Las simetrías en la naturaleza.

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LAS SIMETRÍAS Y EL TEOREMA ENORME
Pedro Alegrı́a (pedro.alegria@ehu.es)
El matemático, como el pintor o el poeta, es un constructor de diseños. El hecho de
que sus diseños sean más permanentes que los de los otros se debe a que están hechos
con ideas.
G. Hardy (1877-1947)
El sentido en que se enrosca una concha de caracol es un rasgo hereditario que
se encuentra en su constitución genética, como sucede con ... la manera en que se
enrosca el conducto intestinal en la especie humana... También observamos que la
constitución quı́mica más profunda del cuerpo humano señala que hay un tornillo
dentro, un tornillo que gira del mismo modo en todos nosotros (¿la molécula del
ADN?).
H. Weyl (1885-1955)
ÍNDICE
1. Introducción.
2. Nociones teóricas abstractas.
3. Grupos de simetrı́a puntuales.
4. Grupos de simetrı́a de los frisos.
5. Grupos cristalográficos planos.
6. Grupos cristalográficos espaciales.
2
1.
INTRODUCCIÓN.
El desarrollo de un resultado matemático hace que muchas veces la formulación final no tenga
ningún parecido con el origen del problema y que se pierdan los detalles relativos a su nacimiento y temprana evolución. La exposición precisa y metódica de un libro hace pensar que las
matemáticas constituyen un ente rı́gido e inmutable. Sin embargo, la parte más excitante de las
matemáticas la forman el proceso de invención y descubrimiento. Ası́, muchas veces, mirando
ejemplos y buscando caracterı́sticas comunes a los mismos, se pueden descubrir las razones de
esas analogı́as y desarrollar las subsiguientes ideas matemáticas.
Lo primero que debemos hacer al analizar una estructura que presenta simetrı́as en el mundo
real es decidir a qué categorı́a pertenece:
- Figuras finitas: no tienen simetrı́as por traslación.
- Bandas o cintas: tienen simetrı́as por traslación en una dirección.
- Murales: tienen simetrı́as por traslación en dos direcciones diferentes.
Esta clasificación no es tan simple como parece porque muchos modelos están hechos con varias
estructuras menores.
La composición de formas variadas puede estudiarse tanto en un contexto matemático como
artı́stico. Por ejemplo, dos bandas pueden unirse para formar una banda más larga. En algunos
casos, la combinación de estas bandas tiene más simetrı́as que las de cada una de sus componentes, pero a veces la simetrı́a es menor. En cualquier ejemplo, como puede ser una pieza
de porcelana china, una discusión de la interacción artı́stica de las bandas componentes es tan
importante como una discusión de la interacción matemática.
En arte la noción de simetrı́a se asocia con los conceptos de equilibrio, belleza y orden. De
este modo, si las primeras manifestaciones de la simetrı́a aparecen en la naturaleza orgánica
e inorgánica -flores, animales, minerales, etc.-, en el arte se desarrolla, bien como copia de
la naturaleza, bien apoyada en una idea que tiene como soporte el concepto matemático de la
simetrı́a. Las “simetrı́as”se presentan también a veces enmascaradas en estructuras matemáticas
muy complejas que, cuando son estudiadas exhaustivamente, permiten salir a flote con sus correspondientes formulaciones generales que las originan. Por ejemplo, en el estudio de las relaciones
definitorias de un p-grupo de clase maximal, hemos obtenido por métodos computacionales una
tabla para p = 31 que al colorear permite conjeturar las regiones que representan uniformidades
o “simetrı́as”.
Las simetrı́as también aparecen en expresiones matemáticas como pueden ser las siguientes
descomposiciones numéricas:
1×8+1
=
9
12
=
1
12×8+2
=
98
112
=
121
123×8+3
=
987
1112
=
12321
1234×8+4
=
9876
11112
=
1234321
=
123454321
=
12345654321
12345×8+5
=
98765
111112
123456×8+6
=
987654
1111112
1234567×8+7
=
9876543
11111112
=
1234567654321
12345678×8+8
=
98765432
111111112
=
123456787654321
123456789×8+9
=
987654321
1111111112
=
12345678987654321
3
1×9+2
=
11
9×9+7
=
88
888
12×9+3
=
111
98×9+6
=
123×9+4
=
1111
987×9+5
=
8888
1234×9+5
=
11111
9876×9+4
=
88888
12345×9+6
=
111111
98765×9+3
=
888888
123456×9+7
=
1111111
987654×9+2
=
8888888
1234567×9+8
=
11111111
9876543×9+1
=
88888888
12345678×9+9
=
111111111
98765432×9+0
=
888888888
123456789×9+10
=
1111111111987654321×9−1
=
8888888888
12345679×9×1
=
111111111
12345679×9×2
=
222222222
12345679×9×3
=
333333333
12345679×9×4
=
444444444
12345679×9×5
=
555555555
12345679×9×6
=
666666666
12345679×9×7
=
777777777
12345679×9×8
=
888888888
12345679×9×9
=
999999999
1122334455667789×99×1
=
111111111111111111
1122334455667789×99×2
=
222222222222222222
1122334455667789×99×3
=
333333333333333333
1122334455667789×99×4
=
444444444444444444
1122334455667789×99×5
=
555555555555555555
1122334455667789×99×6
=
666666666666666666
1122334455667789×99×7
=
777777777777777777
1122334455667789×99×8
=
888888888888888888
1122334455667789×99×9
=
999999999999999999
Ya desde las civilizaciones más antiguas, los sı́mbolos usados en cualquier representación artı́stica, tanto en la construcción civil, militar o religiosa, han estado dotados de simetrı́a. Por ejemplo,
edificios destinados al culto como son los templos griegos, las iglesias cristianas, etc., tienen simetrı́a axial.
La teorı́a de grupos de permutaciones puede usarse para analizar una gran variedad de diseños
que aparecen en el arte y la arquitectura. Una pequeña lista de lugares donde se pueden encontrar
diseños interesantes es la siguiente:
Paredes de ladrillos. Diversos diseños corresponden a distintas clasificaciones que dan lugar
a distintos tipos de grupos de simetrı́as.
