Sistemas de numeración. - Instituto Tecnológico de Chetumal

1.- DATOS DE LA ASIGNATURA
Nombre de la asignatura:
Carrera:
Clave de la asignatura:
Horas teoría-horas práctica-créditos
Matemáticas para computación
Licenciatura en Informática
IFM - 0425
3-2-8
2.- HISTORIA DEL PROGRAMA
Lugar y fecha de
Participantes
elaboración o revisión
Instituto Tecnológico de
Representantes de la
Puebla del 8 al 12
academia de sistemas y
septiembre 2003.
computación de los
Institutos Tecnológicos.
Observaciones
(cambios y justificación)
Reunión nacional de
evaluación curricular de la
carrera de Licenciatura en
Informática.
Instituto Tecnológico de:
Orizaba, Reynosa,
Tlalnepantla, Zacatepec,
Zitácuaro 13 septiembre
al 28 de noviembre
2003.
Academia de de sistemas
y computación.
Análisis y enriquecimiento
de las propuestas de los
programas diseñados en la
reunión nacional de
evaluación.
Instituto Tecnológico de
Tepic 15 al 19 de marzo
2004.
Comité de consolidación
de la carrera de
Licenciatura en
Informática.
Definición de los programas
de estudio de la carrera de
Licenciatura en Informática.
3.- UBICACIÓN DE LA ASIGNATURA
a). Relación con otras asignaturas del plan de estudio
Anteriores
Asignaturas
Ninguna.
Temas
Posteriores
Asignaturas
Temas
Organización de
computadoras.
Software de
sistemas.
Compiladores.
Ensamblador.
Fundamentos de
redes.
b). Aportación de la asignatura al perfil del egresado
Desarrolla habilidades y aptitudes de razonamiento lógico que le permiten identificar y
resolver problemas en el tratamiento de la información.
4.- OBJETIVO(S) GENERAL(ES) DEL CURSO
Comprenderá los conceptos lógicos fundamentales y las estructuras formales necesarias
para la representación y manejo de datos.
5.- TEMARIO
Unidad
1
Temas
Sistemas de
numeración.
Subtemas
1.1 Sistema decimal.
1.2 Sistema Binario, Octal y Hexadecimal.
1.3 Conversiones.
1.4 Operaciones básicas.
2
Lógica.
2.1 Introducción.
2.2 Proposiciones.
2.3 Tablas de verdad.
2.4 Inferencia lógica.
2.5 Equivalencia lógica.
2.6 Argumentos válidos y no válidos.
2.7 Demostraciones formales.
2.8 Predicados y sus valores de verdad.
2.9 Aplicaciones.
3
Álgebra booleana.
3.1 Introducción.
3.2 Expresiones booleanas.
3.3 Propiedades.
3.4 Optimización de expresiones booleanas.
3.5 Compuertas lógicas (como una aplicación).
4
Relaciones.
4.1 Introducción.
4.2 Tipos de relaciones: reflexiva, simétrica,
transitiva, de equivalencia
4.3 Clases de equivalencia.
4.4 Funciones.
5
Grafos y árboles.
5.1 Introducción.
5.2 Tipos de grafos.
5.2.1 Nodos.
5.2.2 Ramas y lazos.
5.2.3 Valencia.
5.2.4 Caminos.
5.2.5 Ramas paralelas.
5.2.6 Grafos simples, de similaridad, bipartidos y
completos.
5.3 Representación matricial de grafos.
5.3.1 Ramas sucesivas de longitud “n”.
5.3.2 Ram Matriz adyacente e incidencia.
5.3.3 Caminos.
5.4 Isomorfismo.
Unidad
Temas
6
Introducción a los
lenguajes formales.
Subtemas
5.5 Problemas con grafos.
5.6 Árboles.
5.6.1 Propiedades de los árboles.
5.6.2 Tipos de árboles.
5.6.3 Bosques.
5.6.4 Árboles generadores.
5.6.5 Búsquedas.
5.7 Recorridos de árboles y notaciones polacas de
expresiones.
5.8 Aplicaciones.
6.1 Introducción.
6.2 Gramáticas y lenguajes formales.
6.2.1 Estructuras de las gramáticas.
6.2.2 Clasificación de las gramáticas (Chomsky).
6.2.3 Representación de gramáticas.
6.3 Autómatas finitos.
6.3.1 Introducción.
6.3.2 Autómatas finitos deterministicos y no
deterministicos.
6.4 Maquinas de estado finito y reconocimiento de
expresiones regulares.
6.4.1 La máquina de Turing.
6.5 Aplicaciones.
6.- APRENDIZAJES REQUERIDOS
• Se sugiere que tenga conocimientos de conjuntos.
7.- SUGERENCIAS DIDÁCTICAS
•
•
•
•
•
Introducir cada unidad con algún problema concreto.
Ver las aplicaciones a lo largo de todas las unidades.
Enfatizar el impacto de los temas en el ámbito de la informática.
Realizar investigación en diversas fuentes de información sobre temas afines.
Propiciar el trabajo en equipo.
8.- SUGERENCIAS DE EVALUACIÓN
•
•
•
•
•
Examen teórico.
Actividades de investigación.
Participación en clase.
Resolución de ejercicio.
Desempeño individual y grupal.
9.- UNIDADES DE APRENDIZAJE
UNIDAD 1.- Sistemas de numeración.
Objetivo Educacional
Actividades de aprendizaje
El estudiante comprenderá
los sistemas de
numeración.
1.1 Resolver ejercicios propuestos por
el maestro.
1.2 Resolver problemas extra clase de
intercambio de una base numérica a
otra.
1.3 Resolver problemas de operaciones
básicas en las diferentes bases
numéricas.
Fuentes de
Información
1, 3, 7
UNIDAD 2.- Lógica.
Objetivo Educacional
Actividades de aprendizaje
El estudiante comprenderá
y solucionará problemas
relacionados con la lógica.
2.1 Resolver ejercicios propuestos por
el maestro.
2.2 Desarrollar ejercicios de tablas de
verdad.
2.3 Obtener algunas reglas de
inferencia a partir de las tablas de
verdad.
2.4 Comprobar las reglas de inferencia.
2.5 Determinar la consistencia de
premisas dadas.
2.6 Elaborar demostraciones formales.
Fuentes de
Información
2, 4, 5, 6, 7, 10
UNIDAD 3.- Álgebra booleana.
Objetivo Educacional
Actividades de aprendizaje
El estudiante comprenderá
los conceptos así como
las operaciones y
propiedades del
álgebra booleana.
3.1 Identificar las propiedades
booleanas.
3.2 Resolver ejercicios de optimización
de expresiones booleanas.
3.3 Utilizar las compuertas lógicas
enfocadas a la solución de
problemas.
Fuentes de
Información
1,3,7,10
UNIDAD 4.- Relaciones.
Objetivo Educacional
Actividades de aprendizaje
El estudiante comprenderá
y resolverá problemas de
relaciones y funciones.
4.1 Identificar las propiedades que
posee una relación expresada como
conjunto de pares ordenados, como
una expresión algebraica o de una
forma verbal.
4.2 Dada una relación, identificar si es
o no una equivalencia; de serlo
detallar la partición que genera.
4.3 Realizar una identificación de
funciones.
4.4 Hacer composiciones de dos o más
funciones.
4.5 Realizar ejercicios de relaciones y
funciones.
Fuentes de
Información
3,6,7
UNIDAD 5.- Grafos y árboles.
Objetivo Educacional
Actividades de aprendizaje
El estudiante comprenderá
y resolverá problemas de
la teoría de grafos y
árboles.
5.1 A partir de una relación, trazar su
grafo y viceversa.
5.2 A partir de un grafo, construir su
matriz y viceversa.
5.3 Determinar el isomorfismo de los
grafos.
5.4 Identificar un grafo como plano o no
plano.
5.5 Construir árboles.
5.6 Encontrar el árbol generador de un
grafo a partir de su matriz.
5.7 Construir el árbol que represente a
una expresión algebraica o
algorítmica.
5.8 Convertir una expresión algorítmica a
su notación polaca y viceversa.
Fuentes de
Información
3, 7
UNIDAD 6.- Introducción a los lenguajes formales.
Objetivo Educacional
Actividades de aprendizaje
El estudiante comprenderá
los lenguajes y analizará
los diagramas de
autómatas así como la
relación entre los
lenguajes y diagramas.
6.1 Distinguir entre conjuntos finitos e
infinitos.
6.2 Investigar el concepto de una
gramática.
6.3 Realizar comparaciones entre
autómatas finitos y expresiones
regulares.
6.4 Conocer los teoremas para el
diseño de lenguajes.
6.5 Identificar los criterios de diseño del
lenguaje.
Fuentes de
Información
7, 8, 9, 11
10. FUENTES DE INFORMACIÓN
1. Ross, Kenneth A.,Wright, Charles R. B.
Matemáticas Discretas.
Ed. rentice Hall.
2. Arnaz, José Antonio.
Iniciación a la Lógica Simbólica.
Ed. Trillas.
3. Johnsonbaugh, Richard.
Matemáticas Discretas.
Ed. Grupo Editorial Iberoamerica.
4. Suples, Patrick , Hill, Shirley.
Primer Curso de Lógica Matemática.
Ed. Reverté.
5. Colman, Bernard, Busby, Robert C.
Estructuras de Matemáticas Discretas para Computadoras.
Ed. Prentice Hall Hispanoamericana.
6. Scheinderman, Edward R.
Matemáticas Discretas.
Ed. Thomson Editores.
7. Lipschutz, Seymour.
Matemáticas para la Computación.
Ed. Mc-Graw Hill.
8. Kelly, Dean.
Teoría de Autómatas y Lenguajes Formales.
Ed. Prentice Hall.
9. García, Pedro; Pérez, Tomas; Ruiz, José; Segura, Encarna; Sempere, José M.
Teoría de Autómatas y Lenguajes Formales.
Ed. Alfaomega.
10. Liu, C. L.
Elementos de Matemáticas Discretas.
Ed. Mc. Graw-Hill.
11. Moderna Enciclopedia Universal NAUTA.
Referencias en Internet
[12] www.bivitec.org.mx
[13] www.monografías.com
11. PRÁCTICAS
Se sugiere que se introduzca algún lenguaje como MathCAD, MatLab o cualquier otro de
este tipo.
Introducción a los sistemas de numeración
MATEMÁTICA
Debido a la necesidad del hombre de conocer, dominar y sobrevivir en el mundo que le rodea,
han surgido las ciencias, y entre ellas, la matemática. Los innumerables problemas
relacionados con los números han hecho que la ciencia Matemática abarque un campo muy
amplio de estudio, por ello se ha dividido en diversas ramas, y dentro de las más importantes
están la Aritmética, el Algebra y la Geometría.
