo. Así mismo, se muestran las tasas
de crecimiento del precio de ventas tanto en reales como en nominales y la tasa de
crecimiento de los gastos fijos administrativos, tanto en reales como en nominales,
para una inflación esperada durante todo el período del 6% anual.
Cuadro 8.1
Resumen datos básicos
Inversión en activos fijos
Inversión en capital de trabajo
Vida útil del activo
Porcentaje a depreciar, activo fijo
Valor depreciable
Depreciación anual en línea recta
Valor de salvamento
Tasa de impuestos corporativa
Gastos preoperativos
Amortización anual preoperativos
Valor esperado venta activo fijo
Utilidad en venta activo fijo
Impuestos a pagar, venta PP y E
Ingreso neto, venta PP y E
Recuperación del CT
Tasa de crecimiento del precio en reales
Inflación proyectada
Tasa de crecimiento del precio en nominales
Tasa crecimiento anual del volumen de ventas, unidades
Margen bruto, año 1
Mejoramiento anual, margen bruto
Gastos fijos de administración, año 1
Crecimiento gastos fijos, anuales, reales
Crecimiento gastos fijos, anuales en nominales
Participación gastos de ventas en ingresos por ventas
[228]
8.300.000.000
4.300.000.000
10 Años
93.00%
7.719.000.000
771.900.000
581.000.000
33,00%
2.300.000.000
230.000.000
5.300.000.000
4.719.000.000
1.557.270.000
3.742.730.000
93,00%
1,80%
6,00%
7,91%
1,00%
45,00%
0,23%
8.300.000.000
1,70%
7,80%
15,00%
JAVIER SERR ANO
Caso 1
En el Cuadro 8.2 se muestra el comportamiento esperado de las ventas y del precio
de ventas. El precio de ventas crece en un 1,80% en reales, que con una inflación del
6% equivale a un crecimiento en nominales del 7,91% anual. Las ventas crecen en
un 1%, mientras que el margen bruto se mejora en un 0,23% año, pasando del 45%
el primer año a un 45,23% para el segundo año, a un 45,46% para el tercer año y así
sucesivamente.
Cuadro 8.2
Comportamiento esperado de ventas y precio
Año
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Precio
16.500
17.805
19.213
20.732
22.372
24.141
26.050
28.110
30.333
32.732
Cantidad
2.300.000
2.323.000
2.346.230
2.369.692
2.393.389
2.417.323
2.441.496
2.465.911
2.490.570
2.515.476
Margen bruto
45,00%
45,23%
45,46%
45,69%
45,92%
46,15%
46,38%
46,61%
46,84%
47,07%
En el Cuadro 8.3 se muestra el comportamiento del capital de trabajo, teniendo en
cuenta que se recupera un 93% del capital de trabajo neto y que al mismo tiempo
existe una pérdida en la recuperación del capital de trabajo, que genera un crédito
tributario (33% del valor de la pérdida). Aunque la recuperación del capital de trabajo
no se hace al final del año 10 pues la misma toma un tiempo prudencial (la venta de
inventarios y recuperación de la cartera), y la inversión adicional en capital de trabajo
durante el año 10 no se hace al final del año, lo cual no tendría sentido, sino a lo
largo de todo el año, en el modelo de evaluación se considera que los dos eventos
tienen lugar al final del año 10, lo cual sin duda es una simplificación de la situación
real.
Cuadro 8.3
Comportamiento del capital de trabajo
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
ALFAOMEGA
CT
4.300.000.000
4.603.580.000
4.928.592.748
5.276.551.396
5.649.075.925
6.047.900.685
6.474.882.473
6.932.009.176
7.421.409.024
7.945.360.501
8.506.302.952
t
Inversión en CT Recupera CT Crédito tributario
4.300.000.000
303.580.000
325.012.748
347.958.648
372.524.529
398.824.760
426.981.788
457.126.703
489.399.848
523.951.477
560.942.451 7.910.861.745
196.495.598
FAC U LTA D D E A D M I N I S T R AC I Ó N / U N I A N D E S
Inversión CT
-4.300.000.000
-303.580.000
-325.012.748
-347.958.648
-372.524.529
-398.824.760
-426.981.788
-457.126.703
-489.399.848
-523.951.477
7.546.414.892
[229]
Capítulo 8
Flujo de caja libre para el proyecto y rentabilidad
del proyecto en sí
En los Cuadros 8.4 y 8.5 se muestran las proyecciones de la utilidad operacional
(UAII) y del flujo de caja libre para el proyecto. El margen bruto se mejora año a año
(0,23%), los gastos operativos crecen en un 1,70% real anual, para un crecimiento
nominal del 7,80% con una inflación del 6,00%, los gastos de ventas corresponden a
un 15% de los ingresos operativos por ventas.
En la Figura 8.1 se muestra la formulación básica para el flujo de caja libre para el
proyecto, recordando que es un flujo de caja operacional después de impuestos sin
tener en cuenta el efecto de los gastos financieros sobre los impuestos.
Figura 8.1
Rentabilidad del proyecto en sí
Flujo de caja libre para el proyecto
F1
F2
F6
F9
F10
2
6
9
10
O
1
I
FJ = (UAII)J* (1-t) + (DEP)J + (Amort diferidos)J
+(Causaciones - Efectivo)J
-INV AFJ INV CTJ
En el Cuadro 8.5 se muestra como inversión en la fecha cero la suma de la inversión
en activos fijos por valor de $8.300 millones y los gastos preoperativos por valor de
$2.300 millones, para una inversión total en esa fecha de $10.600 millones, sin tener
en cuenta la inversión en capital de trabajo La inversión en activos fijos se deprecia y
los gastos preoperativos se amortizan. Sobre este punto se puede presentar una
controversia argumentando que los gastos preoperativos constituyen un costo
muerto para el proyecto y por lo tanto no se deberían introducir en la fecha cero
como parte de la inversión; su efecto debería ser únicamente en la estimación de los
impuestos (restar su amortización para la determinación de la utilidad operacional y
volver a sumar una vez se han estimado los impuestos a pagar, sin tener en cuenta el
efecto de los gastos financieros sobre los impuestos). Quienes argumentan en esa
dirección pueden estar en lo correcto; no obstante lo anterior, para este caso se
introdujo como inversión total la inversión en activos fijos más la inversión en
preoperativos, menos la recuperación al final del año 10 de parte de la inversión en
[230]
JAVIER SERR ANO
Caso 1
activos fijos, como consecuencia de la venta del activo, disminuida en los impuestos a
pagar, más la inversión en capital de trabajo en la fecha cero menos la recuperación
neta del capital de trabajo en la fecha 10.
Cuadro 8.4
Proyección de la utilidad operacional
Año Precio Cantidad
Margen
bruto
Utilidad
bruta
Gastos
operativos
ventas
Utilidad operacional
(UAII)
1
16.300
2.300.000
45,00%
16.870.500.000
8.300.000.000
5.623.500.000
2.947.000.000
2
17.589
2.323.000
45,23%
18.480.641.621
8.947.566.000
6.128.888.444
3.404.187.177
3
18.980
2.346.230
45,46%
20.243.933.682
9.645.655.099
6.679.696.551
3.918.582.031
4
20.481
2.369.692
45,69%
22.174.898.959 10.398.209.110
7.280.006.224
4.496.683.625
5
22.101
2.393.389
45,92%
24.289.433.617 11.209.477.385
7.934.266.208
5.145.690.024
6
23.848
2.417.323
46,15%
26.604.936.765 12.084.040.811
8.647.325.059
5.873.570.895
7
25.734
2.441.496
46,38%
29.140.452.211 13.026.837.675
9.424.467.080
6.689.147.457
8
27.769
2.465.911
46,61%
31.916.823.553 14.043.191.550
10.271.451.476
7.602.180.527
9
29.965
2.490.570
46,84%
34.956.863.863 15.138.841.355
11.194.555.037
8.623.467.471
10
32.335
2.515.476
47,07%
38.285.541.337 16.319.973.757
12.200.618.654
9.764.948.925
Cuadro 8.5
Proyección del flujo de caja libre para el proyecto
Inversión
en AF
+preoperativos
Inversión
en CT
Flujo de caja
libre para el
proyecto
-10.600.000.000
-4.300.000.000
-14.900.000.000
-303.580.000
2.765.270.000
230.000.000
-325.012.748
3.059.234.681
771.900.000
230.000.000
-347.958.648
3.390.900.992
3.135.226.840
771.900.000
230.000.000
-372.524.529
3.764.602.311
5.346.366.925
3.582.065.840
771.900.000
230.000.000
-398.824.760
4.185.141.079
6
6.093.909.689
4.082.919.492
771.900.000
230.000.000
-426.981.788
4.657.837.704
7
6.931.061.385
4.643.811.128
771.900.000
230.000.000
-457.126.703
5.188.584.425
8
7.867.767.915
5.271.404.503
771.900.000
230.000.000
-489.399.848
5.783.904.655
9
8.915.029.543
5.973.069.794
771.900.000
230.000.000
-523.951.477
6.451.018.317
10 10.085.009.326 6.756.956.249
771.900.000
230.000.000
7.546.414.892
19.048.001.141
Año
Depreciación Amortización
activos fijos preoperativos
UAII
UAII*(1-t)
1
3.085.000.000
2.066.950.000
771.900.000
230.000.000
2
3.555.742.431
2.382.347.429
771.900.000
3
4.085.014.388
2.736.959.640
4
4.679.443.045
5
0
3.742.730.000
En la última columna del Cuadro 8.5 se muestra el flujo de caja libre para el proyecto,
que se utiliza para estimar la rentabilidad del proyecto en sí, independiente de sus
fuentes de financiamiento. La tasa interna de retorno de ese flujo de caja es igual al
25,18%, que corresponde a la rentabilidad del proyecto en sí independientemente de
sus fuentes de financiamiento. Si no se hubieran tenido en cuenta los gastos
preoperativos como inversión en la fecha cero (costo muerto), la rentabilidad del
ALFAOMEGA
t
FAC U LTA D D E A D M I N I S T R AC I Ó N / U N I A N D E S
[231]
Capítulo 8
proyecto en sí, con independencia de sus fuentes de financiamiento, hubiera sido del
29,59%.
Si el anterior valor del 25,18% es alto o bajo, va a depender de la meta con la cual se
compare. Por ejemplo, si la tasa de interés de oportunidad para el inversionista es del
20%, la rentabilidad interna del proyecto es mayor y por lo tanto se justificaría
invertir en el mismo. Igualmente, si el costo promedio ponderado de capital (WACC)
fuera del 14%, el proyecto le estaría agregando valor a la empresa. Con estos datos
se pueden diferenciar dos conceptos: valor económico agregado relativo y valor
económico agregado absoluto.
c) ¿Cuál es el valor económico relativo que el proyecto le agrega a la empresa,
frente a las oportunidades tradicionales que generan una rentabilidad equivalente
a la TIO (20%)?
d) ¿Cuál es el valor absoluto (EVA) que el proyecto le genera a la empresa, si el
costo promedio ponderado de capital es del 14%?
La respuesta a la pregunta c) se obtiene de descontar el flujo de caja libre para el
proyecto a la TIO (20%), mientras que la respuesta a la segunda pregunta se obtiene
de descontar el mismo flujo de caja libre para el proyecto al costo promedio ponderado de capital (14%):
x
El valor económico relativo que el proyecto le agrega a la empresa, frente a las
oportunidades tradicionales que generan una rentabilidad equivalente a la TIO
(20%), es de $3.668,2 millones.
x
El valor absoluto (EVA) que el proyecto le genera a la empresa, si el costo promedio ponderado de capital es del 14%, es de $9.916,0 millones.
Financiamiento vía deuda y flujo de caja para
el proyecto de financiamiento
El proyecto se va a financiar con la siguiente mezcla de financiamiento (estructura de
capital): deuda, un 30%, y patrimonio, un 70%. La deuda se contrata con una tasa
del 19% efectivo anual antes de impuestos y se va a amortizar en cuatro contados
iguales al final de los años 7, 8, 9 y 10. El establecimiento de crédito cobra una
comisión de administración y seguimiento del 2.10% año anticipado sobre saldos; los
intereses se pagan sobre el saldo al comienzo del período. El crédito es equivalente al
30% de la inversión en activos fijos y en capital de trabajo, esto es, 30%*(8.300 +
4.300) = $3.780 millones.
e) ¿Cuál es el flujo de caja del proyecto de financiación?
[232]
JAVIER SERR ANO
Caso 1
f) ¿Cuál es el costo después de impuestos del crédito?
En el Cuadro 8.6 se muestra el flujo de caja para el proyecto de financiamiento,
teniendo en cuenta el esquema de amortización (abono a capital) sugerido para el
crédito; y los intereses causados sobre el saldo al comienzo del período. El ahorro en
impuestos involucra el pago de intereses y de comisiones; para ello se ha supuesto
que es un 33% (tasa de impuestos corporativa), multiplicado por la suma de los
intereses pagados en ese año (vencidos) y por la comisión del año anterior
(anticipada). El cálculo real deberá tener en cuenta las fechas precisas en las cuales se
pagan los intereses y las comisiones.
Cuadro 8.6
Flujo de caja para el proyecto de financiamiento (crédito)
Saldo
comienzo
semestre
Año Desembolso
0
Amortización
Cto. final
semestre
Intereses
anuales
3.780.000.000
Comisiones
anticipadas
Ahorro e
impuestos
-79.380.000
Flujo de caja
financiamiento
3.700.620.000
1
3.780.000.000
-718.200.000
-79.380.000
263.201.400
-534.378.600
2
3.780.000.000
-718.200.000
-79.380.000
263.201.400
-534.378.600
3
3.780.000.000
-718.200.000
-79.380.000
263.201.400
-534.378.600
4
3.780.000.000
-718.200.000
-79.380.000
263.201.400
-534.378.600
5
3.780.000.000
-718.200.000
-79.380.000
263.201.400
-534.378.600
6
3.780.000.000
-718.200.000
-79.380.000
263.201.400
-534.378.600
7
3.780.000.000 -945.000.000
-718.200.000
-59.535.000
263.201.400
-1.459.533.600
8
2.835.000.000 -945.000.000
-538.650.000
-39.690.000
197.401.050
-1.325.938.950
9
1.890.000.000 -945.000.000
-359.100.000
-19.845.000
131.600.700
-1.192.344.300
10
945.000.000 -945.000.000
-179.550.000
0
65.800.350
-1.058.749.650
El costo del financiamiento vía deuda (crédito) corresponde a la tasa interna de
retorno del flujo de caja para el proyecto de financiamiento (última columna) y es
igual a un 14.44% efectivo anual. Esta tasa se hubiera podido obtener en una forma
simplificada, tal y como se muestra en el Cuadro 8.7; los valores que se obtienen son
muy similares.
ALFAOMEGA
t
FAC U LTA D D E A D M I N I S T R AC I Ó N / U N I A N D E S
[233]
Capítulo 8
Cuadro 8.7
Cálculo simplificado del costo después de impuestos
Simplificado
Costo intereses
Costo comisiones
Costo comisiones
Costo antes de impuestos
Tasa de impuestos
Costo después de impuestos
19,00%
2,10% Anticipado
2,145% equivalente vencido
21,55%
33,00%
14,44%
En el Cuadro 8.7 se calculó la comisión vencida equivalente a una comisión anticipada
(0,021/0,979). El costo antes de impuestos es igual a (1+0,02145)*(1+0,19)-1 =
21,55%. El costo después de impuestos es igual a 21,55%*(1-0,33) = 14,44%.
Flujo de caja libre para el patrimonio
o para el inversionista (equity)
El proyecto financiado con deuda requiere un aporte de recursos propios o recursos
del inversionista inferior al monto total de la inversión, permitiendo a su vez aumentar
la rentabilidad de los recursos propios aportados por el inversionista (el patrimonio o
equity del inversionista).
g) ¿Cuál es el flujo de caja libre para el inversionista (flujo de caja libre para el
patrimonio)?
h) ¿Cuál es la rentabilidad para los recursos propios aportados al proyecto
(rentabilidad para el inversionista o rentabilidad para el equity)?
Una forma fácil de obtener el flujo de caja libre para los recursos propios o para el
inversionista es superponiendo los flujos de caja del proyecto de inversión y del
proyecto de financiamiento, tal y como se muestra en el Cuadro 8.8:
[234]
JAVIER SERR ANO
Caso 1
Cuadro 8.8
Flujo de caja para el inversionista
Año
Proyecto inversión
Proyecto
financiación
Flujo de caja libre, equity
0
-14.900.000.000
3.700.620.000
-11.199.380.000
1
2.765.270.000
-534.378.600
2.230.891.400
2
3.059.234.681
-534.378.600
2.524.856.081
3
3.390.900.992
-534.378.600
2.856.522.392
4
3.764.602.311
-534.378.600
3.230.223.711
5
4.185.141.079
-534.378.600
3.650.762.479
6
4.657.837.704
-534.378.600
4.123.459.104
7
5.188.584.425
-1.459.533.600
3.729.050.825
8
5.783.904.655
-1.325.938.950
4.457.965.705
9
6.451.018.317
-1.192.344.300
5.258.674.017
10
19.048.001.141
-1.058.749.650
17.989.251.491
La rentabilidad de los recursos propios aportados por el inversionista o rentabilidad
para el inversionista (equity) se obtiene aplicando la tasa interna de retorno al flujo de
caja libre para el equity o patrimonio o inversionista (última columna del Cuadro 8.8),
lo cual da una TIR o rentabilidad interna del 28.06%, superior a la obtenida para el
proyecto (25.18%). Esto es consecuencia de apalancar un 30% la inversión con una
deuda que tiene un costo después de impuestos (14.44%) inferior a la rentabilidad
del proyecto en sí (25.18%), que también es una rentabilidad después de impuestos.
En los cuadros 8.9 y 8.10 se muestra otra forma de llegar al mismo flujo de caja para
el inversionista, partiendo de la utilidad neta, que ya incluye los gastos financieros.
Éstos, que se muestran en la segunda columna del Cuadro 8.9, corresponden a los
intereses pagados sobre saldos al comienzo del período, que se pagan vencidos, y por
las comisiones de administración que se pagan anticipadas.
La formulación general del flujo de caja libre para el inversionista o equity, para el jésimo período (FCLEJ), presentada en el capítulo anterior, es:
FCLEJ = (Utilidad neta)J + (Depreciación activos fijos )J + (Amortización diferidos)J
- (Inversión en activos fijos)J – (Inversión en capital de trabajo)J
+ (Ingresos por financiamiento)J - (Amortización a capital del financiamiento)J
ALFAOMEGA
t
FAC U LTA D D E A D M I N I S T R AC I Ó N / U N I A N D E S
[235]
Capítulo 8
Observe que en la expresión anterior se mezclan tanto el proyecto de inversión como
el proyecto de financiamiento, pues en la utilidad neta se incluyen los gastos financieros y su impacto sobre los impuestos a pagar como consecuencia de su tratamiento
tributario. Se corrige el efecto de aquellas causaciones que, afectando la utilidad neta
(contable), no afectan el flujo de caja, tales como la depreciación de activos fijos y la
amortización de diferidos (a manera de ejemplo), y se suman los ingresos financieros
derivados de nuevos financiamientos (p. ej., créditos y emisión de bonos), que a su
vez se deben amortizar, esto es, restar del flujo de caja en el momento convenido.
En este flujo de caja construido ya se ha incluido el efecto del apalancamiento
financiero sobre los impuestos. Para propósitos de determinar el valor económico
agregado al inversionista por el proyecto con la estructura de capital seleccionada, el
flujo de caja libre para el inversionista (patrimonio) se debe descontar al costo del
patrimonio; pues si se descontara al costo promedio ponderado de capital (WACC)
no solo sería incorrecto sino que se estaría contabilizando doblemente el efecto del
apalancamiento financiero.
El procedimiento que se acaba de explicar se presenta en los cuadros 8.9 y 8.10, para
obtener el flujo de caja libre para el equity o para el inversionista que se muestra en la
última columna del Cuadro 8.10. El flujo de caja para el inversionista difiere
ligeramente del que se obtuvo con anterioridad como consecuencia del tratamiento
de las comisiones para el cálculo del ahorro en impuestos.
Cuadro 8.9
Cálculo de la utilidad neta
Año
Utilidad
operacional (UAII)
Gastos financieros
intereses y com.
Utilidad antes
impuestos
Impuestos
corporativos
Utilidad neta
0
[236]
1
3.085.000.000
-797.580.000
2.287.420.000
754.848.600 1.532.571.400
2
3.555.742.431
-797.580.000
2.758.162.431
910.193.602 1.847.968.829
3
4.085.014.388
-797.580.000
3.287.434.388 1.084.853.348 2.202.581.040
4
4.679.443.045
-797.580.000
3.881.863.045 1.281.014.805 2.600.848.240
5
5.346.366.925
-797.580.000
4.548.786.925 1.501.099.685 3.047.687.240
6
6.093.909.689
-797.580.000
5.296.329.689 1.747.788.797 3.548.540.892
7
6.931.061.385
-797.580.000
6.133.481.385 2.024.048.857 4.109.432.528
8
7.867.767.915
-598.185.000
7.269.582.915 2.398.962.362 4.870.620.553
9
8.915.029.543
-398.790.000
8.516.239.543 2.810.359.049 5.705.880.494
10
10.085.009.326
-199.395.000
9.885.614.326 3.262.252.728 6.623.361.599
JAVIER SERR ANO
Caso 1
Cuadro 8.10
Flujo de caja libre para el inversionista
Año
Utilidad neta
Depreciación
Preoperativos
activos fijos
0
Inversión en AF
Ingresos por
Inversión en CT
+preoperativos
financiamiento
-10.600.000.000 -4.300.000.000 3.780.000.000
Amortización
deuda
Flujo de caja
recursos propios
-11.120.000.000
1
1.532.571.400 771.900.000
230.000.000
0
-303.580.000
0
2.230.891.400
2
1.847.968.829 771.900.000
230.000.000
0
-325.012.748
0
2.524.856.081
3
2.202.581.040 771.900.000
230.000.000
0
-347.958.648
0
2.856.522.392
4
2.600.848.240 771.900.000
230.000.000
0
-372.524.529
0
3.230.223.711
5
3.047.687.240 771.900.000
230.000.000
0
-398.824.760
0
3.650.762.479
6
3.548.540.892 771.900.000
230.000.000
0
-426.981.788
0
4.123.459.104
7
4.109.432.528 771.900.000
230.000.000
0
-457.126.703
-945.000.000
3.709.205.825
8
4.870.620.553 771.900.000
230.000.000
0
-489.399.848
-945.000.000
4.438.120.705
9
5.705.880.494 771.900.000
230.000.000
0
-523.951.477
-945.000.000
5.238.829.017
10
6.623.361.599 771.900.000
230.000.000
3.742.730.000
7.546.414.892
-945.000.000
17.969.406.491
Análisis de sensibilidad al precio y a la cantidad
Suponga que el precio de venta del producto ABC para el primer año se comporta
como una variable aleatoria con una distribución normal con valor esperado de $6.500
y una desviación estándar de $500. Así mismo, el volumen de ventas para el primer
año se comporta como una variable aleatoria con una distribución uniforme entre
2.100.000 y 2.500.000 unidades. ¿Cuál sería la distribución de probabilidad de la
rentabilidad del proyecto en sí, independientemente de sus fuentes de financiamiento?
Para dar una respuesta al planteamiento que se acaba de hacer se utiliza la simulación
de Montecarlo, que se explica posteriormente en el Capítulo 10 de este libro, a partir
de números aleatorios uniformemente distribuidos entre 0 y 1, estableciendo la
relación con la función de distribución de probabilidad acumulada, que también
corresponde a un rango entre 0 y 1. En el mercado existen programas de computador
que, unidos al Excel, facilitan la realización de las simulaciones de Montecarlo
necesarias para estimar la distribución de probabilidad para una variable de respuesta
o variable dependiente; uno de esos programas es Crystal Ball1, que se acopla muy
bien con Excel y permite realizar las simulaciones que sean necesarias en una forma
eficiente y amigable.
A manera de ejemplo, para el caso que nos ocupa se realizaron 2.000 simulaciones
del proyecto con las distribuciones de probabilidad sugeridas para el precio de venta y
para el número de unidades vendidas (variables de entrada o independientes); la
variable de respuesta es la rentabilidad del proyecto en sí, independientemente de sus
fuentes de financiamiento. En la figura 8.2 se muestra el histograma para las 2.000
simulaciones, que facilitan el análisis estadístico de la variable de respuesta, tomado
de la salida de Crystal Ball.
1
Crystal Ball es una marca registrada de Decisioneering, Inc.
ALFAOMEGA
t
FAC U LTA D D E A D M I N I S T R AC I Ó N / U N I A N D E S
[237]
Capítulo 8
Figura 8.2
Rentabilidad del proyecto en sí2
CASO 2
Un proyecto de inversión con una vida útil de 8 años para fabricar y vender el
producto XYZ, requiere una inversión original en activos fijos por valor de $7.000
millones y en capital de trabajo por valor de $2.800 millones. El activo fijo se va a
depreciar en línea recta, con un valor depreciable del 93%, y el capital de trabajo
(inventarios, cartera menos cuentas por pagar a proveedores) se debe reajustar cada
año con la inflación y el nivel operativo, medido este último a través de las ventas.
La empresa espera vender 3.500.000 unidades durante el primer año a un precio
promedio de $12.500 por unidad. Los estimativos de mercadeo en el escenario más
probable son tales que se espera un crecimiento de las ventas del 1.50% anual y del
precio de venta en un 2% en términos reales, con una inflación esperada del 5.5%
promedio para los 8 años que constituyen la vida útil del proyecto. La tasa de
impuestos corporativa es del 33%.
La empresa incurrió en gastos preoperativos (permisos, licencias, promoción del
proyecto, etc.) por valor de $1.500 millones que va a amortizar durante la vida útil
del proyecto (8 años). El costo de venta unitario para el primer año es de $7.250 por
artículo producido; así mismo, el costo de ventas comprende costos fijos efectivos,
por valor de $3.000 millones para el primer año (mano de obra directa, arriendos,
servicios públicos), y los no efectivos correspondientes a la depreciación en línea
recta, equivalentes a $813.750.000 por año, según las condiciones establecidas
previamente. El costo de ventas unitario (CVU) se va a incrementar en un 1% real
anual, mientras que el costo de ventas fijo efectivo se va a incrementar con la
inflación. Los gastos fijos de administración durante el primer año son de $7.000
millones con un crecimiento esperado del 1.3% anual en términos reales, durante la
vida del proyecto; los gastos de ventas se han estimado en un 12% de los ingresos
operativos por ventas.
2
[238]
Salida de Crystal Ball.
JAVIER SERR ANO
Caso 2
Al final de la vida útil del proyecto se espera disponer de los activos fijos por un valor
de $3.500 millones. Así mismo, se espera una recuperación del capital de trabajo
parcial, equivalente al 93% del valor del mismo al final de la vida útil del activo (8
años). La tasa de impuestos de las ganancias por capital es igual a la tasa de
impuestos de renta ordinaria.
Las primeras preguntas a resolver son:
a) ¿Cuál es el flujo de caja libre para el proyecto?
b) ¿Cuál es la rentabilidad del proyecto en sí, independientemente de las fuentes de
financiamiento?
En el Cuadro 8.11 se muestra un resumen de los datos básicos del problema y de
algunos cálculos preliminares.
Cuadro 8.11
Datos básicos y cálculos preliminares
Inversión en activos fijos
7.000.000.000
Inversión en capital de trabajo
2.800.000.000
Vida útil del activo
Porcentaje a depreciar, activo fijo
Valor depreciable
8
6.510.000.000
Depreciación anual en línea recta
813.750.000
Valor de salvamento
490.000.000
Tasa de impuestos corporativa
Gastos preoperativos
Amortización anual preoperativos
33,00%
1.800.000.000
225.000.000
Valor esperado venta activo fijo
3.500.000.000
Utilidad en venta activo fijo
3.010.000.000
Impuestos a pagar, venta PP y E
Ingresos neto, venta PP y E
Recuperación del CT
993.300.000
2.506.700.000
93,00%
Tasa de crecimiento del precio en reales
2,00%
Inflación proyectada
5,50%
Tasa de crecimiento del precio en nominales
7,61%
Tasa crecimiento anual del volumen de ventas, unidades
Tasa de crecimiento del CVU en reales
Tasa de crecimiento del CVU en nominales
Costo fijo de ventas, efectivo, año 1 (excluye depreciación)
Incremento del costo fijo de ventas (efectivo)
1,50%
1,00%
6,56%
3.000.000.000
5,50%
Gastos fijos de administración, año 1
Crecimiento gastos fijos de administración, anuales, en reales
años
93,00%
7.000.000.000
1,30%
Crecimiento gastos fijos, anuales, en nominales
6,87%
Participación gastos de ventas en ingresos por ventas
12,00%
ALFAOMEGA
t
FAC U LTA D D E A D M I N I S T R AC I Ó N / U N I A N D E S
[239]
Capítulo 8
En el Cuadro 8.12 se presentan los cálculos necesarios para determinar la utilidad
bruta y en el Cuadro 8.13 se presentan los cálculos necesarios para determinar la
utilidad operacional esperada, según las condiciones especificadas, para los 8 años
que comprende la vida útil del proyecto. La utilidad bruta es igual a los ingresos
operacionales (precio de venta por cantidad demandada) menos los costos de ventas
que corresponden al costo variable unitario por las unidades demandadas más los
costos fijos de producción efectivos más la depreciación de activos fijos, que siendo
un costo fijo de producción no es un costo efectivo.
La utilidad operacional año a año, se estima restando de la utilidad bruta los gastos
operativos, los gastos de ventas y la amortización de los gastos preoperativos, según
las condiciones especificadas en el problema (valores, crecimientos reales y
crecimientos nominales).
Cuadro 8.12
Determinación de la utilidad bruta
Año Precio
0
1
2
3
4
5
6
7
8
16.000
17.218
18.528
19.938
21.455
23.088
24.845
26.736
Costo
Cantidad variable
unitario
2.500.000
2.537.500
2.575.563
2.614.196
2.653.409
2.693.210
2.733.608
2.774.612
8.750
9.324
9.935
10.586
11.280
12.019
12.807
13.647
Costos fijo
de ventas
(efectivo)
Costo fijo
de vtas.No
efectivo (dep.)
Costo de
ventas
Utilidad
bruta
3.000.000.000
3.165.000.000
3.339.075.000
3.522.724.125
3.716.473.952
3.920.880.019
4.136.528.420
4.364.037.483
813.750.000
813.750.000
813.750.000
813.750.000
813.750.000
813.750.000
813.750.000
813.750.000
25.688.750.000
27.637.289.844
29.740.322.487
32.010.203.442
34.460.282.360
37.104.983.362
39.959.891.874
43.041.848.504
14.311.250.000
16.052.370.156
17.979.337.285
20.111.189.328
22.468.865.861
25.075.394.885
27.956.097.732
31.138.813.858
Cuadro 8.13
Determinación de la utilidad operacional
Año
Utilidad
bruta
Gastos
operativos
Gastos de
ventas
Amortización
preoperativos
Utilidad
operacional (UAII)
0
[240]
1
14.311.250.000
7.000.000.000 4.800.000.000
225.000.000
2.286.250.000
2
16.052.370.156
7.481.005.000 5.242.759.200
225.000.000
3.103.605.956
3
17.979.337.285
7.995.062.259 5.726.359.173
225.000.000
4.032.915.854
4
20.111.189.328
8.544.442.962 6.254.567.132
225.000.000
5.087.179.234
5
22.468.865.861
9.131.574.360 6.831.497.787
225.000.000
6.280.793.715
6
25.075.394.885
9.759.050.492 7.461.645.390
225.000.000
7.629.699.003
7
27.956.097.732 10.429.643.646 8.149.918.753
225.000.000
9.151.535.333
8
31.138.813.858 11.146.316.610 8.901.679.483
225.000.000
10.865.817.765
JAVIER SERR ANO
Caso 2
Cuadro 8.14
Estimación de la inversión en capital de trabajo
CT fin del año
Inversión en CT
Recuperación CT
Crédito tributario
Inversión CT
0
2.800.000.000
2.800.000.000
-2.800.000.000
1
2.998.310.000
198.310.000
-198.310.000
2
3.210.665.306
212.355.306
-212.355.306
3
3.438.060.676
227.395.370
-227.395.370
4
3.681.561.323
243.500.647
-243.500.647
5
3.942.307.904
260.746.581
-260.746.581
6
4.221.521.861
279.213.957
-279.213.957
7
4.520.511.147
298.989.286
-298.989.286
8
4.840.676.349
320.165.202
4.501.829.005
111.819.624
4.293.483.427
Cuadro 8.15
Determinación del flujo de caja libre para el proyecto
Año
UAII
UAII*(1-t)
Depreciación Amortización Inversión en AF
Flujo de caja libre
Inversión en CT
activos fijos preoperativos +preoperativos
para el proyecto
0
-2.800.000.000
-11.600.000.000
1
2.286.250.000
1.531.787.500
813.750.000
225.000.000
-8.800.000.000
-198.310.000
2.372.227.500
2
3.103.605.956
2.079.415.991
813.750.000
225.000.000
-212.355.306
2.905.810.685
3
4.032.915.854
2.702.053.622
813.750.000
225.000.000
-227.395.370
3.513.408.252
4
5.087.179.234
3.408.410.087
813.750.000
225.000.000
-243.500.647
4.203.659.439
5
6.280.793.715
4.208.131.789
813.750.000
225.000.000
-260.746.581
4.986.135.208
6
7.629.699.003
5.111.898.332
813.750.000
225.000.000
-279.213.957
5.871.434.375
7
9.151.535.333
6.131.528.673
813.750.000
225.000.000
-298.989.286
6.871.289.387
8
10.865.817.765
7.280.097.903
813.750.000
225.000.000
4.293.483.427
15.119.031.329
2.506.700.000
En el Cuadro 8.14 se muestra la estimación del capital de trabajo al final de cada uno
de los 8 años, la estimación de la inversión anual en capital de trabajo, la recuperación
del capital de trabajo al final de la vida útil del proyecto, estimada en un 93% del valor
contable del mismo, y el crédito tributario o ahorro en impuestos, derivado de la
pérdida contable en que se incurre al recuperar el capital de trabajo. La inversión inicial
en capital de trabajo (fecha cero) es igual a los $2.800 millones; la inversión en capital
de trabajo para cada año es igual al aumento del valor contable del capital de trabajo
durante el año, como consecuencia de la inflación y del incremento en el nivel
operacional. El crédito tributario es igual a la tasa de impuestos (33%) multiplicada por
la pérdida contable incurrida en la recuperación del capital de trabajo.
En el Cuadro 8.15 se muestra la construcción del flujo de caja libre para el proyecto,
con los valores que se muestran año a año, en la última columna del mencionado
cuadro. Para estimar la rentabilidad del proyecto en sí independientemente de sus
ALFAOMEGA
t
FAC U LTA D D E A D M I N I S T R AC I Ó N / U N I A N D E S
[241]
Capítulo 8
fuentes de financiamiento, se calcula la tasa interna de retorno del flujo de caja libre
para el proyecto, lo cual da un valor del 31.34%. Así mismo, para estimar el valor
económico que este proyecto le agregaría a la empresa, si se cumplen las expectativas
que conducen al flujo de caja para cada año, se calcula el valor presente neto de ese
flujo descontado a la tasa de interés de oportunidad. Para una tasa de interés de
oportunidad del 18% ese valor económico relativo sería de $7.337 millones. Si se
fuera a calcular el EVA absoluto que el proyecto le agregaría a la empresa, el mismo
flujo de caja libre para el proyecto se descontaría al costo promedio ponderado de
capital (WACC por sus siglas en inglés), que se explicará en otro capítulo.
Un 35% de la inversión inicial en activos fijos y en capital de trabajo se va a financiar
con un crédito que se va a cancelar en 96 cuotas mensuales durante la vida del
proyecto, con cuotas iguales mensuales y una tasa de interés del 23% efectivo.
Adicionalmente la entidad financiera cobra una comisión anual de administración del
crédito del 1.90% año vencido sobre los saldos al comienzo de cada año.
c) ¿Cuál es el flujo del proyecto de financiación?
d) ¿Cuál es la rentabilidad de los recursos propios aportados al proyecto o
rentabilidad para el inversionista?
La tasa de interés mensual equivalente a una tasa efectiva del 23% es de 1,740%; el
monto del crédito es de $3.430 millones y su plazo de 8 años (96 meses). Con estas
condiciones, la cuota mensual uniforme es de $73.765.163. En el Cuadro 8.16 se presenta el flujo de caja del proyecto de financiación, para las condiciones establecidas. La
tasa interna de retorno de flujo es del 1,312% mensual, equivalente a una tasa del
16,93% anual, que sería el costo del financiamiento vía deuda, después de impuestos.
También se hubiera obtenido una muy buena aproximación utilizando una versión
simplificada:
Costo intereses
23%
Costo comisiones 1,9%
Costo antes de impuestos: (1 + 0,23)* (1+0,0190) -1 = 25,34%
Costo después de impuestos: 25,34% * (1-0,33) = 16,98%
[242]
JAVIER SERR ANO
Caso 2
Cuadro 8.16
Flujo de caja proyecto de financiamiento
Año
Desembolso
0
3.430.000.000
Saldo comienzo
Cuota
Interés
Amortización
Comisión
Ahorro imptos. Flujo financiamiento
3.430.000.000
1
3.430.000.000 -73.765.133 -59.684.887
-14.080.246
-73.765.133
2
3.415.919.754 -73.765.133 -59.439.879
-14.325.254
-73.765.133
3
3.401.594.500 -73.765.133 -59.190.608
-14.574.526
-73.765.133
4
3.387.019.975 -73.765.133 -58.936.999
-14.828.135
-73.765.133
5
3.372.191.840 -73.765.133 -58.678.977
-15.086.157
-73.765.133
6
3.357.105.684 -73.765.133 -58.416.465
-15.348.668
-73.765.133
7
3.341.757.015 -73.765.133 -58.149.385
-15.615.748
-73.765.133
8
3.326.141.267 -73.765.133 -57.877.658
-15.887.475
-73.765.133
9
3.310.253.792 -73.765.133 -57.601.202
-16.163.931
-73.765.133
10
3.294.089.861 -73.765.133 -57.319.936
-16.445.197
-73.765.133
11
3.277.644.664 -73.765.133 -57.033.776
-16.731.357
12
3.260.913.307 -73.765.133 -56.742.636
-17.022.497 -65.170.000
13
3.243.890.811 -73.765.133 -56.446.431
-17.318.702
-73.765.133
14
3.226.572.108 -73.765.133 -56.145.071
-17.620.062
-73.765.133
15
3.208.952.046 -73.765.133 -55.838.467
-17.926.666
-73.765.133
16
3.191.025.379 -73.765.133 -55.526.528
-18.238.605
-73.765.133
17
3.172.786.774 -73.765.133 -55.209.161
-18.555.973
-73.765.133
18
3.154.230.801 -73.765.133 -54.886.271
-18.878.862
-73.765.133
19
3.135.351.939 -73.765.133 -54.557.763
-19.207.370
-73.765.133
20
3.116.144.569 -73.765.133 -54.223.539
-19.541.595
-73.765.133
21
3.096.602.975 -73.765.133 -53.883.498
-19.881.635
-73.765.133
22
3.076.721.340 -73.765.133 -53.537.541
-20.227.592
-73.765.133
23
3.056.493.748 -73.765.133 -53.185.564
-20.579.569
24
3.035.914.179 -73.765.133 -52.827.462
-20.937.671 -61.633.925
25
3.014.976.508 -73.765.133 -52.463.129
-21.302.004
-73.765.133
26
2.993.674.504 -73.765.133 -52.092.456
-21.672.677
-73.765.133
27
2.972.001.827 -73.765.133 -51.715.334
-22.049.800
-73.765.133
28
2.949.952.027 -73.765.133 -51.331.648
-22.433.485
-73.765.133
29
2.927.518.543 -73.765.133 -50.941.287
-22.823.846
-73.765.133
30
2.904.694.696 -73.765.133 -50.544.133
-23.221.000
-73.765.133
31
2.881.473.696 -73.765.133 -50.140.068
-23.625.065
-73.765.133
32
2.857.848.631 -73.765.133 -49.728.972
-24.036.161
-73.765.133
33
2.833.812.469 -73.765.133 -49.310.722
-24.454.411
-73.765.133
34
2.809.358.059 -73.765.133 -48.885.195
-24.879.938
-73.765.133
35
2.784.478.121 -73.765.133 -48.452.263
-25.312.870
36
2.759.165.251 -73.765.133 -48.011.798
-25.753.335 -57.284.554
37
2.733.411.915 -73.765.133 -47.563.668
-26.201.465
-73.765.133
38
2.707.210.450 -73.765.133 -47.107.741
-26.657.392
-73.765.133
39
2.680.553.058 -73.765.133 -46.643.880
-27.121.254
-73.765.133
ALFAOMEGA
t
FAC U LTA D D E A D M I N I S T R AC I Ó N / U N I A N D E S
-73.765.133
252.199.995
113.264.862
-73.765.133
236.907.403
101.508.344
-73.765.133
218.097.515
87.047.828
[243]
Capítulo 8
Cuadro 8.16
Flujo de caja proyecto de financiamiento (cont.)
Año
Saldo comienzo
Cuota
Interés
Amortización
40
2.653.431.804
-73.765.133
-46.171.947
-27.593.186
-73.765.133
41
2.625.838.618
-73.765.133
-45.691.802
-28.073.331
-73.765.133
42
2.597.765.287
-73.765.133
-45.203.303
-28.561.830
-73.765.133
43
2.569.203.457
-73.765.133
-44.706.303
-29.058.830
-73.765.133
44
2.540.144.626
-73.765.133
-44.200.655
-29.564.478
-73.765.133
45
2.510.580.148
-73.765.133
-43.686.208
-30.078.925
-73.765.133
46
2.480.501.223
-73.765.133
-43.162.809
-30.602.324
-73.765.133
47
2.449.898.899
-73.765.133
-42.630.303
-31.134.830
48
2.418.764.069
-73.765.133
-42.088.531
-31.676.602
49
2.387.087.466
-73.765.133
-41.537.331
-32.227.802
-73.765.133
50
2.354.859.665
-73.765.133
-40.976.540
-32.788.593
-73.765.133
51
2.322.071.072
-73.765.133
-40.405.991
-33.359.142
-73.765.133
52
2.288.711.930
-73.765.133
-39.825.514
-33.939.619
-73.765.133
53
2.254.772.311
-73.765.133
-39.234.936
-34.530.197
-73.765.133
54
2.220.242.114
-73.765.133
-38.634.082
-35.131.051
-73.765.133
55
2.185.111.063
-73.765.133
-38.022.772
-35.742.361
-73.765.133
56
2.149.368.701
-73.765.133
-37.400.825
-36.364.308
-73.765.133
57
2.113.004.393
-73.765.133
-36.768.055
-36.997.078
-73.765.133
58
2.076.007.315
-73.765.133
-36.124.275
-37.640.858
-73.765.133
59
2.038.366.456
-73.765.133
-35.469.292
-38.295.841
60
2.000.070.615
-73.765.133
-34.802.912
-38.962.221
61
1.961.108.394
-73.765.133
-34.124.937
-39.640.196
-73.765.133
62
1.921.468.198
-73.765.133
-33.435.164
-40.329.969
-73.765.133
63
1.881.138.229
-73.765.133
-32.733.389
-41.031.744
-73.765.133
64
1.840.106.485
-73.765.133
-32.019.402
-41.745.731
-73.765.133
65
1.798.360.753
-73.765.133
-31.292.991
-42.472.142
-73.765.133
66
1.755.888.611
-73.765.133
-30.553.940
-43.211.193
-73.765.133
67
1.712.677.418
-73.765.133
-29.802.029
-43.963.104
-73.765.133
68
1.668.714.313
-73.765.133
-29.037.034
-44.728.099
-73.765.133
69
1.623.986.214
-73.765.133
-28.258.727
-45.506.406
-73.765.133
70
1.578.479.808
-73.765.133
-27.466.877
-46.298.256
-73.765.133
71
1.532.181.552
-73.765.133
-26.661.249
-47.103.884
72
1.485.077.668
-73.765.133
-25.841.602
-47.923.532
73
1.437.154.136
-73.765.133
-25.007.692
-48.757.441
-73.765.133
74
1.388.396.694
-73.765.133
-24.159.271
-49.605.862
-73.765.133
75
1.338.790.832
-73.765.133
-23.296.087
-50.469.046
-73.765.133
76
1.288.321.787
-73.765.133
-22.417.884
-51.347.250
-73.765.133
77
1.236.974.537
-73.765.133
-21.524.398
-52.240.735
-73.765.133
78
1.184.733.802
-73.765.133
-20.615.365
-53.149.768
-73.765.133
79
1.131.584.034
-73.765.133
-19.690.515
-54.074.618
-73.765.133
[244]
Desembolso
Comisión
Ahorro imptos.
Flujo financiamiento
-73.765.133
-51.934.826
194.961.352
69.261.392
-73.765.133
-45.354.662
166.503.872
47.384.077
-73.765.133
-37.261.059
131.501.172
20.474.979
JAVIER SERR ANO
Caso 2
Cuadro 8.16
Flujo de caja proyecto de financiamiento (cont.)
Año
Saldo comienzo
Cuota
Interés
Amortización
80
Desembolso
1.077.509.416
-73.765.133
-18.749.571
-55.015.562
Comisión
Ahorro imptos.
Flujo financiamiento
-73.765.133
81
1.022.493.854
-73.765.133
-17.792.254
-55.972.879
-73.765.133
82
966.520.974
-73.765.133
-16.818.279
-56.946.855
-73.765.133
83
909.574.120
-73.765.133
-15.827.355
-57.937.778
84
851.636.342
-73.765.133
-14.819.189
-58.945.944
85
792.690.398
-73.765.133
-13.793.480
-59.971.653
-73.765.133
86
732.718.745
-73.765.133
-12.749.923
-61.015.210
-73.765.133
87
671.703.535
-73.765.133
-11.688.207
-62.076.926
-73.765.133
88
609.626.608
-73.765.133
-10.608.016
-63.157.117
-73.765.133
89
546.469.491
-73.765.133
-9.509.029
-64.256.104
-73.765.133
90
482.213.387
-73.765.133
-8.390.919
-65.374.214
-73.765.133
91
416.839.173
-73.765.133
-7.253.352
-66.511.781
-73.765.133
92
350.327.392
-73.765.133
-6.095.992
-67.669.142
-73.765.133
93
282.658.251
-73.765.133
-4.918.491
-68.846.642
-73.765.133
94
213.811.609
-73.765.133
-3.720.502
-70.044.631
-73.765.133
95
143.766.978
-73.765.133
-2.501.666
-71.263.467
96
72.503.511
-73.765.133
-1.261.622
-72.503.511
-73.765.133
-27.305.929
88.447.850
-12.623.212
-73.765.133
-15.061.118
35.492.265
-53.333.986
TIR mensual
1,312%
Costo anual
16,93%
En muchas ocasiones el flujo de caja para el proyecto de financiamiento se resume en
un flujo anual, tal y como se muestra en el Cuadro 8.17, lo cual sin duda es una
aproximación no siempre aceptable en términos de precisión, ya que estará
suponiendo implícitamente que todos los pagos de interés se hacen al final de año y
no al final de mes, tal y como ocurre realmente. Como consecuencia de lo anterior, el
costo del crédito después de impuestos sería del 14.39%, bien diferente e inferior a
su costo real calculado previamente, del 16.93%. Para evitar esto se debería trabajar
todo el problema con flujos mensuales, tanto para el proyecto de inversión como para
el proyecto de financiación, lo cual no se hizo acá por razones de simplicidad.
Aceptando la simplificación a que se hace referencia previamente, el flujo de caja para
el inversionista se podría obtener sobreponiendo el proyecto de inversión con el
proyecto de financiamiento, tal y como se muestra en el Cuadro 8.18:
ALFAOMEGA
t
FAC U LTA D D E A D M I N I S T R AC I Ó N / U N I A N D E S
[245]
Capítulo 8
Cuadro 8.17
Flujo de caja del proyecto de financiación – resumen anual
Semestre Desembolso
0
Saldo comienzo
año
Amortización
final año
Intereses
anuales
Comisiones
vencidas
Ahorro en
impuestos
3.430.000.000
Flujo de caja
financiamiento
3.430.000.000
1
3.430.000.000
-186.109.189
-699.072.409 -65.170.000 252.199.995
-698.151.603
2
3.243.890.811
-228.914.303
-656.267.295 -61.633.925 236.907.403
-709.908.121
3
3.014.976.508
-281.564.593
-603.617.006 -57.284.554 218.097.515
-724.368.637
4
2.733.411.915
-346.324.449
-538.857.149 -51.934.826 194.961.352
-742.155.072
5
2.387.087.466
-425.979.072
-459.202.526 -45.354.662 166.503.872
-764.032.388
6
1.961.108.394
-523.954.259
-361.227.339 -37.261.059 131.501.172
-790.941.486
7
1.437.154.136
-644.463.738
-240.717.860 -27.305.929
88.447.850
-824.039.676
8
792.690.398
-792.690.398
-92.491.200 -15.061.118
35.492.265
-864.750.451
Cuadro 8.18
Flujo de caja libre para el inversionista
Año
Proyecto inversión
Proyecto
financiación
Flujo de caja
libre, equity
0
-11.300.000.000
3.430.000.000
-7.870.000.000
1
2.225.852.500
-698.151.603
1.527.700.897
2
2.772.186.170
-709.908.121
2.062.278.050
3
3.395.757.715
-724.368.637
2.671.389.078
4
4.105.670.642
-742.155.072
3.363.515.569
5
4.912.016.615
-764.032.388
4.147.984.227
6
5.825.977.904
-790.941.486
5.035.036.418
7
6.859.940.150
-824.039.676
6.035.900.474
8
15.147.965.100
-864.750.451
14.283.214.649
La tasa interna del flujo de caja libre para el inversionista es del 36.09%, resultante de
una combinación entre un proyecto que tiene una rentabilidad en sí del 31.34% y un
apalancamiento financiero, utilización de la deuda para financiar el proyecto en un
35%, con un costo después de impuestos del 16.93% si se calcula en forma exacta o
del 14.39%, utilizando el flujo resumido para cada año, que no tiene en cuenta que
la deuda se amortiza en cuotas mensuales y los intereses se pagan mes vencido.
e) ¿Cómo se comparan los resultados anteriores si todos los cálculos se hubieran
hecho mensualmente, tanto para el flujo de caja del proyecto de inversión como
para el flujo de caja del proyecto de financiamiento?
En el Cuadro 8.19 se muestran los cálculos de la utilidad operacional mes a mes para
los dos primeros años, lo cual se repite para los otros 6 años que comprende la vida
útil del proyecto (8 años). En el Cuadro 8.20 se muestran los cálculos del flujo de caja
[246]
JAVIER SERR ANO
Caso 2
libre para el proyecto mes a mes para unos meses de muestra. En la última fila se
muestran los resultados acumulados de cada una de las componentes del flujo de caja
libre para el proyecto cuyos totales coinciden, a manera de verificación, con los
mismos totales en el Cuadro 8.15, donde se presenta el flujo de caja calculado año a
año.
Si se aplica la tasa interna de retorno al flujo de caja libre para el proyecto estimado
mes a mes (Cuadro 8.20), la TIR mensual da un valor de 2,57%, equivalente a una
rentabilidad anual del 35,60%, que corresponde a la rentabilidad del proyecto en sí
independientemente de sus fuentes de financiación, valor bien diferente al que se
había obtenido previamente, del 31,34%, cuando los flujos se habían estimado año a
año. La diferencia se explica en que en el caso de los cálculos mensuales los flujos se
reinvierten anticipadamente, aumentando la rentabilidad del proyecto. A manera de
comparación, una rentabilidad del 31,34% nominal anual año vencido se aumenta a
un 36,26% efectivo si los cálculos se hacen para el mismo 31.34% nominal anual,
pagadero mes vencido, que acerca bastante los valores estimados.
Lo anterior pone de manifiesto la importancia del período básico para el cual se va a
realizar el análisis. Si el período se acorta (p. ej., mes) se gana en precisión, pero la
solución del modelo se vuelve más compleja, ya que hay que tener estados de
resultados mensuales y acumular anualmente para simular el cierre del ejercicio anual,
calcular impuestos, dividendos a repartir, etc., lo cual puede hacer bastante pesado el
modelo. Pasar a un año simplifica el modelo, pero le resta precisión a los resultados,
tal y como se acaba de analizar con este ejemplo.
En el Cuadro 8.21 se muestran los resultados obtenidos para el flujo de caja libre para
el proyecto de inversión, el flujo de caja para el proyecto de financiamiento y el flujo
de caja libre para el patrimonio (equity) o para el inversionista. Los totales al final del
cuadro, últimas columnas de la derecha, coinciden con los totales que se muestran en
el Cuadro 8.18, cuando los flujos se calcularon para períodos anuales.
