00214

Memorias II Congreso Latinoamericano de Ingeniería Biomédica, Habana 2001, Mayo 23 al 25, 2001, La Habana, Cuba
METODOLOGÍA PARA EL DISEÑO DE UN IMÁN RESISTIVO
PARA RESONANCIA MAGNÉTICA DE IMÁGENES
Héctor Sánchez López, Carlos Garrido Salmon, Carlos Cabal Mirabal
Centro de Biofísica Médica
Patricio Lumumba s/n,Universidad de Oriente,Santiago de Cuba 90500. Cuba,E-Mail: hsanchez@cbm.uo.edu.cu
RESUMEN
Se describe una metodología para el diseño de un imán
resistivo para una máquina de Resonancia Magnética de
Imágenes. Partiendo de la inversión de la corriente,
asociando a cada parámetro una función fuzzy y aplicando
un algoritmo de optimización estocástico se determina las
dimensiones geométricas y posiciones de los enrollados de
un imán para generar un campo magnético uniforme en
una región de interés. Se estudia la competencia entre los
parámetros y se selecciona la función objetivo más
conveniente para el diseño del imán. Se analiza la
estabilidad de las soluciones. El imán obtenido genera 0.1
Tesla y produce una homogeneidad de 70 ppm en 40 dvs.
La metodología permite obtener un imán compacto y
eficiente. Detalles de la metodología, así como la discusión
de los resultados se presentan en el trabajo.
Palabras clave: imán resistivo, optimización, método
inverso.
1. INTRODUCCIÓN
En los experimentos de Resonancia Magnética de Imágenes
(RMI) es necesario la presencia de un campo magnético
estable y uniforme (algunas partes por millón ppm en un
volumen equivalente a la muestra en estudio). También
otros requerimientos eléctricos y mecánicos se tienen que
tomar en consideración para obtener un buen diseño del
dispositivo magnético [1]. Alta homogeneidad, alta
eficiencia, bajo campo magnético asociado al imán, amplio
acceso libre a la zona del experimento, bajo costo y baja
pérdida resistiva son algunos de los parámetros que
caracterizan una configuración aceptable.
Diseñar un imán resistivo para RMI es una tarea
complicada, en la cual se trata de satisfacer todos los
objetivos simultáneamente. La satisfacción de un parámetro
influye en el detrimento de otro pudiendo ser incluso
mutuamente exclusivos [2]. Entonces, la tarea consiste en
buscar las dimensiones geométricas óptimas del sistema de
bobinas de forma tal que el campo generado sea
homogéneo y al mismo tiempo cumpla con los
requerimientos eléctricos y mecánicos.
Diversas iniciativas se han presentado para resolver este
problema. Los primeros intentos fueron realizados por
Garret [3]. En 1990 Lugansky utilizó optimización no
lineal para encontrar un conjunto de N bobinas que
minimiza el Error Cuadrático Medio (ECM) del campo
magnético en la Región de Interés (RI) pero este
procedimiento no incluye la optimización de los parámetros
eléctricos y mecánicos del imán [4]. Otra variante ha sido
emplear Target Field, donde el diseño es obtenido a partir
de la especificación del campo magnético deseado dentro
de una RI, sin embargo en esta aproximación se obtiene una
geometría fija de la bobina y no permite optimizar los
radios y las posiciones [5]. Pissaneztky introdujo un
método que minimizando el ECM del campo bajo fuertes
restricciones a la corriente obtiene dentro de un mismo
enrollado un conjunto de espiras con corrientes similares
[6]. Aunque es un método poderoso incluye un alto costo
del sistema debido a la cancelación del campo producto al
cambio de dirección de las corrientes. Recientemente otros
autores han utilizado para el diseño de estos dispositivos
algoritmos numéricos de optimización estocásticos [7]. Los
objetivos se expresan a través de la suma sopesada de cada
uno de los parámetros a optimizar sin realizar un análisis
previo de la competencia entre ellos [7]. La selección
correcta del parámetro de sopesamiento, es una tarea difícil
la cual está en dependencia de la experiencia del diseñador
[8].
