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9
GEOMETRÍA
Rectas y ángulos
Los elementos geométricos en el arte
Muchos escultores (Chillida, Oteiza, Calder...) han utilizado y utilizan elementos geométricos básicos, como las
rectas y los ángulos, en sus composiciones.
Observa la obra Cerillas (1992), de Claes Oldenburg.
Este escultor sueco es uno de los pioneros del Pop Art.
Es conocido sobre todo por sus instalaciones de arte público que representan réplicas a gran escala de objetos
cotidianos.
CONTENIDOS
1. Elementos básicos de la geometría
2. Ángulos
3. Construcciones geométricas con ordenador
Cre@ctividad
Confección de un resumen
Rutina de pensamiento
TITULAR
Entra en esta página y observa sus imágenes:
http://links.edebe.com/tmqa
• Escribe un titular que capte el aspecto más importante de su contenido.
• Poned en común.
• ¿Cambiarías tu titular tras la puesta en común?
196
197
Representación de
rectas y planos
Las rectas y los planos son
ilimitados, por lo que solamente podemos representar una
parte de ellos.
1. Elementos básicos de la geometría
Los tres elementos básicos de la geometría son los puntos, las rectas y los
planos.
1.1. Punto. Recta. Plano
Los puntos permiten representar una posición en el espacio.
A
B
Los puntos se representan con dos pequeños trazos que se cruzan o con un
círculo pequeño y los simbolizaremos con letras mayúsculas (A, B, C...).
Determinación
de una recta
Por un punto pasan infinitas
rectas.
Un punto es un elemento geométrico que identifica una posición en el
espacio.
A
Podemos unir dos puntos mediante una recta.
r
Por dos puntos solo pasa una
recta.
A
B
r
Entonces, una recta queda determinada por dos puntos.
Las rectas se representan mediante una línea recta y las simbolizaremos con letras minúsculas (r, s, t...).
Una recta es una sucesión infinita de puntos situados en una misma dirección.
Los puntos y las rectas quedan contenidos en planos.
Determinación
de un plano
Un plano queda definido por los
siguientes elementos geométricos:
• Tres puntos no alineados.
• Una recta y un punto exterior
a ella.
• Dos rectas paralelas.
α
Los planos se representan mediante un paralelogramo y los simbolizaremos con
letras griegas (α, β, γ...).
Un plano es un elemento geométrico que posee dos dimensiones y contiene
infinitos puntos y rectas.
• Dos rectas que se cortan.
— Después, representa dos puntos, A y B: el punto A
pertenece a la recta y el punto B pertenece al plano,
pero no a la recta.
2. Si tres o más puntos pertenecen a la misma recta, decimos que están alineados. Dibuja tres puntos alineados.
198
Unidad 9
3. Traza todas las rectas posibles que pasen por dos de los
puntos de la figura. ¿Cuántas rectas has obtenido?
D
A
B
C
Actividades
1. Representa un plano α y dibuja, a continuación, una recta r que pertenezca al plano.
1.2. Semirrecta. Segmento. Semiplano
Cualquier punto de una recta divide a esta en dos partes, denominadas semirrectas.
Semirrecta
A
Semirrecta
Origen
El punto A es el origen de las dos semirrectas.
Una semirrecta es cada una de las partes en que queda dividida una recta
por uno cualquiera de sus puntos.
Dos puntos de una recta delimitan un segmento.
Segmento AB
B
Segmentos
consecutivos
Los segmentos consecutivos
son aquellos que tienen un extremo en común.
A
Extremos
• Los puntos A y B son los extremos del segmento AB.
P
R
• Los segmentos se simbolizan con las letras mayúsculas que forman sus extremos (AB, BC...).
Q
S
Un segmento es un fragmento de recta que está comprendido entre dos
puntos, llamados extremos.
Al trazar una recta en un plano, este queda dividido en dos partes, denominadas
semiplanos.
Si los segmentos consecutivos
pertenecen a la misma recta se
denominan segmentos consecutivos alineados.
U
V
W
r
α1
X
α2
Un semiplano es cada una de las partes en que queda dividido un plano por
una cualquiera de sus rectas.
— A continuación, señala tres puntos distintos sobre otra recta y determina el número de semirrectas y de segmentos.
5. Indica con qué elemento geométrico asociarías cada uno de estos ejemplos:
a) Una calle desde una plaza hacia cualquier dirección.
b) Un tramo de calle comprendido entre las dos calles que lo cortan.
6. ¿Cuáles de estos elementos geométricos se pueden medir y cuáles no: recta, semirrecta, segmento? Justifica tu
respuesta.
