Erika Riveros Morán

Erika Riveros Morán
(Derivadas y aplicaciones Segunda
parte)
DERIVACIÓN IMPLICITA
Se dice que una función
si para cada
¿Es posible hallar
está definida implícitamente por la ecuación (
se cumple que (
)
))
sin necesidad de despejar y previamente en función de x?
El procedimiento a emplear se denomina DERIVACION IMPLICITA y consiste en derivar
los dos lados de la ecuación que define la función implícita, sin tener que despejar y en forma
explícita.
Este procedimiento se puede resumir como sigue:
9
Erika Riveros Morán
Ejemplo
Suponiendo que la ecuación
derivable
tal que
( ),
define implícitamente una función
encontrar su derivada.
Solución:
Derivamos cada lado con respecto a
, se tiene que
(
)
al despejar
(
)
(
nos queda
(
)
)
Derivadas de Orden Superior.
( ) es derivable en un conjunto D, entonces la derivada
Supongamos que la función
f ´ x  está definida en D.
Si la función derivada f ´ x  es derivable en D, derivando f ´ x  con respecto a x,
obtenemos la función derivada de f ´ x  definida en D, llamada Derivada de Segundo Orden o
Segunda Derivada de f y se denota por : y " f " ,
d2y
, etc.
dx 2
Ejemplo
a) Si
Obtener
Solución
Volvemos a derivar
(4)
llamada primera derivada de
,
( )
con respecto a
( )
La derivada de la segunda derivada se denomina Derivada de Tercer Orden
o
Tercera
Derivada de f.
10
Erika Riveros Morán
En general, la derivada de la derivada de orden (n - 1) se llama Derivada de n-ésimo orden
y n ;
y se designa por:
dny
, f  n
n
dx
, etc.
Ejercicios propuestos
1) Hallar
dy
si x 2  3xy 2  y 3  1  0
dx
dy
2
2
2) Hallar
si x 3  y 3  a 2 3
dx
Resp.:
dy 2 x  3 y 2

dx 6 xy  3 y 2
1
3
dy
 y
Resp.:
  