Alfombras y paredes pintadas. Muchos museos y lugares públicos contienen variadas estructuras que puede interesar estudiar y comparar.
El arte de M.C. Escher. Este artista construyó una gran cantidad de murales fascinantes,
entre los que se incluyen originales divisiones regulares del plano. Pueden compararse con
los trabajos del diseñador de la época victoriana William Morris.
4
Arte islámico. Es bien conocido el hecho de la existencia de diseños simétricos en la Alhambra de Granada. Recordemos el nombre de arabescos para representar diseños con
estructuras curvilı́neas muy comunes en el arte del Islam.
Arte renacentista. Fue frecuente el uso de los grupos de simetrı́a puntuales, llamados
grupos de Leonardo pues este artista los aplicó en el diseño de capillas, de manera que al
añadir nuevos elementos a la capilla inicial se conservase la simetrı́a de la misma. Leonardo
descubrió que los únicos grupos de isometrı́as en el plano son los grupos cı́clicos Cn y
diédricos Dn , para todo n natural.
Los grupos de simetrı́a puntuales fueron usados en arquitectura religiosa, en construcciones
militares (como fortalezas de planta estrellada), y en ornamentación e iluminación de edificios
(como los rosetones de las fachadas de las catedrales góticas). En la actualidad se usan en la
construcción de urbanizaciones, situando en el punto central de la simetrı́a los servicios comunes,
como pueden ser una plaza, una piscina, una zona recreativa, etc.
En arquitectura, los grupos puntuales predominantes son D1 y D2 ; en las pirámides de Egipto
aparece D4 ; hay torres con grupo de simetrı́a de D6 . La simetrı́a con grupo D5 es bastante
inusual, no obstante hay edificios emblemáticos, como por ejemplo, el edificio del Pentágono en
Washington que las utiliza; el templo Bahai (Chicago) tiene grupo de simetrı́a D9 . Por contra,
la simetrı́a de tipo 5 aparece con frecuencia en la naturaleza, por ejemplo, en las flores. El grupo
D6 es el que poseen los copos de nieve.
Veamos la aplicación de las ideas contenidas en los grupos simétricos a la cristalografı́a.
A los cristalógrafos les interesan los grupos finitos de isometrı́as que surgen como subgrupos de
los grupos de simetrı́a de las celosı́as tridimensionales. Se ha probado que se trata precisamente
de los casos especiales en los que las únicas rotaciones que ocurren tienen perı́odos 2, 3, 4 ó 6.
Consideraciones cristalográficas reducen estos grupos rotacionales a
C1 , C2 , C3 , C4 , C6 , D2 , D3 , D4 , D6 , A4 , S4 .
Una de las preocupaciones del Arquitecto, a lo largo de los siglos, ha sido embellecer sus construcciones mediante la ornamentación de las mismas. En el arte de la ornamentación han destacado
los egipcios, los chinos, y sobre todo los árabes.
Uno de los primeros estudios matemáticos sobre los mosaicos fue dirigido por J. Kepler en 1619,
quien, en su libro “Harmonice Mundi”, ya observó que los únicos polı́gonos regulares que cubren
el plano son el triángulo, el cuadrado y el hexágono. Después tuvieron que pasar más de 200
años para que se produjeran avances significativos con respecto a la teorı́a matemática de los
embaldosados.
A modo de resumen, existe un número infinito de grupos de simetrı́as finitos, del plano, caracterizados en dos familias, a saber, de tipo cı́clico, o de tipo diédrico. Por otro lado, se puede
demostrar que existe un número finito de grupos de simetrı́as infinitos. De entre estos, si llamamos grupos de frisos a aquellos que contienen solamente traslaciones en una dirección, existen
exactamente 7 de ellos; por otro lado, si llamamos grupos cristalográficos planos a aquellos que
contienen traslaciones en dos direcciones, existen exactamente 17 grupos de ellos y ninguno
más (este es el mérito del matemático). A pesar de que ya eran conocidos los 17 grupos desde
tiempos pasados (todos ellos han sido encontrados en la Alhambra de Granada), su verificación
matemática fue realizada por primera vez por E. Fedorov en 1890. La versión tridimensional de
esta teorı́a es muy importante en fı́sica y en cristalografı́a, de ahı́ que estos grupos reciban el
nombre de grupos cristalográficos. Es también un resultado debido a Fedorov y Schoenflies (en
5
un principio trabajando independientemente y después aunando esfuerzos) que existen exactamente 230 tipos de grupos cristalográficos. En el caso de dimensión cuatro, existen exactamente
4895 de estos grupos, clasificación terminada en 1974 por H. Brown, R. Bülow, J. Neubüser, H.
Wondratscheck y H. Zassenhaus.
Como ya hemos indicado, el interés matemático de esta teorı́a se extiende también a otras disciplinas, como la cristalografı́a, el arte, mecánica cuántica (disposición de partı́culas subatómicas),
criptologı́a (estudio de códigos secretos en comunicación), biologı́a, etc.
La simetrı́a ornamental es la más complicada pero más interesante clase de simetrı́a geométrica. En tres dimensiones, caracteriza el ordenamiento de átomos en los cristales, por lo que
también recibe el nombre de simetrı́a cristalográfica.
En el arte y la naturaleza, el esquema ornamental bidimensional más frecuente es el hexagonal:
azulejos, panales de abejas. Es la disposición natural (más económica) que se consigue en el
empaquetamiento de cı́rculos del mismo radio.
Cada cı́rculo es tangente a otros seis, los puntos de intersección forman hexágonos regulares;
al sustituir los cı́rculos por los hexágonos circunscritos se obtiene una configuración que puede
cubrir todo el plano.
Esta disposición es, de entre todas las divisiones del plano en partes iguales, la de menor longitud
de contorno. Por tanto, aparece en otras estructuras, como el pigmento de la retina ocular. En los
panales, que se construyen de forma cilı́ndrica girando las abejas sobre sı́ mismas, la capilaridad
actúa sobre la cera semifluida y transforma los cı́rculos en hexágonos inscritos.
