CONCURSO DE PRIMAVERA-nivel III-2014-2015 Solución

CONCURSO DE PRIMAVERA-nivel III-2014-2015
Semana IV - Soluciones
Solución-7
no 3-nivel III-1a fase-2009
El triángulo equilátero ABC tiene 24 cm de perı́metro. O es el centro del triángulo y M el punto medio
del lado AB. ¿Cuál es, en cm, el perı́metro del triángulo BOM ?
A) 4
√
C) 4 + 4 3
B) 6
√
D) 2 + 6 3
√
E) 8 3
El segmento OC y el lado OB del triángulo OM B miden lo mismo. Ası́ que,
la suma de los lados OB y OM es igual al segmento M C que es la altura del
triángulo equilátero ABC.
Es decir:
OB + OM = OC + OM = M C.
A
4
8
M
O
4
Hallamos la altura M C mediante el teorema de Pitágoras aplicado al triángulo rectángulo M BC:
2
2
2
2
M C 2 =√BC 2 −√M B 2 ⇒ M
√C = 8 − 4 ⇒ M C = 64 − 16 = 48 ⇒
M C = 48 = 24 · 3 = 4 3cm
B
8
C
Ası́ tenemos que el perı́metro del triángulo OBM es:
√
M B + OB + OM = 4 + 4 3 cm
Solución-8
no 5-1a fase-nivel III-2009
Una cuesta la subo en bicicleta a 12 km/h y la bajo a 24 km/h. La velocidad media, en km/h, del recorrido
total de subida y bajada ha sido:
A) 20
B) 18
C) 18, 2
D) 16
E) 15, 6
Llamemos e a la longitud de la cuesta en km.
e
Al subir tardo t horas, a 12 km/h. Entonces: 12 = . (velocidad media es igual a espacio recorrido entre tiempo
t
que se tarda en recorrerlo)
Al bajar recorro también e km, a 24 km/h. Si recorro el mismo espacio a una velocidad doble de la anterior
t
tardaré la mitad de tiempo en hacerlo, es decir, tardo en bajar .
2
t
3t
Al subir y bajar recorro 2e km, tardo t + horas, es decir tardo
horas. La velocidad media en este
2
2
recorrido total será:
v=
4 e
4
4e
2e
= · = · 12 = 16 km/h
⇒v=
3t
3t
3 t
3
2