En este trabajo se propone un procedimiento para optimizar
un imán resistivo para RMI. Partiendo de la solución del
método inverso se encuentran las posiciones iniciales de las
bobinas, las cuales son introducidas al algoritmo de
optimización estocástico como aproximación inicial. Se
realizan tres etapas de diseño hasta llegar a la configuración
real donde son convertidas el número de vueltas reales en
entero. Utilizando lógica fuzzy cada uno de los parámetros
es normalizado y asociado a una función de pertenencia [2].
Se utilizan varias funciones objetivos para realizar un
estudio de la influencia de cada uno de los parámetros y
seleccionar la idónea para el diseño del imán. Se realiza un
análisis de la estabilidad de las soluciones. Este método
permite obtener un electroimán compacto y eficiente que
genera 0.1 Tesla con una homogeneidad pico-pico de 70
ppm en 40 dvs.
2. METODOLOGÍA
La figura 1, muestra la geometría a utilizar en nuestro
trabajo. La componente axial de la densidad de flujo
magnético producido por un solenoide en la RI, expresada
en coordenadas esféricas viene dada por:
∞
B z (r , θ ) = ∑ C n ⋅ r n ⋅ Pn (cos θ )
(1)
n =0
donde Cn son las amplitudes de los armónicos zonales y Pn
son funciones de Legendre de orden n. Por razones de
simetría los armónicos de orden impar se anulan, al
disponer los ciclos con corrientes simétricas.
Una condición suficiente para la generación de un campo
magnético homogéneo es que los coeficientes Cn sean cero.
Por esta razón, el proceso de diseño teórico está centrado en
minimizar o anular la mayor cantidad de armónicos zonales
que están asociado al comportamiento espacial en la
expansión.
950-7132-57-5 (c) 2001, Sociedad Cubana de Bioingeniería, artículo 00214
r
...
1k
I2
a1
...
IK
Ik
a2
ak
RI
El problema se plantea de la siguiente manera:
min F(x)
aK
(4)
x ∈ℜn
z
zk
Fig.1. Nomenclatura de K ciclos con corrientes simétricas. La RI se
muestra con líneas discontinuas y es un región libre de fuentes de
corriente.
A. Metodología de diseño del imán.
El primer paso que se propone en este trabajo es obtener, a
través del método de la seudo-inversión matricial
presentado en [9], la cantidad, posición y corriente de los
ciclos de corriente para generar el campo magnético
deseado. Para este fin se sitúan a un radio ak un conjunto de
bobinas K, (fig. 1) de forma tal que cubran la posible
longitud total del imán. Típicamente usamos de 50-100
ciclos para asegurar una resolución espacial adecuada. El
campo generado por cada uno de estos ciclos se calcula a
partir de la ley de Biot-Savart [1]. El campo homogéneo se
especifica en puntos sobre la superficie de la RI. La
localización exacta de estos puntos depende de los ceros del
polinomio de orden equivalente al orden de compensación
del campo [10].
El campo magnético generado por un conjunto de ciclos de
corriente puede expresarse de forma matricial como:
(2)
B = G ⋅I
invirtiendo se obtiene
I = G+ ⋅B
(3)
donde en B se encuentra el campo magnético producido en
el punto target m, en Gmn es el campo por unidad de
corriente producido en el punto m por la bobina k y el
vector I es la corriente en cada ciclo. La matriz G es
pobremente condicionada debido a que el campo producido
por los ciclos adyacentes es muy similar. La solución a este
problema fue propuesta por Hoult aplicando una seudoinversión para obtener configuraciones con mínima
potencia disipada [9].
Una vez determinada la corriente de cada ciclo, se obtiene a
través del número de oscilaciones de I, el número de
bobinas necesarias para el sistema [11]. Luego se determina
la posición de los ciclos asumiendo una corriente constante.
En el segundo paso se procede a formar los bloques
constituidos por conductores de corriente con dimensión
axial y radial finita. Debido a la discretización de la
corriente obtenida y la conversión del caso ideal (ciclo de
corriente) a la formación de los bloques, es preciso un
proceso de reajuste de los parámetros de campo, eléctricos
y mecánicos.