2.
NOCIONES TEÓRICAS ABSTRACTAS.
En Matemáticas, la estructura básica en donde se producen los movimientos que dan lugar a
simetrı́as corresponde al espacio euclı́deo. El espacio euclı́deo ordinario se puede considerar como
el conjunto de vectores con origen un punto fijado previamente (el origen de coordenadas). Al
cambiar dicho origen de referencia, se obtiene un nuevo espacio vectorial, isomorfo al anterior
pero no idéntico. Para que no intervenga en la definición ninguna elección arbitraria del origen,
se construye el llamado espacio afı́n. Expondremos a continuación la definición axiomática de
estos espacios y las propiedades básicas de los elementos que intervienen en estos espacios. Supondremos conocidas las nociones elementales de espacio vectorial y espacio normado, ası́ como
la de aplicación lineal entre espacios vectoriales.
Definición 1. Dados un conjunto A no vacı́o y un espacio vectorial T sobre un cuerpo de
escalares K, decimos que A es un espacio afı́n sobre K con grupo de traslaciones T si existe
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una operación externa ψ : A × T −→ A definida por ψ(P, v) = P + v con las siguientes
propiedades:
i) ψ(P, 0) = P, ∀P ∈ A.
−−→
ii) ∀P, Q ∈ A, existe un único v ∈ T tal que ψ(P, v) = Q (en cuyo caso escribiremos v = P Q.
−−→ −−→
iii) ψ(P + v, w) = ψ(P, v + w), ∀P ∈ A, ∀v, w ∈ T (lo que equivale a la propiedad P Q + QR =
−→
P R, ∀P, Q, R ∈ A).
Los elementos de A reciben el nombre de puntos, los de T traslaciones (o direcciones) y los de
−−→
K escalares. La única traslación P Q que envı́a el punto P en el punto Q es el vector de origen
P y extremo Q.
Si A es un espacio afı́n con grupo de traslaciones T , una variedad afı́n de A viene determinada
por un punto P0 ∈ A y un subespacio vectorial S de T , y está definida por
−−→
A0 = {Q : Q = P0 + u, u ∈ S} = {Q ∈ A : P0 Q ∈ S}.
Al subespacio vectorial S se le denomina dirección de A0 y se escribe A0 = P0 + S.
Una referencia en un espacio afı́n, es el conjunto R = {O; B}, formado por un punto O de A,
llamado origen de referencia, y una base B del espacio T .
Si el cuerpo de escalares es K = R, decimos que A es un espacio afı́n euclı́deo. Si T es en
particular un espacio normado, podemos definir sobre A una distancia
d : A × A → R,
por
−−→
d(P, Q) = kP Qk.
Definición 2. Dados dos espacios afines A1 y A2 sobre K con grupos de traslaciones T1 y T2 ,
respectivamente, una aplicación g : A1 → A2 es una aplicación afı́n si existe f : T1 → T2 lineal
(llamada aplicación lineal asociada) tal que
−−−−−−→
−−→
f (P Q) = g(P )g(Q), ∀P, Q ∈ A1 .
En el caso particular de que A1 y A2 sean espacios afines euclı́deos, una aplicación g : A1 → A2
se dice isometrı́a si
d2 (g(P ), g(Q)) = d1 (P, Q), ∀P, Q ∈ A1
(la distancia entre dos puntos coincide con la distancia entre sus imágenes).
La condición anterior equivale a decir que g es una aplicación afı́n cuya aplicación lineal asociada
f es una transformación ortogonal (conserva la longitud de los vectores). Ası́, una isometrı́a queda
unı́vocamente determinada conocidas la imagen de un punto y su aplicación lineal asociada. Las
isometrı́as son claramente aplicaciones inyectivas.
Dos espacios afines son isométricos si existe una isometrı́a biyectiva entre ellos.
Llamamos movimiento a toda isometrı́a de un espacio afı́n en sı́ mismo.
El conjunto de movimientos de un espacio afı́n es un grupo con respecto a la composición de
aplicaciones.
Como la aplicación lineal asociada a un movimiento es una transformación ortogonal, la matriz
asociada a dicha aplicación con respecto a cualquier base tiene determinante igual a ±1. Por
tanto, podemos clasificar los movimientos en un espacio afı́n en dos tipos:
7
1. Movimientos directos: det f = 1 (no cambian la orientación de la figura). Tienen las
siguientes propiedades generales:
P.1.- Todo movimiento directo queda unı́vocamente determinado por dos puntos y sus
imágenes (esto se basa en que ningún movimiento directo puede tener dos puntos
fijos).
P.2.- El conjunto de movimientos directos es un subgrupo del grupo de movimientos
generado por las traslaciones y las rotaciones.
→
−
1.1. Traslación. Dado un vector arbitrario −
v , se define la traslación de vector →
v como
−
−
→
→
−
0
0
el movimiento τv : A → A dado por τv (P ) = P si P P = v .
Por definición, todos los mosaicos son invariantes por traslaciones (esto asegura que un
mismo diseño ornamental se repite al trasladarlo en alguna dirección).
Propiedades.
i) Toda traslación es una isometrı́a directa.
ii) La aplicación lineal asociada a una traslación es la identidad.
→
→
iii) La composición de dos traslaciones de vectores −
v y −
w es la traslación de vector
→
−
→
−
v + w.
iv) La composición de traslaciones es conmutativa.
→
→
v) El inverso de una traslación de vector −
v es la traslación de vector −−
v.
vi) El conjunto de traslaciones es un subgrupo normal del grupo de movimientos.
→
vii) Si −
v 6= 0, la traslación τ no tiene puntos fijos.
v
−
viii) En el plano euclı́deo, si →
v = (a, b), entonces
τv (x, y) = (x + a, y + b) = (a, b) + (x, y)
1 0
.