ALFAOMEGA
t
FAC U LTA D D E A D M I N I S T R AC I Ó N / U N I A N D E S
[247]
[248]
12.500
12.500
12.500
12.500
12.500
12.500
12.500
12.500
12.500
12.500
12.500
12.500
13.451
13.451
13.451
13.451
13.451
13.451
13.451
13.451
13.451
13.451
13.451
13.451
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
Precio
1
0
Mes
296.042
296.042
296.042
296.042
296.042
296.042
296.042
296.042
296.042
296.042
296.042
296.042
291.667
291.667
291.667
291.667
291.667
291.667
291.667
291.667
291.667
291.667
291.667
291.667
Cantidad
7.725
7.725
7.725
7.725
7.725
7.725
7.725
7.725
7.725
7.725
7.725
7.725
7.250
7.250
7.250
7.250
7.250
7.250
7.250
7.250
7.250
7.250
7.250
7.250
CVU
263.750.000
263.750.000
263.750.000
263.750.000
263.750.000
263.750.000
263.750.000
263.750.000
263.750.000
263.750.000
263.750.000
263.750.000
250.000.000
250.000.000
250.000.000
250.000.000
250.000.000
250.000.000
250.000.000
250.000.000
250.000.000
250.000.000
250.000.000
67.812.500
67.812.500
67.812.500
67.812.500
67.812.500
67.812.500
67.812.500
67.812.500
67.812.500
67.812.500
67.812.500
67.812.500
67.812.500
67.812.500
67.812.500
67.812.500
67.812.500
67.812.500
67.812.500
67.812.500
67.812.500
67.812.500
67.812.500
67.812.500
no efectivo (dep.)
250.000.000
Costo fijo de ventas
Costos fijo de
ventas efectivo
2.618.554.685
2.618.554.685
2.618.554.685
2.618.554.685
2.618.554.685
2.618.554.685
2.618.554.685
2.618.554.685
2.618.554.685
2.618.554.685
2.618.554.685
2.618.554.685
2.432.395.833
2.432.395.833
2.432.395.833
2.432.395.833
2.432.395.833
2.432.395.833
2.432.395.833
2.432.395.833
2.432.395.833
2.432.395.833
2.432.395.833
2.432.395.833
Costo de ventas
1.363.575.784
1.363.575.784
1.363.575.784
1.363.575.784
1.363.575.784
1.363.575.784
1.363.575.784
1.363.575.784
1.363.575.784
1.363.575.784
1.363.575.784
1.363.575.784
1.213.437.500
1.213.437.500
1.213.437.500
1.213.437.500
1.213.437.500
1.213.437.500
1.213.437.500
1.213.437.500
1.213.437.500
1.213.437.500
1.213.437.500
1.213.437.500
Utilidad bruta
437.500.000
437.500.000
437.500.000
437.500.000
437.500.000
437.500.000
437.500.000
437.500.000
437.500.000
437.500.000
437.500.000
437.500.000
477.855.656
477.855.656
477.855.656
477.855.656
477.855.656
477.855.656
477.855.656
477.855.656
477.855.656
477.855.656
477.855.656
477.855.656
583.333.333
583.333.333
583.333.333
583.333.333
583.333.333
583.333.333
583.333.333
583.333.333
583.333.333
583.333.333
583.333.333
623.417.083
623.417.083
623.417.083
623.417.083
623.417.083
623.417.083
623.417.083
623.417.083
623.417.083
623.417.083
623.417.083
623.417.083
Gastos de
ventas
583.333.333
Gastos
operativos
Cálculo de la utilidad operacional por mes
Cuadro 8.19
15.625.000
15.625.000
15.625.000
15.625.000
15.625.000
15.625.000
15.625.000
15.625.000
15.625.000
15.625.000
15.625.000
15.625.000
15.625.000
15.625.000
15.625.000
15.625.000
15.625.000
15.625.000
15.625.000
15.625.000
15.625.000
15.625.000
15.625.000
15.625.000
Amortización
preoperativos
246.678.044
246.678.044
246.678.044
246.678.044
246.678.044
246.678.044
246.678.044
246.678.044
246.678.044
246.678.044
246.678.044
246.678.044
176.979.167
176.979.167
176.979.167
176.979.167
176.979.167
176.979.167
176.979.167
176.979.167
176.979.167
176.979.167
176.979.167
176.979.167
(UAII)
2.960.136.531
2.123.750.000
año
UAII acumulada
Capítulo 8
JAVIER SERR ANO
Caso 2
Cuadro 8.20
Estimación del flujo de caja libre para el proyecto (parcial)
Año
UAII
UAII*(1-t)
Depreciación
activos fijos
Amortización
preoperativos
0
Inversión en AF
+preoperativos
Inversión en CT
Flujo de caja libre
para el proyecto
-8.500.000.000
-2.800.000.000
-11.300.000.000
1
176.979.167
118.576.042
67.812.500
15.625.000
0
-16.525.833
185.487.708
2
176.979.167
118.576.042
67.812.500
15.625.000
0
-16.525.833
185.487.708
3
176.979.167
118.576.042
67.812.500
15.625.000
0
-16.525.833
185.487.708
4
176.979.167
118.576.042
67.812.500
15.625.000
0
-16.525.833
185.487.708
5
176.979.167
118.576.042
67.812.500
15.625.000
0
-16.525.833
185.487.708
6
176.979.167
118.576.042
67.812.500
15.625.000
0
-16.525.833
185.487.708
7
176.979.167
118.576.042
67.812.500
15.625.000
0
-16.525.833
185.487.708
8
176.979.167
118.576.042
67.812.500
15.625.000
0
-16.525.833
185.487.708
9
176.979.167
118.576.042
67.812.500
15.625.000
0
-16.525.833
185.487.708
10
176.979.167
118.576.042
67.812.500
15.625.000
0
-16.525.833
185.487.708
11
176.979.167
118.576.042
67.812.500
15.625.000
0
-16.525.833
185.487.708
12
176.979.167
118.576.042
67.812.500
15.625.000
0
-16.525.833
185.487.708
13
246.678.044
165.274.290
67.812.500
15.625.000
0
-17.696.275
231.015.514
14
246.678.044
165.274.290
67.812.500
15.625.000
0
-17.696.275
231.015.514
15
246.678.044
165.274.290
67.812.500
15.625.000
0
-17.696.275
231.015.514
16
246.678.044
165.274.290
67.812.500
15.625.000
0
-17.696.275
231.015.514
17
246.678.044
165.274.290
67.812.500
15.625.000
0
-17.696.275
231.015.514
18
246.678.044
165.274.290
67.812.500
15.625.000
0
-17.696.275
231.015.514
52
518.844.925
347.626.100
67.812.500
15.625.000
0
-21.728.882
409.334.718
53
518.844.925
347.626.100
67.812.500
15.625.000
0
-21.728.882
409.334.718
54
518.844.925
347.626.100
67.812.500
15.625.000
0
-21.728.882
409.334.718
55
518.844.925
347.626.100
67.812.500
15.625.000
0
-21.728.882
409.334.718
56
518.844.925
347.626.100
67.812.500
15.625.000
0
-21.728.882
409.334.718
57
518.844.925
347.626.100
67.812.500
15.625.000
0
-21.728.882
409.334.718
58
518.844.925
347.626.100
67.812.500
15.625.000
0
-21.728.882
409.334.718
59
518.844.925
347.626.100
67.812.500
15.625.000
0
-21.728.882
409.334.718
60
518.844.925
347.626.100
67.812.500
15.625.000
0
-21.728.882
409.334.718
85
913.747.721
612.210.973
67.812.500
15.625.000
0
-26.680.434
668.968.039
86
913.747.721
612.210.973
67.812.500
15.625.000
0
-26.680.434
668.968.039
87
913.747.721
612.210.973
67.812.500
15.625.000
0
-26.680.434
668.968.039
88
913.747.721
612.210.973
67.812.500
15.625.000
0
-26.680.434
668.968.039
89
913.747.721
612.210.973
67.812.500
15.625.000
0
-26.680.434
668.968.039
90
913.747.721
612.210.973
67.812.500
15.625.000
0
-26.680.434
668.968.039
91
913.747.721
612.210.973
67.812.500
15.625.000
0
-26.680.434
668.968.039
92
913.747.721
612.210.973
67.812.500
15.625.000
0
-26.680.434
668.968.039
93
913.747.721
612.210.973
67.812.500
15.625.000
0
-26.680.434
668.968.039
94
913.747.721
612.210.973
67.812.500
15.625.000
0
-26.680.434
668.968.039
95
913.747.721
612.210.973
67.812.500
15.625.000
0
-26.680.434
668.968.039
96
913.747.721
612.210.973
67.812.500
15.625.000
2.506.700.000
4.586.968.195
7.789.316.668
ALFAOMEGA
t
FAC U LTA D D E A D M I N I S T R AC I Ó N / U N I A N D E S
[249]
Capítulo 8
Cuadro 8.21
Flujo de caja libre para el proyecto y para el inversionista (resumen)
[250]
49
Flujo de caja
libre para el
proyecto
409.334.718
Flujo de caja
libre para la
financiación
-73.765.133
Flujo de caja
libre para el
inversionista
335.569.585
50
409.334.718
-73.765.133
335.569.585
111.722.575
51
409.334.718
-73.765.133
335.569.585
-73.765.133
111.722.575
52
409.334.718
-73.765.133
335.569.585
185.487.708
-73.765.133
111.722.575
53
409.334.718
-73.765.133
335.569.585
5
185.487.708
-73.765.133
111.722.575
54
409.334.718
-73.765.133
335.569.585
6
185.487.708
-73.765.133
111.722.575
55
409.334.718
-73.765.133
335.569.585
7
185.487.708
-73.765.133
111.722.575
56
409.334.718
-73.765.133
335.569.585
8
185.487.708
-73.765.133
111.722.575
57
409.334.718
-73.765.133
335.569.585
9
185.487.708
-73.765.133
111.722.575
58
409.334.718
-73.765.133
335.569.585
10
185.487.708
-73.765.133
111.722.575
59
409.334.718
-73.765.133
335.569.585
11
185.487.708
-73.765.133
111.722.575
60
409.334.718
47.384.077
456.718.795
12
185.487.708
113.264.862
298.752.570
61
485.498.159
-73.765.133
411.733.026
13
231.015.514
-73.765.133
157.250.381
62
485.498.159
-73.765.133
411.733.026
14
231.015.514
-73.765.133
157.250.381
63
485.498.159
-73.765.133
411.733.026
15
231.015.514
-73.765.133
157.250.381
64
485.498.159
-73.765.133
411.733.026
16
231.015.514
-73.765.133
157.250.381
65
485.498.159
-73.765.133
411.733.026
17
231.015.514
-73.765.133
157.250.381
66
485.498.159
-73.765.133
411.733.026
18
231.015.514
-73.765.133
157.250.381
67
485.498.159
-73.765.133
411.733.026
19
231.015.514
-73.765.133
157.250.381
68
485.498.159
-73.765.133
411.733.026
20
231.015.514
-73.765.133
157.250.381
69
485.498.159
-73.765.133
411.733.026
21
231.015.514
-73.765.133
157.250.381
70
485.498.159
-73.765.133
411.733.026
22
231.015.514
-73.765.133
157.250.381
71
485.498.159
-73.765.133
411.733.026
23
231.015.514
-73.765.133
157.250.381
72
485.498.159
20.474.979
505.973.138
24
231.015.514
101.508.344
332.523.858
73
571.661.679
-73.765.133
497.896.546
25
282.979.810
-73.765.133
209.214.676
74
571.661.679
-73.765.133
497.896.546
26
282.979.810
-73.765.133
209.214.676
75
571.661.679
-73.765.133
497.896.546
27
282.979.810
-73.765.133
209.214.676
76
571.661.679
-73.765.133
497.896.546
28
282.979.810
-73.765.133
209.214.676
77
571.661.679
-73.765.133
497.896.546
29
282.979.810
-73.765.133
209.214.676
78
571.661.679
-73.765.133
497.896.546
30
282.979.810
-73.765.133
209.214.676
79
571.661.679
-73.765.133
497.896.546
31
282.979.810
-73.765.133
209.214.676
80
571.661.679
-73.765.133
497.896.546
32
282.979.810
-73.765.133
209.214.676
81
571.661.679
-73.765.133
497.896.546
33
282.979.810
-73.765.133
209.214.676
82
571.661.679
-73.765.133
497.896.546
34
282.979.810
-73.765.133
209.214.676
83
571.661.679
-73.765.133
497.896.546
35
282.979.810
-73.765.133
209.214.676
84
571.661.679
-12.623.212
559.038.468
36
282.979.810
87.047.828
370.027.637
85
668.968.039
-73.765.133
595.202.906
37
342.139.220
-73.765.133
268.374.087
86
668.968.039
-73.765.133
595.202.906
38
342.139.220
-73.765.133
268.374.087
87
668.968.039
-73.765.133
595.202.906
39
342.139.220
-73.765.133
268.374.087
88
668.968.039
-73.765.133
595.202.906
40
342.139.220
-73.765.133
268.374.087
89
668.968.039
-73.765.133
595.202.906
41
342.139.220
-73.765.133
268.374.087
90
668.968.039
-73.765.133
595.202.906
42
342.139.220
-73.765.133
268.374.087
91
668.968.039
-73.765.133
595.202.906
43
342.139.220
-73.765.133
268.374.087
92
668.968.039
-73.765.133
595.202.906
44
342.139.220
-73.765.133
268.374.087
93
668.968.039
-73.765.133
595.202.906
45
342.139.220
-73.765.133
268.374.087
94
668.968.039
-73.765.133
595.202.906
46
342.139.220
-73.765.133
268.374.087
95
668.968.039
-73.765.133
595.202.906
47
342.139.220
-73.765.133
268.374.087
7.789.316.668
-53.333.986
7.735.982.682
48
342.139.220
69.261.392
411.400.613
96
Su
ma
33.945.366.797
-2.688.347.435
31.257.019.362
Mes
Flujo de caja libre
para el proyecto
Flujo de caja libre
para la financiación
Flujo de caja libre
para el inversionista
0
-11.300.000.000
3.430.000.000
-7.870.000.000
1
185.487.708
-73.765.133
111.722.575
2
185.487.708
-73.765.133
3
185.487.708
4
Me
s
JAVIER SERR ANO
Caso 3
CASO 3
Un proyecto de inversión con una vida útil de 7 años requiere una inversión inicial
(fecha cero) de $8.000 millones en activos fijos y de $4.000 millones en capital de
trabajo. Así mismo, la empresa ha invertido en gastos preoperativos la suma de
$1.000 millones. La inversión en activos fijos se va a depreciar en un 95%, mientras
que la inversión en capital de trabajo se va a reapreciar con la inflación, que se estima
del 5% durante la vida útil del proyecto. Al final de la vida útil del proyecto se espera
vender los activos fijos por un valor de $4.000 millones y recuperar un 90% del
capital de trabajo existente en ese momento. La tasa de impuestos corporativa es del
33%.
En el Cuadro 8.22 se muestra el EBITDA (utilidad antes de intereses, impuestos,
depreciación y amortización de diferidos) proyectado para los próximos 7 años, en el
escenario más probable en que se espera opere el proyecto. La tasa de interés de
oportunidad (TIO) del inversionista es del 24%, mientras que el costo promedio
ponderado de capital (WACC) es del 19.22%. La inversión en activos fijos y en
capital de trabajo en la fecha cero se va a financiar parcialmente (40%) con un
crédito a 5 años, que se amortiza en dos pagos iguales al final de los años 4 y 5. La
tasa de interés del crédito (sobre saldos al comienzo de cada año) es del 18%
efectivo, que se paga al final de cada año.
Cuadro 8.22
Año
0
1
2
3
4
5
6
7
EBITDA
3.800.000.000
4.200.000.000
5.500.000.000
6.500.000.000
7.900.000.000
10.000.000.000
13.000.000.000
a) ¿Cuál es el flujo de caja libre para el proyecto de inversión?
b) ¿Cuál es la rentabilidad del proyecto en sí independientemente de sus fuentes de
financiación?
c) ¿Cuál es el valor económico agregado por el proyecto frente a las oportunidades
convencionales que generan una rentabilidad igual a la TIO?
d) ¿Cuál es el valor económico absoluto (EVA) que el proyecto le generaría a la
empresa?
e) ¿Cuál es el flujo de caja libre para el proyecto de financiación?
f) ¿Cuál es el costo del crédito después de impuestos?
g) ¿Cuál es el flujo de caja libre para el inversionista (flujo de caja de los recursos
propios aportados al proyecto)?
ALFAOMEGA
t
FAC U LTA D D E A D M I N I S T R AC I Ó N / U N I A N D E S
25 [251]
Capítulo 8
h) ¿Cuál es la rentabilidad del inversionista (rentabilidad de los recursos propios
aportados al proyecto)?
i) ¿Usted invertiría en este proyecto? (Justifique su respuesta).
En el Cuadro 8.23 se muestran los datos básicos y algunos cálculos preliminares, tales
como montos de depreciación, amortización de preoperativos, utilidad en la enajenación de propiedad planta y equipo, impuestos a pagar por esa utilidad, ingreso neto
recibido por la venta de los activos fijos al final de la vida útil del proyecto.
Cuadro 8.23
Activo fijo
Capital de trabajo
Vida útil
Valor depreciable
Valor depreciable
Depreciación anual
Valor de salvamento
Preoperativos
Amortización preoperativos
Tasa de impuestos
Venta del activo fijo
Utilidad en venta del activo fijo
Impuestos venta del activo fijo
Ingreso neto venta del activo
fijo
Recuperación capital de trabajo
Inflación
TIO =
WACC=
8.000.000
4.000.000
7
95%
7.600.000
1.085.714
400.000
1.000.000
142.857
33%
4.000.000
3.600.000
1.188.000
2.812.000
90%
5%
24%
19,22%
En el Cuadro 8.24 se muestran la estimación de la inversión inicial y anual en capital
de trabajo y los ingresos por su recuperación al final de la vida útil del proyecto,
incluyendo el crédito tributario que se obtiene por la pérdida en la recuperación de
ese capital de trabajo al final de los 7 años.
Cuadro 8.24
Año
0
1
2
3
4
5
6
7
[252]
Valor CT fin
de año
4.000.000
4.200.000
4.410.000
4.630.500
4.862.025
5.105.126
5.360.383
5.628.402
Inversión
bruta en CT
-4.000.000
-200.000
-210.000
-220.500
-231.525
-243.101
-255.256
-268.019
Recuperación
CT
5.065.562
Ahorro
tributario
185.737
Inversión
en CT
-4.000.000
-200.000
-210.000
-220.500
-231.525
-243.101
-255.256
4.983.280
26
JAVIER SERR ANO
Caso 3
En el Cuadro 8.25 se muestran los cálculos para determinar la utilidad operativa o
utilidad antes de intereses e impuestos a partir del EBITDA (utilidad antes de
intereses, impuestos, depreciación y amortización de diferidos).
Cuadro 8.25
Año
EBITDA
Depreciación AF
Amortización dif.
UAII
0
1
3.800.000
1.085.714
142.857
2.571.429
2
4.200.000
1.085.714
142.857
2.971.429
3
5.500.000
1.085.714
142.857
4.271.429
4
6.500.000
1.085.714
142.857
5.271.429
5
7.900.000
1.085.714
142.857
6.671.429
6
10.000.000
1.085.714
142.857
8.771.429
7
13.000.000
1.085.714
142.857
11.771.429
En el Cuadro 8.26 se muestran los cálculos necesarios para determinar el flujo de caja
libre para el proyecto de inversión (FCLPinversión), a partir de la utilidad operacional
después de impuestos sin tener en cuenta el efecto de los gastos financieros sobre los
impuestos.
Cuadro 8.26
Año
UAII
UAII*(1-t) Depreciación Amortización
0
Inversión en
AF y preop
Inversión
en CT
-9.000.000
-4.000.000 -13.000.000
FCLPinversión
1
2.571.429 1.722.857
1.085.714
142.857
0
-200.000
2.751.429
2
2.971.429 1.990.857
1.085.714
142.857
0
-210.000
3.009.429
3
4.271.429 2.861.857
1.085.714
142.857
0
-220.500
3.869.929
4
5.271.429 3.531.857
1.085.714
142.857
0
-231.525
4.528.904
5
6.671.429 4.469.857
1.085.714
142.857
0
-243.101
5.455.327
6
8.771.429 5.876.857
1.085.714
142.857
0
-255.256
6.850.172
7
11.771.429 7.886.857
1.085.714
142.857
2.812.000
4.983.280
16.910.708
Las respuestas a las preguntas b), c), d) son:
Rentabilidad del proyecto en sí: 29,57%
Valor económico relativo: $2.618.244
Valor económico absoluto: $5.538.575
Para estimar la rentabilidad del proyecto en sí, independientemente de sus fuentes de
financiamiento, se calcula la tasa interna de retorno del flujo de caja libre para el
proyecto, lo cual da un valor del 29.57%.
ALFAOMEGA
t
FAC U LTA D D E A D M I N I S T R AC I Ó N / U N I A N D E S
27
[253]
Capítulo 8
Para calcular el valor económico que el proyecto le agrega a la empresa frente a las
oportunidades convencionales que generan la TIO del 24%, se descuenta el flujo de
caja libre para el proyecto a esta tasa, lo cual da un valor de $2.618.244.
Para calcular el valor económico absoluto (EVA) que el proyecto le agrega a la
empresa se descuenta el flujo de caja libre para el proyecto al costo promedio
ponderado de capital, supuesto para este problema en un 19,22%, lo cual da un
valor de $5.538.575.
En el Cuadro 8.27 se muestran los cálculos necesarios para determinar el flujo de caja
para el proyecto de financiación y el costo del financiamiento después de impuestos:
Cuadro 8.27
Año Saldo comienzo Amortización
0
1
4.800.000
0
2
4.800.000
0
3
4.800.000
0
4
4.800.000
-2.400.000
5
2.400.000
-2.400.000
Intereses
-864.000
-864.000
-864.000
-864.000
-432.000
Ahorro imptos. Desembolso Flujo financiación
4.800.000
4.800.000
285.120
0
-578.880
285.120
0
-578.880
285.120
0
-578.880
285.120
0
-2.978.880
142.560
0
-2.689.440
El costo del financiamiento después de impuestos se determina calculando la tasa
interna de retorno del flujo de caja del proyecto de financiación (última columna a la
derecha), lo cual da un valor del 12,06%. Un cálculo simplificado llevaría al mismo
valor, el cual sería:
CostoDI = CostoAI * (1- timpuestos) = 18% * (1-0,33) = 12,06%
Finalmente, el flujo de caja libre para el inversionista se obtiene superponiendo el
proyecto de inversión y el proyecto de financiamiento, tal y como se muestra en el
Cuadro 8.28.
Cuadro 8.28
Año
[254]
FCLP
inversión
FC financiación
FCLE
0
-13.000.000
1
2.751.429
4.800.000 -8.200.000
-578.880
2.172.549
2
3.009.429
-578.880
2.430.549
3
3.869.929
-578.880
3.291.049
4
4.528.904
-2.978.880
1.550.024
5
5.455.327
-2.689.440
2.765.887
6
6.850.172
0
6.850.172
7
16.910.708
0 16.910.708
28
JAVIER SERR ANO
Caso 3
La rentabilidad para el inversionista se obtiene calculando la tasa interna de retorno
del flujo de caja libre para el inversionista o flujo de caja libre para el patrimonio
(equity) o flujo de caja libre para los recursos propios aportados al proyecto, lo cual
da un valor del 36,48%, que es la resultante de invertir en un proyecto con una
rentabilidad en sí del 29,57%, financiado parcialmente (40%) con un crédito que
tiene un costo después de impuestos del 12,06%. La rentabilidad del proyecto no
cambia; se aumenta la rentabilidad de los recursos propios que el inversionista aporta
al proyecto.
ALFAOMEGA
t
FAC U LTA D D E A D M I N I S T R AC I Ó N / U N I A N D E S
29 [255]
Capítulo 9
FINANCIAMIENTO DE VIVIENDA
La adquisición de vivienda corresponde a una de las decisiones más importantes que
toma un individuo o un grupo familiar durante su vida. El financiamiento de esa
adquisición se suele hacer con crédito a largo plazo (15 o más años), que como tal
tiene características especiales, en términos de amortización y/o pago de intereses,
para facilitar al individuo el acceso al crédito en condiciones aceptables, frente a su
ingreso mensual. Existen diferentes sistemas de amortización, que dependen de la
unidad de cuenta escogida (pesos, UVR, dólar), con efectos diferentes sobre el
ingreso del individuo o del grupo familiar en el corto y el largo plazo1.
El sistema UPAC2, creado en 1973, entró en crisis por razones que no se exponen en
este libro; durante el segundo semestre del año 2000, la Corte Constitucional
prohibió los sistemas de financiamiento de vivienda que contemplaran la
capitalización de intereses, al mismo tiempo que estableció otra serie de requisitos
que deberían cumplir las entidades que otorguen crédito para la adquisición de
vivienda y los sistemas que se utilicen para la amortización del crédito.
En este capítulo se presentan los fundamentos matemáticos para calcular la cuota a
pagar correspondiente a un financiamiento de vivienda, que no son otra cosa que
una aplicación especializada de los conceptos cubiertos en los primeros capítulos del
libro, especialmente en los capítulos 2, 3 y 4, y la descomposición de esa cuota en
pago de interés y amortización a capital.
Como tal, en Colombia existen dos posibilidades para financiar la adquisición de
vivienda: financiamiento en pesos y financiamiento en unidades de valor real (UVR).
1
Los usuarios del crédito de vivienda no siempre entienden lo que les están cobrando, especialmente
cuando las cuotas y los saldos en pesos crecen simultáneamente, tal y como ocurrió en Colombia con
el sistema UPAC, creado en 1973, que facilitó el acceso de muchas familias al financiamiento
necesario para adquirir una vivienda, y como ocurre con el nuevo sistema alrededor de la unidad de
valor real (UVR).
2
UPAC, unidad de poder adquisitivo constante, era una unidad de cuenta especial para el financiamiento de vivienda, inicialmente atada a la inflación, la cual se ajustaba diariamente con el índice de
precios al consumidor. Posteriormente se cambió varias veces el sistema de ajuste, llegando en su
última etapa a atarse el ajuste, denominado corrección monetaria, a una tasa de mercado (DTF), lo
cual ayudó a precipitar la crisis del sistema.
[257]
Capítulo 9
a) Financiamiento en pesos
El crédito se otorga en pesos y se paga en pesos; los sistemas de amortización no
pueden contemplar la capitalización de intereses, por lo cual desde el pago de la
primera cuota se debe hacer alguna amortización a capital. El valor de la cuota no
puede sobrepasar un porcentaje establecido de los ingresos del grupo familiar. La
tasa de interés del crédito se mantiene constante dentro de la vigencia del crédito,
salvo que se acuerde una disminución de la misma. El plazo para la amortización
del crédito puede ir hasta los 30 años, y al comienzo de cada año se puede
considerar una reestructuración del crédito, aumentando el plazo remanente.
b) Financiamiento en unidades de valor real (UVR)
El crédito se otorga en una unidad de cuenta denominada “unidad de valor real”
(UVR), la cual se ajusta de acuerdo con la inflación dentro de una metodología
elaborada por la Junta Directiva del Banco de la República. Las cuotas,
amortización más intereses, se calculan en UVR, no obstante que el valor de la
cuota se convierte a pesos, utilizando el valor de la UVR vigente en la fecha de
corte. Como en el caso anterior, no puede haber capitalización de intereses en
UVR y la tasa de interés en UVR permanece constante durante la vigencia del
crédito, salvo que se acuerde una disminución de la misma. Sin embargo, la
utilización de la UVR es equivalente a capitalizar la inflación.
METODOLOGÍA GENERAL PARA LA DETERMINACIÓN DE LAS
CUOTAS A PAGAR (AMORTIZACIÓN MÁS INTERESES)
Con variantes, que se pueden presentar en casos particulares, la metodología general
para el cálculo de la cuota a pagar cada mes (amortización más intereses) contempla
los siguientes pasos:
a) Definición de la unidad de cuenta bajo la cual se va a manejar el crédito de
vivienda (pesos o UVR).
b) Establecimiento del plazo del crédito (entre 5 y 30 años).
c) Definición de la tasa de interés del crédito, la cual se mantendrá constante
durante su vigencia.
d) Establecimiento del sistema de amortización del principal (p. ej., amortización
constante en pesos o en UVR).
e) Cálculo de los intereses a pagar, los cuales se estiman sobre el saldo del crédito al
comienzo del mes para el cual se va a pagar la cuota.
[258]
JAVIER SERR ANO
Relaciones matemáticas básicas para los cálculos actuariales involucrados...
f) Determinación del valor de la cuota a pagar, sumando la amortización a capital
más los intereses del período, calculados estos últimos sobre saldos al comienzo
del período.
g) Establecimiento de una expresión genérica para la cuota de cada mes,
considerando amortización a capital y pago de intereses.
h) Establecimiento de una relación de equivalencia entre el valor presente de todas
las cuotas mensuales, descontadas a la tasa de interés mensual equivalente a la
tasa de interés anual del crédito, y el valor del crédito.
i) A partir de la relación de equivalencia a que se hace referencia en el punto
anterior, establecimiento del valor de la cuota para cada uno de los meses de la
vigencia del crédito, en la unidad de cuenta que se haya escogido (pesos o UVR).
RELACIONES MATEMÁTICAS BÁSICAS PARA LOS CÁLCULOS
ACTUARIALES INVOLUCRADOS EN EL FINANCIAMIENTO
DE VIVIENDA: UN RESUMEN
A continuación se presentan las relaciones matemáticas básicas para los cálculos
actuariales correspondientes a cada uno de los sistemas de amortización que se
analizan posteriormente. La mayoría de estas relaciones se han derivado con
anterioridad dentro del libro o como ejercicios de clase.
a) Valor de una serie uniforme infinita, desde cero
D
¦ ak
k 0
1
, si ¨a ¨ < 1
1 a
b) Valor de una serie uniforme infinita, desde uno
D
¦ ak
k 1
D
1
1 1 a
1
1 a
1 a
¦ ak 1
k 0
a
1 a
c) Valor de una serie uniforme finita, desde cero
m
¦ ak
k 0
D
D
k 0
k m1
¦ ak ¦ ak
Se hace el siguiente cambio de variable:
ALFAOMEGA
t
FAC U LTA D D E A D M I N I S T R AC I Ó N / U N I A N D E S
[259]
Capítulo 9
i=k–m-1
Por lo tanto, k = i + m + 1
m
¦ ak
k 0
D
1
¦ ai m 1
1 a i 0
D
1
a m 1 ¦ ai
1 a
i 0
1 am1
1 a
d) Valor de una serie uniforme finita, desde uno
m
¦ ak
k 1
m
¦ ak 1
k 0
1 am 1
1
1 a
1 am 1 1 a
1 a
a am 1
1 a
LÍNEA EN PESOS, AMORTIZACIÓN CONSTANTE DURANTE
LA VIGENCIA DEL PRÉSTAMO. INTERESES SOBRE SALDOS
Corresponde a un sistema clásico de amortización utilizado en el sector financiero,
donde la amortización a capital es constante durante todos los meses de la vigencia
del crédito; en la medida en que se va amortizando el crédito, van disminuyendo los
intereses que se cobran sobre el saldo del crédito que también va decreciendo. Este
sistema implica un esfuerzo muy grande al comienzo del crédito, el cual disminuye a
medida que se avanza en la amortización del crédito y las cuotas en términos reales
disminuyen progresivamente con la inflación. Tampoco utiliza sistema alguno de
capitalización de intereses.
El comportamiento de la cuota en pesos sigue la programación que se muestra en la
Figura 9.1:
Figura 9.1
[260]
JAVIER SERR ANO
Línea en pesos, cuota mensual uniforme o constante durante toda la vigencia del préstamo...
Definiendo:
AJ = valor de la amortización a capital en el j-ésimo mes
AJ =
(Monto inicial del préstamo)
= constante
(N * 12)
N = Número de años para la amortización del crédito
IJ = Intereses a pagar en el j-ésimo mes
SJ = Saldo de la deuda al comienzo del j-ésimo mes
IJ = SJ * im
donde im corresponde al interés mensual que se está utilizando.
SJ = (MIP) - (J-1) *
(MIP)
(N * 12)
donde MIP corresponde al monto inicial del préstamo.
Por lo tanto, el valor de la cuota al final del j-ésimo mes, (Cuota)J, estaría dado por:
(Cuota)J = AJ + IJ
(Cuota)J =
(MIP)
(MIP) ·
§
+ im * ¨ (MIP) - (J - 1) *
¸
(12 * N)
(N * 12) ¹
©
Suponiendo una tasa de interés constante durante la vigencia del crédito, el valor de
la cuota a pagar cada mes, va disminuyendo a medida que se avanza en la
amortización del crédito.
LÍNEA EN PESOS, CUOTA MENSUAL UNIFORME O CONSTANTE
DURANTE TODA LA VIGENCIA DEL PRÉSTAMO (“PAYMENT”)
En este sistema de amortización, la cuota a pagar en cada mes permanece constante
durante la vigencia del préstamo, haciendo que el esfuerzo en términos reales sea
mayor al comienzo que al final de la vigencia del crédito. Cada cuota contiene
amortización y pago de intereses, por lo cual tampoco se utiliza la capitalización de
intereses. En la Figura 9.2 se muestra la programación de pagos:
ALFAOMEGA
t
FAC U LTA D D E A D M I N I S T R AC I Ó N / U N I A N D E S
[261]
Capítulo 9
Figura 9.2
Cuota mensual constante
Definiendo:
(Cuota)J = Cuota a pagar durante el j-ésimo mes
N = Número de años
im = interés mensual que está utilizando, supuesto constante
M = 12 * N = Número de meses para amortizar el crédito
Entonces, el valor de la cuota en el j-ésimo mes estaría dado por:
MIP = (Cuota)J *
(Cuota)J = MIP *
{(1+ im )M - 1}
{im * (1+ im )M }
{im * (1+ im ) M }
{(1+ im ) M - 1}
donde MIP corresponde al monto inicial del crédito.
LÍNEA EN UVR, CON UNA CUOTA DE AMORTIZACIÓN
CONSTANTE EN UVR
Es la línea más sencilla de concebir en UVR, donde la amortización anual a capital en
UVR es la misma para todos los períodos; en términos notacionales:
ACj:
P:
M:
AC j
Amortización a capital en UVR, al finalizar el j-ésimo período (mes)
Valor del préstamo en UVR
Plazo total del préstamo en meses
P
M
[262]
JAVIER SERR ANO
Línea en UVR , con la cuota de amortización en UVR , decreciente por un factor g
Al final del mes se calcula el interés a pagar, teniendo en cuenta el interés pactado en
UVR y el saldo de la deuda en UVR; esto es:
iu:
Interés efectivo anual en UVR
imu:
Interés mensual en UVR
imu = (1+iu)(1/12) - 1
Su j = Saldo de la deuda en UVR al comienzo del j-ésimo período (antes de
pagar la cuota de amortización)
Iuj =
Liquidación de los intereses a pagar en UVR al finalizar el j-ésimo
período
P·
§
imu * Suj = imu * ¨ P ( j 1) * ¸
M
©
¹
Iuj =
La cuota que finalmente paga el cliente cada mes, corresponde a la suma de la cuota
en UVR deducida según el procedimiento anterior más el pago de los intereses en
UVR, a la tasa pactada, todo ello convertido a pesos según el valor del UVR en la
fecha de liquidación; por lo tanto, sería la siguiente:
(Cuota)j = Cuota en pesos al finalizar el j-ésimo mes
(Cuota)j = (ACj + Iuj) * UVRj
donde UVRj corresponde al valor de la unidad de valor real al finalizar el j-ésimo
período.
LÍNEA EN UVR, CON LA CUOTA DE AMORTIZACIÓN
EN UVR, DECRECIENTE POR UN FACTOR G
Sistema de amortización utilizado en el pasado por varias de las anteriores
corporaciones de ahorro y vivienda, según el cual la amortización a capital, ACj, que
se hace mensualmente va decreciendo según un factor g constante, hasta el
vencimiento del préstamo. En este sistema se definen las siguientes relaciones básicas:
Sean:
AC:
Valor de la primera cuota, de amortización a capital en UVR, que no
incluye el pago de intereses
ALFAOMEGA
t
FAC U LTA D D E A D M I N I S T R AC I Ó N / U N I A N D E S
[263]
Capítulo 9
AC2 = AC * g:
Tal que g < 1
Valor de la segunda cuota de amortización
Factor menor, pero próximo a 1; permanece constante durante la
vigencia del préstamo; por ejemplo, 0.99307
AC3 = AC2 * g = AC * g2
Valor de la tercera amortización
ACj = AC * g(j-1)
Valor de la j-ésima amortización
P:
Valor del préstamo en UVR
Entonces,
n
¦ AC* g (k 1)
k 1
AC n k
* ¦g
g k 1
P
Por lo tanto,
AC g g ( n1)
*
g
1 g
P
Despejando AC, se obtiene el valor de la primera cuota de amortización y por lo tanto
de las cuotas de amortización siguientes en UVR.
AC
P*
(1 g )
(1 g n )
Al final del mes se calcula el interés a pagar, teniendo en cuenta el interés pactado en
UVR y el saldo de la deuda en UVR, esto es:
iu:
Interés efectivo anual en UVR
imu:
Interés mensual en UVR
imu =
(1+iu)(1/12) - 1
Su j = Saldo de la deuda en UVR al comienzo del j-ésimo período (antes de
pagar la cuota de amortización)
Iuj =
Liquidación de los intereses a pagar en UVR al finalizar el j-ésimo
período
Iuj =
imu * Su
[264]
JAVIER SERR ANO
Ejemplo: crédito hipotecario, cuota uniforme en pesos y en UVR
La cuota que finalmente paga el cliente cada mes, corresponde a la suma de la cuota
de amortización en UVR deducida según el procedimiento anterior más el pago de los
intereses en UVR, a la tasa pactada, todo ello convertido a pesos según el valor del
UVR en la fecha de liquidación; por lo tanto, sería la siguiente:
(Cuota)j =
(Cuota)j =
Cuota en pesos al finalizar el j-ésimo mes
(ACj + Iuj) * UVRj
donde UVRj corresponde al valor de la unidad de valor real al finalizar el j-ésimo
período.
EJEMPLO: CRÉDITO HIPOTECARIO, CUOTA
UNIFORME EN PESOS Y EN UVR
a) Cuota en pesos
Un crédito hipotecario a 15 años, con un desembolso de $100.000.000 en la fecha
cero; tasa efectiva del crédito en pesos del 19% efectivo anual. El crédito se va a
amortizar mensualmente en cuotas mensuales uniformes (iguales), durante los 180
meses de su vigencia.
Tasa de interés: 19% efectivo anual
Tasa de interés (mensual): (1+0,19)1/12 – 1 = 0,0146 = 1,46%
Cuota mensual= 100.000.000 *
[0,0146 * (1 0,0146)180 ]
[(1 0,0146)180 1]
Cuota mensual = $100.000.000 * 0,015762 = $1.576.151
También se hubiera podido obtener utilizando la función “Pago” de Excel:
Cuota mensual = PAGO[0,0146;180;100.000.000]
En el Cuadro 9.1 se muestra el saldo al comienzo de cada mes, la cuota uniforme que
se paga y su descomposición en términos de interés y amortización a capital. En la
última fila se muestra un resumen en valores nominales y se comprueba la amortización de los $100.000.000.
ALFAOMEGA
t
FAC U LTA D D E A D M I N I S T R AC I Ó N / U N I A N D E S
[265]
Capítulo 9
Cuadro 9.1
Cronograma de amortización del crédito
Saldo
comienzo
Cuota
Interés
1
100.000.000
1.576.151
1.460.169
115.983
2
99.884.017
1.576.151
1.458.475
117.676
3
99.766.341
1.576.151
1.456.757
119.395
4
99.646.946
1.576.151
1.455.014
121.138
5
99.525.808
1.576.151
1.453.245
122.907
6
99.402.902
1.576.151
1.451.450
124.701
7
99.278.200
1.576.151
1.449.629
126.522
8
99.151.678
1.576.151
1.447.782
128.370
118
64.634.586
1.576.151
943.774
632.378
119
64.002.208
1.576.151
934.540
641.611
120
63.360.597
1.576.151
925.172
650.980
121
62.709.617
1.576.151
915.666
660.485
122
62.049.132
1.576.151
906.022
670.129
123
61.379.002
1.576.151
896.237
679.915
176
7.546.967
1.576.151
110.198
1.465.953
177
6.081.014
1.576.151
88.793
1.487.358
178
4.593.656
1.576.151
67.075
1.509.076
179
3.084.580
1.576.151
45.040
1.531.111
180
1.553.468
Mes
Amortización
0
Suma
1.576.151
22.683
1.553.468
283.707.268
183.707.268
100.000.000
La descomposición de una cuota entre pago a interés y pago por amortización a
capital se hubiera podido obtener utilizando dos funciones de Excel; a manera de
ejemplo, para la cuota 120:
Pago por amortización a capital = PAGOPRIN[0,0146;120;180;100.000.000]
Pago por amortización a capital = $650.980
Pago interés = PAGOINT[0,0146;120;180;100.000.000] = $925.172
Esto es, la cuota uniforme que se espera pagar en el mes 120, de $1.576.151, se
descompone entre un pago de intereses por valor de $925.172 y un pago por
amortización a capital por valor de $650.980. En la Figura 9.3 se muestra la
descomposición entre amortización a capital e interés, para los 180 meses de
duración del crédito.
[266]
JAVIER SERR ANO
Ejemplo: crédito hipotecario, cuota uniforme en pesos y en UVR
Figura 9.3
Descomposición de la cuota entre pago por interés y amortización a capital
b) Cuota en UVR
Los datos básicos para un crédito equivalente en UVR, desembolsado el 26 de
octubre de 2009, cuando el valor de la UVR era de $186,7159 son los siguientes:
Crédito: $100.000.000
Valor de la UVR, el 26/10/2009: $186,7159
Crédito en UVR: 535.573,03 UVR
Inflación esperada: 4%
Tasa de interés en pesos: 19%
Tasa de interés en UVR: 14,42%
Tasa de interés mensual en UVR: 1,13%
Número de años: 15
Número de meses: 180
Cuota en UVR: 6.970,97, utilizando la función “Pago” de Excel, para un saldo de
535.573,03 UVR, con una tasa de interés en UVR del 1,13% mensual y 180 meses.
En el Cuadro 9.2 se muestra el valor de la cuota, su descomposición en términos de
pago de interés y amortización a capital, bajo el supuesto de un crecimiento mensual
del valor de la UVR equivalente a una inflación anual del 4%.
ALFAOMEGA
t
FAC U LTA D D E A D M I N I S T R AC I Ó N / U N I A N D E S
[267]
Capítulo 9
Cuadro 9.2
Crédito en UVR: cronograma de amortización del crédito
Saldo
comienzo
Cuota del
mes
1
535.573
6.970,97
6.047
924
2
534.649
6.970,97
6.037
934
3
533.715
6.970,97
6.026
4
532.770
6.970,97
5
531.815
6
Mes
Interés
Amortización
UVR
Valor UVR
fin mes
Amortización
pesos-
Saldo comienzo
Cuota pesos
Interés pesos
187,33
100.000.000
1.305.852
1.132.795
173.057
187,94
100.154.317
1.310.127
1.134.543
175.584
945
188,56
100.306.612
1.314.416
1.136.268
178.148
6.015
955
189,17
100.456.842
1.318.719
1.137.970
180.749
6.970,97
6.005
966
189,79
100.604.962
1.323.036
1.139.648
183.388
530.848
6.970,97
5.994
977
190,41
100.750.928
1.327.367
1.141.301
186.066
7
529.871
6.970,97
5.983
988
191,04
100.894.694
1.331.713
1.142.930
188.783
8
528.883
6.970,97
5.972
999
191,66
101.036.214
1.336.073
1.144.533
191.540
9
527.884
6.970,97
5.960
1.011
192,29
101.175.441
1.340.446
1.146.110
194.336
115
323.129
6.970,97
3.648
3.323
271,91
87.573.758
1.895.443
992.031
903.412
116
319.806
6.970,97
3.611
3.360
272,80
86.957.040
1.901.648
985.045
916.603
117
316.446
6.970,97
3.573
3.398
273,69
86.325.112
1.907.873
977.886
929.987
118
313.048
6.970,97
3.535
3.436
274,58
85.677.730
1.914.119
970.553
943.566
119
309.612
6.970,97
3.496
3.475
275,48
85.014.651
1.920.386
963.041
957.344
120
306.137
6.970,97
3.457
3.514
276,39
84.335.622
1.926.672
955.349
971.323
121
302.623
6.970,97
3.417
3.554
277,29
83.640.392
1.932.980
947.474
985.506
122
299.069
6.970,97
3.377
3.594
278,20
82.928.703
1.939.308
939.412
999.896
123
295.474
6.970,97
3.336
3.635
279,11
82.200.295
1.945.657
931.161
1.014.496
124
291.840
6.970,97
3.295
3.676
280,02
81.454.901
1.952.026
922.717
1.029.309
125
288.164
6.970,97
3.254
3.717
280,94
80.692.254
1.958.417
914.078
1.044.339
174
46.666
6.970,97
527
6.444
329,73
15.337.036
2.298.571
173.737
2.124.834
175
40.221
6.970,97
454
6.517
330,81
13.262.412
2.306.096
150.236
2.155.860
176
33.705
6.970,97
381
6.590
331,90
11.149.970
2.313.645
126.306
2.187.339
177
27.114
6.970,97
306
6.665
332,98
8.999.133
2.321.220
101.942
2.219.278
178
20.449
6.970,97
231
6.740
334,07
6.809.316
2.328.819
77.136
2.251.683
179
13.709
6.970,97
155
6.816
335,17
4.579.924
2.336.443
51.881
2.284.561
180
6.893
6.970,97
78
6.893
336,26
2.310.356
2.344.092
26.172
2.317.920
1.254.774 719.201
535.573
0
Suma
186,72
319.485.868
Observe que el crédito se amortiza totalmente tanto en pesos como en UVR; sin
embargo, la suma en pesos de todas las cuotas equivalentes en pesos que se pagan
durante los 180 meses ($319.485.868) es mayor que la suma de todas las cuotas en
pesos cuando el sistema era en pesos ($283.707.268), diferencia que va aumentando
con la tasa de interés. En la Figura 9.4 se muestra la comparación entre las cuotas en
pesos de los dos sistemas; al comienzo la cuota equivalente en pesos del sistema UVR
es menor; sin embargo, después de cierto tiempo la situación cambia y la cuota
mensual del sistema en pesos se vuelve menor. Por ello el sistema en pesos implica un
mayor esfuerzo al comienzo que se ve compensado posteriormente. En la Figura 9.5
se muestra la comparación de los saldos en pesos, de los dos sistemas:
[268]
JAVIER SERR ANO
Ejemplo: crédito hipotecario, cuota uniforme en pesos y en UVR
Figura 9.4
Comparación de la cuota, entre los créditos en pesos y en UVR
El saldo en pesos del sistema en pesos cae paulatinamente mientras el saldo
equivalente en pesos del sistema UVR aumenta inicialmente para caer con
posterioridad; el aumento por encima del valor equivalente en pesos será mayor en la
medida en que aumenten las tasas de interés, como se observa en la Figura 9.5:
Figura 9.5
Saldo del crédito como función del tiempo
ALFAOMEGA
t
FAC U LTA D D E A D M I N I S T R AC I Ó N / U N I A N D E S
[269]
Capítulo 9
CUOTA UNIFORME CON CRECIMIENTO CONSTANTE
DE UN AÑO AL SIGUIENTE
La cuota es constante o uniforme durante el año; sin embargo, crece con la inflación
de un año al siguiente. Los valores iniciales son idénticos al financiamiento en pesos,
esto es, un crédito hipotecario a 15 años, con un desembolso de $100.000.000 en la
fecha cero; tasa efectiva del crédito en pesos del 19% efectivo anual; el crédito se va
a amortizar mensualmente en cuotas mensuales uniformes (iguales) durante el año,
que incrementan de un año al siguiente con la inflación.
Para encontrar el valor de la cuota del primer año se utiliza la siguiente expresión:
15
1
·§¨ (1 0,0146 )12 1·¸ ª § (1 0,05 · º
»
* «1 ¨
¸¨
¸
¸ « © 1 0,19 ¹ »
0,0146
© (0,19 0,05) ¹©
¹ ¬
¼
§
100.000.000 = Cuota1 * ¨
100.000.000 = Cuota1 * 7,142* 13,01* 0,85
Despejando, se obtiene:
Cuota1 = $1.270.234
El mismo valor se hubiera obtenido dibujando todo el flujo como ocurre en la
realidad, con los aumentos anuales (cada 12 meses) iguales a la inflación del 5%, a
partir de un supuesto sobre el valor de la cuota del año 1 (Cuota1); con el flujo así
construido se utiliza la función “Buscar objetivo” de Excel, donde el objetivo es
obtener un valor presente neto igual a $100.000.000, correspondiente a las 180
cuotas mensuales, con una tasa de interés mensual del 1,46%.
En la Figura 9.6 se muestra la comparación entre el sistema de cuota uniforme
(constante) a lo largo de la vida del crédito y el sistema de cuota uniforme anual, que
permanece constante durante el año, pero se incrementa de un año al siguiente con
la inflación. El segundo sistema muestra un alivio en el valor de la cuota durante los
primeros años, para terminar pagando un mayor valor de la cuota al final, como
efecto de la capitalización implícita de intereses, que aumenta el saldo del crédito.
Como consecuencia de lo anterior, un crédito con cuota uniforme anual, que
incremente de un año al siguiente, puede ser ilegal en Colombia, en la medida en que
implica capitalización de intereses y aumento del saldo del crédito en la unidad en
que fue desembolsado (pesos), lo cual se encuentra expresamente prohibido como
consecuencia de fallos de la Corte Constitucional al respecto. En el Cuadro 9.3 se
observa cómo se da la capitalización de intereses y el aumento del saldo del crédito.
[270]
JAVIER SERR ANO
Cuota uniforme con crecimiento constante de un año al siguiente
Cuadro 9.3
Cuota uniforme creciente de un año al siguiente
Cronograma de amortización del crédito
Mes
Saldo comienzo
Cuota
Interés
Amortización
0
1
100.000.000
1.270.234
1.460.169
-189.934
2
100.189.934
1.270.234
1.462.942
-192.708
3
100.382.642
1.270.234
1.465.756
-195.521
4
100.578.163
1.270.234
1.468.611
-198.376
5
100.776.540
1.270.234
1.471.507
-201.273
6
100.977.813
1.270.234
1.474.446
-204.212
7
101.182.025
1.270.234
1.477.428
-207.194
8
101.389.219
1.270.234
1.480.454
-210.219
9
101.599.438
1.270.234
1.483.523
-213.289
10
101.812.727
1.270.234
1.486.638
-216.403
11
102.029.130
1.270.234
1.489.797
-219.563
12
102.248.693
1.270.234
1.493.003
-222.769
13
102.471.462
1.333.746
1.496.256
-162.510
120
90.112.061
1.970.551
1.315.788
654.762
121
89.457.298
2.069.078
1.306.227
762.851
122
88.694.448
2.069.078
1.295.089
773.989
123
87.920.458
2.069.078
1.283.787
785.291
124
87.135.167
2.069.078
1.272.320
796.758
125
86.338.410
2.069.078
1.260.686
808.392
126
85.530.018
2.069.078
1.248.883
820.195
127
84.709.823
2.069.078
1.236.906
832.172
176
12.042.276
2.514.977
175.838
2.339.140
177
9.703.137
2.514.977
141.682
2.373.295
178
7.329.841
2.514.977
107.028
2.407.949
179
4.921.892
2.514.977
71.868
2.443.109
180
2.478.783
2.514.977
36.194
2.478.783
328.918.013
228.918.013
100.000.000
Suma
ALFAOMEGA
t
FAC U LTA D D E A D M I N I S T R AC I Ó N / U N I A N D E S
[271]
Capítulo 9
Figura 9.6
Comportamiento de la cuota en los dos sistemas
Figura 9.7
Crédito con cuota uniforme creciente de un año al siguiente
Comportamiento del saldo del crédito
[272]
JAVIER SERR ANO
Beneficios fiscales a través de una cuenta de ahorro para el fomento de la construcción
BENEFICIOS FISCALES A TRAVÉS DE UNA CUENTA DE AHORRO
PARA EL FOMENTO DE LA CONSTRUCCIÓN
El Estatuto Tributario de la República de Colombia establece un beneficio tributario a
las personas que ahorren en una cuenta AFC (ahorro para el fomento de la
construcción); la suma ahorrada se considera que no es un ingreso para propósitos
tributarios, con la condición de que esa suma no se retire antes de cinco años, salvo
que la misma se utilice para pagar parcial o totalmente una vivienda o para pagar la
cuota de un crédito hipotecario, que se haya utilizado para adquirir vivienda. El
beneficio es doble porque además del estímulo anterior continúan siendo deducibles
los gastos financieros pagados al establecimiento de crédito en el transcurso del año,
con un tope que establece el mismo marco legal. El valor presente de los dos
beneficios es alto, como se verá en el ejemplo, y representa un porcentaje apreciable
del monto del crédito en valor presente.
El artículo 7º. del Decreto Reglamentario 2577 de 1999, del 23 de diciembre,
estableció:
Las sumas que destine el trabajador al ahorro a largo plazo en las cuentas
de ahorro denominadas ahorro para el fomento de la construcción AFC, no
harán parte de la base para aplicar la retención en la fuente y serán
consideradas como un ingreso no constitutivo de renta ni ganancia
ocasional, hasta una suma que no exceda del treinta por ciento (30%) de su
ingreso laboral o ingreso tributario del año.