El proceso de reajuste consiste en buscar las dimensiones y
posiciones reales del sistema de bobinas determinado en el
paso anterior de manera tal que los parámetros generados
por el nuevo imán sean, al menos, similares a los del caso
ideal determinados. Este proceso es necesario realizarlo
hasta tres veces durante el proceso de diseño para obtener
un imán con un número de vueltas axiales y radiales enteros
[12].
donde x son las variables libres del sistema. En este trabajo
se asumen las dimensiones axiales y radiales y las
posiciones axiales y radiales de cada bobina como
parámetro libre. En F se encuentran los distintos objetivos a
optimizar. En este trabajo f1=(Co-Co target), expresa la
generación de una intensidad de campo magnético
específica
f3 =
de
magnitud
Co
target;
f2 =
C 2 ⋅b 2
,
Co
C 4 ⋅b 4
C 6 ⋅b 6
, f4 =
La minización de la amplitud
Co
Co
de los armónicos zonales del orden dos hasta el seis,
significa que la homogeneidad que se desea es la de octavo
orden de compensación, como se definió en el paso de
inversión, b es el radio de la RI.
f 5 = 1η , se define a η
como la eficiencia del sistema, la cual está dada como la
razón entre
η = Bo
W
, donde Bo es el campo constante
generado por el imán y W es la potencia resistiva liberada
por el sistema. f 6 = Hpp es la homogeneidad pico a pico
calculada en los puntos target definidos sobre la superficie
de la RI. Hpp se define como:
∆B z
∆B z
(5)
) − min (
)
Bo
Bo
∆B z
B ( r , z ) − Bo
donde
, es la homogeneidad
= z
Bo
Bo
Hpp = max (
relativa al centro del imán calculada en la superficie de la
RI. Para el estudio de la función objetivos se incluye el
armónico correspondiente al orden de compensación, en
este caso f 7 =
C 8 ⋅b 8
.
Co
Algunos de los objetivos a minimizar están a diferentes
escalas y para llegar a un compromiso óptimo entre todos
hay que tratarlos de optimizar con la misma importancia.
El concepto de conjunto fuzzy fue introducido por Zadeh
[13] donde un planteamiento puede ser, simultáneamente,
parcialmente verdadero o falso. En un conjunto fuzzy una
Función de Pertenencia (FP) µ reporta el grado de
veracidad de cada planteamiento, desde un rango µ=0, que
indica planteamiento falso, hasta µ=1, que indica
planteamiento verdadero. En lógica fuzzy los valores
intermedios de µ son tomados en cuenta e indican el
cumplimiento parcial del planteamiento.
Si asociamos una FP µ ( f) a cada objetivo f permitirá
conocer el grado de satisfacción de cada objetivo
normalizado a través de µ [2].
El objetivo f5, f6 y f7 no se ven los subindices fueron asociados por
separado a funciones en forma de “Z”. En el caso del
objetivo f5 la FP µ( f5) será máxima (µ( f5)=1) cuando la
potencia liberada sea mínima y el campo Bo sea máximo.
La FP µ( f1) será igual a 1 cuando el Co de la configuración


 C2 ⋅ a2   C4 ⋅ a4 
, µ3
,
µ1(C0 ), µ2 

 C0   C0 


OF = 1− min
(6)
6
8 






C
a
1
C
a
⋅
⋅
6
8
µ4 

, µ  , µ (ppH), µ7 
  C0  5 η  6
C
 0 
De esta manera el problema de optimización vectorial es
convertido en escalar y puede ser resuelto a través de un
procedimiento escalar de optimización. El problema
consiste en buscar la configuración que produce el menor
valor de OF.
B. Algoritmo estocástico evolución diferencial
Los algoritmos estocásticos han cobrado un importante
auge en la última década. Las nuevas soluciones
presentadas en la literatura [7] se debe a que estos
procedimientos han explorado regiones de posibles
soluciones ignoradas por los algoritmos deterministas. Los
paradigmas de búsquedas del mínimo global de estos
algoritmos se basan en simular procesos naturales
relacionados con la evolución de las especies o un proceso
termodinámico como el temple de metales [14]. La
desventaja de estos algoritmos radica en el alto número de
evaluaciones de la FO que necesitan para arribar al óptimo.