Rectas y ángulos
199
Actividades
4. Dibuja una recta y señala dos puntos distintos sobre ella. ¿Cuántas semirrectas resultan? ¿Y cuántos segmentos?
1.3. Mediatriz de un segmento
Lugar geométrico
Observa la figura:
Un lugar geométrico es un
conjunto de puntos de un plano que cumplen una propiedad.
A
B
La recta perpendicular al segmento AB, denominada mediatriz, lo corta por su
punto medio y lo divide en dos partes iguales.
La mediatriz de un segmento es la recta perpendicular al segmento que
pasa por su punto medio.
También se puede definir la mediatriz a partir de la distancia de sus puntos a los
extremos del segmento.
Observa esta figura:
Mediatriz
D
A
D’
B
Fijate en que cualquiera de las líneas de la región D tiene la misma longitud que
su correspondiente en D’; es decir, todos los puntos de la mediatriz equidistan
de A y B.
La mediatriz de un segmento es el lugar geométrico de los puntos del
plano que equidistan de dos puntos fijos.
8. Dibuja un segmento de 6 cm y su mediatriz. Construye un triángulo con dos de sus vértices en los extremos del segmento, y el tercer vértice sobre la mediatriz. ¿Qué tipo de triángulo es?
200
Unidad 9
Actividades
7. Observa cómo se construye la mediatriz de un segmento en este enlace: http://links.edebe.com/8yyk. A continuación,
dibuja la mediatriz de un segmento AB que mide 4 cm y explica el proceso que has seguido para hacerlo.
1.4. Teorema de Tales
Observa estas dos rectas secantes cortadas por otras rectas paralelas:
r
C
B
A
u
A′
u′
C′
B′
s
Cada segmento delimitado en una de las secantes es proporcional al segmento
correspondiente delimitado en la otra secante.
Esta propiedad es el teorema de Tales:
Si dos rectas secantes son cortadas por un conjunto de rectas paralelas,
los segmentos determinados en una de ellas son proporcionales a los segmentos correspondientes determinados en la otra.
AB
A' B'
=
CD
C' D'
= ...
Dicho teorema permite determinar el paralelismo de dos rectas, hallar medidas
indirectas, dividir un segmento en partes proporcionales a unos segmentos dados
o bien en partes iguales...
Observa su aplicación para dividir un segmento en cinco partes iguales.
1. Dibujamos el segmento AB.
2. Dibujamos una semirrecta con origen en A. Sobre esta semirrecta
situamos consecutivos y alineados cinco segmentos de una misma ­longitud b.
Paralelismo de rectas
El teorema de Tales puede aplicarse para determinar si dos
rectas son ­paralelas o no. Observa la figura.
s
r
b
a
b
A
b
B
a’
b
b’
b
b
Si se verifica que
A
B
3. Unimos el extremo libre del último 4. Trazamos rectas paralelas al segsegmento b con el punto B.
mento anterior que pasen por los
puntos marcados en la ­semirrecta.
b
b
b
a'
b
=
b'
entonces las rectas r y s son
paralelas.
b
b
b
b
b
b
A
a
b
B
A
B
10. Las rectas r y s son paralelas. Justifica si la recta t es paralela a las rectas r y s.
Actividades
9. Divide gráficamente un segmento de longitud a = 14 cm en seis partes iguales.
3 cm
1,5 cm
m
2c
m
1c
t
s
r
Rectas y ángulos
201
2. Ángulos
Unidades de medida
de ángulos
Un ángulo se puede definir como una región del plano o como una región barrida
en un giro.
Para medir ángulos habitualmente se utiliza el grado sexagesimal.
O
B
Un grado sexagesimal es el
ángulo que obtenemos al dividir un ángulo recto en 90 partes
iguales. Se simboliza 1°.
A
Lado
Los submúltiplos del grado sexagesimal son el minuto sexagesimal (’) y el segundo
sexagesimal (’’).
Ángulo es cada una de las dos regiones en que queda dividido el plano
por dos semirrectas que tienen el mismo origen o vértice.
× 60
× 60
Grado (0)
Minuto (’)
Segundo (’’)
sexagesimal
sexagesimal
sexagesimal
: 60
Lado
Vértice
Posición
final
: 60
Los ángulos se miden con el
transportador.
A
O
Posición
inicial
Semirecta generatriz
Ángulo es la región del plano barrida al girar una semirrecta, semirrecta
generatriz, respecto de su origen desde una posición inicial hasta una
posición final.
2.1. Clasificación de los ángulos
Los ángulos pueden clasificarse según diversos criterios.
