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En la figura anterior puede observarse:
son unidades de medida, es decir, 10 s int erceptos de los eJes
a, b, Y c
con las caras del cristal.
cI.-, (3
'J
E:'
son angulos variables (dependiendo del sistema cristalino) que
forman los ejes entre
S1.
Veamos a continuacion que longitudes de medida y que angulos entre 10 s e j es
caracterizan a cada sistema cristalografico:
Sistema Cubico 0 Isometrico:
=
a
b
=
c
Sistema Hexagonal:
=
of:..
j3
=
90
0
r = 120
;
I-
= a2 =
0
c
Sistema Tetragonal:
cJ:. = (3 =!(
a
=
b
=I
= 9 00
c
Sistema Rombico:
oC =
a
(3 =
r
= 90 0
=Fb =lc
fiO
Sistema Monocllni co:
; (3
a
±b
I
-f.
c
Sistema T ri cllnico:
oC
f
a
f
(3
b
I­ f f
f
90
c
0
+
L
c
k
+
+B
H
A
Para nombrar caras los interceptos con los ejes son:
OH
OK
OL
Una cara cualquiera del cristal quedara definida en posicion por las longitu­
des
0
parametros que los ejes intercepta, y se llamara en general: OH,OK,OL
Segun 10 anterior, cualquier punto de un cristal 10 podemos referir a sus in­
terceptos con los ejes cristalograficos en general segUn la expresion~
rna, nb, pc, por ejemplo:
la , 2b , 4c.
Si la cara del cristal es paralela a un eje criEtalografico, el intercepto sera
infinito. Por ejemplo:
oC
a,
Ib,
lc.
Un metodo para referir un plano (cara de un cristal) a estos tres
61 eJes
cristalografico s serra dar los interceptos
el plano
H, K, L, p e ro en cristalo grafla
OH, OK, OL qu e nos determ'.. nan
el i n t eres no es ta nto determ i nar
un plano en especial, sino una serie de pIanos paralelos, 0 sea que los pIano s
H, K, L
El ITlodo
Y HI, K', LI
COITIO
deben ser equivalentes por ser p a ralelos.
s e pu e de obtene r una denoITlinacion (mica pa ra este juego de
pIanos es dar las re i acion e s de los interceptos 0 parametros~
OH : OK : OL = OH' : OK
I
OL'
La razon de 10 anterior es que para cristales analogos de una ITlisITla
el tamafio es variable, razon por la cual la deterITlinacion de los paraITletros
OH , OK y OL en cada uno de los cristales no conducirla a ningCm fin practico.
Pero si teneITlOS en cuenta que el desplaza:miento de un plano paralelaITlente
a slmisITlo no ITlodifica ni afecta sus propiedades respecto a los ejes de refe­
rencia, resulta que en nuestro caso es mucho mas util determinar la relaci0n
que existe entre los parametros, es decir la relacion OH: OK: OL ya que ella
expresa la posicion de la cara HKL y de todas las que sean paralelas a ella,
con 10 cual queda elinlinado el problema de la variacion del tamafio
en los
cristales analogos de una misma sustancia.
El Olivino, un Silicato de Hierro y Magnesio, cristaliza en el Sistema Rom­
bic
0,
2/m.
en la Clase cristalografica Bipiramidal Rombica, con siITletrla 21m 21m
Este :mineral ha sido cristalograficamente muy estudiado a traves del
tieinpo, obteniendose los siguientes resultados en las determinaciones
62 de
o
las longitude s
Cara
expre sadas en A) que los ej es inte rcepta:
Intercepto sobre OA Jntercepto sobre OB
Intercepto sobre OC
e
3.212
6.894
4.043
0
4.245
9 • III
2.653 f
3.770
4.035
4.744 1.937
2.270 k
=
rn
0.861
1.855
C>C> s
1.530
1.677
ex:::> r
1. 731
1.263
e>O a
4.310
c-C)
Las relaciones entre los interceptos de la tabla anterior solo pueden expre­
sarse rnediante nurneros decirnales de rnuchas cifras.
Sin ernbargo la obser­
vacion cuidadosa de tales relaciones rnuestra que podemos evitar su irraciona­
lidad y el ernpleo de tan rnolestos decirnales tornando corno medida para cada
eje el inte·'l:cepto que sobre el rnisrno deterrnina una cara que adoptarnos corno
standard y que se llann Cara unidad. Entonces los interceptos de cualquier
cara presente en el cris tal se expresaran como rnultiplos y subrnultiplos
los interceptos- de
Sean esos valores:
de
dicha cara unidad, interceptos que llamarernos a,b y c.
a= 0.46575; b= 1; c"; 0.58651,
por OB todos los interceptos, que::lando:
63
que resu1tan de dividir
Cara
Intercepto sobre OB
Interce pto so bre OA
Intercepto sobre OC
e
0.46575
1
0.58651
0
0.46575
1
0.29325
f
0.93150
1
1.17302
1.17302
k
00
1
m
0.46575
1
0<:>
s
0.93150
1
r::><::J
r
1.39725
1
ex:::>
a
0.46575
00
C>CJ
Refiriendo estos resultados a :
a: 0.46575,
Cara
b: 1,
c: 0.58651,
Intercepto sobre OA
quedarla:
Intercepto sobre OB
Intercepto sobre OC
e
1a
Ib
lc
0
la .