dx
x
3) Demuestre que yy "  y´  2 . Si y 2  2 x 2  c1 x  c2
2
4)
f  x   3x 3  2 x 2  5 x  1
5)
f  x  2 x
hallar y " Resp. y "  18x  4
hallar y  4
Resp. y  4  
15
8 x7
11
Erika Riveros Morán
APLICACIÓN DE LA DERIVADA
APLICACIÓN A LA ECONOMÍA
Introducción:
Las derivadas en economía son una herramienta muy útil puesto que por su misma
naturaleza permiten realizar cálculos marginales, es decir hallar la razón de cambio cuando se
agrega una unidad adicional al total, sea cual la cantidad económica que se esté considerando:
costo, ingreso, beneficio o producción.
En otras palabras la idea es medir el cambio instantáneo en la variable dependiente por acción
de un pequeño cambio (infinitesimal) en la segunda cantidad o variable.
El análisis marginal es el estudio de la razón de cambio de cantidades económicas; por ejemplo,
un economista no se preocupa sólo por el valor del producto interno bruto (PIB) de una
economía en un instante dado, sino también por la razón con que estos aumenta o disminuye.
Los economistas han definido la función de costo marginal como la derivada de la función de
costo total correspondiente. Si C es una función de costo total, la función de costo marginal se
define como su derivada C´, así el adjetivo margina es sinónimo de ” derivada de”
Función Costo Promedio: Sea ( ) el costo total de producción de unidades, la función
( )
Costo Promedio, denotada por ̅ ( ) (se lee “C barra de x” ) es: ̅ ( )
Función Costo Promedio Marginal: Mide la razón de cambio de la función de costo promedio
con respecto del número de unidades producidas y corresponde a la derivada de la función
costo promedio, es decir, ̅ ( )
Función Ingreso: La función ( ) proporciona los ingresos obtenidos por una compañía al
vender unidades de cierto artículo Si la compañía cobra dólares por unidad, entonces la
Función Ingreso es ( )
Ingreso Marginal: Corresponde a la derivada de la función ingreso ( ) y mide la razón de
cambio de la función de ingreso. Se denota por ( )
Función de Utilidad (Ganancia): La función ganancia
donde
y
son las funciones de ingreso y costo y
producidas y vendidas.
La Función Ganancia Marginal
( )
está dada por ( )
( )
es el número de unidades del artículo
( ) mide la razón de cambio de la función de ganancia
12
Erika Riveros Morán
Ejemplos:
1) Una subsidiaria de la compañía electrónica Elektra fabrica una calculadora de bolsillo
programable. La gerencia determinó que el costo total diario de producción de estas
calculadoras (en dólares) está dado por ( )
donde
representa las calculadoras producidas.
a) Hallar al función costo marginal
b) ¿Cuál es el costo marginal cuando
?. Interprete resultado.
Respuesta:
( )
a) La función costo es
función nos proporciona la función costo marginal
la derivada de esta
( )
b) El costo marginal cuando
está dado por
(
)
(
)
Es decir el costo real de producción de una calculadora adicional cuando el nivel de
producción es 300 piezas es de unos $ 19, aproximadamente.
2) El costo total de producción de unidades de cierto artículo está dado por ( )
dólares.
a) Determinar la función costo promedio ̅ ( )
b) Determinar la función costo promedio marginal ̅ ( )
Respuesta:
a) La función costo promedio está dado por
̅( )
( )
b) La función de costo promedio marginal es
̅( )
13
Erika Riveros Morán
3) Suponga que la relación entre el precio unitario en dólares y la cantidad demandada
sistema de sonido Acrosonic está dada mediante la ecuación
del
)
, ((
a)
b)
c)
d)
Determinar la función de ingreso
Determinar la función de ingreso marginal ( )
Calcular (
)
Si el costo producción de unidades del sistema de sonido modelo F de Acrosonic es
( )
dólares, determinar la función ganancia ( )
e) Obtener la ganancia marginal
f) Calcular (
)
Respuesta:
a) La función ingreso está dada por ( )
( )
(
b) La función ingreso marginal es
c)
( ) ,
)
( )
(
)
(
)
, el ingreso real obtenido por la venta del sistema
de sonido número 2001 es de $ 320 aproximadamente.
d) La función ganancia es ( )
Sabemos que ( )
( )
( )
( )
d) La ganancia marginal es
( )
( )
(
)
( )
)
(
)
f) (
2001 es aproximadamente $ 220.
La ganancia real obtenida por la venta del sistema
APLICACIONES DE LA DERIVADA
Interpretación Geométrica
Recordar que si
( ) la función derivada se definió como
( )
(
)
( )
14
Erika Riveros Morán
Ejemplo:
Obtener la derivada de la función
( )
y evaluarla en
,
,
Solución: Para obtener la derivada no usamos la definición sino las reglas de derivación que hacen
más fácil su desarrollo.
( )
,
Evaluando en
Evaluando en
Evaluando en
nos queda
nos queda
nos queda
( )
( )
( )
(
( )
( )
.
)
.
La derivada al evaluarla nos proporciona un valor (número real), el cual puede ser positivo,
negativo o cero. ¿Qué significa este valor?
Este valor nos proporciona la pendiente de la recta tangente a la curva definida por
(
( ) en
)
Objetivo:
Encontrar la pendiente de la recta tangente a una curva en un punto dado de ella.
(
( ),
Sea
( ).
) y
Sean
(
,
(
)
) dos puntos de la curva
,
( ),
definida por
(
)
( )
15
Erika Riveros Morán
Para precisar correctamente la idea de tangente a una curva en un punto, se utilizará
(
la noción de límite. En efecto, sea
gráfica de la función y  f (x) y sea
) un punto fijo sobre la curva correspondiente a la
(
La recta que pasa por
y
) otro punto de esta curva.
se conoce como recta secante a la curva, cuya pendiente
está dada por
(
Si
)
(
)
(
)
(
)
significa que
por lo que la recta secante se transforma en una
(
recta tangente a la curva en el punto
(
) pues
)
(
se mueve a
)
( )
Ejemplo:
Obtener la pendiente de la recta tangente a la curva definida por
( )
en
,
,
Solución:
Del ejercicio anterior sabemos que
( )
( )
,
(
)
(
)
,
( )
( )
16
Erika Riveros Morán
Ejemplo:
Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva definida por ( )
a)
(
) b)
(
) , c)
(
en los puntos
)
Solución:
(
Recordar que la ecuación de la recta se obtiene mediante
En
(
),
(
, se tiene
)
) ;
Si
En
(
) ,
(
se tiene
) ; 2
Si
En
(
) ,
(
se tiene
) ;
Si
Se ha visto que la pendiente de la recta tangente, la velocidad instantánea y la densidad de un
material son manifestaciones de la misma idea básica. Existen otras versiones de este concepto
en el campo de la Ingeniería Química, Economía, Biología, etc.
Un buen sentido matemático sugiere la necesidad de estudiar este concepto
independientemente de las diversas aplicaciones.
LA DERIVADA EN EL TRAZADO DE CURVAS
Significados de los signos de la Primera y Segunda derivada.
Plantearemos a través del estudio del signo de la primera derivada, las condiciones que
debe cumplir una función para que sea constante, creciente o decreciente. Veremos que si el
gráfico de una función “sube” o “baja” depende directamente del signo de la primera derivada.
17
Erika Riveros Morán
Teorema
Sea f una función continua en  a, b  y derivable en (a, b ).
Entonces:
i) Si
( )
para todo
(
), f es Creciente en  a, b 
ii) Si
( )
para todo
(
), f es Decreciente en  a, b 
Cuando una función es derivable en un punto, podemos conocer si es creciente o decreciente
en dicho punto:
Una función ( ) es creciente en un punto a, si su derivada es positiva
Una función ( ) es decreciente en un punto a, si su derivada es negativa.
f (a)  lím
h 0
f ( a  h)  f ( a )
0
h
Tiene la siguiente interpretación geométrica:
Si la función ( ) es creciente en el intervalo  a, b , la recta tangente a la curva
forma con el eje X un ángulo agudo y la derivada es positiva en ese intervalo
f (a)  lím
h 0
f ( a  h)  f ( a )
h
(
),
0
Si la función ( ) es decreciente en el intervalo  a, b, la recta tangente a la curva
( ) forma con el eje X un ángulo obtuso y la derivada en ese intervalo es negativa
Estudiar la monotonía de una función es hallar los intervalos en los que es creciente y
decreciente
18
Erika Riveros Morán
Se procede de la siguiente forma:
 Se halla la derivada, se iguala a cero y se resuelve la ecuación resultante o
 Con los puntos en los que se anula la derivada dividimos el dominio en intervalos.
 Se estudia el signo de la derivada en un punto cualquiera de cada uno de los intervalos
resultantes.
Ejemplo 1
Determinar los intervalos de monotonía de la función:
f ( x ) = x3 – 3x + 1, x
R
Solución: Se debe realizar un estudio del signo de la primera derivada, lo que realizaremos con
ayuda de una cuadro apropiado.
f ´( x ) = 3x2 – 3x = 3 ( x2 – 1 ) = 3 ( x + 1 )( x – 1 )
Por lo tanto, f es Creciente en ( - , -1  y  1, +  )
f es Estrictamente Decreciente en  -1, 1  (ver gráfico de f ( x ) en la figura)
Ejemplo 2
Halla los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función f ( x)  x 3  6 x 2  9 x  2
Solución:
Hallamos la derivada
f ( x)  3x 2  12 x  9
La igualamos a cero y resolvemos la ecuación resultante:
3x 2  12 x  9  0
x 2  4x  3  0
19
Erika Riveros Morán
x
4  16  12 4  2 3