En el Cuadro 9.4 se muestran, a manera de ejemplo, los resultados correspondientes
al valor presente de los ahorros que se obtienen por el doble beneficio tributario
relacionados con el ahorro y pago de un crédito tributario a través de una cuenta AFC
y con la deducibilidad de los intereses pagados por el correspondiente crédito
hipotecario, para una persona natural que toma el crédito del numeral 9.8, por un
valor de $100.000.000, con una cuota uniforme a lo largo de la vida del crédito (180
meses) y una tasa de interés del 19% efectivo.
En el ejemplo se ha supuesto una persona natural con un sueldo de $15.000.000
mensuales, que permanece constante durante el año y aumenta de un año al
siguiente en un porcentaje igual a la inflación. Se suponen unos porcentajes de
aportes a un fondo obligatorio de pensiones y al fondo de solidaridad pensional, del
3,75% y el 1% respectivamente. Para ambos casos, sin cuenta AFC y sin crédito
hipotecario (II), y con cuenta AFC y con crédito tributario (I), se calculan las bases
gravables, y los impuestos a pagar en las columnas marcadas respectivamente como
“2B”, “2I” y “1B”, “1I”. Para el primer caso, sin cuenta AFC y sin crédito hipotecario
(II), la base gravable se determina teniendo en cuenta los aportes obligatorios al
fondo de pensiones y al fondo de solidaridad y una deducción general del 30%. Para
el segundo caso, con cuenta AFC y con crédito tributario (I), la base gravable se
ALFAOMEGA
t
FAC U LTA D D E A D M I N I S T R AC I Ó N / U N I A N D E S
[273]
Capítulo 9
calcula teniendo en cuenta que la cuota pagada a través de una cuenta AFC es un
ingreso que no constituye renta ni ganancia ocasional; también se tiene en cuenta la
deducción de los intereses en la cuota del crédito tributario. En ambos casos se utiliza
una tasa de tributación del 30%.
Cuadro 9.4
Determinación de la base gravable y los impuestos a pagar
Mes
Cuota
Interés
Sueldo
0
Aporte
Fondo de
Base 1
Valor
obligatorio solidaridad Salario para exento de
pensión
pensional
impuesto impuestos
3,75%
1,00%
Base 1
Menos
valor
exento
30,00%
1
1.576.151 1.460.169 15.000.000
562.500
150.000 12.711.349 3.813.405
8.897.944
2
1.576.151 1.458.475 15.000.000
562.500
150.000 12.711.349 3.813.405
8.897.944
3
1.576.151 1.456.757 15.000.000
562.500
150.000 12.711.349 3.813.405
8.897.944
4
1.576.151 1.455.014 15.000.000
562.500
150.000 12.711.349 3.813.405
8.897.944
5
1.576.151 1.453.245 15.000.000
562.500
150.000 12.711.349 3.813.405
8.897.944
6
1.576.151 1.451.450 15.000.000
562.500
150.000 12.711.349 3.813.405
8.897.944
7
1.576.151 1.449.629 15.000.000
562.500
150.000 12.711.349 3.813.405
8.897.944
8
1.576.151 1.447.782 15.000.000
562.500
150.000 12.711.349 3.813.405
8.897.944
9
1.576.151 1.445.907 15.000.000
562.500
150.000 12.711.349 3.813.405
8.897.944
10
1.576.151 1.444.006 15.000.000
562.500
150.000 12.711.349 3.813.405
8.897.944
11
1.576.151 1.442.076 15.000.000
562.500
150.000 12.711.349 3.813.405
8.897.944
12
1.576.151 1.440.118 15.000.000
562.500
150.000 12.711.349 3.813.405
8.897.944
13
1.576.151 1.438.132 15.750.000
590.625
157.500 13.425.724 4.027.717
9.398.006
14
1.576.151 1.436.117 15.750.000
590.625
157.500 13.425.724 4.027.717
9.398.006
15
1.576.151 1.434.072 15.750.000
590.625
157.500 13.425.724 4.027.717
9.398.006
16
1.576.151 1.431.997 15.750.000
590.625
157.500 13.425.724 4.027.717
9.398.006
17
1.576.151 1.429.892 15.750.000
590.625
157.500 13.425.724 4.027.717
9.398.006
18
1.576.151 1.427.757 15.750.000
590.625
157.500 13.425.724 4.027.717
9.398.006
19
1.576.151 1.425.590 15.750.000
590.625
157.500 13.425.724 4.027.717
9.398.006
20
1.576.151 1.423.392 15.750.000
590.625
157.500 13.425.724 4.027.717
9.398.006
21
1.576.151 1.421.161 15.750.000
590.625
157.500 13.425.724 4.027.717
9.398.006
22
1.576.151 1.418.898 15.750.000
590.625
157.500 13.425.724 4.027.717
9.398.006
23
1.576.151 1.416.602 15.750.000
590.625
157.500 13.425.724 4.027.717
9.398.006
24
1.576.151 1.414.272 15.750.000
590.625
157.500 13.425.724 4.027.717
9.398.006
170
1.576.151
232.315 29.698.974
1.113.712
296.990 26.712.121 8.013.636 18.698.485
171
1.576.151
212.692 29.698.974
1.113.712
296.990 26.712.121 8.013.636 18.698.485
172
1.576.151
192.783 29.698.974
1.113.712
296.990 26.712.121 8.013.636 18.698.485
173
1.576.151
172.584 29.698.974
1.113.712
296.990 26.712.121 8.013.636 18.698.485
174
1.576.151
152.089 29.698.974
1.113.712
296.990 26.712.121 8.013.636 18.698.485
175
1.576.151
131.296 29.698.974
1.113.712
296.990 26.712.121 8.013.636 18.698.485
176
1.576.151
110.198 29.698.974
1.113.712
296.990 26.712.121 8.013.636 18.698.485
177
1.576.151
88.793 29.698.974
1.113.712
296.990 26.712.121 8.013.636 18.698.485
178
1.576.151
67.075 29.698.974
1.113.712
296.990 26.712.121 8.013.636 18.698.485
179
1.576.151
45.040 29.698.974
1.113.712
296.990 26.712.121 8.013.636 18.698.485
180
1.576.151
22.683 29.698.974
1.113.712
296.990 26.712.121 8.013.636 18.698.485
[274]
JAVIER SERR ANO
Beneficios fiscales a través de una cuenta de ahorro para el fomento de la construcción
Cuadro 9.4 (cont.)
Determinación de la base gravable y los impuestos a pagar
Base 2
Menos
valor
exento
"2B"
Gastos
financieros
Salario
base
gravable
“1B”
1
1.460.169
7.437.775
2.231.333
3.000.375 14.287.500 4.286.250 10.001.250
2
1.458.475
7.439.469
2.231.841
3.000.375 14.287.500 4.286.250 10.001.250
3
1.456.757
7.441.187
2.232.356
3.000.375 14.287.500 4.286.250 10.001.250
4
1.455.014
7.442.930
2.232.879
3.000.375 14.287.500 4.286.250 10.001.250
5
1.453.245
7.444.699
2.233.410
3.000.375 14.287.500 4.286.250 10.001.250
6
1.451.450
7.446.494
2.233.948
3.000.375 14.287.500 4.286.250 10.001.250
7
1.449.629
7.448.315
2.234.494
3.000.375 14.287.500 4.286.250 10.001.250
8
1.447.782
7.450.162
2.235.049
3.000.375 14.287.500 4.286.250 10.001.250
9
1.445.907
7.452.037
2.235.611
3.000.375 14.287.500 4.286.250 10.001.250
10
1.444.006
7.453.938
2.236.182
3.000.375 14.287.500 4.286.250 10.001.250
11
1.442.076
7.455.868
2.236.760
3.000.375 14.287.500 4.286.250 10.001.250
12
1.440.118
7.457.826
2.237.348
3.000.375 14.287.500 4.286.250 10.001.250
13
1.438.132
7.959.874
2.387.962
3.150.394 15.001.875 4.500.563 10.501.313
14
1.436.117
7.961.890
2.388.567
3.150.394 15.001.875 4.500.563 10.501.313
15
1.434.072
7.963.935
2.389.180
3.150.394 15.001.875 4.500.563 10.501.313
16
1.431.997
7.966.009
2.389.803
3.150.394 15.001.875 4.500.563 10.501.313
17
1.429.892
7.968.114
2.390.434
3.150.394 15.001.875 4.500.563 10.501.313
18
1.427.757
7.970.250
2.391.075
3.150.394 15.001.875 4.500.563 10.501.313
19
1.425.590
7.972.416
2.391.725
3.150.394 15.001.875 4.500.563 10.501.313
20
1.423.392
7.974.615
2.392.384
3.150.394 15.001.875 4.500.563 10.501.313
21
1.421.161
7.976.845
2.393.054
3.150.394 15.001.875 4.500.563 10.501.313
22
1.418.898
7.979.109
2.393.733
3.150.394 15.001.875 4.500.563 10.501.313
23
1.416.602
7.981.405
2.394.421
3.150.394 15.001.875 4.500.563 10.501.313
24
1.414.272
7.983.734
2.395.120
3.150.394 15.001.875 4.500.563 10.501.313
170
232.315 18.466.170
5.539.851
5.940.537 28.288.273 8.486.482 19.801.791
171
212.692 18.485.793
5.545.738
5.940.537 28.288.273 8.486.482 19.801.791
172
192.783 18.505.701
5.551.710
5.940.537 28.288.273 8.486.482 19.801.791
173
172.584 18.525.901
5.557.770
5.940.537 28.288.273 8.486.482 19.801.791
174
152.089 18.546.395
5.563.919
5.940.537 28.288.273 8.486.482 19.801.791
175
131.296 18.567.189
5.570.157
5.940.537 28.288.273 8.486.482 19.801.791
176
110.198 18.588.286
5.576.486
5.940.537 28.288.273 8.486.482 19.801.791
177
88.793 18.609.692
5.582.908
5.940.537 28.288.273 8.486.482 19.801.791
178
67.075 18.631.410
5.589.423
5.940.537 28.288.273 8.486.482 19.801.791
179
45.040 18.653.445
5.596.033
5.940.537 28.288.273 8.486.482 19.801.791
180
22.683 18.675.802
5.602.740
5.940.537 28.288.273 8.486.482 19.801.791
Mes
Impuesto a
pagar “1I”
30,00%
Impuesto a
pagar “2I”
30,00%
Base 2
Exento de
Salario para impuestos
impuesto
30,00%
0
Suma
662.234.686 776.925.393
ALFAOMEGA
t
FAC U LTA D D E A D M I N I S T R AC I Ó N / U N I A N D E S
[275]
Capítulo 9
Las dos columnas, marcadas respectivamente como “1I” y “2I”, muestran los
impuestos a pagar en cada caso. En el Cuadro 9.5 se muestran los impuestos
acumulados por año y el ahorro en impuestos por año, que se obtendría al utilizar los
dos beneficios tributarios.
Cuadro 9.5
Estimación de los beneficios tributarios, cuentas AFC
Impuestos a
pagar “1I”
Impuestos a
pagar “2I”
1
26.811.210
36.004.500
9.193.290
2
28.697.459
37.804.725
9.107.266
3
30.690.064
39.694.961
9.004.898
4
32.796.630
41.679.709
8.883.079
5
35.025.579
43.763.695
8.738.115
6
37.386.271
45.951.880
8.565.608
7
39.889.149
48.249.473
8.360.325
8
42.545.909
50.661.947
8.116.038
Año
Ahorro en
impuestos
9
45.369.709
53.195.045
7.825.336
10
48.375.396
55.854.797
7.479.401
11
51.579.798
58.647.537
7.067.738
12
55.002.054
61.579.913
6.577.859
13
58.664.005
64.658.909
5.994.904
14
62.590.668
67.891.855
5.301.186
15
66.810.784
71.286.447
4.475.663
Suma 662.234.686 776.925.393 114.690.707
El valor presente del ahorro anual en impuestos, al descontar ese ahorro a una tasa de
descuento igual al costo del crédito (19%), da un valor de $41.325.779, que
corresponde a un 41,32% del monto del crédito.
EJERCICIOS
1.
Un crédito hipotecario a 15 años, con un desembolso de $180.000.000, y una
tasa de interés efectivo anual del 17%, se va a amortizar en cuotas mensuales
durante 15 años (180 cuotas), con un sistema de cuota uniforme, esto es, que
permanece constante durante la vigencia del crédito. ¿Cuál es el monto de la
cuota? ¿Cuál es el saldo, al finalizar el año 7? (Cuota, $2.619.047; saldo,
$142.235.654).
[276]
JAVIER SERR ANO
Ejercicios
2.
Para el crédito del problema 1, ¿cómo cambia la cuota si el número de años
para amortizar el crédito es igual a 10, 15, 18, 20? ¿Cómo cambia si la tasa de
interés varía a 15%, a 20% y a 30%? ¿Qué conclusiones saca sobre la
conveniencia de ampliar el plazo del crédito? La tabla que se presenta a
continuación resume la respuesta a las preguntas que se están formulando:
Número de
años
3.
4.
Cuota Tasa =
15%
Cuota Tasa =
17%
Cuota Tasa =
20%
Cuota Tasa =
30%
10
2.801.066
2.993.235
3.286.491
4.289.989
15
2.404.141
2.619.047
2.946.980
4.058.082
18
2.294.057
2.519.818
2.863.251
4.014.500
20
2.245.911
2.477.767
2.829.510
3.999.847
Para el crédito del problema 1, ¿cómo se descompone la cuota 120 entre intereses y amortización a capital? (Interés, $1.439.998; amortización a capital,
$1.179.049).
Para el crédito del problema 1, ¿cómo se descompone la cuota entre amortización a capital y pago de intereses? La figura 9.8 muestra la descomposición
que se está solicitando:
Figura 9.8
Descomposición de la cuota entre intereses y amortización a capital
5.
Un crédito hipotecario a 20 años, con un desembolso de $250.000.000, y una
tasa de interés efectivo anual del 18%, se va a amortizar en cuotas mensuales
durante 20 años (240 cuotas), con un sistema de cuota uniforme, esto es, que
permanece constante durante la vigencia del crédito. ¿Cuál es el monto de la
cuota? ¿Cuál es el saldo, al finalizar el año 10? (Cuota, $3.603.662; saldo,
$209 886 279)
ALFAOMEGA
t
FAC U LTA D D E A D M I N I S T R AC I Ó N / U N I A N D E S
[277]
Capítulo 9
6.
7.
8.
9.
Un crédito hipotecario a 20 años, con un desembolso de $250.000.000, y una
tasa de interés efectiva anual del 18%, se va a amortizar en cuotas mensuales
durante 20 años (240 cuotas), con un sistema de cuota uniforme, esto es, que
permanece constante durante la vigencia del crédito. ¿Cómo se descompone
la cuota del mes 120, entre interés y amortización a capital? (Interés,
$2.924.561; amortización a capital, $679.100).
Un crédito hipotecario por un monto de $180.000.000 y con un plazo a 15
años se va a amortizar en cuotas mensuales iguales (180 cuotas). La tasa de
interés del crédito es del 17% efectivo anual; el sistema de amortización es de
amortización constante durante la vida del crédito; por lo tanto, la cuota
disminuye paulatinamente a lo largo de la vida del crédito. ¿Cuál es el monto
de la cuota para el mes 12? ¿Cómo se descompone entre interés y
amortización a capital? (Cuota, $3.225.664; interés, $2.256.664; amortización
a capital, $1.000.000).
Para el problema 7, ¿cuál es el saldo del crédito al finalizar el año 7 (mes 84)?
¿Cómo se compara con el saldo de un crédito, con las mismas condiciones,
excepto que se sigue un sistema de amortización uniforme (constante) a lo
largo de la vida del crédito? (El saldo en las condiciones del crédito del
problema 7, al finalizar el mes 84, sería de $96.000.000, inferior al saldo a la
misma fecha para el crédito con cuota uniforme, $142.971.817).
Compare el comportamiento de la cuota para los créditos de los problemas 1 y
7. ¿Qué le sugiere la comparación anterior sobre la conveniencia de una
modalidad frente a la otra? La comparación se presenta en la figura 9.9:
Figura 9.9
Comparación, cuota uniforme y amortización constante
10.
[278] Compare el comportamiento de los saldos de los créditos de los problemas 1 y
7. ¿Qué le sugiere la comparación anterior sobre la conveniencia de una modalidad frente a la otra? La comparación se presenta en la figura 9.10:
JAVIER SERR ANO
Ejercicios
Figura 9.10
Comparación, saldos, cuota uniforme y amortización constante
11.
12.
Suponga un crédito hipotecario a 15 años, con un desembolso de
$180.000.000, utilizando como unidad de cuenta la UVR; su valor el día del
desembolso, 26 de octubre de 2009, es igual a $186,7159. La tasa de interés
efectivo anual del crédito, sobre UVR, es del 11,43%; el crédito se va a pagar
en cuotas mensuales durante 15 años (180 cuotas), con un sistema de cuota
uniforme en UVR, esto es, que permanece constante durante la vigencia del
crédito. ¿Cuál es el monto de la cuota en UVR? ¿Cuál es el monto de la cuota
84, en pesos, suponiendo que la UVR va a crecer con una tasa de crecimiento
mensual equivalente a una inflación anual del 5%? (El monto de la cuota 84,
en UVR, es de 10.878,76 UVR; el valor de la cuota 84 en pesos sería de
$2.858.156).
¿Cómo se compara la cuota a pagar en el problema 11 y en el problema 1? La
comparación se muestra en la figura 9.11:
ALFAOMEGA
t
FAC U LTA D D E A D M I N I S T R AC I Ó N / U N I A N D E S
[279]
Capítulo 9
Figura 9.11
Comparación entre la cuota uniforme en pesos y el equivalente
en pesos de la cuota uniforme en UVR
¿Qué le sugiere la comparación entre los dos sistemas, cuota uniforme en
pesos y cuota uniforme en UVR?
13.
Para el problema 11, ¿cómo evoluciona el saldo del crédito desembolsado en
UVR, en pesos? Compare su evolución con el saldo, en el caso del problema 1,
cuando el crédito se desembolsa en pesos. La comparación se muestra en la
figura 9.12:
Figura 9.12
Comparación entre los saldos cuotas uniformes en pesos y en UVR
[280]
JAVIER SERR ANO
Ejercicios
14.
Suponga un crédito hipotecario a 20 años, con un desembolso de
$180.000.000, utilizando como unidad de cuenta la UVR; su valor el día del
desembolso, 26 de octubre de 2009, es igual a $186,7159. La tasa de interés
efectivo anual del crédito, sobre UVR, es del 15%; el crédito se va a pagar en
cuotas mensuales iguales durante 20 años (240 cuotas), con un sistema de
cuota uniforme en UVR, esto es, que permanece constante durante la vigencia
del crédito. ¿Cuál es el monto de la cuota en UVR? Cuál es el monto de la
cuota 120, en pesos, suponiendo que la UVR va a crecer con una tasa de
crecimiento mensual equivalente a una inflación anual del 6%? ¿Cuál es el
saldo del crédito, en pesos, después del pago de la cuota 120? (El monto de la
cuota 120, en UVR, es de 12.028,49 UVR; el valor de la cuota 120 en pesos
sería de $4.022.084; el saldo en pesos sería de $258.464.199).
ALFAOMEGA
t
FAC U LTA D D E A D M I N I S T R AC I Ó N / U N I A N D E S
[281]
Capítulo 10
RENTABILIDAD DE TÍTULOS Y RIESGO DE TASA DE INTERÉS
La rentabilidad de un título se mide a través de su tasa interna de retorno, mientras
que el precio de mercado de un título se calcula por el valor presente de los flujos de
efectivo que el mismo genera durante su vida, descontados a la tasa de interés del
mercado. La implantación en Colombia de la valoración de portafolios a precios de
mercado (Resol. 200 de 1995) ha requerido por parte de los administradores de
portafolios centrar su atención sobre el riego de tasa de interés, lo cual ha llevado a la
utilización de otros conceptos complementarios al valor presente neto y a la tasa
interna de retorno como indicadores, para evaluar la conveniencia de una inversión.
Los dos conceptos a que se hace referencia son los de duration o duración efectiva y
convexity o convexidad del título, los cuales se explicarán en el numeral 10.4, como
parámetros que permiten estimar y controlar el riesgo de un título o de un portafolio
por exposición a mercado.
VALOR DE UN TÍTULO A DESCUENTO
Para ilustrar cómo se calcula el valor de un título se toma el caso más sencillo, que es
el de un título a descuento, esto es, un título cuyo rendimiento proviene del descuento con el cual se compra respecto a su valor nominal o valor de redención, sin
que existan pagos de intereses durante la vida del título. Para ello, se considera un
título valor emitido inicialmente a 180 días, a descuento, cuyo valor nominal es de
1.000.
El valor del título se va a calcular en varias fechas diferentes, cuando le falta un cierto
número de días para su vencimiento. Si d es el número de días para su vencimiento,
el valor del título estaría dado por:
Valor =
1.000
1.000
1 idiario d
1 t im (d / 365 )
donde,
idiario: Interés diario equivalente a la tasa de interés de mercado
tim:
Tasa de interés de mercado, en términos anuales
En el caso del título a descuento, cuando le faltan 77 días para su vencimiento y la
tasa de interés de mercado es igual al 40%, el valor del título estaría dado por:
1
[283]
Capítulo 10
Valor =
1.000
1 0,40 (77 / 365)
931,48
El Cuadro 10.1 muestra el valor del título para diferentes tasas de interés y para
diferentes fechas, medidas estas últimas como el número de días que faltan para su
vencimiento.
Cuadro 10.1
Valor de un título a descuento como función de la tasa de interés
de mercado y el número de días a su vencimiento
Tasa de
interés
0,00%
Precio
si d=100
1.000,00
Precio
si d=77
1.000,00
Precio
si d=50
1.000,00
Precio
si d=37
1.000,00
10,00%
974,23
980,09
987,03
990,38
20,00%
951,28
962,27
975,33
981,69
30,00%
930,64
946,16
964,70
973,75
35,00%
921,07
938,65
959,72
970,04
40,00%
911,94
931,48
954,95
966,47
45,00%
903,21
924,61
950,37
963,04
50,00%
894,86
918,02
945,97
959,73
55,00%
886,86
911,69
941,73
956,55
60,00%
879,18
905,61
937,64
953,47
70,00%
864,70
894,10
929,89
947,63
Tal y como se puede observar en el Cuadro 10.1, el valor de mercado del título varía
inversamente con la tasa de interés, lo cual ilustra el riesgo de tasa de interés que será
analizado posteriormente. La relación entre precio y tasa de interés no es una relación
lineal ya que está dada por una expresión no lineal de índole exponencial, como se
mostró previamente. Esa relación no lineal entre precio y tasa de interés se conoce
con el nombre de convexidad.
VALOR DE MERCADO DE UN BONO A TASA FIJA
El valor de mercado de un bono en una fecha dada corresponde al valor presente de
los flujos de efectivo que paga el bono a partir de esa fecha, intereses (o cupones) y
principal, descontados a la tasa de interés del mercado en la misma fecha. Para
ilustrar los cálculos se toma el ejemplo de un bono a 6 años con valor nominal de
1.000, amortizado totalmente a la fecha de su vencimiento, que paga intereses del
36% año vencido. Para el bono al cual se está haciendo referencia, el flujo de fondos
recién emitido sería el siguiente (Cuadro 10.2):
2
[284]
JAVIER SERR ANO
Valor de mercado de un bono a tasa fija
Cuadro 10.2
Fecha
Flujo
1
2
3
4
5
6
360
360
360
360
360
1.360
Para ilustrar los cálculos que se presentan en la siguiente tabla, se va a considerar un
caso particular, esto es, cuando al bono le faltan 767 días para su vencimiento y la
tasa de interés de mercado es igual al 40%. En esa fecha, al bono le faltarían 37 días
para el pago que se debe recibir al final del año 4 y por lo tanto su flujo de fondos
sería el que se muestra en el Cuadro 10.3:
Cuadro 10.3
Número de días
al vencimiento
Número de días para recibir el flujo
de efectivo
Flujo de efectivo
767
37
360
365
402
360
0
767
1.360
La expresión para el valor del bono, cuando le faltan 767 días para su vencimiento,
estaría dada por:
Valor del bono =
360
1 0,4 ( 37 / 365 )
360
1 0,4 ( 402 / 365 )
1 .360
1 0,4 ( 767 / 365 )
Valor del bono = 347,92 + 248,52 + 670,61 = 1.267,05
Cuando le faltan 767 días para su vencimiento, a una tasa de interés de mercado del
40%, habría que pagar una prima sobre su valor nominal.
Otra forma alterna de hacer el cálculo anterior sería la siguiente:
a) Calcular el valor del bono al final del año 4, después de recibir el pago de
intereses estipulado en esa fecha.
Valor =
360
1.360
1,4 1,42
Valor = 257,14 + 693,88 = 951,02
3
ALFAOMEGA
t
FAC U LTA D D E A D M I N I S T R AC I Ó N / U N I A N D E S
[285]
Capítulo 10
b) Calcular el valor del bono al finalizar el año 4, antes de recibir el pago de
intereses estipulado en esa fecha.
Valor = 951,02 + 360 = 1.311,02
c) Calcular el valor del bono en la fecha solicitada.
1.311,02
Valor =
( 37 365)
1.267,05
(1,4)
En el Cuadro 10.4 se presenta el valor del bono en diferentes fechas, para dos tasas
de interés de mercado, 40% y 45%:
Cuadro 10.4
Valor del bono para diferentes fechas y a diferentes tasas de interés de mercado
Fecha
Próximo
pago de
intereses
(año)
0
305
335
365
670
700
730
1035
1065
1095
1400
1430
1460
1765
1795
1825
2130
2160
1
1
1
2
2
2
3
3
3
4
4
4
5
5
5
6
6
6
Número de días
para el próximo
pago de interés
365
60
30
365
60
30
365
60
30
365
60
30
365
60
30
365
60
30
Número de
días para el
vencimiento
del título
2.190
1.885
1.855
1.825
1.520
1.490
1.460
1.155
1.125
1.095
790
760
730
425
395
365
60
30
Valor del título
para una tasa de
mercado del 40%
913,28
1.209,79
1.243,71
918,59
1.216,83
1.250,95
926,03
1.226,68
1.261,07
936,44
1.240,47
1.275,26
951,02
1.259,78
1.295,10
971,42
1.286,82
1.322,90
Valor del título
para una tasa de
mercado del 45%
821,51
1.202,83
1.240,13
831,20
1.209,83
1.247,35
845,24
1.219,62
1.257,44
865,60
1.233,34
1.271,58
895,12
1.252,53
1.291,37
937,93
1.279,42
1.319,09
PRINCIPALES RELACIONES EN BONOS
Al analizar el comportamiento de un bono se deben tener en cuenta las siguientes
relaciones principales:
4
[286]
JAVIER SERR ANO
Riesgo de tasa de interés. Duration y convexidad
a) Relación inversa entre el precio del bono y la tasa de interés de mercado. El
análisis de los ejercicios anteriores muestra claramente esta relación que es precisamente la que da lugar al riesgo de tasa de interés. La relación se puede descomponer en:
x A mayor tasa de interés de mercado corresponde un menor valor del bono.
Por lo tanto, siempre que aumenta el valor de la tasa de interés de mercado
disminuye el valor del bono y se tendría una pérdida.
x A menor tasa de interés de mercado corresponde un mayor valor del bono.
Por lo tanto, siempre que disminuye el valor de la tasa de interés de mercado
aumenta el valor del bono y se tendría una utilidad.
Los principios enunciados en los dos párrafos anteriores constituyen la base para
la valoración de portafolios a precios de mercado.
b) Relación entre el precio de un bono y el valor del cupón o pago de interés nominal del mismo.
x Para una tasa de interés de mercado específica, a mayor valor del cupón o de
la tasa de interés nominal que se va a pagar periódicamente, mayor el valor
del bono.
x A menor valor del cupón o de la tasa de interés nominal que se va a pagar
periódicamente, menor el valor del bono.
c) Bonos cupón cero. Un bono cupón cero es aquel cuyo rendimiento proviene
únicamente del descuento con el cual se compra el bono; en otras palabras, no
existen pagos de intereses. Se crean sintéticamente a partir de strips de bonos con
cupón, operación que consiste en registrar y negociar por separado los cupones
de interés y el principal.
En el caso de bonos cupón cero continúa siendo válida la relación inversa entre el
precio del bono y la tasa de interés de mercado. Así mismo, si no varía la tasa de
interés del mercado, el precio del bono irá aumentando según una relación
exponencial en la medida en que el bono cupón cero se acerca a su vencimiento.
RIESGO DE TASA DE INTERÉS. DURATION Y CONVEXIDAD
La relación inversa entre el valor del bono y la tasa de interés es la que da lugar al
riesgo de tasa de interés. De manera gráfica, la forma de la relación podría ser la
siguiente (Figura10.1):
5
ALFAOMEGA
t
FAC U LTA D D E A D M I N I S T R AC I Ó N / U N I A N D E S
[287]
Capítulo 10
Figura 10.1
Valor de un título como función de su tasa de interés
3
3
3
W
W
W En esta figura, un aumento de la tasa de interés de t0 a t1 produciría una pérdida en el
valor del título dada por la diferencia entre P0 y P1; mientras que una caída en la tasa
de interés de t0 a t2 produciría una ganancia dada por la diferencia entre P2 y P0. Las
pérdidas o ganancias no siempre son simétricas sino que dependen de la curvatura de
la gráfica, esto es, de la convexidad (convexity) de la misma. Un caso extremo se
tendría cuando la relación tiene máxima convexidad, tal y como se ilustra en la Figura
10.2; si esa fuera la situación, un aumento en la tasa de interés produciría una pérdida mínima, mientras que una caída en la tasa de interés produciría una utilidad
máxima. Caso contrario se tendría en la situación de la Figura 10.3, máxima concavidad, donde una caída en la tasa de interés solo produciría ganancias mínimas,
mientras que un aumento en la tasa de interés podría producir pérdidas muy grandes,
inclusive catastróficas.
En la administración moderna de portafolios hay que tener en cuenta la convexidad
del mismo para tomar decisiones, la cual no es otra cosa que el promedio ponderado
de la convexidad de cada uno de los títulos. Las decisiones deberían estar encaminadas a moverse hacia portafolios con una convexidad cercana a la presentada en la
Figura 10.2 (máxima convexidad) y alejarse de la situación mostrada en la Figura 10.3
(máxima concavidad). Las matemáticas de la convexidad son un tanto complejas y se
presentan en forma resumida al final de este capítulo.
Para el análisis del riesgo de tasa de interés se suele utilizar el concepto de duration o
duración efectiva de un título, definida como el promedio ponderado de las fechas en
las cuales el título genera un flujo de efectivo, donde los factores de ponderación
corresponden a la contribución de cada flujo de efectivo en la determinación del valor
presente del título.
6
[288]
JAVIER SERR ANO
Riesgo de tasa de interés. %VSBUJPO y convexidad
Figura 10.2
Valor de un título como función de su tasa de interés
Máxima convexidad
Figura 10.3
Valor de un título como función de su tasa de interés
Máxima concavidad
VALOR
Situación
Extrema
Teórica
Riesgo
Máximo
TASA
t0
En términos notacionales:
N
duration = ¦ Wit i
W1 * t 1 W2 * t 2 ... WN * t N
j 1
donde t1, t2,...,tN corresponden a las fechas expresadas en días, meses, años en las
cuales se producen flujos de efectivo. A su vez, W1, W2,...,WN corresponden a los
factores de ponderación, que no son otra cosa que el valor presente de cada flujo
7
ALFAOMEGA
t
FAC U LTA D D E A D M I N I S T R AC I Ó N / U N I A N D E S
[289]
Capítulo 10
dividido por el valor presente total de todos los flujos de efectivo generados por el
bono.
FC j
Wj
1 t im j
VPt im donde VP(tim) corresponde al valor del título a la tasa de interés de mercado (tim), que
no es otra cosa que el valor presente calculado a dicha tasa, y FCj corresponde al flujo
de caja generado por el título en la fecha j. La expresión anterior corresponde al
denominado duration de Macaulay, que al dividirse por (1+tim) da lugar al duration
modificado o duración modificada.
Para ilustrar el cálculo del duration o duración efectiva se va a considerar el título del
ejemplo presentado en el cuadro 10.2, recién emitido, para una tasa de interés de
mercado igual al 40% (Cuadro 10.5).
Cuadro 10.5
Cálculo del duration, bono recién emitido
tj
FCj
FCj/(1+tim)j
Wj
Wj * tj
1
2
360
360
257,14
183,67
0,2816
0,2011
0,2816
0,4022
3
4
5
6
360
360
360
1.360
Suma
131,20
93,71
66,94
180,62
912,28
0,1436
0,1026
0,0733
0,1978
1,0000
0,4308
0,4104
0,3665
1,1868
3,0783
Para el ejemplo analizado, bono recién emitido, el duration resulta igual a 3,0783
años.
Suponga que ha transcurrido algún tiempo y se quiere calcular el duration del bono
cuando le faltan exactamente tres años para su vencimiento (al finalizar el año 3,
después del pago del interés establecido en esa fecha). Los cálculos correspondientes
se ilustran en el Cuadro 10.6:
Cuadro 10.6
Cálculo del duration, final del año 4
tj
1
2
3
FCj
360
360
1.360
Suma
FCj/(1+tim)j
257,14
183,67
495,63
936,44
Wj
0,2746
0,1961
0,5293
1,0000
Wj * tj
0,2746
0,3922
1,5879
2,2547
8
[290]
JAVIER SERR ANO
Riesgo de tasa de interés. %VSBUJPO y convexidad
En la misma fecha (finalizando el año 3, después del pago de intereses establecidos
en esa fecha), pero con una tasa de interés de mercado del 45%, el cálculo del
duration daría un valor igual a 2,2286 años (Cuadro 10.7):
Cuadro 10.7
Cálculo del duration, final del año 4, tim = 45%
tj
1
2
3
FCj
360
360
1.360
Suma
FCj/(1+tim)j
248,28
171,22
446,10
865,60
Wj
0,2868
0,1978
0,5154
1,0000
Wj * tj
0,2868
0,3956
1,5462
2,2286
Los cálculos que se acaban de realizar para el duration o duración efectiva muestran
un conjunto de características de esta medida, entre las cuales se destacan las
siguientes:
a) El duration o duración efectiva depende tanto de la tasa de interés de mercado
como del número de días que faltan para el vencimiento del título.
b) Para una misma tasa de interés de mercado, el duration cambia en la medida en
que el título se acerca a su vencimiento.
c) Para una misma fecha, el duration cambia en la medida en que cambia la tasa de
interés de mercado.
d) El duration de un título con cupón (p. ej., un bono con pagos periódicos de
interés) es inferior a la madurez nominal del título.
e) El duration de un título a descuento (no hay pago de intereses) es igual a la
madurez nominal del título.
La importancia del duration en la evaluación del riesgo de tasa de interés se deriva de
la relación aproximada que existe entre el cambio que puede haber en el valor del
título y el cambio en la tasa de interés de mercado:
'P
P
| - Duration *
'I
1 t im donde 'P corresponde al cambio en el valor del título y 'I corresponde al cambio en
la tasa de interés de mercado.
Aunque la fórmula anterior es una aproximación, la misma es bastante buena para
pequeñas fluctuaciones alrededor de la tasa de interés con base en la cual se calculó
el duration o duración efectiva.
Algunos ejemplos aclaran lo que se acaba de mencionar:
9
ALFAOMEGA
t
FAC U LTA D D E A D M I N I S T R AC I Ó N / U N I A N D E S
[291]
Capítulo 10
a) El bono del ejemplo en el cuadro 10.2, al finalizar el año 3, con una tasa de
interés de mercado del 40%. Los cálculos se presentaron en el cuadro 10.6, para
un duration en las condiciones especificadas igual a 2,255. Ahora se quiere saber
cuál sería el cambio proporcional en el valor del bono, para esa fecha, si la tasa de
interés de mercado cambiara del 40% al 43%. La utilización del concepto de
duration llevaría a la siguiente predicción:
'P
0,03
| - 2,255 *
P
1,40
0,048321 4,8321%
Nuevo valor = 936,44 – 0,048321*936,44 = 891,19
Si se hubieran hecho los cálculos exactos, el nuevo valor de mercado hubiera sido
igual a 892,87. Por lo tanto, el error en la predicción como consecuencia de la
aproximación de la relación hubiera sido:
Error =
891,19 892,87
891,19
= 0,189%
b) El título a descuento considerado en el cuadro 10.1, cuando le faltan 77 días para
su vencimiento y la tasa de interés de mercado es del 45% y cambia al 50%.
duration = 77 días = 0,2109 años
Valor del título, cuando le faltan 77 días para el vencimiento y la tasa de interés
de mercado es del 45%, es igual a 924,61.
'P
0,05
| - 0,2109 *
P
1,45
0,727%
Nuevo valor = 924,61- 0,007272 * 924,61 = 917,88
El valor exacto del título bajo las nuevas condiciones sería igual a 918,02, lo cual
daría un error de predicción del -0,015%.
c) Consideremos una variante del ejemplo analizado en el cuadro 10.2, que consiste
en amortizar el capital periódicamente al final de cada año. Los cálculos para el
nuevo ejemplo serían los siguientes (Cuadro 10.8):
10
[292]
JAVIER SERR ANO
Riesgo de tasa de interés. D uration y convexidad
Cuadro 10.8
duration para el bono con amortización periódica
tj
(Amort)j
(Interés)j
FCj
FCj/(1+tim)j
Wj
Wj* tj
1
166,67
360
526,67
376,19
0,4019
0,4019
2
166,67
300
466,67
238,10
0,2543
0,5086
3
166,67
240
406,67
148,20
0,1583
0,4749
4
166,67
180
346,67
90,24
0,0964
0,3856
5
166,66
120
286,66
53,30
0,0569
0,2845
6
166,66
60
226,66
30,10
0,0321
0,1926
Suma
936,13
1,0000
2,2481
El duration del título, bajo las nuevas condiciones de amortización, resultó igual a
2,248, bastante inferior al caso analizado en el cuadro 10.2, cuando el bono se
amortizaba al final, cuyo duration para la misma tasa de interés de mercado resultó
igual a 3,078 (ver cuadro 10.5). Lo anterior significa que el bono amortizable
totalmente al final de los 6 años es mucho más sensible a fluctuaciones en la tasa de
interés, y por consiguiente más riesgoso.
Una explicación a lo que se acaba de anotar en el párrafo anterior se encuentra en
que el bono con amortización periódica “recauda” el principal más rápidamente que
el bono del cuadro 10.2, que sólo lo hace al final. Anticipar los flujos de caja le resta
sensibilidad a fluctuaciones en la tasa de interés, y por lo tanto riesgo.
La conclusión que se extrae del análisis presentado en este numeral es que aquellos
títulos con un duration muy alto son muy sensibles a fluctuaciones en la tasa de
interés de mercado y por consiguiente muy riesgosos. Ello no significa que dichos
títulos no sean atractivos, especialmente si el rendimiento de los mismos es elevado.
Lo que se acaba de exponer implica que para analizar la viabilidad financiera de una
inversión que hace parte de un portafolio no solo hay que considerar su tasa interna
de retorno, sino también el duration y la convexidad del título y su impacto sobre el
duration y la convexidad del portafolio.
Un corolario equivocado que suele sacarse del análisis presentado es que hay que
invertir sólo en títulos de corto plazo que tendrían un duration muy bajo, olvidándose
de que es tan importante el riesgo de tasa de interés como el de reinversión, el cual se
incrementa significativamente cuando el horizonte de inversión es de corto plazo.
11
ALFAOMEGA
t
FAC U LTA D D E A D M I N I S T R AC I Ó N / U N I A N D E S
[293]
Capítulo 10
VALORACIÓN DE INVERSIONES A PRECIOS DE MERCADO
Los establecimientos de crédito y las entidades financieras que administran portafolios
de inversión (p. ej., sociedades fiduciarias, sociedades administradoras de fondos de
cesantías y de pensiones) tienen que hacer una valoración periódica de sus
inversiones de renta fija y de renta variable a precios de mercado, teniendo en
cuenta, entre otros, el riesgo de tasa de interés por exposición al mercado (inicialmente, Resol. 200 de 1995). Previamente se han introducido los conceptos fundamentales para la valoración de las inversiones de renta fija a precios de mercado.
Para precisar aún más el significado de la valoración a precios de mercado se toma el
ejemplo analizado en el cuadro 10.2, cuando al bono le faltan 767 días para su
vencimiento y la tasa de interés de mercado es del 40%. Como se demostró, el valor
del bono bajo esas condiciones es de 1.267,05. Suponga que al siguiente día la tasa
de interés de mercado aumenta al 45%, en cuyo caso el valor del bono a precios de
mercado disminuiría a 1.263,84. Esta pérdida en el valor del bono (3,21 por bono), al
pasar de 1.267,05 a 1.263,84, es real y habría que llevarla directamente al estado de
pérdidas y ganancias.
TASAS IMPLÍCITAS
La tasa de interés de mercado a la que se descuentan las inversiones tiene tres
componentes básicos:
tim =
Tasa básica de corto plazo + O1 + O2
tim =
Tasa básica para un plazo dado + margen de crédito
donde O1 y O2 son, respectivamente, las primas por liquidez y por riesgo de solvencia,
conocida esta última como el margen de crédito en las resoluciones sobre valoración
de portafolios a precios de mercado. La tasa básica para un plazo dado, definida
como la suma de la tasa básica de corto plazo y la prima de liquidez, usualmente
sigue una curva con una pendiente positiva, en la cual no solo se encuentra la
información para las tasas directas a diferentes plazos, sino también la de las tasas
implícitas o tasas forward (tasas a futuro).
En el caso particular de papeles de la Tesorería de Estados Unidos esta curva tiene la
forma que se presenta en la Figura 10.4:
12
[294]
JAVIER SERR ANO
Tasas implícitas
Figura 10.4
yield curve
Rendimiento
P10
P9
90 días
9
10
30 años
La curva de rendimiento de los papeles de la Tesorería de Estados Unidos se conoce
como yield curve, y muestra una tasa libre de riesgo para diferentes plazos. La lectura
directa sobre dicha curva muestra el rendimiento de papeles de la Tesorería a
diferentes plazos, que van desde 90 días hasta 30 años. Así mismo, implícitamente
muestra las expectativas que tiene el mercado sobre tasas futuras o implícitas; por
ejemplo, si se quisiera estimar en este momento cuál sería la tasa de interés que
dentro de 9 años se estaría reconociendo por inversiones libres de riesgo de solvencia
a 1 año, se podría hacer una estimación con base en los rendimientos que muestra
directamente la curva de rendimientos de papeles de la Tesorería de Estados Unidos.
La rentabilidad a que se hace referencia, aquella que se reconocería dentro de 9 años
por inversiones a 1 año, se conoce con el nombre de tasa implícita o tasa forward y se
representa por f9,1.
Suponga que la tasa que en un momento dado se reconoce por papeles de la
Tesorería a 9 años (t9) es igual al 6.5% (lectura directa de la curva), mientras que la
tasa que el mercado está reconociendo en el momento por papeles de la Tesorería a
10 años (t10) es del 6.65%. La forma de calcular la tasa forward, f9,1, sería la siguiente:
(1+t9)9 * (1+f9,1) = (1+t10)10
(1+0,065)9 * (1+ f9,1) = (1+0,0665)10
1,903744
1 8,00%
1,76257
f9,1
La expresión que se acaba de mostrar se puede generalizar para cualquier
combinación de períodos, lo cual se deja como ejercicio al lector.
13
ALFAOMEGA
t
FAC U LTA D D E A D M I N I S T R AC I Ó N / U N I A N D E S
[295]
Capítulo 10
APROXIMACIÓN UTILIZANDO DURATION Y CONVEXIDAD
En el libro de Livingston G. Douglas, Bond Risk Analysis, A Guide to Duration and
Convexity, publicado por el New York Institute of Finance en 1990, se hace una
presentación bastante rigurosa de las matemáticas del duration o duración efectiva y
de la convexidad, a partir de una expansión de la función del precio, alrededor de la
tasa de interés actual, utilizando una serie de Taylor. La expresión general de la
función relacionando el precio de un bono a tasa fija y la tasa de interés sería:
P = f (i, otras variables, que se mantienen constantes)
La utilización de una serie de Taylor alrededor del valor actual de la tasa de interés
estaría dada por la siguiente expresión:
:P
3
n
dP
1 d2P
:i2 1 d P3 :i3 ... 1 d nP :in
:i 2
di
2! di
3! di
n! di
(1)
Las definiciones del duration modificado y de la convexidad son:
-duration modificado =
Convexidad =
dP 1
*
di P
d2P 1
*
di 2 P
Dividiendo la ecuación (1) por P, se obtiene:
:P
P
dP 1
1 d 2P 1
1 d 3P 1
1 dnP 1
3
2
* :i *
i
*
i
...
* :in
:
:
di P
2! di 2 P
3! di 3 P
n! din P
(2)
Entonces,
:P
1
= - Duración modificada (∆i) + Convexidad (∆i)2 + Efecto residual
P
2
(3)
Por lo tanto, el cambio en el precio se podría expresar aproximadamente
como:
:P
1
| - Duración modificada (∆i) + Convexidad (∆i)2
(4)
P
2
La expresión general para el valor de mercado de un bono a tasa fija, con un pago
periódico de interés, sería:
14
[296]
JAVIER SERR ANO
Aproximación utilizando duration y convexidad
P
N
CJ
¦
J 1
1 iJ
donde i es la tasa de interés de mercado para el período de pago de los intereses y CJ
es el flujo de caja del bono en la fecha j.
Tomando la primera derivada de la expresión anterior, se obtiene:
dP
di
N
¦J
J 1
CJ
1 i
(J 1)
C
1 N
¦J J
1 i J 1 1 iJ
Recordando la definición del duration de Macaulay, se obtiene:
dP
di
1
* Duration * P
1 i
Por lo tanto,
dP 1
*
di P
1
* Duration = -Duración modificada
1 i
Tomando la derivada de la expresión anterior (dP/di), se puede demostrar que:
d2P
di2
N
¦
J 1
J * J 1* CJ 1 iJ2 Así mismo, recordando que la convexidad se definió como:
Convexidad =
d2P 1
*
di 2 P
entonces, la aproximación a través de la expansión de Taylor, desechando los
términos por encima del término cuadrático, estaría dada por:
1
:P
| - (Duración modificada)* :i + * (Convexidad)* (:i)2
P
2
donde ǻi corresponde al cambio en la tasa de interés de mercado, para la cual se
quiere estimar el cambio proporcional en el valor de mercado del bono; en la expresión anterior, la convexidad y la duración de Macaulay se expresan en términos
anuales y el cambio en la tasa de interés, ǻi, también se expresa en términos anuales
15
ALFAOMEGA
t
FAC U LTA D D E A D M I N I S T R AC I Ó N / U N I A N D E S
[297]
Capítulo 10
(p. ej., un cambio del 2% o 200 puntos básicos en la tasa de interés de mercado
anual, sería igual a 0.02).
Lo anterior requiere una consideración adicional para calcular la convexidad en términos anuales, a partir de la convexidad calculada para el período de pago de intereses
para el bono; para ello se utiliza la expresión1:1
Convexidad en años =
Convexidad en m períodos por año
m2
Para encontrar el nuevo valor de mercado (PN) se utiliza la expresión:
PN -
P0 P0
§ 'P ·
= ¨
¸
© P ¹
EJERCICIOS RESUELTOS
Ejemplo 10.1
Un bono a 4 años, recién emitido, que paga intereses del 24% nominal anual,
pagadero semestre vencido, se negocia a un 96% de su valor nominal, que corresponde al precio de mercado, de acuerdo a la tasa de interés de mercado actual. En el
Cuadro 10.9 se muestran los cálculos necesarios para estimar la duración de
Macaulay y la duración modificada:
Cuadro 10.9
Semestre
CJ
0
1
2
3
4
5
6
7
8
-96
12
12
12
12
12
12
12
112
Precio
Macaulay duration
Macaulay duration
duration modificada
TIR
Tasa de interés de mercado
CJ/(1+i)J
WJtJ
10,64
9,43
8,35
7,40
6,56
5,82
5,16
42,64
96,00
0,111
0,196
0,261
0,309
0,342
0,364
0,376
3,554
5,512
2,756
2,165
12,83%
27,30%
semestres
años
años
semestral
anual
11
Para un tratamiento más profundo sobre el tema ver Fabozzi, Frank J., Bond Markets, Analysis and
Strategies, Capítulo 4, “Bond Price Volatility, Prentice Hall.
16
[298]
JAVIER SERR ANO
Ejercicios resueltos
En el Cuadro 10.10 se muestran los cálculos necesarios para la segunda derivada y
para la convexidad en años:
Cuadro 10.10
j(j+1)CJ
1/(1+i)(J+2)
(j(+j+1)CJ)/(1+i)(J+2)
1
12
24
0,6962
16,71
2
12
72
0,6171
44,43
3
12
144
0,5469
78,75
4
12
240
0,4847
116,33
5
12
360
0,4296
154,66
6
12
504
0,3808
191,90
7
12
672
0,3375
226,77
8
112
8.064
0,2991
2.411,88
Segunda derivada
3.241,43
Convexidad (semestres)
33,76
Convexidad (años)
8,44
Ahora se va a suponer un aumento del 2% en la tasa de interés de mercado, que
disminuye el valor de mercado del bono. Se va a calcular el nuevo valor de mercado,
una aproximación a ese valor de mercado, utilizando únicamente la duración modificada, y otra aproximación utilizando la duración modificada y la convexidad.
Cambio en la tasa de interés de mercado: 2,00% anual
Nueva tasa de interés de mercado: 29,30% anual
Nueva tasa de interés de mercado: 13,71% semestral
Nuevo valor del bono: 91,98%
a) Aproximación utilizando únicamente la duración modificada
Aproximación utilizando únicamente duration
AP/P = -duration modificada * 0,02 = -0,04329605
Nuevo valor del bono: 91,84
Error de estimación = 0,152%
b) Aproximación utilizando duración y convexidad
Corrección introducida por convexidad = (1/2) * Convexidad * (0.02)2 = 0,00169
AP/P = -Duración modificada * 0,02 + (1/2) * Convexidad * (0,02)2 = -0,04161
Nuevo valor del bono: 92,01
Error de estimación: -0,025%
17
ALFAOMEGA
t
FAC U LTA D D E A D M I N I S T R AC I Ó N / U N I A N D E S
[299]
Capítulo 10
Tal y como se desprende de los cálculos que se acaban de presentar, la utilización
simultánea de la duración modificada y de la convexidad mejora significativamente la
estimación de nuevo valor del bono, frente a un cambio en la tasa de interés de
mercado.
Ejemplo 10.2
Un TES emitido por la Dirección del Tesoro Nacional (DTN) en Colombia con las
condiciones que se muestran en el Cuadro 10.11, se va a valorar el 24 de junio del
año 2009, cuando le faltan 1.148 días para su vencimiento; la tasa de interés de
mercado ese día era del 9,50% efectivo.
Cuadro 10.11
Condiciones del TES
Valor nominal
TES
Cupón anual
Vencimiento
Madurez inicial, años
Fecha de valoración
Fecha de emisión
Tasa de interés, efectiva
1.000.000.000
12,00%
15/08/12
7
24/06/09
15/08/05
9,50%
En el Cuadro 10.12 se muestran los cálculos necesarios para la valoración del bono, a
una tasa de interés de mercado del 9,50% efectivo:
Cuadro 10.12
Valoración del bono
Fecha
Días
Años
Flujo
24/06/09
15/08/09
52
0,142
120.000.000
118.458.460
15/08/10
417
1,142
120.000.000
108.181.242
15/08/11
782
2,142
120.000.000
98.795.655
15/08/12
1.148
3,145
1.120.000.000
841.884.510
Suma (valor) =
1.167.319.868
Valor de mercado
116,73%
El valor de mercado resultante es del 116,73% o equivalente, $1.167.319.868, por
cada bono de $1.000.000.000. Si la tasa de interés de mercado se incrementara en
18
[300]
JAVIER SERR ANO
Ejercicios resueltos
100 puntos básicos, el nuevo valor de mercado sería de $1.140.412.049, 114,04%,
con lo cual la pérdida porcentual sería de 0,023050939, equivalente al 2,305%. La
pérdida porcentual o absoluta se puede encontrar utilizando la aproximación de la
duración efectiva. En el Cuadro 10.13 se muestran los cálculos necesarios para estimar la duración efectiva del bono cuando le faltan 3,145 años para su vencimiento y
la tasa de interés del mercado es del 9,5%.
Cuadro 10.13
Estimación de la duración efectiva del bono
Fecha
Días
Años
Flujo
Vp(FJ)
Wj
WjTj
24/06/09
15/08/09
52
0,142
120.000.000
118.458.460
10,15%
0,014
15/08/10
417
1,142
120.000.000
108.181.242
9,27%
0,106
15/08/11
782
2,142
120.000.000
98.795.655
8,46%
0,181
15/08/12
1.148
3,145
1.120.000.000
841.884.510
72,12%
2,268
1.167.319.868 100,00%
2,570
Suma (valor) =
duration (años) =
2,570
Para las condiciones establecidas, 3,145 años para su vencimiento y una tasa de
interés del mercado del 9,5%, la duración efectiva del bono es de 2,57 años. Utilizando la aproximación de la duración efectiva únicamente, se obtienen los siguientes
resultados:
(∆P/P) = -duration * ∆I/(1+im) = -2,570 *0,01 *0,913
∆P/P = -0,0234705 = -2,347%, muy similar a los cálculos exactos (-2,305%)
El valor de PN sería igual a: P0 – P0 * duration[1,148 días, TIM = 9.5%]*∆I/(1+i)
PN = 116,73 – 116,73*2,570*0,01*(1/1+0,095) = 113,99%
En la Figura 10.5 se grafica el valor de mercado del TES, exacto y la aproximación,
utilizando la duración efectiva, para las condiciones especificadas, esto es, 3,145 años
para su vencimiento y la tasa de interés del mercado del 9,5%.