• Según la región del plano que abarcan:
ÁNGULO CONVEXO
ÁNGULO CÓNCAVO
A
Un ángulo convexo abarca una de las cuatro regiones del
plano determinadas al prolongar sus lados por el vértice.
Mide más de 0º y menos de 180º.
B
Un ángulo cóncavo abarca tres de las cuatro regiones del
plano determinadas al prolongar sus lados por el vértice.
Mide más de 180º y menos de 360º.
2
4
3
202
Unidad 9
7
5
1
6
8
Actividades
11. Clasifica estos ángulos en cóncavos y convexos:
• Según su amplitud o medida:
ÁNGULO RECTO
ÁNGULO AGUDO
ÁNGULO OBTUSO
A = 90°
Dos semirrectas perpendiculares forman un ángulo recto.
Mide 90º.
Un ángulo agudo tiene una amplitud
menor que un ángulo recto.
Un ángulo obtuso tiene mayor amplitud que un ángulo recto y menor que
uno llano.
Mide menos de 90º.
Mide más de 90º.
ÁNGULO NULO
ÁNGULO LLANO
O
ÁNGULO COMPLETO
O
O
Dos semirrectas con el mismo origen
y el mismo sentido forman un ángulo
nulo.
Dos semirrectas con el mismo origen
y sentido contrario forman un ángulo
llano.
Un ángulo completo tiene una amplitud
equivalente a cuatro ángulos rectos.
Mide 0º.
Mide 180º.
Mide 360º.
Dado un ángulo, podemos definir su ángulo complementario y su ángulo suplementario:
ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS
^
ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS
^
A + B = 90°
^
B
Dos ángulos son suplementarios si suman 180°.
Actividades
12. Clasifica estos ángulos según su amplitud:
C
D
A
Dos ángulos son complementarios si suman 90°.
^
C + D = 180°
13. Completa esta tabla en tu cuaderno:
Ángulo
Complementario
35º
70º
Suplementario
125º
50º
82º
Rectas y ángulos
203
2.2. Bisectriz de un ángulo
Fíjate en la figura:
Accede a la página
http://links.edebe.com/ihc
y efectúa las actividades que se
proponen sobre la bisectriz de
un ángulo.
La semirrecta que se origina en el vértice del ángulo, denominada bisectriz, lo
divide en dos ángulos iguales.
La bisectriz de un ángulo es la semirrecta que lo divide en dos ángulos
iguales.
La bisectriz también se puede definir a partir de la distancia de sus puntos a los
lados del ángulo.
Observa esta figura:
Bisectriz
D
D’
Las líneas de la región D tienen la misma longitud que sus correspondientes de
la región D’. Es decir, todos los puntos de la bisectriz equidistan de los lados del
ángulo.
La bisectriz de un ángulo es el lugar geométrico de los puntos del plano
que equidistan de los lados del ángulo.
15. Traza las bisectrices de los dos ángulos consecutivos de
la figura.
— ¿Qué relación existe entre estas dos bisectrices?
204
Unidad 9
Actividades
14. Observa cómo se traza la bisectriz de un ángulo en este
vídeo: http://links.edebe.com/gix. A continuación, dibuja un ángulo de 40º, traza su bisectriz y explica el proceso que has seguido para ello.
2.3. Relaciones angulares
Ángulos consecutivos
Las relaciones entre ángulos debidas a su posición comportan propiedades que
nos permiten determinar si dos ángulos son iguales o suplementarios sin necesidad de efectuar ninguna operación.
Los ángulos consecutivos son
aquellos que poseen un mismo
vértice y tienen un lado común.
Ángulos determinados por dos rectas que se cortan
En la figura se puede apreciar que al cortarse dos rectas se forman cuatro ángulos:
A
O
2
B
Lado comúm
4
^
^
Los ángulos A y B son consecutivos.
1
3
Según la posición de los ángulos con respecto a las rectas, reciben distintos
nombres:
ÁNGULOS ADYACENTES
Los ángulos adyacentes son aquellos que tienen el vértice
y un lado en común, y sus otros dos lados son semirrectas
opuestas.
ÁNGULOS OPUESTOS POR EL VÉRTICE
Los ángulos opuestos por el vértice son aquellos que comparten el vértice y los lados de uno son prolongación de los
lados del otro.
Lado comúm
B
C
A
D
D
C
O
^ ^
^ ^
^ ^
^ ^
A y D son adyacentes; por tanto, A + D = 180°.
C y D son adyacentes; por tanto, C + D = 180°.
