MATEMATICA I GRUPO ELMA 2006 PLAN DE TRABAJO 4 Período

MATEMATICA I
GRUPO ELMA 2006
PLAN DE TRABAJO 4
Período: 13/Mayo/04 – 2/Junio/04
El 12 de mayo tendremos una reunión de trabajo para consolidar todo lo visto sobre
integrales hasta el momento.
INTRODUCCION
Hasta el momento has estudiado todo el capítulo 3 del texto sobre cálculo integral. Tu
atención se ha ido desplazando de un tema a otro, pero siempre bajo el supuesto de trabajar
con funciones continuas en intervalos cerrados. En el capítulo 4 podrás ampliar el campo de
tus conocimientos sobre las integrales, analizando conceptos y propiedades vinculados con:
§ La integral de una función continua en una semirrecta cerrada (integral impropia de
primera especie).
§ La integral de una función continua en un intervalo cerrado, salvo en uno de los
extremos de ese intervalo (integral impropia de segunda especie).
§ La integral de una función continua en un intervalo, salvo en un número finito de
puntos de ese intervalo (integral impropia mixta). En este caso la palabra intervalo se
usa en su acepción amplia, es decir comprende a los intervalos acotados (abiertos,
cerrados o ni abiertos ni cerrados), a las semirrectas (abiertas o cerradas, derechas o
izquierdas) y a toda la recta. Asimismo, la expresión “integral impropia mixta” no
abarca los casos anteriores, o sea las integrales impropias de primera o segunda especie.
En este cuarto plan de trabajo, que cubre el período comprendido entre el 13 de mayo y el 2
de junio, nos ocuparemos de las integrales impropias de primera especie llegando hasta la
página 145 (ejemplo 4.2.17 inclusive).
Nuestra próxima cita es el viernes 3 de junio a la hora 19 en el salón 30.
Te reitero para cualquier consulta entre los encuentros mi correo y mi teléfono:
barreiro@ccee.edu.uy
4186926
TEMAS A ESTUDIAR
Comenzarás con el capítulo 4 del texto sobre “Cálculo integral” y en él llegarás hasta la
página 145 (ejemplo 4.2.17 inclusive). En el periodo correspondiente a este plan de trabajo
verás los siguientes temas:
§ Definición de integral impropia de primera especie en el caso de una función continua
en una semirrecta derecha cerrada (páginas 121 a 125, hasta el ejercicio 4.2.2).
§ Algunas propiedades de esas integrales impropias (páginas 125 a 130).
§ Otras propiedades de esas integrales impropias, válidas para el caso que el integrando
sea una función no negativa (páginas 131 a 137, ejercicio 4.2.19 inclusive).
§ Algunas propiedades de la integral impropia de primera especie en el caso de una
función continua sin signo constante en una semirrecta derecha cerrada (páginas 137 a
143, hasta el ejercicio 4.2.26).
§ Definición de integral impropia de primera especie en el caso de una función continua
en una semirrecta izquierda cerrada (páginas 143 a 145, hasta el ejemplo 4.2.17
A continuación te presentamos, para cada uno de esos tres temas, una propuesta de plan de
trabajo.
1
DEFINICION DE INTEGRAL IMPROPIA DE PRIMERA ESPECIE (función
continua en una semirrecta derecha cerrada)
Nuestras sugerencias para el estudio de este tema son las que te exponemos a continuación.
1) Lee la introducción de la página 121 y observa que allí se te señala que trabajarás
“permanentemente con límites”. Debido a ello, te sugerimos que repases los resultados
sobre límites que constan en el apéndice H páginas 334 a 337.
2) Lee la definición de integral impropia para una función continua en una semirrecta
derecha cerrada (definición 4.2.1) y sigue cuidadosamente la resolución de los cinco
ejemplos que se desarrollan desde la página 123 y 124 (ejemplos 4.2.1 a 4.2.5). En
particular, presta especial atención a la “integral armónica” pues tendrás oportunidad de
aplicar más de una vez los resultados que allí se obtienen.