Ib
Zc
f
2a
Ib
2c
a
Ib
2c
m
1a
Ib
00
c
s
2a
Ib
co
c
r
3a
1b
cO
c
a
la
oe>b
ex::::>
c
k
00
1
En conclusion, 1a cara tihidad es una car-a de un cristal que se elige como
termino de compilracion para expresar en funcion de sus interceptos sobre
los ejes cristalograficos, 1a posicion de las restantes caras del mismo
cri stal.
64
En teorla p u ede e scoger s e como cara unidad cualquier cara con tal que corte
a los tres ejes, p e ro en l a practica suele esco g erse una que a parez c a con mas
frecuencia en los diversos cristales del mineral de que se trate.
Para todo cristal debe haber una cara unid a d, para el Olivino, la cara
e es
la cara unidad ( po r convencion).
2.9
LEY DE LA RACIONALIDAD:
Esta ley que fue descubierta experi:rnental:rnente por Rene Hauy expresa 10
siguiente: "La relacion entre cualquier par de para:rnetros correspondientes
a un :rnis:rno eje, es racional y general:rnente sencilla".
En otras palabras, 10 que significa es que si se usa una escala de :rnedida
apropiada para cada eje, la :rnagnitud de los para:rnetros en esta escala es
un nilrnero racional y sencillo.
Para escoger escalas se to:rna una cara que corte a los tres ejes co:rno base,
esta cara en proporcion debe ser multiplo de los otros interceptos.
Sirve
de base para expresar las ot ras carap en funcion de ella.
Desde el punto de vista de estructura interna se puede explicar la Ley de la
Racionalidad teniendo en cuenta que los ejes cristalograficos coinciden con
filas ato:rnicas, a 10 largo de cada una de estas filas hay un esque:rna reDetitivo
que en el caso general sera distinto para cad a eje.
r ..
Ta:rnbien sabe:rnos
que
los pIanos atom.icos (que equivalen a las caras) pasan por atorrlOs en los eJes,
de modo que si para una cara se toma el plano atomico de p a rametros mas
cortos, este cortara a los eJes a distancias multiples de la unidad de longitud
repetitiva sobre cada eje, y de ahl es evidente que se tiene que cumplir la ley
dle la Racionalidad, pues los interceptos de todos los pIanos sobre un mismo
eje seran multiplos de la unidad de medida sobre ese eje.
La segunda parte de La ley, que la relacion de los parametros sea sencilla
ademas de ser racional se explica debido a que los pIanos de alta densidad
corresponden a pIanos de parametros sencillos, y ya sabemos que las caras
existentes en un cristal corresponden a planos atomicos de alta densidad.
2.10
RELACION AXIAL
Es La relacion de interceptos de la cara unidad.
dida ent re el eje a, b y c
Expresa la relacion de me­
0 tambien muestra la relacion de escalas que se
deben usar en los ejes cristalograficos.
Cuando se escoge una de las tres
escalas, en los ejes las otras dos quedan determinadas.
Sea ABC
la cara unidad de un cristal
L
66 Ella dete nnina en los ejes cri s talografico s longitudinale s
que se de s i gna n como
a, b y c
OA , OB Y OC.
respectlvamente.
Sea HKL otr a c a ra c u alquiera presente e n el rnismo cristal.
Debido a la ley
de la Racion a lidad. la relacion entre lo s p a raTI"l etros de una cara c ualquiera
HKL de un cristal, y lo s correspondientes de la cara unidad escogida p a ra el
rnismo crista l , es racional, por 10 tanto:
OH
OA
OK
OB
TIL
=:
OL
OC
n
=:
Igualdades en las que m, n y p
=:
p
son numeros enter(l)6
0 fraccionarios. pero
racionales.
Estas igualdades pueden escribirse tambien en la siguiente forma:
OH
a
=
m
;
OK
b
=
n
OL
c
=
P
De donde:
OH
=
rna
OK
=
nb
OL
=
pc
y entonces la relacion parametrica OH : OK : OL
rna ; nb
pc
Los coeficientes
se convierte en:
(PARAMETROS DE WEISS)
m, n y p
son numeros enteros
pequefios como 1, 2, 3
rara vez mayores de 6, 0 fracciones sencillas como
1/2, 1/3, 2/3, etc.
que pueden eliminarse facilmente multiplicando todos los coeficientes por
67 Y
el minimo comtin denom.in a dor de las fracciones.
comun, indicando pa ralelismo a un
El valor
y en g ene ral se e xpre sa com.o:
b
=
c
Un sistema con a 1
cion e s:
eJe.
relativo de los inter c eptos de la C a ra Unida d, se conoce com.o Rel a­
cion Axial
a
Infinito tam.bien e s ba s t a n t e
1:
1:
1
1. 2345
=
0.83721.
no necesita Relacion Axial, ya que por defini­
=
1­
Conociendo el valor de la Relacion Axial y los va10res absoluto 0 relativo de
los interceptos pa ra cada cara, se puede expresar una cara en funcion de la
escala de cada eje con coeficientes racionales.