0 1
1.2. Rotación. Fijados un punto O ∈ A y un número α, se define la rotación de centro
O y ángulo α al movimiento ρO,α : A → A dado por ρO,α (P ) = P 0 si d(O, P ) = d(O, P 0 )
\
yP
OP 0 = α.
Propiedades.
i) Toda rotación es isometrı́a directa.
ii) La composición de dos rotaciones de ángulos α y β es una rotación de ángulo α + β.
iii) La composición de rotaciones no es conmutativa.
iv) Si α 6= 0, el único punto fijo de la rotación ρO,α es O.
v) En el plano, una rotación transforma rectas paralelas en rectas paralelas.
vi) En el plano euclı́deo, si O = (x0 , y0 ),
ρO,α (x, y) = (x0 , y0 ) + (x − x0 , y − y0 )
8
cos α sen α
.
− sen α cos α
2. Movimientos inversos: det f = −1 (invierten la orientación de la figura).
2.1. Reflexión. Si A0 = (P0 ; S) es una variedad afı́n del espacio afı́n euclı́deo, llamamos
reflexión (o simetrı́a ortogonal) respecto de esta variedad a toda aplicación σA0 : A −→
A, dada por
σA0 (P ) = P 0 ,
−−→
con P 0 = P +2P Q, donde Q es la proyección ortogonal de P sobre A0 (en el plano euclı́deo,
S es la mediatriz del segmento P P 0 ).
Propiedades.
i) Si A0 es un hiperplano, σA0 es un movimiento inverso. (Las simetrı́as respecto a hiperplanos tienen una especial importancia, ya que toda traslación se puede expresar
como composición de dos simetrı́as respecto a hiperplanos paralelos.)
ii) Toda reflexión es una involución (su cuadrado es la identidad).
iii) En el plano euclı́deo, si r es la recta que pasa por el punto (x0 , y0 ) y forma un ángulo
α con el eje X,
cos 2α
sen 2α
σr (x, y) = (x0 , y0 ) + (x − x0 , y − y0 )
.
sen 2α − cos 2α
2.2. Reflexión deslizada. Llamamos reflexión deslizada (o simetrı́a con deslizamiento) a la composición de una simetrı́a respecto de un hiperplano con una traslación de
vector no nulo en la dirección del hiperplano, SA0 ,v = τv ◦ σA0 .
Propiedades.
i) Toda reflexión deslizada es un movimiento inverso.
ii) Una reflexión deslizada no tiene puntos fijos.
iii) El cuadrado de una reflexión deslizada es una traslación.
iv) En el plano euclı́deo, si r es la recta que pasa por el punto (x0 , y0 ) y forma un ángulo
→
α con el eje X, y −
v = (a, b),
cos 2α
sen 2α
.
Sr,v (x, y) = (x0 + a, y0 + b) + (x − x0 , y − y0 )
sen 2α − cos 2α
Un resultado general sobre los movimientos en espacios afines euclı́deos es el
siguiente.
Teorema (de Cartan-Dieudonné). Sea A espacio afı́n euclı́deo de dimensión n. Todo movimiento g de A es composición de r reflexiones respecto de hiperplanos, para algún r ≤ n + 1,
es decir, g se puede expresar como composición de a lo sumo n + 1 reflexiones. Además, los
hiperplanos de r − 1 de estas reflexiones pueden elegirse pasando por un punto fijo O.
MOVIMIENTOS EN EL PLANO EUCLÍDEO
Designaremos por O2 al grupo de los movimientos de un espacio afı́n euclı́deo A de dimensión
2. Haciendo uso del teorema anterior, se tienen las siguientes caracterizaciones de los diferentes
elementos de O2 .
Proposición. Sea g ∈ O2 un movimiento de A distinto de la identidad.
9
(a) Las siguientes condiciones son equivalentes:
(a.1) g es una traslación.
(a.2) g es composición de dos reflexiones de ejes paralelos.
(a.3) g es un movimiento directo sin puntos fijos.
(b) Las siguientes condiciones son equivalentes:
(b.1) g es una rotación.
(b.2) g es composición de dos rotaciones del mismo centro.
(b.3) g es composición de dos reflexiones de ejes no paralelos.
(b.4) g es un movimiento directo con un único punto fijo.
(c) Las siguientes condiciones son equivalentes:
(c.1) g es un simetrı́a.
(c.2) Existen dos puntos distintos, fijos por g.
(d) Las siguientes condiciones son equivalentes:
(d.1) g es un simetrı́a con deslizamiento.
(d.2) g es un movimiento inverso sin puntos invariantes.
Como consecuencia de los resultados anteriores, podemos clasificar los movimientos del plano,
teniendo en cuenta sus puntos invariantes, en cinco tipos:
g = IA ⇐⇒
todo el plano es de puntos fijos.
g = σR ⇐⇒
tiene una recta de puntos fijos.
g = ρC,θ ⇐⇒
tiene un único punto fijo, el centro C del giro g.
g = τu es una traslación
⇐⇒
es un movimiento directo sin puntos fijos.
g es una reflexión deslizada
⇐⇒
es un movimiento inverso sin puntos fijos.
Veamos representaciones gráficas de estos movimientos, y el efecto óptico sobre figuras concretas
del plano:
10
11
Un subgrupo H de O2 se dice discontinuo o discreto si para cada punto P del plano A, existe
algún entorno con centro en P que no contiene ninguna imagen α(P ), α ∈ H, distinta de P (lo
que significa que no hay operaciones próximas a la identidad salvo la propia identidad). Esta
condición es equivalente a decir que la órbita H(P ) = {α(P ) : α ∈ H} de cualquier punto P
tiene intersección finita con cualquier conjunto acotado D de A.
En un grupo discontinuo, el conjunto generado por la rotación ρO,α es finito, es decir ∃n ∈ N tal
que ρO,α n = I. Por tanto, α = 2π/n, con n entero.
Si H es un subgrupo discontinuo del grupo de traslaciones T , entonces, o bien H se reduce a la
aplicación identidad, o bien H está generado por una traslación de vector no nulo v, o bien H
está engendrado por dos traslaciones de vectores linealmente independientes. En el lenguaje de
la teorı́a de grupos, esto equivale a decir que H es trivial, o cı́clico infinito, o abeliano libre de
rango 2:
H ∈ {1, C∞ , C∞ × C∞ }.