El origen de la Aritmética es de época muy remota; algunos autores creen que nació en
la India; esta rama de la matemática estudia la cantidad representada por los números, se
ocupa del cálculo por medio de los números y expone las propiedades comunes a todos ellos.
La Aritmética consta de dos partes; la primera la conforman las construcciones o
formas de combinar los números; la otra parte se refiere a las comparaciones o manera de
establecer sus relaciones.
El Álgebra es la parte de las matemáticas que trata de la cantidad considerada en
general, sirviéndose para representarla de letras u otros signos especiales. Esta rama de la
Matemática no es de fácil definición. Históricamente, el Álgebra aparece vinculada con
problemas numéricos cuya solución sólo se logra mediante determinadas combinaciones de las
operaciones aritméticas.
La fisonomía actual del Álgebra se adquiere cuando los problemas que resuelve cobran
la más amplia generalización mediante la introducción de los símbolos operatorios y de las
letras. En este sentido el Álgebra ha recorrido tres etapas: Álgebra retórica, en las cuestiones
se resuelven con palabras, sin símbolos; Álgebra sincopada, en donde aparecen los primeros
símbolos, en especial mediante abreviaturas de las palabras comunes; y Álgebra simbólica,
cuando se introducen los símbolos y las letras.
Precisamente con el uso sistemático de las letras, las cuestiones algebraicas se
generalizan y la aritmética se universaliza.
Se atribuye el origen de la Geometría a la necesidad de medir las tierras de labranza
después de la crecida del río Nilo. Pero sin duda, no fue solamente la medida de la tierra el
origen de los conocimientos geométricos: la necesidad de comparar las áreas y volúmenes de
figuras simples, la construcción de canales y edificios; las figuras decorativas; los
movimientos de los astros, han contribuido al nacimiento de esas reglas y propiedades
geométricas.
Se considera que Pitágoras fue quien transformó el estudio de la geometría en una
enseñanza liberal, remontándose a los principios generales y estudiando los teoremas
abstractamente con inteligencia pura. Desde entonces se acumularon los teoremas y las
propiedades, se crearon métodos, se analizaron los fundamentos, se plantearon problemas,
logrando que la geometría griega abarcara un vasto conjunto de conocimientos.
El contenido de este trabajo ha sido desarrollado de forma didáctica, buscando que los
temas analizados y el lenguaje empleado en las explicaciones sean de fácil comprensión para
los alumnos.
La estructura pedagógica de este documento es secuencial; los procedimientos de
problemas y ejemplos se han desarrollado paso a paso. La inclusión de ejercicios y preguntas
tiene como objetivo que los alumnos practiquen no sólo lo aprendido, sino que desarrollen su
lógica basándose en los conocimientos presentados en el texto.
Ing. Miguel Ángel Durán Jacobo
1
Introducción a los sistemas de numeración
LA ARITMÉTICA Y SU OBJETO
El concepto de número natural ha sufrido una serie de ampliaciones a través del desarrollo de
la ciencia matemática, una de las cuales consiste en considerar al cero como un número que
representaría la única propiedad común a todos los conjuntos nulos o carentes de elementos.
Otras ampliaciones se refieren a los números fraccionarios y a los números irracionales.
Una nueva ampliación nos lleva al concepto de número negativo, concepto que
transforma todo el sistema de números naturales, fraccionarios e irracionales y que constituyen
uno de los fundamentos del cálculo algebraico. Los números naturales, así como los
fraccionarios e irracionales, reciben el nombre de números reales. Una considerable e
importantísima ampliación del campo numérico tiene lugar con la introducción de los números
no reales (complejos).
Suele llamarse número entero (positivo o negativo) al número real que no es
fraccionario ni irracional, de modo que los números naturales son los números enteros
positivos. La Aritmética General tiene por objeto el estudio de los números (naturales o no), y
la Aritmética Elemental como la ciencia matemática que tiene por objeto el estudio de los
números reales positivos.
R:
N enteros +; Q racionales
x
; I irracionales. Complejos no reales.
y
NUMERACIÓN
La numeración es la parte de la aritmética que nos enseña a expresar y escribir los números, y
puede ser hablada o escrita. La hablada enseña a expresar lso números, y la escrita enseña a
escribir los números.
SISTEMA DECIMAL
Los números se forman por agregación de unidades, es decir, si a una unidad o número uno le
agregamos otra unidad, resulta el número dos; si agregamos otra unidad más resulta el número
tres, así sucesivamente, de lo que se deduce que la serie natural de los números no tiene fin,
pues por grande que sea un número siempre podremos otro mayor agregándole otra unidad.
Cifras o guarismo son los signos que representan los números. Las cifras que nosotros
empleamos, llamadas arábigas porque fueron introducidas por los árabes en España, son: 0, 1,
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, donde el cero es la cifra no significativa o cifra auxiliar y los demás se
llaman cifras significativas.
El 0 representa los conjuntos nulos o carentes de elementos, por lo tanto el cero carece
de valor absoluto y se escribe en el lugar correspondiente a un orden cuando en el número
escrito no hay unidades de ese orden. La palabra cero proviene del árabe ziffero, que significa
lugar vacío.
El Número Dígito consta de una sola cifra (2,3, 7, 8, etc.) y el Número Polidígito
consta de dos o más cifras (28, 526, etc).
Un Sistema de Numeración es un conjunto de reglas que sirven para expresar y
escribir los números, y la base de un sistema de numeración es el número de unidades de un
orden que forman una unidad del orden inmediato superior. De este modo, en el Sistema
Ing. Miguel Ángel Durán Jacobo
2
Introducción a los sistemas de numeración
Decimal que usamos nosotros la base es 10 porque 10 unidades de primer orden forman una
decena; diez decenas forman una centena, etc.
Por otra parte, en el Sistema Duodecimal, que también usamos con frecuencia en la
práctica, la base es 12, porque 12 unidades forman una docena y 12 docenas forman una
gruesa.
PRINCIPIOS FUNDAMENTALES
Dentro de los sistemas de numeración rigen algunos principios fundamentales, y son los
siguientes:
1. Un sistema de unidades de un orden cualquiera, igual a la base, forma una unidad del
orden inmediato superior.
Esto significa que en el sistema binario, de base 2, dos unidades de un orden cualquiera
forman una unidad del orden inmediato superior; en el sistema duodecimal, 12 unidades de
cualquier orden forman una unidad del orden inmediato superior, así sucesivamente.
2. Toda cifra a la izquierda de otra representa unidades tantas veces mayores a las que
representa la anterior como unidades tenga la base. A esto se le conoce como el
principio del valor relativo.
Esto significa que en el número 1235 escrito como lo indica el subíndice, en el sistema
quinario, el 2, escrito a la izquierda del 3, representa unidades cinco veces mayores a las que
representa el 3; y el 1, escrito a la izquierda del 2, o sea veinticinco veces mayores a las que
representa el 3.
El número 65439, el 4 está escrito a la izquierda del 3 representa unidades nueve veces
mayores a las que representa el 3; el 5 representa unidades nueve veces mayores a las que
representa el 4, o sea ochenta y un veces mayores a las que representa el 3; y el 6, escrito a la
izquierda del 5 representa unidades nueve veces mayores a las que representa el 5, o sea
ochenta y un veces mayores a las que representa el 4 y setecientas veintinueve veces mayores
a las que representa el 3.
3. En todo sistema con tantas cifras como unidades tenga la base, contando el cero se
pueden escribir todos los números.
Esto significa que en el sistema binario o de base 2, con dos cifras que son el 0 y el 1,
se pueden escribir todos los números; en el sistema ternario o de base 3, como la base tiene
tres unidades, con tres cifras que son el 0, 1 y 2, se pueden escribir todos los números; en el
sistema octal o de base 8, como la base tiene ocho unidades, con ocho cifras, que son el 0, el 1,
el 2, el 3, el 4, el 5, el 6 y el 7, se pueden escribir todos los números, etc.
SISTEMA DECIMAL O DÉCUPLO
El sistema decimal o décuplo que usamos nosotros tiene como base el número 10, lo que
significa que diez unidades de un orden cualquiera constituyen una unidad del orden
inmediato superior y viceversa (una unidad de un orden cualquiera está formado por diez
unidades del orden inmediato inferior).
Ing. Miguel Ángel Durán Jacobo
3
Introducción a los sistemas de numeración
El principio fundamental o convenio de la numeración decimal hablada dice que
diez unidades de un orden cualquiera forman una unidad del orden inmediato superior.
La numeración decimal consta de órdenes y subórdenes como veremos más adelante.
CLASES Y PERIODOS
La reunión de tres órdenes, comenzando por las unidades simples, constituye una clase; de
este modo, las unidades, decenas, y centenas forman la clase de las unidades; las unidades de
millar, decenas de millar y centenas de millar forman la clase de los millares; las unidades de
millón, decenas de millón y centenas de millón forman la clase de los millones; así
sucesivamente.
Por otro lado, la reunión de dos clases forman un período; la clase de las unidades y la
clase de los millares forman el período de las unidades; la clase de los millones y la clase de
los millares de millón forman el período de los millones. Así sucesivamente.
ÓRDENES
Si al número 1, que es la unidad de primer orden, le añadimos unidades (una a una)
sucesivamente, formaremos los números dos, tres, cuatro, cinco, etc., hasta llegar a diez
unidades, que forman una decena o una unidad del orden superior inmediato.
Así, decena es la unidad de segundo orden y representa la reunión de diez unidades. Si
a una decena le añadimos los nombres de los nueve primeros número obtendremos el once,
doce, trece, etc., hasta llegar a veinte, o dos decenas; si así le añadimos nuevamente los
nombres de los nueve primeros números formamos el veintiuno, veintidós, veintitrés, etc.,
hasta llegar a treinta, o tres decenas, y procediendo de modo semejante obtendremos el
cuarenta o cuatro decenas, cincuenta o cinco decenas, etc., hasta llegar a cien o diez decenas,
que forman una unidad del orden superior inmediato.
Con esto, la centena es la unidad es la unidad de tercer orden y representa la reunión
de tercer orden y representa la reunión de diez ventaneas o cien unidades. Si a la centena le
añadimos los nombres de los noventa y nueve primeros números, iremos formando los
números ciento uno, ciento dos, ciento tres, etc., hasta llegar a doscientos o dos centenas; de
modo semejante obtendremos trescientos o tres centenas, cuatrocientos o cuatro centenas. Etc.,
hasta llegar a mil o diez centenas, que forman una unidad del orden superior inmediato.