ASI queda rIa
rna: nb: pc,
donde m., n y p
son racionales.
Este tipo de no­
tacion se llam.a PARAMETROS DE WEISS.
2.11
INDICES DE MILLER
Aunque la notacion Param.etrica deWeiss es muy utH y m.uy intuitiva, en la
practica m.oderna se ha adoptado
la de los Indices de Miller ya que es mas
adecuada para el estudio de estructura int erna.
En esta notacion
se
parte de los coeficientes racionales de los parametros
de Wiss y se toman invertidos.
rn
Miller m od ifico la re la cion p ara met rica de
e is s co n s id erando que 51
se conse rva e1 ord e n no hay n e c e sidad de es cribir a,
b y c n l t a mpo­
,
co 108 slmbolos de relacion; a de mas que era mas co n veniente usar
inversos de los coeficiente s.
Despues de convertir estas fracciones a enteros,
,
se obtienen tres nu­
meros que co n stituyen 105 Indices de Miller.
De be tener se en cuenta que en e sta notacion no s e expresa para cada
plano Ia unidad de medida,
se refiere al primer eje,
pero se sobreentiende que el primer Indice
el segundo al segundo eje y e1 tercerO al
tercer eJe.
Si 1a cara HKL de un crista1 en el sistema de notacion de Weiss esta
representada por rna: nb: pc: quedara representada en e1 de Miller por:
1 a
.!.b
1 c
In
n
P
Y si eliminamos los denominadores multiplicando cada uno de eHos por
su producto mnp,
10 que nO altera el valor de Ia cara,
Ia relacion se
convierte en:
npa
Los productos np,
mp,
pectivamente por h, k, 1,
mpb:
rnnc
y mn son racionales y se pueden representar res­
Y ademas como el orden en que se escriben los
69 parametros
a, b y c d e la cara unidad es siempre el mi smo , el de sucesion
natural de las letr as , pueden suprirnirse estas en la escritura y la relacion
se convierte en: h; k: 1, en la que pOdelYlOS omitir por innecesarios los signos
de relacion, 10 que nos da como expresion final hkl que se encier ra entre pa­
rentesis para indicar que se refiere a una cara de un cristal en particular.
El s{m bolo de la cara H K L es en de f ini ti va en la notacion de Mille r ( hkl ).
Si un plano es paralelo a un eje, su intercepto es infinito que se
en cero como {ndice.
convierte
Si un parametro es negativo, el lndice tambien 10 es
y debe escribirse (hkl ), (hKl )
0 ( hkl) dependiendo del eje que corta nega­
tlvamente.
2.12
FORMA CRISTALOGRAFICA
Debido a la simetrla, si aparece una cara en un cristal, deben aparecer otras
caras homologas a la primera.
El conjunto de caras que ocupan una posicion
analoga con respecto a los elementos de simetrla se llama Forma Cristalo­
grafica.
Los sistemas cristalinos se dividen en Cla.5 es Cristalograficas y estas a su
vez en fo rmas cristalog rafica s.
Si en la Clase Hexaquisoctaedrica, perteneciente al Sistema Cubico, elegimos
70
como eJes cristalograficos los tres eJes cuat e rn a rios y los orientamos de la
siguiente fornla; un e J e horizontal hacia el obse rvador, otro e je horizontal
hacia la derecha del observador y el tercer eJe vertical, trabajando con una
cara que corte a uno de estos ejes cuaternarios y sea paralela a los otros dos.
por simetria obtend r enl ~s cinco caras homologas. que son:
(001). (010). (100), (OOT), (610), y(TOO).
Estas sels ca ra s con stituyen una Forma Cristalografica que se llama Cubo
y se expresa como {OO I}
Si es posible, se deben tomar los tres Indices po­
sitivos y de tal modo que
h <k <1
e .
0(0
\\
Note que (100) Y (100
"1
'1
I
l"
,.~
~, I
yi"'
son caras opuestas que implican loa existencia del
Centro de Simetria.
La Forma inocluye todas aquellas caras que tienen una apariencia similar,
aun en el caso que tengan diferentes tamafios y aspectos,debido ala defor­
macion del cristal.
En conclusion, todas las caras de una Forma tienen una posicion similar
con relacion a los elementos de ~imetrla.
Forma eS el conjunto de caras
iguales relacionadas por simetria.
Las F ormas pueden ser clasificadas como: abiertas y cerradas.
71
Una Forma
abierta es aquella
que no limita 6 cierra el espacio; por ejemplo, si en un
cristal existen dos caras iguales, ellas constituyen
una forma abierta por­
que dos caras representan dos pIanos y dos planos no cierran el espacio.
Una Fonna cer rada
e s aq uella que limita 6 cie rra el es pacio; po r ejemplo
el Cubo constituye una forma cerrada compuesta por sels caras cuadradas
que se cortan
perpendicularmente.
Existe tambien la llamada Forma general que es aquella que corta a los tres
eJes cristalograficos desigualmente y en general los indices correspondientes
son
hkl
, donde h., k.,
1.,
o.
El nombre que lleve la Forma general es
el que se le da a la Clase Cristalografica ..
