Concurso de primavera 13-14. Nivel III. SOLUCION 15 problema 24

Concurso de primavera 13-14. Nivel III.
Semana VIII - Soluciones
problema 24 - Primera fase 2010-
SOLUCION 15
La suma de los divisores de 210 es:
A) 2001
B) 2009
C) 2021
D) 2035
E) 2047
Los divisores de 210 son 1, 2, 22 , 23 , ..., 210 . Corresponden a los once primeros términos de una
a1 · r n − a1
progresión geométrica de razón r = 2. Su suma por lo tanto, Sn =
, para n = 11 es:
r−1
1 · 211 − 1
= 2048 − 1 = 2047
S11 =
2−1
problema 22- Primera fase-2010
SOLUCION 16
En el trapecio rectángulo ABCD, de bases AB y CD, con AB < CD, se verifica que la
altura AD mide 7 cm y que AB + CD = BC. ¿Cuánto es, en cm2 , el producto AB · CD?
A) 12
B) 120 25
C) 120 5
D) 120 75
E) 13
A B
H
P D
C
En la figura P D = AB y BC = P C.
El triángulo BCP es isósceles pues AB + CD = BC. Si trazamos la altura de este triángulo
sobre el lado desigual obtenemos dos triángulos rectángulos.
El triángulo rectángulo P CH tiene por altura HD =
7
AD
= .
2
2
Si aplicamos el teorema de la altura en este triángulo rectángulo (el cuadrado de la altura
Concurso de primavera 13-14. Nivel III.
Semana VIII - Soluciones
sobre la hipotenusa es igual al producto de las longitudes de los segmentos que determina)
tenemos que:
2
7
= P D · DC
2
49
= AB · DC
Es decir,
4
Luego, AB · DC = 49 : 4 = 120 25 cm2