El millar es la unidad del cuarto orden y representa la reunión de diez centenas o mil
unidades. Si al millar le añadimos los nombres de los novecientos noventa y nueve primeros
números, iremos obteniendo los números sucesivos hasta llegar a dos mil o dos millares; tres
mil o tres millares, etc. Hasta diez mil o diez millares, que forman una unidad del orden
superior inmediato.
La decena de millar es la unidad de quinto orden y representa la reunión de diez
millares o diez mil unidades. Añadiendo a una decena de millar los nombres de los nueve mil
novecientos noventa y nueve primeros números, formaremos el veinte mil o dos decenas de
millar, etc., hasta llegar a diez decenas de millar, o cien mil, que constituyen una unidad del
orden superior inmediato.
SUBÓRDENES
Así como la decena consta de diez unidades y la centena de diez decenas, podemos suponer
que la unidad simple o de primer orden está dividida en diez partes iguales que reciben el
nombre de décimas y constituyen el primer suborden; cada décima se divide en otras diez
Ing. Miguel Ángel Durán Jacobo
4
Introducción a los sistemas de numeración
partes iguales llamadas centésimas, formando el segundo suborden; cada centésima se divide
en otras diez partes iguales llamadas milésimas, formando el tercer suborden; y así
sucesivamente.
EJERCICIOS
1. ¿Cuántas unidades tiene una unidad de tercer orden; de cuarto orden; de quinto orden?
2. ¿Cuántas décimas hay en una unidad; en una decena; en un millar?
3. ¿Qué forman diez decenas; diez centenas de millar; diez millones?
4. ¿Cuántas centésimas hay en una decena; cuántas milésimas en una centena; cuántas
diezmilésimas en un millar?
5. ¿Cuántos guarismos tiene un número cuya cifra de mayor orden representa decenas de
centena; centenas de millar; millares de millón; billones?
6. ¿Cuáles son las decenas de decenas; las centenas de las decenas; los millares de
centena; los millones de millón?
7. ¿Cuántos millares tiene un millón; cuántas decenas de millar tiene una decena de
millar de millón; cuántos millones tiene un billón?
8. ¿Qué orden representa la primera cifra de la izquierda de un número de 2 cifras; de 5
cifras; de 7 cifras?
9. ¿Qué forman cien decenas de millar; mil centenas de millar; diez mil millones, un
millón de millones?
10. ¿Es la unidad de segundo orden y representa la reunión de diez unidades?
OTROS SISTEMAS DE NUMERACIÓN
Como ya lo estudiamos, en el sistema decimal la base es el 10. Pero si en lugar de 10 tomamos
como base el número 2, 3, 4, 5, 6, etc., tendremos otros sistemas de numeración en los que se
cumplirán principios semejantes a los establecidos para el sistema decimal.
De tal forma, en el sistema de base 2 se comprobará que:
1) Dos unidades de un orden forman una del orden superior inmediato.
2) Toda cifra escrita a la izquierda de otra representa unidades dos veces mayores a las
que representa ésta.
3) Con dos cifras se pueden escribir todos los números.
Lo mismo aplica para los sistemas cuya base sea 3, 4, 5, 6, etc., con lo que se concluye
que los sistemas de numeración se diferencian unos de otros por su base, y dado que podemos
tomar como base cualquier número, la cantidad de sistemas resulta ilimitada.
Nomenclatura
Atendiendo a su base, los sistemas denominan de la manera siguiente; el de base 2, binario; el
de base 3, ternario; el de base 4, cuaternario; el de base 5, quinario; el de base 6 senario; el de
Ing. Miguel Ángel Durán Jacobo
5
Introducción a los sistemas de numeración
base 7, septenario; el de base 8, octonario u octal; el de base 9 nonario; el de base 10 decimal o
décuplo; de de base 11, undecimal; el de base 12, duodecimal; el de base 16, hexadecimal; etc.
Notación
Para indicar el sistema en que está escrito un número, se escribe abajo a su derecha un número
pequeño que indica la base, el cual recibe el nombre de subíndice. Así 112 indica que este
número está< escrito en el sistema binario; 4325 indica que está escrito en el sistema quinario
y 895612 en el sistema duodecimal.
Si un número no lleva subíndice, significa que está escrito en el sistema decimal.
Valor relativo de las cifras de un número escrito en un sistema cualquiera
Una vez que se conoce el lugar que ocupa una cifra y la base del sistema en que está escrito el
número, hallaremos su valor relativo.
1) Valor relativo de las cifras del número 1234
La cifra 1 representa unidades de tercer orden, pero como la base es 4, cada unidad de
tercer orden contiene 4 del segundo, y como cada unidad del segundo orden contiene 4
del primero, el valor relativo de la cifra 1 es 1 x 4 x 4 = 16 unidades del primer orden.
La cifra 2, que representa unidades del segundo orden, contiene 2 x 4 = 8 unidades del
primer orden, luego su valor relativo es 8.
El valor relativo de la cifra 3 es 3 unidades del primer orden.
2) Valor relativo de las cifras del número 23406
Valor relativo de la cifra 2: 2 x 6 x 6 x 6 = 432 unidades del primer orden.
Valor relativo de la cifra 3:
3 x 6 x 6 = 108 unidades del primer orden.
Valor relativo de la cifra 4:
4 x 6 = 24 unidades del primer orden.
EJERCICIOS
1. Encuentra el valor relativo de las siguientes cifras:
2. Señala cuántas unidades del primer orden contiene cada uno de los siguientes números:
3. Escribe el número que representa: 2 unidades del primer orden en el sistema binario; 3
en el ternario; 9 en el nonario.
4. Escribe el número que representa 8 unidades del primer orden en sistema cuaternario;
10 en el quinario; 12 en el senario; 18 en el nonario.
5. Escribe el número que representa 15 unidades del primer orden en el sistema quinario;
18 en el senario; 21 en el septenario; 45 en el de base 15.
6. Escribe el número que representa 9 unidades del primer orden en el sistema senario.
Ing. Miguel Ángel Durán Jacobo
6
Introducción a los sistemas de numeración
CONVERSIÓN DE UN NÚMERO ESCRITO EN UN SISTEMA A OTRO DISTINTO.
Para convertir un número escrito en el sistema decimal a otro sistema distinto se divide el
número y los sucesivos cocientes por la base del nuevo sistema, hasta llegar a un cociente
menor que el divisor. El nuevo número se forma escribiendo de izquierda a derecha el último
cociente y todos los residuos colocados a su derecha, de uno en uno, aunque sean ceros.
Ejemplos:
1) Convertir 85 al sistema ternario
85
25
(1)
3
28
(1)
3
9
(0)
3
3
(0)
3
1
R. 85 = 100113
2) Convertir 3898 al sistema duodecimal
3898
29
58
(10)
12
324 12
84
27
(0) (3)
12
2
R. 3898 = 230A12
Obsérvese que si el último cociente o alguno de los residuos es mayor que 9, se pone
en su lugar la letra correspondiente.
EJERCICIOS
Compruebe que al convertir del sistema decimal los siguientes números a los sistemas
indicados, se encuentran las respuestas siguientes:
Número
decimal
Al sistema
Respuesta
123
Binario
R. 11110112
871
Ternario
R. 10120213
3476
Quinario
R. 1024015
10087
Base 7
R. 412607
Ing. Miguel Ángel Durán Jacobo
7
Introducción a los sistemas de numeración
1007
Base 8
R. 17578
78564
Base 9
R. 1286839
87256
Base 12
R. 425B412
120022
Base 20
R. F01220
14325
Base 30
R. FQF30
86543
Base 32
R. 2KGF32
CONVERSIÓN AL SISTEMA DECIMAL DE UN NÚMERO ESCRITO EN UN SISTEMA DIFERENTE.
Para convertir un número escrito en un sistema distinto del decimal al sistema decimal, se
multiplica la primera cifra de la izquierda del número dado por la base y con este producto se
suma la cifra siguiente. El resultado se multiplica por la base y al producto se le suma la
tercera cifra, y así sucesivamente hasta sumar la última cifra del número dado.
Ejemplos:
1) convertir el número 111012 al sistema decimal.
1x2=2
3x2=6
7 x 2 = 14
14 x 2 = 28
2+1=3
6+1=7
14 + 0 = 14
28 + 1 = 29
R. 111012 = 29
2) Convertir el número 89AB312 al sistema decimal.
8 x 12 = 96
105 x 12 = 1260
1270 x 12 = 15240
15251 x 12 = 183012
96 + 9 = 105
1260 + 10 = 1270
15240 + 11 = 15251
183012 + 3 = 183015
R. 89AB312 = 183015
Para convertir un número escrito en un sistema distinto del decimal a otro sistema que
no sea el decimal, se reduce el número dado primero al sistema decimal y luego al que se
quiere convertir.
Ejemplo: Convertir el número 22113 al sistema base 7.
22113 al decimal.
2x3=6
8 x 3 = 24
25 x 3 = 75
Ing. Miguel Ángel Durán Jacobo
6+2=8
24 + 1 = 25
75 + 1 = 76
R. 22113 = 76
8
Introducción a los sistemas de numeración
76 al de base 7
76
(6)
7
10
(3)
7
1
R. 22113 = 1367
EJERCICIOS
Compruebe que al convertir al sistema decimal los siguientes números desde los sistemas
indicados, se encuentran las respuestas siguientes:
Número
Respuesta
11012
R. 13
320124
R. 902
54316
R. 1243
763218
R. 31953
200789
R. 13193
7AB512
13673
CDA615
43581
8EFA18
51472
HEG34
20145
ABCD30
280273
Convertir al sistema indicado:
Número
Al sistema
Respuesta
10023
Base 4
R. 1314
4327
Base 3
R. 220103
B5612
Base 5
R. 231005
54CD15
Base 12
R. A49412
C00B18
Base 23
R. 5H7623
5AB414
Base 7
R. 641147
Ing. Miguel Ángel Durán Jacobo
9
Introducción a los sistemas de numeración
ABCD20
Base 9
R. 1381089
EF4C21
Base 22
R. CHG922
HF00C25
Base 30
R. 8EIQ230
8A0D24
Base 15
R. 2472A15
Problemas:
1) De un lugar donde se emplea el sistema binario nos remiten 1101 bultos postales.
¿Cómo escribiremos este número en México?
R. 13
2) De México enviamos a un comerciante que utiliza el sistema duodecimal 5678 barriles
de aceite. ¿Cómo escribirá ese número dicho comerciante?
R. 335212
3) Pedimos 18 automóviles a un empresario que usa el sistema de base 18. ¿Cómo escribe
el número de automóviles que nos envía?
R. 1018
4) Un comerciante que emplea el sistema quinario pide 4320 sombreros a otro que
emplea el sistema de base 13. ¿Cómo escribirá este comerciante el número de
sombreros que envía?