19
ALFAOMEGA
t
FAC U LTA D D E A D M I N I S T R AC I Ó N / U N I A N D E S
[301]
Capítulo 10
Figura 10.5
Valor exacto y aproximación usando la duración efectiva
En el Cuadro 10.14 se muestran los cálculos necesarios para estimar la convexidad en
las condiciones especificadas, 3,145 años para su vencimiento y la tasa de interés del
mercado del 9,5%; para estas condiciones, el valor de la convexidad es igual a 8,52
años.
Cuadro 10.14
Cálculo de la convexidad
Fecha
Días
24/06/09
15/08/09
52
15/08/10
417
15/08/11
782
15/08/12
1.148
Segunda derivada
Convexidad =
Años
0,142
1,142
2,142
3,145
Flujo
j(j+1)Cj
120.000.000
19.531.469
120.000.000
293.723.250
120.000.000
807.915.031
1.120.000.000 14.602.025.746
1/(1+i)j+2
0,8233
0,7519
0,6866
0,6269
j(j+1)Cj/(1+i)(j+2)
16.080.203
220.841.560
554.745.834
9.154.178.316
9.945.845.912
8,52
Si se utiliza la aproximación de la duración efectiva y de la convexidad, los resultados
serían:
20
[302]
JAVIER SERR ANO
Ejercicios resueltos
(∆P/P) = -duration * ∆I/(1+im) + 0,5 * Convexidad * (∆i)2
(∆P/P) = -2,570 *0,01 * 0,913 +0,5*8,52*(0,01)2
(∆P/P) = -2,3471% + 0,043% = 2,304%
Por consiguiente,
PN = P0 - P0 * 0,02304 = 114,042%
El valor obtenido, 114,04%, es más cercano al valor exacto (114,04%), tal como era
de esperarse.
En la Figura 10.6 se muestra la aproximación utilizando la convexidad y la duración, y
en el Cuadro 10.15 se muestran los valores para la construcción de la Figura 10.6, en
el rango entre 5% y 15%.
Figura 10.6
Aproximación utilizando duración efectiva y convexidad
21
ALFAOMEGA
t
FAC U LTA D D E A D M I N I S T R AC I Ó N / U N I A N D E S
[303]
Capítulo 10
Cuadro 10.15
Aproximación utilizando duración efectiva y convexidad
Aproximación
duration
Error
duration
Aporte
convexidad
5,00% 130,14%
129,06%
0,83%
0,863%
11,42%
130,07%
0,06%
5,50% 128,54%
127,69%
0,66%
0,682%
10,07%
128,49%
0,04%
6,00% 126,96%
126,32%
0,51%
0,522%
8,74%
126,93%
0,03%
6,50% 125,42%
124,95%
0,37%
0,383%
7,42%
125,40%
0,02%
7,00% 123,90%
123,58%
0,26%
0,266%
6,13%
123,89%
0,01%
7,50% 122,42%
122,21%
0,17%
0,170%
4,86%
122,41%
0,01%
8,00% 120,96%
120,84%
0,09%
0,096%
3,62%
120,95%
0,00%
8,50% 119,52%
119,47%
0,04%
0,043%
2,39%
119,52%
0,00%
9,00% 118,11%
118,10%
0,01%
0,011%
1,18%
118,11%
0,00%
9,50% 116,73%
116,73%
0,00%
0,000%
0,00%
116,73%
0,00%
10,00% 115,37%
115,36%
0,01%
0,011%
-1,16%
115,37%
0,00%
10,50% 114,04%
113,99%
0,04%
0,043%
-2,30%
114,04%
0,00%
11,00% 112,73%
112,62%
0,10%
0,096%
-3,42%
112,73%
0,00%
11,50% 111,45%
111,25%
0,17%
0,170%
-4,52%
111,45%
-0,01%
12,00% 110,18%
109,88%
0,27%
0,266%
-5,60%
110,19%
-0,01%
12,50% 108,94%
108,51%
0,39%
0,383%
-6,66%
108,96%
-0,02%
13,00% 107,72%
107,14%
0,54%
0,522%
-7,69%
107,75%
-0,03%
13,50% 106,52%
105,77%
0,70%
0,682%
-8,71%
106,57%
-0,04%
14,00% 105,34%
104,40%
0,89%
0,863%
-9,70%
105,41%
-0,06%
14,50% 104,19%
103,03%
1,11%
1,065%
-10,67%
104,28%
-0,09%
15,00% 103,05%
101,66%
1,35%
1,289%
-11,62%
103,17%
-0,11%
Tasa
Valor
exacto
(∆P/P)
duration y conv.
Aproximación
Error
total
dur. y conv.
Para obtener los cálculos anteriores, se pueden utilizar directamente las correspondientes funciones de Excel.
En el Cuadro 10.13 aparecen los flujos y las fechas, éstas últimas tanto en años como
en formato fecha. Como se trata de un flujo no periódico en términos de años, para
encontrar el valor presente se puede utilizar directamente la función de valor presente
para flujos no periódicos de Excel (VNA.NO.PER). Para el caso que se muestra en el
cuadro:
Valor = VNA.NO.PER(B9;E12:E16;B12:B16) = $1.167.319.868
En la expresión anterior, en la celda B9 está la tasa de interés efectiva; en el rango
E12:E16 están los flujos de caja en valor absoluto, y en el rango B12:B16 están las
fechas correspondientes a cada uno de esos flujos.
22
[304]
JAVIER SERR ANO
Valoración a precios de mercado
Ejemplo 10.3
Suponga que en la fecha del 24 de junio del año 2009 se compra el bono cuando le
faltan 1.148 días para su vencimiento, a un valor del 110%, esto es, $1.100.000.000.
¿Cuál sería la rentabilidad que obtendría el inversionista?
Como se trata de flujos no periódicos en años, se puede utilizar directamente la tasa
interna de retorno para flujos no periódicos: TIR.NO.PER. Para este ejemplo, con
compra por el 110%, los valores básicos se presentan en el Cuadro 10.16:
Cuadro 10.16
Flujo del título, para determinar la rentabilidad de la inversión
Fecha
0
0
Flujo
-1.100.000.000
15/08/09
52
0,142
120.000.000
15/08/10
417
1,142
120.000.000
24/06/09
Días
Años
15/08/11
782
2,142
120.000.000
15/08/12
1.148
3,145
1.120.000.000
Rentabilidad = TIR.NO.PER(E12:E16;B12:B16;10%) = 12,07%
En la expresión anterior, en el rango E12:E16 se encuentran los valores correspondientes a los flujos de caja, mientras que en el rango B12:B16 se encuentran las
fechas correspondientes a esos flujos, en formato de fecha; el 10% que aparece
como parámetro corresponde a un estimativo preliminar.
VALORACIÓN A PRECIOS DE MERCADO
La Circular Básica Contable y Financiera (Circular Externa 100 de 1995) de la Superintendencia Financiera de Colombia establece los lineamientos básicos para la
valoración de inversiones a precios de mercado, lo cual es de por sí un tema básico y
especializado para todos los gestores de portafolios y para los establecimientos de
crédito. En este numeral, a través de un ejemplo, se explica cómo opera la valoración
de un TES a precios de mercado, utilizando la información que provee el mercado, sin
pretender ser exhaustivos sobre un tema tan extenso. La citada circular establece en
el numeral 2.1 lo siguiente sobre el propósito de la valoración y los esquemas
generales para la misma:
“La valoración de las inversiones tiene como objetivo fundamental el cálculo,
el registro contable y la revelación al mercado del valor o precio justo de
intercambio al cual un valor, podría ser negociado en una fecha determinada,
23
ALFAOMEGA
t
FAC U LTA D D E A D M I N I S T R AC I Ó N / U N I A N D E S
[305]
Capítulo 10
de acuerdo con sus características particulares y dentro de las condiciones
prevalecientes en el mercado en dicha fecha.
Para los efectos propios de la presente norma, el precio justo de intercambio
que se establezca debe corresponder a aquel por el cual un comprador y un
vendedor, suficientemente informados, están dispuestos a transar el
correspondiente valor.
Se considera precio justo de intercambio:
a. El que se determine de manera puntual a partir de operaciones
representativas del mercado, que se hayan realizado en módulos o
sistemas transaccionales administrados por el Banco de la República o por
entidades vigiladas por la Superintendencia Financiera de Colombia, así
como a partir de operaciones que se realicen en el mercado mostrador
(OTC) y sean registradas en sistemas de registro de operaciones sobre
valores autorizados por la Superintendencia Financiera de Colombia.
b. El que se determine mediante el empleo de tasas de referencia y
márgenes calculados a partir de operaciones representativas del mercado
agregadas por categorías, que se hayan realizado en módulos o sistemas
de negociación de valores autorizados por la Superintendencia Financiera
de Colombia, así como a partir de operaciones que se realicen en el
mercado mostrador (OTC) y sean registradas en sistemas de registro de
operaciones sobre valores autorizados por la Superintendencia Financiera
de Colombia.
c. El que se determine mediante otros métodos, debido a la inexistencia de
un valor o precio justo de intercambio que pueda ser establecido a través
de cualquiera de las previsiones de que tratan los literales anteriores”.
Como se mencionó, a través de un ejemplo se hace una presentación básica, paso a
paso, de la metodología de valoración de inversiones a precios de mercado. Este
ejemplo fue preparado por la Dra. Carolina Balanzó Muñoz, experta en el tema,
egresada de los programas de MBA de la Facultad de Administración de la Universidad de los Andes, a quien agradezco el trabajo realizado.
El ejemplo a analizar trata de un TES con las siguientes características:
Valor nominal: 1.000.000.000
Tasa de interés nominal: 11%
Modalidad de pago: año vencido
Fecha de emisión: 24 de julio de 2005
Fecha de valoración: 9 de junio de 2009
Fecha de vencimiento: 24 de julio de 2020
24
[306]
JAVIER SERR ANO
Valoración a precios de mercado
Precio vigente en la fecha de valoración (lo calcula y publica la Bolsa de Valores de
Colombia, BVC, con base en las negociaciones del día): 120,149%; el valor anterior
se conoce como el precio sucio, resultante de traer a valor presente los flujos
(cupones y principal), cada uno de ellos con la tasa de descuento apropiada, esto es,
con la tasa que genera la curva cero cupón. El precio limpio se obtiene restando del
precio sucio los intereses causados hasta la fecha de la valoración. La curva cero
cupón se calcula utilizando información de mercado.
Valor de mercado = Precio sucio x valor nominal = 1.201.490.000
En el Cuadro 10.17, en la segunda columna se muestran el flujo de caja del bono, en
la fecha de la valoración, 9 de junio de 2009, mientras que en la primera columna se
muestra la fecha en que vencen los cupones y el principal. La tasa de descuento es la
suma de dos componentes, una tasa básica y un margen de crédito que refleja el
mayor riesgo que el título tiene frente a la tasa básica2.2
Tasa de descuento = Tasa básica + Margen de crédito
Para el caso particular de este TES, la tasa básica se obtiene de la curva cero cupón
mientras que el margen de crédito lo publica el sistema de información de la Bolsa de
Valores de Colombia. Para este caso el margen de crédito fue del -0,1629%, muy
cercano a cero.
En la Figura 10.7 se muestra la forma de la curva cero cupón para la fecha de la
valoración.
Cuadro 10.17
Valoración TES: Flujo de caja y tasas de descuento
Fecha
9/06/2009
Flujo
Tasa básica
Margen
Tasa descuento
Valor presente
24/07/2009
110.000.000
4,2184% -0,1629%
4,0487%
45
109.463.072
24/07/2010
110.000.000
5,8373% -0,1629%
5,6649%
410
103.397.846
24/07/2011
110.000.000
7,0379% -0,1629%
6,8635%
775
95.538.772
24/07/2012
110.000.000
7,9213% -0,1629%
7,7455%
1.140
87.136.630
24/07/2013
110.000.000
8,5664% -0,1629%
8,3895%
1.505
78.909.663
24/07/2014
110.000.000
9,0333% -0,1629%
8,8557%
1.870
71.218.536
24/07/2015
110.000.000
9,3680% -0,1629%
9,1899%
2.235
64.208.269
24/07/2016
110.000.000
9,6050% -0,1629%
9,4264%
2.600
57.904.638
24/07/2017
110.000.000
9,7701% -0,1629%
9,5913%
2.965
52.273.511
24/07/2018
110.000.000
9,8826% -0,1629%
9,7036%
3.330
47.254.934
24/07/2019
110.000.000
9,9568% -0,1629%
9,7777%
3.695
42.781.525
24/07/2020 1.110.000.000
10,0035% -0,1629%
9,8243%
4.060
391.403.086
Valor mercado
22
Días
1.201.490.483
Superintendencia Financiera, Circular Contable y Financiera (Circular Externa 100 de 1995).
25
ALFAOMEGA
t
FAC U LTA D D E A D M I N I S T R AC I Ó N / U N I A N D E S
[307]
Capítulo 10
Figura 10.7
Curva estimada cero cupón
Fuente: Bolsa de Valores de Colombia
Los valores de la tasa básica se pueden leer directamente de la curva cero cupón;
también se puede hacer una estimación de esas tasas de referencia a partir de las
siguientes expresiones matemáticas3:3
s( t )
­
°
ª 1 exp t
°̄
«
¬
E 0 ®E1 E 2 «
t W ½
º
W » ° E exp t
¾
2
W
»
¼ °¿
La tasa cero cupón estimada tiene la siguiente expresión4:4
s d (t )
exp( s(t )) 1
Para el ejemplo que se está tratando, el sistema de información de la Bolsa de Valores
de Colombia suministra los valores de los parámetros, ȕ0, ȕ1, ȕ2 y IJ; para el día de la
valoración los valores fueron:
Beta 0: 9,136507%
Beta 1: -5,22990%
Beta 2: 7,572271%
Tao: 3,43722
Con los valores anteriores se calcula la tasa de referencia para diferentes plazos, tal y
como se muestra en el Cuadro 10.18:
33
44
Fuente: Bolsa de Valores de Colombia, BVC, Sistema de información para valoración.
Ídem.
26
[308]
JAVIER SERR ANO
Ejercicios para resolver
Cuadro 10.18
Estimación de la tasa de referencia a partir de los parámetros básicos
t (días)
exp(-t/tao)
s(t)
45
t (años)
0,123
(t/tao)
0,036
(-t/tao)
-0,036
0,965
4,1319%
4,2184%
sd(t)
410
1,123
0,327
-0,327
0,721
5,6733%
5,8373%
775
2,123
0,618
-0,618
0,539
6,8012%
7,0379%
1.140
3,123
0,909
-0,909
0,403
7,6232%
7,9213%
1.505
4,123
1,200
-1,200
0,301
8,2191%
8,5664%
1.870
5,123
1,491
-1,491
0,225
8,6484%
9,0333%
2.235
6,123
1,781
-1,781
0,168
8,9549%
9,3680%
2.600
7,123
2,072
-2,072
0,126
9,1713%
9,6050%
2.965
8,123
2,363
-2,363
0,094
9,3218%
9,7701%
3.330
9,123
2,654
-2,654
0,070
9,4242%
9,8826%
3.695
10,123
2,945
-2,945
0,053
9,4918%
9,9568%
4.060
11,123
3,236
-3,236
0,039
9,5342%
10,0035%
Con los valores de la tasa de referencia y del margen de crédito se procede a calcular
las tasas de descuento individuales para cada cupón, tal y como se muestra en el
Cuadro 10.17. Se calcula el valor presente de cada cupón utilizando la tasa de
referencia y el margen de crédito y se procede a calcular el valor presente de cada
cupón y el del título, tal y como se muestra en el Cuadro 10.17. El valor resultante
aplicando la metodología explicada en el ejemplo, para el 9 de junio de 2009, fue de
$1.201.490.483 por cada título de valor nominal o facial igual a $1.000.000.000.
EJERCICIOS PARA RESOLVER
1.
2.
3.
Suponga un bono emitido inicialmente a 4 años, con un interés nominal del
30%, pagadero semestre vencido; el bono se amortiza totalmente al final de
los 4 años. En la fecha, al bono le faltan 779 días para su vencimiento. Si lo
fuera a comprar en esa fecha, ¿cuál debería ser el máximo precio a ofrecer, si
mi objetivo es obtener una rentabilidad efectiva anual equivalente al 45%
antes de impuestos? (96,18%).
Para el bono del problema anterior, en la misma fecha, ¿cuál sería el duration,
si la tasa de interés de mercado es del 45% efectivo anual? (1,51 años).
Para el bono del problema 2, y utilizando el concepto de duration, ¿cuál sería
la pérdida posible si la tasa de interés de mercado cambiara (una vez comprado
el bono) al 48% efectivo anual y el bono se hubiera comprado al precio
encontrado en el punto 1? (Pérdida exacta, -3,03%; pérdida utilizando la
aproximación del duration, -3,1003%).
27
ALFAOMEGA
t
FAC U LTA D D E A D M I N I S T R AC I Ó N / U N I A N D E S
[309]
Capítulo 10
4.
5.
6.
Repita los cálculos del problema, corrigiendo la aproximación del duration, con
la aproximación de la convexidad. (Convexidad, 2,873 años; pérdida
aproximada, utilizando duration y convexidad, -2,974%).
Suponga un bono con un valor nominal de $1.000.000, inicialmente a 3 años,
que paga un interés nominal anual del 30%, pagadero semestre vencido; el
bono se amortiza totalmente al final de los tres años. A la fecha de hoy, al
bono le faltan 387 días para su vencimiento final. La tasa de interés de
mercado es del 38% efectivo anual. ¿Cuál es el valor de mercado del bono?
(Valor porcentual, 108,97%).
Para las mismas condiciones del problema 5 y cuando faltan 387 días para su
vencimiento:
a) ¿Cuál sería el duration del bono? (0,87 años).
b) Utilizando el concepto de duration, ¿cuál sería la pérdida porcentual en el
valor del bono, cuando le faltan 387 días para su vencimiento, si la tasa
de interés de mercado subiera al 41%? (Pérdida exacta, 1,85%; utilizando la aproximación del duration, -1,886%).
a) ¿Cuánto tendría que provisionar con cargo al estado de pérdidas y
ganancias, si al día siguiente la tasa efectivamente sube al 41%?
($20.113).
b) Repita la parte b), corrigiendo la aproximación a través del duration con
la aproximación a través de la convexidad. (Convexidad, 1,23 años;
pérdida aproximada utilizando duration y convexidad, -1,831%).
7.
Considere un bono de valor nominal igual a $50.000 millones, que paga un
interés del 32% anual pagadero semestre vencido, con una madurez a 4 años,
el cual se amortiza totalmente al final de los 4 años:
a) ¿Cuál es el valor de mercado del bono recién emitido, si la tasa de interés
de mercado es del 38% efectivo anual? ($46.946 millones).
b) ¿Cuál es la rentabilidad del bono si se compra con un descuento del 7%
sobre su valor nominal? (38,53%).
8.
Para el bono del problema anterior, grafique el valor del bono como función
del número de días para su vencimiento, teniendo en cuenta que la tasa de
mercado permanece constante e igual al 38% efectivo anual. ¿Cuál sería la
nueva gráfica si el valor de la tasa de interés de mercado fuera del 42%
efectivo anual? La figura 10.8 muestra el valor del bono para una tasa de
interés del mercado del 38% es la siguiente:
28
[310]
JAVIER SERR ANO
Ejercicios para resolver
Figura 10.8
Valor presente del bono
9.
10.
11.
12.
13.
14.
Para el bono del problema 5, grafique el valor del bono como una función de
la tasa de interés de mercado. Identifique en la gráfica la convexidad del bono.
Para el bono del problema 7, suponiendo una tasa de mercado del 38% efectivo anual, calcule el duration del bono. ¿Cuál sería el cambio proporcional en
el valor del bono si la tasa de interés de mercado cambiara del 38% al 41%,
calculado exactamente y calculado utilizando duration y convexidad? ¿Cuál es
el error de la estimación utilizando duration y convexidad?
Repita el problema 8, suponiendo que al bono le faltan 325 días para su
maduración.
Haga los mismos cálculos contemplados en los problemas 7, 10 y 11, suponiendo que se cambia el sistema de amortización por uno en el cual se amortiza el valor del bono en cuatro partes iguales, al final de cada año, y los
intereses se pagan sobre saldos.
¿Cuánto se debe ofrecer por un título cuya rentabilidad depende del
descuento con el cual se compra, al cual le faltan 47 días para su vencimiento,
si el objetivo es obtener un rendimiento equivalente a uno del 46% efectivo
anual? (95,24%).
Para el ejercicio del problema 13, grafique el valor del título como una función
de la tasa de interés de mercado. Identifique en la gráfica la convexidad del
título. La figura 10.9 muestra el valor exacto y la aproximación utilizando
duration únicamente.
29
ALFAOMEGA
t
FAC U LTA D D E A D M I N I S T R AC I Ó N / U N I A N D E S
[311]
Capítulo 10
Figura 10.9
Valor del título y aproximación utilizando la duración efectiva
15.
Suponga que la yield curve de papeles de la Tesorería de Estados Unidos
muestra que el rendimiento de títulos a 5 años es igual al 5.5%, mientras que
el rendimiento de los títulos a 6 años resulta del 5.9%. ¿Cuál sería la tasa
implícita que se estaría reconociendo por inversiones a 1 año, realizadas dentro
de 5 años?
30
[312]
JAVIER SERR ANO
1
Capítulo 11
COSTO PROMEDIO PONDERADO DE CAPITAL
Y VALOR ECONÓMICO AGREGADO (VEA)
El concepto de costo promedio ponderado de capital es uno de los más importantes
en la teoría financiera, principalmente por la relación existente entre valor económico
agregado y costo promedio ponderado de capital; a menor costo promedio
ponderado de capital, mayor el valor económico que un proyecto le agrega a la
empresa. Varios premios Nóbel1 se han otorgado para reconocer las investigaciones
realizadas con miras a establecer las relaciones existentes entre valor económico,
estructura de capital, costo promedio ponderado de capital y riesgo financiero.
La estimación del costo promedio de capital se vuelve crítica para muchas decisiones,
ya sea que su valor se utilice para descontar un flujo de caja libre para el proyecto con
el propósito de estimar el valor económico que el proyecto le agrega a la empresa, o
se utilice para encontrar el valor de mercado de la firma2 en una transacción, o se
utilice para estimar el costo económico que se debe imputar a un conjunto de activos
operativos para estimar el valor económico agregado (EVA) por una determinada
gestión empresarial, o se utilice para estimar la tasa remuneratoria del capital invertido, tal y como ocurre en la industria de transmisión y distribución de energía eléctrica,
en la medida en que el valor del kilowatio hora se encuentra regulado. Los cuatro
ejemplos que se acaban de citar muestran la importancia de una definición metodológica adecuada para la estimación del parámetro, lo cual se torna aún más crítico
si se tiene en cuenta que pequeñas desviaciones en la estimación del costo promedio
ponderado de capital producen desviaciones significativas en el valor de un activo.
En este capítulo se hará una presentación general del tema de estructura de capital y
de costo promedio ponderado de capital; en el Capítulo 13 se presentará el modelo
CAPM para valoración de activos con riesgo y se planteará su uso dentro de una
metodología para estimar el costo de la aportación patrimonial. En general, el costo
promedio ponderado de capital, CPPC, o WACC por sus siglas en inglés, se expresa
como:
WACC = 1 KD * (1-timp) + 2 KE
En la expresión anterior, 1 y 2 son respectivamente los porcentajes de deuda
financiera y de patrimonio que conforman la estructura de capital; KD es el costo de la
deuda antes de impuestos, y KE es el costo de la aportación patrimonial, antes de
1
Franco Modigliani, 1985, Harry M. Markowitz, Merton H.Miller & William Sharpe, 1990.
En Finanzas Corporativas se entiende por firma los activos operativos de la empresa, que definen su
función de producción y su función de costos.
2
ALFAOMEGA
t
FAC U LTA D D E A D M I N I S T R AC I Ó N / U N I A N D E S
[313]
Capítulo 11
impuestos, que a su vez es igual al costo de la aportación patrimonial después de
impuestos, en la medida en que los dividendos no son deducibles de impuestos; timp
es la tasa efectiva de impuestos, que puede ser diferente a la tasa nominal. En este
capítulo se analizarán aspectos relacionados con las fuentes que se deben introducir
en el cálculo del costo promedio ponderado de capital, con la escogencia de la
estructura de capital que define los factores de ponderación 1 y 2 y con la
estimación del costo individual de cada una de las fuentes de financiamiento. En
general, el objetivo que se busca es el de minimizar el costo promedio ponderado de
capital a través de la utilización de la deuda, para maximizar el valor de mercado de la
firma.
ESTRUCTURA OPERATIVA, ESTRUCTURA FINANCIERA
Y ESTRUCTURA DE CAPITAL
En la Figura 11.1 se destacan dos secciones, la del lado izquierdo que corresponde a
la estructura operativa del negocio y la del lado derecho que corresponde a la estructura de capital con la cual se financia la estructura operativa del negocio. La
estructura operativa de una empresa es la resultante de las decisiones de inversión en
activos fijos operativos y en capital de trabajo que se han tomado al interior de la
empresa, y como tal determina la función de producción del negocio, definida como
la función con la cual se estima el costo total de producir un cierto volumen de
unidades, que comprende tanto los costos fijos como los costos variables.
Figura 11.1
Estructuras operativa y de capital
Una vez que se conforma una estructura operativa, la empresa no la puede modificar
en un tiempo corto con un costo razonable, por lo cual queda expuesta a las
fluctuaciones del mercado, lo cual genera un riesgo llamado riesgo comercial o riesgo
operacional, que se explicará con posterioridad, consistente principalmente en no
alcanzar el punto de equilibrio operacional y en la mayor volatilidad de la utilidad
[314]
JAVIER SERR ANO
Estructura operativa, estructura financiera y estructura de capital
antes de intereses e impuestos o utilidad operacional como consecuencia de fluctuaciones en el nivel de ventas.
Los activos involucrados en el negocio (activos fijos, capital de trabajo, etc.) se
financian con recursos de corto, mediano y largo plazo, cuya combinación determina
la estructura financiera de la empresa; el costo promedio ponderado de todas esas
fuentes de financiamiento determina el costo de financiamiento. Las fuentes de
financiamiento tienen un costo explícito (p. ej., intereses, comisiones) o un costo
implícito (p. ej., un costo de oportunidad), que no siempre se tiene en cuenta en la
estimación contable de los costos de un negocio. El ejemplo más destacado de lo que
se acaba de mencionar es el patrimonio, al que no obstante ser la principal fuente de
financiamiento del negocio, no se le asigna costo alguno en la contabilidad
administrativa, situación que hay que corregir en la estimación del costo promedio
ponderado de capital, ya que el costo económico de utilizar el patrimonio es el costo
de oportunidad del accionista.
Entre los activos se encuentran los activos corrientes (efectivo, bancos, cuentas por
cobrar, inventarios), que se financian parcialmente con el pasivo corriente
(obligaciones financieras de corto plazo, proveedores, cuentas por pagar principalmente), tal y como se muestra en la figura 11.2; la otra porción del activo corriente, que se financia con pasivo de largo plazo, en general corresponde a la inversión
permanente en capital de trabajo que demanda el negocio.
Figura 11.2
Estructura general del balance
La inversión permanente en capital de trabajo es muy importante en los resultados
financieros de una empresa y su subestimación lleva a sobrestimar rentabilidades y
valores de mercado de la empresa o de un proyecto. En muchos negocios la inversión
permanente en capital de trabajo puede ser tan importante como la inversión en
activos fijos. Un buen ejemplo de ello podría ser una empresa de alimentos balan-
ALFAOMEGA
t
FAC U LTA D D E A D M I N I S T R AC I Ó N / U N I A N D E S
[315]
Capítulo 11
ceados para animales, donde se requieren inventarios de seguridad en materias
primas (p. ej., dos meses del consumo) y vender a crédito para poder competir en el
mercado (p. ej., a 45 días), lo cual trae como consecuencia que la inversión
permanente en inventarios y en cuentas por cobrar sea de un monto apreciable frente
a las otras inversiones que requiere el negocio.
Los activos operativos del negocio que conforman la inversión permanente en activos
fijos y en capital de trabajo se deben financiar, en teoría, con fuentes de financiamiento de mediano y largo plazo (capital financiero) que tienen un costo promedio
ponderado (CPPC, o WACC por sus siglas en inglés). La participación de las
diferentes fuentes de financiamiento de mediano y largo plazo determina la
estructura de capital de la empresa, que es un subconjunto de la estructura financiera,
tal y como se muestra en la Figura 11.2.
En el flujo de caja libre para la firma o para el proyecto ya se tiene en cuenta que una
porción importante del activo corriente se financia con fuentes de corto plazo,
generadas en el giro ordinario del negocio; este flujo, que es un flujo no apalancado e
independiente de la estructura de capital que se utilice para financiar la estructura
operativa, se expresa como:
FJ =
(UAII)J – (Imp)J + (Deprec.)J + (Amort. Dif.)J + (Otras correcciones)J
- (Inversión en AF)J – (Inversión en CT)J
donde,
(Inversión en AF)J: Inversión en activos fijos en el j-ésimo período
(Inversión en CT)J: Inversión en capital de trabajo en el pésimo período
(Inversión en CT)J = (Aumento en cuentas por cobrar)J + (Aumento en inventarios)J
– (Aumento en cuentas por pagar)J
Por ello, la estructura operativa y financiera original se debe modificar antes de
proceder a definir la estructura de capital y la participación de cada una de las fuentes
de financiamiento, tal y como se muestra en la Figura 11.3, donde el activo corriente
se netea con el pasivo corriente para incluir en la estructura operativa únicamente el
capital de trabajo operativo neto. En teoría, una vez que se ha neteado el capital de
trabajo operativo, los pasivos que quedan, de mediano y largo plazo, deberían corresponder a obligaciones financieras (deuda) y a patrimonio. En general, lo anterior no
es estrictamente válido cuando se analiza un caso particular, en la medida en que en
el giro ordinario del negocio pueden surgir otras fuentes de financiamiento de
mediano y largo plazo que no corresponden a las dos categorías mencionadas, de
naturaleza principalmente contable, tal y como ocurre con cuentas por cobrar de me-
[316]
JAVIER SERR ANO
Estructura operativa, estructura financiera y estructura de capital
diano plazo, provisiones para prestaciones laborales (p. ej., provisiones para pensiones
de jubilación), etc.
Figura 11.3
Estructuras operativa y de capital modificadas
En síntesis, el subconjunto de la estructura financiera que sólo tiene en cuenta las
fuentes de financiamiento de mediano y largo plazo se denomina estructura de
capital de la empresa, lo cual es aún más claro si se tiene en cuenta que en términos
financieros el concepto de capital financiero se refiere a la sumatoria de todas las
fuentes de financiamiento de mediano y largo plazo, el cual es mayor que el capital
contable, que se restringe únicamente al patrimonio del negocio. El costo de estas
fuentes de financiamiento de mediano y largo plazo determina el costo promedio
ponderado de capital de la empresa.
Las fuentes de financiamiento de mediano y largo plazo más comunes son:
a) Créditos bancarios a mediano y largo plazo (p. ej., 3 años)
Financiamiento otorgado por un establecimiento de crédito (banco, compañía de
financiamiento comercial) en unas condiciones acordadas entre las partes (monto,
tasa de interés, forma de amortización, años de gracia a capital, comisiones de
administración, etc.). El costo de la fuente de financiamiento dependerá de la tasa de
interés, de las comisiones y de los costos de tramitación del crédito (p. ej.,
constitución de hipotecas).
b) Contratos de leasing
En vez de un crédito comercial se tiene un contrato de leasing financiero que da
acceso a los servicios del activo que es propiedad de la empresa que lo adquirió para
arrendarlo, usualmente una compañía de financiamiento comercial. El costo del
financiamiento corresponde al canon de arrendamiento que se paga periódicamente,
el cual tiene las dos componentes: amortización a capital y gasto financiero.
ALFAOMEGA
t
FAC U LTA D D E A D M I N I S T R AC I Ó N / U N I A N D E S
[317]
Capítulo 11
c) Bonos ordinarios
La empresa puede ir directamente al mercado público de valores (MPV) y emitir
bonos ordinarios que pagan un interés periódicamente, conocido como cupón, y que
tienen algún esquema de amortización del capital, el cual muchas veces es al final de
la madurez del bono. La emisión de bonos en el MPV está reglamentada y sometida a
una legislación especial; al mismo tiempo, quien emite bonos en el MPV adquiere
responsabilidades con el mercado, entre las cuales se cuenta el suministro de
información eventual. Quien invierte en un bono le está dando un financiamiento a la
empresa; asume el riesgo de solvencia del emisor, que se conoce a través de la
calificación de una sociedad calificadora.
d) Bonos convertibles
El bono de contenido crediticio inicialmente, con un cupón periódico, se puede
amortizar al final de su vencimiento mediante la conversión del mismo en acciones de
acuerdo con una fórmula preestablecida. La conversión puede ser obligatoria o a
conveniencia del tenedor; en el primer caso se tienen los bonos obligatoriamente convertibles en acciones y en el segundo caso se tienen los denominados como convertibles.
e) Utilidades retenidas
La asamblea de accionistas de la empresa puede decidir retener las utilidades dentro
de la empresa en la forma de una reserva o repartirlas en la forma de dividendos. Las
reservas son: reserva legal, reservas estatutarias, reservas con destinación específica y
reservas de libre disponibilidad.
f) Financiamiento a través de la emisión de acciones ordinarias
La empresa emite acciones y recibe el precio de suscripción, disminuido en los costos
de la emisión (promoción, costos de depósito, etc.); la emisión de acciones en el MPV
está reglamentada y para ello hay que seguir una normatividad especial. El tenedor
de la acción (inversionista) adquiere el derecho a recibir un dividendo anual, pagadero
en el monto y en la forma que lo establezcan los estatutos de la empresa y la
asamblea de accionistas, y a participar en el gobierno de la empresa en la alícuota que
le corresponda.
g) Financiamiento a través de la emisión de acciones preferentes
Es similar al financiamiento a través de la emisión de acciones ordinarias, salvo que no
se tiene derecho a participar en el gobierno de la empresa; como contraprestación, el
accionista puede recibir un dividendo preferente que es mayor o igual al dividendo
[318]
JAVIER SERR ANO
Estructura operativa, estructura financiera y estructura de capital
ordinario, o puede recibir un dividendo establecido como un porcentaje del valor
nominal de la acción.
En el resto del capítulo se estudian dos formas frecuentes de utilizar el concepto del
costo promedio ponderado de capital, para evaluar el valor económico agregado por
decisiones gerenciales:
x
Establecer el capital invertido en el proyecto, estimar un costo en pesos, a partir
del costo promedio ponderado de capital, y restar dicho costo de la utilidad
operacional después de impuestos, para determinar el valor económico agregado
por el proyecto en el j-ésimo año, lo cual es la base del concepto moderno de
EVA (valor económico agregado, en español)3.
x
Descontar el flujo de caja libre para el proyecto a una tasa igual al costo
promedio ponderado del capital invertido en el proyecto, lo cual dará como
resultado el valor económico absoluto agregado a la empresa en el momento
cero, como consecuencia de realizar el proyecto.
En general, si la rentabilidad del proyecto en sí es mayor que el costo promedio
ponderado de capital, el proyecto se justificaría, ya que las inversiones por sí solas
rentan más que el costo promedio en que se ha incurrido para financiarlas, por lo cual
agregarían valor a la empresa. Otra forma de expresar lo anterior: si al descontar los
flujos de caja libre para el proyecto a una tasa de interés igual al costo promedio
ponderado de capital se obtiene un valor igual a A (VPN (i=CPPC) = A), este valor
corresponde al valor adicional que el proyecto genera una vez que se han descontado
todos los costos operativos incluidos en el flujo de caja libre para el proyecto y todos
los costos financieros incluidos en el cálculo del costo promedio ponderado de capital,
utilizado como tasa de descuento. Esto es, A sería el valor económico que el proyecto
le agregaría a la empresa en el caso que el mismo fuera ejecutado. Por lo tanto, si:
VPN(i=CPPC) = A > 0, el proyecto agregaría una magnitud de valor igual a A y por lo
tanto se justificaría desde el punto de vista económico.
Por el contrario, si VPN(i=CPPC) = C < 0, el proyecto no se justificaría ya que está
destruyendo valor.
3
EVA, marca registrada de Stern Stewart & Co.
ALFAOMEGA
t
FAC U LTA D D E A D M I N I S T R AC I Ó N / U N I A N D E S
[319]
Capítulo 11
CÁLCULO DEL COSTO PROMEDIO PONDERADO
DE CAPITAL PARA UNA EMPRESA
El costo de capital se calcula como un costo promedio ponderado de capital de todas
las fuentes de financiamiento de mediano y largo plazo (capital financiero). En
términos simbólicos:
CPPC
J K
¦ WJ * C J
J 1
con W1+ W2+ W3+...+ Wj +...+ WK = 1
donde CJ corresponde al costo financiero (implícito o explícito) de la j-ésima fuente de
financiamiento, K corresponde al número de fuentes de financiamiento que
conforman la estructura de capital y WJ corresponde al factor de ponderación de la jésima fuente de financiamiento.
En la determinación del costo promedio ponderado de capital para una empresa hay
que responder tres preguntas que, aunque diferentes, están relacionadas, a saber:
¿Cuáles son las fuentes de financiamiento utilizadas en la determinación del costo
promedio ponderado de capital? En otras palabras, ¿cuál es el valor de K?
¿Cuál es el costo de la j-ésima fuente de financiamiento?
¿Cómo se determinan los factores de ponderación?
A continuación se establecen las respuestas a cada una de las preguntas que se acaban de formular.
a) Fuentes de financiamiento involucradas en el cálculo del costo promedio ponderado de capital
Solamente se deben incluir las fuentes de financiamiento de mediano y largo plazo
para la determinación del costo promedio ponderado de capital, bajo el supuesto de
que en un esquema de racionalidad económica las inversiones permanentes (activos
fijos y la porción permanente del capital de trabajo) se financian con capital financiero
(fuentes de financiamiento de mediano y largo plazo), a las cuales se hizo referencia
previamente. Estas son principalmente: obligaciones financieras con establecimientos
de crédito a mediano y largo plazo, contratos de leasing, bonos ordinarios, bonos
convertibles en acciones, utilidades retenidas, acciones preferentes y acciones ordinarias.
Se deja al lector la discusión de cuándo se debería incluir el financiamiento de proveedores y cómo tratar la depreciación, ya que ésta hace parte de la generación inter-
[320]
JAVIER SERR ANO
Cálculo del costo promedio ponderado de capital para una empresa
na de fondos con la cual se financia parte de la actividad empresarial, incluyendo la
inversión.
b) Cálculo del costo financiero de la j-ésima fuente de financiamiento
A estas alturas del libro ya se sabe con profundidad cómo se calcula el costo de cada
una de las diferentes fuentes de financiamiento, por lo cual solamente se harán unos
breves comentarios sobre el cálculo del costo de las más importantes:
b.1) Esquema general para el cálculo del costo de una fuente de financiamiento
Se establece el flujo de fondos correspondiente a la fuente de financiamiento
consistente en los ingresos financieros recibidos (usualmente al comienzo) y en las
obligaciones adquiridas que se materializan en unos pagos periódicos (usualmente
después de haber recibido los ingresos por financiamiento); adicionalmente hay que
establecer el impacto tributario de los pagos realizados (usualmente un crédito
tributario) y otros costos relacionados con la fuente de financiamiento (p. ej., comisiones, gastos de constitución de hipotecas, etc.) en el momento en que se incurren.
Al flujo resultante se le calcula la tasa interna de retorno para determinar el costo
financiero de la fuente de financiamiento.
b.2) Costo de un crédito bancario
Este tema se trató varias veces en los primeros capítulos del libro, y es consistente con
el esquema general planteado en b.1: unos ingresos financieros al comienzo
(desembolsos), unos egresos financieros posteriormente (amortizaciones a capital y
pago de intereses), un crédito tributario (ya que los intereses y otros costos son deducibles de impuestos), otros gastos por la tramitación del crédito (comisiones, constitución de hipotecas), todo lo cual resulta en un flujo de caja en un horizonte de
tiempo, utilizando como período de análisis uno que usualmente coincide con la
periodicidad para el pago de intereses. Al flujo resultante se le calcula la tasa interna
de retorno, la cual se anualiza para determinar el costo financiero de un crédito (p.
ej., un crédito bancario).
Aunque el esquema anterior es bastante claro, no siempre el cálculo del costo de un
crédito bancario está exento de error; esto ocurre cuando se contratan créditos
indexados sobre algún benchmark o tasa de referencia que cambia con el tiempo, tal
y como es usual en muchos países, incluyendo a Colombia4. Para el cálculo del costo
financiero del crédito bancario hay que suponer o proyectar un comportamiento de la
tasa de referencia, lo cual genera una dispersión de posibles valores como
consecuencia de los diferentes valores que puede tomar la tasa de referencia, lo cual
4
Tasa de captación de certificados de depósito a término, conocida como tasa DTF en Colombia, tasa
Prime en Estados Unidos o tasa Libor.
ALFAOMEGA
t
FAC U LTA D D E A D M I N I S T R AC I Ó N / U N I A N D E S
[321]
Capítulo 11
le agrega incertidumbre (riesgo) al cálculo del costo de la fuente de financiamiento.
Aunque lo usual es suponer valores esperados de la tasa de referencia, obteniendo un
valor esperado del costo de la fuente de financiamiento, no se puede ignorar que el
comportamiento de la tasa de referencia es variable, y por lo tanto el cálculo del costo
de la fuente de financiamiento está sujeto a un error, mayor o menor, dependiendo
de la volatilidad de la tasa de interés que se está utilizando como tasa de referencia.
b.3) Costo de una emisión de acciones
El esquema general al que se hace referencia en b.1 también sería aplicable: unos
ingresos al comienzo, correspondientes al valor neto recibido por la colocación de
cada acción; unos pagos periódicos de dividendos, inciertos ya que dependen del
desempeño de la empresa y de una decisión de la asamblea de accionistas; los
dividendos no generan crédito tributario. Al flujo resultante se le calcula la tasa
interna de retorno, la cual estará sujeta a un error relacionado con la incertidumbre de
los valores proyectados como dividendos.
El valor neto recibido por acción (Po) corresponde al valor de suscripción por acción
(Ps) menos los costos incurridos por acción para colocar la emisión en el mercado
(Cs). En capítulos previos de este libro se demostró que en el caso en que los
dividendos sigan un modelo de crecimiento constante, tal que:
DJ = D1 * (1 + g)J-1, J = 2, 3 , 4, …, m, …, infinito
el costo de un financiamiento a través de acciones, Ka, sería:
Ka = (D1/Po) + g
donde g corresponde a la tasa de crecimiento de los dividendos, que para este
modelo se considera constante; Po corresponde al ingreso neto por acción, y D1 al
dividendo decretado por acción para el primer período. Existen otras versiones más
complejas que también se pueden calcular a través de expresiones algebraicas
cerradas, que se dejan al lector como ejercicio (p. ej., el dividendo se decreta anualmente y se paga con una periodicidad mensual, todos los pagos iguales dentro del
mismo año; el dividendo para el segundo año se incrementa por la tasa g constante,
manteniendo la periodicidad mensual para el pago, y así sucesivamente).
La fórmula anterior solamente es válida si el supuesto de crecimiento constante de los
dividendos también es válido. Si ese no es el caso, habría que proyectar utilidades,
establecer una política de dividendos para proyectar los dividendos a pagar durante
un período de tiempo dado y calcular la tasa interna de retorno del flujo resultante.
Su utilización como aproximación es buena si se tiene en cuenta que el costo que se
está imputando al financiamiento por acciones tiene dos componentes:
[322]
JAVIER SERR ANO
Cálculo del costo promedio ponderado de capital para una empresa
x
Un yield o rendimiento que recibe el accionista por dividendos y que la empresa
tiene que pagar a perpetuidad, igual al dividendo decretado para el año dividido
por el precio de la acción en el mercado (D1/P0), incluidos los gastos de emisión
de acciones.
x
El crecimiento futuro esperado de las utilidades, igual a g, que espera recibir el
accionista, el cual muchas veces constituye la motivación principal para invertir.
b.4) Costo de financiamiento mediante utilidades retenidas
El costo explícito de las utilidades retenidas corresponde al costo del ajuste por
inflación, cuando existe contablemente; sin embargo, el costo financiero corresponde
al costo de oportunidad de los accionistas, bajo el supuesto de que el accionista
dejará las utilidades en la empresa solamente si la reinversión de las mismas le genera
un rendimiento mayor o igual al que puede obtener por fuera del negocio. Lo anterior, aunque válido desde el punto de vista teórico, no resulta operativo. Por lo tanto se suele tomar como costo de las utilidades retenidas el mismo costo de una
emisión de acciones, sin incluir los gastos incurridos en la emisión de acciones, lo cual
resulta en un costo financiero menor.
En el modelo de crecimiento constante de los dividendos, el costo resultante sería:
Kur = (D1/Ps) + g
donde Ps es el precio de suscripción por acción.
c) Determinación de los factores de ponderación
La determinación de los factores de ponderación corresponde a una de las discusiones
más interesantes desde el punto de vista conceptual: ¿se deben utilizar los factores de
ponderación resultantes de la estructura de capital actual de la empresa, o se deben
utilizar factores de ponderación estimados con base en la estructura marginal de
capital?
La respuesta a la pregunta anterior depende de la utilización que se le va a dar al
valor del costo de capital que se está estimando; si el mismo se va a utilizar para
tomar decisiones de inversión, no se puede utilizar la estructura actual de capital (p.
ej., factores de ponderación extraídos del balance de la empresa), sino factores de
ponderación extraídos de la estructura marginal de capital; en otras palabras, habría
que establecer cómo se va a financiar la empresa en el futuro y, con base en esa
estructura marginal de capital, estimar los factores de ponderación.
ALFAOMEGA
t
FAC U LTA D D E A D M I N I S T R AC I Ó N / U N I A N D E S
[323]
Capítulo 11
Para que lo anterior tenga sentido, se debe hacer dentro del contexto de la planeación estratégica, a través de los siguientes pasos:
[324]
x
Establecer la situación actual o punto de partida (p. ej., A) a través de un análisis
de fortalezas y debilidades.
x
Establecer lo que permite y/o restringe el medio ambiente a través de un análisis
de oportunidades y amenazas.
x
Con base en lo anterior, establecer los objetivos estratégicos de la empresa, esto
es, el punto o nivel al que se quiere llegar (p. ej., B), en un horizonte dado de
tiempo (p. ej., 3 o 5 años).
x
Identificar las diferentes alternativas estratégicas para ir de A a B.
x
Evaluar alternativas y seleccionar el plan estratégico más eficiente para lograr los
objetivos estratégicos, en el horizonte de tiempo considerado (p. ej., 3 o 5 años).
x
En el plan estratégico a que se hace referencia en el punto anterior, identificar el
plan o presupuesto de inversiones necesario para lograr los objetivos estratégicos
contemplados en el plan estratégico de la empresa (p. ej., el plan quinquenal de
inversiones).
x
Para el plan de inversiones hay que establecer el plan financiero de la empresa,
para el mismo horizonte de tiempo dado, consistente en cuánto se puede generar
internamente y cuánto se puede obtener externamente en los mercados financieros (créditos, emisión de bonos, emisión de acciones), durante el horizonte de
tiempo del plan estratégico.
x
Finalmente, con base en el plan financiero de la empresa resultante del
procedimiento anterior, se establecen los factores de ponderación para determinar el costo de capital con el cual se irían a evaluar las decisiones de inversión
de la empresa en los próximos años.
x
No hay que olvidar que el plan financiero tiene que “cuadrar” con el plan de
inversiones, lo cual se logra a través de un proceso iterativo que lleva a modificar
los objetivos estratégicos establecidos inicialmente. Si el plan financiero no es
suficiente para cubrir las necesidades de inversión de la empresa, habría que
reducir los niveles de aspiración, modificando los objetivos estratégicos, replanteando el plan de inversiones y así sucesivamente, hasta que se logre el “cuadre”
entre el plan de inversiones modificado y el plan financiero.
JAVIER SERR ANO
Ejemplos sobre cálculo del costo de capital
d) Consecuencias de los errores incurridos en la estimación del costo de capital
Tal y como se desprende de las respuestas a las preguntas formuladas en los literales
a, b y c, la estimación del costo de capital corresponde a un proceso que no está libre
de error. A mayor incertidumbre, mayor error con consecuencias muy diversas sobre
la empresa, que se pueden resumir en dos categorías dependiendo de si se presenta
una sobreestimación o una subestimación del costo de capital para la empresa.
x
En el caso de una sobreestimación, la consecuencia principal sería la de rechazar
proyectos que le podrían agregar valor a la empresa, lo cual no será grave si
existe un número suficiente de proyectos de inversión ya identificados que
agreguen valor.
x
En el caso de una subestimación, la situación puede ser más grave, ya que se
podrían estar aceptando proyectos que en vez de crear valor estuvieran destruyendo valor. No es de extrañar, por lo tanto, que algunas empresas agreguen
una prima adicional al estimativo inicial del costo de capital, como una previsión
para no incurrir en la aceptación de proyectos que no agreguen valor a la
empresa.
El criterio de aceptación o de rechazo de proyectos con base en el costo promedio
ponderado de capital, que se ha visto hasta ahora en este capítulo, supone que todos
los proyectos tienen el mismo riesgo, lo cual no es necesariamente cierto. Por ello,
hay que ajustar el costo promedio ponderado de capital así estimado, con una prima
por riesgo, para reflejar el mayor o menor riesgo operativo o comercial de un
proyecto frente al riesgo operativo promedio de la empresa. Usualmente ese ajuste se
hace a través de la utilización del modelo denominado CAPM, que se presentará
posteriormente.
EJEMPLOS SOBRE CÁLCULO DEL COSTO DE CAPITAL
Ejemplo 11.1
Una empresa paga dividendos de acuerdo con el modelo de valoración de acciones
de Gordon (modelo de crecimiento constante). El rendimiento por dividendos
(dividend yield) es del 7% y el crecimiento en reales esperado de la utilidad y del
dividendo es del 4%, con una inflación esperada del 4,5%. ¿Cuál es el costo de la
aportación patrimonial (equity)?
Rendimiento por dividendo:
Crecimiento en reales:
Inflación esperada:
Crecimiento en nominales:
ALFAOMEGA
t
7,00%,
4,00%
4,50%
8,68%
yield
FAC U LTA D D E A D M I N I S T R AC I Ó N / U N I A N D E S
[325]
Capítulo 11
Costo de la aportación patrimonial: 15,68% según la aplicación del modelo de
Gordon.
La empresa del problema anterior utiliza deuda y patrimonio con las siguientes participaciones en la estructura de capital: 35% deuda y 65% patrimonio; consigue deuda
en el mercado con un costo efectivo antes de impuestos del 14%. La tasa de
impuestos corporativa es del 33%. ¿Cuál es el costo promedio ponderado de capital
de la empresa (WACC, por sus siglas en inglés)?
Costo de la deuda, AI:
Tasa de impuestos:
Costo de la deuda, DI:
14,00%
33,00%
9,38%
Estructura de capital
Deuda:
35,00%
Patrimonio:
65,00%
WACC = 0,35 * 9,38% + 0,65 * 15,68% = 13,48%
La empresa con los parámetros de los dos problemas anteriores está considerando un
proyecto cuyo flujo de caja libre para la firma se muestra en el siguiente cuadro, para
su vida útil de 7 años.
Año
FCLFJ
0
-350.000.000
1
60.000.000
2
75.000.000
3
87.000.000
4
99.000.000
5
112.000.000
6
128.000.000
7
140.000.000
El valor económico (EVA) que el proyecto le agrega a la empresa es igual a
$57.636.665, que es el valor presente neto del flujo de caja libre para la firma
descontado al costo promedio ponderado de capital.
Ejemplo 11.2
Una empresa está estudiando la factibilidad de su plan de inversiones a 3 años, el cual
tiene una tasa interna de retorno promedio del 28% después de impuestos. La
estructura actual de capital muestra las siguientes participaciones: deuda a largo
plazo: 35%, bonos: 20%, acciones: 25% y utilidades retenidas: 20%. El proyecto
[326]
JAVIER SERR ANO
Ejemplos sobre cálculo del costo de capital
requiere una inversión total de $10.000 millones; la empresa espera conseguir recursos durante los próximos años para financiar el plan de inversiones según el siguiente
presupuesto:
x
Generación interna de fondos a través de utilidades retenidas por un valor de
$2.500 millones.
x
Emisión de acciones con miras a conseguir unos recursos netos del orden de
$2.500 millones. En el momento actual el precio de mercado de la acción, que
sería el mismo precio de suscripción, es de $5.000; la empresa pagará un
dividendo de $600 por acción durante el año en curso; los pagos se hacen
trimestrales, en partes iguales (considere el pago al final de cada trimestre), y así
sucesivamente para los siguientes años. Se espera que el dividendo declarado
para los próximos años crezca en un 3% en términos reales; suponga una tasa de
inflación del 12% anual. Los gastos de emisión de acciones se estiman en un 3%
del valor de suscripción.
x
Un préstamo bancario a 3 años, por valor de $5.000 millones, con una tasa del
26% nominal anual pagadero trimestre vencido, el cual se amortiza por partes
iguales al final de cada uno de los tres años; los costos de tramitación del crédito
se estiman en 1% del valor del mismo.