2.13
DERIVACION DE CLASES:
Dado que las Clases Cristalograficas poseen diferentes simetrlas, dependiendo
de su simetrla, ellas pueden ser clasificadas en:
Clase Holoedrica: Es la que posee la mayor simetrla del Sistema cristalino;
por ejemplo, en el Sistema Cubico sera 4/m
Clase Hemiedrica:
3"
21m
Contiefle la mitad de la s ca ra s de la Holoedrica.
Por
ejemplo, si la Holoedrica del Sistema Cubico posee 48 caras, la Hemie­
drica debe poseer 24 y corresponde a
Clase Tetardoedrica:
4
3
m.
Contiene la rnitad de las caras de la Hemiedrica 6 nn
cuarto de la Holoedrica.
Corresponde a
72
2
3.
2.14
HABITO CRLSTALINO:
Es la 10rrn:J.
0
combinacion de formas en que acostun1.bra cristalizar un rnine­
ral: por ejemplo, la Galena PbS tiene l1abtico Cubi co, la Magnetita Fe3 04
Octaedrico y la Malaquita C~ CU2 (OH)2 fibroso; sin embargo, pueden mos­
trar otr a s formas pero tales hallazgos resultan escasos.
Los fa ctores que dete rminan el l1abito en un cri stal son:
el re gimen de creci­
miento, la temperatura y la presion.
La simetrla real de un cristal no depende del tamafio ni fonna de sus caras,
sino mas bien de las propiedades flsicas de las caras y de la disposicion si­
metrica de sus angulos interfaciales.
Cuando un c ristal crece a partir de una solucion, debido a que unos lados de
el tienen mayor acceso a la solucion, el crecimiento se hace mas rapido en
un sentido que en otro; en otros casos pueden interferir cristales ya forma­
dos impidiendo un crecirniento simetrico.
Tales cristales se dice que estan
deformados.
2.15
DEFORM.ct\CION 0 DISTORSION:
Como el crecimiento de un cristal se ve afectado po r mucho s facto re s,
es
raro que todas las caras equivalentes de un cristal se desarrollen 10 mismo;
esto hace que el cristal no presente la verdadera simetrla que Ie corresponde
73 ya este fenonleno se Ie ll a ma Distorsion.
Sin emb a rgo, d e be teners e en c u enta
que aunque un cristal este m y deformado, siempre c umple la ley de Const a n­
cia de los an g ulos.
A continuacion se pres e nt a n 10 Cl a se s Cri sta lo g raficas, de las 32 que e x isten,
en las que cri s talizan lo s m i n e rales ma s fre cuentes en la n a tura lez a .
0
2.16 SISTEMA CUBICO
2.16.1
ISOMETRICO
CLASE HEXAQUISOCTAEDRICA
Simetrla caracterlstica:
4/m 3
2/m esto equ i vale en nota c ion simple a 3A 4 ,
4A3 ' 6A 2 , 9p , c.
Los tres ejes cristalograficos deben coincider con los tres eJes cuaternarios;
son perpendiculares entre si e intercambiables.
En un plano horizontal se ubican los ejes a y b mutuamente perpendiculares
orientados aSl:
y
el eje a positiv~ hacia el observador, de atras hacia adelante,
y el eje b de izquierda hacia la derecha y
positiv~
a la derecha del observador.
El eje c, vertical, positive hacia arriba.
Formas Cri stalog rafica s:
a. Cubo 0 Hexaedro
~001}
Sels caras cuadradas que forman angulos de 90 0 entre s1.
7ft
b. Octaedro ( Ill ) Ocho caras trian g ulares eq u ilateras. c. Dode c aedro R o m b ico L0 1 1} 12 caras en form a d e rom b o. . d.
Trapezoedro (hhl}
24
caras de for m a tr a pezoidal.
e. Triaquisoct ae dro ( hI
24
1] caras tria ngulares isosceles. f. Tetraquishexaedro ( okl} 24
caras triangulares isosceles. g. Hexaquisoctaedro ( h k l ) 48
caras de triangulos escalenos. 2.16.2
CLASE HEXAQUISTETRAEDRICA
Simetrla caracterlsti ca:
4~ ,
6p
4
3
m, e sto eq ui vale en not a c ion simple a 3A P4 '
(3A2 ) .
Los tres ejes cristalograficos coinciden con los 3A 2 que estan incluldos en los
cuaternarios de inversion.
Son mutuamente perpendiculares y se orientan aSl:
el eje a de atras hacia adelante, en un plano horizontal y positivo hacia el ob­
servador; el e]e b en el mi snlO plano horizontal, de izquierda a derecha y po­
sitivo hacia la derecha del observador; y por ultimo el eJe c vertical, positiv~
hacia arriba.
75
FOrInas Cri stalog rafi ca s:
(
l
a. Tetraedro t Ill) y
r- J
- 1..1 11).