Otra posible desventaja es que estos procedimientos
necesitan una sintonización previa con el problema que se
enfrenta, y es necesario el conocimiento al detalle de la
filosofía de trabajo del método. En este artículo se
seleccionó el algoritmo Evolución Diferencial (ED), creado
por Storm y Price en 1996 [15]. Este algoritmo, de pocos
parámetros y fácil de sintonización, consiste en generar un
nuevo vector de parámetros por la adición de la diferencia
sopesada de dos vectores de poblaciones a un tercer vector.
Si el vector resultante produce un valor de FO más bajo que
el producido por miembro de la población predeterminado,
el nuevo vector generado reemplaza al vector con el cual
fue comparado; en caso contrario el vector viejo es
mantenido. Tres parámetros son fundamentales para
controlar el método: probabilidad de cruzamiento (CR),
ancho de paso (F) y el tamaño de la población (S). En este
trabajo se asumió F=0.8, CR=0.9 y S=10*NV, donde NV es
el número de variables libres.
Los procedimientos y los cálculos fueron implementados
en MatLab 5.3 en una PC Dual-Pentium a 233 MHz.
3. RESULTADOS
Se aplicó la metodología con el fin de obtener un imán
resistivo de bajo campo (0.1 Tesla) para RMI con una
homogeneidad pico a pico en la RI menor de 80 ppm en una
esfera centrada en el origen de 0.4 m de diámetro. El
mínimo acceso libre a la RI fue fijado a 0.8 m. Como
restricción se tiene que las dimensiones del alambre están
predefinidas (0.025 m x 0.0013 m) y la fuente de corriente
genera 150 A a 150 V, por lo tanto la resistencia total del
electroimán, para el régimen de trabajo, tiene que ser menor
o igual a 1 ohm.
Para asegurar el acceso libre a la RI se extendió sobre un
cilindro de radio a=0.45 m 100 ciclos de corrientes
simétricas igualmente espaciados desde –0.65 m hasta 0.65
m. Los puntos targets, fueron situados en los ceros de la
función de Legendre de octavo orden y mapeados en un
semicírculo de radio b=0.2 m en el plano z-r. La figura 3,
muestra la distribución de corriente necesaria para generar
un campo homogéneo de 0.1 Tesla. Como se muestra en la
figura, la solución de la corriente tiene cuatro oscilaciones
que corresponde al número de bobinas a seleccionar. A una
corriente constante las posiciones de estos ciclos son
z1=±0.1801 m y z1=±0.5278 m. Estas posiciones y la
corriente correspondiente son utilizadas para formar los
enrollados de dimensión axial y radial finita.
Una cuestión importante en el proceso de diseño de un
dispositivo magnético es la correcta selección de la FO,
pues en cierto grado determina la calidad de la
configuración final. Para realizar la selección óptima de la
FO y estudiar la competencia y relación entre los objetivos
fueron seleccionadas varias combinaciones de los objetivos
de F. En la tabla I aparecen los resultados correspondientes
a cada FO.
1400
1200
1000
Corriente
en proceso de diseño sea igual a Co target. La FP µ( f6) será
máxima cuando la magnitud Hpp sea igual a cero.
El procedimiento genera un valor fuzzy global de la función
objetivo FO dado por:
800
600
400
200
0
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
Posición Axial Z/m
0.4
0.6
Fig.3. En línea continua se muestra la corriente necesitada en 100
bobinas de radio 0.45 m para generar un campo magnético homogéneo en
una esfera de radio 0.2 m centrada en el origen. Con marcas X se
muestran las posiciones iniciales de las bobinas para obtener el imán real.