¿Qué puede decir sobre la conveniencia o no del plan de inversiones, teniendo en
cuenta el plan financiero? ¿Habrá adición de valor como consecuencia de la
realización del plan de inversiones?
Teniendo en cuenta lo expuesto en el numeral anterior, la estimación del costo
promedio ponderado de capital se va a hacer con base en la estructura marginal de
capital, que corresponde precisamente a la programación establecida para conseguir
recursos en el horizonte de planeamiento de 3 años. Los factores de ponderación se
van a estimar teniendo en cuenta el peso relativo de cada fuente de financiamiento
en el valor total de la estructura marginal de capital.
A continuación se presentan las bases del cálculo del costo de cada una de las tres
fuentes de financiamiento disponibles, que conforman la estructura marginal de
capital:
a) Costo de la emisión de acciones
El flujo de dividendos del primer año corresponde a 4 pagos iguales al final de cada
trimestre de tamaño 150; para el segundo año, se tienen cuatro pagos iguales al final
de cada trimestre, por un valor de 150*(1+g); para el tercer año, se tienen cuatro
pagos iguales al final de cada trimestre, por un valor de 150*(1+g)2, y así suce-
ALFAOMEGA
t
FAC U LTA D D E A D M I N I S T R AC I Ó N / U N I A N D E S
[327]
Capítulo 11
sivamente para los siguientes años. Para calcular el costo de esta fuente de
financiamiento se acumulan los 4 flujos trimestrales iguales de cada año, al final del
año, y se aplica el modelo conocido de crecimiento constante a los valores acumulados al final de cada año.
Para el primer año, habría 4 pagos de dividendos, iguales a A.
Los cuatro pagos acumulan al final del año A[((1+itv)4-1)/itv].
Para el segundo año, habría 4 pagos de dividendos, iguales a A*(1+g).
Los cuatro pagos acumulan al final del año A*(1+g)[((1+itv)4-1)/itv].
Para el tercer año, habría 4 pagos de dividendos, iguales a A*(1+g)2.
Los cuatro pagos acumulan al final del año A*(1+g)2[((1+itv)4-1)/itv].
y así sucesivamente.
Aplicando el modelo de crecimiento constante de los dividendos, para los valores
acumulados al final de cada año, se tendría:
P
((1 itv )4 1)
itv
A*
(iea g )
A*
iea
(iea g ) * ((1 iea )
1
4
1)
donde P = (5.000 -0,03*5.000) = 4.850
A = 150
(1+iea) = (1+itv)4
g = (1+0,03)*(1+0,12)-1 = 0,1536
Resolviendo la ecuación anterior para iea, se obtiene iea = 29,01%, que es el costo de
la emisión de acciones.
b) Costo del crédito
En el Cuadro11.1 se muestra el flujo de caja para el cálculo del costo del crédito
después de impuestos, teniendo en cuenta los créditos tributarios que generan los
pagos de intereses y los costos involucrados en la tramitación del crédito.
[328]
JAVIER SERR ANO
Ejemplos sobre cálculo del costo de capital
Cuadro 11.1
Crédito trib. Crédito trib.
Flujo neto
intereses
trámites
4.950,00
-325,00
-325,00
-325,00
455,00
17,50
-1.519,17
-216,67
-216,67
-216,67
303,33
-1.580,00
-108,33
-108,33
-108,33
151,67
-1.623,33
Per. Desembolso Trámites Amortización Intereses
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
5.000
50
325,00
325,00
325,00
325,00
216,67
216,67
216,67
216,67
108,33
108,33
108,33
108,33
1.666,67
1.666,67
1.666,67
Tasa interna de retorno: 4,48% trimestral
Costo efectivo anual: 19,17%
c) Costo de las utilidades retenidas
Cálculos similares a los del costo de la emisión de acciones, sin tener en cuenta los
costos de emisión; en otras palabras, la ecuación se resuelve para P = 5.000.
Esto es, la solución a la siguiente ecuación:
5.000
150 *
iea
(iea 0,1536 ) * ((1 iea )
1
4
1)
Resolviendo la ecuación anterior para iea, se obtiene iea = 28,58%
d) Cálculo del costo promedio ponderado de capital
En el Cuadro 11.2 se muestra el resumen para el cálculo del costo promedio ponderado de capital; como se mencionó, los factores de ponderación se estiman con
base en la estructura marginal de capital, a partir de los valores brutos que habría que
conseguir para completar los 10.000 millones netos, teniendo en cuenta los costos
involucrados:
ALFAOMEGA
t
FAC U LTA D D E A D M I N I S T R AC I Ó N / U N I A N D E S
[329]
Capítulo 11
Cuadro 11.2
Fuente de
financiación
Deuda largo plazo
Bonos
Acciones
Utilidades retenidas
Total
Estado
actual
35%
20%
25%
20%
100%
Estructura
marginal
5.050,51
0,00
2.577,32
2.500,00
10.127,82
Costo
fuente
19,17%
29,01%
28,58%
Factor
CPPC
ponderac.
49,87%
0,00%
25,45%
24,68%
24,00%
Costo promedio ponderado: 24%.
e) Análisis del plan de inversiones
La rentabilidad del plan de inversiones es del 28% después de impuestos, superior al
costo promedio ponderado de capital calculado (24%). Por lo tanto, el plan de inversiones es conveniente, ya que agrega valor a la empresa.
La magnitud de valor agregado sería igual 10.000 * (0.28 - 0.24) = $400 millones
por año.
VALOR DEL APALANCAMIENTO FINANCIERO
La descomposición de la rentabilidad sobre el patrimonio en sus tres factores explicativos permite establecer la importancia del apalancamiento financiero:
RSP = (Utilidad neta/Patrimonio)
RSP = (Utilidad neta/Ventas) * (Ventas/Activos) * (Activos/Patrimonio)
RSP = (Utilidad neta/Ventas) * (Ventas/Activos) * (1+(Pasivo/Patrimonio))
RSP = (Margen neto) * (Rotación de activos) * (1+ Apalancamiento financiero)
La expresión anterior muestra que a mayor apalancamiento financiero, esto es, a
mayor utilización de la deuda, mayor la rentabilidad sobre el patrimonio. Como se
presenta a continuación, existen restricciones, ya que las ventajas del apalancamiento
se pierden en la medida en que se aumente el endeudamiento financiero y se
alcancen niveles de riesgos que lleven a los proveedores de recursos a cobrar primas
adicionales para compensar la mayor exposición al riesgo financiero. El uso excesivo
de la deuda financiera en la estructura de capital genera un stress financiero que
puede llevar a anular las ventajas del apalancamiento financiero provenientes del
beneficio tributario derivado de la deducibilidad de los gastos financieros5.
5
El beneficio tributario proveniente de esta deducibilidad de los gastos financieros se conoce como
escudo fiscal o “tax Shield”, en inglés.
[330]
JAVIER SERR ANO
Valor del apalancamiento financiero
En otras palabras, existen limitaciones al uso de la deuda, que llevan a eliminar las
ventajas del apalancamiento financiero, tal y como se muestra en la Figura 11.4,
donde se presentan las curvas correspondientes al costo de la aportación patrimonial,
al costo de la deuda financiera y al costo promedio ponderado de capital, para una
estructura de capital que utilice aportación patrimonial y deuda financiera.
Figura 11.4
Apalancamiento financiero
COSTO
Aportación
Patrimonial
!
"
Deuda
Costo Promedio
Ponderado de Capital
#
$"
"
Deuda/(Deuda+Patrimonio)
Algunas observaciones con respecto a la forma de las curvas en la gráfica anterior y
sus posiciones relativas:
a) El costo de la aportación patrimonial corresponde al rendimiento para el accionista; el mismo comienza a aumentar a partir de cierto nivel de endeudamiento
(apalancamiento financiero), como consecuencia del mayor riesgo a que está
expuesto el inversionista; en otras palabras el inversionista espera recibir una
prima que le compense el mayor riesgo financiero. Por lo tanto existe una prima
por riesgo, que aumenta con el nivel del apalancamiento financiero.
b) La curva del costo de la deuda tiene un comportamiento similar a la curva del
costo de la aportación patrimonial ya que los establecimientos de crédito o los
tenedores de bonos van a exigir un mayor rendimiento a medida que aumenta el
riesgo financiero, o la entidad va a tener que recurrir a fuentes de financiamiento
más costosas, por tener cerradas las más baratas.
c) La curva del costo de la deuda, en general, está por debajo de la curva del costo
de la aportación patrimonial como consecuencia del tratamiento tributario de los
gastos financieros, ya que éstos son deducibles de impuestos, mientras que el
pago de dividendos no lo es. En otras palabras, el Estado, a través del crédito
tributario, correspondiente a los gastos financieros, contribuye a cubrir el costo de
la utilización de la deuda. La conocida relación existente entre el valor de una
empresa apalancada y el valor de una empresa no apalancada derivada por
ALFAOMEGA
t
FAC U LTA D D E A D M I N I S T R AC I Ó N / U N I A N D E S
[331]
Capítulo 11
Modigliani-Miller, VA = VNA + t B 6, solamente es válida bajo ciertos supuestos
entre los cuales se cuenta la inexistencia de riesgo financiero para los tenedores
de bonos. En general se alcanza un valor máximo de la firma7 cuando el costo
promedio ponderado de capital es mínimo; cuando el costo promedio ponderado
de capital comienza a aumentar nuevamente como consecuencia del stress
financiero, empieza a disminuir el valor de mercado de la firma.
d) Al comienzo, la combinación entre deuda y aportación patrimonial disminuye el
costo promedio ponderado de capital a un nivel donde ese costo es mínimo; a
partir de ese momento, como consecuencia del mayor riesgo que perciben los
diferentes proveedores de recursos, empieza a aumentar el costo promedio ponderado de capital y por lo tanto se comienzan a perder las ventajas del apalancamiento financiero.
e) La combinación entre deuda y aportación patrimonial, para la cual el costo
promedio ponderado de capital es mínimo, corresponde a la estructura óptima de
capital de la empresa, que se debería buscar como un objetivo de la utilización de
la deuda financiera.
VALOR ECONÓMICO AGREGADO (VEA)
Previamente se enfatizó que al descontar el flujo de caja libre para el proyecto a una
tasa de interés igual al costo promedio ponderado de capital [VPN(i = CPPC) = A] la
cifra resultante A sería la magnitud de valor que la ejecución del proyecto le agregaría
a la empresa. El concepto anterior ha servido como guía para la toma de decisiones
de inversión.
En tiempos más recientes, G. Bennett Stewart III retomó este concepto y estableció
otra forma de presentación, para construir un indicador que permite una mejor
comprensión y utilización desde el punto de vista administrativo. Así surge el
concepto moderno de valor económico agregado (VEA en español, o EVA en inglés,
correspondiendo a las siglas de economic added value)8.
Para determinar el valor económico que la gestión gerencial le agrega a una empresa
hay que establecer, por un lado, la estructura operativa del negocio y, por el otro, su
estructura de capital; en otras palabras, determinar las inversiones permanentes en el
negocio (activos fijos e inversión permanente en capital de trabajo) y las fuentes de
6
En esta expresión, t es la tasa de impuestos y B es el valor de mercado de la deuda, VA es el valor de
la firma apalancada y VNA es el valor de la firma no apalancada. Para un tratamiento riguroso del tema
ver Copeland Thomas E., Fred Weston, Kuldeep Shrastri, Financial Theory and Corporate Policy, 4ª.
ed., Pearson, Adison Wesley, Capítulo 15.
7
Firma igual a activos operativos.
La obra clásica es The Quest for Value, de G. Bennett Stewart III (Harper Business, 1991). EVA es
una marca registrada de Stern Stewart & Co.
8
[332]
JAVIER SERR ANO
Valor económico agregado ( VEA)
financiamiento que se han utilizado para financiar esas inversiones permanentes
(capital financiero). Al comparar los flujos que genera la primera (UAII) y los costos
que ocasiona la segunda se obtiene el valor económico agregado por la gestión
gerencial a una empresa durante un período dado de tiempo.
La estructura operativa del negocio en un período dado, interactuando con el mercado, genera una utilidad antes de intereses e impuestos (UAII)J, que al no tener en
cuenta el apalancamiento financiero resulta en una utilidad operativa después de
impuestos (UAII)J * (1-timp), donde timp corresponde a la tasa de tributación de la
empresa, sin tener en cuenta el efecto del apalancamiento financiero sobre los
impuestos. Por otro lado, el capital invertido en la empresa para financiar su estructura operativa (CAPITAL)J, durante el mismo período de tiempo, tiene un costo en
términos absolutos, igual al producto de ese capital invertido por el costo promedio
ponderado de capital (CAPITAL)J * CPPCJ; la comparación entre los dos produce el
valor económico agregado a la empresa durante el mismo período de tiempo. En
términos puramente notacionales:
(VEA)J = (UAII)J * (1-timp) - (CAPITAL)J * CPPCJ
donde:
(VEA)J: valor económico agregado durante el j-ésimo período de tiempo.
(UAII)J * (1-timp): utilidad operativa después de impuestos durante el j-ésimo período,
sin tener en cuenta el efecto del apalancamiento financiero sobre los impuestos, para
evitar una doble contabilización del mismo, ya que éste se considera en el cálculo del
costo promedio ponderado de capital, al considerar el costo de la deuda después de
impuestos.
(CAPITAL)J: corresponde al capital invertido en la empresa para financiar la estructura
operativa, el cual tiene un costo porcentual igual al costo promedio ponderado de
capital durante el mismo período de tiempo, CPPCJ. Aunque en la versión original de
Stewart se considera el capital invertido al comienzo del j-ésimo período, en otras
versiones se podría utilizar el capital promedio durante todo el período.
La formulación anterior corresponde a la versión original de Bennett Stewart;
posteriormente han aparecido otras versiones, con una mayor inclinación hacia la
utilización de flujo de caja operativo después de impuestos sin el apalancamiento, en
lugar de la utilidad operativa después de impuestos. Aunque los resultados numéricos
son diferentes, la utilización del concepto básico sigue siendo la misma.
Al volver a la definición del retorno sobre la inversión, como:
ROIJ = [(UAII)J * (1-timp)]/(CAPITAL)J
ALFAOMEGA
t
FAC U LTA D D E A D M I N I S T R AC I Ó N / U N I A N D E S
[333]
Capítulo 11
se puede expresar el valor económico agregado (VEA)J, así:
VEAJ = (ROIJ - CPPCJ) * (CAPITAL)J
En otras palabras, solo generan valor aquellas decisiones cuyo retorno sobre la
inversión después de impuestos sea mayor que el costo promedio ponderado de
capital necesario para su financiamiento, concepto que es muy viejo en la teoría
financiera, el cual ha sido la base para la toma de decisiones de inversión durante
mucho tiempo.
El valor del aporte de Bennett Stewart fue el de retomar un concepto antiguo y
presentarlo en una forma más accesible para la gerencia en general, permitiendo la
identificación de aquellos factores que generan valor al interior de una empresa
(value drivers), entre los cuales se pueden mencionar:
x
x
x
x
x
Eficiencia operativa y/o administrativa, reflejada en la (UAII)J.
Una menor utilización de activos para soportar la misma utilidad operacional; esto
es, una mayor rotación de activos fijos y de capital de trabajo.
La utilización del apalancamiento financiero, para disminuir el costo promedio
ponderado de capital.
La definición de una estructura óptima de capital.
La planeación tributaria para disminuir el monto de los impuestos a pagar.
Otro aspecto especialmente importante del concepto del valor económico agregado
es que puede ser aplicado a una empresa como un todo, para determinar si la gestión
global está agregando valor o no, o a una unidad de negocios, para determinar la
contribución de la misma a la creación de valor de una empresa, o a un proyecto,
para determinar si el mismo se justifica desde del punto de vista económico, al agregar valor a la empresa. La tendencia moderna es a analizar cada unidad de negocios
de una empresa desde el punto de vista de su contribución a la creación o destrucción
de valor, lo cual permite establecer planes de acción concretos para determinar
cuándo se debe mantener una unidad de negocios y/o tomar las acciones pertinentes
para su eliminación y/o reestructuración.
Al tener en cuenta estas prácticas, el concepto de valor económico agregado se
comienza a utilizar ampliamente para establecer planes de compensación tanto para
los ejecutivos como para el resto del personal de la empresa, ya que se puede ligar el
desempeño al valor económico agregado de una unidad de negocios y distribuir parte
de ese valor agregado por la gestión, entre todos los trabajadores de la unidad de
negocios.
Asimismo, se puede relacionar el concepto de valor económico agregado con el valor
de mercado de un negocio, al descontar los valores económicos agregados durante
un período dado, al costo promedio ponderado de capital. El resultado de esta
operación se denomina valor de mercado agregado (VMA); en otras palabras,
[334]
JAVIER SERR ANO
Valor económico agregado: dos aproximaciones a través de un ejemplo
VMA0
J N
(VEA)J
(
1
CPPC)J
1
¦
J
En la Figura 11.5 se resumen los pasos para el cálculo del valor económico agregado
de una empresa: en la parte superior se calcula la utilidad antes de intereses e
impuestos como la resultante de la interacción entre la estructura operativa y la
dinámica del mercado; en la parte inferior se calcula el costo promedio ponderado de
capital como la resultante de la estructura de capital utilizada y se estima un costo
imputado por utilizar ese capital, igual a la inversión permanente por el costo
promedio ponderado estimado; finalmente, la comparación entre las dos resulta en el
valor económico agregado (VEA) para el período.9
Figura 11.5
Determinación del valor económico agregado
ESTRUCTURA
OPERATIVA
Inversiones
Permanentes
MERCADO
UAIIJ*(CPPC)J
ESTRUCTURA
DE
CAPITAL
(CPPC)J
INVERSIÓN
PERMANENTE
(Capital)J
(capital)J*(CPPC)
(VEA)J=UAIIJ*(1-t)- (capital)J*(CPPC)J
VALOR ECONÓMICO AGREGADO: DOS APROXIMACIONES
A TRAVÉS DE UN EJEMPLO
Suponga un proyecto de inversión con una vida de 6 años, que requiere una
inversión inicial en activos fijos por valor de $2.500 millones (fecha cero) e inversiones
adicionales, también en activos fijos, de $200, $250, $300 y $350 millones durante
los cuatro primeros años. Así mismo se requiere una inversión inicial en capital de
trabajo de $500 millones, e inversiones adicionales, también en capital de trabajo,
respectivamente de $77, $77, $87, $98, $112 y $126 millones durante los 6 años de
la vida del proyecto. Se va a depreciar el 90% de la inversión en activos fijos, en
9
G. Bennett Stewart, III , 5IF2VFTUGPSWBMVF, Stern Stewart & co, Harper Business, 1990.
ALFAOMEGA
t
FAC U LTA D D E A D M I N I S T R AC I Ó N / U N I A N D E S
[335]
Capítulo 11
forma tal que la que se realiza en la fecha cero se deprecia a 6 años, la que se realiza
en el primer año se deprecia a 5 años, la que se realiza en el segundo año, a 4 años, y
así sucesivamente. Al final de los 6 años, los activos se venden por $600 millones. La
utilidad antes de intereses, impuestos y depreciación para cada uno de los 6 años es
la que se muestra en el Cuadro 11.3:
Cuadro 11.3
Año
Utilidad antes de intereses, impuestos y
depreciación
1
2
3
4
5
6
1.375 1.566 1.801 2.098 2.494 2.770
La inversión inicial en activos fijos y capital de trabajo por valor de $3.000 millones se va a financiar en un 55% con un crédito a 6 años, amortizable totalmente
al final de los 6 años, con una tasa de interés del 32% efectivo anual; para
simplificar, se supone que los intereses se pagan al final de cada año. El 45%
restante se va a financiar con emisión de acciones y/o utilidades retenidas, sin
tener en cuenta los costos de emisión de acciones; la tasa libre de riesgo en el
mercado es del 16% y la rentabilidad promedio del mercado es del 22%; el Beta
apalancado para esta estructura de capital es de 1.5; la tasa de tributación es del
35%.
a) Calcular el valor económico agregado utilizando la metodología tradicional de
evaluación de proyectos.
b) Calcular el valor económico agregado utilizando la metodología de VEA.
En este ejemplo se ilustra el cálculo del valor económico agregado utilizando la
metodología tradicional de evaluación de proyectos y la más reciente de VEA.
Para el primer caso se calcula el flujo de caja libre para el proyecto, o flujo de caja
para el cálculo de la rentabilidad del proyecto en sí, independientemente de sus
fuentes de financiamiento, tal y como se presentó en el Capítulo 7 de este libro.
En el segundo caso se calcula la utilidad antes de intereses e impuestos, los
impuestos a pagar sin tener en cuenta los gastos financieros, esto es, sin tener en
cuenta el apalancamiento financiero, que se considera en el cálculo del costo
promedio ponderado de capital. A la utilidad operativa después de impuestos, sin
tener en cuenta el efecto del apalancamiento, se le resta el costo correspondiente
al financiamiento de los recursos invertidos en el proyecto, que no es otro que la
inversión en activos fijos, teniendo en cuenta la depreciación y la inversión en
capital de trabajo. En otras palabras,
EVAt = UAIIt * (1-t) - I(t-1) * (CPPC)t
donde I(t-1) es la inversión neta que se mantiene en el negocio, teniendo en cuenta
la depreciación, al final del período t-1 (o comienzo del período t), y (CPPC)t es el
[336]
JAVIER SERR ANO
Valor económico agregado: dos aproximaciones a través de un ejemplo
costo promedio ponderado de capital para el período t; UAIIt corresponde a la
utilidad antes de intereses e impuestos y t a la tasa de tributación (35%).
Para el cálculo del costo promedio ponderado de capital se utiliza la estructura
marginal de capital; se estima el costo de la deuda después de impuestos y se estima
el costo de la aportación patrimonial utilizando el modelo CAPM, que se verá
posteriormente; en otras palabras:
(CPPC)t = W1Kd * (1-t) + W2KE
donde Kd * (1-t) corresponde al costo de la deuda después de impuestos y KE
corresponde al costo de la aportación patrimonial, calculado de acuerdo con la
siguiente expresión:
KE = RF + (RM - RF) * Bj
donde RF la tasa libre de riesgo, RM la rentabilidad promedio del mercado y Bj el
coeficiente Beta para el proyecto, teniendo en cuenta el porcentaje de deuda que se
usa en la estructura de capital.
Los cálculos que se presentan a continuación muestran la aplicación de las dos
metodologías (tradicional y VEA), con resultados que coinciden, tal y como era de
esperarse; en ambos casos el valor económico agregado es igual a $831,87 millones a
la fecha cero.
Equivalencia entre el concepto de VEA
y la evaluación tradicional de proyectos
En el Cuadro 11.4 se resumen los datos básicos del problema:
Cuadro 11.4
Datos básicos del problema
Año
Inflación
Inversiones
Inversión inicial activos fijos
Inversión adicional activos fijos
Inversión total en activos fijos
Inversión inicial en capital de trabajo
Inversión adicional en capital de trabajo
Inversión total en capital de trabajo
Inversión total
Inversión acumulada en activos fijos
Inversión acumulada en capital de trab.
Inversión acumulada total
ALFAOMEGA
t
0
1
2
3
4
5
6
12,0% 10,0% 10,0% 10,0% 10,0% 10,0%
2.500
2.500
500
500
3.000
2.500
500
3.000
200
200
250
250
300
300
350
350
0
0
77
77
277
2.700
577
3.277
77
77
327
2.950
654
3.604
87
87
387
3.250
740
3.990
98
98
448
3.600
839
4.439
112
112
112
3.600
950
4.550
126
126
126
3.600
1.077
4.677
FAC U LTA D D E A D M I N I S T R AC I Ó N / U N I A N D E S
[337]
Capítulo 11
En el Cuadro 11.5 se resumen los cálculos para determinar el valor en libros de la
inversión, teniendo en cuenta la depreciación correspondiente de los activos fijos:
Cuadro 11.5
Cálculo del valor en libros de la inversión
Año
Cálculo de la depreciación
Inversión depreciable
0
1
2
3
4
5
6
90,00%
Inversión acumulada en activos fijos
2.500 2.700 2.950 3.250 3.600 3.600
Valor depreciable inv. año 0
2.250
Valor depreciable inv. año 1
180
Valor depreciable inv. año 2
225
Valor depreciable inv. año 3
270
Valor depreciable inv. año 4
315
Depreciación, inv. año 0, 6 años
375
Depreciación, inv. año 1, 5 años
375
375
375
375
36
36
36
36
36
56
56
56
56
Depreciación, inv. año 2, 4 años
Depreciación, inv. año 3, 3 años
90
Depreciación, inv. año 4, 2 años
Cargo por depreciación anual
Valor en libros inversión activos fijos
375
3.600
411
467
557
375
90
90
158
158
715
715
2.500 2.325 2.164 1.997 1.790 1.075
360
Venta del activo, final vida útil
600
Utilidad en venta de activo fijo al final
156
En el Cuadro 11.6 se resumen los cálculos necesarios para estimar el costo promedio
ponderado de capital de la empresa, bajo las condiciones especificadas:
Cuadro 11.6
Cálculo del costo promedio ponderado de capital
Financiamiento inicial
55% crédito a 6 años al 32% efectivo
anual, amortizable al final
45% acciones y/o utilidades retenidas
Tasa libre de riesgo 16%; Beta del 1.5
Rentabilidad promedio del mercado: 22%
Financiamiento total
Cálculo del costo de capital
Cálculo del costo de de la deuda
Cd= 0,32*(1-0.35)
Cálculo del costo de los recursos propios
Ke=Rf + (Rm-Rf)*Beta
Ke=16% + (22%-16%)*1.5
Costo promedio ponderado de capital
CPPC = 0,55*Cd + 0.45*Ke
[338]
1.650
1.350
3.000
20,80%
25,00%
22,69%
JAVIER SERR ANO
Valor económico agregado: dos aproximaciones a través de un ejemplo
En el Cuadro 11.7 se muestran los cálculos necesarios para calcular el valor presente
neto del proyecto, utilizando la aproximación tradicional de evaluación de proyectos y
recordando que el valor presente neto, calculado utilizando el costo promedio
ponderado de capital como tasa de descuento, es igual a la magnitud de valor que el
proyecto le agrega a la empresa.
Cuadro 11.7
Cálculo del valor presente neto (aproximación tradicional)
Año
0
Cálculo del valor agregado a la fecha cero
Utilidad antes de intereses, impuestos y depreciación
Depreciación
Utilidad antes de intereses e impuestos
Impuestos sin apalancamiento financiero
Utilidad operativa después de impuestos
+ Depreciación activos fijos
- Inversión en activos fijos
-2.500
- Inversión en capital de trabajo
-500
+ Ingreso neto venta activos fijos
+ Ingreso recuperación capital de trabajo
Flujo de caja libre para el proyecto
-3.000,0
Costo promedio ponderado de capital
Valor presente neto al CPPC
Tasa interna de retorno
1
2
3
4
5
1.375
375
1.000
350
650
375
-200
-77
1.566
411
1.155
404
751
411
-250
-77
1.801
467
1.334
467
867
467
-300
-87
2.098
557
1.541
539
1.002
557
-350
-98
2.494
715
1.780
623
1.157
715
0
-112
748,2
835,0
6
2.770
715
2.055
719
1.336
715
0
-126
516
1.077
947,4 1.110,3 1.759,9 3.517,3
22,690% 22,69% 22,69% 22,69% 22,69% 22,69% 22,69%
831,87
31,10%
En el Cuadro 11.7 se presentaron los pasos necesarios para la construcción del flujo
de caja libre para el proyecto, que permite calcular la rentabilidad del proyecto en sí y
el valor presente neto del proyecto, descontado al costo promedio ponderado de
capital, el cual dio igual a 831,87, que es la magnitud de valor que la ejecución del
proyecto le agregaría a la empresa. En el Cuadro 11.8 se muestran los cálculos
necesarios para determinar el valor económico agregado, utilizando la metodología
del VEA.
El valor presente de los valores económicos agregados por año, utilizando como tasa
de descuento el costo promedio ponderado de capital, da el valor de mercado
agregado o valor económico que se agregaría, en la fecha “cero”, como consecuencia de la ejecución del proyecto, que es 831,87, igual al valor obtenido
previamente, utilizando la aproximación tradicional de evaluación de proyectos.
ALFAOMEGA
t
FAC U LTA D D E A D M I N I S T R AC I Ó N / U N I A N D E S
[339]
Capítulo 11
Cuadro 11.8
Cálculo del valor económico agregado por año
Año
0
1
2
3
Utilidad antes de intereses e impuestos
1.000 1.155 1.334
Impuestos sin apalancamiento financiero
350
404
467
+ utilidad neta venta activo fijo al final vida útil
Utilidad operativa después de
650
751
867
impuestos
Inversión en la empresa
Inversión en activos fijos
2.500 2.325 2.164 1.997
Inversión en capital de trabajo
500
577
654
740
Inversión total
3.000 2.902 2.818 2.737
Costo de capital (porcentaje): CPPC
22,69%
4
5
6
1.541 1.780 2.055
539
623
719
156
1.002 1.157 1.492
1.790 1.075
360
839
950 1.077
2.628 2.025 1.437
22,69
%
22,69
%
22,69
%
22,69
%
22,69
%
22,69
%
Costo en pesos por uso capital
681
658
639
621
596
460
Valor económico agregado (VEA)
Valor de mercado agregado (VMA)
831,87
VALOR DE LA FIRMA = INVo + MVAo 3.831,87
-31
92
228
380
560 1.033
EJERCICIOS PARA RESOLVER
1.
[340]
El plan financiero de una empresa para los próximos 3 años, que constituyen
su horizonte de planeamiento comprendería la consecución de recursos
provenientes de las siguientes fuentes:
x
Utilidades retenidas por valor de $15.000 millones.
x
Una emisión de acciones para conseguir recursos netos por valor de
$10.000 millones; se estima un precio de suscripción de la acción por valor de $2.200; el dividendo para el año en curso, que se supone se
pagará al final del año, dentro de un año, es de $300 por acción. Se
supone que el dividendo, que se continuará pagando al final de cada
año, después de la emisión, va a crecer durante los próximos años al 3%
anual en términos reales; la inflación esperada para los próximos años es
del 10%. Utilice el modelo de Gordon para el cálculo del costo de la
emisión de acciones, suponiendo que el costo de colocación de la emisión
es del 2,5% anual, sobre el precio de suscripción.
x
Una emisión de bonos a 6 años para conseguir recursos netos por valor
de $10.000 millones, con un interés del 23% nominal anual, pagadero
semestre vencido, amortizable totalmente al final de los 6 años. Los
JAVIER SERR ANO
Ejercicios para resolver
gastos de colocación de la emisión son del 1,5% sobre el valor nominal
de la emisión.
x
Un primer crédito a 3 años, por valor de $8.000 millones, con un costo
efectivo antes de impuestos del 28% anual.
x
Un segundo crédito a 6 años, por valor de $7.000 millones, con un costo
efectivo antes de impuestos del 30% anual.
¿Cuál sería el costo promedio ponderado de capital para la empresa, durante
el período de planeamiento de 3 años, si fuera a conseguir recursos en la
forma especificada?
2.
Para el ejemplo del problema anterior, encuentre la curva de costo marginal de
capital, suponiendo que la empresa intenta mantener en todo momento una
relación de aportación patrimonial a deuda del 50%, y primero va a utilizar los
recursos más baratos que está consiguiendo, tanto de deuda como de
patrimonio.
3.
La empresa está considerando la inversión en 8 proyectos que generan
respectivamente las siguientes rentabilidades después de impuestos: proyecto
A, 28%, con una inversión de $10.000 millones; proyecto B, 27%, con una
inver-sión de $7.000 millones; proyecto C, 26,5%, con una inversión de
$3.000 millones; proyecto D, 24%, con una inversión de $10.000 millones;
proyecto E, 23%, con una inversión de $3.000; proyecto F, 22%, con una inversión de $3.000; proyecto G, 21,8%, con una inversión de $4.000; proyecto
H, 21%, con una inversión de $10.000 millones.
¿Cuál sería el nivel óptimo de inversión, si el mismo se encuentra cuando el
rendimiento marginal de la inversión es igual al costo marginal de capital?
4.
Suponga un programa de inversión con proyectos por valor de $35.000 millones, que generan una rentabilidad promedio después de impuestos del 34%,
para el cual se ha identificado el siguiente programa de financiamiento:
x Un crédito bancario por valor de $20.000 millones, a cuatro años, con una
tasa de interés del 27% nominal anual, pagadero trimestre anticipado.
x Una emisión de acciones que generará recursos netos por valor de $8.000
millones. El precio actual de la acción, que sería el precio al cual se ofrecerá la
emisión, es de $10.000 por acción, mientras que el dividendo a repartir en el
próximo año, el cual se pagará al final del mismo, es de $1.500 por acción. Los
ALFAOMEGA
t
FAC U LTA D D E A D M I N I S T R AC I Ó N / U N I A N D E S
[341]
Capítulo 11
gastos por emisión de acciones son equivalentes a un 3% del precio actual de
emisión. Suponga una inflación para los próximos años del 15%.
x Utilidades retenidas por valor de $7.000 millones.
¿Cuál sería el valor económico agregado esperado por año, para este paquete
de inversiones y de financiamiento?
5.
Suponga un programa de inversión en proyectos por valor de $30.000 millones, que generan una rentabilidad promedio después de impuestos del 33%,
para el cual se ha identificado el siguiente programa de financiamiento:
x Un crédito bancario por valor de $15.000 millones, a cuatro años, con una
tasa de interés del 26% nominal anual, pagadero trimestre anticipado.
x Una emisión de acciones que generará recursos netos por valor de $8.000
millones. El precio actual de la acción, que sería el precio al cual se ofrecerá la
emisión, es de $10.000 por acción, mientras que el dividendo a repartir en el
próximo año, el cual se pagará al final del mismo, es de $1.500 por acción. Los
gastos por emisión de acciones son equivalentes a un 3% del precio actual de
emisión. Suponga una inflación para los próximos años del 15%.
x Utilidades retenidas por valor de $7.000 millones.
¿Cuál sería el valor económico agregado esperado por año, para este paquete
de inversiones y de financiamiento?
6.
Suponga la valoración de una empresa con el flujo de caja libre para la firma
que se muestra en el siguiente cuadro, para un período de 5 años, al final del
cual se supone que se ha estabilizado dicho flujo de caja.
Año
Flujo de caja libre para la
firma (millones)
Inflación
1
2
3
4
5
25.000
29.000
35.000
42.000
48.000
12%
12%
12%
12%
12%
El valor de mercado de la deuda actual es de $42.000 millones. Suponga que
el costo promedio ponderado de capital en el momento actual es del 24%
efectivo anual, después de impuestos, y además que como valor residual al
final del año 5, el valor presente del flujo de caja libre proyectado para 25
años, a partir del año 6, suponiendo que el mismo crece al 3% en reales, a
partir del flujo del año 5 ($48.000 millones).
[342]
JAVIER SERR ANO
Repuestas a los problemas
El valor presente del flujo de caja libre para los 5 años más el valor presente del
valor residual, descontados a una tasa de interés igual al costo promedio
ponderado de capital, da el valor de la firma, que es igual al valor de mercado
del patrimonio más el valor de mercado de la deuda actual.
Utilizando la información que se acaba de suministrar, se debe determinar el
valor de mercado del patrimonio de la empresa.
7.
Cuál sería el valor de mercado del patrimonio de la empresa en el problema 6,
en la siguiente situación: si la firma fuera a conseguir deuda en el mercado la
conseguiría con un costo antes de impuestos del 30% (tasa de impuestos del
35%). La tasa libre de riesgo en el mercado es del 16% después de impuestos,
mientras que la rentabilidad promedio del mercado después de impuestos es
del 22%. El Beta de la firma para la estructura actual de capital (60% deuda,
40% patrimonio) es de 1.43 y la firma espera mantener en el futuro esa misma
estructura de capital.
REPUESTAS A LOS PROBLEMAS
A continuación se presentan las respuestas a los problemas formulados en el numeral
11.8, con indicaciones para su solución y resultados intermedios en la mayoría de los
casos:
1. Costo promedio ponderado de capital
Utilidades retenidas
Acciones
Bonos
Crédito 1
Crédito 2
Total fuentes de financiamiento
15.000
10.000
10.000
8.000
7.000
50.000
Costo promedio ponderado de capital, WACC
ALFAOMEGA
t
FAC U LTA D D E A D M I N I S T R AC I Ó N / U N I A N D E S
15.000
10.256
10.152
8.000
7.000
50.409
29,76%
20,35%
20,14%
15,87%
13,89%
100,00%
26,94%
27,29%
16,26%
18,20%
19,50%
22,44%
[343]
Capítulo 11
2. Costo marginal de capital
Manteniendo la estructura de capital del 50%, se procede a utilizar inicialmente las fuentes más baratas
Rango
Costo
Deuda
Patrimonio
marginal
a
b
Tramo 1, utilidades retenidas y bonos
10.152
10.152
21,60%
0
20.304
Tramo 2, utils. retenidas y crédito 1
4.848
4.848
22,57%
20.304
30.000
Tramo 3, acciones y crédito 1
3.152
3.152
22,74%
30.000
36.304
Tramo 4. Acciones y crédito 2
7.104
7.104
23,39%
36.304
50.513
La gráfica del cuadro anterior representa el costo marginal de capital.
3. Nivel óptimo de inversión
El nivel óptimo de inversión se obtiene cuando el costo marginal de capital es
igual al rendimiento marginal de la inversión. En el caso particular analizado, ello
ocurre cuando el monto de inversión es de $33.000 millones, y la curva de costo
marginal de capital cruza a la curva de rendimiento marginal de la inversión; esto
se puede ver mejor si se procede a graficar ambas curvas, como función del nivel
de inversión, tal y como se puede observar en el siguiente cuadro.
Rango
inversión
Rendimiento
marginal
Costo
marginal
0
28,0%
21,60%
10.000
28,0%
21,60%
17.000
27,0%
21,60%
20.000
26,5%
21,60%
20.304
24,0%
21,60%
30.000
24,0%
22,57%
33.000
23,0%
22,74%
36.000
22,0%
22,74%
36.304
21,8%
22,74%
40.000
21,8%
23,39%
50.000
21,0%
23,39%
4. Valor económico (EVA), agregado por año
Para calcular el costo promedio ponderado de capital, con base en la estructura
marginal de capital, se usa el cuadro siguiente:
[344]
JAVIER SERR ANO
Repuestas a los problemas
Fuente
Crédito bancario
Acciones
Utilidades retenidas
Total
Monto
nominal
Monto efectivo Costo fuente
Factor
ponderación
20.000
20.000
20,96%
56,74%
8.000
8.247
31,61%
23,40%
7.000
7.000
31,15%
35.000
35.247
19,86%
100,00%
Costo promedio ponderado de capital, WACC = 25,48%.
Valor económico agregado (VEA) = Inversión * (Rendimiento de la inversión Costo marginal de capital).
VEA = $2.982 millones por año, mientras se mantengan las condiciones.
5. Valor económico agregado (VEA) esperado por año, para el paquete de
inversiones y financiamiento
Monto inversión: $30.000 millones
Rentabilidad inversión: 33% después de impuestos
Tasa marginal de tributación: 35%
Para calcular el costo promedio ponderado de capital, con base en la estructura
marginal de capital, se usa el cuadro siguiente:
Fuente
Crédito bancario
Acciones
Utilidades retenidas
Total
Monto
Factor
Monto efectivo Costo fuente
nominal
ponderación
15.000
15.000
20,05%
42,56%
8.000
8.247
31,61%
23,40%
7.000
7.000
31,15%
19,86%
30.000
30.247
85,81%
Costo promedio ponderado de capital, WACC = 22,12%
El costo promedio ponderado de capital aumenta, no obstante el menor costo del
crédito, como consecuencia de una menor utilización del apalancamiento financiero (deuda).
Valor económico agregado (EVA) = Inversión * (Rendimiento de la inversión Costo marginal de capital).
VEA = $3.265 millones por año, mientras se mantengan las condiciones.
ALFAOMEGA
t
FAC U LTA D D E A D M I N I S T R AC I Ó N / U N I A N D E S
[345]
Capítulo 11
6. Determinación del valor de mercado del patrimonio
Valor de mercado de la deuda: $42.000 millones
Costo promedio ponderado de capital, CPPC (WACC): 24% efectivo anual
Inflación: 12% anual
Tasa de crecimiento del flujo, después del año 5: 3% reales
Tasa de crecimiento del flujo, después del año 5: 15,36% nominales
Se llega al siguiente cuadro:
Año
Flujo de caja libre
para la firma
Valor terminal
0
1
25.000
2
29.000
3
35.000
4
42.000
5
48.000
535.542
Valor presente flujo de caja libre, 5 años: $91.517
Valor presente, valor residual: $182.678
Valor de mercado de la firma: $274.194
Firma = Deuda + Patrimonio
Valor de mercado de la firma = Valor de mercado de la deuda + Valor de
mercado del patrimonio
Valor de mercado del patrimonio: $232.194
7. Valor de mercado de la empresa
Los cálculos requieren estimar el costo promedio ponderado de capital:
Tasa de tributación: 35%
Costo de la deuda: 30% antes de impuestos
Costo de la deuda: 19,5% después de impuestos
Tasa libre de riesgo: 16% después de impuestos
Rentabilidad promedio del mercado: 22% después de impuestos
Beta de la firma: 1,43
La estructura de capital es:
[346]
JAVIER SERR ANO
Repuestas a los problemas
Deuda: 60%
Patrimonio: 40%
Total: 100%
Rentabilidad esperada mínima, para el nivel de riesgo equivalente a un Beta de
1.43 calculada según el CAPM:
E(Rj) = Rf +(E(Rm)-Rf)*BjA = 24,58%
El valor anterior corresponde al costo de la aportación patrimonial.
El costo promedio ponderado de capital, para la estructura marginal de capital,
que mantiene las mismas proporciones es:
WACC: 21,53% efectiva anual
Año
Flujo de caja libre
para la firma
Valor
terminal
0
1
25.000
2
29.000
3
35.000
4
42.000
5
48.000
653.388
Valor presente flujo libre, 5 años: $97.060
Valor presente, valor residual: $246.444
Valor de mercado de la firma: $343.504
Firma = Deuda + Patrimonio
Valor de mercado de la firma = Valor de mercado de la deuda + Valor de
mercado del patrimonio
Valor de mercado del patrimonio: $301.50
ALFAOMEGA
t
FAC U LTA D D E A D M I N I S T R AC I Ó N / U N I A N D E S
[347]
Capítulo 12
TRATAMIENTO DEL RIESGO EN LA EVALUACIÓN DE PROYECTOS
En los capítulos anteriores, poca mención se ha hecho al tratamiento del riesgo en la
evaluación de proyectos, no obstante que el mismo está presente en toda decisión de
inversión como consecuencia de la incertidumbre sobre el desempeño de los diferentes factores que pueden afectar el comportamiento de las variables que determinan las proyecciones de la empresa o del proyecto durante su vida útil. Se pospuso el
tratamiento del riesgo para hacer una presentación más sencilla de conceptos y herramientas. Si se trabaja con valores esperados, el resultado que se obtiene es una
rentabilidad esperada o un valor presente neto esperado, que no tiene en cuenta la
variación alrededor de estos indicadores, derivada de la volatilidad de los parámetros
de entrada y de la estimación de los flujos de caja, lo cual es crítico para determinar la
conveniencia o no de emprender un proyecto de inversión.
La variación a que se hace referencia en el párrafo anterior, derivada de la incertidumbre que acompaña a las proyecciones financieras, refleja el riesgo que existe al
tomar una decisión con base en el valor esperado del valor presente neto o de la tasa
interna de retorno. Esa incertidumbre se mide en primera instancia a través de la
desviación estándar del valor presente neto o de la tasa interna de retorno, la cual por
definición mide la variación alrededor del valor esperado. La consideración simultánea
de los dos parámetros, rentabilidad esperada y desviación estándar de la rentabilidad
esperada como medida del riesgo, cambia significativamente la forma como se enfrenta el proceso de toma de decisiones. Un ejemplo sencillo aclara lo que se acaba
de mencionar:
Suponga un proyecto de inversión de 100 millones de pesos para recibir 200 millones
dentro de un año, el cual tendría una rentabilidad del 100%. Si esta rentabilidad se
presenta como un hecho cierto, nadie dudaría de la bondad económica del proyecto
y de tomar una decisión sobre su ejecución. La situación sería bien diferente si el
proyecto se plantea en una forma diferente, más real, estableciendo que existen dos
escenarios, cada uno con una probabilidad igual al 50%, tales que en el primero de
ellos el flujo del proyecto es de 400 millones de pesos y en el segundo el mismo flujo
es igual a 0. No obstante que el valor esperado del flujo resultante es de 200 millones
de pesos al finalizar el año, con una rentabilidad esperada del proyecto igual a la
rentabilidad del primer caso (situación cierta), la decisión a tomar podría ser bien
diferente, dependiendo de la consideración que se le otorgue al segundo escenario,
con una rentabilidad negativa o un valor presente negativo, que afectaría sensiblemente el desempeño de la empresa. Aunque la rentabilidad esperada sigue siendo la
[349]
Capítulo 12
misma, el mayor riesgo que se presenta en el segundo caso (situación incierta) puede
cambiar la forma como se mira la conveniencia del proyecto de inversión.
La consideración simultánea de las dos variables, rentabilidad esperada y el riesgo de
obtener esa rentabilidad esperada, medidas respectivamente por el valor esperado y
por la varianza (o la desviación estándar) de la rentabilidad o del valor presente neto,
cambia la forma como se define la conveniencia o no de un proyecto de inversión,
especialmente si se tiene en cuenta que:
a) Existen individuos más aversos o propensos al riesgo; esto depende de las características del comportamiento del individuo, lo cual se puede validar en muchas
situaciones de la vida real (p. ej., en juegos de azar, en la vida personal o en el
tipo de decisiones que se toman en el mundo de los negocios). La propensión o
aversión al riesgo se mide a través de la función de utilidad del individuo.
En la Figura 12.1 se muestran la función de utilidad para un individuo totalmente
propenso al riesgo y la función de utilidad para un individuo totalmente averso al
riesgo.
Figura 12.1
Funciones de utilidad
Utilidad = U(Q)
Utilidad = U(Q)
Función Convexa
Propensa al riesgo
Q
Función cóncava
Aversa al riesgo
Q
La aversión o propensión al riesgo de un individuo cambia con la magnitud
involucrada; con sumas pequeñas somos propensos al riesgo mientras que con
sumas grandes tendemos a ser adversos al riesgo. Un ejemplo sencillo ayuda a
entender lo que se acaba de mencionar: suponga un juego, consistente en jugar
por una sola vez cierta cantidad de dinero Q, lanzando un dado, en forma tal que
si el resultado del dado es 1, 2, 3, 4 o 5 el lector gana una cantidad equivalente a
Q, mientras que si el mismo resultado es 6 el casino gana la misma cantidad Q
que sería la apuesta del lector. En este juego la posibilidad que tiene el lector de
[350]
JAVIER SERR ANO
Tratamiento del riesgo en la evaluación de proyectos
ganar es de 5/6, mientras que la de perder es de solamente 1/6, lo cual es
altamente favorable, y la única restricción del juego es que el mismo se realiza
una sola vez. Si la cantidad involucrada en el juego fuera de $10.000, nadie
dudaría en jugar, salvo por problemas de tipo moral o religioso frente al juego; lo
mismo ocurriría si la cantidad involucrada fuera de $100.000. En la medida en
que se aumente la cantidad involucrada irán apareciendo los desertores, hasta
llegar a un monto en el cual ninguno participaría en el juego, no obstante que las
probabilidades de ganar no han cambiado, permaneciendo el juego desequilibrado para el casino. En otras palabras, la posición de un individuo frente al
riesgo derivado de una decisión cambia dependiendo del valor en riesgo (VAR)1,
frente al tamaño de su patrimonio.
Ningún individuo es totalmente averso al riesgo o totalmente propenso al riesgo,
pues, como se acaba de mostrar, usualmente se es propenso al riesgo para sumas
pequeñas y averso al riesgo para sumas grandes. Por ello, en la Figura 12.2 se
muestra una función de utilidad más general, con la característica mencionada,
esto es, propensos para sumas pequeñas y aversos para sumas grandes:
Figura 12.2
Utilidad = U(Q)
Región
Aversa
Función de utilidad
Región
Propensa
Cantidad =Q
b) La situación financiera de la empresa afecta la forma como la misma enfrenta la
ejecución de proyectos de diferente riesgo; cuando la misma es boyante, puede
tomar mayores riesgos; en caso contrario, será muy cuidadosa de emprender proyectos con niveles de riesgo significativos.
1
VAR, por sus siglas en inglés: Value at Risk.
ALFAOMEGA
t
FAC U LTA D D E A D M I N I S T R AC I Ó N / U N I A N D E S
[351]
Capítulo 12
TRATAMIENTO DE UN PROYECTO EN TÉRMINOS
DE VALOR ESPERADO Y VARIANZA
Como se mencionó, la rentabilidad esperada se mide a través del valor esperado de la
tasa interna de retorno o del valor presente neto del proyecto; mientras que el riesgo
se mide a través de la varianza o de la desviación estándar, que no es otra cosa que la
raíz cuadrada de la varianza.
Para el caso general de una variable aleatoria X discreta, con la siguiente distribución
de probabilidad:
X=
X1
X2
X3
X4
X5
Px (x) =
P1
P2
P3
P4
P5
Tal que P1+ P2+ P3+ P4+ P5 = 1
el valor esperado estaría dado por:
E (X) = X1* P1 + X2* P2 + X3* P3 + X4* P4 + X5* P5= 6i Xi* Pi
VAR(X) = V2 =
VAR(X) = V2 =
(X1-E(X))2 * P1 + (X2-E(X))2 * P2 + (X3-E(X))2 * P3 +
(X4-E(X))2 * P4 + (X5-E(X))2 * P5
6i (Xi – E(X))2* Pi
Igualmente,
VAR(X) = V2 = E (X2) – (E(X))2
donde E (X2) corresponde al segundo momento.
En el caso general de una variable aleatoria continua X, con una función de densidad
de probabilidad fx (x), para valores de x, en el intervalo (a,b) y 0, fuera de dicho
intervalo, el valor esperado y la varianza se expresarían respectivamente por:
E(x) = ³x x * fx (x) dx,
VAR(X) = V2 = ³x (x – E(X))2 * fx (x) dx,
a<x<b
a<x<b
Suponga el siguiente ejemplo:
X=
Px (x) =
[352]
2
3
4
5
6
7
1/8
1/8
2/8
2/8
1/8
1/8
JAVIER SERR ANO
Tratamiento de un proyecto en términos de valor esperado y varianza
1
1
2
2
1
1
= ¦i(Xi * Pi ) = 2 * + 3 * + 4 * + 5 * + 6 * + 7 * = 4,5
8
8
8
8
8
8
2
2
2 1
2 1
2 2
Var (X) = <
(2 - 4,5) * + (3 - 4,5) * + (4 - 4,5) * + (5 - 4,5)2 *
8
8
8
8
1
1 18
+ (6 - 4,5)2 * + (7 - 4,5)2 * = = 2,25
8
8 8
E (X)
VAR(X) = V2 = E (X2) – (E(X))2
E (X2) = 4 *
1
1
2
2
1
1 180
+ 9 * + 16 * + 25 * + 36 * + 49 * =
8
8
8
8
8
8
8
Entonces, VAR(X) = 180/8 – (4,5)2 = 22,5 -20,25 = 2,25
En el caso de una variable aleatoria continua z, con una distribución uniforme en el
intervalo (a,b), tal que:
1
, para todo z entre a y b
ba
Fz (z)
=
fz(z)
= 0, para z>b o z <a
E(z)
=
VAR(z)
= Vz2 = E (z2) – (E(z))2
E (z2)
= ³zz * f (z) dz = ³zz *
E (z2)
=
(b2 - a 2 )
1
³z z * f (z) dz = ³z z * b - a dz = 2 * (b - a) =
2
1
b3 a 3
*
ba
3
2
(a + b)
2
1
dz
b-a
b3 a 3
3 * (b a)
Entonces,
VAR(z)
= Vz2 = E (z2) – (E(z))2 =
VAR(z)
= Vz2 = E (z2) – (E(z))2 =
b3 a 3
§a b·
¨
¸
3 * (b a) © 2 ¹
2
(b a) 2
12
Así mismo, hay que recordar que el valor esperado es un operador lineal; por lo tanto,
si x y y son variables aleatorias, y A y B son constantes, y se define una nueva
variable aleatoria como z = Ax + By, entonces:
ALFAOMEGA
t
FAC U LTA D D E A D M I N I S T R AC I Ó N / U N I A N D E S
[353]
Capítulo 12
E(z) = E (Ax+By) = A * E(x) + B * E(y)
La expresión anterior se puede generalizar a cualquier número de variables aleatorias;
por ejemplo, si x, y, z son variables aleatorias, A, B y C constantes y W = Ax + By +
Cz, entonces,
E(W) = E (Ax+By+Cz) = A * E(x) + B * E(y) + C * E(z)
La expresión de la varianza es un poco más compleja. Se puede demostrar que:
VAR(z) = A2Var(x) + B2Var(y) + 2 A*B COV(x, y)
donde Cov(x,y) corresponde a la covarianza entre las variables aleatorias x y y, que a
su vez es igual a:
Cov(x,y) = Gx,y* VxVy
donde Gx,y corresponde al coeficiente de correlación entre x y y. Para el caso particular
en el cual x y y son variables aleatorias independientes, la covarianza entre x y y es
igual a cero, simplificándose la expresión a:
VAR(z) = A2Var(x) + B2Var(y)
En el caso de la variable aleatoria W, definida previamente como
W = Ax + By + Cz, la expresión de la varianza de la variable aleatoria W sería:
VAR(W) = A2Var(x) + B2Var(y) + C2Var(z) + 2A*B COV(x, y) + 2A*C COV(x, z)
+ 2B*C COV(y, z)
En el caso particular de que las tres variables aleatorias x, y y z fueran
estadísticamente independientes, las covarianzas serían iguales a cero y la expresión
anterior se reduce a:
Var(W) = A2Var(x) + B2Var(y) + C2Var(z)
Usualmente se utiliza la desviación estándar como medida de fluctuación alrededor
del valor esperado. La desviación estándar, como se mencionó, es la raíz cuadrada de
la varianza y tiene la misma dimensión que el valor esperado, mostrando la fluctuación en términos absolutos. Para mostrar la fluctuación relativa o riesgo relativo, se
utiliza el coeficiente de variación que se define como:
Coeficiente de variación = (Desviación estándar)/(Valor esperado)
[354]
JAVIER SERR ANO
Tratamiento de un proyecto en términos de valor esperado y varianza
Este coeficiente de variación permite relativizar la fluctuación, como un porcentaje del
valor esperado.