4 caras trian g ul a res equilateras, cada una de las cu a les cort a a los tres
eje s c ristalo g raficos a dis t ancias
b. Cubo
a Hex a e d ro
ig uale s.
f OOl}
6 caras cua dr a da s que for man angulos de 9 0 entr e sl.
c. Dodecaedro Rombico [all}
12 caras en fonna de rombo.
d. Triaquistetraedro [ hhl} Y - [hhl}
12 caras que corresponden a la rnitad de las caras de un Trapezoedro.
e. Dodecaedro Deltoidal ( h 11} Y - [ hI I}
12 caras que corresponden a la rnitad de las caras de un Triaquisoctaedro.
f. Tetraquishexaedro (Okl}
24 caras triangulares isosceles.
g. Hexaquistetraedro (hkl} y
24
2.16.3
- (11kl}
caras que cortan a los ejes cristalograficos a di:stanci a s diferentes.
CLASE DIPLOEDRICA
Simetr1a caracter1stica:
21m 3, esto equivale en notacion
simple a 3A 2 '
4A 3 , 3p, c.
Los tres ejes cristalo graficos coinciden con los tres eJes binarios,
tuamente pe rpendiculares y se orientan aS1: el eje a de atras
76 son mu­
hacia adelante,
en un plano horizontal y p::lsitivo hacia el observador; el eJe b en el mismo
plano horizontal, de izquierda a derecha y positivo hacia la derecha del obser­
vador; par
ultimo el eje c, vertical y positivo hacia arriba.
Formas Cristalograficas:
a. Cubo (OOIJ
'
de 90 0
6 caras cuadradas que f onnan angulos
entre
S1.
b. Octaedro [Ill}
8 caras triangula re s equilat eras.
c. Trapezoedro (hhl}
24
caras de forma trapezoidal
d. Triaquisoctaedro (hI I}
24 ca ras triangulares i sos celes.
e. Dodecaedro RombicolOll}
12 caras con forma de rombo.
£. Pi ritoedro
+(hO I} -
[Ok I}
12 caras pentagonales.
g. Diploedro [khI} - (hkl}
24
2.17
2.17.1
caras en pollgonos de cuatro Iados.
SISTEMA TETRAGONAL
CLASE
BIPlRAMlDAL DIITETRAGONAL:
Simetrla caracterlstica:
a
lA4 ' 4A 2 '
5 p,
4/m 21m 21m,
c.
77
esto equivale en notacion simple
Se tom<l com o eje cristalografico
C
0 eje vertical
e J ej e cuat _rn ario , V perpen­ dicula rmente a e l , en el plano horizontal se toman lo=:. ejes a y b mutuamente perpendiculares y coinci dl.e ndo
que se orienten aSl: el eJe
a
con dos de los cuatro binarios, de tal forma de atras hacia adelante y
positivo hacia de izquierda a derecha y positivo hacia la derecha del obser­ vador, el eje b
vador, y pOl' ultirno el eje
c, ve rheal y positi vo h a cia arri ba. Debe tenerse en euanta que para la eleecion de los ejes a y b
existen dos posi­ bilidades, dado que son cuatro los ejes binarios y solo se deben usa r dos. eseogencia en particular de cada par de estos ejes, hara que las forITIcLs ten de primero
0
segundo orden.
posible la existeneia de formas de
Debe entonces elegirse el par de eJes prime r
0
rden.
exista combinacion de formas, es decir, Pris!<nas
En modelos en los euales y Bipir,irnides, Ininar como forma. de primer orden la mas desarrollada. Formas Cristalograficas: a. Pinacoide basal (DOl).
2 caras horizontales.
b. Prisma tetragonal de primer orden (lID}
4 caras verticales rectangulares.
c. Prisma tet ragonal de segundo orden [010)
4 caras ve rticale s rectangulare s.
d. Pris:ma
ditetragonal(W, Oj
8 cC.ras verticales rectangulares e
7Q
e. Bipiramide tetragonal de primer or d en ( h hl}
8 caras trian g ulares i so s celes.
£. Bipirarnide tet rag onal de seg undo orden (Ok1}
8 c a ras triangula res is as eel e s.
g. Bipiramide ditet r g onal(hk iJ
16 caras triangulares.
2.18. SISTEMA HEXAGONAL:
2.18.1
CLASE BIPIRAMIDAL DIHEXAGONAL: ,
Simetrla caracterrstica: 6/m
1A6 ' 6A2
Para la
21m 21m,
esto equivale en notacion simple a
' 7p , c .
escogencia de los ejes cristalograficos debe tenerse en cuenta que
este es el unico sistema cristalino en el cual existen cuatro ejes cristalo grafico
y no tres como en los demas sistemas.
El eje senario se toma como eje cristalografico c, es vertical y positivo hacia
arriba.
En el plano horizontal, perpendicularrnente al eJe sers existen sers
ejes binarios, a 60
0
uno de otro, en otras palabras, se pueden considerar
como dos conjunto s de a tres eje s bina rio s c ada uno, en los que cada uno de
estos ejes esta a 120
0
del siguiente.
De estos sels ejes binarios solo se ne­
-:esitan tres y su eleccion debe seguir las mismas normas que en el Sistema
Tetragonal, es decir procurar la existencia de formas de primer orden, y en el
79. caso en que halla comb i nacion de formas debe predominar 1a mas desarrollada
COH10
de pri!ner orden.
Dado que existen cuatro ejes tam bien d e ben existir cuatro Indices representa­
dos en su forma gene r al como thkll}.