^
^ ^
Los ángulos adyacentes son a la vez consecutivos y suplementarios, porque juntos equivalen a un ángulo llano (180°).
^
}
A = 180° − D ^ ^
A =C
^
^
C = 180° − D
C + D = 180°
^ ^
Del mismo modo se obtiene B = D.
Dos ángulos adyacentes son suplementarios.
Dos ángulos opuestos por el vértice son iguales.
Actividades
16. Observa esta figura e indica cuáles son los pares de ángulos:
a) Adyacentes
b) Opuestos por el vértice
B
C
A
D
Rectas y ángulos
205
Ángulos determinados por dos paralelas
y una secante
2
1
4
3
En la figura de la izquierda se puede observar que dos rectas paralelas cortadas
por una recta secante determinan ocho ángulos.
6
5
Estos ángulos guardan entre sí diferentes relaciones según la posición que ocupan. Los ángulos 3, 4, 5 y 6 son internos y los ángulos 1, 2, 7 y 8 son externos
respecto a las rectas paralelas.
8
7
ALTERNOS
INTERNOS
CORRESPONDIENTES
A
B
D
C
F
H
C
G
Los ángulos correspondientes son los que están
situados al mismo lado de
las paralelas y al mismo
lado de la secante.
OPUESTOS POR
EL VÉRTICE
A
D
E
ALTERNOS
EXTERNOS
E
A
B
F
B
H
G
Los ángulos alternos externos son los que están en la
parte exterior de las paralelas, a distinto lado de ellas y
a distinto lado de la secante.
Los ángulos alternos internos son los que están en la
parte interior de las paralelas, a distinto lado de ellas y
a distinto lado de la secante.
C
D
E
F
H
G
Los ángulos opuestos por
el vértice son los que están
a distinto lado de las paralelas y a distinto lado de la
secante.
Dos ángulos correspondientes, dos ángulos alternos internos, dos ángulos alternos externos y dos ángulos opuestos por el vértice son iguales.
ADYACENTES
CONJUGADOS INTERNOS
A
A
D
B
C
CONJUGADOS EXTERNOS
D
E
F
H
C
E
B
H
F
G
G
Los ángulos adyacentes son aquellos que
tienen el vértice y un lado en común, y sus
otros dos lados son semirrectas opuestas.
Los ángulos conjugados externos
son los ángulos externos a las paralelas y del mismo lado de la secante.
Los ángulos conjugados internos
son los ángulos internos a las paralelas y del mismo lado de la secante.
Dos ángulos adyacentes, dos ángulos conjugados internos y dos ángulos
conjugados externos son suplementarios.
a) Correspondientes
b) Alternos internos
c) Alternos externos
d) Opuestos por el vértice
206
Unidad 9
e) Adyacentes
f) Conjugados internos
g) Conjugados externos
18. Determina los pares de ángulos iguales. Razona tu respuesta.
C
A
D
E
B
F
Actividades
17. Observa las tablas de esta página e indica cuáles son las
parejas de ángulos:
3. Construcciones geométricas
con ordenador
Los programas de geometría dinámica, entre ellos
GeoGebra, incorporan
recursos para practicar los conceptos presentados en esta unidad; por ejemplo,
para trazar pares de ángulos y comprobar sus propiedades.
Las construcciones geométricas
se han desarrollado con el
programa GeoGebra, que
está disponible on line, con la
opción Webstart, en la página:
www.geogebra.org
Los iconos de la barra de herramientas que podemos utilizar son los siguientes:
• Para trazar los lados de los ángulos:
Segmento entre
dos puntos
Recta que pasa
por dos puntos
Semirrecta que
pasa por dos
puntos
• Para trazar ángulos:
Ángulo
Ángulo dada su
amplitud
• Para trazar puntos:
Nuevo punto
Intersección de
dos objetos
Vamos a dibujar dos pares de ángulos opuestos por el vértice.
— Trazamos un segmento AB con la herramienta
.
— A continuación, con la misma herramienta, trazamos otro segmento CD que
corte al primero.
— Con la herramienta
segmentos, E.
, trazamos el punto punto de intersección de los dos
— Con la herramienta
, trazamos los cuatro ángulos determinados por los
segmentos. Para dibujar los ángulos, debemos señalar los tres puntos, siguiendo un orden determinado: AED, BEC, CEA y DEB.
— Podemos repetir el proceso, creando nuevos pares de segmentos para comprobar que los ángulos opuestos por el vértice son iguales.
Actividades
Utiliza el programa GeoGebra para resolver las siguientes actividades:
19. Construye dos pares de ángulos opuestos por el vértice utilizando otras herramientas. Utiliza
estas opciones:
— Para trazar los lados de los ángulos: Recta que pasa por dos puntos o Semirrecta que pasa
por dos puntos.