Tabla I
Resultados de las FO correspondiente a cada diseño
FOn
Co
C2
C4
C6 C8 ppm Hpp
η
mT/m
FO1
FO2
FO3
FO4
FO5
FO6
ppm
ppm
ppm
0.705 3.80 11.8
0.701 3.70 9.2
0.700 6.70 1.0
0.701 30.3 3.2
0.702 26.4 1.5
0.712 -0.30 0.3
39.7
33.2
33.2
0.20
0.10
0.00
-101.3
-80.3
-82.1
-71.3
-59.1
-58.2
ppm
mT/A·
Ω-1/2
60.1
61.8
67.9
83.9
71.3
70.0
0.715
0.714
0.714
0.714
0.714
0.718
Los objetivos que están sombreados fueron incluidos en la FO. Ejemplo:

 C ⋅ a8 

OF1 = 1 − minµ1 (C0 ), µ6 (ppH), µ7  8

 C0 
Para analizar la estabilidad a errores de construcción de
cada una de las soluciones presentadas en la Tabla I, se
sometió cada configuración a 500 errores estocásticos sobre
cada grado de libertad. El rango de variación de cada error
está en el orden de la tolerancia de las máquinas de
construcción del imán, este se asumió de ±1 mm. El
parámetro a medir fue la homogeneidad pico a pico. En la
tabla II se presenta el error medio de la Hpp perturbada
respecto a la generada sin perturbación.
Tabla II
Error medio de cada configuración perturbada en ppm.
FO1
FO2
FO3
FO4
FO5
FO6
FOn
Error
1.686 1.669 1.662 1.451 2.444 1.010
muy sensible a las variaciones de las variables libres, esto se
evidencia en la FO5. La configuración más estable es la
determinada por la FO6.
Del análisis de las configuraciones obtenidas con las
distintas FO se concluye que la óptima para diseñar nuestro
sistema es la FO6. En la figura 4, se muestra un esquema del
imán obtenido con la FO6, es de notar la similitud entre las
posiciones iniciales obtenidas y las posiciones finales del
diseño.
5. CONCLUSIONES
4. DISCUSIÓN
1.
El comportamiento mostrado en la figura 3 de la corriente
está ausente de oscilaciones bruscas y de cambios de signos.
Esto se debe a que la longitud del imán se escogió 3 veces
mayor que el diámetro de la RI, además el campo
homogéneo fue especificado según los ceros del polinomio
que definen el orden de compensación que en nuestro caso
es el octavo.
La tabla I, muestra la influencia de cada uno de los
armónicos en la homogeneidad total del sistema
evidenciándose una notable contribución del coeficiente de
orden ocho. Esto demuestra el orden de compensación del
campo generado por el imán.
r/m
W1
2.
3.
4.
REFERENCIAS
W2
[1]
0.652
H2
H1
0.400
Ri1
[2]
Ri2
[3]
RI
[4]
0.175
0.567
El método de inversión disminuye la influencia de la
experiencia del diseñador en la selección de los valores
iniciales de las variables libres facilitando la selección
correcta del mínimo global.
La introducción del objetivo Hpp compite con la
minimización de los armónicos. Es recomendable
disminuir la homogeneidad pico-pico a través de la
minimización del armónico C8.
La FO más conveniente para el diseño es la FO6, pues
es donde ha sido disminuida la competencia entre los
objetivos. La ausencia del parámetro Hpp en esta
función permite generar una configuración estable.
Se obtuvo un imán compacto que genera 0.1 Tesla y
produce una homogeneidad de 70 ppm en 40 dvs,
evidenciando la validez de la metodología propuesta.
0.655
z/m
Fig.4. Un cuarto de la sección transversal del electroimán diseñado con la
FO6. De forma esquemática se representa el paciente dentro del imán. Se
muestran los grados de libertad considerados en este trabajo.
La inclusión del objetivo Hpp genera configuraciones con
armónicos compensados, como se observa en la FO1 de la
tabla I. La compensación no implica minimización del
armónico. Desde FO1 (60.1 ppm) hasta FO4 (83.9 ppm) el
objetivo Hpp aumenta debido a que la posibilidad de
compensar armónicos disminuye a medida que se
incorporan como objetivos a minimizar. En el caso de FO5
su disminución (71.3 ppm) se debe a que se ha incluido
además del Hpp la amplitud del C8 que en nuestro caso
determina la amplitud de la homogeneidad pico-pico. En
esta FO se produce una fuerte competencia al minimizar la
amplitud de los armónicos y al incluir el objetivo Hpp, esto
influye de manera negativa en velocidad de convergencia
del algoritmo.