Notese que en esta expresion el tercer
Indice es negativo , situacion que se mostrara en 1a siguiente figura, yademas
se demuestra el por que del tercer Indice es igual a la swna de los dos prime­
ros
J
en otras palabras
=h + k
•
o"!>
-a
2 --------'------'---'---~-_k__.--___r-_r_----_;.p---
0
2.
a,
con el triangulo QNP J por 10 tanto se pueden
El triangulo OMP es semejantoe
establ ece r las siguiente s relacione s:
Op = QP
OM ON
pe ro Q P
=0
P - OQ ,
80 por tanto
dividiendo por OP OP = OP - OQ
OM
QN =
1
OM
1
OM
00
ON . OP
1
ON
~
1
-
1
ON
=
=
ON
= ON
triangulo equilatero.
1
OP ON
1
OM
00
pero
1
ON
1
OM
1 -OP +
1
OP .­
o
i
= h
+k
Formas cristalograficas:
bas a 1 [00 0 1}
a . Pi na c 0 ide
2 caras horizont ales .
b. Prisma hexagonal c.e pr imer orden[lO
lO}
6 caras verticales.
c. Prisma hexagonal de segundo orden
6 ca ras
[1l20}
ve rticale s.
d. Prisma dihexa g onal [ hk iQ;.}
12 caras verticales.
e. Bipiramide hexagonal de primer orden
[hOh I}
12 caras triangulares isosceles.
f. Bipirarnide
hexagonal
de
segundo orden [hh2h1)
12 caras triangulares isosceles.
Rl
por ser
OON
un
g. Bipiramide dihexagonal {hkil]
2,.1
caras triangul a res.
DIVISION ROMBOEDRICA:
2.18.2
CLASE ESCALENOEDRICA HEXAGO .1'-rAL '
321m, esto equivale en notacion simple a
Simetrla caracterlstica
3A
2
• 3p.
c.
El eje terna rio se torn a como ej e cristalografico
hacia arriba.
como ejes
al • a
2
a. Pinacoide basal
y a
situados a 120
0
uno del otro.
3
0001
2 caras horizontales.
b. Romboedro
+ [hoh IJ
y
6 caras rombicas.
c. Escalenoedro {hkll} y
- [khll}
12 caras de triangulos escalenos.
Bipiramide hexagonal de segundo orden [hh2hl}
12 caras triangul a res isoscel.es.
e.
c. es vertical
y positivo
Los tres ejes binarios situados en el plano horizontal sirven
Fo rma..s c ristalograficas:
d.
lA3 '
Prisma hexagonal de primer orden {loTO]
6 caras verticales.
82
f. Prisma hexagonal de segundo orden [1120}
6 ca ras verticale s.
g. Pr'isrna dihexagonal ( hki'O}
12 caras verticales.
2.18.3
CLASE TRAPEZOEDRICA TRIGONAL .
~
Simetrla caract erlstica 3 2 , esto equivale en nota cion simple a lA3 ' 3A •
2
Se toma como eje
c, vertical, el eJe ternario, positivo hacia arriba.
ejes binarios, situados en el plano horizontal, sirven como ejes
el uno del otro.
Formas cristalograficas:
a. Prisma hexagonal de primer orden (lOla}
6 caras vert icales .
b. Prisma hexagonal de segundo orden tl120}
6
caras verticales.
c. Prisma ditrigonal [hki
oJ
6 caras verticales.
d. Romboedro
+ [hOhl} y
-[Ohhl}
6 caras rombicas.
e. Bipiramide trigonal de segundo orden [hh2hl}
6 ca ras triangula re s.
83
aI' a2 y
a
3
f. T rapezo e dro s [hk i I}
c a ras ir re gul a re s q u e co rtan dife rent emente a los eje s c r i stalo graficos.
6
g. Pinacoide bas a I ( 0001 )
2
2.19
caras horizontales.
SISTEMA ROMBICO:
2.19.1
CLASE BIPIRAMIDAL ROMBICA:
Simetrla caracterlstica:
a
21m 21m 21m,
esto
equivale en notacion simple 3A 2 ' 3p , c. Se toman como ejes cristalograficos
guientes
los tres ejes
binarios, siguiendo las convenciones con relacion al habito del cristal:
habito tabular, el eje
c
se toma como el mas corto de
Si tiene habito piramidal, se toma el eje
c
COlllO
Si el cristal tiene manera que
b~ a> c. el mas largo, tal que El eJe
a
va orient ado de atras hacia adelante, positiv~ hacia el observador; el eje
b
de izquierda a de recha,
eje c
positiv~
hacia la de recha del es siempre vertical, positivo hacia arriba. Formas c ri stalograficas: a. Pinacoide frontal {IOO}
2 caras pa ralela s.
84 b. Pinacoide lateral [ 010 }
2 caras p2.ralelas
c. Pinacoide basa 1 [ 00 I }
2 caras pa r a lela s
d. Prisrna de prilner o r den [ Okl}
4 ca ras pa ral ela sal prirrle r ej e.
e. Prisrna de segundo orden{hOl}
4
caras paralelas al segundo eJe.
f. Prisrna de tercer ordenfhkO}
4
caras para1e1as a1 tercer eJe.
g. Bipira.mide rornbica {hkl}
8 car a s t ria ng ul are s .