3) Resuelve los ejercicios 4.2.1 y 4.2.2 que están en la página 125. Te sugerimos que
distingas dos etapas en tu trabajo: el cálculo de la función integral y el cálculo del límite
de esa función (al respecto, resulta de interés que releas algunos de los ejemplos previos
a estos ejercicios). Sin duda, deberás recordar las técnicas que has aprendido en el
capítulo 3 para calcular integrales.
ALGUNAS PROPIEDADES DE LAS INTEGRALES IMPROPIAS DE PRIMERA
ESPECIE (funciones continuas en una semirrecta derecha cerrada)
Para el estudio de las tres primeras propiedades de las integrales impropias de funciones
continuas en una semirrecta derecha cerrada, te hacemos las siguientes sugerencias:
1) Lee con cuidado la demostración del teorema 4.2.1 sobre la aditividad respecto del
intervalo (página 125) y observa que en ella se utilizan una propiedad sobre integrales
vista en el capítulo 3 y una propiedad sobre límites.
2) Presta atención a la importante observación que se hace al comienzo de la página 126
(observación 4.2.1).
3) Resuelve el ejercicio de la página 126 (4.2.3).
4) Sigue atentamente la demostración del teorema sobre la condición necesaria para la
convergencia (teorema 4.2.2 en la página 126) y encárgate de explicitar el
razonamiento correspondiente al caso 3.
5) Con el propósito de que no apliques incorrectamente el teorema sobre la condición
necesaria para la convergencia, ten en cuenta la observación que consta al final de la
página 127 (observación 4.2.2), el enunciado del teorema 4.2.3 que se presenta al final
de la página 127 la observación 4.2.3 y el resumen que se hace a continuación de ese
observación.
6) Lee el ejemplo de la página 128 (4.2.6) y resuelve el ejercicio 4.2.4 ten en cuenta lo que
aparece en la página 335 sobre equivalentes y comparación .
7) Sigue detenidamente la demostración del teorema sobre la linealidad (teorema 4.2.4 en
la página 128).
8) Resuelve el primer ejercicio de la página 130 (4.2.6).
9) No pases por alto la observación de la página 130 (observación 4.2.4).
10) Resuelve al menos tres de los cuatro ejercicios que están al final de la página 130, entre
los cuales deberías incluir los ejercicios 4.2.6 y 4.2.7.
2
PROPIEDADES DE LAS INTEGRALES IMPROPIAS DE PRIMERA ESPECIE
CUANDO EL INTEGRANDO ES NO NEGATIVO (funciones continuas en una
semirrecta derecha cerrada)
Para el caso que el integrando sea no negativo, estudiarás otras tres propiedades que te
resultarán muy útiles. En este caso nuestras sugerencias son las siguientes:
1) Lee la demostración del teorema sobre la no oscilación de las integrales impropias
con integrando no negativo (teorema 4.2.5 en la página 131) y recuerda que, según lo
que se explica en la observación 4.2.5, ese teorema también es válido cuando el
integrando es no positivo.
2) Sigue con detenimiento la demostración del teorema sobre el criterio de comparación
(teorema 4.2.6 en la página 131).
3) Lee los tres ejemplos de aplicación del criterio de comparación que están en las páginas
132 y 133.
4) Resuelve los dos ejercicios de la página 133 (en el primero de ellos ten en cuenta que
t + 1 ≥ 1 ∀ t ≥ 0 y en el segundo que 0 ≤ (sent)2 ≤ 1 ∀ t).
5) Resuelve los dos ejercicios de la página 134 (en el primero y con respecto al límite de F
en +∞, vuelve a leer la observación 4.2.6 en las página 133).
6) Sigue atentamente la demostración del teorema sobre el criterio de comparación con
“paso al límite” (teorema 4.2.7 en la página 134) y encárgate de completar el
razonamiento correspondiente al caso 3. Ten presente el corolario de este teorema
(4.2.8) que se enuncia y demuestra en la página 136.
7) Lee los ejemplos 4.2.10 y 4.2.11.