R. 36013
SISTEMAS
DE NUMERACIÓN DECIMAL, BINARIO Y HEXADECIMAL Y SU RELACIÓN CON EL
MUNDO DE LAS COMPUTADORAS
Sabemos que los números que todos utilizamos comúnmente, del 0 al 9, conforman lo que se
conoce como sistema decimal. Sus reglas y modos de empleo se aprenden en la infancia, por
lo que, habitualmente, se utilizan de forma instintiva, sin casi necesidad de pensar.
Hablando en términos de matemáticas, el sistema decimal no es el único de los
posibles. De hecho, pueden imaginarse tantos sistemas de numeración distintos como se desee.
Dentro de la informática, se manejan con asiduidad dos sistemas de numeración, diferentes del
decimal, denominados binario y hexadecimal.
En esta guía examinaremos brevemente estos dos sistemas de numeración especiales.
Pero antes de exponer sus características, es conveniente detenerse un momento a pensar como
funciona nuestro viejo sistema decimal.
La razón para hacerlo es importante. Un sistema de numeración no es sino un
convenio adoptado para poder representar diferentes cantidades. Pueden emplearse distintos
sistemas, pero siempre se mantienen las mismas reglas subyacentes. Por lo tanto, una vez
comprendido el funcionamiento de uno de ellos (que bien puede ser el decimal), es más
sencillo enfrentarse con los restantes.
EL SISTEMA DE NUMERACIÓN DECIMAL
Se denomina así por estar constituido por diez símbolos o dígitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9.
Con ellos se construyen todas las cifras que puedan necesitarse.
Ing. Miguel Ángel Durán Jacobo
10
Introducción a los sistemas de numeración
Para contar se comienza por el más bajo de ellos (el 0), y se va eligiendo cada vez uno
mayor. Al pasar del nueve, se realiza una curiosa operación. Para comprenderla, es
conveniente imaginar los números anteriores como formados por dos símbolos, en lugar de
por uno sólo. De esta forma, los diez primeros números no serían 0,1,3, 4, 5, 6, 7, 8,.9; sino
00, 01, 02, 03, 04, 05, 06, 07, 08, 09 . Al pasar del nueve, y debido a que no quedan ya más
dígitos disponibles, se incrementa (en uno) el símbolo de la izquierda (que hasta ahora era un
cero) y se vuelve a comenzar con el de la derecha desde cero. Se continúa, entonces, contando
10, 11, 12, 13,.. .hasta llegar a 19. En este momento, se incrementa de nuevo el dígito de la
izquierda (que ahora pasa a dos), y se recomienza una vez más con el de la derecha desde
cero.
Este esquema de funcionamiento continúa hasta llegar a 99. Para pasar a la siguiente
cifra, se supone ahora que los números no eran de dos dígitos, sino de tres; es decir, que se ha
ido contando 010, 011, 012, 013,.... hasta 999. La continuación ya es obvia: se incrementa el
dígito de la izquierda y se recomienza con los restantes desde cero.
Este esquema de funcionamiento guarda en su interior ciertos conceptos de enorme
importancia. En Primer lugar, nuestro sistema decimal es un sistema posicional. Esto quiere
decir que el valor de un dígito concreto dentro de un número viene dado por dos factores: el
propio dígito y la posición que ocupa dentro de la cifra de que se trate.
Es claro que el dígito 1 no representa el mismo valor en el número 16 que en el número
31. En el colegio ya se aprende que el valor de un dígito equivale al del número que resultaría
al sustituir todos los restantes dígitos de su derecha por cero. Así, en el numero 16 el dígito 1
tiene un valor equivalente a 10 (resultado de sustituir los dígitos a su derecha - en este caso el
6- por ceros). Por el contrario, en el numero 31 el dígito 1 tiene un valor 1, sencillamente.
Las posiciones (no los valores) de los dígitos de un número cualquiera se numeran,
habitualmente, de derecha a izquierda. De esta forma, en el número 3.479.026, el 6 ocupa la
posición primera, el 2 la segunda, el 0 la tercera, el 9 la cuarta, el 7 la quinta, el 4 la sexta y el
3 la séptima. Adoptando este convenio, la regla matemática nos dice que cada dígito de un
número tiene un valor igual a si mismo, multiplicado por la base de numeración elevada a una
unidad menos que la posición ocupada por dicho dígito.
En el caso del sistema decimal, la base de numeración es 10. Para un sistema
cualquiera, puede observarse que la base es igual al número de dígitos que componen dicho
sistema. Por lo tanto, en el ejemplo anterior, el 6 tiene un valor de 6 por 10 elevado a 0 (una
unidad menos que su posición, que es la primera). Como 10 elevado a cero es igual a
1(cualquier numero elevado a cero es igual a uno), resulta que el valor del dígito 6 en nuestro
número es de 6x1=6. Continuando con la misma regla, los valores de cada dígito son los
indicados en la figura 1.
Figura 1
Número
3
4
7
9
0
2
6
Posición de cada dígito 7
6
5
4
3
2
1
3x106 4x105
Valor relativo
7x104 9x103
3,000,000 400,000 70,000
Ing. Miguel Ángel Durán Jacobo
9,000
0x102
0
2x101 6x100
20
6
11
Introducción a los sistemas de numeración
Otro concepto importante, al hablar de sistemas de numeración, es el de la cantidad de
valores distintos que pueden representarse con un número determinado de dígitos. Dicha
cantidad se obtiene elevando la base de numeración al número de dígitos. Así, en base 10, con
un único dígito pueden expresarse 10 elevado a 1, o sea 10 números distintos (que son el 0, 1,
2, 3, 4,..., hasta el 9). De forma análoga, con dos dígitos aparecen 10 elevado a 2 (o sea 100)
números, que son del 0 al 99. Nuestro sistema decimal es ciertamente potente: con tan solo 6
dígitos pueden representarse hasta un millón de números diferentes.
Es importante recalcar que con dos dígitos pueden construirse 100 números distintos,
que van desde el 0 hasta 99. Pero no hasta el 100, para el que ya se necesitan tres dígitos. De la
Misma manera, con cuatro dígitos pueden representarse 10.000 números, del 0 al 9.999, pero
no el propio 10.000.
Estos detalles sobre el sistema de numeración decimal, también denominado sistema de
numeración en base 10, son bien conocidos por todos nosotros. Manejamos constantemente
números decimales, y lo hacemos sin pensar en lo más mínimo sobre estos conceptos
matemáticos de los que se ha hablado.
Sin embargo, su compresión puede ayudar a la hora de utilizar otros sistemas de
numeración. Tanto el sistema binario como el hexadecimal siguen estrictamente la misma
filosofía esencial. Lo único que varía, en realidad, es la cantidad de dígitos a emplear.
OTROS SISTEMAS DE NUMERACION
La implantación del sistema decimal entre nosotros parece ser que tuvo mucho que ver con el
hecho de que tengamos 10 dedos en las manos. Sin embargo no hay razón alguna para
sostener que dicho sistema es el más perfecto de los posibles.
Imaginemos un sistema de numeración en base 4. Esto quiere decir que en dicho
sistema existen, únicamente, cuatro dígitos diferentes. Pueden inventarse cualquier
representación para dichos cuatro dígitos, pero lo más sencillo es utilizar los símbolos 0, 1, 2 y
3.
En dicho sistema, se comenzara a contar, como de costumbre 0, 1, 2, 3, pero ahora ya
no existe el dígito 4 para seguir. Apliquemos entonces la misma norma que en el sistema
decimal. Se considera que los números son 00, 01, 02, y 03, y ahora se incrementa el dígito de
la izquierda para empezar a variar de nuevo el de la derecha. Así pues, en base 4, después del
numero 03 viene el numero 10. A continuación vendrán el 11, 12, el 13 y de nuevo hay que
incrementar el primer dígito, pasando así al 20. De esta manera, los primeros números en base
4 son los siguientes:
0, 1, 2, 3, 10, 11, 12, 13, 20, 21, 22, 23, 30, 31, 32, 33,...etc.
En este sistema de base cuatro, el número 12 ya no sirve para indicar, por ejemplo, una docena
de huevos. Observando con cuidado, se comprobara que ahora representa a tan solo media
docena. De hecho el número 12 en base 4, equivale al número 6 en base 10. Esto puede verse
mejor si se cuenta paralelamente en ambos sistemas de numeración, tal como se indica en al
figura 2.
Ing. Miguel Ángel Durán Jacobo
12
Introducción a los sistemas de numeración
Figura2.
Base 10
Base 4
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
0
1
2
3
10
11
12
13
20
21
22
23
30
31
32
33
100
101
102
103
110
111
112
113
120
121
Cantidad Representada
Sistema decimal
Cero
Uno
Dos
Tres
Cuatro
Cinco
Seis
Siete
Ocho
Nueve
Diez
Once
Doce
Trece
Catorce
Quince
Dieciséis
Diecisiete
Dieciocho
Diecinueve
Veinte
Veintiuno
Veintidós
Veintitrés
Veinticuatro
Veinticinco
Es de gran importancia distinguir entre el mundo real y los sistemas de numeración,
que no son más que convenciones matemáticas. Volviendo al caso anterior, la cantidad que
constituye una docena de huevos puede representarse matemáticamente de muy diversas
formas: la más corriente es mediante la notación decimal, diciendo que hay 12 huevos. Pero
nada nos impide hacerlo mediante otra notación, por ejemplo en base 4, en la que se diría que
hay 30 huevos. Los números 12 y 30 no indican ningún absoluto. En nuestro caso, 12 en
decimal es equivalente a 30 en base 4.
Estas sutilezas de concepto son muy difíciles de aceptar al principio. Durante toda
nuestra vida hemos utilizado únicamente el sistema decimal, de forma que nos cuesta creer
que el número 30 pueda representar otra cosa que no sea la cantidad treinta, es decir, dos
docenas y media.
Ing. Miguel Ángel Durán Jacobo
13
Introducción a los sistemas de numeración
Sin embargo, es así. Un número formado por una serie de dígitos representa un valor
determinado, en función de una convención asumida de antemano. Si se varía dicha
convención, los mismos símbolos pueden representar valores diferentes.
En informática es conveniente acostumbrarse a este hecho. Al ver un número
determinado, no debe asumirse automáticamente que está expresado en base 10. Para dar la
mayor información posible, a veces se indica la base empleada en forma de subíndice. De esta
forma, la expresión 30 4 = 12 10 indica que 30 en base 4 es igual a 12 en base 10.
LOS SISTEMAS DE NUMERACION BINARIO Y HEXADECIMAL
El sistema de numeración con el que mejor se representa el funcionamiento de un computador
es el binario o de base 2. Esto quiere decir que dicho sistema posee tan solo dos dígitos, el 0 y
el 1.