2
2
1
Dividimos el dominio R por los puntos y y obtenemos los intervalos
(,1) , (1,3) y (3,)
Estudiamos el signo de la derivada en un punto cualquiera de cada intervalo:
Para
f (0)  9 , es decir, positiva
Para
, f (2)  3 , es decir, negativa
f (4)  9 , positiva
Para
La monotonía de la función queda reflejada en la siguiente tabla:
Intervalos
Signo de la derivada
Función
(- ∞, 1)
+

(1, 3)

(3, +∞)
+

Máximos y mínimos.
Son los puntos en que la función cambia de monotonía.
Definición
Diremos que una función f tiene un:
 Máximo Local ( o Relativo ) en xo si existe un intervalo abierto ( a, b ) que contiene a
que
(
)
(
) para todo x en (
)
 Mínimo Local ( o Relativo ) en xo si existe un intervalo abierto ( a, b ) que contiene a
que
(
)
(
) para todo x en (
tal
tal
).
20
Erika Riveros Morán
 Máximo Global ( o Absoluto ) en xo si f ( xo )
f ( x ) para todo x en Dom f
 Mínimo Global ( o Absoluto ) en xo si f ( xo )
f ( x ) para todo x en Dom f.
Ejemplo 3
Consideremos el gráfico de la siguiente función: y = x 3 + 3x2 – 9x – 10.
Podemos observar que f tiene un: Máximo Local en xo = -3,
Mínimo Local en xo = 2
Si una función derivable presenta un máximo o un mínimo en un punto c (a, b) en
( )
21
Erika Riveros Morán
El mínimo o máximo de una función en un intervalo se llaman valores extremos o extremos de
la función.
¿Dónde ocurren los valores extremos?
Los puntos claves en la teoría de máximos y mínimos son los llamados puntos críticos.
Punto Crítico
Sea f continua en  a, b , se dice que
existe.
es punto crítico si
( )
o si
( ) no
Ejemplo 4
Para
( )
Para
–
,x
R del ejemplo 1) son puntos críticos los valores de
y
f ( x)  x 3  6 x 2  9 x  2 del ejemplo 2) son puntos críticos los valores de
y
CRITERIOS
Para la determinación de máximos y mínimos podemos utilizar los siguientes criterios:
Criterio de la primera derivada:



Se determinan los intervalos de crecimiento y decrecimiento.
Existe máximo relativo en los puntos en que la función pasa de creciente a decreciente.
Existe mínimo relativo en los puntos en que pasa de decreciente a creciente.
Criterio de la segunda derivada:




Calculamos la primera derivada, la igualamos a cero y resolvemos la ecuación resultante.
Hallamos la segunda derivada.
Las raíces de la ecuación obtenida se sustituyen en la segunda derivada.
Si el resultado obtenido es positivo existe mínimo y si es negativo máximo.
Ejemplo 5
Halla los máximos y mínimos de la función f ( x)  3x  x 3
22
Erika Riveros Morán
Solución: Hallamos la primera derivada y resolvemos la ecuación f ( x)  0 :
f ( x)  3  3x 2  0
x2 1
x  1
Usaremos criterio de la segunda derivada
2ª derivada: f ( x)  6 x
Valores de la segunda derivada en los puntos obtenidos:
f (1)  6(1)  6  0
f (1)  6.1  6 0
 Mínimo para x = - 1
 Máximo para x = 1
Concavidad y convexidad.
Otra característica cualitativa importante del gráfico de una función es su concavidad, la cual
está vinculada estrechamente al signo de la segunda derivada.
Definición
Una curva es Cóncava hacia arriba o convexa si toda la curva está situada encima de la recta
tangente en cualquier punto dado de la curva. ( ver figura )
23
Erika Riveros Morán
Una curva es Cóncava hacia abajo si toda la curva está situada por debajo de la recta tangente en
cualquier punto dado de la curva ver figura
A continuación enunciaremos los criterios que permiten determinar la concavidad del gráfico
de una función ( )
Criterios para analizar concavidad
Suponga que
Si
(
)
Si
(
)
(
) existe en un intervalo(
es Cóncava hacia arriba en (
en (
)
). Entonces:
)
f es Cóncava hacia abajo en (
)
Puntos de inflexión son aquellos en los que la función cambia de convexa a cóncava o de
cóncava a convexa.
Ejemplo 6
Estudiar la concavidad del gráfico de la función f ( x ) = x 4 + 2x3 -36x2 + 24x + 12
Solución.
24
Erika Riveros Morán
De acuerdo al criterio debemos estudiar el signo de la segunda derivada.
(
(
)
)
–
–
(
–
)
(
)(
)
Por lo tanto el gráfico de la función dada es :
Cóncava hacia arriba en (-00, -3 ) y en ( 2, +00 )
Cóncava hacia abajo en ( -3, 2 )
Notemos que f ´´ (-3 ) = 0 y f ´´ ( 2 ) = 0, además en x = -3 y x = 2 se produce un cambio de
concavidad, por lo tanto, ( -3, f ( -3 ) ) y (2, f ( 2 ) ) son puntos de inflexión del gráfico de la función
f ( x ).
Problema de aplicación
1. Un fondo de inversión genera una rentabilidad que depende de la cantidad de dinero invertida,
según la formula ( )
donde ( ) representa la rentabilidad generada
cuando se invierte la cantidad x. Determinar, teniendo en cuenta que disponemos de 500 euros:
a) Cuando aumenta y cuando disminuye la rentabilidad
b) Cuanto dinero debemos invertir para obtener la máxima rentabilidad posible.
c) Cual será el valor de dicha rentabilidad.
25
Erika Riveros Morán
Solución
a) La derivada primera nos da el crecimiento o decrecimiento de la función. Si la derivada es
positiva la función crece y si es negativa decrece
Procedimiento:
Se deriva la función:
( )
Se iguala a 0 y se resuelve la ecuación que resulta:
( )
Se estudia el signo de la derivada a la derecha e izquierda de los valores que nos ha dado 0 la
derivada (en este caso
).
0
200
+
( )
Se elige un punto menor que 200, por ejemplo 100, y sustituimos
mayor que 200 (por ejemplo 300) (
)
(
)
y en otro
Entonces la derivada es positiva en el intervalo (0, 200) y f es creciente en ese intervalo y es
decreciente en (200, 500) ya que en ese intervalo nos ha dado negativa la derivada. Lo que nos
dice también que en punto 200 hay un máximo local
a) Teniendo en cuenta el apartado a debemos invertir 200 euros.
b) La máxima rentabilidad es R(200) = -0,002.(200)2+0,8.200-5 = 75 euros
Solución gráfica
26