8) Resuelve al menos tres de los seis ejercicios que están en las página 136 y 137, entre los
cuales deberías incluir los ejercicios 4.2.14 y 4.2.17.
ALGUNAS PROPIEDADES DE LAS INTEGRALES IMPROPIAS DE PRIMERA
ESPECIE (funciones continuas sin signo constante en una semirrecta derecha cerrada)
Nuestras sugerencias para el estudio de este tema son las que te exponemos a continuación.
1) Presta atención a los comentarios que se hacen antes de enunciar el teorema 4.2.9.
2) Lee con cuidado la demostración del teorema 4.2.9 sobre el criterio de convergencia
dominada (página 138) y observa que en ella se utilizan varias propiedades que ya
conoces.
3) Lee el ejemplo 4.2.12 de la página 138 y resuelve el ejercicio 4.2.20 (ingéniate para
acotar, tanto superior como inferiormente, la función 1 – 2sent).
4) Sigue atentamente la demostración del teorema 4.2.10 sobre el criterio de
convergencia absoluta y el desarrollo que se hace en el ejemplo 4.2.13 (página 139).
5) Lee la definición 4.2.2 de integral impropia absolutamente convergente (página 140) y
la observación 4.2.8 que consta en la página 140.
6) Resuelve el ejercicio 4.2.21 que está en la página 140.
7) No dudes en dedicarle la mayor atención a la resolución de los ejemplos 4.2.14 y 4.2.15
(páginas 141 y 142).
8) Resuelve al menos tres de los cinco ejercicios que están en las páginas 143, entre los
cuales deberías incluir los ejercicios 4.2.23 y 4.2.24 (para el primero te recomendamos
que consultes la página 323 y que releas la segunda parte de la observación 4.2.3,
página 128).
3
DEFINICION DE INTEGRAL IMPROPIA DE PRIMERA ESPECIE (función
continua en una semirrecta izquierda cerrada)
En este tema te hacemos las siguientes sugerencias:
1) Lee la definición 4.2.3 de integral impropia de primera especie en una semirrecta
izquierda cerrada (página 144) y observa la similitud entre esta definición y la que ya
conocías para el caso de una semirrecta derecha cerrada.
2) Lee los ejemplos 4.2.16 y 4.2.17.
3) Resuelve los dos ejercicios de la página 144.
DEDICACION HORARIA
En relación con tu planificación del tiempo que dedicarás al estudio de los temas
contemplados en este plan de trabajo, te sugerimos que tengas en cuenta el cronograma que
sigue.
TEMA
MES/DIA
Mayo
Jun
receso
28 29 30 31 1
Definición de integral impropia de primera
especie
Algunas propiedades de las integrales
impropias de primera especie
Propiedades de las integrales impropias de
primera especie cuando el integrando es no
negativo
Algunas propiedades de las integrales
impropias de primera especie cuando el
integrando no tiene signo constante
Definición de integral impropia de primera
especie (función continua en una semirrecta
izquierda cerrada)
4
PLAN DE TRABAJO 4 - ANEXO 1
RESOLUCION DE LA PRIMERA PRUEBA DE AUTOEVALUACION
5
Para finalizar un simpático dibujo en la próxima página, el de la función de este
ejercicio (no se pide pero, sin duda, resulta interesante).
6
Plan de trabajo 4 - Complemento al Anexo 1
Ejercicios resueltos y ejercicios a resolver
Les estamos entregando la resolución de los ejercicios 3.6.9 y 3.7.10 (páginas 96 y 106 del
texto) y de una integral propuesta en un examen de Matemática I.
Ejercicio 3.6.9
x
Calcula ∫ 1 sen ( Lt) dt para x > 0 (con esta condición nos aseguramos la continuidad de la
función a integrar en el intervalo de extremos 1 y x; tengan en cuenta que Lt existe, y es
continua, sólo para t > 0).
Para comenzar utilizo el método de integración por partes.