Aplicando la técnica ya conocida, se contará en binario de la siguiente forma: 0, 1, 10,
11, 100, 101, 111, 1000, 10001, 1010, 1011, 1100, 1101, 1110, 111,... etc.
El sistema binario es el más pequeño de los posibles. Podría pensarse en un
sistema de base 1, pero dicho sistema tendría un solo dígito (que debería ser el 0), por lo que
no habría posibilidad de obtener más que un único número (0 es lo mismo que 00 o que 000).
Es fácil observar que, cuanto mayor sea la base de un sistema de numeración,
más cantidades diferentes pueden representarse con un cierto número de dígitos. Como ya se
ha mencionado anteriormente, en el sistema decimal con seis dígitos pueden obtenerse hasta
un millón de números distintos. En cambio, en base 4, con seis dígitos tan solo pueden
expresarse 4 elevado a seis, o sea 4096 números diferentes. Este es, precisamente el mayor
problema del sistema de numeración binario. Al tratarse de una base tan pequeña, la
representación de una cantidad algo elevada nos conduce siempre a una sucesión casi
interminable de ceros y unos.
Por poner un ejemplo, el número mil se representa en binario mediante 1111101000.
En cuanto a un millón, en binario es nada menos que 11110100001001000000.
Por esta razón, el sistema binario puede ser la representación mas adecuada del
funcionamiento de un computador, pero para nosotros, los humanos, es sumamente
inadecuado. Por ello debe encontrase un sistema de numeración más cómodo de manejar, pero
que a la vez pueda trasladarse de forma sencilla al binario.
Por desgracia, dicho sistema no es el decimal. Sin lugar a dudas, éste es el
sistema de numeración más fácil para nosotros, pero no cumple la segunda condición. Su paso
a binario no es todo lo adecuado que nos gustaría.
Para entenderlo, obsérvense los primeros 25 números de nuevo, pero esta vez en
decimal y en binario, en la figura 3.
Figura 3.
Base 10
Base 2
0
1
2
0
1
10
Ing. Miguel Ángel Durán Jacobo
Cantidad Representada
Sistema decimal
Cero
Uno
Dos
14
Introducción a los sistemas de numeración
Base 10
Base 2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
11
100
101
110
111
1000
1001
1010
1011
1100
1101
1110
1111
10000
10001
10010
10011
10100
10101
10110
10111
11000
11001
Cantidad Representada
Sistema decimal
Tres
Cuatro
Cinco
Seis
Siete
Ocho
Nueve
Diez
Once
Doce
Trece
Catorce
Quince
Dieciséis
Diecisiete
Dieciocho
Diecinueve
Veinte
Veintiuno
Veintidós
Veintitrés
Veinticuatro
Veinticinco
Comprobemos la cantidad de números que pueden representarse. Con dos dígitos
binarios pueden representarse 2 elevado a 2, igual a 4 números. Con tres dígitos, 2 elevado a 3,
igual a 8. Con cuatro dígitos, 2 elevado a 4, igual a 16. Estas cantidades (4, 8, 16) no tiene
mucho que ver con los números equivalentes del sistema decimal (10, 100, etc.).
Esto tiene una consecuencia importante. Supóngase un número grande expresado en
binario, por ejemplo el millón que se mencionó anteriormente: 11110100001001000000. Este
número es difícil de pasar a decimal. No puede partirse en “trozos”, sino que debe convertirse
como un todo, de tal forma que es muy complicado efectuar la conversión sin utilizar papel y
lápiz.
Estos problemas son los que han llevado al uso cotidiano, en la informática, del sistema
de numeración hexadecimal, cuya base es 16. El hexadecimal cumple notablemente las
condiciones antes expresadas. Por un lado, tiene una base elevada, lo cual implica poder
representar números grandes con pocos dígitos. Y además puede traducirse a binario de una
forma muy sencilla.
El único inconveniente que representa el sistema hexadecimal es el de su notación.
Deben emplearse 16 dígitos diferentes, y hasta ahora no se han mencionado más que 10 (del 0
Ing. Miguel Ángel Durán Jacobo
15
Introducción a los sistemas de numeración
al 9). Para solventarlo, se utilizan como dígitos adicionales las seis primeras letras del alfabeto
(de la A a la F), con lo que los 16 dígitos necesarios quedan de la siguiente forma: 0, 1, 2, 3,
4, 5, 6 7, 8, 9, A, B, C, D, E y F. El dígito A tiene un valor de diez, B vale once, y así
sucesivamente hasta la F, que vale quince.
Para aclarar estas ideas, contemos una vez más hasta veinticinco tal como se indica en
la figura 4.
Figura 4
Base 10
Base 16
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F
10
11
12
13
14
15
16
17
18
Cantidad
Representada
Sistema decimal
Cero
Uno
Dos
Tres
Cuatro
Cinco
Seis
Siete
Ocho
Nueve
Diez
Once
Doce
Trece
Catorce
Quince
Dieciséis
Diecisiete
Dieciocho
Diecinueve
Veinte
Veintiuno
Veintidós
Veintitrés
Veinticuatro
Como detalle curioso, los dígitos extra del sistema hexadecimal (de la A a la F) suelen
escribirse siempre en mayúsculas.
Volvamos a la razón por la que se escogió el uso de este sistema. Con un dígito
hexadecimal pueden representarse, obviamente, hasta dieciséis números distintos.
Ing. Miguel Ángel Durán Jacobo
16
Introducción a los sistemas de numeración
Curiosamente, ésta es la misma cantidad de números que pueden obtenerse con cuatro dígitos
binarios, y viceversa. Esta correspondencia puede observarse en la Figura 5.
Figura 5.
Base 16
Base 2
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F
0000
0001
0010
0011
0100
0101
0110
0111
1000
1001
1010
1011
1100
1101
1110
1111
Cantidad
Representada
Sistema decimal
Cero
Uno
Dos
Tres
Cuatro
Cinco
Seis
Siete
Ocho
Nueve
Diez
Once
Doce
Trece
Catorce
Quince
Por lo tanto, la conversión de un número binario de larga longitud puede realizarse
ahora de forma bien sencilla. Basta con dividir el número en grupos de cuatro dígitos (siempre
comenzando de derecha a izquierda) e ir sustituyendo cada grupo por el dígito hexadecimal
correspondiente.
De esta forma, el número escogido en el ejemplo, un millón, puede pasarse de binario a
hexadecimal de una forma rápida y sencilla, tal como se indica en la figura 6
Figura 6
1 Millón
Separado en grupos de cuatro dígitos
Aplicando la tabla de la figura 6
11110100001001000000
1111 0100 0010 0100 0000
F
4
2
4
0
Así pues, un millón, en hexadecimal, es F4240. Y, por supuesto, la conversión inversa
es igualmente sencilla. Basta con sustituir cada dígito del número deseado por los cuatro
dígitos binarios a los que es equivalente.
El sistema Hexadecimal presenta más ventajas, además de la ya apuntadas. Como es
sabido, la unidad más corriente de memoria es el byte, que equivale a ocho bits o dígitos
Ing. Miguel Ángel Durán Jacobo
17
Introducción a los sistemas de numeración
binarios. Esto significa que el valor de un byte puede expresarse mediante dos dígitos
hexadecimales, ya que cada uno de ellos representa cuatro dígitos binarios.
Por esta razón, es muy común representar el contenido de un byte de esta manera, en
lugar de mediante ocho dígitos binarios.
El problema más importante del sistema hexadecimal es probablemente el de
identificar sus números como tales. Desde luego, al ver un número que contiene algún a letra
de la A a la F, tal como 42E7, es presumible que se trate de una cantidad expresada en
hexadecimal. Sin embargo, un número como 3805 puede ser tanto decimal como hexadecimal.
De ahí que sea muy importante indicar en todo momento la base de numeración que se está
empleando.
Un método muy extendido consiste en representar los números decimales sin más,
mientras que los hexadecimales se les añade la letra H al final. De esta forma, 3805 sería un
numero decimal (que represente la cantidad tres mil ochocientos cinco), mientras que 3805H
sería un número hexadecimal (que representa la cantidad catorce mil trescientos cuarenta y
uno).
Naturalmente, esta confusión es extensible al sistema de numeración binario. Un
número que contenga dígitos que no sean ceros y unos no puede ser binario, pero por ejemplo,
el número 11010 puede ser tanto binario como decimal, o incluso hexadecimal.
CONCEPTOS MATEMÁTICOS PRELIMINARES
Los conceptos de base y exponente son fundamentales para la comprensión de los sistemas de
numeración:
103 es lo mismo que 10 x 10 x 10
54 es lo mismo que 5 x 5 x 5 x 5
26 es lo mismo que 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2
En estos ejemplos, 10, 5 y 2 son bases, mientras que 3, 4 y 6 son exponentes. La base
se multiplica por si misma; el número de veces que aparece como factor, es el determinado por
el exponente. Así, 104 = 10 x 10 x 10 x 10, ya que la base 10 debe ser tomada cuatro veces
como factor, según lo indica el exponente 4.
OPERACIONES BÁSICAS
Comenzaremos por hacer algunas observaciones sobre el sistema de numeración que nos es
más familiar.
1. Todos los números se forman con dígitos elegidos entre 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, y 9.
2. La contribución de un dígito al valor total de un número depende no solo de su propio
valor (valor absoluto; es decir, 1, 2, 3, etc.), sino también de la posición que ocupa.
Examinemos por ejemplo el número 372. Se le puede escribir en la forma
3 x 100 + 7 x 10 + 2 x 1
Lo que equivale a:
(3 x 102) + (7 x 101) + (2 x 100); a esta forma se le conoce como notación expandida.
Ing. Miguel Ángel Durán Jacobo
18
Introducción a los sistemas de numeración
Donde se observa que:
El 2 contribuye con 2 unidades al valor total del número;
El 7 contribuye con 70 unidades al valor total del número;
El 3 contribuye con 300 unidades al valor total del número.
Consideremos el valor posicional de cada dígito de otro número entero, 25,164:
...
10,000
1,000
100
10
1
...
2
5
1
6
4
...
2 x 10000
+ 5 x 1000 + 1 x 100
+
6 x 10
+
4x1
Lo que puede escribirse también en la forma
104
2
...
...
103
5
102
1
101
6
100
4
Propiedades:
1. Se utilizan diez dígitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9.
2. Los valores de posición comienzan por 1 para el último dígito de la derecha y
aumentan en el factor 10 cada vez que nos desplazamos un lugar hacia la izquierda.
3. el valor total de un número se ⟨⟨calcula⟩⟩ multiplicando cada dígito por su valor
posicional y sumando todos estos productos.
SISTEMA BINARIO (Base 2)
El sistema de numeración binario se diferencia del decimal porque utiliza el 2 como base, en
lugar de 10, y porque emplea sólo dos dígitos en lugar de diez.