En el siguiente ejemplo se ilustra la aplicación de los conceptos anteriores al caso
específico de un proyecto de inversión a tres años:
Ejemplo 12.1
Proyecto:
X
Y
Z
I
donde x, y y z corresponden a los flujos para calcular la rentabilidad del proyecto en sí
al final de los años 1, 2 y 3; esos flujos son variables aleatorias con sus respectivas
distribuciones de probabilidad; así mismo, i corresponde a la tasa de interés de
oportunidad. La expresión general para el cálculo del valor presente neto sería:
VPN(i) =
y
x
z
-I
+
(1 + i) (1 + i) 2 (1 + i) 3
Para encontrar el valor esperado y la varianza del valor presente neto se supone en
este ejemplo que la tasa de interés de oportunidad i es constante y conocida, con lo
cual:
VPN(i) =
Con A =
y
x
z
= Ax + By + Cz
+
(1 + i) (1 + i) 2 (1 + i) 3
1
z
1
, B=
,C=
(1 + i)
(1+ i)2
(1+ i)3
Entonces,
E(VPN(i)) =
E(y)
E(x)
E(z)
+
(1 + i) (1 + i) 2 (1 + i) 3
(1)
Para encontrar una expresión tan sencilla como la anterior, aún en este caso tan
elemental, se tuvo que suponer que la tasa de interés de oportunidad era una constante conocida, ya que si fuese una variable aleatoria i, con una determinada distribución de probabilidad, se hubiera tenido que conocer la distribución de probabilidad
conjunta entre las variables x e i, y e i y z e i, para poder calcular los valores
ALFAOMEGA
t
FAC U LTA D D E A D M I N I S T R AC I Ó N / U N I A N D E S
[355]
Capítulo 12
esperados de x/(1+i), y/(1+i)2 y z/(1+i)3. Esta situación, en general, desborda la
información que usualmente está disponible para analizar un proyecto.
Para encontrar la expresión de la varianza del valor presente neto, a la suposición
realizada anteriormente se agrega otra consistente en la independencia estocástica
entre las variables aleatorias x, y y z, con lo cual las covarianzas serían igual a cero. En
este caso particular, se tiene:
Var(VPN(i)) =
Var(x) Var(y) Var(z)
+
(1 + i)2 (1 + i)4 (1 + i)6
(2)
Si las variables no son aleatoriamente independientes, se hubieran tenido que conocer
las distribuciones de probabilidad conjuntas entre x y y, x y z, y y z, lo cual como se
mencionó, usualmente desborda la información disponible para analizar un proyecto
de inversión.
Como se observa, aunque la teoría de probabilidades permite, en general, calcular el
valor esperado y la varianza del valor presente neto para una situación general, los
cálculos podrían llegar a ser muy complejos, con información que no siempre está
disponible. Para simplificar los cálculos hubo necesidad de recurrir a unos supuestos
(tasa de interés de oportunidad constante y conocida, e independencia estocástica
entre las variables aleatorias), que muchas veces alejan el problema de la realidad,
disminuyendo la validez de los resultados obtenidos. Por ello más adelante presentaremos otra alternativa para resolver el problema, utilizando la técnica de simulación
de Montecarlo, que permite estimar los dos parámetros de rentabilidad esperada y
riesgo.
A manera de ejemplo, se va a suponer que los flujos X, Y y Z son variables aleatorias
independientes con las siguientes distribuciones de probabilidad:
X=
10.000
2.000
Px(x)
½
½
Y=
10.000
5.000
1.000
Py(y)
2/3
1/6
1/6
Además, Z sería una variable aleatoria continua con una distribución uniforme entre
5.000 y 15.000 (Z: P[5.000-15.000]). Se supone adicionalmente que la tasa de
interés de oportunidad es constante, conocida e igual al 25% y con un monto de
inversión igual a 10.000.
Primero se procede a calcular los valores esperados y las varianzas de las variables
tomadas individualmente.
[356]
JAVIER SERR ANO
Tratamiento de un proyecto en términos de valor esperado y varianza
E(x) =
1
1
(10.000) + (2.000) = 5.000 + 1.000 = 6.000
2
2
E(y) =
2
1
1
(10.000) + (5.000) + (1.000) = 7.666,67
3
6
6
E(z) =
b+a
15.000 + 5.000
=
=10.000
2
2
De donde se sigue que el valor esperado del valor presente neto, descontado a una
tasa de interés de oportunidad del 25%, E(VPN(25%)), sería igual a:
E(VPN(25%)) = - 10.000 +
6.000 7.666,67 10.000
+
+
1,25
1,25 2
1,25 3
E(VPN(25%)) = 4.827
Para los cálculos de las varianzas:
1
1
(10.000 6.000)2 (2.000 6.000)2 16.000.000
2
2
2
1
1
VAR(y) = (10.000 - 7.666,67)2 (5.000 7.666,67)2 (1.000 7.666,67)2
3
6
6
VAR(x) =
VAR(y) = 12.222.222,22
VAR(z) =
(b - a)2 (15.000 - 5.000)2
=
= 8.333.333,33
12
12
Por lo tanto, la varianza del valor presente neto es igual a:
VAR(VPN(25%)) = 0 +
16.000.000
1,25
2
+
12.222.222,22
1,25
4
+
8.333.333,33
1,256
VAR(VPN(25%)) = 17.430.755
La desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza e igual a 4.175. Por lo tanto,
el coeficiente de variación (4.175/4.827) sería igual al 86.5%, indicando un riesgo
muy alto al utilizar el valor esperado del valor presente neto como criterio para tomar
una decisión de invertir o no en el proyecto bajo análisis.
En este numeral se ilustró la utilización de los parámetros de valor esperado y
varianza del valor presente neto para analizar la conveniencia de un proyecto de
inversión. Se tuvieron que hacer suposiciones fuertes, que le restan realismo a la
ALFAOMEGA
t
FAC U LTA D D E A D M I N I S T R AC I Ó N / U N I A N D E S
[357]
Capítulo 12
solución del problema, con el propósito de simplificar las expresiones que se utilizan
como base para calcular el valor de los dos parámetros. Posteriormente se presenta
una técnica computacional para estimar dichos valores.
UTILIZACIÓN DEL VALOR ESPERADO Y DE LA VARIANZA
PARA LA TOMA DE DECISIONES DE INVERSIÓN
Previamente se presentaron los aspectos principales para calcular el valor esperado y
la varianza del valor presente neto de un proyecto de inversión. Aunque se utilizó un
proyecto con una vida útil de 3 años, la expresión general y los cálculos se pueden
extender a cualquier número de períodos. La utilización de los dos parámetros para la
toma de decisiones de inversión no siempre es obvia, ya que en últimas va a depender de cómo la persona que toma la decisión de inversión pondera las dos dimensiones: rentabilidad esperada y riesgo. Para ilustrar esta situación se analizarán a
continuación dos proyectos de inversión A y B, con los siguientes valores en términos
de rentabilidad esperada y riesgo:
Proyecto A: rentabilidad esperada (RA); riesgo (VA).
Proyecto B: rentabilidad esperada (RB); riesgo (VB).
Caso A (mayor rentabilidad esperada y menor riesgo)
RA > RB y VA < VB: dominancia absoluta o dominancia estocástica.
La decisión es obvia: claramente el proyecto A se prefiere al proyecto B.
Caso B (mayor rentabilidad esperada y mayor riesgo)
R A > R B y V A > VB
La decisión no es obvia: a mayor rentabilidad, mayor riesgo. Dependería de la forma
como cada persona pondere rentabilidad y riesgo, lo cual en últimas va a depender
de su función de utilidad, de la suma involucrada, y de su situación financiera, entre
otras.
Caso C (menor rentabilidad esperada y menor riesgo)
R A < R B y V A < VB
[358]
JAVIER SERR ANO
Utilización del valor esperado y de la varianza para la toma de decisiones de inversión
La decisión tampoco es obvia, por las razones anotadas en el caso B. El siguiente
ejemplo aclara lo que se acaba de mencionar: se está considerando la selección entre
dos proyectos de inversión, mutuamente excluyentes, en cuatro escenarios (excluyentes y colectivamente exhaustivos); en el Cuadro 12.1 se muestra la rentabilidad de
cada uno de los dos proyectos en los 4 escenarios a que se hace referencia y las
probabilidades de ocurrencia de cada uno de los escenarios y algunos cálculos básicos.
Para analizar la conveniencia de cada uno de los dos proyectos se calcula la rentabilidad esperada, la varianza, la desviación estándar y el coeficiente de variación, con
los cálculos que se muestran en el Cuadro 12.1.
Los cálculos presentados en el Cuadro 12.1 muestran que el ejemplo bajo análisis cae
en el caso B a que se hizo referencia previamente, ya que:
R A > R B y V A > VB
Cuadro 12.1
Escenario
1
2
3
4
Probabilidad
20,00%
30,00%
30,00%
20,00%
Ra
15,00%
35,00%
55,00%
90,00%
48,00%
Rb
25,00%
40,00%
50,00%
60,00%
44,00%
Escenario
1
2
3
4
Probabilidad
20,00%
30,00%
30,00%
20,00%
[Ra-E(Ra)]
-33,00%
-13,00%
7,00%
42,00%
6,36%
25,22%
52,54%
[Rb-E(Rb)]
-19,00%
-4,00%
6,00%
16,00%
1,39%
11,79%
26,80%
Valor esperado
Cálculo de la varianza
Varianza
Desviación estándar
Coeficiente de variación
Por lo tanto, la decisión no es obvia ya que en últimas va a depender de la forma
como se pondere rentabilidad y riesgo. En otras palabras, se debería evaluar si los
cuatro puntos adicionales de rentabilidad esperada compensan el mayor riesgo de
invertir en el proyecto A y no en el proyecto B. El modelo CAPM que se presentará
posteriormente permite establecer un precio al riesgo y resolver precisamente el
punto que se acaba de mencionar, bajo un conjunto de supuestos sobre el mercado y
el tipo de inversionista.
Esta situación es típica en la evaluación de proyectos, ya que usualmente a mayor
rentabilidad se va a encontrar un mayor riesgo y no todos los individuos ponderan
rentabilidad y riesgo en la misma forma. Durante mucho tiempo la teoría financiera
ha tratado de encontrar una forma de ponderar las dos dimensiones de rentabilidad y
riesgo, para facilitar el proceso de toma de decisiones.
ALFAOMEGA
t
FAC U LTA D D E A D M I N I S T R AC I Ó N / U N I A N D E S
[359]
Capítulo 12
A continuación se hace un breve resumen de algunos de los desarrollos que se han
dado en la teoría financiera en la dirección de encontrar una respuesta a la consideración simultánea de las dos dimensiones, rentabilidad esperada y riesgo, en el
análisis de una decisión de inversión.
a) Evaluación simultánea de los dos parámetros, valor esperado y desviación
estándar de la rentabilidad o del valor presente neto
Corresponde al planteamiento presentado hasta ahora en este capítulo. Aunque
existen los desarrollos teóricos para formular expresiones para el valor esperado y
la varianza, usualmente no existe la información necesaria o hay que hacer
supuestos muy fuertes, para estimar los dos parámetros, que al simplificar el
problema lo alejan de la situación real.
Aun disponiendo de buenos estimadores del valor esperado y de la varianza del
valor presente neto o de la tasa interna de retorno, estaría pendiente la ponderación de las dos dimensiones de rentabilidad y riesgo, para llegar a la decisión
final.
b) Utilización de funciones de utilidad
Consiste en maximizar la utilidad del inversionista, expresándola como una
función de la rentabilidad esperada y del riesgo medido a través de la varianza o
de la desviación estándar, al tiempo que se mantienen constantes otras variables
(p. ej., la liquidez). En otras palabras, encontrar el portafolio o proyecto que en
términos de rentabilidad esperada y varianza, maximiza U = U[E(R),VAR(R)],
dentro del conjunto de portafolios o proyectos factibles, teniendo en cuenta
algún conjunto de restricciones. La solución de este problema es clásica en la
literatura financiera, dando lugar a diferentes aproximaciones entre las cuales se
cuentan algunas que se mencionan a continuación.
c) Utilización de equivalentes de certeza
Para cada flujo incierto, se encuentra su equivalente de certeza a partir de la
función de utilidad del individuo; el equivalente de certeza corresponde al valor
que hace al inversionista indiferente entre una cantidad cierta y el flujo incierto
con su respectiva distribución de probabilidad, teniendo en cuenta la función de
utilidad del individuo.
d) Maximización de la utilidad esperada
Para un grupo de alternativas mutuamente excluyentes, se plantea como criterio
ordenador correcto el valor esperado de la utilidad de cada proyecto, que es
diferente a la utilidad del valor esperado. En otras palabras, se selecciona la alter-
[360]
JAVIER SERR ANO
Simulación de Montecarlo
nativa con un mayor valor esperado de la utilidad, teniendo en cuenta la función
de utilidad del individuo.
e) Desarrollo de una frontera eficiente
En el caso específico de un mercado de capitales se podría construir una frontera
eficiente de inversión, sobre la cual se sitúan todos los portafolios eficientes. La
frontera eficiente se construye a través de la solución de múltiples problemas de
optimización en los cuales se encuentra, para cada nivel de rentabilidad esperada,
el portafolio que minimiza el riesgo. Sobre este punto se volverá posteriormente.
f) Fijación de un precio y/o prima por el riesgo
A partir de un conjunto de supuestos (p. ej., eficiencia del mercado), se encuentra
un precio al riego como función de varios parámetros, entre los cuales se
encuentran la tasa libre de riesgo, la rentabilidad y el riesgo promedio del mercado. El modelo CAPM, sobre el cual se volverá posteriormente, es un buen ejemplo de esta situación.
SIMULACIÓN DE MONTECARLO
La técnica de simulación de Montecarlo corresponde a un procedimiento numérico
que permite estimar la rentabilidad esperada de un proyecto de inversión y el riesgo
inherente del mismo, a partir de un número grande de simulaciones del proyecto, con
base en las cuales se estima tanto el valor esperado como la varianza, ya sea de la
tasa interna de retorno o del valor presente neto.
Para realizar una simulación de Montecarlo se generan muestras de cada variable
aleatoria o flujo aleatorio, en el caso de un proyecto de inversión, a partir de su distribución de probabilidad, teniendo en cuenta la distribución de probabilidad acumulada
de esa variable aleatoria y la existencia de una correspondencia biunívoca entre el
valor de la variable aleatoria y el valor de la distribución de probabilidad acumulada.
Suponga una variable aleatoria continua con una distribución de probabilidad fx(x),
para valores de x en el intervalo (a, b) y cero fuera de dicho intervalo. La distribución
de probabilidad acumulada de la variable aleatoria x evaluada en el punto Xo (Fx(Xo)),
está dada por:
Fx(Xo) = 0, para valores de Xo< a;
Fx(Xo) = P(X ≤ X0) =
ALFAOMEGA
t
³(a,Xo) f (x) dx, para valores de a < X < b;
x
FAC U LTA D D E A D M I N I S T R AC I Ó N / U N I A N D E S
o
[361]
Capítulo 12
Fx(Xo) = 1, para valores de x > b
Reconociendo la correspondencia biunívoca a la que se hizo referencia previamente y
utilizando números aleatorios uniformemente distribuidos entre 0 y 1, se puede
encontrar el valor simulado de Xo, a partir de la relación inversa de la distribución
acumulada de probabilidad, F-1x(Ro), del número aleatorio uniformemente distribuido
entre 0 y 1, (Ro), mediante la siguiente ecuación:
Xo = F-1x(Ro)
En el siguiente ejemplo se muestran los pasos que hay que seguir para generar los
valores de una variable aleatoria a partir de un número aleatorio con una distribución
uniforme entre 0 y 1.
Suponga una variable aleatoria con una distribución uniforme entre 10 y 30; se van a
generar valores de esa variable aleatoria a través del método de Montecarlo. Para ello
se siguen los siguientes pasos:
a) Función de densidad de probabilidad
fx(x) = 1/20, para valores de x en el intervalo (10, 30)
fx(x) = 0, para x < 10 o x >30
b) Función de distribución de probabilidad acumulada
Fx(Xo) = 0, para valores de X0, tales que X0 < 10
Fx(Xo) = ³(10,Xo ) (1/20) dx, para valores de X0, tales que 10 < X0 < 30
Fx(Xo) = (Xo-10)/20, para valores de X0, tales que 10 < X0< 30
Fx(Xo) = 1, para valores de X0, tales que X0 > 30
c) Generación del número aleatorio, (Ro), uniformemente distribuido entre 0 y 1.
Para ello se usa un generador de números aleatorios con esa característica,
usando una calculadora o un programa de computador, o la función “Aleatorio”
de Excel.
d) Igualdad entre el número aleatorio (R0) y la distribución de probabilidad conjunta,
para encontrar el valor de la variable aleatoria (X0)
Fx(X0) = (X0-10)/20 = R0
[362]
JAVIER SERR ANO
Simulación de Montecarlo
e) Generación de un valor de la variable aleatoria (Xo), utilizando la relación inversa
de la distribución de probabilidad conjunta
Xo = 10 + 20 * Ro
f) Generación de una muestra de valores de la variable aleatoria con una
distribución uniforme entre 10 y 20
Para la generación de una muestra de tamaño m de valores de la variable aleatoria x,
con una distribución uniforme entre 10 y 20, se genera una muestra de m números
aleatorios uniformemente distribuidos entre 0 y 1. A cada uno de los números
aleatorios así generados se le aplica la relación anterior (10+20R0), para generar la
muestra de tamaño m de la variable aleatoria x. Por ejemplo, si el número aleatorio
fuera igual a 0,6, el valor de x sería de 22. Para una muestra de 6 números aleatorios,
la muestra de 6 valores de la variable aleatoria x sería:
Número aleatorio
0,60
0,48
0,25
0,17
0,87
0,95
Valor de X
22,0
19,60
15,0
13,4
27,4
29,0
En el caso de variables aleatorias discretas se sigue un procedimiento similar, no
obstante que no se puede encontrar una expresión cerrada, tal y como se obtuvo en
el caso de la variable aleatoria con una distribución uniforme. Un ejemplo aclara el
procedimiento:
Suponga una variable aleatoria z con la distribución de probabilidad que se muestra
en el siguiente cuadro:
Z
1.000
3.000
5.000
8.000
Pz(z)
1/6
2/6
2/6
1/6
Se va a generar una muestra aleatoria de tamaño 6 de la variable aleatoria con la
anterior distribución de probabilidad; para ello se siguen los siguientes pasos:
a) Asignar rangos, para el número aleatorio uniformemente distribuido entre 0 y 1,
según la distribución de probabilidad.
b) Z = 1.000 si el número aleatorio Ro es tal que 0,0000 < Ro d 0,1667
Z = 3.000 si el número aleatorio Ro es tal que 0,1667 < Ro d 0,5000
Z = 5.000 si el número aleatorio Ro es tal que 0,5000 < Ro d 0,8333
Z = 8.000 si el número aleatorio Ro es tal que 0,8333 < Ro d 1,0000
ALFAOMEGA
t
FAC U LTA D D E A D M I N I S T R AC I Ó N / U N I A N D E S
[363]
Capítulo 12
c) Generar una muestra de 6 números aleatorios uniformemente distribuidos entre 0
y 1, y encontrar los 6 valores de la variable aleatoria, de acuerdo con la
asignación anterior, tal y como se muestra en la siguiente tabla:
Número aleatorio
0,1800
0,5600
0,7500
0,6800
0,2700
0,9400
Valor de Z
3.000
5.000
5.000
5.000
3.000
8.000
Ejemplo 12.2 (simulación de Montecarlo)
Se va a analizar el ejemplo 12.1, asumiendo que la tasa de interés de oportunidad es
una variable aleatoria con una distribución uniforme entre 20% y 30%.
La suposición que se acaba de hacer, tasa de descuento aleatoria, complica la solución analítica que se presentó previamente, en la cual se pudo calcular exactamente el
valor esperado y la varianza del valor presente neto, bajo el supuesto de una tasa de
descuento constante y conocida. Aun en un caso tan sencillo, la mejor alternativa
sería simular el comportamiento del proyecto y estimar tanto el valor esperado como
la varianza del valor presente neto. Monto de la inversión, en la fecha 0,10.000. Para
ello se seguirían los siguientes pasos:
a) Establecer las correspondencias y/o relaciones para generar valores de cada una
de las tres variables aleatorias x, y y z, representando los flujos aleatorios de los 3
años, a través de la técnica de Montecarlo.
b) Establecer la relación para generar valores de la tasa de interés de oportunidad, a
través de la técnica de Montecarlo.
c) Generar cuatro números aleatorios independientes y uniformemente distribuidos
entre 0 y 1, utilizando un generador de números aleatorios con esta característica.
d) A partir de los 4 números aleatorios a que se hace referencia en el punto anterior,
establecer los valores de x, y, z y la tasa de interés de oportunidad; para esta
combinación de flujos y tasa de interés de oportunidad se calcula el valor
presente neto del proyecto resultante.
e) Los dos pasos anteriores (c y d) se repiten N veces, para obtener una muestra
aleatoria de tamaño N, en relación con el comportamiento del proyecto y el valor
del valor presente neto. Como con cualquier muestra aleatoria, a mayor tamaño
de la muestra, mejor la precisión de los estimadores que se van a obtener.
f) Con la muestra de tamaño N a que se hace referencia en el paso anterior se
estima el valor presente neto y la varianza del valor presente neto, utilizando
respectivamente la media muestral y la varianza muestral.
[364]
JAVIER SERR ANO
Simulación de Montecarlo
Para el problema que se planteó, los pasos a que se acaba de hacer referencia
llevan a los siguientes resultados:
a) Establecer las correspondencias y/o relaciones para generar valores de cada una
de las tres variables aleatorias x, y y z, representando los flujos aleatorios de los 3
años, a través de la técnica de Montecarlo.
X=
10.000
Px(x)
½
½
Si 0<rd0,5;
X=10.000
Si 0,5<rd1,0;
X=2.000
Asignación
Y=
Py(y)
Asignación
10.000
2.000
5.000
1.000
2/3
1/6
1/6
Si 0<rd4/6;
Y=10.000
Si 4/6<rd5/6;
Y=5.000
Si 5/6<rd1,0;
Y=1.000
Para el flujo del tercer año, con una distribución uniforme entre 5.000 y
15.000, se utiliza la expresión deducida previamente; esto es, Z = 5.000 +
10.000 * r, donde r corresponde al valor del número aleatorio.
Las asignaciones que se acaban de presentar para las variables X y Y se pueden
formular a través de la función condicional “SI” en Excel. Para el primer caso:
X = SI(R1<0,5;10.000;2.000)
Para el segundo caso,
Y = SI(R2<0,66667;10.000;SI(R2<0,83333;5.000;1.000))
b) Establecer la relación para generar valores de la tasa de interés de oportunidad, a
través de la técnica de Montecarlo. De nuevo, utilizando la relación derivada
previamente, para una distribución uniforme entre el 20% y el 30%, se tiene:
TIO = 20 + 10r
c) Generar cuatro números aleatorios independientes y uniformemente distribuidos
entre 0 y 1, utilizando un generador de números aleatorios con esta característica
o la función “Aleatorio” de Excel. Los cuatro números aleatorios, uniformemente
distribuidos entre 0 y 1, son:
(r1, r2, r3, r4) = (0,2300; 0,6920; 0,7980; 0,5050)
d) A partir de los cuatro números aleatorios a que se hace referencia en el punto
anterior, establecer los valores de x, y y z y la tasa de interés de oportunidad;
para esta combinación de flujos y tasa de interés de oportunidad se calcula el
valor presente neto del proyecto resultante.
ALFAOMEGA
t
FAC U LTA D D E A D M I N I S T R AC I Ó N / U N I A N D E S
[365]
Capítulo 12
Por lo tanto los valores de x, y y z y de la TIO serían respectivamente:
x = 10.000
y = 5.000
z = 12.980
TIO = 25,05%
I = 10.000
Para estas condiciones del proyecto, el valor presente neto sería igual a 7.832,03.
e) Los dos pasos anteriores (c y d) se repiten 20 veces, para obtener una muestra
aleatoria de tamaño 20, en relación con el comportamiento del proyecto y el
valor del valor presente neto. En el Cuadro 12.2 se muestran los resultados de las
20 simulaciones del proyecto.
f) Con la muestra de tamaño 20 a que se hace referencia en el paso anterior, se
estima el valor presente neto y la varianza del valor presente neto, utilizando
respectivamente la media muestral y la varianza muestral.
En el Cuadro 12.2 se presentan los resultados de las 20 simulaciones:
Media muestral = (1/20)* ¦i VPNi = 4.164,20
Varianza muestral = S2 = (1/(19)) ¦i (VPNi – media muestral)2 =15.238.916,71
Desviación estándar muestral = 3.903,70
Coeficiente de variación = 3.903,70/4.164,20 = 0,9374 = 93,74%
Ejemplo 12.3
Suponga los siguientes proyectos (A y B), mutuamente excluyentes, con una
inversión de 10.000, y tome una decisión acerca del proyecto a ejecutar, bajo las
siguientes condiciones:
[366]
JAVIER SERR ANO
Simulación de Montecarlo
Cuadro 12.2
X
r1
Z
0,798
TIO
0,505
10000
5000
12.980
25,05%
r2
0,644
0,786
0,872
0,128
Valor
2000
5000
13.720
21,28%
r3
0,078
0,721
0,849
0,098
Valor
10000
5000
13.490
20,98%
r4
0,153
0,416
0,412
0,172
Valor
10000
10000
9.120
21,72%
r5
0,931
0,606
0,393
0,107
Valor
2000
10000
8.930
21,07%
r6
0,508
0,394
0,123
0,01
Valor
2000
10000
6.230
20,10%
r7
0,818
0,057
0,465
0,754
r8
2000
10000
9.650
27,54%
0,0357
0,3161
0,0388
0,4407
Valor
10000
10000
5.388
24,41%
r9
0,5351
0,0421
0,2231
0,1292
Valor
r10
Valor
r11
Valor
r12
Valor
2000
10000
7.231
21,29%
0,6895
0,3131
0,9541
0,5593
2000
10000
14.541
25,59%
0,6272
0,7131
0,8669
0,5634
2000
5000
13.669
25,63%
0,5462
0,8802
0,1891
0,8777
2000
1000
6.891
28,78%
r13
0,2648
0,8284
0,2528
0,5931
Valor
10000
5000
7.528
25,93%
r14
0,9817
0,1249
0,7375
0,8198
Valor
r15
Valor
2000
10000
12.375
28,20%
0,6567
0,6826
0,0925
0,4155
2000
5000
5.925
24,15%
0,1025
0,3301
0,283
0,4571
Valor
10000
10000
7.830
24,57%
r17
0,6914
0,797
0,9508
0,7008
r16
Valor
r18
2000
5000
14.508
27,01%
0,3976
0,8333
0,0893
0,1863
Valor
10000
5000
5.893
21,86%
r19
0,1504
0,1829
0,6951
0,5897
Valor
10000
10000
11.951
25,90%
r20
0,7801
0,3384
0,3064
0,7867
2000
10000
8.064
27,87%
Valor
t
Y
0,692
Valor
Valor
ALFAOMEGA
0,23
FAC U LTA D D E A D M I N I S T R AC I Ó N / U N I A N D E S
VPN
$ 7.832,03
$ 2.739,46
$ 9.300,56
$ 10.022,33
$ 3.506,19
$ 2.194,49
$ 2.367,20
$ 7.297,38
$ 2.498,38
$ 5.272,18
$ 1.652,56
$ -4.617,01
$ 4.863,03
$ 3.518,44
$ -2.049,24
$ 8.522,30
$ 1.755,68
$ 4.829,35
$ 10.241,13
$ 1.537,48
[367]
Capítulo 12
a) Suponiendo una TIO conocida (25%).
b) Suponiendo una tasa de interés de oportunidad, con una distribución uniforme
(P[20,30]), entre el 20% y el 30%.
Además, para los dos proyectos, suponga que los flujos de caja libre para el
proyecto de cada año son variables aleatorias independientes.
Proyecto A:
X
Y
Z
I
Con las siguientes distribuciones de probabilidad para X, Y y Z (variables
aleatorias):
X
Px(X)
Y
Py(Y)
Z
10.000
0,5
10.000
0,667
Z~U[5.000, 15.000]
2.000
0,5
5.000
0,167
1.000
0,167
Proyecto B:
L
W
M
I
Con las siguientes distribuciones de probabilidad para L, W y M (variables
aleatorias):
[368]
L
PL(L)
W
PW(W)
M
6.000
0,25
8.000
0,250
M~U[8.000, 12.000]
4.000
0,75
7.000
0,250
6.000
0,250
5.000
0,250
JAVIER SERR ANO
Simulación de Montecarlo
Parte A: La tasa de interés de oportunidad es constante y conocida
Los cálculos para el proyecto A se realizaron previamente. El proyecto A tiene un VPN
esperado de 4.827, con una desviación estándar de 4.175, es decir, un coeficiente de
variación del 86,5%. Para el proyecto B se tiene:
1
3
(6.000) (4.000) 1.500 3.000
4
4
E(L) =
E(W) =
4.500
1
1
1
1
(8.000) (7.000) (6.000) + (5.000)
4
4
4
4
= 2.000 + 1.750 + 1.500 +1.250 = 6.500
E(M) =
(b + a) (12.000 + 8.000)
=
= 10.000
2
2
De donde el E(VPN(25%)) es:
E(VPN(25%)) = - 10.000 + 4.500 + 6.5002 + 10.000
3
1,25
1,25
1,25
E(VPN(25%)) = 2.880
Bajo el supuesto de independencia estocástica de los tres flujos de fondos (L, W y M),
el cálculo de la varianza se simplifica significativamente. Por ello,
VAR(L) =
VAR(W) =
1
3
(6.000 - 4.500)2 + (4.000 - 4.500)2 = 562.500 + 187.500 = 750.000
4
4
1
1
1
(8.000 - 6.500)2 + (7.000 - 6.500)2 + (6.000 - 6.500)2
4
4
4
1
+ (5.000 - 6.500)2
4
VAR(W) = 562.500 + 62.500 + 62.500 + 562.500
VAR(W) = 1.250.000
VAR(M) =
(b - a)2 (12.000 - 8.000)2
= 1.333.333,33
=
12
12
Por lo tanto, la varianza del valor presente neto sería:
ALFAOMEGA
t
FAC U LTA D D E A D M I N I S T R AC I Ó N / U N I A N D E S
[369]
Capítulo 12
1.250.000
1.333.333, 33
VAR(VPN(25%)) = 0 + 750.000
+
+
2
4
6
1,25
1,25
1,25
VAR(VPN(25%)) = 0 + 480.000 + 512.000 + 349.525,33
VAR(VPN(25%)) = 1.341.525,33
De donde se desprende que la desviación estándar del valor presente neto es
1.158,24.
Por lo tanto, el proyecto B tiene un valor presente neto esperado de 2.880, con una
desviación de 1.158,24, es decir, un coeficiente de variación del 40%. En el Cuadro
12.3 se resume la situación de los dos proyectos:
Cuadro 12.3
Proyecto
Valor esperado VPN
Desviación estándar VPN
Coeficiente de variación
A
4.827
4.175
86,5%
B
2.880
1.158
40%
La selección entre los dos proyectos A y B, mutuamente excluyentes, no es obvia, ya
que en últimas va a depender de la forma como el inversionista pondere valor esperado y riesgo. En otras palabras, el inversionista tendrá que evaluar si el mayor valor
esperado del proyecto A (o mayor rentabilidad esperada del proyecto A) compensa el
mayor riesgo que a su vez tiene el proyecto A. Esta ponderación no es fácil, y como
se mencionó depende de varios factores: curva de utilidad del inversionista, monto involucrado, situación financiera del inversionista, etc.
Parte B
Suponiendo que la tasa de descuento es una variable aleatoria con una distribución
de probabilidad uniforme entre el 20% y el 30% y utilizando las técnicas de simulación de Montecarlo. Los cálculos para el proyecto A se realizaron previamente, con
los resultados que se muestran a continuación:
Media muestral del valor presente neto: 4.164,20
Desviación estándar del valor presente neto: 3.903,70
Coeficiente de variación: 93,74%
En el Cuadro 12.4 se resumen los cálculos para la estimación de los parámetros del
proyecto B:
[370]
JAVIER SERR ANO
Simulación de Montecarlo
Cuadro 12.4
L
r1
Valor
r2
Valor
r3
Valor
r4
Valor
r5
Valor
r6
Valor
r7
Valor
r8
Valor
r9
Valor
r10
Valor
r11
Valor
r12
Valor
r13
Valor
r14
Valor
r15
Valor
r16
Valor
r17
Valor
r18
Valor
r19
Valor
r20
Valor
0,978
4.000
0,1563
6000
0,4069
4000
0,1513
6000
0,8118
4000
0,8588
4000
0,0362
6000
0,7996
4000
0,9474
4000
0,4904
4000
0,3477
4000
0,3777
4000
0,8622
4000
0,963
4000
0,5593
4000
0,6644
4000
0,9626
4000
0,0125
6000
0,4811
4000
0,1665
6000
W
0,8373
5000
0,8452
5000
0,5872
6000
0,9774
5000
0,6275
6000
0,8595
5000
0,7686
5000
0,893
5000
0,9681
5000
0,486
7000
0,2285
8000
0,908
5000
0,4024
7000
0,5015
6000
0,5725
6000
0,7595
5000
0,2679
7000
0,6244
6000
0,8117
5000
0,3905
7000
M
0,5215
10.086,00
0,5342
10.136,80
0,3266
9.306,40
0,5813
10.325,20
0,8714
11.485,60
0,9393
11.757,20
0,1718
8.687,20
0,4709
9.883,60
0,2391
8.956,40
0,7671
11.068,40
0,4635
9.854,00
0,6069
10.427,60
0,4023
9.609,20
0,5851
10.340,40
0,1384
8.553,60
0,8894
11.557,60
0,4462
9.784,80
0,8239
11.295,60
0,3137
9.254,80
0,8022
11.208,80
TIO
0,2307
22,31%
0,5034
25,03%
0,554
25,54%
0,8739
28,74%
0,1844
21,84%
0,5482
25,48%
0,099
20,99%
0,4866
24,87%
0,2288
22,29%
0,9163
29,16%
0,857
28,57%
0,9963
29,96%
0,6456
26,46%
0,0117
20,12%
0,6925
26,93%
0,9608
29,61%
0,8036
28,04%
0,0973
20,97%
0,1247
21,25%
0,2486
22,49%
VPN
$ 2.125,64
$ 3.182,90
$ 1.697,10
$ 2.516,56
$ 3.673,79
$ 2.313,75
$ 3.279,66
$ 1.487,09
$ 1.512,20
$ 2.429,21
$ 2.587,25
$ 788,36
$ 2.292,59
$ 3.455,19
$ 1.058,91
$ 1.371,25
$ 2.056,08
$ 5.440,14
$ 1.892,46
$ 5.663,94
Nuevamente los dos parámetros, valor esperado y desviación estándar del valor
presente neto, se estiman respectivamente con la media muestral y con la desviación
estándar muestral; los resultados obtenidos son:
ALFAOMEGA
t
FAC U LTA D D E A D M I N I S T R AC I Ó N / U N I A N D E S
[371]
Capítulo 12
Media muestral del valor presente neto: 2.541,20
Desviación estándar del valor presente neto: 1.291,86
Coeficiente de variación: 50,80%
En el Cuadro 12.5 se resumen los resultados obtenidos para los dos proyectos A y B,
utilizando técnicas de simulación de Montecarlo:
Cuadro 12.5
A
B
Valor esperado VPN
Proyecto
4.164,20
2.541,20
Desviación estándar VPN
3.903,70
1.291,86
Coeficiente de variación
93,74%
50,80%
La escogencia entre los dos proyectos no es obvia. Observe las diferencias entre los
resultados exactos para el caso de la tasa interna de retorno constante y conocida
(Parte A) y los obtenidos para el caso en el cual la tasa de descuento es una variable
aleatoria, uniforme, entre el 20% y el 30% (Parte B). ¿Qué puede decir usted al
respecto?
FRONTERA EFICIENTE EN MEDIA Y VARIANZA
Considere un mercado en el cual hay N oportunidades o alternativas de inversión
básicas (p. ej., acciones, proyectos, empresas), cada una de ellas con una rentabilidad
RJ, J = 1, …, N, que es una variable aleatoria, con su respectivo valor esperado ( E(RJ))
y varianza (V2J). En otras palabras:
Alternativas:
1
2
3
4 ,...... J,….. N-1
N
Valor esperado:
E(R1)
E(R2)
E(R3)
E(R4)
E(RJ)
E(RN-1) E(RN)
Varianza:
V21
V22
V23
V24
V2J
V2N-1 V2N
Fracción:
P1
P2
P3
P4
PJ
PN-1
PN
Con cada una de las alternativas de inversión básicas se puede conformar un
portafolio de inversión, invirtiendo una fracción PJ en cada una de ellas, en forma tal
que:
N
¦PJ d 1
j 1
[372]
JAVIER SERR ANO
Frontera eficiente en media y varianza
Cada combinación de las PJ, J=1,2,3,…,N, satisfaciendo la restricción anterior, constituye un portafolio de inversión, el cual es una combinación convexa de todas las
alternativas de inversión básicas. La rentabilidad de cada uno de estos portafolios de
inversión es a su vez una variable aleatoria, con una rentabilidad esperada y una varianza. Existe un número infinito de portafolios de inversión, los cuales constituyen un
conjunto convexo.
Suponga que R es la rentabilidad del portafolio de inversión, consistente en invertir Pj,
j=1,2,3,…,N, en las alternativas básicas. La rentabilidad de este portafolio de inversión estaría dada por:
R = P1* R1+ P2* R2 + …+ PJ* RJ + ...+ PN* RN
R
N
¦ Pj * R j
j 1
A su vez, el valor esperado de la rentabilidad del portafolio y la varianza de la rentabilidad del portafolio estarían dados respectivamente por:
E(R)
N
¦ Pj * E(R j )
j 1
< 2R
i Nj N
¦ ¦Pi *Pj * <i j
i 1j 1
donde Vij corresponde a la covarianza entre la rentabilidad de la i-ésima alternativa de
inversión básica y la j-ésima alternativa de inversión básica, recordando que:
Vij = V2i, cuando i es igual a j
Vij = Vji, para todo i,j
Lo ideal es encontrar el portafolio o combinación convexa de las alternativas básicas
que minimice el riesgo total y maximice la rentabilidad esperada. Esto es, encontrar la
combinación de Pj, j=1, 2, 3,…, N, tales que:
MaxE(R)
N
¦Pj * E(Rj )
j 1
Min < 2R
i Nj N
¦ ¦Pi *Pj * <i j
i 1j 1
ALFAOMEGA
t
FAC U LTA D D E A D M I N I S T R AC I Ó N / U N I A N D E S
[373]
Capítulo 12
Sujeto a que:
N
¦ Pj d 1
j 1
Pj t 0 Para j =1, 2, 3,…, j,... N
La optimización simultánea de las dos variables (máxima rentabilidad y mínimo
riesgo) no es posible. Una posibilidad para avanzar en la selección de alternativas
mutuamente excluyentes es la construcción de una frontera eficiente que facilitó
posteriormente el desarrollo del modelo CAPM, que se explicará más adelante.
Para encontrar la frontera eficiente de inversión se fija un nivel dado de rentabilidad
esperada (p. ej., E(RP)) y se encuentra el portafolio que para ese nivel dado de
rentabilidad esperada minimiza el riesgo; en otras palabras, en vez de resolver el
problema original, se resuelve el siguiente problema de programación cuadrática para
diferentes valores de E(RP). En términos notacionales, encontrar la combinación de Pj,
j=1, 2, 3,…, N, tales que:
Min < 2R
i Nj N
¦ ¦Pi *Pj * <i j
i 1j 1
Sujeto a que:
j N
E(R)
¦ Pj * E(R j ) E(Rp )
j 1
j N
¦Pj d 1
j 1
Pj t 0 Para j =1, 2, 3, …,j,..., N
La solución repetitiva de este problema de programación cuadrática para diferentes
valores de E(RP) conduce a la frontera eficiente de inversión, la cual se representa en
la figura 12.3, donde se muestran las dos dimensiones de rentabilidad esperada y
riesgo. Los portafolios que están por encima de la frontera eficiente de inversión (p.
ej., portafolio C) son ineficientes porque o existe un portafolio con la misma
rentabilidad esperada y menor riesgo (p. ej. portafolio A) o existe otro portafolio con
el mismo riesgo pero con una mayor rentabilidad esperada (p. ej., portafolio B). Los
portafolios por debajo de la frontera eficiente son portafolios no factibles, pues no
existen para el conjunto de restricciones especificadas. Los portafolios sobre la
frontera (p. ej., portafolio A y B) son eficientes en términos de media varianza;
aunque un inversionista racional se localizaría sobre la frontera eficiente, la decisión
[374]
JAVIER SERR ANO
Frontera eficiente en media y varianza
entre los portafolios A y B sobre la frontera eficiente no es obvia, ya que en últimas
va a depender de la forma como ese inversionista pondera rentabilidad esperada y
riesgo.
Figura 12.3
Frontera eficiente de inversión
FRONTERA EFICIENTE
DE INVERSIÓN
RIESGO
PORTAFOLIOS
INEFICENTES
C
A
B
PORTAFOLIOS NO
FACTIBLES
RENTABILIDAD ESPERADA
Ejemplo 12.4 Determinación de la frontera eficiente
Considere los cuatro activos financieros cuyas rentabilidades se presentan en el
Cuadro 12.6 para 15 períodos (Ra, Rb, Rc, Rd). Se quiere encontrar la frontera eficiente para este conjunto de cuatro activos financieros. Al final del cuadro bajo el
encabezado de parámetros básicos se muestran los estimativos del valor esperado de
la rentabilidad, desviación estándar de la rentabilidad y varianza de la rentabilidad de
cada uno de los activos financieros, calculadas utilizando la media muestral para el
valor esperado de la rentabilidad y la desviación estándar muestral. Así mismo se
muestran los estimativos de los coeficientes de correlación entre la rentabilidad de los
diferentes activos financieros.
La matriz de varianza-covarianza se calcula utilizando la facilidad que ofrece Excel
para su estimación, tal y como se muestra en el Cuadro 12.7. Para ello se selecciona
“Herramientas” en el menú, se sigue con “Análisis de datos, Covarianza”, se escoge
el rango de entrada como el correspondiente a las 60 observaciones de la rentabilidad
para los cuatro activos financieros para los 15 períodos, se selecciona un rango de
salida y se le da la instrucción de aceptar para obtener la salida que se muestra en el
Cuadro 12.7, donde se hizo la correspondiente señalización.
ALFAOMEGA
t
FAC U LTA D D E A D M I N I S T R AC I Ó N / U N I A N D E S
[375]
Capítulo 12
El Cuadro 12.7 se debe completar teniendo en cuenta que la matriz de varianzacovarianza es una matriz simétrica en la medida en que la covarianza entre la
rentabilidad de a y la rentabilidad de b es igual a la covarianza entre la rentabilidad de
b y la rentabilidad de a. Al llenar las celdas vacías se obtiene la matriz de varianzacovarianza que se muestra en el Cuadro 12.8:
Cuadro 12.6
Período
Ra
Rb
Rc
Rd
1
10,00%
15,00%
16,00%
15,00%
2
12,00%
18,00%
20,00%
8,00%
3
18,00%
30,00%
34,00%
40,00%
4
20,00%
12,00%
8,00%
12,00%
5
30,00%
40,00%
42,00%
50,00%
6
18,00%
35,00%
38,00%
10,00%
7
25,00%
34,00%
30,00%
60,00%
8
24,00%
18,00%
20,00%
50,00%
9
12,00%
32,00%
34,00%
12,00%
10
18,00%
30,00%
30,00%
5,00%
11
12,00%
33,00%
33,00%
60,00%
12
14,00%
12,00%
14,00%
28,00%
13
18,00%
15,00%
15,00%
29,00%
14
20,00%
25,00%
28,00%
30,00%
40,00%
24,00%
35,00%
10,00%
Valor esperado, E(Rj)
Desviación estándar, Desv. est. (Rj)
19,40%
7,66%
24,87%
8,97%
26,47%
9,84%
27,93%
19,01%
Varianza
0,59%
0,80%
0,97%
3,62%
15
Parámetros básicos
Coeficientes de correlación entre pares de variables, utilizando la función de Pearson
100%
23,29%
36,65%
14,90%
23,29%
100,00%
94,02%
33,59%
36,65%
94,02%
100,00%
21,44%
14,90%
33,59%
21,44%
100,00%
Cuadro 12.7
Columna 1
[376]
Columna 2
Columna 3
Columna 1
0,005864000
Columna 2
0,001598667
0,00803822
Columna 3
0,002761333
0,00829289
0,00967822
Columna 4
0,002169333
0,00572578
0,00400978
Columna 4
0,03615289
JAVIER SERR ANO
Frontera eficiente en media y varianza
Cuadro 12.8
Matriz de varianza-covarianza
Ra
Rb
Rc
Rd
Ra
0,0058640
0,0015987
0,0027613
0,0021693
Rb
0,0015987
0,0080382
0,0082929
0,0057258
Rc
0,0027613
0,0082929
0,0096782
0,0040098
Rd
0,0021693
0,0057258
0,0040098
0,0361529
Con la información anterior se calcula tanto el valor esperado del portafolio como su
varianza. A manera de ejemplo, se selecciona el portafolio que tiene la siguiente
composición: Pa, 22%; Pb, 15%; Pc, 25% y Pd, 38%, para un total del 100%. La
selección del portafolio fue arbitraria y no corresponde a un portafolio eficiente en
media y varianza como se mostrará posteriormente, simplemente es una selección
arbitraria para comenzar el proceso. En el Cuadro 12.9 se muestran los cálculos
intermedios necesarios para calcular el valor esperado y la varianza de la rentabilidad
del portafolio, esto es, E(RP) y VAR(RP):
RP
= P1 * R1 + P2 * R2 + P3 * R3 + P4 * R4
= 0,22 * R1 + 0,15 * R2 + 0,25 * R3 + 0,38 * R4
E(RP)
= P1 * E(R1) + P2 * E(R2 ) + P3 * E(R3) + P4 * E(R4)
E(RP)
= 0,22 * E(R1) + 0,15 * E(R2 ) + 0,25 * E(R3) + 0,38
* E(R4 ) = 25,23%
VAR(RP) = (0,22)2 * VAR(R1) + (0,15)2 * VAR(R2) + (0,25)2 * VAR(R3)
+ (0,38)2 * VAR(R4) + 2 * 0,22 * 0,15 * COV(R1,R2)
+ 2 * 0,22 * 0,25 * COV(R1,R3) + 2 * 0,22 * 0,38 * COV(R1,R4)
+ 2 * 0,15 * 0,25 * COV(R2,R3) + 2 * 0,15 * 0,38 * COV(R2,R4)
+ 2 * 0,25 * 0,38 * COV(R3,R4)
El valor esperado es igual al 25,23% y la varianza (suma), es igual a 0,0090986
(0,90986%).
ALFAOMEGA
t
FAC U LTA D D E A D M I N I S T R AC I Ó N / U N I A N D E S
[377]
Capítulo 12
Cuadro 12.9
Cálculos intermedios
E(Rp)=
0.2522933
P2
0.0484000
0.0225000
0.0625000
0.1444000
P2*VAR(Rj)
0.0002838
0.0001809
0.0006049
0.0052205
Pi*Pj*∂IJ
Suma
0.0002838
0.0000528
0.0001519
0.0001814
0.0000528
0.0001809
0.0003110
0.0003264
0.0001519
0.0003110
0.0006049
0.0003809
0.0001814
0.0003264
0.0003809
0.0052205
0.0090986
Las dos celdas clave corresponden a aquellas en las cuales se encuentra el valor esperado de la rentabilidad y la varianza de la rentabilidad como función de los porcentajes de participación de cada activo financiero en el portafolio. Para este ejemplo,
son respectivamente las celdas B38 y B48, a manera de ejemplo. A partir de estas
celdas se procede a la utilización de “Solver” de Excel, para un valor dado de la
rentabilidad, siguiendo los siguientes pasos:
x
x
x
x
x
[378]
Definición de las participaciones iniciales en un rango de celdas; por ejemplo,
B35:E35.
Selección de una celda (p. ej., C58), para establecer el nivel de rentabilidad esperado (p. ej., 25%).
Fijación de una celda donde se encuentre la suma de los porcentajes (p. ej., la
celda F35), la cual durante el proceso se deberá hacer igual a 100%.
Seleccionar en el menú la opción de “Herrramientas”, y después “Solver”. Para el
cuadro que aparece, seleccionar como celda objetivo la B48 (celda de la varianza
parametrizada); y mínimo como valor de la celda objetivo, combinando las celdas
$B$35:$E$35. Esto es, las celdas donde se encuentran los porcentajes de participación de cada activo financiero en el portafolio, que son las que se van a variar
automáticamente como respuesta de “Solver” para encontrar el portafolio de mínima varianza que, cumpliendo con las restricciones del problema, da una rentabilidad esperada igual a 25%.
Se establecen las restricciones del problema, específicamente:
o Las participaciones de cada activo financiero en el portafolio deben ser iguales o mayores a cero ($B$35:$E$35 ≥ 0).
o La rentabilidad esperada (celda $B$38, parametrizada) debe ser igual a la
rentabilidad esperada que se fijó, el 25% para el ejemplo en la celda C58. La
ecuación sería: $B$38 = $C$58.
o La suma de los porcentajes deberá ser igual al 100% ($F$35 = 100%).
JAVIER SERR ANO
Frontera eficiente en media y varianza
x
x
x
x
x
x
x
x
Se procede con la opción de resolver, aparece la pregunta sobre si se debe
utilizar la solución de solver, a lo cual se responde aceptar, para encontrar la
solución que se está buscando, esto es, el portafolio de mínima varianza para una
rentabilidad esperada del 25%.
Se obtiene una solución en el rango de celdas B35:E35, con los participaciones de
cada activo financiero en el portafolio eficiente; esto es: P1 = 23,14%; P2 =
2,17%; P3 = 60,86%; P4 = 13,84%; la suma de los cuatro porcentajes es igual al
100%, que era una de las restricciones establecidas en “Solver”.
Para el portafolio anterior el valor esperado de la rentabilidad del portafolio es el
25% (fijado) y la varianza es 0,0064556 o 0,64556%, que corresponde al portafolio de mínima varianza para una rentabilidad esperada del 25%, entre todos los
portafolios factibles de acuerdo con el mercado que forman los cuatro activos
financieros.
En la figura 12.4 se muestra una foto a manera de imagen de la página en Excel,
donde se resumen todos los pasos que se acaban de presentar.
El proceso continúa iterativamente, cambiando la rentabilidad esperada, definida
en la celda C58 a un nuevo valor.
Para el ejemplo se encontraron los valores que se muestran en el Cuadro 12.10.
Se procede a graficar los valores de rentabilidad esperada y varianza que se muestran en el Cuadro 12.10, para obtener la Figura 12.5, donde se muestran los ocho
puntos correspondientes a las diferentes corridas.
Si se hace un ajuste a los 8 puntos anteriores se muestra una curva que contiene
la frontera eficiente, tal y como se muestra en la Figura 12.6.