2.20
SISTEMA MO:N OCLINICO:
2.20.1
CLASE PRISMA.TICA
Sirnetrla caracterlstica:
21m.,
e sto eq uiva1e en notacion simple a 1A2' 1p, c.
Como puede observarse solo existe un eJe de simetrla y es binario, este puede
hacerse
coincidir con
uno de los ejes cristalograficos y sera e1 eje b, orien­
tado de izquierda a derecha y
e t:oger los ejes a y c
positiv~
hacia 1a derecha del observador.
debe tenerse en cuenta 10 siguiente:
Para
Entendiendo por
zona del cristal, elrnaximo conjunto de aristas para1elas, se toma
el eje
c
paralelo a 1a zona mas aesarrollada del cristal, sieITlpre vertical y positiv~
85 hacia arriba.
Este eJe debe ser perpendicular al eje b.
El ej e
a
va incli­
nado hacia los pies del observador y se puede ton1.ar paralelo a u na arista
cara del crista l;
positivo hacia el observador.
Formas cri&alo g ra f i c as:
a. Pinacoide
frontal { lOO )
caras paralelas .
2
b. Pinacoide late ral { OlO}
2
caras
c. Pinacoide
2
caras
pa ralela s.
basal
r OOl}
paralelas
d. Pinacoide de segundo orden {hOI} y
- [ hOI }
2 caras paralelas.
e. Prisma de prime r ordentOkl}
4 caras verticales.
f. Prisma de tercer orden [hkO}
4 caras verticale s.
g. Prisma de cuarto orden [hkl} y
caras que cortan diferentemente a los tres ejes cristalograficos.
4
2.21
-["hkl }
SISTEMA TRICLINICO:
2.21.1
CLASE
PINACOIDAL: Simetrla caracterlstica
T, esto equivale en notacion simple a
86 c. 0
El eJe cristalogdifico
c
es ve rtical y se tom.a p a ralelo a la zon a m.as des a­
rrollada del cris t al, positi v ~ hacia a r riba.
ade l ante
positiv~
y
El eJe a
paralelo a una arista del crista1.
es inclinado de atras hacia
E1 eje b va de izquierda a derecha
hacia la derecha del o b s e rvad o r , p a ralelo a una
arista .
Formas cristalo g dtficas:
a. Pinacoide fron t al { 100 j
2
caras paralelas.
b. Pinacoide lateral {010}
2 caras pa ralela s •
c. Pinacoide basal t OOL }
2
caras paralelas.
d. Pinacoide de primer orden
+ [Okl}
Y - [Okl)
2 caras paralelas al primer eje y cortan diferentem.ente a los otros dos.
e. Pinacoide de segundo orden{hOl} y
- [ "holl
2 caras paralelas al segundo eje y cortan diferent em.ent e a los otros dos.
f. Pinacoide de tercer orden thkO} y
2
-{hk"0}
caras paraldas al tercer eje y cortan diferentem.ente a los otros dos.
g. Pinacoide de cuarto orden(hkl} y
-{hkl}
2 caras paralelas que cortan diferentem.ente a los tres ejes cristalogra­
ficos.
P.7
2.. 2. 2.
W,,-.c\ C LA S
Debe e nt enderse por Macla, la asoci a cion simetrica de dos cris t ales,
de ta l modo que uno d e elIos se p u eda hacer coincidir con el otro por me­
dio de una re flexion so b re un plano, lIarna do Plano d e M a cla,
dio de una rota cion aIred edor de un eje,
0
por me­
Hamado E j e ~ Ma cla.
Los d os cris tales quedan con algunos ele m entos paralelos, pero otros
son convergentes y simetricos
las Ma das).
(los angulos entrantes son comunes en
Si todos los elementos del cristal son paralelos,
no
existe Macla sino Agregado P a r a lelo.
La operacion de simetrla que hace coincidir los dos cristales se llama
Ley
~
el plano
2. 22. 1
Macla.
ASl,
(Ill)
se dice que la ley de Macla es el eje ternario,
0
por ejemplo.
Clasificacion.
El plano que separa los dos cristales de una
macla se llama Plano de Composicion
y ' en cuanto a el las Maclas
pueden ser:
1. De Contacto:
Cada cristal cre ce a un solo lado del plano de com­
posicion.
2. De Penetracion:
Los cristales crecen a ambos lados del plano de
composicion.
88
En cuanto al nllmero de element os
1. Sencillas:
2. Multiples
0
de cris tales, p ue den ser:
Solo dos cristales
0
de r e peti cion:
Mas de dos cristales.
A su ve z se
dividen en:
a. Polisint eticas:
b. C(clicas:
Todos los planos de composicion son paralelos
Los p]anos de composicion no paralelos coniorman
un conjunto cerrado
2.22.2
Origen.
0
como anillo.
Se originan por los siguientes procesos:
1. Por Crecirniento:
Cuando ocurren pequefios cambios en la estruc­
tura pueden torcer el crecirniento de un cristal y hacer que crezca
s irnetrica y no continuamente.
2. For Deformacion:
En el metamorfismo por ejemplo,
una manera
de deformar un cristal es maclandolo, ya que implica menos ener­
g(a que tener que romper el cristal.