Propiedades más importantes:
1. Utiliza dos dígitos: 0, 1.
2. Los valores de posición comienzan por 1 para el último dígito de la derecha y
aumentan en el factor 2 cada vez que nos desplazamos un lugar hacia la izquierda.
Podemos formar tablas como las que se presentan a continuación:
...
...
16
8
Ing. Miguel Ángel Durán Jacobo
4
2
1
o
...
...
24
23
22
21
20
19
Introducción a los sistemas de numeración
El número binario 1101, que escribiremos 11012 cuando queramos indicar explícitamente que
se trata de un número de base dos, se ordena así en forma de tabla:
8
1
4
1
2
0
1
1
Y se ⟨⟨calcula⟩⟩ del modo siguiente:
1101 = 1 x 8 + 1 x 4 + 0 x 2 + 1 x 1
= 8 + 4 + 0 + 1
= 13
En otros términos 11012 equivale al número decimal (de base 10) 13. Es decir,
11012 = 1310
Las operaciones aritméticas en números decimales, dependen de varias reglas que se
aprenden usualmente a temprana edad con lo que el proceso de aprendizaje se ve como
“natural” más que dependiente de un juego de reglas y tablas. Por ejemplo; aprendemos a
sumar memorizando la tabla de sumas en el sistema decimal (Tabla 1). Esta es una tabla que
expresa los resultados de la suma de todas las posibles combinaciones de dos números. Sólo se
necesita media tabla ya que es simétrica.
La suma de dos números se muestra en la intersección de uno de los números de las
filas y de otro de las columnas.
Tabla 1. Tabla de Sumas para el Sistema Decimal
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
0
1
1
2
2
2
3
4
3
3
4
5
6
4
4
5
6
7
8
5
5
6
7
8
9
10
6
6
7
8
9
10
11
12
7
7
8
9
10
11
12
13
14
8
8
9
10
11
12
13
14
15
16
9
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
Las reglas y tablas de suma para la aritmética binaria son mucho más simples que para
la aritmética decimal. Por ejemplo, la tabla de sumar para aritmética binaria (Tabla 2) consiste
de sólo cuatro entradas. La tabla se usa de la misma forma que la tabla de sumar en decimal.
Se pueden elaborar tablas similares para la multiplicación y la resta.
Tabla 2. Tabla de Suma para Sistema Binario
0
1
0
1
0
1
0
1
Como una breve muestra de la aritmética binaria se ilustran las reglas solamente para
la operación Suma
Ing. Miguel Ángel Durán Jacobo
20
Introducción a los sistemas de numeración
Reglas para Suma Binaria
1 + 1 = 0 y acarree 1 para sumar a la siguiente columna
1+0=1
0+1=1
0+0=0
A continuación se proponen algunos ejemplos de operaciones aritméticas en código
binario.
1 0 1 1 0 1
+
1 1 0 0 1
1 0 0 0 1 1 0
1 0 1 1
+ 1 0 0 1
1 0 1 0 0
SISTEMA OCTAL (Base 8)
En el sistema octal se utiliza el 8 como base, y, por tanto ocho dígitos.
Propiedades más importantes:
1. Se usan los ocho dígitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7.
2. Los valores de posición comienzan por 1 para el último dígito de la derecha y
aumentan en el factor 8 cada vez que nos desplazamos un lugar hacia la izquierda.
Las tablas correspondientes son las siguientes:
...
...
512
64
8
1
o
...
...
83
82
81
80
Así, el número octal 3278 queda representado en forma de tabla de la manera siguiente:
64
3
8
2
1
7
Y se ⟨⟨calcula⟩⟩ del modo siguiente:
327 = 3 x 64 + 2 x 8 + 7 x 1
= 192 + 16 + 7
= 215
En otras palabras 3278 equivale al número decimal (de base 10) 215. Es decir,
3278 = 21510
Ing. Miguel Ángel Durán Jacobo
21
Introducción a los sistemas de numeración
SISTEMA HEXADECIMAL (Base 16)
En el sistema de numeración hexadecimal se utilizan 16 dígitos y, por tanto 16 como base.
Propiedades más importantes:
1. Se usan los dieciséis dígitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E y F. Como
podemos advertir que A corresponde al decimal 10, B al 11, C al 12, D al 13, E al 14 y
F al 15. Los símbolos literales se utilizan convenientemente porque, de otro modo; 10,
11, 12, 13, 14 y 15 deberían quedar representados tal como se los escribe en el sistema
numérico decimal, es ceñir, como una combinación de dos dígitos. La escritura
resultaría entonces muy confusa.
2. Los valores de posición comienzan por 1 para el último dígito de la derecha y
aumentan en el factor 16 cada vez que nos desplazamos un lugar hacia la izquierda.
Las tablas correspondientes son las siguientes:
...
...
4096
256
16
1
o
...
...
163
162
161
160
Así, el número hexadecimal 2A416 se tabulará de la manera siguiente:
256
2
16
A
1
4
Y se ⟨⟨calcula⟩⟩ del modo siguiente:
2A4 = 2 x 256 + 10 x 16 + 4 x 1
= 512 + 160 + 4
= 676
En otras palabras 2A416 equivale al número decimal (de base 10) 676. Es decir,
2A416 = 67610
CONVERSIÓN DE UN SISTEMA NUMÉRICO A OTRO
Del sistema binario al decimal y viceversa.
Ejemplo 1: Escriba 1001010(2 como número decimal.
Como el número binario consta de siete cifras, igualmente necesitamos tener una tabla con
siete columnas.
64
1
32
0
16
0
8
1
Ing. Miguel Ángel Durán Jacobo
4
0
2
1
1
0
Decimal
¿?
22
Introducción a los sistemas de numeración
Como se indicó anteriormente, sumamos los productos parciales de la tabla, pero antes
recordemos que cualquier cantidad multiplicada por cero el resultado también es cero; por
tanto únicamente sumemos los productos que resultan de multiplicar los dígitos 1.
1 x 64 + 1 x 8 + 1 x 2 = 74; entonces 10010102 = 7410
Ejemplo 2: Escriba 11101(2 a base 10.
16
1
8
1
4
1
2
0
1
1
Operación
1 x 16 + 1 x 8 + 1 x 4 + 1 x 1
Resultado
2910
Si queremos abreviar las operaciones podemos hacerlo de la forma siguiente:
16
1
8
1
4
1
2
0
Operación
16 + 8 + 4 + 1
1
1
Resultado
2910
Está claro que el procedimiento inverso nos permitirá convertir números decimales en
números binarios. El problema se reduce al de ajustar el número a una tabla binaria.
Ejemplo 3: Convierta 5210 en un número binario.
La tabla binaria puede limitarse hasta la columna correspondiente al 32, puesto que el
siguiente elemento (64) es mayor que el número que deseamos convertir, 52.
64
Χ
32
16
8
4
2
1
←52
Ahora veamos que las operaciones inician con el primer dígito de la izquierda. ¿Cuántas veces
el número 32 está contenido en 52? Una sola vez. Por lo tanto anotamos un 1 en la columna
correspondiente, con ello indicamos que 32 está contenido una vez en 52.
32
1
16
8
4
2
1
← 52 – 32 = 20; es decir, nos restan 20
Pasamos a la columna siguiente, notemos que en el resto (20) cabe 16 una vez, por lo tanto
colocamos un 1 en la columna que corresponde al 16, quedando un resto de 4.
32
1
16
1
8
4
2
1
← 20 – 16 = 4 es el resto
Como el 8 no cabe en este resto, ponemos un 0 en la columna del 8.
32
1
16
1
8
0
4
2
1
← 4 – 0 = 4 resto
En el resto de cabe 4 cabe en cambio un 4. Ponemos un 1 en la columna correspondiente, y
ahora ya no queda resto alguno.
32
1
16
1
8
0
4
1
Ing. Miguel Ángel Durán Jacobo
2
1
← 4 – 4 = 0 resto
23
Introducción a los sistemas de numeración
Puesto que ya no hay resto, no tenemos ni doces ni unos en el número binario, para preservar
el valor posicional de estos dígitos es necesario anotar en las columnas correspondientes
ceros.
32
1
16
1
8
0
4
1
2
0
1
0
Luego entonces: 5210 = 1101002
Ejemplo 4: Convierta 6710 en binario.
En 67 si cabe 64, por tanto hasta esta columna debemos utilizar nuestra tabla de conversión.
Restando 64 del número original, queda un resto de 3 (67 – 64 = 3). El resto equivale
evidentemente, a un 2 y un 1. Por lo que en la tabla tendremos un 1 en las columnas del 64, 2
y 1, y un 0 en todas las otras columnas.
64
1
32
0
16
0
8
0
4
0
2
1
1
1
Entonces tenemos que: 6710 = 10000112
3.2 Del sistema octal al decimal y viceversa.
Escriba el número octal 3728 a base 10.
Puesto que son tres cifras el número queda representado en forma de tabla de la manera
siguiente:
64
3
8
7
1
2
Operación
3 x 64 + 7 x 8 + 2 x 1
Resultado
25010
Si queremos abreviar las operaciones podemos hacerlo de la forma siguiente:
64
3
8
7
1
2
Operación
192 + 56 + 2
Resultado
25010
Con lo que queda indicado un método conveniente para convertir un número octal en un
número decimal.
Consideremos el proceso inverso de convertir un número de base 10 en un número de base 8.
El mecanismo es el mismo que el caso del sistema binario, con la diferencia de que ahora hay
que usar una tabla octal.
Ejemplo 1: Convierta 5910 en octal.
Observemos que si utilizamos la tabla
corresponde al 64, ya que es mayor a 59.
Ing. Miguel Ángel Durán Jacobo
64
8
1
nos sobrará la columna que
24
Introducción a los sistemas de numeración
Hay siete ochos en 59. Por tanto, anotaremos 7 en la columna del 8, dejando un resto de 3.
8
1
← 59 – 56 = 3 resto
7
Este resto equivale a tres unos en la tabla. Luego entonces, anotaremos 3 en la columna del 1.
8
1
7
3
← 3 – 3 = 0 resto. Tenemos entonces que 5910 = 738
Ejemplo 2: Convierta 13510 en octal. En este caso, entra dos veces 64 en el número dado,
quedando un resto de 7.
64
2
1
8
← 135 – 128 = 7 resto.
Como no entra ningún 8 en 7, se pondrá un 0 en la columna correspondiente y se considerará 7
como nuevo resto.
64
2
1
8
0
← 7 resto.
Hay siete unos en 7. Lo anotamos y el resto es cero.
64
2
1
7
8
0
← Luego 135(10 = 207(8
Del sistema hexadecimal al decimal y viceversa.