— Para trazar los ángulos: Ángulo dada su amplitud.
— Para trazar el punto de intersección: Nuevo punto.
20. Averigua cómo se insertan imágenes en GeoGebra. Utiliza una imagen del plano de una ciudad
y, con el programa, mide algunos de los ángulos que forman las calles.
21. Traza dos rectas paralelas cortadas por una secante. Muestra el valor de los ocho ángulos formados y comprueba que
se cumplen las relaciones de igualdad y suplementariedad tratadas en la página anterior.
Rectas y ángulos
207
ACTIVIDADES RESUELTAS
C
B
A
0,75 m
En la imagen, las rectas perpendiculares a la base de la pared son
paralelas entre ellas.
Calcula la distancia entre A y B y la distancia entre B y C.
1,5 m
0,9 m
0,6 m
Compreder
En la imagen se muestran dos rectas secantes cortadas por tres
paralelas.
— ¿Entiendes el enunciado?
Conocemos las longitudes de tres de los segmentos de una de
las rectas y la longitud de un segmento de la otra.
— ¿Distingues cuáles son los datos?
— ¿Hay suficiente información?
Planificar
Podemos aplicar el teorema de Tales para resolver el problema:
Si dos rectas secantes son cortadas por un conjunto de rectas
paralelas, los segmentos determinados en una de ellas son proporcionales a los segmentos correspondientes determinados
en la otra. Es decir:
0,75 AB BC
=
=
0,6
0,9 1,5
¿Puedes utilizar alguna de las siguientes estrategias?
— Aplicar algún método geométrico.
— Construir una figura.
— Usar un teorema.
Ejecutar el plan
Ahora se trata de implementar la estrategia elegida para resolver el problema.
Escribimos las proporciones para determinar las distancias
desconocidas:
AB
0,75
→ 0,75 ⋅ 0,9 = 0,6 ⋅ AB
=
0,9
0,6
0,675
= 1,125
0,675 = 0,6 ⋅ AB → AB =
0,6
0,75
0,6
=
CD
1,5
→ 0,75 ⋅ 1,5 = 0,6 ⋅ CD
1,125 = 0,6 ⋅ CD → CD =
1,125
0,6
= 1,875
Revisar
La distancia AB es de 1,125 m y la distancia BC es de 1,875 m.
— ¿Son correctas las soluciones?
Para verificar que las soluciones son correctas, comprobamos que
se cumplen las proporciones establecidas por el teorema de Tales:
— ¿Satisfacen tus soluciones lo establecido en el problema?
0,75
0,6
r
1 cm
5 cm
;
1,125
0,9
23. Las rectas a y b son paralelas. Justifica si la recta c es
paralela a las rectas a y b.
= 1,25
;
4,5
x
m
9c
7 cm
a
Unidad 9
1,5
= 1,25
3 cm
6 cm
s
208
1,875
b
cm
c
Actividades
22. Sabiendo que las rectas que
cortan a r y s son paralelas,
determina la longitud x.
= 1,25
SÍNTESIS
ELEMENTOS BÁSICOS
DE LA GEOMETRÍA
PUNTOS
RECTAS
• Elementos geométricos
que describen una posición
en el espacio.
PLANOS
• Sucesiones infinitas de
puntos situados en una
misma dirección.
• Elementos geométricos
de dos dimensiones que
contienen infinitos puntos
y rectas.
permiten definir
SEMIRRECTAS
SEGMENTOS
podemos
trazar su
Mediatriz
podemos
trazar su
Bisectriz
permiten definir
ÁNGULOS
• Cada una de las dos regiones en que queda
dividido el plano por dos semirrectas que
tienen el mismo punto de origen o vértice.
Actividades finales
Elementos básicos de la geometría
24.
25.
a Dibuja en tu cuaderno el lugar geométrico de
los puntos equidistantes de los extremos de un segmento AB de 5 cm de longitud. ¿Qué nombre recibe
este lugar geométrico?
Verifica, en cada caso, si el punto A pertenece a
la mediatriz del segmento BC.
s
A
B
C
C
B
A
26.
a
Observa la figura y elige la opción correcta.
a) La distancia desde el punto C al punto A es menor
que la distancia desde el punto C al punto B.
b) La distancia desde el punto C al punto A es igual a
la distancia desde el punto C al punto B.
c) La distancia desde el punto C al punto A es mayor
que la distancia desde el
punto C al punto B.