Cuadro 12.10
Corrida
P1
P2
P3
P4
E(RP)
VAR(RP)
1
89,02%
10,98%
0,00%
0,00%
20,000%
0,5057%
2
70,73%
29,27%
0,00%
0,00%
21,000%
0,4284%
3
54,24%
42,55%
0,00%
3,21%
22,000%
0,4188%
4
40,07%
46,23%
6,54%
7,16%
23,000%
0,4665%
5
31,61%
24,17%
33,72%
10,50%
24,000%
0,5458%
6
23,15%
2,10%
60,90%
13,85%
25,000%
0,6456%
7
10,01%
0,00%
73,55%
16,43%
26,000%
0,7719%
8
0,00%
0,00%
63,63%
36,37%
27,000%
1,0557%
ALFAOMEGA
t
FAC U LTA D D E A D M I N I S T R AC I Ó N / U N I A N D E S
[379]
Capítulo 12
Figura 12.4
Figura 12.5
Frontera eficiente (media-varianza)
[380]
JAVIER SERR ANO
Análisis del riesgo a través del análisis de escenarios
Figura 12.6
Frontera eficiente (media-varianza)
ANÁLISIS DEL RIESGO A TRAVÉS DEL ANÁLISIS DE ESCENARIOS
No obstante los desarrollos existentes en la teoría financiera sobre el tratamiento del
riesgo, a algunos de los cuales se ha hecho referencia en este capítulo, su aplicación
práctica es limitada, especialmente cuando los mismos suponen la asignación de
distribuciones de probabilidad a las diferentes variables involucradas en la evaluación
de un proyecto de inversión. Por ello, a veces no es posible una cuantificación precisa
del riesgo, tal y como se mostró en este capítulo, reduciéndose la consideración del
riesgo al análisis del comportamiento del proyecto de inversión en un conjunto de
escenarios macroeconómicos y al análisis de sensibilidad de los factores críticos o
“value drivers” dentro de cada uno de esos escenarios.
El análisis de escenarios permite una cualificación del riesgo del proyecto (p. ej., alto,
medio, bajo), frente a una cuantificación del mismo, tal y como lo suponen algunas
de las técnicas vistas en este capítulo. Para ello usualmente se escogen tres escenarios
(normativo, optimista, pesimista) que, como se mencionó en el Capítulo 7, son el
resultado del trabajo de firmas especializadas en este tema. El proyecto se evalúa
dentro de cada escenario, haciendo un análisis de sensibilidad sobre los factores
críticos o “value drivers”. La dispersión de posibles resultados de los indicadores que
se estén utilizando (p. ej., valor presente neto o tasa interna de retorno) permite
hacer la cualificación del riesgo del proyecto, que hace parte de la información que
debe analizar el inversionista, para tomar una decisión. Algunos van más allá y le
asignan probabilidades subjetivas a los diferentes escenarios, buscando una cuantificación del riesgo, lo cual no deja de generar dudas sobre la validez teórica de esta
aproximación.
ALFAOMEGA
t
FAC U LTA D D E A D M I N I S T R AC I Ó N / U N I A N D E S
[381]
Capítulo 12
EJEMPLOS
Ejemplo 12.5
Considere el siguiente proyecto con una vida útil de tres años y una inversión de
$10.000 millones. Los flujos de caja libre para el proyecto para cada uno de los tres
años son variables aleatorias estadísticamente independientes con las siguientes
distribuciones de probabilidad:
FCLP1 = X, variable aleatoria, con 3 posibles resultados: 4.000, con probabilidad de
1/6; 5.000, con probabilidad de 4/6; 6.000, con probabilidad de1/6.
FCLP2 = Y, variable aleatoria con 4 posibles resultados: 3.000, con probabilidad de
1/6; 4.500, con probabilidad 2/6; 7.500, con probabilidad de 2/6; 9.000, con
probabilidad de1/6.
FCLP3 = Z = variable aleatoria con distribución uniforme entre 6.000 y 10.000.
a) Suponiendo que la TIO es una constante e igual al 22%, ¿cuál sería el valor
presente promedio, la desviación estándar y el coeficiente de variación?
Los cálculos correspondientes para determinar el valor esperado del valor presente neto y la desviación estándar del valor presente neto se presentan en el Cuadro 12.11:
Cuadro 12.11
Cálculos y resultados
Flujos
X
Y
Z
VPN
E
5.000
6.000
8.000
2.535
E[VPN(i=22%)] = - 10,000 +
VAR(VPN) =
VAR(VPN) =
Var(X)
(1 + i)2
+
Var(y)
(1 + i)4
333.333
2
(1+ 0,22)
+
Var.
333.333
4.500,000
1,333,333
2.659.621
Dist. est.
577,35
2.121,32
1.155
1.630
5.000 6.000 8.000
= 2.535
+
+
1,22
1,22 2 1,22 3
+
Var(Z)
(1 + i)6
4.500.000
4
(1+ 0,22)
+
1.333.333
(1+ 0,22)6
VAR(VPN) = 223.954 + 2.031.296 + 404.371 = 2.659.621
Coeficiente de variación = 1.630/2.535 = 64,33%
b) Si la TIO es una variable aleatoria con una distribución uniforme entre el 19% y
el 25%.
La solución analítica es muy compleja; por ello se procede a una estimación de los
parámetros pertinentes utilizando la simulación de Montecarlo. Las asignaciones
para cada flujo aleatorio son:
[382]
JAVIER SERR ANO
Ejemplos
Para el flujo del año 1, X:
SI(R1<0,167;X=4.000; SI(R1<0,833;X=5.000;X=6.000))
Para el flujo del año 2, Y:
SI(R2<0,167; Y= 3.000;SI(R2<0,5;Y=4.500;SI(R2<0,833;Y=7.500;Y=9.000)))
Para el flujo del año 3, Z:
Z = 6.000 + 4.000 * R3
Para la tasa de interés de oportunidad, TIO:
TIO = 19%+ 6%*R4
En el Cuadro 12.12 se muestran los resultados para una muestra parcial de 30
simulaciones.
Los resultados estimados con base en una muestra de 360 simulaciones fueron:
x
x
x
Media muestral = 2.513; estimador del valor esperado del valor presente neto.
Desviación estándar muestral = 1.622; estimador de la desviación estándar del
valor presente neto.
Coeficiente de variación estimado = 64,57%
En la Figura 12.7 se muestra el histograma correspondiente a los resultados observados para una muestra de 360 simulaciones:
Figura 12.7
Histograma (360 simulaciones): frecuencia
ALFAOMEGA
t
FAC U LTA D D E A D M I N I S T R AC I Ó N / U N I A N D E S
[383]
Capítulo 12
Cuadro 12.12
Muestra parcial de simulaciones
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
I
-10,000
-10,000
-10,000
-10,000
-10,000
-10,000
-10,000
-10,000
-10,000
-10,000
-10,000
-10,000
-10,000
-10,000
-10,000
-10,000
-10,000
-10,000
-10,000
-10,000
-10,000
-10,000
-10,000
-10,000
-10,000
-10,000
-10,000
-10,000
-10,000
-10,000
R1
0.8890
0.8528
0.1130
0.1095
0.3059
0.7343
0.5239
0.0325
0.5649
0.1100
0.3874
0.1945
0.6668
0.2036
0.2681
0.6249
0.8800
0.1048
0.7419
0.5397
0.0250
0.3323
0.1326
0.4879
0.5082
0.7393
0.9265
0.3334
0.9953
0.6081
R2
0.7245
0.4426
0.5586
0.2681
0.0890
0.0906
0.9683
0.5832
0.9665
0.7734
0.8071
0.2839
0.5799
0.4109
0.2545
0.8346
0.2993
0.9186
0.5050
0.9950
0.9085
0.8662
0.2581
0.1709
0.4271
0.4953
0.2011
0.1250
0.7708
0.3978
R3
0.2378
0.2352
0.6570
0.8949
0.4440
0.0897
0.9212
0.4199
0.1330
0.2210
0.1789
0.4435
0.4477
0.8633
0.8285
0.0068
0.5339
0.1035
0.1017
0.6199
0.1297
0.3953
0.8115
0.1664
0.6760
0.9495
0.5118
0.3614
0.8292
0.5017
R4
0.6092
0.0015
0.1205
0.3467
0.2584
0.7622
0.6246
0.8746
0.0473
0.2621
0.9205
0.8837
0.6068
0.9019
0.4000
0.7421
0.2997
0.1380
0.4734
0.9026
0.7329
0.5521
0.0514
0.4382
0.7621
0.5095
0.3567
0.4567
0.3140
0.8660
X
6,000
6,000
4,000
4,000
5,000
5,000
5,000
4,000
5,000
4,000
5,000
5,000
5,000
5,000
5,000
5,000
6,000
4,000
5,000
5,000
4,000
5,000
4,000
5,000
5,000
5,000
6,000
5,000
6,000
5,000
Y
7,500
4,500
7,500
4,500
3,000
3,000
9,000
7,500
9,000
7,500
7,500
4,500
7,500
4,500
4,500
9,000
4,500
9,000
7,500
9,000
9,000
9,000
4,500
4,500
4,500
4,500
4,500
3,000
7,500
4,500
Z
6,951
6,941
8,628
9,580
7,776
6,359
9,685
7,680
6,532
6,884
6,716
7,774
7,791
9,453
9,314
6,027
8,136
6,414
6,407
8,479
6,519
7,581
9,246
6,666
8,704
9,798
8,047
7,446
9,317
8,007
TIO
22.66%
19.01%
19.72%
21.08%
20.55%
23.57%
22.75%
24.25%
19.28%
20.57%
24.52%
24.30%
22.64%
24.41%
21.40%
23.45%
20.80%
19.83%
21.84%
24.42%
23.40%
22.31%
19.31%
21.63%
23.57%
22.06%
21.14%
21.74%
20.88%
24.20%
VNA
3,644
2,337
3,601
1,770
651
-619
5,283
2,082
4,366
2,404
2,330
983
3,287
1,835
2,378
3,159
2,666
3,334
2,698
4,236
2,621
4,247
1,958
857
1,606
2,505
2,546
258
5,370
1,123
¿Cuál sería el riesgo de invertir en este proyecto?
El coeficiente de variación estimado es alto (64,57%) y en principio indicativo de un
riesgo alto por una volatilidad elevada alrededor del valor esperado. Sin embargo, el
valor esperado puede caer en 1,549 veces la desviación estándar y aún no obtener un
valor presente neto negativo, que es el riesgo real que enfrenta el inversionista. Bajo
el supuesto de una distribución normal, la probabilidad de que el verdadero valor del
valor presente neto caiga por debajo de 0 es de 0,0606, o 6,06%, que es la
probabilidad de que una variable aleatoria con una distribución normal estándar con
media cero y desviación estándar igual a 1 caiga por debajo de -1,549. Por lo tanto,
el riesgo de obtener un resultado negativo en términos de valor presente neto sería
bajo.
[384]
JAVIER SERR ANO
Ejemplos
Ejemplo 12.6
En el Cuadro 12.13 se muestra la rentabilidad de cuatro activos financieros durante
30 períodos. Se solicita construir la frontera eficiente para un mercado conformado
por esos cuatro activos financieros:
Cuadro 12.13
Año
Activo 1
Activo 2
Activo 3
Activo 4
1
19,00%
17,00%
21,00%
15,00%
2
19,00%
17,00%
22,00%
17,00%
3
19,50%
20,00%
21,00%
24,00%
4
20,00%
21,00%
23,00%
26,00%
5
20,50%
22,00%
22,00%
27,00%
6
20,00%
21,00%
21,00%
21,00%
7
19,00%
18,00%
21,00%
22,00%
8
20,00%
19,00%
22,00%
25,00%
9
19,00%
18,00%
20,00%
26,00%
10
20,00%
19,00%
24,00%
27,00%
11
19,00%
18,00%
25,00%
28,00%
12
19,50%
18,50%
26,00%
22,00%
13
20,00%
19,00%
19,00%
17,00%
14
21,00%
22,00%
18,00%
19,00%
15
18,00%
17,00%
23,00%
22,00%
16
19,00%
18,00%
25,00%
24,00%
17
19,50%
21,00%
22,00%
25,00%
18
20,00%
21,00%
21,00%
21,00%
19
20,50%
22,00%
21,00%
19,00%
20
21,00%
22,00%
17,00%
22,00%
21
21,50%
23,00%
24,00%
25,00%
22
20,00%
21,00%
25,00%
26,00%
23
19,50%
21,00%
17,00%
27,00%
24
19,00%
20,00%
21,00%
21,00%
25
18,50%
19,00%
22,00%
21,00%
26
19,00%
21,00%
21,00%
23,00%
27
20,00%
22,00%
17,00%
21,00%
28
20,50%
22,00%
18,00%
24,00%
29
21,00%
23,00%
22,00%
19,00%
30
21,50%
24,00%
23,00%
25,00%
En el Cuadro 12.14 se muestran algunos cálculos básicos para la determinación del
valor esperado y la varianza de la rentabilidad de un portafolio, constituido con los
cuatro activos financieros. Específicamente, el valor esperado y la desviación estándar
de cada activo financiero, estimados respectivamente por la media muestral y la
desviación estándar muestral, y la matriz de varianza-covarianza.
ALFAOMEGA
t
FAC U LTA D D E A D M I N I S T R AC I Ó N / U N I A N D E S
[385]
Capítulo 12
Cuadro 12.14
Promedio
Desviación estándar
Varianza (muestral)
Activo 1
19,80%
0,88%
0,0077%
Activo 1
0,00007690
0,00014017
-0,00003733
0,00001900
Activo 1
Activo 2
Activo 3
Activo 4
Activo 2
Activo 3
20,22%
21,47%
1,97%
2,45%
0,0389%
0,0598%
Matriz de varianza-covarianza
Activo 2
Activo 3
0,00014017
-0,00003733
0,00038911
-0,00013178
-0,00013178
0,00059816
0,00010817
0,00023733
Activo 4
22,70%
3,34%
0,1118%
Activo 4
0,00001900
0,00010817
0,00023733
0,00111828
Para cada portafolio sobre la frontera eficiente hay que resolver el siguiente problema
de optimización, fijando un nivel dado de rentabilidad, por ejemplo, el 20%.
i Nj N
Minimizar
¦ ¦ Pi *Pj * Cov(Ri , R j )
i 1j 1
Sujeto a que:
j N
¦ Pj * E(R j )
R1
20%
j 1
j N
¦Pj d 1
j 1
Pj t 0 Para j =1, 2, 3 ,…,j,..., N
La función objetivo a minimizar corresponde a la varianza de la rentabilidad del
portafolio, para una combinación dada de los porcentajes que se invierten en cada
activo financiero (PJ, J=1,2,3,4), esto es:
VAR(RP) = P12*0,00007690+ 2* P1* P2* 0,00014017-2*P1* P3*0,00003733
+2*P1* P4* 0,00001900 + P22*0,00038911 - 2*P2* P3* 0,00013178
+2*P2* P4* 0,00010817 + P32*0,00059816 + 2*P3* P4* 0,00023733
+ P42 * 0,00111828
Como se mostró, el problema de optimización se resuelve a través de la opción
“Solver” de Excel, tal y como se explicó exhaustivamente. A manera de ejemplo, para
un valor esperado del 20,75%, el portafolio eficiente estará dado por los valores de P1
= 53,40%; P2 = 3,31%; P3 = 25,88%; P4 = 17,41%, con una varianza igual a
[386]
JAVIER SERR ANO
Ejemplos
0,00011486, o lo que es equivalente, una desviación estándar de la rentabilidad del
portafolio igual al 1,0717%. En el Cuadro 12.15 se muestran 13 portafolios resultantes de la utilización de “Solver” para diferentes niveles de rentabilidad esperada.
La Figura 12.8 muestra una curva continua que se forma con la extrapolación de los
13 puntos, que contiene la frontera eficiente. Para encontrar la frontera eficiente
solicitada para los cuatro activos financieros hay que eliminar la porción inferior izquierda de la curva, ya que la misma contiene portafolios ineficientes.
Cuadro 12.15
P1
P2
P3
P4
Desv. est.
Valor esper.
100,00%
0,00%
0,00%
0,00%
19,80% 0,00007690
E
Var.
0,877%
19,80%
88,00%
0,00%
12,00%
0,00%
20,00% 0,00006028
0,776%
20,00%
76,96%
0,00%
17,68%
5,36%
20,25% 0,00006336
0,796%
20,25%
66,72%
0,00%
21,50%
11,78%
20,50% 0,00008170
0,904%
20,50%
53,40%
3,31%
25,88%
17,41%
20,75% 0,00011486
1,072%
20,75%
34,52%
12,62% 31,25%
21,61%
21,00% 0,00016053
1,267%
21,00%
15,65%
21,92% 36,62%
25,80%
21,25% 0,00021807
1,477%
21,25%
0,00%
27,92% 41,08%
31,00%
21,50% 0,00028769
1,696%
21,50%
0,00%
17,85% 41,08%
41,07%
21,75% 0,00037855
1,946%
21,75%
0,00%
7,79%
41,07%
51,14%
22,00% 0,00049559
2,226%
22,00%
0,00%
0,00%
36,49%
63,51%
22,25% 0,00064074
2,531%
22,25%
0,00%
0,00%
16,22%
83,78%
22,50% 0,00086522
2,941%
22,50%
0,00%
0,00%
0,00%
100,00% 22,70% 0,00111828
3,344%
22,70%
Figura 12.8
Riesgo versus rentabilidad esperada
ALFAOMEGA
t
FAC U LTA D D E A D M I N I S T R AC I Ó N / U N I A N D E S
[387]
Capítulo 12
Ejemplo 12.7
Considere un proyecto de inversión a cuatro años, con flujos aleatorios para cada
año, y con los valores esperados que se presentan en el Cuadro 12.16:
Cuadro 12.16
Año
Valor esperado
0
I
1
FCLF1
-180.000
50.000
2
FCLF2
102.700
3
FCLF3
150.000
4
FCLF4
200.000
FCLF1 es una variable aleatoria discreta que puede tomar tres valores con igual
probabilidad: 25.000, 50.000, 75.000.
FCLF2 es una variable aleatoria con la siguiente distribución de probabilidad:
Cuadro 12.17
Probabilidad
Valor
0,1500
50.000
0,2800
80.000
0,3500
120.000
0,2200
140.000
FCLF3 es una variable aleatoria uniforme entre 120.000 y 180.000.
FCLF4 es una variable aleatoria entre 150.000 y 250.000.
Parte A
Se supone que la tasa de interés de oportunidad, TIO, es constante e igual al 20% y
los flujos de caja libre para la firma son variables aleatorias estadísticamente independientes.
¿Cuál es el valor esperado del valor presente neto?
¿Cuál es la desviación estándar del valor presente neto?
¿Cuál es el coeficiente de variación?
¿Qué puede decir sobre el riesgo de realizar el proyecto?
[388]
JAVIER SERR ANO
Ejemplos
Parte B
A través de la simulación de Montecarlo, estime los mismos parámetros, suponiendo
que la TIO es una variable aleatoria con una distribución uniforme entre el 17% y el
23%.
4PMVDJØOQBSUF"
La solución de la parte A se hace a través de la formulación matemática estándar:
cuadros 12.18, 12.19 y 12.20.
Cuadro 12.18
FCLF1
Probabilidad
0,3330
0,3333
0,3337
E(FCLF1) =
VAR(FCLF1) =
Desv. estándar
Valor
25.000
50.000
75.000
50.000
416.666.667
20.412
FCLF2
Probabilidad
0,1500
0,2800
0,3500
0,2200
E(FCLF2) =
VAR(FCLF2) =
Desv. estándar
Valor
50.000
80.000
120.000
140.000
102.700
971.710.000
31.172
Cuadro 12.19
Flujo
Distribución
a
b
(a+b)/2
(b-a)2/12
FCLF3
Uniforme
120.000
180.000
150.000
300.000.000
FCLF4
Uniforme
150.000
250.000
200.000
833.333.333
El valor esperado del valor presente neto, descontado al 20%, es igual a $116.242.
Los cálculos necesarios para la varianza del valor presente neto se resumen en el
siguiente cuadro:
Cuadro 12.20
VAR(FCLF1)=416.666.667
VAR(FCLF2)=971.710.000
VAR(FCLF3)=300.000.000
VAR(FCLF4)=833.333.333
ALFAOMEGA
t
VAR(FCLF1)/(1+0,20)2 =289.351.852
VAR(FCLF2)/(1+0,20)4 =468.610.147
VAR(FCLF3)/(1+0,20)6 =100.469.393
VAR(FCLF4)/(1+0,20)8 =193.806.699
Suma =1.052.238.091
FAC U LTA D D E A D M I N I S T R AC I Ó N / U N I A N D E S
[389]
Capítulo 12
Por lo tanto la varianza del valor presente neto, con una TIO del 20%, es igual a
$1.052.238.091.
La desviación estándar del valor presente neto, con una TIO del 20%, es igual a
$32.438.
El coeficiente de variación es igual a: (32.438/116.242) = 27,91%, que se puede
considerar bajo.
Parte B
Solución a través de Montecarlo, suponiendo que la TIO es una variable aleatoria con
una distribución uniforme entre el 17% y el 23%.
El procedimiento es el siguiente:
a) Para cada variable aleatoria se genera un número aleatorio, utilizando la función
“Aleatorio” de Excel.
b) Se asigna a cada número aleatorio un valor de la variable de acuerdo con la
respectiva regla, a partir de la distribución de probabilidad acumulada.
SI(R1<0,3333;25.000;SI(R1<0,6666;50.000;75.000)), para generar valores de
FCLF1.
SI(R2<0,1500;50.000;SI(R2<0,43000;80.000;SI(R2<0,7800;120.000;140.000)),
para generar valores de FCLF2.
FCLF3 = 120.000 + 60.000 * R3
FCLF4 = 150.000 + 100.000 * R4
TIO = 17% + 6% * R5
c) Cada 5 números aleatorios se generan 5 valores respectivamente de FCLF1, FCLF2,
FCLF3, FCLF4 y TIO; los cinco valores así generados constituyen una simulación del
proyecto, para la cual se calcula el valor presente neto.
d) Para este ejemplo se realizaron 200 simulaciones del proyecto, lo cual constituyó
la muestra que se utilizó para estimar el promedio y la desviación estándar. En el
Cuadro 12.21 solamente se muestran 40 simulaciones.
[390]
JAVIER SERR ANO
Ejemplos
e) Con la muestra de 200 simulaciones se estima el promedio y la desviación estándar; con los dos estimadores se procede a calcular el coeficiente de variación.
Cuadro 12.21
Simulación de Montecarlo, 12.7, parte B
R1
R2
R3
R4
R5
FCLF1
FCLF2
FCLF3
FCLF4
TIO
VPN
1
2
3
4
5
6
0,8551
0,2267
0,3062
0,4250
0,0184
0,1752
0,7084
0,1331
0,6525
0,3577
0,3200
0,9785
0,8319
0,1611
0,0034
0,7168
0,0405
0,9703
0,2708
0,7290
0,7138
0,2584
0,1780
0,8604
0,9190
0,3481
0,8077
0,2784
0,4561
0,1307
75.000
25.000
25.000
50.000
25.000
25.000
120.000
50.000
120.000
80.000
80.000
140.000
169.912
129.665
120.203
163.010
122.431
178.219
177.084
222.902
221.382
175.842
167.801
236.042
22,51%
19,09%
21,85%
18,67%
19,74%
17,78%
132.167
63.848
88.231
105.147
49.636
173.850
7
8
9
10
11
12
13
14
0,7299
0,1474
0,4328
0,3713
0,9109
0,6840
0,0607
0,4423
0,0783
0,6884
0,3182
0,6688
0,3572
0,0769
0,8596
0,1750
0,3077
0,9348
0,7472
0,4347
0,2853
0,4655
0,9533
0,1860
0,8713
0,1460
0,1861
0,3886
0,4020
0,1472
0,7253
0,7565
0,3514
0,1665
0,9820
0,0206
0,8308
0,7056
0,2475
0,1191
75.000
25.000
50.000
50.000
75.000
75.000
25.000
50.000
50.000
120.000
80.000
120.000
80.000
50.000
140.000
80.000
138.461
176.085
164.832
146.079
137.119
147.930
177.195
131.161
237.134
164.596
168.610
188.857
190.201
164.720
222.531
225.647
19,11%
18,00%
22,89%
17,12%
21,98%
21,23%
18,48%
17,71%
117.975
119.443
76.392
141.444
96.684
75.155
160.264
118.139
15
16
17
18
19
20
181
182
0,2339
0,2310
0,7304
0,0681
0,3407
0,3251
0,0172
0,7942
0,2960
0,1969
0,1403
0,9813
0,2890
0,6887
0,5023
0,5840
0,5763
0,0628
0,1078
0,6037
0,8011
0,4768
0,4981
0,9205
0,2678
0,9287
0,0176
0,2890
0,4807
0,7669
0,4309
0,5845
0,5760
0,2410
0,2140
0,7257
0,7540
0,6148
0,3010
0,5940
25.000
25.000
75.000
25.000
50.000
25.000
25.000
75.000
80.000
80.000
50.000
140.000
80.000
120.000
120.000
120.000
154.580
123.766
126.471
156.222
168.069
148.610
149.887
175.231
176.776
242.872
151.755
178.897
198.071
226.687
193.087
208.447
20,46%
18,45%
18,28%
21,35%
21,52%
20,69%
18,81%
20,56%
68.300
96.005
73.090
105.565
99.783
114.484
112.359
163.409
183
184
185
186
187
188
189
190
0,1782
0,9987
0,5738
0,7656
0,5134
0,1010
0,0550
0,5163
0,4783
0,9658
0,7426
0,9964
0,1223
0,4875
0,6198
0,5993
0,5926
0,6456
0,6683
0,4962
0,8958
0,5380
0,3632
0,3583
0,1814
0,3357
0,0154
0,5070
0,7389
0,7016
0,1526
0,9094
0,6505
0,8604
0,7905
0,6882
0,4490
0,4960
0,4191
0,5599
25.000
75.000
50.000
75.000
50.000
25.000
25.000
50.000
120.000
140.000
120.000
140.000
50.000
120.000
120.000
120.000
155.559
158.736
160.100
149.770
173.749
152.282
141.789
141.501
168.135
183.569
151.537
200.700
223.894
220.164
165.265
240.941
20,90%
22,16%
21,74%
21,13%
19,69%
19,98%
19,51%
20,36%
89.481
144.695
99.745
154.837
107.079
118.642
88.988
140.345
191
192
193
194
195
196
197
198
0,9538
0,8089
0,1513
0,9572
0,1903
0,6481
0,5606
0,2008
0,4281
0,1174
0,6267
0,8105
0,4755
0,8066
0,5665
0,8574
0,1986
0,7605
0,8405
0,7188
0,7662
0,2016
0,5722
0,9218
0,5520
0,2542
0,1393
0,0389
0,4543
0,3416
0,6219
0,2365
0,9644
0,3843
0,1064
0,3608
0,6091
0,1786
0,5246
0,2476
75.000
75.000
25.000
75.000
25.000
50.000
50.000
25.000
80.000
50.000
120.000
140.000
120.000
140.000
120.000
140.000
131.915
165.630
170.430
163.131
165.971
132.099
154.331
175.310
205.200
175.416
163.930
153.892
195.428
184.160
212.189
173.649
22,79%
19,31%
17,64%
19,16%
20,65%
18,07%
20,15%
18,49%
95.680
102.105
118.251
154.248
109.863
137.782
135.552
134.321
199 0,4822 0,9764 0,9902 0,9188 0,5179 50.000 140.000 179.412 241.880 20,11% 178.457
200 0,6468 0,6195 0,6015 0,0968 0,0882 50.000 120.000 156.092 159.684 17,53% 129.255
ALFAOMEGA
t
FAC U LTA D D E A D M I N I S T R AC I Ó N / U N I A N D E S
[391]
Capítulo 12
Los valores estimados fueron respectivamente:
x Promedio: $116.400, como estimador del valor esperado del valor presente neto.
x Desviación estándar: $33.718, como estimador de la desviación estándar del valor
presente neto.
x Coeficiente de variación: 28,97%, como el cociente entre la desviación estándar
del valor presente neto y el valor esperado del valor presente neto.
x El histograma para frecuencias y porcentaje acumulado, que se presenta en la
Figura 12.9, muestra un bajo riesgo en la ejecución de este proyecto:
Figura 12.9
Frecuencia y porcentaje acumulado
EJERCICIOS
1.
Considere el proyecto de inversión que se muestra en el Cuadro 12.22:
Cuadro 12.22
Año
0
1
2
3
4
Flujo, fin año
-12.000
X
Y
Z
W
donde X, Y, Z y W son variables aleatorias independientes con las siguientes
distribuciones de probabilidades:
Px(x) = 1/3, x = 2.000; Px(x) = 1/3, x = 5.000; Px(x) = 1/3, x = 8.000
Py(y) = 1/6, y = 3.000; Py(y) = 4/6, y = 6.000; Py(y) = 1/6, y = 9.000
[392]
JAVIER SERR ANO
Ejercicios
Pz(z) = 1/6, z = 4.000; Pz(z) = 2/6, z = 7.000; Pz(z) = 3/6, z = 10.000
W es una variable aleatoria con una distribución uniforme entre 8.000 y
12.000.
La tasa de interés de oportunidad es constante y conocida, igual al 20%.
a. Calcule el valor esperado del valor presente neto del proyecto ($5.785).
b. Calcule la varianza del valor presente neto del proyecto (desviación estándar igual a $2.765).
c. ¿Qué puede decir sobre conveniencia o no del proyecto? (Valor presente
neto positivo y alto; la probabilidad de que el proyecto arroje un VPN
negativo, esto es, una desviación superior a dos veces la desviación estándar, es muy baja, no obstante que el coeficiente de variación es alto e igual
a 47,64%).
2.
Para el problema anterior, suponga que la tasa de interés de oportunidad es
una variable aleatoria con una distribución uniforme entre el 17% y el 23%.
Utilizando técnicas de simulación de Montecarlo, resuelva las mismas preguntas que se hacen en relación con el problema 1.
En el Cuadro 12.23 se muestran las reglas de generación de variables aleatorias, a partir de números aleatorios uniformemente distribuidos entre 0 y 1.
La respuesta depende de la secuencia de números aleatorios generados, pero
deberá estar cercana a los siguientes valores, para una muestra de tamaño 20:
x Promedio del VPN para las 20 simulaciones: 5.422,49
x Desviación estándar muestral del VPN, para las 20 simulaciones: 1.836,20
x Coeficiente de variación: 33,86%
Como se ve, los resultados difieren de los que se mostraron en el problema 1,
ya que en éste los valores calculados del E(VPN) y de su varianza son exactos,
teniendo en cuenta los supuestos; además, se introdujo un nuevo supuesto,
TIO, como variable aleatoria. En el caso de la simulación los valores se estimaron con una muestra de tamaño 20; por lo tanto están afectados por el error
de estimación por el tamaño de la muestra, que se puede considerar bajo.
ALFAOMEGA
t
FAC U LTA D D E A D M I N I S T R AC I Ó N / U N I A N D E S
[393]
Capítulo 12
Cuadro 12.23
Distribución de X
a
Número aleatorio entre a <= R1 < b
b
0
X=
33,33%
2.000
33,33%
66,67%
5.000
66,67%
100,00%
8.000
Distribución de Y
a
Número aleatorio entre a <= R2 < b
b
0
Y=
16,67%
3.000
16,67%
83,33%
6.000
83,33%
100,00%
9.000
Distribución de Z
a
Número aleatorio entre a <= R3 < b
b
0
16,67%
50,00%
Z=
16,67%
4.000
50,00%
7.000
100,00% 10.000
Distribución de W
0,5
Número aleatorio, R4
10.000,00
W=8,000+4000*R4
Distribución de la TIO
0,5
Número aleatorio, R5
20,00%
TIO=0.17+0.06*R5
3.
Considere el siguiente proyecto de inversión, con una vida útil de 4 años y con
los flujos de fondos que se muestran en el Cuadro 12.24:
Cuadro 12.24
Año
0
1
2
3
4
Flujo, fin año
-12.000
L
M
N
Q
L, M, N y Q son variables aleatorias independientes con las siguientes
distribuciones de probabilidades:
L, una variable aleatoria con una distribución uniforme entre 3.500 y 4.500.
M, una variable aleatoria con una distribución uniforme entre 5.000 y 6.000.
N, una variable aleatoria con una distribución uniforme entre 7.000 y 8.000.
Q, una variable aleatoria con una distribución uniforme entre 8.500 y 9.500.
La tasa de interés de oportunidad es constante y conocida, igual al 20%.
a. Calcule el valor esperado del valor presente neto del proyecto ($3.833).
[394]
JAVIER SERR ANO
Ejercicios
b. Calcule la varianza del valor presente neto del proyecto (varianza igual a
$145.347; desviación estándar igual a $381,24; coeficiente de variación,
9,95%).
c. ¿Qué puede decir sobre conveniencia o no del proyecto? (Valor presente
neto positivo, riesgo bajo).
4.
Para el problema anterior, suponga que la tasa de interés de oportunidad es
una variable aleatoria con una distribución uniforme entre el 17% y el 23%.
Utilizando técnicas de simulación de Montecarlo, resuelva las mismas preguntas que se hacen en relación con el problema 3.
La respuesta se obtuvo con una muestra de tamaño 20.
Promedio del VPN para las 20 simulaciones: 3.830,34
Desviación estándar muestral del VPN, para las 20 simulaciones: 675,86
Coeficiente de variación: 17,64%
Estos resultados difieren de los que se mostraron en el problema 4, ya que en
ese problema los valores calculados del E(VPN) y de su varianza son exactos,
teniendo en cuenta los supuestos. Además se introdujo un nuevo supuesto,
TIO, variable aleatoria. En el caso de la simulación los valores se estimaron con
una muestra de tamaño 20 que se puede considerar pequeña; por lo tanto
están afectados por el error de estimación.
5.
Haga una comparación entre los proyectos contemplados en los problemas 1 y
3, en términos de rentabilidad y riesgo. Si los dos proyectos fueran mutuamente excluyentes, ¿cuál sería su recomendación?
Cuadro 12.25
Comparación
Problema 1
Problema 3
E(VPN)
$5.785
3.833
Desviación est. (VPN)
$2.765
Coeficiente variación
47,64%
Volatilidad alta, riesgo
bajo de un VPN negativo
Riesgo
6.
381
9,95%
Riesgo bajo, probabilidad
nula de un VPN negativo
En términos conceptuales, ¿cómo cambiaría la solución de los problemas 1 y 3,
si los flujos de cada año no fueran variables aleatorias estadísticamente independientes?
(La solución se complicaría, pues hay que estimar las covarianzas entre los
diferentes pares de flujos aleatorios. En el caso del problema 1, implicaría la
estimación de 6 covarianzas).
ALFAOMEGA
t
FAC U LTA D D E A D M I N I S T R AC I Ó N / U N I A N D E S
[395]
Capítulo 12
7.
Suponga un proyecto de inversión a 4 años, con las siguientes características:
Inversión inicial: 5.000 millones de pesos, en la fecha cero.
Flujo de fondos en el año 1: x, donde x es una variable aleatoria con una
distribución uniforme entre 2.000 y 4.000 millones de pesos.
Flujo de fondos en el año 2: y, donde y es una variable aleatoria que puede
tomar los siguientes valores: 0 con probabilidad 1/6, 2.000 millones con probabilidad 2/6, 4.000 millones con probabilidad 2/6 y 6.000 millones con
probabilidad 1/6.
Flujo de fondos en el año 3: z, donde z es una variable aleatoria que puede
tomar los siguientes valores: 2.000 millones con probabilidad 1/3, 4.000 millones con probabilidad 1/3 y 7.000 millones con probabilidad 1/3.
Flujo de fondos en el año 4: w, donde w es una variable aleatoria con una
distribución uniforme entre 4.000 y 8.000 millones de pesos.
Se supone que la tasa de interés de oportunidad es conocida y constante, e
igual al 40%. Además se supone que x, y, z y w son variables aleatorias independientes.
Calcular el valor presente neto promedio para el proyecto bajo análisis y el
riesgo existente en el caso de tomar una decisión con ese valor presente neto.
E(VPN) = $1.814,52; desviación estándar del VPN, $1.332,53; coeficiente de
variación, 73,44%. El riesgo del proyecto medido a través del coeficiente de
variación es alto.
[396]
8.
Para el problema anterior, haga la siguiente modificación: suponga que la tasa
de interés de oportunidad, TIO, es una variable aleatoria con una distribución
uniforme entre el 34% y el 46%; además, x, y, z, w, TIO son variables
aleatorias independientes. ¿Por qué el problema no se puede resolver como se
hizo en el punto 7? Utilizando una técnica de simulación de Montecarlo estime, con base en una muestra de tamaño 25, el valor presente neto esperado y
el riesgo de tomar una decisión con ese valor presente neto esperado.
9.
Suponga un bono de valor nominal $100.000 a 4 años obligatoriamente
convertible en acciones que paga un interés nominal anual del 32%, pagadero
semestre vencido. La razón de conversión del bono al final de los 4 años es de
3 acciones por bono. Se estima que el precio de la acción al final de los 4 años
puede estar entre $30.000 y $50.000, siguiendo una distribución uniforme
entre esos valores. ¿Cuál sería la rentabilidad esperada del bono si se compra a
su valor nominal? (37,68%). ¿Cuál sería el precio a ofrecer para obtener una
rentabilidad esperada del 45%? ($87.788, por cada bono de $100.000 de
valor nominal). ¿Cuál sería el riesgo en ambos casos?
JAVIER SERR ANO
Ejercicios
Si el bono se compra al 100%, buscando obtener una rentabilidad esperada
del 37,68% anual (17,34% semestral), la desviación estándar del valor esperado ($100.000) sería de $4.820, por lo cual el valor en riesgo sería de 4,82%.
Si el bono se compra al 87,788% buscando obtener una rentabilidad esperada
del 45% anual, la desviación estándar del valor esperado sería de $3,918, por
lo cual el valor en riesgo sería del 4,46%.
El bono del párrafo anterior se va a financiar en un 50% con una línea de
crédito a 4 años, amortizable en dos pagos al finalizar los años 3 y 4. El interés
de la línea de crédito es del 36% año vencido, sobre saldos al comienzo del
año. ¿Cuál sería la rentabilidad esperada de los recursos propios aportados al
proyecto en el caso de que se compre a los dos precios encontrados en el
párrafo anterior?
10.
Suponga un bono obligatoriamente convertible en acciones (BOCA), que paga
un interés nominal anual del 18%, pagadero semestre vencido (cupones
semestrales del 9%), con una madurez de 3 años; el valor nominal de cada
bono es de $100.000. Al final de los 3 años, el bono se convierte en 5 acciones
de la empresa; el precio actual de la acción es de $20.000. Las proyecciones
que hacen los expertos sobre el valor de la acción al final del período de
conversión, indican que el precio futuro de la misma se puede modelar a través
de una variable aleatoria con una distribución uniforme entre $16.000 y
$30.000.
a. ¿Cuál sería la rentabilidad esperada del bono si se compra a la par, esto es,
a su valor nominal? (22,99% efectiva).
b. ¿Cuál es el riesgo de la inversión si se compra a la par? Si el objetivo es
obtener una rentabilidad del 22,99% (10,90% semestral), la desviación estándar del valor presente neto ($100.000) es de $10.862, con lo cual el
valor en riesgo sería de 10,86%.
c. ¿Cuál sería su recomendación sobre adquirir este bono?
d. ¿Cómo se compararía la inversión en este bono con la inversión en un bono ordinario a tasa fija, que tiene una rentabilidad del 21%? La rentabilidad
esperada del bono comprado a la par (22.99%) es incierta y muy cercana
al valor del bono ordinario, 21%, pero cierto. La rentabilidad del BOCA
puede fluctuar entre el 12,66% y el 31,67% anual; la desviación estándar
del valor presente, comprado a la par, es de $10.862, lo cual daría un valor
en riesgo del 10,86%. Usted tiene los elementos para tomar la decisión.
11.
Suponga que la adquisición del bono del problema anterior se va a financiar en
un 50% con un crédito a 3 años, amortizable al final de los 3 años, con un
interés del 16% nominal anual pagadero semestre vencido:
ALFAOMEGA
t
FAC U LTA D D E A D M I N I S T R AC I Ó N / U N I A N D E S
[397]
Capítulo 12
a. ¿Cuál sería la rentabilidad esperada de los recursos propios aportados para
adquirir el bono?
b. ¿Cuál sería el riesgo del capital propio aportado para adquirir el bono?
c. ¿Usted realizaría esta inversión?
d. ¿Cómo cambiaría su análisis si la tasa de interés del crédito fuera del 19%
nominal anual, pagadera semestre vencido?
[398]
JAVIER SERR ANO
Capítulo 13
RIESGO OPERACIONAL Y FINANCIERO:
AJUSTES A LA TASA DE DESCUENTO
En los capítulos 7 y 8 de este libro se definieron los flujos de caja libre para el proyecto y para el patrimonio y se analizaron varios problemas, sin profundizar en la determinación de la tasa de descuento apropiada para los recursos propios que aporta el
inversionista y en la definición del costo promedio ponderado de capital resultante de
la mezcla entre deuda y patrimonio, según la estructura de capital que se haya definido como una estructura objetivo.
Allí se definieron el flujo de caja libre para el proyecto o flujo de caja libre para la firma, resultante de la interacción entre la estructura operativa del negocio y la dinámica del mercado, y el flujo de caja libre para el patrimonio (equity) o flujo de caja libre
para el inversionista, que es un flujo de caja residual, teniendo en cuenta el apalancamiento financiero proveniente de la utilización de la deuda. Se debe recordar que el
flujo de caja libre para el patrimonio es el flujo de caja resultante de superponer, al
flujo de caja libre para el proyecto o firma, el flujo de caja de la financiación después
de impuestos.
Los dos flujos de caja están expuestos a riesgos provenientes del comportamiento del
mercado y de utilización de la deuda; pues una vez que se han realizado las
inversiones en activos fijos y en capital de trabajo que definen la estructura operativa
de la empresa, ésta queda expuesta al comportamiento del mercado al que se dirige
el negocio, lo cual genera un riesgo de tipo comercial u operacional. A manera de
ejemplo, si se trata de una empresa productora de cemento, la estructura operativa
no se puede modificar significativamente en el mediano plazo, por lo cual variaciones
en el mercado y en la demanda van a afectar la utilidad operacional incrementando
su volatilidad y a aumentar el riesgo de no alcanzar el punto de equilibrio operacional.
Por lo tanto, el flujo de caja libre para la firma o para el proyecto está expuesto
únicamente a riesgo comercial u operacional, el cual es independiente de la estructura
de capital con la cual se haya financiado la estructura operativa.
El flujo de caja para el patrimonio (equity) o para el inversionista para un mismo flujo de
caja operativo para la firma, va a depender de la estructura de capital que se esté
utilizando, por lo cual el flujo de caja libre para el patrimonio estará expuesto a dos tipos
de riesgo: comercial y financiero, proveniente este último de la utilización de la deuda. En
síntesis: flujo de caja libre para el proyecto o para firma: riesgo comercial únicamente; y
flujo de caja libre para el patrimonio: riesgo comercial + riesgo financiero.
[399]
Capítulo 13
El costo económico del patrimonio es igual a la rentabilidad que espera recibir el inversionista de acuerdo con el nivel de riesgo que está asumiendo, operativo y financiero; por ello, a mayor riesgo operacional, mayor el rendimiento que espera el accionista. Si adicionalmente al riesgo operacional propio del negocio se le agrega riesgo
financiero, mayor será el rendimiento que espera recibir el accionista, para compensar
los dos, el riesgo operacional, que depende del tipo de negocio y de la estructura
operativa que se esté utilizando, y el riesgo financiero, que depende de la utilización
de la deuda. La figura 13.1 se puede apreciar el comportamiento de la rentabilidad
esperada del inversionista frente a los dos riesgos que enfrenta, operacional y
financiero:
Figura 13.1
&RVWR
&RVWRGHO
3DWULPRQLR
3ULPDSRU
5LHVJR
RSHUDFLRQDO
'HXGD3DWULPRQLR
Como se muestra en esta figura, cuando la empresa se financia totalmente con patrimonio, el único riesgo que enfrenta el inversionista es el riesgo operacional; a
medida que comienza a utilizar deuda aparece el riesgo financiero superpuesto sobre
el riesgo operacional. Para medir la prima por riesgo operacional, riesgo financiero y
riesgo total se han desarrollado varios modelos, entre los cuales el más conocido es el
CAPM, al cual se hace una introducción en el siguiente numeral.
MODELO CAPM: PLANTEAMIENTO GENERAL
El modelo CAPM (Capital Asset Pricing Model) constituye uno de los desarrollos más
importantes de la teoría financiera, ya que permite establecer una prima a pagar por
el riesgo en un mercado eficiente, medido este último a través de los coeficientes
“Beta”. La derivación del modelo escapa al alcance de este libro, y solo se establecen
[400]
JAVIER SERR ANO
Modelo CAPM : planteamiento general
los hechos más importantes alrededor del mismo, resumidos en los siguientes
puntos1:
a) En todo mercado de capitales existe una tasa libre de riesgo (Rf), que usualmente
corresponde a la tasa de los papeles de la Tesorería del país, para un plazo dado
(p. ej., rendimiento de las T-Notes, en el mercado americano, a 10 años, o
rendimiento de los TES emitidos por la Dirección del Tesoro Nacional, DTN, en
Colombia).
b) En todo mercado de capitales existe una rentabilidad promedio del mercado para
el portafolio totalmente diversificado consistente en invertir en cada alternativa
básica existente en el mercado un porcentaje igual a la relación entre el valor de
mercado de esa alternativa y el valor total del mercado. En otras palabras, P J =
VMJ/VTM, donde VMJ corresponde al valor de mercado de la j-ésima alternativa
básica y VTM corresponde al valor total del mercado.
c) El portafolio a que se hace referencia en el punto anterior es un portafolio
óptimo, en el sentido de que bajo condiciones de eficiencia maximiza la utilidad
esperada, para el conjunto convexo de portafolios factibles. Se supone que el
riesgo de este portafolio es igual a 1, se conoce como el riesgo de mercado y es el
punto de referencia para medir el riesgo de cualquier activo financiero existente
en el mercado.
d) El riesgo de cualquier activo financiero, proyecto o portafolio se mide en términos
relativos frente al portafolio totalmente diversificado o portafolio de optimalidad
descrito previamente, a través del coeficiente Beta del proyecto, del portafolio o
del activo, definido como:
BJ
COV(RJ , R M )
Var(RM )
Coeficiente de correlación (R J , R M ) *
VJ
VM
En la expresión anterior se muestran las dos componentes del riesgo; por un lado
la variación relativa de la rentabilidad del j-ésimo proyecto o portafolio, medida
respecto al mercado (relación entre las desviaciones estándar, volatilidad relativa)
y la asociación lineal entre la rentabilidad del mercado y la rentabilidad del jésimo proyecto o portafolio, medida a través del coeficiente de correlación, que
mide el riesgo sistémico de la empresa o del proyecto.
El único riesgo por el cual se reconoce una prima es el riesgo sistemático, o riesgo
de movimiento con la economía, ya que el riesgo no sistemático, se puede
1
Para un tratamiento más riguroso ver Copeland, Thomas E., Fred Weston, Kuleep Shastri, Financial
Theory and Corporate Policy, 4ª. ed., Pearson, Addison Wesley, 2005.
ALFAOMEGA
t
FAC U LTA D D E A D M I N I S T R AC I Ó N / U N I A N D E S
[401]
Capítulo 13
diversificar. En ese sentido, el coeficiente “Beta” definido previamente mide
riesgo sistemático.
e) En un mercado eficiente, cualquier combinación convexa entre el activo libre
de riesgo y el portafolio de optimalidad también maximiza la utilidad esperada.
En otras palabras, un inversionista racional se situará sobre la línea recta representando la combinación convexa entre el activo libre de riesgo y el portafolio
óptimo.
f)
El conjunto de los supuestos subyacentes al modelo CAPM es numeroso y
alejado de la realidad de los mercados financieros, por lo cual su utilización
siempre estará sujeta a controversia sobre el realismo de su aplicación. No obstante lo anterior, es el modelo que se utiliza predominantemente en la estimación del costo de la aportación patrimonial dentro de la metodología tradicional usada para estimar el cálculo del costo promedio ponderado de capital
(WACC, por sus siglas en inglés), parámetro crítico para todos los procesos de
valoración de activos financieros y de empresas.
g) En la teoría de finanzas corporativas se hace énfasis en el mundo ideal que se
define a partir de los supuestos del modelo CAPM; Copeland, Weston y
Shastri, en su libro2 Financial Theory and Corporate Policy, establecen las
siguientes:
x “Los inversionistas son individuos adversos al riesgo quienes maximizan la
utilidad esperada de su riqueza”.
x “Los inversionistas son tomadores de precios y tienen expectativas
homogéneas sobre la rentabilidad de los activos que tienen una
distribución normal conjunta”.
x “Existe un activo libre de riesgo tal que los inversionistas pueden tomar en
préstamo y colocar cantidades ilimitadas de recursos a la tasa libre de
riesgo”.
x “Las cantidades de activos son fijas. También, todos los activos son
negociables y perfectamente divisibles”.
x “Los mercados de los activos no tienen fricciones, la información no tiene
costo y está disponible simultáneamente a todos los inversionistas”.
x “No existen imperfecciones en los mercados tales como impuestos,
regulaciones o restricciones a las ventas en corto”.
h) En la figura 13.2 se muestra una representación gráfica del modelo CAPM:
2
[402]
Ibíd., p. 147.
JAVIER SERR ANO
Modelo CAPM : planteamiento general
Figura 13.2
Capital Asset Pricing Model, CAPM
!
E(R
*"#
BJ F + (E(R
J) =R
M) –R
F) F
R
E
N
T
A
B
I
L
I
D
A
D
(5-
(50
%-
BM =1
i)
BJ
&295-509DU50
BETAS (RIESGO)
La línea de seguridad del mercado estaría dada por la siguiente ecuación:
E(RJ) = Rf + (E(RM) - Rf) * BJ
E(RJ) = Rf + (Risk Premium) * BJ
donde E(RM) corresponde al valor esperado de la rentabilidad del mercado y BJ
corresponde al coeficiente “Beta” para el j-ésimo proyecto o portafolio; E(RJ) corresponde a la rentabilidad esperada mínima, aceptable para el riesgo correspondiente al coeficiente BJ.
j)
En otras palabras, la línea de seguridad del mercado mide la rentabilidad esperada
mínima aceptable para un nivel dado de riesgo, para un tipo especial de inversionista y para un mercado particular (ver supuestos).
k) Un proyecto localizado por encima de la línea de seguridad del mercado se justificaría, en la medida en que la rentabilidad esperada del proyecto para su nivel
de riesgo es superior a la que el mercado en promedio está exigiendo para el mismo nivel de riesgo. Por el contrario, si se encuentra por debajo de la línea de seguridad del mercado, la rentabilidad esperada no es suficiente para compensar el
nivel de riesgo del proyecto; en otras palabras, en el mercado se pueden encontrar alternativas que para el mismo nivel de riesgo ofrecen una rentabilidad
esperada superior.
l) Otra forma de expresar lo anterior sería la siguiente: si el activo financiero se
encuentra por debajo de la línea de seguridad del mercado, su rentabilidad es
inferior frente a las expectativas del mercado, lo cual es equivalente a decir que
su precio es muy alto, teniendo en cuenta la relación inversa entre precio y
ALFAOMEGA
t
FAC U LTA D D E A D M I N I S T R AC I Ó N / U N I A N D E S
[403]
Capítulo 13
rentabilidad, por lo cual la demanda por ese activo es muy baja y por lo tanto su
precio tenderá a caer o, lo que es equivalente, su rentabilidad a aumentar. En la
medida en que aumenta su rentabilidad o disminuye su precio, la demanda por el
activo aumenta y llevará en primera instancia al precio por encima de la línea de
seguridad del mercado. Cuando el precio del activo se encuentra por encima de
la línea de seguridad del mercado, su precio es muy bajo como consecuencia de
una rentabilidad por encima de la esperada y como tal el activo comienza a tener
una gran demanda que hace que incremente su precio o, lo que es equivalente,
disminuya su rentabilidad, tendiendo a localizar el activo por debajo de la línea de
seguridad de mercado; este proceso de arbitramento debe continuar hasta que
finalmente el activo se sitúa sobre la línea de seguridad del mercado que es un
punto de equilibrio.
m) En resumen, el modelo CAPM permite encontrar una prima o un precio al riesgo
en un mercado eficiente, medido el riesgo a través de los coeficientes Beta. En
otras palabras, la línea de seguridad del mercado es un lugar geométrico de puntos de equilibrio donde el individuo maximiza utilidad, compensando rentabilidad
esperada por riesgo, bajo ciertos supuestos a los que se hizo referencia previamente.
UTILIZACIÓN DEL MODELO CAPM
EN LA SELECCIÓN DE PROYECTOS
El modelo CAPM permite establecer la prima por riesgo en un mercado y como tal
facilita la evaluación de la conveniencia económica de un proyecto de inversión,
teniendo en cuenta las dos variables: rentabilidad esperada y riesgo, al establecer en
términos de mercado, para un inversionista con unas características especiales3, si la
rentabilidad esperada que se está ofreciendo es suficiente para compensar el riesgo a
que está expuesto el inversionista si decide invertir en ese proyecto. Un par de
ejemplos aclaran la situación a que se hace referencia.