12
A continuación, estudiamos grupos de simetrı́a H del plano cuya intersección con el subgrupo
de traslaciones sea un subgrupo discontinuo, es decir sea uno de los tres casos anteriores, a
saber:
H∩T
= {I}
(1)
H∩T
= {τnv : n ∈ Z}
(2)
H∩T
= {τnv ◦ τmw : n, m ∈ Z},
(3)
donde v y w generan el espacio vectorial T .
El caso (1) no contiene traslaciones. Esto implica que todas las rotaciones tienen el mismo centro.
Son grupos discretos planos con sólo rotaciones y reflexiones, llamados grupos de Leonardo
o grupos puntuales.
El caso (2) contiene una traslación básica que genera todo el grupo. Este corresponde a grupos
discretos planos que contienen rotaciones, reflexiones, reflexiones deslizadas y traslaciones en
una sola dirección y son los llamados grupos de frisos.
En el caso (3) las traslaciones forman un retı́culo bidimensional. Este caso corresponde a los
grupos cristalográficos planos, o grupos planos de Fedorov.
Estudiaremos a continuación con más detalle estos tres tipos de grupos.
3.
GRUPOS DE SIMETRÍA PUNTUALES
Vamos a dar el soporte matemático en el que se basa la clasificación de los grupos de simetrı́a del
plano que tienen un punto fijo, también llamados de Leonardo debido al uso sistemático de los
mismos realizado por Leonardo da Vinci en sus diseños arquitectónicos de capillas. En segundo
lugar estudiaremos los frisos, grupo de gran uso en la Arquitectura sobre todo ornamental.
Teorema 1. Si H es un subgrupo de O2 que no contiene ninguna traslación no trivial, es decir
H ∩ T = {I}, entonces H fija puntos. Es decir, existe O ∈ A tal que g(O) = O para cualquier g
de H.
Teorema 2. Si H es un subgrupo de O2 con un número finito de elementos, entonces H fija un
punto y además, o bien es un grupo engendrado por un giro (por tanto un grupo cı́clico), o bien
es un grupo engendrado por un giro y una simetrı́a (con estructura de grupo diédrico).
Definición. Todo grupo finito de movimientos del plano recibe el nombre de grupo puntual
o de Leonardo.
Por ser el grupo finito, no contiene ninguna traslación propia y el grupo tiene un punto fijo.
Del teorema 2 se deduce que existen infinitos grupos de Leonardo y son cı́clicos o diédricos: Cn
ó Dn , con n ∈ N. Veamos las tablas de estos grupos.
Grupo cı́clico de orden n generado por un elemento g:
Cn = hgi = {1, g, g 2 , . . . , g n−1 },
donde la multiplicación se define por
g i · g j = g i+j = g (i+j)0 ,
siendo (i + j)0 el resto módulo n del exponente i + j.
13
Veamos como ejemplo la tabla de
C4
1
g
g2
g3
multiplicación de C4 :
1
g
g2
g3
2
1
g
g
g3
g
g2
g3
g4 = 1
2
3
4
g
g
g = 1 g5 = g
g3 g4 = 1 g5 = g g6 = g2
Grupo diédrico de orden 2n generado por dos elementos a y b:
Dn = ha, b : an = 1, b2 = 1, ab = a−1 i = {ai , ai b : 0 ≤ i ≤ n − 1}.
[El sı́mbolo ab representa, como es usual, la operación de conjugación b−1 ab.]
Multiplicación:
j
ai bj · ar bs = ai+(−1) r bj+s ,
con el exponente de a reducido módulo n y el exponente de b reducido módulo 2.
Tabla de multiplicación de D4 :
D4
1
a
1
1
a
a
a
a2
2
2
a
a
a3
a3
a3 a4 = 1
b
b
a3 b
ab
ab
b
a2 b a2 b
ab
a3 b a3 b
a2 b
a2
a2
a3
4
a =1
a5 = a
a2 b
a3 b
b
ab
a3
a3
a4 = 1
a5 = a
a2
ab
a2 b
a3 b
b
b
b
ab
a2 b
a3 b
1
a
a2
a3
ab
ab
a2 b
a3 b
b
a3
1
a
a2
a2 b
a2 b
a3 b
b
ab
a2
a3
1
a
a3 b
a3 b
b
ab
a2 b
a
a2
a3
1
Veamos que para n ≥ 3, los grupos diédricos Dn se corresponden de forma única con los grupos
de simetrı́a de los polı́gonos regulares de n lados.
Definición. Un polı́gono de n lados, o n-polı́gono, está determinado por n puntos distintos
P1 , · · · , P n ,
llamados vértices del polı́gono, y n segmentos [P1 , P2 ], [P2 , P3 ], · · · , [Pn , P1 ], llamados lados del
polı́gono, que sólo tienen en común los vértices y de modo que cada tres vértices consecutivos
no están alineados.
El n-polı́gono se dice convexo si el segmento que une puntos de dos lados está contenido en
el interior del polı́gono o es un lado del mismo. En caso contrario se dice que el polı́gono es
cóncavo. Se dice que un n-polı́gono convexo es regular si tiene todos sus lados iguales.
Teorema 3. (a) El grupo de simetrı́a de un n-polı́gono regular es el grupo diédrico Dn .
(b) El grupo de simetrı́a de un n-polı́gono orientado coincide con el grupo cı́clico Cn .
Los siguientes diagramas describen las representaciones gráficas de C4 y D4 en el cuadrado
ABCD.
14
En las siguientes figuras tenemos una representación de los seis primeros grupos puntuales o de
Leonardo cı́clicos y diédricos (también llamados “rosetas”), sobre un mismo motivo ornamental.
15
16
17
4.
GRUPOS DE SIMETRÍAS DE LOS FRISOS.