C
A
B
mAB
Rectas y ángulos
209
Actividades finales
27.s Representa en tu cuaderno el lugar geométrico de
los puntos cuya distancia al punto B es mayor o igual a
la distancia al punto A.
34.d Las rectas a, b y c son paralelas. Calcula las longitudes x e y en cada caso.
ab
r
y
B
A
s
3 cm
x
en tu cuaderno
el punto que es equidistante de los
vértices del cuadrado.
A
7 cm
b
15 cm
28.s Representa
y
a
7 cm
5 cm
B
x
6 cm
c
a
b
r
3 cm
c
s
35.d Representa en tu cuaderno el punto que es equiD
29.s Considera las cuerdas AB y
distante de los vértices del triángulo y, a continuación,
dibuja el lugar geométrico de los puntos equidistantes
dicho punto y que contiene los vértices del triángulo.
C
B
CD. Representa en tu cuaderno
las mediatrices de AB y de CD.
Determina su intersección.
A
A
C
D
30.s Considera la recta r. Representa en tu cuaderno el
punto medio del segmento AB. A continuación, representa el lugar geométrico de los puntos que equidistan
de su punto medio la mitad de la longitud de AB.
B
C
Ángulos
36.a  Representa
en
tu cuaderno el lugar
geométrico de los puntos equidistantes de los
lados de este ángulo
que mide 110º.
B
A
31.s Divide gráficamente un segmento AB de 10 cm en
siete partes iguales y traza un segmento CD que mida
tres séptimas partes de la longitud de AB.
32.s Las rectas r, s y t son
paralelas. Determina la
longitud del segmento
DF.
A
B
C
D
F
33. s Las rectas a, b y c son paralelas. Halla:
b) La longitud 2 x
b
13
cm
1
x
s
210
Unidad 9
3 cm 5 cm
a
b
c
A
x
E
r
C
3 cm
2 cm
a
Describe las características de sus ángulos internos.
B
6 cm
a) La longitud x + 1
37. a Considera el trapecio isósceles ABCD.
c
2x
D
38.s Un ángulo ^
A mide 40º y su ángulo complementario
^
B mide (2x)º. Calcula el valor de x.
39.s Considera el ángulo AOB
B
que mide 76º. Sabiendo que OC
es la bisectriz del ángulo, calcula
el valor de x.
O
C
(x 3)o
cm
r
5
s
4 cm
A
10 cm
40.
s
Considera la figura siguiente y calcula el valor de x.
47.
B
ABCD es un rectángulo. Determina el ángulo formado por el lado BC y el segmento CE.
s
A
(4x 1)o
C
41.
B
30o
65o
O
A
D
C
Sabiendo que las rectas r y s son paralelas y que
^
A = 120º, calcula la amplitud del ángulo ^
B.
s
48.
A
r
E
s El triángulo ABC es equilátero y las rectas r y s
son paralelas. Clasifica el triángulo ADE según sus ángulos.
B
s
r
A
s
E
42.
s
D
Las rectas r y s son secantes. Determina el valor de x.
r
B
o
(3x 6)
30º
s
43.
C
49.
d ABCD es un trapecio, las rectas r y s son paralelas
y el segmento BC es perpendicular a las rectas r y s. Calcula el valor de x.
s Sabiendo que las rectas r y s son paralelas, calcula
la amplitud del ángulo ^
B en cada caso.
A
r
B
o
110
A 43o
o
A 135
r
B
o
(2x)
s
B
44.
r
50.
s
Determina el valor
del ángulo ^
A.
s
La semirrecta que pasa por A y B es la bisectriz del
ángulo formado por los segmentos AC y AD. Determina
el valor de x.
d
C
A
37o
12 cm
A
45.
13 cm
B
2x + 1
Las rectas r y s son paralelas. Calcula la amplitud
del ángulo ^
A.
s
r
30o
ABCD es un cuadrado y DB
es la bisectriz del ángulo formado por los lados AD y DC. Calcula el valor de x.
D
51.
A
100o
46.
s
C
D
s
E
s
(3x 6)o
A
B
D
C
El triángulo ABC es isósceles, AF es la bisectriz del
ángulo formado por los lados AB y AC de dicho triángulo, CDE es un triángulo rectángulo, las rectas que
pasan por DE y por AF son
A
paralelas y las rectas que
pasan por AE y por BD son
C
secantes. A partir de estos D
B
F
datos, determina la amplitud
del ángulo formado por los
40o
lados AB y AC del triángulo
isósceles.