Observo que sen ( Lt) = 1.sen ( Lt) y tomo f ' ( t ) = 1 y g ( t ) = sen (Lt ) . Ello me lleva a elegir
cos( Lt )
f ( t ) = t y a calcular g ' ( t ) : g ' ( t ) =
.
t
En consecuencia, ∫ 1 sen ( Lt) dt = ∫ 1 1.sen ( Lt ) dt = [tsen ( Lt ) ]1x − ∫ 1 cos( Lt ) dt y por lo tanto
x
x
x
x
x
x
∫ 1 sen ( Lt) dt = xsen ( Lx ) − sen ( L1) − ∫1 cos( Lt ) dt = xsen ( Lx ) − ∫1 cos( Lt ) dt (*).
x
El resultado no parece ser muy alentador ya que me quedó ∫1 cos( Lt ) dt . No me desaliento
y en esa integral vuelvo a usar el método de integración por partes tomando
sen ( Lt )
nuevamente f ' ( t ) = 1 pero, ahora, g ( t ) = cos( Lt) , con lo cual g ' ( t ) = −
.
t
x
x
x
x
∫1 cos( Lt) dt = [t cos(Lt ) ]1 − ∫1 − sen ( Lt ) dt = x cos( Lx ) − 1 + ∫1 sen ( Lt ) dt (**).
En resumen, las igualdades (*) y (**) implican que
x
x
∫1 sen ( Lt ) dt = xsen ( Lx ) − x cos( Lx ) + 1 − ∫1 sen (Lt ) dt y por lo tanto
x
2 ∫1 sen( Lt ) dt = xsen ( Lx ) − x cos( Lx ) + 1 .
1
En definitiva, ∫1x sen ( Lt ) dt = ( xsen (Lx ) − x cos( Lx ) + 1) (♦)
2
7
Y esto se terminó. Sin embargo, considero de interés plantearles una verificación del
resultado que obtuve, la que realizaré en dos pasos.
1
La igualdad (♦) pasa con éxito la prueba de sustituir x por 1 ya que ∫1 sen ( Lt) dt = 0 y
también
1
(sen ( L1) − cos( L1) + 1) = 0 .
2
(
)
x
Debido al teorema fundamental sé que ∫1 sen ( Lt) dt ' = sen (Lx ) . Al derivar el segundo
1
(sen (Lx ) + cos( Lx ) − cos(Lx ) + sen ( Lx ) ) = sen (Lx ) . O sea
2
que la igualdad (♦) también pasa la prueba de la derivada.
1
x
Tengo entonces que ∫1 sen ( Lt ) dt y (xsen (Lx ) − x cos( Lx ) + 1) tienen igual derivada y
2
toman el mismo valor para x = 1. Por lo tanto son iguales.
Para terminar, resulta muy interesante que noten lo siguiente (recuerden que seno y coseno
son funciones acotadas):
1
1
lím ∫1x sen ( Lt) dt = lím
(
xsen ( Lx ) − x cos( Lx ) + 1) = . Es razonable, entonces,
2
x →0 +
x →0 + 2
1
escribir la igualdad ∫10 sen ( Lt ) dt = aunque la función que se integra no sea continua en el
2
intervalo [0,1] (ya veremos cosas como ésta en el tema de integrales impropias o
generalizadas).
miembro de (♦) me queda
Ejercicio 3.7.10
cos t
x
1
du = ∫ 0senx
du
( u − 2)( u − 3)
sen t − 5sent + 6
u − 5u + 6
En lo anterior usé el método de integración por sustitución con g(t) = sent y observé que 2 y
3 son las raíces de u2 –5u + 6.
1
1
1 
senx
senx 
du = ∫ 0  −
+
 du (Usé el método de descomposición en
∫0
( u − 2)( u − 3)
 u − 2 u − 3
fracciones simples).
1
1 
senx 
senx
 3 − senx 
 2
∫ 0  − u − 2 + u − 3  du = [− L u − 2 + L u − 3 ] 0 = L 2 − senx  + L 3  .