En la decoración y ornamentación artı́stica es común crear diseños que consisten en la repetición
de un mismo motivo ornamental a lo largo de una lı́nea recta -pensemos por ejemplo en las grecas
de cerámica, cenefas y bordes de alfombras-, con el objeto de dar al resultado final un aspecto
más armónico y simétrico. Cada elemento decorativo genera de esta manera lo que llamaremos
un grupo de frisos. Un estudio geométrico, basado en las propiedades del grupo de movimientos
en el plano euclı́deo, permite deducir que únicamente son posibles siete formas distintas de
generar los grupos de frisos, como ilustramos a continuación.
Sea F un subgrupo de O2 cuyo subconjunto de traslaciones
T1 = F ∩ T = {τnv : n ∈ Z},
para algún v ∈ T , v 6= 0, es decir, es un grupo cı́clico infinito. Tales grupos son grupos de simetrı́a
de ciertas figuras planas que se llaman frisos, las cuales admiten traslaciones únicamente a lo
largo de una dirección dada por un vector v.
→
Teorema 4. Si representamos por τ a una traslación de vector −
v , σ a una reflexión de eje r, ρ
a una rotación de 180◦ y S a una reflexión deslizada, existen siete grupos geométricos de frisos,
con las siguientes caracterı́sticas:
1) F1 = hτ i ' C∞ .
2) F2 = hτ, σi ' C∞ × C2 , donde σ 2 = 1 y τ σ = τ .
3) F3 = hτ, σi ' D∞ , donde σ 2 = 1 y τ σ = τ −1 .
4) F4 = hτ, Si ' C∞ , donde S 2 = τ y τ S = τ .
5) F5 = hτ, ρi ' D∞ , donde ρ2 = 1 y τ ρ = τ −1 .
6) F6 = hτ, σ, ρi ' D∞ × C2 , donde σ 2 = ρ2 = 1 y τ ρ = τ , τ σ = τ −1 , σ ρ = σ.
7) F7 = hτ, ρ, Si ' D∞ , donde ρ2 = 1, S 2 = τ, τ ρ = τ, τ S = τ −1 , ρS = ρ−1 .
Observe que F1 y F4 son isomorfos pero no son geométricamente equivalentes porque F1 conserva
la orientación y F4 no la conserva.
Los cuatro primeros ejemplos no poseen rotaciones propias y los tres últimos tienen rotaciones
propias.
18
Las siguientes figuras representan los siete grupos de frisos a partir de un mismo motivo ornamental, donde utilizamos la notación adoptada por la Unión Internacional de Cristalografı́a.
−
p1: traslaciones de vector →
v.
−
pm: traslaciones de vector →
v más reflexión por eje horizontal.
−
p/m: traslaciones de vector →
v más reflexión por eje vertical.
−
pg: traslaciones de vector →
v más reflexión deslizada cuyo cuadrado es igual a la traslación.
−
p2: traslaciones de vector →
v más rotación de 180◦ .
−
p2m: traslaciones de vector →
v más rotación de 180◦ más reflexión (o bien doble reflexión:
horizontal y vertical).
−
p2g: traslaciones de vector →
v más rotación de 180◦ más reflexión deslizada.
19
GRUPOS DE SIMETRÍAS DE FRISOS
CARACTERÍSTICAS NOTACIÓN
DESCRIPCIÓN
p1
traslación
pm
traslación
sin
más reflexión de eje paralelo
rotaciones
p/m
traslación
propias
más reflexión de eje perpendicular
pg
traslación más reflexión deslizada
traslación más rotación
con
p2
traslación más rotación más reflexión
rotaciones
p2m ∼
= pmm
traslación más rotación
de 180◦
p2g ∼
= pmg
más reflexión deslizada
Interpretación de los sı́mbolos.
p: periódico.
m: reflexión (mirror).
g: reflexión deslizada (glide).
1 ó 2: orden de la rotación.
/: perpendicular.
5.
GRUPOS CRISTALOGRÁFICOS PLANOS.
Como ya hemos indicado, un grupo de simetrı́a G es un grupo cristalográfico o de Fedorov
plano si G es un subgrupo discontinuo de O2 cuya intersección con el subgrupo de traslaciones
es un subgrupo abeliano libre de rango 2. La composición de las simetrı́as forma ası́ un diseño
bidimensional que llena el plano.
Podemos elegir dos generadores del grupo de traslaciones, τv y τw , de tal forma que τv es de
norma mı́nima entre todos los elementos de T2 distintos de la identidad y τw es de norma mı́nima
entre todos los elementos de T2 que no son múltiplos de τv . El espacio
→
→
hv, wi = {m−
v + n−
w : m, n ∈ Z}
recibe el nombre de retı́culo generado por τv y τw y {τv , τw } es un conjunto reducido de
generadores de T2 .
Cuando se elige un punto base O, el grupo T2 determina una celosı́a o retı́culo fundamental
L, siendo la órbita de O respecto de T2 ,
L = {τ (O) : τ ∈ T2 }
(conjunto de puntos que se obtienen aplicando las traslaciones en las dos direcciones al punto
0).
20
En principio, el paralelogramo es arbitrario pero en algunos casos la construcción del grupo exige
formas particulares. En la siguiente tabla, exponemos una clasificación de los diferentes tipos de
retı́culo fundamental.
RETÍCULO
Triángulo
(celosı́a hexagonal)
Cuadrado
Rombo
(celosı́a centrada)
Rectángulo
Paralelogramo
LONGITUD
ÁNGULO
kvk = kwk
v,
d
w = π/3
kvk = kwk
v,
d
w = π/2
kvk = kwk
v,
d
w 6= π/2, π/3
kvk =
6 kwk
kvk =
6 kwk
v,
d
w = π/2
v,
d
w 6= π/2
Un grupo puede identificarse por su celda unidad o celosı́a primitiva, que es cualquier región
conexa, maximal que no contiene puntos homólogos (puntos tales que uno de ellos es imagen del
otro por algún elemento del grupo) en su interior. De este modo, todo el grupo puede generarse
mediante traslaciones sobre dicha región.