E
d
Rectas y ángulos
211
Actividades finales
52.d Representa el punto en que se cortan las bisectrices del triángulo y, a continuación, representa el lugar
geométrico de los A
puntos equidistantes de dicho punto
y que es tangente a
sus lados.
C
B
Problemas
53.a En Nueva York, la Séptima Aveni-
A
da y la Novena Avenida son paralelas.
Tenemos dos edificios: el A en la Séptima y el B en la Novena. La recta que
pasa por A y por B es perpendicular a
las dos avenidas.
B
58.s Juan
había dibujado un
triángulo en una hoja de papel
pero cayó un poco de pintura
encima de una parte del triángulo como muestra la ilustración.
Juan solamente recuerda que el
punto C pertenece a la mediatriz
del segmento AB. Describe la
forma de dibujar otro triángulo
igual con estos datos.
8th
las dimensiones indicadas en la figura y expresadas en
metros.
L
9th
54.
A
N
4 cm
9
H
C
F
8
I
D
F
E
Se sabe que AGFBHC y AJEBID son prismas triangulares rectos y que ABMLJINK es un prisma cuadrangular
recto.
5 cm
4 cm
x
Determina el área del rectángulo ABDE.
en la figura quiere saber si las calles r y s son paralelas.
¿Es posible?
Calle t
Calle r
60.s Se ha colocado un
tablón de madera en la
parte superior de una escalera de dos peldaños,
tal como se observa a la
derecha.
A
25o
Determina la amplitud del ángulo ^
A.
Calle s
61.s Un dispositivo emite un rayo láser en dirección a un
56.s Se pretende perforar un
pozo para captar gas natural
que sea equidistante de las localizaciones A y B. Calca la figura en tu cuaderno y representa
en ella el lugar geométrico donde se puede perforar el pozo.
B
M
O
G
55.a Mónica tiene un mapa y con los ángulos marcados
148o
5
6
a
33o
A
59.s Un tobogán de un parque de atracciones tiene
7th
¿Cuál es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de los edificios A y B? Determínalo en el mapa.
 En una granja, un cobertizo
utilizado para proteger a los animales de la lluvia se apoya en dos
pilares y tiene la forma de la figura. Determina la distancia entre
los dos pilares.
C
mAB
B
espejo. Los ángulos del rayo incidente y del rayo reflejado
son iguales en relación con la normal; esto es, α = β.
Determina las amplitudes de α y β.
A
Yacimiento
subterráneo
de gas natural
57.s Claudia quiere dividir su bizcocho en nueve partes iguales. El bizcocho mide 30 cm de largo. Describe
cómo puede conseguirlo utilizando un
rollo de cuerda, una
regla y un cuchillo.
Normal
Dispositivo de
emisión de láser
Rayo incidente
α
β
Rayo reflejado
35o
Espejo
62.s Una cometa tiene la forma de un
A
deltoide (cuadrilátero no regular cuyos lados contiguos son iguales dos a
dos), tal como muestra la figura.
D
Los puntos A y C pertenecen a la mediatriz del segmento BD.
52 cm
40 cm
Calcula el perímetro de la cometa.
212
Unidad 9
C
25 cm
B
63.
s La figura muestra la sombra de una antena (representada por el segmento CE) en
un momento dado. Determina
la longitud de la sombra de la
antena.
E
x
D
5
B
C
Un atleta tiene un arco con una flecha en posición
de disparo como se muestra en la imagen.
A
d
El segmento AB corresponde a la
cuerda cuando no está en posición
de disparo. La flecha pertenece a la
mediatriz del segmento AB. El segmento AD mide 0,8 m y el segmento
CD mide 0,6 m cuando está en posición de disparo.
0,8 m
C
F
0,6 m
B
D
D
10
E
12
3
I
G
H
Determina la longitud de la arista FH en la proyección. Expresa el resultado con tres decimales.
B
d Yolanda estaba conduciendo su coche por la calle
Río de Janeiro y luego entró en la calle Jamaica. Determina el ángulo situado en la esquina en que cambió de
dirección.
Calle Río de Janeiro
( x2)o
24
A
C
Determina la longitud de la cuerda cuando
el atleta la pone en posición de disparo.
65.
x+1
El punto de fuga es el lugar en el cual confluyen las
proyecciones de todas las rectas paralelas a una cierta
dirección en el espacio, pero que no son paralelas al plano de la proyección.
d
La figura siguiente representa un cubo según la proyección del punto de fuga en el que las medidas están
expresadas en centímetros. Los puntos D, F y H pertenecen a la mediatriz del segmento AB.
4
A
64.