La eficiencia obtenida en los diferentes diseños es my
similar sugiriendo una cota máxima impuesta por los
requerimientos del sistema.
El uso de la homogeneidad como objetivo conspira contra
la estabilidad del sistema al provocar este objetivo una
combinación entre los diferentes valores de los coeficientes
[5]
[6]
[7]
[8]
[9]
[10]
[11]
[12]
[13]
[14]
[15]
H. Saint-Jalmes & J. Taquin , “Optimization of homogeneous
electromagnetic coil systems: Application to whole-body NMR
imaging Magnets”, Rev. Sci. Instrum., Vol. 52, no.10, pp.15011508, 1981.
M. Chiampi, C. Ragusa and M. Repetto, ”Fuzzy Approach for
Multiobjective Optimization in Magnetics,” IEEE Trasn. Magn,
vol 32, pp 1234-1237, 1996.
M. W. Garrett, “Thick cylindrical coil systems for strong magnetic
fields with field or gradient homogeneities of the 6th to 20th order,”
J. Appl. Phys., vol. 38, no. 6, pp. 2563-2586, May 1967.
Lugansky L.,”On optimal synthesis of magnetic fields,” Meas Sci.
Technol, no.1, pp. 53-58, 1990.
R. Turner, “A target field approach to optimal coil design,” J.
Phys. D.,vol. 19, no. 8, pp. 147-151, 1986.
S. Pissanetzky, “Structured coils for NMR applications,” IEEE
Trans. Magn., vol. 28, pp.1961-1968, 1992.
S. Crozier and D. M Doddrell, “Compact MRI Magnet Design by
Stochastic Optimization,” J. Magn. Reson, vol 127, pp. 233-237,
1997
H.Sánchez, “Diseño Mejorado de Bobinas de Gradientes
Transversales para las Máquinas de Imágenes por RM Giroimag ”
Rev, Mex. Física.,vol. 44, 470-472, 1998.
D. I. Hoult & R. Deslauriers, “Accurated shim-coil design and
magnetic field profiling by a power-minimization-matrix
method,” J. Mag. Reson.,vol. 108, no. 1, pp. 9-20, 1994.
P. N. Morgan, S. Conolly, & A. Macovski, “Resistive
homogeneous MRI magnet design by matrix subset selection,”
Magn. Reson. Med., vol. 41, no.6, pp. 1221-1229, 1999.
H. Zhao, S. Crozier, & D. Dodrell, “Asymmetric MRI Magnet
design using a hybrid numerical method,” J. Mag. Reson.,vol.
141, pp. 340-346, 1999.
H. Sanchez & C Garrido “Multiobjective resistive magnet
optimization using the differential evolution algorithm”, digest, 6th
International workshop on OIPE, pp. 71, 2000.
Zadeh. L. A, “Fuzzy sets,” Information and Control, vol. 8, pp.
338-353, 1965
P.G. Alotto et all, “Stochastic algorithms in Electromagnetics
optimization,” IEEE Trans. Magn., vol. 34, pp.3674-3684, 1998.
R. Storn and K Price, “Minimizing the Real Functions of the ICEC
96 Contest by Differential Evolution”, Proceeding of The
International Conference on Evolutionary Computation, Nagoya,
Japon , 1996.
METHODOLOGY FOR DESIGNING A RESISTIVE MAGNET FOR
MAGNETIC RESONANCE IMAGING
ABSTRACT
A methodology for designing a resistive magnet for Magnetic Resonance Imaging machine is described. From the current
inversion, associating a membership function to each parameter and applying a stochastic optimization algorithm, we obtain
the geometrical dimension and position of four coils in order to produce uniform magnetic field. We study the competition
among parameters and we select the optimum objective function for magnet design. Are analyzed the stability of the
solutions. The obtained magnet produce a magnetic field of 0.1 Tesla and generate a homogeneity of 70 ppm in 40 dvs. The
methodology is useful to obtain an efficient and compact magnet. Details of the procedure and the discussion of the results
are presented in the work.