Una región fundamental es la menor región mediante la cual todo el grupo puede obtenerse
como resultado de alguna transformación sobre dicha región. Es pues una región que no contiene
puntos homólogos en su interior pero no puede extenderse sin perder esta propiedad. Observemos
que, tanto las celdas unidad como las regiones fundamentales, pueden no ser únicas.
GRUPOS CRISTALOGRÁFICOS QUE CONSERVAN LA ORIENTACIÓN
La determinación de todas las posibles configuraciones regulares de objetos es un problema
fundamental en cristalografı́a, quı́mica y otras disciplinas. Resumiremos a continuación los hechos
fundamentales que han permitido realizar dicha clasificación en el plano.
Debido a su carácter discontinuo, el grupo de rotaciones de un grupo cristalográfico plano debe
ser uno de los grupos de Leonardo, Cn ó Dn (n ∈ N), pero que lleven el retı́culo sobre sı́ mismo.
Una sencilla argumentación geométrica hace que los únicos valores admisibles sean n = 1, 2, 3, 4
ó 6 (la exclusión del 5 se llama restricción cristalográfica).
21
Las propiedades básicas en las que se basa la clasificación que exponemos a continuación son las
siguientes:
Propiedades.
1. Si τ ∈ G, entonces τ n ∈ G, ∀n ∈ Z.
→
2. Si ρO,α ∈ G, τv ∈ G y O0 = O + −
v , entonces ρO0 ,α ∈ G.
3. Si ρO,α ∈ G, ρO0 ,β ∈ G y O00 = ρO0 ,β (O), entonces ρO00 ,α ∈ G.
[La presencia de un retı́culo de traslaciones {τvm + τwn : m, n ∈ Z} y una rotación ρO,α
asegura la presencia de un retı́culo de rotaciones ρO+mv+nw,α .]
4. Si τv ∈ G, ρO,α ∈ G, P = τv (O) y Q = ρO,α (P ), entonces τOQ ∈ G.
5. Si τv ∈ G y ρO,π ∈ G, entonces ρO+v/2,π ∈ G.
[Si tenemos un retı́culo de traslaciones y una rotación de orden 2, tenemos también un
retı́culo de rotaciones de orden 2 de los puntos medios del retı́culo.]
TEOREMA. Sea G + un grupo cristalográfico que conserva la orientación. Entonces G + está generado por T2 = G + ∩ T y una única rotación de orden n, con n = 1, 2, 3, 4, ó 6. Ası́ pues, G +
adopta una de las formas siguientes:
1) G1 = hτv , τw .
2) G2 = hτv , τw , ρi, donde ρ2 = 1, τvρ = τ−v , τwρ = τ−w .
3) G3 = hτv , τw , ρi, donde ρ3 = 1, τvρ = τ−v ◦ τw = τ−v+w , τwρ = τ−w .
4) G4 = hτv , τw , ρi, donde ρ4 = 1, τvρ = τw , τwρ = τ−v .
5) G5 = hτv , τw , ρi, donde ρ6 = 1, τvρ = τw , τwρ = τ−v ◦ τw = τ−v+w .
En el teorema siguiente se listan los grupos cristalográficos planos G correspondientes a cada
uno de los posibles subgrupos directos G + = Gi , para i = 1, 2, 3, 4, 6.
TEOREMA.
a) Para el subgrupo G1 = hτv , τw i tenemos exactamente cuatro tipos distintos de grupos cristalográficos:
a.1) p1 = hτv , τw i.
a.2) pm = hτv , τw , σi, donde σ 2 = 1, τvσ = τv , τwσ = τ−w .
a.3) cm = hτv , τw , σi, donde σ 2 = 1, τvσ = τw , τwσ = τv .
a.4) pg = hτv , τw , Si, donde S 2 = τv , τvS = τv , τwS = τ−w .
b) Para el subgrupo G2 tenemos exactamente cinco tipos distintos de grupos cristalográficos:
b.1) p2 = hτv , τw , ρi, donde ρ2 = 1, τvρ = τ−v , τwρ = τ−w .
b.2) pmm = hτv , τw , ρ, σi, donde ρ2 = σ 2 = 1, (σ ◦ ρ)2 = 1, τvρ = τ−v , τwρ = τ−w , τvσ =
τv , τwσ = τ−w .
b.3) pmg = hτv , τw , ρ, σi, donde ρ2 = σ 2 = 1, (σ ◦ ρ)2 = τv , τvρ = τ−v , τwρ = τ−w , τvσ =
τ−v , τwσ = τw .
b.4) cmm = hτv , τw , ρ, σi, donde ρ2 = σ 2 = 1, (σ ◦ ρ)2 = 1, τvρ = τ−v , τwρ = τ−w , τvσ =
τw , τwσ = τv .
22
b.5) pgg = hτv , τw , ρ, Si, donde ρ2 = 1, S 2 = τv , (S ◦ ρ)2 = τw , τvρ = τ−v , τwρ = τ−w , τvS =
τv , τwS = τ−w .
c) Para el subgrupo G3 tenemos exactamente tres tipos distintos de grupos cristalográficos:
c.1) p3 = hτv , τw , ρi, donde ρ3 = 1, τvρ = τw−v , τwρ = τ−v .
c.2) p3ml = hτv , τw , ρ, σi, donde ρ3 = 1, σ 2 = 1, (σ ◦ ρ)2 = 1, τvρ = τw−v , τwρ = τ−v , τvσ =
τw , τwσ = τv .
c.3) p3lm = hτv , τw , ρ, σi, donde ρ3 = 1, σ 2 = 1, (σ ◦ ρ)2 = τw , τvρ = τw−v , τwρ = τ−v , τvσ =
τ−w , τwσ = τ−v .
d) Para el subgrupo G4 tenemos exactamente tres tipos distintos de grupos cristalográficos:
d.1) p4 = hτv , τw , ρi, donde ρ4 = 1, τvρ = τw , τwρ = τ−v .
d.2) p4m = hτv , τw , ρ, σi, donde ρ4 = 1, σ 2 = 1, (σ ◦ ρ)2 = 1, τvρ = τw , τwρ = τ−v , τvσ =
τv , τwσ = τ−w .
d.3) p4g = hτv , τw , ρ, Si, donde ρ4 = 1, S 2 = τv , (S ◦ ρ)2 = 1, τvρ = τw , τwρ = τ−v , τvS =
τv , τwS = τ−w .
e) Para el subgrupo G5 tenemos exactamente dos tipos distintos de grupos cristalográficos:
e.1) p6 = hτv , τw , ρi, donde ρ6 = 1, τvρ = τw , τwρ = τ−v ◦ τw = τ−v+w .
e.2) p6m = hτv , τw , ρ, σi, donde ρ6 = 1, σ 2 = 1, (σ ◦ ρ)2 = 1, τvρ = τw , τwρ = τw−v , τvσ =
τv , τwσ = τv−w .