66.
o
(3x)
67.
d Un pendiente tiene la forma de un cuadrado. Una
de sus partes, el triángulo rectángulo, es de oro y la otra,
el trapecio rectángulo, es de platino.
Determina la amplitud del
ángulo formado por los segmentos AD y ED.
A
B
E
o
(4x 15)
0,8 m
Calle Jamaica
(x)o
D
C
Cre@ctividad: Confección de un resumen de relaciones angulares
Elabora un resumen sobre las propiedades de los
ángulos determinados por dos paralelas cortadas
por una secante.
Para ello:
— Utiliza un programa de edición de textos para
crear el documento en que se describen las
propiedades de los ángulos determinados en
cada caso: ángulos correspondientes, ángulos
alternos internos, ángulos alternos externos,
ángulos opuestos por el vértice, ángulos adyacentes, ángulos conjugados internos y ángulos
conjugados externos.
ÁNGULOS CONJUGADOS EXTERNOS
Los ángulos conjugados externos son los ángulos externos
a las paralelas y situados en el mismo lado de la secante. Los
pares de ángulos α y γ y β y δ son ángulos conjugados externos. Los ángulos conjugados externos son suplementarios
porque juntos forman un ángulo llano (180º).
— Utiliza un programa de representación gráfica
para dibujar los esquemas correspondientes.
— Inserta los esquemas en el documento de
texto.
Rectas y ángulos
213
Pon a prueba tus competencias
2m
1.
A
Un molino de viento tiene 8 velas con forma de triángulo equilátero de
2 m de lado. Obsérvalo en la ilustración de la derecha.
a) Determina la amplitud del ángulo α.
α
b) Determina la amplitud del ángulo β.
C
c) Sabiendo que el punto A pertenece a la bisectriz del ángulo α, determina la amplitud del ángulo formado por dicha bisectriz y el segmento AB.
45°
d) Calcula el área de una vela.
2.
Fernando está visitando varias ciudades españolas. En una de ellas tomó una fotografía del monumento a
Colón. Para poder obtener una imagen de todo el monumento, tuvo que retroceder x metros, tal y como se
muestra en la figura siguiente. La altura del monumento es la longitud del segmento CD. Los segmentos CD y
BE son paralelos.
D
35 m
a) ¿Cuántos metros retrocedió Fernando?
b) ¿Cuánto miden la base y la hipotenusa del triángulo ACD?
E
c) Calcula la altura del monumento a Colón.
60 m
A
3.
x
B
28 m
C
d) Sabiendo que los monumentos a Colón de Huelva, Madrid y Barcelona tienen una altura de 7 m, 17 m y 57 m,
respectivamente, ¿en qué ciudad tomó la fotografía Fernando?
10 m
A
Javier es aficionado a la jardinería. Su jardín de flores
está dividido en dos rectángulos, ABCD y AEFG, tal y
como se muestra en la figura:
B
15 m
E
12 m
a) Calcula el valor de x.
D
C
b) Halla la longitud del segmento BC. Expresa el resultado con un decimal.
c) Determina el valor de y.
d) Javier utiliza un compuesto orgánico para abonar sus
flores: periódicamente vierte 5 L por cada metro cuadrado de jardín. Calcula la cantidad de compuesto orgánico que utiliza para abonar todo el jardín.
214
Unidad 9
x
y
G
F
4.
Un centro comercial dispone de una escalera mecánica que une tres plantas.
a) Determina el ángulo que forma la escalera mecánica
con la planta 0.
(15x)o
Piso 2
13,7 m
10 m
Piso 1
b) Calcula la longitud de la escalera mecánica entre
las plantas 0 y 1. Expresa el resultado sin decimales.
c) Halla la altura entre las plantas 1 y 2. Presenta el
resultado con un decimal.
(x 20)o
Piso 0
d) Sabiendo que la velocidad de la escalera mecánica
es de 0,5 m/s, calcula cuántos minutos y segundos son necesarios para llegar de la planta 0 a la
planta 2.
Visión 360º
Visita una galería o un museo de arte contemporáneo, o realiza una visita virtual, por ejemplo en la página http://links.
edebe.com/f79
¿De qué modo están presentes las rectas y los ángulos en
las obras?
Justifícalo con algunos ejemplos.
Juan Gris, The open window (1921).
Reflexiona
Diario de aprendizaje
— ¿Existe relación entre el arte (pintura, escultura, fotografía...) y los conceptos estudiados en la
unidad? Arguméntalo.
— ¿Qué aspectos de la unidad te han llamado más la atención?
— Si tuvieras que volver a trabajar este tema, ¿qué cambiarías? Aporta sugerencias.
Rectas y ángulos
215