Ejemplo 1: Convierta el número hexadecimal 5DE16 a base 10.
•
Recordemos que A corresponde al decimal 10, B al 11, C al 12, D al 13, E al 14 y F al 15.
Puesto que son tres cifras el número queda representado en forma de tabla de la manera
`siguiente:
256
5
16
D
1
E
Operación
5 x 256 + 13 x 16 + 14 x 1
Resultado
25010
Si queremos abreviar las operaciones podemos hacerlo de la forma siguiente:
256
5
16
D
1
E
Ing. Miguel Ángel Durán Jacobo
Operación
1280 + 208 + 14
Resultado
150210
25
Introducción a los sistemas de numeración
Ejemplo 2: Convierta 52310 en hexadecimal. Usando una tabla hexadecimal, comenzamos por
registrar las dos veces que cabe 256 en 523. El resto es 11.
256
2
16
1
← 523 – 512 = 11 resto.
No cabe ningún 16 en 11. Se anota 0 en la columna del 16 y se considera 11 como nuevo
resto.
256
2
16
0
1
← 11 resto.
Hay once unos en 11. Anotamos, por tanto, B en la columna del 1.
256
2
16
0
1
B
← Luego 52310 = 20B16
Del sistema binario al octal y viceversa.
Es cosa fácil convertir números binarios a octales y a la inversa. Veamos primeros cómo
podemos pasar del sistema binario al octal.
Una manera de hacerlo sería pasar primero de la base binaria a la decimal y luego de la
decimal a la octal. Es decir:
N2
N10
N8
Pero en este caso hay que hacer dos conversiones, lo que es innecesario. Observemos la tabla
siguiente:
Binario
000
001
010
011
100
101
110
111
Octal
0
1
2
3
4
5
6
7
Observemos que cada combinación de tres dígitos binarios (3 columnas) corresponde a un
solo dígito octal. En otros términos, todas las posibles ternas binarias (de 000 a 111) se
convierten en los ocho dígitos octales posibles (de 0 a 7).
Ing. Miguel Ángel Durán Jacobo
26
Introducción a los sistemas de numeración
Ejemplo 1: Convierta 1110111000012 a octal.
Agrupemos los dígitos binarios de tres en tres, empezando por la derecha.
111
011
100
001
Convirtamos cada grupo en el número octal correspondiente.
7
3
4
1
Luego entonces, 1110111000012 = 73418
Aunque en el ejemplo anterior parece carecer de importancia, si empezáramos a agrupar desde
la izquierda podría obtenerse un resultado incorrecto, como puede verificarse en el ejemplo
que sigue.
Ejemplo 2: Convierta 11010111110102 a octal.
1101011111010 =
1
101
011
111
010
=
1
5
3
7
2
=
153728
Recíprocamente, podemos convertir números octales en binarios remplazando cada dígito
octal del número que se desea convertir, por el grupo equivalente de tres dígitos binarios.
Ejemplo 3: Convierta 73068 a binario.
7306 =
=
=
7
3
0
6
111
011
000
110
111 011 000 110(2
Debe observarse que todos los ceros que se incluyen en este resultado, son necesarios para
conservar el valor de posición de los otros dígitos. Es fácil de comprobar; si suprimimos uno o
más ceros del número binario resultante y vuelva a convertirlo en octal; se obtendrá un
resultado muy diferente de 7306.
Del sistema binario al hexadecimal y viceversa.
Así como a cada dígito octal le corresponde un grupo de tres dígitos binarios, a cada dígito
hexadecimal le corresponde un grupo de cuatro dígitos binarios.
Binario
0000
0001
0010
0011
0100
Ing. Miguel Ángel Durán Jacobo
Hexadecimal
0
1
2
3
4
27
Introducción a los sistemas de numeración
0101
0110
0111
1000
1001
1010
1011
1100
1101
1110
1111
5
6
7
8
9
A (10)
B (11)
C (12)
D (13)
E (14)
F (15)
Ejemplo 1: Convierta 101101010012 a hexadecimal. Agrupando de cuatro en cuatro,
empezando por la derecha.
101
1010
1001
=
5A9(16
Ejemplo 2: Convierta F7CD a binario.
F7CD =
F
7
C
D
=
1111
0111
1100
1101
=
1111 0111 1100 1101(2
Del sistema binario al hexadecimal y viceversa.
Ya sabemos bastante sobre los sistemas de numeración como para aprovechar ciertos métodos
abreviados para convertir números octales en hexadecimales y viceversa.
También en este caso podría creerse que lo más simple es pasar primero de octal a decimal y
luego de decimal a hexadecimal.
N8
N10
N16
Pero este proceso es bastante laborioso. Es preferible tomar 2 como base intermedia.
N8
Octal
0
1
2
3
4
5
6
7
Ing. Miguel Ángel Durán Jacobo
N2
Binario
0000
0001
0010
0011
0100
0101
0110
0111
1000
1001
N16
Hexadecimal
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
28
Introducción a los sistemas de numeración
1010
1011
1100
1101
1110
1111
A (10)
B (11)
C (12)
D (13)
E (14)
F (15)
Ejemplo 1: Convierta 743518 a base 16.
74351 =
111
=
=
100
011
101
001
Base 2
111
1000
1110
1001
Base 2
78E9(16
Ejemplo 2: Convierta A5716 a octal.
A57 =
=
101
=
51278
1010
0101
0111
Base 2
001
010
111
Base 2
4. Fracciones decimales
Sabemos ya que 0.94 en base 10 equivale a cualquiera de las tres sumas siguientes:
1
9*
1
+ 4*
10
;
100
9 * 0.1 + 4 * 0.01;
9 * 10
−1
+ 4 * 10
−2
Pero, ¿qué significa 0.112?
Es fácil comprender que, teniendo presente el ejemplo anterior, esta expresión equivale a
cualquiera de las tres sumas siguientes.
1*
1
+ 1*
2
1
;
4
1 * 0.5 + 1 * 0.25;
1* 2
−1
+ 1* 2
−2
El equivalente en base decimal es, pues, ¾ o 0.75. En otros términos, 0.112 = 0.7510.
Ejemplo 1: Convierta 0.10112 a base decimal.
1
1
1
1
0.1011( 2 = 1 * + 0 * + 1 * + 1 *
4
8
16
2
= 0.5 + 0 + 0.125 + 0.0625
= 0.687510
Ing. Miguel Ángel Durán Jacobo
29
Introducción a los sistemas de numeración
Ejemplo 2: Convierta 0.37510 a binario.
Esta conversión se realiza haciendo encajar el número decimal fraccionario en una tabla
binaria; es decir, en:
1
1
1
1
2
4
8
16
0.5
0.25
0.125
0.0625
...
o en
...
Empezando por la izquierda, vemos que no cabe 0.5 en 0.375. Luego
0.5
0.25
0.125
0.0625
...
0.125
0.0625
...
...
0
Pero si cabe 0.25
0.5
0.25
0
1
, y 0.375 – 0.25 = 0.125 es el resto
El resto, 0.125, da
0.5
0.25
0.125
0
1
1
, y 0.375 – 0.25 = 0.125 es el resto
y el resultado es exacto porque no queda resto alguno. Luego 0.375(10 = 0.011(2
Ejemplo 3: convierta 0.568 a base 10.
0.568 significa 5 x 8-1 + 6 x 8-2 o bien;
5*
o
1
1
46
+ 6*
=
8
64 64
5 x 0.125 + 6 x 0.015625 = 0.718750
Luego, 0.568= 0.71875(10
Ing. Miguel Ángel Durán Jacobo
30
Introducción a los sistemas de numeración
Consideremos algunas tablas de fracciones
Base 2
2-1
2-2
2-3
2-4
2-5
2-6
2-7
2-8
Fracción
1/2
1/4
1/8
1/16
1/32
1/64
1/128
1/256
Decimal
0.5
0.25
0.125
0.0625
0.03125
0.015625
0.0078125
0.00390625
Base 8
8-1
8-2
8-3
8-4
Fracción
1/8
1/64
1/512
1/4096
Decimal
0.125
0.015625
0.00195313
0.00024414
Base 16
16-1
16-2
16-3
Fracción
1/16
1/256
1/4096
Decimal
0.0625
0.00390625
0.00024414
ADICIÓN EN LOS DIFERENTES SISTEMAS DE NUMERACIÓN
Pueden comprenderse mejor los sistemas de numeración estudiando el proceso de adición o
suma de números en distintas bases.
Adición en base 10. Este proceso puede parecer trivial, pero si se llega a comprender el
procedimiento (no simplemente a dominar la mecánica de la suma), la adición en otras bases
no resultará más difícil que en base 10.
sumemos
29
48
15
13
-----
Si la adición se ejecuta correctamente, el resultado será 105. Pero ¿qué podemos aprender con
esto sobre los sistemas numéricos? Comprendiendo cómo se suma, nos daremos cuenta de que
al sumar los dígitos de la primera columna de la derecha se tiene 9 + 8 + 5 + 3 = 25. Pero 25
no es un dígito, por lo que 25 no puede entrar en una sola columna.
De modo que lo que se hace es algo así como “pongo 5 y me llevo 2”. Se quiere decir con esto
que 25 = 2 x 10 + 5; o sea, hay dos decenas en 25, con un resto de 5. Este resto equivale a
cinco unos, por lo que anotamos 5 en la primera columna (la de los unos). Las “dos decenas”
indican que hay que agregar un 2 a la segunda columna (la de las decenas). De ahí la
expresión “me llevo 2”.
Tal vez esto sea suficiente para intentar la adición en base 2.
Adición en base 2. Vamos a ilustrarlo con el siguiente ejemplo:
Realice la suma binaria
10
11
-----
Ing. Miguel Ángel Durán Jacobo
31
Introducción a los sistemas de numeración
En la primera columna tenemos 0 + 1 = 1, de modo que nuestro resultado hasta ahora es
10
11
----1
En la segunda columna tenemos 1 + 1. Esto es, 2. Pero en base 2 no tenemos un dígito llamado
2 (sólo tenemos los dígitos 0 y 1).
En realidad, dado que la base es 2, resulta que 2 = 1 x 2 + 0, es decir, un dos y ningún uno, o
“pongo 0 y llevo 1”. El resultado hasta el momento, es el siguiente:
1
10
11
----01
(El “1” en negrita y cuerpo menor es el 1 que se lleva)
Pasando a la columna siguiente de la izquierda y sumando, el resultado final es
1
10
11
----101
Ejemplo 2: Realice la siguiente operación: 111(2 + 101(2.
111
101
1
11
111
101
0
111
101
00
111
111
101
100
111
111
101
1100 El resultado es 1100
Adición en base 8. Veamos un ejemplo de cómo se aplica el método.
Ejemplo 1: Realice la siguiente operación: 37(8 + 24(8.