3. For Inversion.
Cuando un polimorfo se invierte a otro al variar
las condiciones de temperatura y presion, puede generar una macla.
89 2.23
AGREGADOS CRISTA LIN OS
Casi todos los ejempla re s mine rale s son a g regados de cris ta l es im­
Inc1u so aq uellos que se presentan en ma s a
pe rfe etos.
fino se ven comO cristalitos al microscopio.
0
en g rano muy
El tipo de a greg acion
puede ser tan util para el rec o nocimi ento como la Forma cris tali na.
A continuacion se indican los te rminos con que se suelen de s i g nar los
tipos de agregados :mas frecuentes.
Muchos rninerale s se pre sentan en g rupos de cristale s alargados en
una direccion deterIT1inada,
generalmente la de uno de los ejes crista­
.­
lograficos; se dice que el alarga rniento es paralelo a. a, b 0 c segun
Cuando los individuos cristalinos que integran el agregado
el caso.
son suficientemente gruesos, pare cidos a
colurnnas robustas, y de se c­
cion casi equidimensional se dice que su forma es columnar
Turmalinas);
laminar
0
si son aplastados como hojas de cuchillo se dice que es
tabular
y Estibina);
dependiendo del espesor de los cristales
(Cianita
si los cristales son pequenos y parecidos a agujas,
ce que es acicular
(Natrolita y Peetolita);
pueden considerars e como fibras,
des de Yeso);
(algunas
y
dt:llornina radiado
Sl
0
fibroso
si son tan delgados que
(Asbesto y algunas varieda­
parecen diverger de un centro
dive r g ente
COITlun,
(Pe ctolita y Wa vellita).
90
se di­
el grupo se
Algunos
rninerale~
se p r e sent a n e n agregado s de hoja s m u y finas,
E s t o es parti c u larmente c a r a ct erls­
toma ndo el nomb r e d e h o j o so.
Gene­
tico d e los rnin era le s que pos e en e xfoliacion pe rfecta sim ple.
ralmente las h oj as s o n p a ra l e l a s
(Moscovita, Flogopita,
pero p ue d e n cur v a r se en t o rn o a un c entro corrl Un,
do de forma conce ntrica.
bles,
dando un agrega­
Cua ndo las hoja s son delgadas y separa ­
como sucede en la s mica s,
s e dic e que el mineral es foliado
Y si se trata de un agregado de l a minillas pequeiias,
.
.­
mlnar rrllcaceo.
Bio tita),
se suele deno­
A mbas denominaciones compr enden el termino e x fo­
liable.
Cuando los individuos de un agregado cristalino no presentan alarga­
miento ni aplanamiento,
es decir cuando son equidimensionales,
dice que el agregado es granular
(Olivino)
les granos se habla de grana grueso, medio
se
y segUn el tamafio de ta­
0
fino.
Si los grana s
SOn tan pequefios que ni a simple vista ni con una lupa se distinguen,
el agregado se llama compacto
0
masivo; en este caso pueden ser vi­
sibles al microscopio y entonces se Hamara microcristalino,
0
nO vi­
sibles por su extremada pequenez y entonces sera criptocristalino.
Existen algunos agregados muy caracterlsticos que no pueden designar­
se con los terminos antes empleados.
Los hay que son depositados en
las cavidades subterraneas por gotas de agua que llevan sustancias di­
sueltas, en cuyo caso e 1 agregado e s e stalactiti co
91 (La Calcita y el
Aragonito se e nc ue ntran a rnenudo de esa forma,
la Psilom elana y l a Limonita}.
y a vec e s t a m bien
En ocasiones las e stala c titas se
curvan y penetran de un mo do muy curioso formando los agre ga dos
coraloida l e s
0
coraloide s.
Los dendrihcos son los q ue dan la impre­
sien como ramas de un arbol
(los e lementos nativos como Oro,
Pla­
ta y Cobre 10 suelen mostrar, al i g ual que la Pirolusita y la Psilome­
lana) .
La hematites se puede encontrar en masas nodula res
0
redon­
deadas, que se asemejan a un racirno de uvas, agregacien que se de­
nomina botroide y que tambien la pres e ntan alguna s Psilomelana s,
la
Cuando el mineral forma agregados de
Malaquita y otro s minerale s.
rnasas redondeadas se dice que es oolltico si las esferas son pequefias
y pisolltico si son grandes
frecuencia,
(la Calcita y el Aragonito los forman con
10 misrno que la Bauxita, en cuyo caso constituye un carac­
ter importante para la determinacion.
En algunas ocasiones se pueden presentar algunos minerales incluidos
en otros de tal forma que al observar el mineral principal se note un
rasgo caracterlstico en el que esta incluido.
Esta situacien puede pre­
sentarse por ejemplo en el Cuarzo cuando contiene agujas de Rutilo en
agrupaciones irregulares y desordenadas mostrando un enorme parecido
a hebras
0
cabellos,
por tanto,
puede hablarse de un agregado capilar.
La variedad del Cuarzo conocida como Ca Ice donia puede rnostrar en
o casione s inclusiones dendrlticas de mine rale s de Mangane so principa l­
mente y en tal caso recibira el nombre de Calcedonia musgosa.
92 Las