Ejemplo 13.1
En el Cuadro 13.1 se muestran las rentabilidades de dos proyectos de inversión A y B,
en 4 escenarios mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivos. También se
muestra la rentabilidad del mercado para cada uno de los cuatro escenarios a que se
acaba de hacer referencia. La tasa libre de riesgo es del 25%.
3
[404]
Ver supuestos del modelo CAPM.
JAVIER SERR ANO
Utilización del modelo CAPM en la selección de proyectos
Utilizando el modelo CAPM, se debe analizar la conveniencia de cada uno de los dos
proyectos (A y B) desde el punto de vista financiero, teniendo en cuenta el riesgo
inherente a cada uno de ellos.
Cuadro 13.1
Escenario
Probabilidad
Rm
RA
RB
1
0,20
20,00%
15,00%
25,00%
2
0,30
30,00%
35,00%
40,00%
3
0,30
40,00%
55,00%
50,00%
4
0,20
50,00%
90,00%
60.00%
En el Cuadro 13.2 se muestra un resumen de los proyectos en términos de los dos
parámetros, valor esperado y varianza:
Cuadro 13.2
Mercado
Proyecto A
Proyecto B
Rentabilidad esperada
35,00%
47,25%
44,25%
Desviación estándar
10,24%
25,23%
11,79%
Coeficiente de variación
29,25%
53,39%
26,64%
Como se observa, el proyecto A tiene una rentabilidad esperada mayor que el
mercado y que el proyecto B; sin embargo su riesgo también es mayor; por ello la
conveniencia del proyecto A frente al mercado y frente al proyecto B va a depender
de la forma como el inversionista pondere rentabilidad esperada y riesgo. Por ejemplo, un inversionista averso al riesgo tiende a escoger el proyecto menos riesgoso no
obstante que tenga mayor rentabilidad esperada, dándole un mayor peso a la variable riesgo.
El modelo CAPM provee una forma de estimar el precio del riesgo bajo condiciones
de eficiencia, con miras a analizar si la mayor rentabilidad esperada ofrecida por el
proyecto A, frente al mercado y frente al proyecto B, justifica el mayor riesgo que
habría en su implantación.
En el Cuadro 13.3 se muestran los cómputos necesarios para el cálculo de los
coeficientes Beta y las rentabilidades mínimas esperadas para cada uno de los dos
niveles de riesgo.
ALFAOMEGA
t
FAC U LTA D D E A D M I N I S T R AC I Ó N / U N I A N D E S
[405]
Capítulo 13
Cuadro 13.3
Rm
Ra
Rb
1
20,00%
20,00%
15,00%
25,00%
2
30,00%
30,00%
35,00%
40,00%
3
30,00%
40,00%
55,00%
50,00%
4
20,00%
50,00%
90,00%
60,00%
35,00%
48,00%
44,00%
Escenario Probabilidad
Valor esperado
()*()*P
()*()*P
1
20,00%
-15,00%
-33,00%
-19,00%
0,99%
0,57%
2
30,00%
-5,00%
-13,00%
-4,00%
0,20%
0,06%
3
30,00%
5,00%
7,00%
6,00%
0,11%
0,09%
4
20,00%
15,00%
42,00%
16,00%
1,26%
0,48%
2,55%
1,20%
Escenario Probabilidad
Rm – E(Rm)
Ra - E(Ra)
Rb - E(Rb)
Covarianzas
Escenario Probabilidad
(Rm E(Rm)2)*p
(Ra –
E(Ra)2)*p
(Rb - E(Rb)2)*
1
20,00%
0,450%
2,178%
2
30,00%
0,075%
0,507%
0,048%
3
30,00%
0,075%
0,147%
0,108%
4
20,00%
Varianza
Desviación estándar
0,722%
0,450%
3,528%
0,512%
1,050%
6,360%
1,390%
10,2470%
25,2190%
11,7898%
Cálculo de los Betas
A
Tasa libre de riesgo
B
25,00%
Beta
2,429
1,143
E(RJ), según CAPM
49,29%
36,43%
E(RJ), estimado
48,00%
44,00%
Para el cálculo de la covarianza, se parte de la definición general de covarianza entre
dos variables aleatorias x y y:
COV(X, Y) = 6i6jPij (xi, yj) (xi - E(x))*(yj - E(y))
donde Pij(xi, yj), corresponde a la distribución de probabilidad conjunta de las dos
variables aleatorias, evaluadas en (xi, yj). Para el ejemplo de los dos proyectos, la
expresión anterior se convierte en:
COV(X, Y) = 6iP(i-ésimo escenario) * (xi - E(x))*(yi - E(y))
Para el cálculo de cada una de las varianzas, se utiliza la expresión:
[406]
JAVIER SERR ANO
Utilización del modelo CAPM en la selección de proyectos
VAR(X) = 6iP(i-ésimo escenario) * (xi - E(x))2
En el Cuadro 13.3 se presentan todos los cálculos necesarios para encontrar la
rentabilidad esperada para el nivel de riesgo de cada proyecto, utilizando el modelo
CAPM. La rentabilidad esperada del proyecto A no compensa su mayor riesgo. En
otras palabras, para el nivel de riesgo del proyecto A, el mercado exige una rentabilidad esperada superior. La situación del proyecto B es diferente, ya que su
rentabilidad esperada es superior a la mínima exigida por el mercado para ese nivel de
riesgo. Por ello se debería seleccionar el proyecto B frente al proyecto A.
Ejemplo 13.2
Se tienen dos proyectos, A y B, mutuamente excluyentes, con las rentabilidades, en
cuatro escenarios mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivos, presentadas en el Cuadro 13.4; también se muestra la rentabilidad del mercado en los cuatro
escenarios; la tasa libre de riesgo es del 28%. Utilizando el modelo CAPM, ¿cuál sería
su recomendación sobre el proyecto a implantar?
Cuadro 13.4
Escenario
Probabilidad
Rm
Ra
Rb
1
20,00%
25,00%
10,00%
25,00%
2
30,00%
30,00%
35,00%
40,00%
3
30,00%
40,00%
55,00%
50,00%
4
20,00%
45,00%
85,00%
55,00%
Para determinar la situación de cada uno de los dos proyectos, se calculan los coeficientes Beta de cada uno de ellos, y la línea de seguridad del mercado. En otras
palabras, se calcula la rentabilidad esperada mínima que el mercado estaría exigiendo
para los niveles de riesgo de los dos proyectos, medidos estos últimos a través de los
coeficientes Beta.
En el Cuadro 13.5 se muestran los cómputos necesarios para el cálculo de las
covarianzas de cada proyecto con el mercado, los coeficientes Betas y las rentabilidades mínimas esperadas para cada nivel de riesgo.
ALFAOMEGA
t
FAC U LTA D D E A D M I N I S T R AC I Ó N / U N I A N D E S
[407]
Capítulo 13
Cuadro 13.5
Escenario
Probabilidad
1
2
3
4
20,00%
30,00%
30,00%
20,00%
Escenario
Probabilidad
1
2
3
4
20,00%
30,00%
30,00%
20,00%
Escenario
Probabilidad
1
2
3
4
20,00%
30,00%
30,00%
20,00%
Valor esperado
Rm
25,00%
30,00%
40,00%
45,00%
35,00%
Rm – E(Rm)
Ra
Rb
10,00%
35,00%
55,00%
85,00%
46,00%
Ra - E(Ra)
25,00%
40,00%
50,00%
55,00%
43,00%
Rb - E(Rb)
()*()*P
-10,00%
-5,00%
5,00%
10,00%
-36,00%
-11,00%
9,00%
39,00%
-18,00%
-3,00%
7,00%
12,00%
(Rm - E(Rm)2)*p
0,200%
0,075%
0,075%
0,200%
0,550%
7,4162%
(Ra - E(Ra)2)*p
2,592%
0,363%
0,243%
3,042%
6,240%
24,9800%
(Rb - E(Rb)2)*p
0,648%
0,027%
0,147%
0,288%
1,110%
10,5357%
A
B
Covarianzas
Varianza
Desviación estándar
Cálculo de los Betas
Tasa libre de riesgo
Beta
E(RJ), según CAPM
E(RJ), estimado
()*()*P
0,72%
0,17%
0,14%
0,78%
1,80%
28,00%
3,273
1,364
50,91%
46,00%
37,55%
43,00%
En este ejemplo, aunque el proyecto A ofrece una rentabilidad esperada mayor que la
del proyecto B, su riesgo también es superior.
Al utilizar el modelo CAPM para el nivel de riesgo del proyecto A el mercado estaría
exigiendo como mínimo una rentabilidad esperada del 50.91%, superior a la que
ofrece ese proyecto (46.00%); por lo tanto no se justificaría invertir en el proyecto A,
ya que la rentabilidad esperada no compensa su mayor nivel de riesgo. En otras
palabras, para ese nivel de riesgo, en el mercado existirían alternativas de inversión
con una mayor rentabilidad esperada.
En el caso del proyecto B, el mercado exige como mínimo una rentabilidad esperada
del 37.55% (28% + 7%*1.36364), inferior a la rentabilidad esperada del proyecto
(43.00%); por lo cual se justificaría invertir en el proyecto B. En otras palabras, la
rentabilidad esperada del proyecto B compensa el riesgo de ese proyecto, medido a
través de su coeficiente Beta. La recomendación final sería invertir en el proyecto B en
lugar de invertir en el proyecto A.
[408]
JAVIER SERR ANO
0,36%
0,04%
0,11%
0,24%
0,75%
Utilización del modelo CAPM para estimar el costo de la aportación patrimonial...
UTILIZACIÓN DEL MODELO CAPM PARA ESTIMAR EL COSTO DE LA
APORTACIÓN PATRIMONIAL. ESTIMACIÓN DEL WACC (CPPC)
El modelo CAPM se utiliza con frecuencia en la determinación del costo de la
aportación patrimonial como componente del costo promedio ponderado de capital
de una empresa. A manera de ejemplo, suponiendo una estructura marginal de capital con deuda y aportación patrimonial, en proporciones Į1 y Į2, tales que Į1 + Į2 =1,
la expresión general para el costo promedio ponderado de capital sería:
WACC = Į1 kd (1-t) + Į2 kE
donde
KE = Rf + [E(RM) - Rf)] * BJ
BJ corresponde al Beta de la empresa, para el nivel de apalancamiento correspondiente a la estructura marginal de capital que se está utilizando, KD al costo de la
deuda antes de impuestos, KE al costo de la aportación patrimonial antes de impuestos, que es igual al costo después de impuestos, en la medida en que los
dividendos que paga la empresa no son deducibles de impuestos.
Los Betas se estiman a partir de un símil del mercado; por ejemplo, el índice bursátil
S&P 500, definido como una canasta de 500 acciones que se negocian en los dos
principales mercados de Estados Unidos, NYSE EURONEXT y NASDAQ, con
predominancia del primero de ellos; para su estimación, se utilizan regresiones lineales
entre la rentabilidad del S & P 5004 y la rentabilidad del activo financiero bajo análisis.
Para quienes quieran profundizar en este punto, referirse a Ross, Westerfield & Jaffe,
Capítulo 12, numeral 12.2, Estimación de Betas5. Aunque el índice Standard & Poors
es una construcción matemática, hoy se puede invertir en portafolios que tienen la
misma composición de acciones del índice, en proporciones similares a los factores de
ponderación, a través de los denominados Exchange Traded Funds (ETF) que constituyen compañías virtuales de inversión que se negocian por acciones en las bolsas
de valores, cuyo objetivo de inversión es replicar la rentabilidad del índice, proporcionando un instrumento equivalente a invertir en el propio índice. A manera de
ejemplo, en la figura 13.3 se muestra el comportamiento del I-Shares S&P 500 índex,
y el propio índice, para el año corrido que terminó el 15 de julio de 2009, con base en
información gráfica tomada del Wall Street Journal de esa fecha vía Internet. Se
4
El índice bursátil S & P 500 lo publica y mantiene la firma Standard & Poors, y es uno de los índices
más tradicionales del mercado, con una capitalización ajustada de su canasta de 500 empresas, por un
valor de 8.044 billones, a 15 de julio de 2009; la compañía con un mayor peso no pasa de un 4.24% y
las 10 compañías más grandes en la canasta de 500 empresas representaban aproximadamente un
20.26% de la capitalización total del mercado; información tomada de la página web de Standard &
Poors, vía Internet.
5
Ross, Stephen A., Randolph W. Westerfield, Jeffrey F. Jaffe, Finanzas Corporativas, 5a. ed., IrwinMcGraw-Hill, nÞm. 12.2, pp. 346 a 351.
ALFAOMEGA
t
FAC U LTA D D E A D M I N I S T R AC I Ó N / U N I A N D E S
[409]
Capítulo 13
observa cómo la acción de la compañía virtual, administrada por I-Shares, cuyo
símbolo es IVV, replica con gran precisión al propio índice S & P 500.
Figura 13.3
Comportamiento del I-Shares & P 500 Index, año corrido a 15 de julio de 2009
Fuente: Wall Street Journal, 15 de julio de 2009, via internet.
Como se mencionó anteriormente, el flujo de caja libre para el proyecto o para firma
está expuesto únicamente a riesgo comercial, mientras que el flujo de caja libre para
el patrimonio está expuesto a riesgo comercial6 más riesgo financiero. Por lo tanto,
cuando se utiliza el modelo CAPM para medir la rentabilidad esperada por un inversionista sobre sus recursos propios, hay que tener en cuenta que él enfrenta riesgo
operacional y financiero, por lo cual habrá necesidad de diferenciar entre un Beta
operacional o no apalancado, que mide únicamente riesgo comercial u operacional, y
un Beta total o apalancado, que mide riesgo operacional y financiero. La relación entre ambos se puede encontrar y demostrar en libros de nivel intermedio de finanzas
corporativas7, y está dada por:
BA = BNA * [1+(1-timpuestos)*(Deuda/Patrimonio)]
En la expresión anterior se observa que se tiene un mayor valor del Beta apalancado
cuando aumenta la utilización de la deuda frente al patrimonio (endeudamiento
relativo), reflejo del mayor riesgo que enfrenta el inversionista. El efecto negativo que
lleva a aumentar el Beta apalancado se disminuye parcialmente en la medida en que
los gastos financieros que se pagan por la utilización de la deuda son deducibles de
impuestos.
6
7
[410]
Riesgo comercial o riesgo operacional o riesgo de mercado.
Ross, Westerfield and Jaffe, Finanzas corporativas, ob. cit., pp. 346 a 351.
JAVIER SERR ANO
Utilización del modelo CAPM para estimar el costo de la aportación patrimonial...
Lo ideal sería tener Betas no apalancados, ya que se pueden apalancar con la
estructura de capital; sin embargo muchas veces el Beta se calcula y suministra para
un nivel dado de apalancamiento, lo cual requiere des-apalancar el Beta y volverlo a
apalancar para la estructura de capital que se va a utilizar. En el Cuadro 13.6, tomado
de la página web del profesor A. Damodaran8, se muestran los Betas apalancados
para unas condiciones dadas y des-apalancados; por ejemplo, el caso de empresas de
energía eléctrica en el Este, con un Beta apalancado de 0,74, una estructura (deuda/patrimonio) del 73,30% y una tasa de impuestos del 32,09%. Suponga que usted
va a utilizar otra estructura de capital (p. ej., 25% deuda y 75% patrimonio): ¿cuál
sería el valor del Beta, si la tasa de impuestos es del 30% y la estructura de capital es
un 25% deuda y un 75% patrimonio?
Cuadro 13.6
Betas apalancados y no apalancados
Industry Name
Número
D/P
Tasa
impositiva
Beta no
apalncado
Beta
apalancado
Costo del
patrimonio
Electric Util. (Central)
24
107,83%
33,02%
0,478
0.82
6.32%
Electric Utility (East)
26
73,30%
32,09%
0,495
0.74
5.92%
Electric Utility (West)
16
90,70%
30,47%
0,482
0.79
6.14%
Electrical Equipment
83
23,53%
14,23%
1,142
1.37
9.07%
173
45,62%
11,87%
0,936
1.31
8.77%
Electronics
Entertainment
84
79,23%
17,17%
1,004
1.66
10.52%
Entertainment Tech
33
11,54%
13,67%
1,315
1.45
9.44%
Environmental
79
49,86%
15,45%
0,780
1.11
7.76%
Financial Svcs. (Div.)
296
261,38%
17,93%
0,403
1.27
8.55%
Food Processing
109
35,15%
21,67%
0,625
0.80
6.20%
Water Utility
16
82,79%
35,46%
0,561
0.86
6.51%
Wireless Networking
57
36,37%
14,08%
1,172
1.54
9.90%
10
391,15%
6,70%
0,448
2.08
12.63%
6870
48,81%
16,67%
0,845
1.19
8.15%
Public/Private Equity
Total Market
Fuente: A. Damodaran, valuation dataset, www.stern.nyu.edu/~adamodar
Lo primero que se debe hacer, si no se tiene el Beta desapalancado (operacional), es
obtenerlo a través de la expresión:
0,74 = BNA * [1+(1-0,3209)*(0,7330)]
Despejando se obtiene el valor del Beta no apalancado, BNA = 0,494
8
www.stern.nyu.edu/~adamodar, data set valuation, información sobre parámetros para valoración
de empresas.
ALFAOMEGA
t
FAC U LTA D D E A D M I N I S T R AC I Ó N / U N I A N D E S
[411]
Capítulo 13
Se estima nuevamente el Beta apalancado para las condiciones solicitadas:
BA = 0,494 * [1+(1-0,30)*(0,25/0,75)] = 0,609
Ejemplo 13.3
La empresa ABC opera en un mercado donde se puede utilizar razonablemente el
CAPM; en ese mercado la tasa libre de riesgo es del 11% y el premio al riesgo es del
7%. La tasa de impuestos en la economía es del 33%. La empresa puede conseguir
deuda en el mercado con un costo del 25% antes de impuestos.
El flujo de caja libre para la firma (activos operativos) para el primer año proyectado
es de $435.000 millones; para los años 2, 3, 4 y 5 es el que se muestra en el Cuadro
13.7:
Cuadro 13.7
Año
1
FCLF1
435.000
2
FCLF2
485.000
3
FCLF3
550.000
4
FCLF4
620.000
5
FCLF5
725.000
FCLFJ
A partir del año 6, el flujo de caja libre para la empresa ABC se espera que crezca con
el crecimiento de largo plazo de la economía, que se supone es del 3.5% en términos
reales, a infinito. Sugerencia: usted puede calcular el valor presente del flujo entre el
año 6 e infinito, utilizando el modelo de Gordon, con una tasa de interés igual al
WACC y una tasa de crecimiento en nominales, equivalente al 3.5% en reales; para
ello tiene que proyectar el flujo del año 6 en nominales.
El Beta operacional de la empresa ABC es de 0,82, y su estructura de capital es un
28% deuda y un 72% patrimonio, la cual los accionistas de ABC consideran que es la
estructura óptima. La inflación proyectada para todo el problema es del 4.5%.
a) ¿Cuál es el costo promedio ponderado de capital?
b) ¿Cuál es el valor de mercado de la firma (activos operativos), que es igual al flujo
de caja libre para la firma descontado al WACC?
c) ¿Cuál es el valor de mercado del patrimonio?
Tasa libre de riesgo: 11%
Premio al riesgo: 7%
Tasa de impuestos: 33%
Costo de la deuda: 25%, antes de impuestos
Tasa de crecimiento del flujo de caja libre, a partir del 5 año: 3,50% real
[412]
JAVIER SERR ANO
Utilización del modelo CAPM para estimar el costo de la aportación patrimonial...
Inflación: 4,50% anual
Tasa de crecimiento, nominal: 8,16%
Estructura de capital sugerida:
Deuda: 28%
Patrimonio: 72%
Beta no apalancado, BNA: 0,82
Beta apalancado, BA = 0,82 * [1 + (1-0,33)*(0,28/0,72)] =1,03337
Costo de la deuda, después de impuestos: 25,00% * (1-0,33) = 16,75%
Costo de la aportación patrimonial, utilizando el CAPM:
KE = RF + [E(RM) – RF] * BA = 11% + 7% * 1,03337 = 18,24%
WACC = 0,28 * 16,75% + 0,72 * 18,24% = 17,82%
Por lo tanto, el valor del costo promedio ponderado de capital, WACC, es del
17,82%.
En el Cuadro 13.8 se muestra la proyección de los flujos de caja libres para la firma
para los 6 primeros años; los flujos de los cinco primeros años fueron suministrados, el
del sexto año fue proyectado:
FCLF6 = FCLF5 * (1+GN) = 725.000*(1 + 0,0816) = 784.142
El flujo de caja libre proyectado para el año 6 se utiliza para estimar el valor terminal,
que es el valor presente al finalizar el año 5 (comienzo del año 6) de los flujos de caja
libre para la firma entre el año 6 e infinito, bajo el supuesto de que los flujos crecen
de acuerdo con el modelo de crecimiento constante de Gordon, a una tasa anual del
8,16%, utilizando como tasa de descuento el WACC ya calculado. Esto es:
Valor terminal = VT = FCLF6/(WACC – GN) = 784.142/(0,1782 – 0,0816)
Valor terminal = VT = 8.115.626
ALFAOMEGA
t
FAC U LTA D D E A D M I N I S T R AC I Ó N / U N I A N D E S
[413]
Capítulo 13
Cuadro 13.8
Año
1
2
3
4
5
6
Flujo
435.000
485.000
550.000
620.000
725.000
784.142
Valor terminal
0
0
0
0
8.115.626
Flujo total
435.000
485.000
550.000
620.000
8.840.626
En la última columna del cuadro 13.8 se muestra el flujo total, que descontado al
costo promedio ponderado de capital nos da el valor de mercado de la firma, que es
igual al valor de mercado de los activos operativos; utilizando la función VNA de
Excel se obtiene:
Valor de la firma = VNA[0,1782; 435.000: 8.840.626] = 5.270.624,28
Valor del patrimonio = 0,72 * 5.270.624 = 3.794.849,48
ESTIMACIÓN DEL COSTO PROMEDIO PONDERADO DE CAPITAL EN
COLOMBIA: UNA APROXIMACIÓN A TRAVÉS DE UN MINICASO
En los cuadros 13.9 y 13.10 se resume información tomada de la página web del
profesor A. Damodaran, sección de Valuation, sobre Betas, estructura de capital, costo de la aportación patrimonial y costo promedio ponderado de capital para una
muestra de sectores industriales en Estados Unidos, con ajustes recientes
(www.stern.nyu.edu/~adamodar).
Estime el costo promedio ponderado de capital para valorar una empresa de carbón
que opera en Colombia. La estructura de capital de esa empresa es un 25% deuda y
un 75% patrimonio. Haga la estimación a partir de información suministrada en la
base de datos del profesor A. Damodaran, para el sector carbón, utilizando como
promedio para el EMBI Colombia un valor de 320 puntos básicos. Así mismo, en el
artículo de A. Damodaran titulado “Country Risk and Company Exposure”, Journal
of Applied Finance, Fall/Winter 2003, se menciona cómo ajustar el EMBI para medir
riesgo país; en otras palabras, allí se sugiere:
“Para corregir este indicador, Damodaran (2003) propone calcular el riesgo
del equity para una empresa promedio en un país como el producto del EMBI
para ese país, multiplicado por el cociente entre la volatilidad del mercado
accionario (traducido a dólares) y la del mercado de bonos, que para el caso
de nuestra estimación lo puede suponer de 1.17. Para estimar la prima por
riesgo país específica para una empresa, también se propone otro ajuste sobre
el anterior, resultante de comparar la proporción de los ingresos de la
[414]
JAVIER SERR ANO
Estimación del costo promedio ponderado de capital en Colombia: una aproximación...
compañía que se va a valorar que se producen en el país con la proporción de
los ingresos de la empresa promedio colombiana, que opera en el país”.9
Para los dos factores mencionados suponga valores de 1,17 y 1,22, en forma tal
que la prima por riesgo país sería:
Prima por riesgo país = EMBI promedio Colombia * 1,17*1,22
La empresa puede conseguir deuda en el mercado local a una tasa del 13% antes de
impuestos. La tasa de impuestos corporativa es del 33%.
En general, para la estimación del costo de la aportación patrimonial y del costo
promedio ponderado de capital se recomienda seguir los siguientes pasos:
a) Definir los parámetros básicos a través de su estimación o de la utilización de
fuentes de información especializadas: estructura de capital, tasa de impuestos
efectiva, tasa libre de riesgo, prima al riesgo en Estados Unidos o en otro
mercado, tasa de inflación proyectada en Estados Unidos, tasa de inflación
proyectada en Colombia.
b) Partir de un Beta no apalancado, directamente, o de uno apalancado con otras
condiciones de endeudamiento y tasa de impuestos.
c) Calcular el Beta apalancado para las condiciones de este caso, las que se
mencionaron en a).
d) Calcular el costo del patrimonio (equity) en Estados Unidos en dólares, utilizando
la estructura de capital sugerida, el Beta apalancado y el modelo del CAPM, con
la tasa libre de riesgo y el premio al riesgo especificados en a).
e) Calcular la prima por riesgo país, a partir del EMBI, con los ajustes necesarios.
f) Calcular el costo del equity en Colombia, en dólares, aumentando al costo en
dólares en Estados Unidos la prima por riesgo país, lo cual le da el costo del
equity en dólares en Colombia.
g) Calcule el costo en pesos del equity en Colombia, utilizando equilibrio cambiario.
h) Calcule el costo de la deuda antes y después de impuestos, en pesos, teniendo en
cuenta la calificación de riesgo de solvencia de la empresa.
i) Calcule el costo promedio ponderado de capital, teniendo en cuenta la estructura
de capital sugerida y los valores estimados.
9
A. Damodaran, $PVOUSZ3JTLBOE$PNQBOZ&YQPTVSF, Journal of Applied Finance, Fall/Winter 2003.
ALFAOMEGA
t
FAC U LTA D D E A D M I N I S T R AC I Ó N / U N I A N D E S
[415]
Capítulo 13
j) Calcule el WACC en reales después de impuestos, a través de la relación usual.
¿Cuál sería el costo promedio ponderado de capital en pesos, a utilizar para la empresa de carbón que se va a valorar? Para este ejercicio suponga equilibrio cambiario,
una tasa de inflación de largo plazo en Estados Unidos del 2% y una tasa de inflación
de largo plazo en Colombia del 4.5%. ¿Cuál sería el costo en reales?
Para el cálculo del WACC en esta situación real (inversión en una empresa de carbón
en Colombia) se seguirán los pasos recomendados previamente:
x
Selección de los parámetros básicos, resumidos en el Cuadro 13.9; la tasa libre de
riesgo, el premio al riesgo (risk Premium) y el Beta no apalancado para el sector
carbón10 fueron tomados de A. Damodaran. Los valores de inflación en Estados
Unidos y en Colombia son valores supuestos a partir de la evolución real de esos
indicadores; la devaluación resultante es el resultado de un supuesto de equilibrio
cambiario.
Cuadro 13.9
Parámetros básicos, Estimación del costo del patrimonio
Inflación en Estados Unidos
2,00%
Inflación en Colombia
4,50%
Devaluación proyectada
2,45%
Tasa libre de riesgo (Long term treasury bond rate)
2,21%
Premio al riesgo (Risk Premium to Use for Equity)
5,00%
Tipo de negocio: carbón
Beta no apalancado
Tasa de impuestos
1,39
33,00%
Estructura de capital
Deuda
25,00%
Patrimonio
75,00%
Costo de la deuda, AI
13,00%
Fuente: A. Damodaran, Valuation, www.stern.nyu.edu/~adamodar.
En el Cuadro 13.10, tomado de la fuente referenciada11, se presenta una muestra de
los parámetros básicos para algunos sectores, incluyendo carbón:
10
A. Damodaran, vía Internet, Betas y risk premiums para febrero de 2009,
(www.stern.nyu.edu/~adamodar).
11
Ídem.
[416]
JAVIER SERR ANO
Estimación del costo promedio ponderado de capital en Colombia: una aproximación...
Cuadro 13.10
Betas apalancados y no apalancados
Industry Name
Número de
firmas
Beta
promedio
1,26
1,21
1,18
1,98
Relación D/P a
precios de
mercado
29,11%
26,70%
35,74%
48,02%
Tasa de
impuestos
Chemical (Basic)
19
19,29%
Chemical (Diversified)
33
25,47%
Chemical (Specialty)
88
18,99%
Coal
18
10,52%
Computer
322
1,22
7,77%
12,65%
Software/Svcs
Computers/Peripherals
125
1,29
18,36%
9,90%
Diversified Co.
113
1,25
160,98%
20,23%
Drug
342
1,16
14,51%
5,96%
Water Utility
16
0,86
82,79%
35,46%
Wireless Networking
57
1,54
36,37%
14,08%
Grand Total
6870
1,19
48,81%
16,67%
Fuente: A. Damodaran, Valuation, www.stern.nyu.edu/~adamodar.
Beta no
apalancado
1,02
1,01
0,92
1,39
1,15
1,11
0,55
1,02
0,56
1,17
0,84
x
Escoja el Beta no apalancado para el negocio del carbón: BNA = 1,39
x
Calcule el Beta apalancado (riesgo operacional y financiero), a partir del Beta no
apalancado, utilizando la estructura de capital sugerida y la fórmula:
BetaA = BetaNA * [1+(1-timp)*(deuda/patrimonio)]
BetaA = 1,39 * [1+(1-0,33)*(0,25/0,75)] = 1,7004
x
Calcule el costo del equity en Estados Unidos en dólares, utilizando la estructura
de capital sugerida, el Beta apalancado y el modelo del CAPM.
KE = RF + [Risk Premium] * BetaA = 2,21% + 5.00% * 1,7004 = 10,71%, en
dólares en Estados Unidos.
x
Calcule la prima por riesgo país.
Según lo indicado: 3,20% * 1.17 *1.22 = 4,57%
x
Calcule el costo del equity en Colombia, en dólares, aumentando al costo en
dólares en Estados Unidos la prima por riesgo país, lo cual le da el costo del
equity en dólares en Colombia:
KE,$US = (1+0,1071)*(1+0,0457)-1 = 15,77%
x
Calcule el costo en pesos del equity en Colombia, utilizando equilibrio cambiario:
ALFAOMEGA
t
FAC U LTA D D E A D M I N I S T R AC I Ó N / U N I A N D E S
[417]
Capítulo 13
KE,$ = (1+0,1577) * (1+0,0245)-1 = 18,61%
x
Calcule el costo de la deuda después de impuestos, en pesos:
KD * (1-t) = 13,00% * (1-0,33) = 8,71%
x
Calcule el costo promedio ponderado de capital, teniendo en cuenta la estructura
de capital sugerida y los valores estimados:
WACC = 0,25*8,71% + 0,75*18,61% = 16,13%
x
Costo en reales: aplique la relación usual:
(1 + WACCReal) * (1+ inf) = (1 + WACCNominal)
WACCReal = (1+0,1613)/(1+0,045) = 11,13%
El costo promedio ponderado de capital en reales, después de impuestos, es del
11,13%.
CASO: DISTRIBUCIÓN DE ENERGÍA ELÉCTRICA EN COLOMBIA
En Colombia existe una regulación especial para las empresas de servicios públicos
domiciliarios; en el caso específico de la actividad de transmisión y distribución de
energía eléctrica, la Comisión de Regulación de Energía y Gas (CREG) define la metodología tarifaria y aprueba las tarifas máximas que las empresas pueden cobrar a sus
usuarios dentro de un esquema que se denomina de techo de precio (price cap)12.
Este aspecto es especialmente importante, ya que en Estados Unidos el sistema de
regulación es el denominado rate of return, que ofrece un menor riesgo para la
empresa prestadora del servicio. En la metodología tarifaria se definen los pasos que
se deben seguir para calcular la tasa remuneratoria del capital invertido que es el mismo WACC, fundamental para encontrar el costo medio de largo plazo por inversión
que se debe trasladar al usuario, de acuerdo con la metodología tarifaria existente.
La Resolución de la CREG 093 de 2008 estableció la metodología para el cálculo del
WACC para las empresas de distribución de energía eléctrica, incluyendo la metodología a utilizar, fuentes de información para estimar los diferentes parámetros, períodos de tiempo para la estimación de los diferentes parámetros, orden de la conversión, etc., siguiendo una metodología similar a la que se presentó en el numeral 13.6.
Se utilizan parámetros básicos del mercado de Estados Unidos tales como la tasa libre
12
Para una industria regulada según el esquema price cap, el regulador o alguna entidad competente
establece el precio o tarifa máxima que la empresa puede cobrar por el producto que se ofrece al
mercado regulado.
[418]
JAVIER SERR ANO
Caso: distribución de energía eléctrica en Colombia
de riesgo, el premio por riesgo de mercado, el valor del EMBI para Colombia, el Beta
del sector de distribución de energía eléctrica, el ajuste al Beta por la diferencia en los
regímenes regulatorios, etc. La resolución se expidió luego de un proceso de análisis y
discusión con el sector que tomó aproximadamente un año, en el cual se analizaron
diferentes trabajos elaborados por entidades especializadas sobre la estimación del
WACC para el sector, se realizaron diferentes foros académicos y audiencias públicas.
Al definir la tarifa máxima que pueden cobrar las empresas a sus usuarios, se define la
rentabilidad de la actividad de distribución de energía eléctrica.
En la parte resolutoria la citada Resolución 093 de 2008 establece:
“Artículo 1: Tasa de Retorno. Para remunerar la actividad de distribución
de energía eléctrica se utilizarán dos tasas de retorno calculadas con la
metodología del Costo Promedio Ponderado de Capital: una tasa para los
sistemas que se remuneren mediante la metodología de Ingreso Máximo y
otra tasa para los sistemas remunerados mediante la metodología de Precio
Máximo”.
“Artículo 2: Elementos para el cálculo de la Tasa de Retorno. Los valores
de los parámetros, las fórmulas de cálculo, las fuentes de información y los
períodos de tiempo de los datos requeridos para el cálculo de las tasas de
retorno que se utilizarán en las fórmulas tarifarias de la actividad de
distribución de energía eléctrica durante el próximo período tarifario, serán
los establecidos en el Anexo de la presente Resolución”.
“Artículo 3: Valor de la Tasa de Retorno. Las tasas de retorno para
remunerar la actividad de distribución de energía eléctrica en el próximo
período tarifario, calculadas de acuerdo con lo establecido en los artículos
anteriores serán: 13,0% para la metodología de Ingreso Máximo y 13,9%
para la metodología de Precio Máximo, las dos en constantes y antes de
impuestos”.
“Artículo 4: Vigencia. Esta resolución rige a partir de su publicación en el
Diario Oficial, deroga las normas que le sean contrarias y se aplicará a
partir de la fecha en que queden en firme los actos particulares requeridos
para determinar los costos anuales y los cargos por uso de los Operadores
de Red, con base en la metodología de remuneración de la actividad de
distribución de energía eléctrica que se defina para el próximo período
tarifario”.
En el Cuadro 13.11, tomado textualmente de la citada resolución13, se resumen los
parámetros a utilizar, la fuente a emplear para su estimación y el período de tiempo a
13
CREG, Resolución 093 de 2008.
ALFAOMEGA
t
FAC U LTA D D E A D M I N I S T R AC I Ó N / U N I A N D E S
[419]
Capítulo 13
tomar para la estimación del respectivo parámetro; ∆ȕ corresponde al ajuste del Beta
para tener en cuenta la diferencia entre un sistema price cap como el vigente en
Colombia y el sistema rate of return existente en Estados Unidos.
Cuadro 13.11
Variable
Fuente
Período
Eu
Morningstar (Ibbotson)
SIC 4911
“Regulatory Structure and Risk and Infrastructure Firms”
Alexander, Ian y otros, 1996
DANE
Índice de precios al consumidor
The Livingston Survey
Federal Reserve Bank of Philadelphia.
Consumer Price Index
Long-Term Outlook
Superintendencia Financiera de Colombia y Banco de la
República.
(Tasa de interés del “Crédito Preferencial”; bancos con
más del 50% de datos en el período)
Reserva Federal de Estados Unidos.
Tasa de bonos a 20 años: Mensual :
Anual :
Morningstar (Ibbotson)
S&P 500, retornos anuales
J.P. Morgan
Spread de los bonos de la República estimado con base en
el EMBI plus de Colombia
Estatuto Tributario.
Tarifa de impuesto de renta
Últimos cuatro trimestres
disponibles
∆ȕ,
InfC
InfEU
rd
rf
rm
rp
W
Últimos 60 meses
Encuesta más reciente
publicada
Últimos 60 meses
Últimos 60 meses
Desde 1926
Desde 1926
Últimos 60 meses
Actual
En el Cuadro 13.12 se muestran los parámetros estimados y se resumen los cálculos
utilizados para llegar al valor estimado del 13.9% en constantes y antes de impuestos
para la metodología de precio máximo14.
14
[420]
Ibíd.
JAVIER SERR ANO
Caso: distribución de energía eléctrica en Colombia
Cuadro 13.12
ESQUEMA REGULATORIO
Inflación US$
Tasa de impuestos
ESTRUCTURA DE CAPITAL
Deuda
Capital propio
COSTO DE LA DEUDA
Costo real
Costo nominal
COSTO DEL CAPITAL PROPIO
Tasa libre de riesgo
Beta (SIC 4911)
Ajuste de Beta
Prima riesgo mercado
Prima riesgo país
Beta desapalancado
Beta apalancado
Prima riesgo negocio
COSTO PROMEDIO PONDERADO
WACC US$ después de impuestos
WACC US$ antes de impuestos
WACC real antes de impuestos
Ingreso
máximo
2,50%
33,0%
Precio
máximo
2,50%
33,0%
40,0%
60,0%
40,0%
60,0%
6,94%
9,61%
6,94%
9,61%
4,88%
0,44
0,11
7,05%
2,85%
0,55
0,80
5,61%
13,34%
4,88%
0,44
0,22
7,05%
2,85%
0,66
0,95
6,73%
14,46%
10,58%
15,79%
13,0%
11,25%
16,80%
13,9%
Para estimar el costo de la deuda en pesos, se define15:
“El costo real de la deuda se estimará como el promedio del percentil 80
de las tasas de interés reportadas mensualmente por los establecimientos
bancarios a la Superintendencia Financiera de Colombia, para el “Crédito
preferencial”, expresado en términos reales, de los bancos que tengan
datos para más del 50% del período tomado. A este valor se adicionará la
diferencia que tienen las tasas de interés de los créditos preferenciales con
plazos mayores a 5 años”.
La Superintendencia Financiera de Colombia define el crédito preferencial o
corporativo como sigue16:
“Se definen como créditos comerciales todos los créditos distintos a los de
vivienda, de consumo y microcrédito. El crédito comercial comprende los
créditos ordinario, preferencial o corporativo y el de tesorería. Se considera
que un cliente es preferencial o corporativo cuando éste posee los
15
Ibíd.
Superintendencia Financiera de Colombia, Nota metodológica sobre las modalidades de crédito,
consulta vía Internet (www.superfinanciera.gov.co).
16
ALFAOMEGA
t
FAC U LTA D D E A D M I N I S T R AC I Ó N / U N I A N D E S
[421]
Capítulo 13
elementos necesarios para entrar a pactar una tasa de interés. El crédito
preferencial o corporativo se define para plazos superiores a 30 días”.
“Para el caso del crédito comercial preferencial o corporativo, las
entidades deben excluir del reporte la información correspondiente a las
operaciones realizadas con sobregiros bancarios, los créditos que
involucren cupos de redescuento, operaciones en la financiación de
impuestos, los créditos con reciprocidades o contraprestaciones que
conlleven niveles de tasa de interés distantes de la realidad del mercado,
los créditos redescontados independientemente del monto aprobado, los
créditos otorgados a su matriz o a las subordinadas de esta, así como a
cualquier otra sociedad donde se evidencie el control de gestión o
administrativo por parte de la entidad vigilada o de su matriz o de las
subordinadas de esta, así como los créditos que se originen de los acuerdos
de reestructuración según lo establecido en la Ley 550 de 1999 de
Intervención Económica”.
El Banco de la República, en sus series sobre tasas de interés, publica información
histórica sobre los valores de la tasa de interés del crédito preferencial, que se puede
consultar vía Internet; un estudio de la información que allí se muestra permite concluir que la mayor parte del crédito preferencial se otorga a menos de un año.
Para el análisis de este caso se pueden formular preguntas como las que se muestran
a continuación:
a) Seguimiento de la metodología resumida en los cuadros 13.11 y 13.12.
b) ¿Por qué la tasa remuneratoria para el sistema de ingreso regulado es inferior a la
del esquema conocido como de price cap?
c) ¿Influye el orden de conversión, pesos a dólares versus dólares a pesos? ¿La tasa
real en dólares es equivalente a la tasa real en pesos?
d) ¿Cuáles son las consecuencias de utilizar como costo de la deuda la tasa del
crédito preferencial, con las anotaciones hechas? ¿Qué otra alternativa se tiene
disponible?
e) Tome otras fuentes de información para los parámetros básicos (tasas, primas,
Betas). ¿Cómo varían sus resultados? ¿Qué le sugiere la variación observada?
f. Tome otros períodos de tiempo para la estimación de los parámetros básicos (tasas, primas, Betas): ¿cómo varían sus resultados? ¿Qué le sugiere la variación
observada?
g. Si fuera a hacer los cálculos hoy, con la información de la fecha, ¿cuál sería el
valor del WACC? ¿Qué le sugieren las variaciones observadas?
[422]
JAVIER SERR ANO
Ejercicios
EJERCICIOS
1.
En el Cuadro 13.13 se muestran las rentabilidades de dos proyectos de inversión (a y b) en 4 escenarios mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivos. También se muestra la rentabilidad del mercado para cada uno de los 4
escenarios a que se acaba de hacer referencia. La tasa libre de riesgo es del
28%.
Utilizando el CAPM se debe analizar la conveniencia de cada uno de los dos
proyectos (a y b) desde el punto de vista financiero, teniendo en cuenta el riesgo inherente a cada uno de ellos.
Cuadro 13.13
Tasa libre de riesgo
28%
Escenario
1
2
3
4
Probabilidad
0.25
0.25
0.30
0.20
Rm
Ra
Rb
28.00%
30.00%
40.00%
43.00%
10.00%
30.00%
55.00%
80.00%
30.00%
40.00%
50.00%
55.00%
La respuesta se resume en el Cuadro 13.14; se aceptaría únicamente el
proyecto B.
Cuadro 13.14
Tasa libre de riesgo
Beta
E(RJ), según CAPM
E(RJ), estimado
2.
A
B
3,899
1,448
55,68%
42,50%
38,28%
43,50%
28,00%
¿Qué puede decir sobre la conveniencia del siguiente proyecto, con las rentabilidades que se muestran en el Cuadro 13.15, en tres escenarios mutuamente
excluyentes y colectivamente exhaustivos? Allí también se muestra la rentabilidad del mercado en los tres escenarios; la tasa libre de riesgo es del 28%.
ALFAOMEGA
t
FAC U LTA D D E A D M I N I S T R AC I Ó N / U N I A N D E S
[423]
Capítulo 13
Cuadro 13.15
Escenario
Probabilidad
Rm
Ra
1
25,00%
20,00%
15,00%
2
35,00%
34,00%
35,00%
3
40,00%
40,00%
65,00%
Los cálculos necesarios para dar una respuesta a la pregunta son:
Beta: 2,41
E(RJ), según CAPM, 39,79%
E(RJ), estimado: 42%
Por los tanto se aceptaría el proyecto.
3.
En el Cuadro 13.16 se muestran las rentabilidades de dos proyectos de inversión (a y b) en 4 escenarios mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivos. También se muestra la rentabilidad del mercado para cada uno de los 4
escenarios. La tasa libre de riesgo es del 28%.
Utilizando el CAPM, se debe analizar la conveniencia de cada uno de los dos
proyectos (a y b) desde el punto de vista financiero, teniendo en cuenta el riesgo inherente a cada uno de ellos.
Cuadro 13.16
Tasa libre de riesgo
28%
Escenario
Probabilidad
Rm
Ra
Rb
1
0.15
28.00%
23.00%
28.00%
2
0.35
30.00%
34.00%
32.00%
3
0.35
38.00%
52.00%
45.00%
4
0.15
40.00%
60.00%
55.00%
En el Cuadro 13.17 se resumen los resultados de los cálculos necesarios:
[424]
JAVIER SERR ANO
Ejercicios
Cuadro 13.17
A
B
2,659
1,932
E(RJ), según CAPM
43,95%
39,59%
E(RJ), estimado
42,55%
39,40%
Beta
Por lo tanto, ninguno de los dos proyectos sería aceptable.
4.
La empresa XYZ opera en Colombia en un sector económico, para el cual el
Beta no apalancado, tomado de la base de datos del profesor A. Damodaran
(www.stern.nyu.edu/~adamodar), es de 1,15; suponga una tasa libre de riesgo del 2,21% y una prima por riesgo de mercado del 5%, correspondientes a
los parámetros publicados en febrero de 2009. Suponga una tasa de impuestos
corporativos del 33%, un valor del EMBI de 320 puntos básicos y valores para
los dos ajustes sugeridos por Damodaran (cociente entre la volatilidad del
mercado accionario y la del mercado de bonos soberanos y la proporción de
los ingresos de la compañía que se va a valorar que se producen en el país
con la proporción de los ingresos de la empresa promedio colombiana),
respectivamente de 1,20 y 1,18. La estructura de capital de la empresa XYZ es
del 40% de deuda y el 60% de patrimonio. Así mismo, suponga una inflación
en Estados Unidos de largo plazo del 2% y una inflación en Colombia de largo
plazo del 5%. La empresa XYZ puede conseguir deuda en el mercado colombiano en pesos con un costo del 15% antes de impuestos.
a.
b.
c.
d.
e.
5.
¿Cuál es el costo de la aportación patrimonial en dólares, si la inversión
en la empresa se fuera a hacer en Estados Unidos? (10,53%).
¿Cuál es el costo de la aportación patrimonial en dólares, si la inversión
en la empresa XYZ se hace en Colombia? (15,54%).
¿Cuál es el costo de la aportación patrimonial en pesos, si la inversión en
la empresa XYZ se hace en Colombia? (18,93%).
¿Cuál es el costo de WACC en pesos nominales para una inversión en la
empresa XYZ en Colombia, después de impuestos? (15,38%).
¿Cuál es el costo del WACC en pesos reales o constantes para una
inversión en la empresa XYZ en Colombia, después de impuestos?
(9.89%).
Suponga que el flujo de caja libre para la firma de la empresa XYZ del
problema anterior para los próximos 5 años es el que se muestra en el Cuadro
13.18:
ALFAOMEGA
t
FAC U LTA D D E A D M I N I S T R AC I Ó N / U N I A N D E S
[425]
Capítulo 13
Cuadro 13.18
Año
Flujo
1
350.000
2
485.000
3
550.000
4
620.000
5
725.000
Para el año 5, el flujo de caja libre se ha estabilizado, en forma tal que a partir
del año 6 crece según un modelo de crecimiento constante a infinito, con una
tasa de crecimiento en reales del 3,5. ¿Cuál sería el valor de mercado de
la firma? ($7.475.838). ¿Cuál sería el valor de mercado del patrimonio?
($4.485.503).
6.
La empresa XYZ opera en Colombia, en el sector de la industria de servicios
médicos, sin estar sometida a un régimen especial de regulación. La utilidad
operacional (UAII) para el año base (año cero) fue de 135.000, afectada por
gastos de depreciación y amortización de diferidos del orden de los $120.000
millones de pesos. Una buen escenario para proyectar el negocio sería un
crecimiento del EBITDA del 7% en reales durante 3 años, para caer a un crecimiento normal con la industria, estimado en el largo plazo del 3.5% real; la
inflación proyectada para Colombia en ese escenario es del 4,8% y la de
Estados Unidos del 2%. La empresa puede conseguir deuda en Colombia con
un Spread del 4,5% sobre la tasa DTF; se espera que la tasa DTF crezca
paulatinamente del nivel actual a un nivel del 11%, durante los próximos 5
años. La tasa de impuestos corporativos es del 33%. Utilice la información de
la base de datos de A. Damodaran y los valores actuales del EMBI, para
estimar la tasa de descuento apropiada. La estructura actual de capital es tal
que la relación deuda a patrimonio es de 0,6. Las inversiones en activos fijos
para el primer año del período de proyección son de $50.000 millones y van a
crecer con la tasa de crecimiento del EBITDA; la depreciación de las nuevas
inversiones se hace a 20 años. La inversión en capital de trabajo estimada se
puede proyectar en $20.000 millones para el primer año, y también se puede
proyectar creciendo con la tasa de crecimiento del EBITDA.
a.
b.
c.
d.
[426]
¿Cuál es el valor de mercado de la firma?
¿Cuál es el valor de mercado del patrimonio?
¿Qué ocurriría si usted endeuda la empresa en $250.000 millones para
descapitalizarla?
¿Qué ocurriría si usted endeuda la empresa en $250.000 millones para
invertir en TES?
JAVIER SERR ANO
Ejercicios
En el Cuadro 13.19 se muestran los pasos necesarios para estimar un WACC año a
año, durante los 6 años, utilizando la información disponible en ese momento
(septiembre de 2009): no se han incluido ajustes por riesgo país, más allá de los del
EMBI.
Cuadro 13.19
1
2
3
4
5
6
Inflación Colombia
Año
0
4,80%
4,80%
4,80%
4,80%
4,80%
4,80%
Inflación Estados Unidos
2,00%
2,00%
2,00%
2,00%
2,00%
2,00%
2,75%
2,75%
2,75%
2,75%
2,75%
2,75%
Devaluación
3,00%
Tasa impuestos
33,00% 33,00% 33,00% 33,00% 33,00% 33,00% 33,00%
Crecimiento EBITDA real
7,00%
Crecimiento nominal
7,00%
7,00%
7,00%
7,00%
3,50%
12,14% 12,14% 12,14% 12,14% 12,14% 8,47%
Tasa DTF
5,00%
6,00%
7,00%
8,00%
9,00% 10,00% 11,00%
Spread
4,50%
4,50%
4,50%
4,50%
4,50%
Costo deuda, AI
9,73% 10,77% 11,82% 12,86% 13,91% 14,95% 16,00%
Tasa libre de riesgo, Rf
2,21%
3,00%
4,00%
5,00%
5,00%
5,00%
5,00%
Premio al riesgo
Relación
(Deuda/Patrimonio)
Patrimonio
5,00%
5,50%
6,00%
6,50%
7,00%
7,00%
7,00%
62,50% 62,50% 62,50% 62,50% 62,50% 62,50% 62,50%
Deuda
37,50% 37,50% 37,50% 37,50% 37,50% 37,50% 37,50%
Beta no apalancado
4,50%
4,50%
60,00% 60,00% 60,00% 60,00% 60,00% 60,00% 60,00%
0,9
0,9
0,9
0,9
0,9
0,9
0,9
Costo del equity USA
8,52%
9,94% 11,57% 13,20% 13,83% 13,83% 13,83%
EMBI
Costo del equity,
Colombia, US$
WACC
2,43%
3,40%
3,80%
4,00%
4,00%
4,50%
4,50%
11,16% 13,68% 15,81% 17,73% 18,39% 18,96% 18,96%
11,50% 13,20% 14,84% 16,33% 17,02% 17,64% 17,91%
En el Cuadro 13.20 se muestran los pasos seguidos para estimar un valor de mercado
de la firma y del patrimonio, consistente con el cálculo del WACC que se acaba de
presentar:
ALFAOMEGA
t
FAC U LTA D D E A D M I N I S T R AC I Ó N / U N I A N D E S
[427]
Capítulo 13
Cuadro 13.20
Año
0
1
Factores de descuento individuales
Factor de descuento acumulado
Inversión en AF
Inversión en CT
Depreciación adicional, años
Depreciación inversión año 1
Depreciación inversión año 2
Depreciación inversión año 3
Depreciación inversión año 4
Depreciación inversión año 5
Depreciación inversión año 6
3
4
20
50.000
20.000
1.250
1.250
56.068
22.427
3.902
2.500
1.402
62.872
25.149
6.875
2.500
2.803
1.572
70.503
28.201
10.210
2.500
2.803
3.144
1.763
5
6
85,00% 84,81%
48,03% 40,74%
79.059
31.624
13.949
2.500
2.803
3.144
3.525
1.976
85.754
34.301
18.069
2.500
2.803
3.144
3.525
3.953
2.144
Año
UAII
0
1
2
3
4
135.000 164.697 196.748 232.688 272.990
5
6
318.184 352.350
EBITDA
Depreciación y amortización,
actual
Depreciación, nueva inversión
255.000 285.947 320.649 359.563 403.200
452.132 490.419
120.000 120.000 120.000 120.000 120.000
1.250
3.902
6.875 10.210
120.000 120.000
13.949 18.069
90.450 110.347 131.821 155.901 182.904
213.183 236.074
161.597 177.227 194.755 214.409
236.449 254.088
FCLF
VALOR TERMINAL
161.597 177.227 194.755 214.409
236.449 254.088
2.692.027
Valor presente flujos individuales
Valor presente, 5 flujos
individuales
Valor presente valor terminal
Valor de la firma
Valor del patrimonio
Valor de la deuda
142.747 154.329 167.413 183.231
UAII*(1-t)
UAII*(1-t) + dep. + amort. – inv.
AF-Inv. CT
[428]
2
88,34% 87,08% 85,96% 85,46%
88,34% 76,92% 66,12% 56,51%
200.987
848.708 39,63%
1.293.057 60,37%
2.141.765
1.338.603
803.162
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