1
37
24
7 + 4 es “11” en base 10, pero equivale
37 a 1 x 8 + 3, puesto que estamos
24 sumando en base 8; de otra forma
3 podemos decir: 11/8 = 1 y sobran 3.
Ing. Miguel Ángel Durán Jacobo
1
37
24
63
El resultado es:
63(8
32
Introducción a los sistemas de numeración
Ejemplo 2: Realice la siguiente operación: (746 + 157 + 567)(8.
2
746
157 6 +7 + 7 es “20” = 20/8 = 2 y sobran 4. O bien: 2 x 8 + 4
567
4
22
746
157 2 + 4 + 5 + 6 es “17” = 17/8 = 2 y sobran 1. O bien: 2 x 8 + 1
567
14
122
746
157 2 + 7 + 1 + 5 es “15” = 15/8 = 1 y sobran 7. O bien: 1 x 8 + 7
567
714
122
746
157
567
1714
Adición en base 16. Veamos un ejemplo de cómo se aplica el método.
Ejemplo 1: Realice la siguiente operación: A9(16 + 89(16.
1
A9
89
A9
9 + 9 es “18” = 1 x 16 + 2; o bien, 18/16 = 1 y sobran 2.
89
2
11
A9 1 + A + 8 es “19” = 1 x 16 + 3; o bien 18/16 = 1 y sobran 3.
89
32
11
A9
89
132
Ing. Miguel Ángel Durán Jacobo
33
Introducción a los sistemas de numeración
Ejemplo 2: Realice la siguiente operación: (B3E + 127 + 1F3)(16.
1
B3E
127 E +7 + 3 es “24” = 24/16 = 1 y sobran 8. O bien: 1 x 16 + 8
1F3
8
1
B3E
127 1 +3 + 2 + F es “21” = 24/16 = 1 y sobran 5. O bien: 1 x 16 + 5
1F3
58
11
B3E
127 1 +3 + 2 + F es “21” = 24/16 = 1 y sobran 5. O bien: 1 x 16 + 5
1F3
58
11
B3E
127 1 +B + 1 + 1 es “14” = E
1F3
E58
SUSTRACCIÓN EN LOS DIFERENTES SISTEMAS DE NUMERACIÓN
Podemos restar números en diferentes bases esencialmente del mismo modo que en base 10.
Sustracción en base 10. Veamos un ejemplo para comprender cómo se aplica este método.
Ejemplo 1: Realice la operación 947 – 263(10.
947
263
Restamos primero 3 de 7 y
obtenemos 4
10
947
263
4
947
263
4
Ahora tratamos de restar 6 de 4. Sin
embargo, como 6 es mayor que 4,
“quitamos 1” al 9. Puesto que el 9
está en la primera columna a la
izquierda de la del 4, el 1 quitado
equivale en realidad a pasar 10 para
la columna del 4. Por otra parte, el 9
se reduce a 8.
10
Restamos 6 de (10 + 4) y
obtenemos 8
Ing. Miguel Ángel Durán Jacobo
947
263
84
Finalmente, restamos 2 de 8.
34
Introducción a los sistemas de numeración
10
947
263
684
Podemos verificar el resultado, 684,
sumándolo a 263 para obtener 947.
684
263
947
Sustracción en base 8. Veamos un ejemplo para comprender cómo se aplica este método.
Ejemplo 1: Realice la operación (63 – 47)(8.
63
47
8
No podemos restar 7 de 3, de modo
que “quitamos 1” del 6. El 1 quitado
equivale a pasar 8 en la columna
que contiene al 3, puesto que
estamos calculando en base 8. Al
mismo tiempo, el 6 se reduce a 5.
A continuación, restamos 4 de 5
63
47
4
8
63
47
4
Restamos 7 de (8 + 3) y obtenemos 4
8
63
47
14
Restamos 7 de (8 + 3) y obtenemos 4
La resta en otras bases se realiza en forma similar. En base 2, cada 1 quitado equivale a 2.
En base 16, cada 1 quitado equivale a 16.
MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN EN LOS DIFERENTES SISTEMAS DE NUMERACIÓN
La multiplicación de números es, en todos los caso, similar a la multiplicación en base 10.
Multiplicación en base 10. Veamos un ejemplo para comprender cómo se aplica este método.
Ejemplo 1: Realice la operación 425 x 381(10.
425
381
425
3400
1275
161925
La multiplicación en base 10 nos resulta sencilla porque sabemos de memoria la tabla de
multiplicar correspondiente a los dígitos de 0 a 9.
Ing. Miguel Ángel Durán Jacobo
35
Introducción a los sistemas de numeración
X
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
2
10
12
14
16
18
0
2
4
6
8
3
12
15
18
21
24
27
0
3
6
9
4
12
16
20
24
28
32
36
0
4
8
5
10
15
20
25
30
35
40
45
0
5
6
12
18
24
30
36
42
48
54
0
6
7
14
21
28
35
42
49
56
63
0
7
8
16
24
32
40
48
56
64
72
0
8
9
18
27
36
45
54
63
72
81
0
9
Observe que los dígitos en negrita representan en cada caso el “arrastre” o “acarreo” si lo hay.
En base 2, la tabla de multiplicación es:
X 0
0 0
1 0
1
0
1
(no hay
transportes)
Ejemplo 1: Multiplicación en base 2
1011
1101
1011
1101
1011
1101
1011
1101
1011
1101
1011
1011
0000
1011
0000
1011
1011
0000
1011
1011
1011
0000
1011
1011
10001111
La tabla siguiente indica los resultados de la multiplicación de dígitos de base 8. También en
este caso, los arrastres o acarreos están indicados en negrita.
X
0
1
2
3
4
5
6
7
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
1
2
3
4
5
6
7
2
0
2
4
6
10
12
14
16
3
0
3
6
11
14
17
22
25
4
0
4
10
14
20
24
30
34
5
0
5
12
17
24
31
36
43
6
0
6
14
22
30
36
44
52
7
0
7
16
25
34
43
52
61
Para aclarar esta tabla, veamos por qué 5 x 7 = 43. En efecto, 5 x 7 = (35)10, pero aplicando
las reglas de conversión ya conocidas se tiene que 3510 = 438, pues en 3510 caben cuatro ochos
y sobran todavía tres unidades.
Ing. Miguel Ángel Durán Jacobo
36
Introducción a los sistemas de numeración
Ejemplo 2: Multiplicación en base 8 con ayuda de la tabla anterior.
45
73
45
73
3 x 5 = 17
45
73
157
3 x 4 = 14 a esto le sumamos
1 que “llevamos” = 15
1
7
45
73
157
7 x 5 = 43
45
73
157
7 x 4 = 34
4
4
3
7 x 4 = 34 a esto le sumamos 4 que “llevamos”
= 38, es decir, 30 + “8” (8 = 10), entonces
34 + 4 = 40
343
45
73
157
403
4207
La tabla dada a continuación refleja los resultados de multiplicar dígitos en base 16. Los
dígitos de la izquierda, como antes, indican los arrastres.
X
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F
0
1
0
0
0
2
0
3
0
4
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F
0
2
4
6
8
A
C
E
10
12
14
16
18
1A
1C
1E
0
3
6
9
C
F
12
15
18
1B
1E
21
24
27
2A
2D
0
4
8
C
10
14
18
1C
20
24
28
2C
30
34
38
3C
0
5
A
F
14
19
1E
23
28
2D
32
37
3C
41
46
4B
0
6
C
12
18
1E
24
2A
30
36
3C
42
48
4E
54
5A
0
7
E
15
1C
23
2A
31
38
3F
46
4D
54
5B
62
69
0
8
10
18
20
28
30
38
40
48
50
58
60
68
70
78
0
9
12
1B
24
2D
36
3F
48
51
5A
63
6C
75
7E
87
0
A
14
1E
28
32
3C
46
50
5A
64
6E
78
82
8C
96
0
B
16
21
2C
37
42
4D
58
63
6E
79
84
8F
9A
A5
0
C
18
24
30
3C
48
54
60
6C
78
84
90
9C
A8
B4
0
D
1A
27
34
41
4E
5B
68
75
82
8F
9C
A9
B6
C3
0
E
1C
2A
38
46
54
62
70
7E
8C
9A
A8
B6
C4
D2
0
F
1E
2D
3C
4B
5A
69
78
87
96
A5
B4
C3
D2
E1
Ing. Miguel Ángel Durán Jacobo
5
0
6
0
7
0
8
0
9
0
A
B
C
D
E
F
0
0
0
0
0
0
37
Introducción a los sistemas de numeración
Ejemplo 2: Multiplicación en base 16 con ayuda de la tabla anterior.
A3
94
A3
94
28C
4x3=C
9 x 3 = 1B
A3
94
C
A3
94
28C
1
A3
94
28C
4 x A = 28
9 x A = 5A;
5A + 1 = 5B
B
A3
94
28C
5BB
5E3C
Cuestionario:
a) Los doce primeros números en base 10 son 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12. ¿Cuáles
son los doce primeros números en base 3’ ¿En base 5? ¿En base 4?
b) ¿En qué bases de las anteriores es inaceptable el número 12305?
Ejercicios propuestos:
Realice las conversiones indicadas a continuación:
1. 11002 a base 10
11. 5010 a base 8
2. 100112 a base 10
12. 9910 a base 8
3. 110102 a base 10
13. AB16 a base 10
4. 1510 a base 2
14. F916 a base 10
5. 3310 a base 2
15. 13C16 a base 10
6. 8710 a base 2
16. 3810 a base 16
7. 178 a base 10
17. 9610 a base 16
8. 548 a base 10
18. 20810 a base 16
9. 778 a base 10
19. 13910 a base 2
10. 2910 a base 8
20. 13910 a base 8
Ing. Miguel Ángel Durán Jacobo
38
Unidad 1.- Sistemas de numeración
Realice las siguientes adiciones en las bases indicadas.
Base 2.
a) 101 + 111
b) 1011 + 1111
c) 111 + 1011
d) 10011 + 1100 + 10001
Base 8.
a) 73 + 6
b) 347 + 450
c) 54 + 36 + 21
d) 103 + 235 + 777 + 111
Base 16.
a) 89 + 25
b) AB + CD
c) 1DF + AB8
d) 5DE + F72 + 123
Realice las siguientes multiplicaciones en las bases indicadas.
Base 2.
a) 101 x 101
b) 1110 x 1001
c) 111 x 1010
d) 1011 x 1000
Base 8.
a) 16 x 24
b) 73 x 37
c) 145 x 65
d) 235 x 437
Base 16.
a) 45 x 21
b) A7 x D8
c) CB x 3E
d) 18F x 68A
Ing. Miguel Ángel Durán J.
39