 
cos t
x
 3 − senx 
2
En consecuencia tengo que ∫ 0
dt = L
+ L  (es interesante

 2 − senx 
3
sen 2 t − 5sent + 6
que verifiquen el resultado anterior usando el “método de las derivadas” y que noten que el
mismo es válido para cualquier x ya que –1 ≤ sent ≤ 1 ∀ t y por lo tanto sent ≠ 2 y sent ≠ 3
∀ t).
 3 − sen ( ð / 2) 
 3 − sen ( ð / 6) 
ð /2
ð/2
ð/6
∫ ð / 6 ... dt = ∫ 0 ... dt − ∫ 0 ... dt = L 2 − sen ( ð / 2)  − L 2 − sen ( ð / 6)  .




∫0
2
dt = ∫ 0senx
1
2
6
Debido a que sen(π/2) = 1 y sen(π/6) = 1/2 concluimos que ∫ ðð //62 , , , dt = L  .
5
Nota: Supongo que no les ha resultado simple seguir la “apretada” resolución del este
ejercicio y que más de una vez han tenido que recurrir al papel y al lápiz para comprobar
8
algunas de las cosas que les presenté. Si al terminar están convencidos de haber entendido
todo, les aseguro que están recorriendo un excelente camino.
UN ALTO EN EL CAMINO
Si antes de comenzar el tema de integrales generalizadas consideras que necesitas
entrenarte algo más en el cálculo de integrales, te sugerimos que compruebes algunos o
todos los resultados que le presentamos a continuación.
∫
9
1

1 
 x−
 dx = 24 + ln 9

x
2
∫
π
π/ 2
∫
∫
∫
∫
ln( x + 2) dx = 3 ln 3 − 2 ln 2 − 1
∫
3
∫
0
1
∫
4
2
2
1
∫
b
a
−1
−2
e 2 x −1
dx = e
2x − 1
3
−e
e f ( x ) f ' ( x) dx = e f (b ) − e f ( a ) donde f es una funcion con derivada continua
1
π
dx =
6
( x + 1) x
2
−
2
e − |3+ x| dx = 2 − e −1 − e −4
x −1
dx = 2 − ln 2
x
π /4
tg x
1
∫0 (cos x ) 2 dx = 2
2u
ln 2
∫0 4u 2 + 1 du = 4
8
x
∫5 x − 2 dx = 3 + 2 ln 2
0
−4
f ' ( x) dx = 0 donde f ( x ) = 3 − cos x + sen x
1/ 2
1
1
x + (sen x)(cos x )
2
1
π
∫−1 xArc tg xdx = 2 − 1
∫
Arc sen tdt = 1 +
π 2
2
−
8
2
e x ( x 2 − 2 x + 3)dx = 12 e −1 − 19e − 2
x 2 − 5x + 9
4
∫0 x 2 − 5x + 6 dx = 1 + 3 ln 3
1
t3 +1
3
∫0 (t − 2)(t + 1) dt = 2 − 3 ln 2
1
x
0
(cos t ) 2 dt =
x+2
ln 2,7
dx
=
2 x ( x + 3)
3
4
1
ln 1,8
∫2 ( x − 1)( x + 1) dx = 2
0
1
3 ln 3 − 8 ln 2
∫−1 (x − 1)( x + 2)( x + 3) dx =
12
∫
3
e 3 t ( 7 sen 4t − cos 4t ) + 1
∫0
25
3
π
π 1
∫− 2 ( | x| − | x − 1|)dx = 0
∫02 x cos 3xdx = − 6 − 9
1
2
Arc tg x
π
1e
4 −1
∫0 2 x 3e x dx = 1
dx
=
e
∫0 1 + x 2
π
2
e (ln x) + ln x + 1
1
e 2 sen(ln x )
dx
=
+ ln 2
dx
=
1
∫
∫1
1
x(ln x + 1)
2
x
Nota : El símbolo lnx representa al logaritmo neperiano del número x y coincide con Lx.
Puede ser útil que consultes el numeral 7 de la página 35 del texto del curso.
t
e 3 x (sen 4 x + cos 4 x ) dx =
9
4.2.9
4.2.15 c
4.2.16 b
4.2.18
10