Ejemplos de todos estos grupos de simetrı́a se encuentran en ornamentos antiguos y, como se
observa, su construcción no es en absoluto trivial en su aspecto matemático. Debemos observar
que la base conceptual para la formulación abstracta del problema es la noción de grupo de
transformaciones, introducida en el siglo XIX, y la demostración de que sólo puede haber 17
simetrı́as se debe a Pólya en 1924.
Existen distintas formas de identificar los 17 grupos de simetrı́as de murales, desde la notación
decimal, pasando por la aceptada por la IUC (International Union of Crystallography) desde
1952, hasta la notación “orbifold” que proviene de las palabras orbit + manifold, basada en ideas
de W. Thurston y adoptada por J. Conway. La siguiente tabla describe cada uno de los grupos
citados.
23
DESCRIPCIÓN DE LOS GRUPOS DE MURALES
Decimal Orbifold IUC
Retı́culo
Descripción
1
o
p1
paralelogramo
2 traslaciones
2 traslaciones
2
2222
p2
paralelogramo
+ rotación de 180◦
2 traslaciones
3
**
pm
rectángulo
+ reflexión
2 traslaciones
4
xx
pg
rectángulo
+ reflexión deslizada
2 traslaciones
+ rotación de 180◦
5
*2222
pmm
rectángulo
+ reflexión
2 traslaciones
+ rotación de 180◦
6
22*
pmg
rectángulo
+ reflexión
2 traslaciones
+ rotación de 180◦
7
22x
pgg
rectángulo
+ reflexión deslizada
2 traslaciones
8
x*
cm
rombo
+ reflexión
2 traslaciones
+ rotación de 180◦
9
2*22
cmm
rombo
+ reflexión
2 traslaciones
10
442
p4
cuadrado
+ rotación de 90◦
2 traslaciones
+ rotación de 90◦
11
*442
p4m
cuadrado
+ reflexión
2 traslaciones
+ rotación de 90◦
12
4*2
p4g
cuadrado
+ reflexión deslizada
2 traslaciones
13
333
p3
triángulo
+ rotación de 120◦
2 traslaciones
+ rotación de 120◦
14
*333
p3ml
triángulo
+ reflexión
2 traslaciones
+ rotación de 120◦
15
3*3
p3lm
triángulo
+ reflexión
2 traslaciones
16
632
p6
hexágono
+ rotación de 60◦
2 traslaciones
+ rotación de 60◦
17
*632
p6m
hexágono
+ reflexión
24
OTRA CLASIFICACIÓN
Sin rotaciones propias p1 pm pg cm
Con rotación de 180◦
p2 pmm pgg cmm pmg
(sin rotaciones de 90◦ , 60◦ )
Con rotación de 90◦
p4 p4m p4g
◦
Con rotación de 120
p3 p31m p3m1
(sin rotaciones de 60◦ )
Con rotación de 60◦
p6 p6m
La notación cristalográfica consiste en cuatro sı́mbolos que identifican las caracterı́sticas de
la celda unidad. La celosı́a primitiva se elige con los centros de rotación de mayor orden en los
vértices, salvo en dos casos, donde se elige una celosı́a centrada, de modo que los ejes de reflexión
sean normales a uno o los dos lados de la celosı́a. Cuando no hay lugar a confusión, se reduce el
número de sı́mbolos utilizados.
Interpretación de los sı́mbolos:
p: celosı́a primitiva
(1)
c: celosı́a centrada
(2) 1, 2, 3, 4, 5, 6: mayor orden de rotación.


m: eje de reflexión (mirror)

g: reflexión deslizada (glide)
(3)
(eje de simetrı́a normal a un eje)



l: sin eje de simetrı́a

m: eje de reflexión (mirror)
(4) g: reflexión deslizada (glide)(∗)

l: sin eje de simetrı́a
(∗) El eje de simetrı́a forma un ángulo α con el eje (α = 180◦ si n = 1 ó 2, α = 60◦ si n = 3 ó 6,
α = 45◦ si n = 4).
En la notación “orbifold”, los sı́mbolos representan los generadores del grupo: los enteros indican
la presencia de rotaciones (el entero máximo es el mayor orden de rotación). El sı́mbolo “∗”indica
reflexiones y el sı́mbolo “x”indica la presencia de reflexiones deslizadas.
25
w
v
1 = p1:
→
→
traslaciones de vectores −
v y−
w.
(sin rotaciones, reflexiones ni reflexiones deslizadas).
w
v
2 = p2:
→
→
traslaciones de vectores −
v y−
w más giro de 180◦
(sin reflexiones ni reflexiones deslizadas).
26
w
v

→
→
traslaciones de vectores −
v y−
w



más reflexión según la lı́nea de puntos;
3 = pm:
(cualquier eje de una reflexión deslizada



es también eje de una reflexión).
w
v
4 = pg:
→
→
traslaciones de vectores −
v y−
w más reflexión deslizada.
(sin rotaciones ni reflexiones).
27
w
v

→ −
−
→
traslaciones de vectores v y w más giro de 180◦
5 = pmm: más reflexión según la lı́nea de puntos (o bien, dos reflexiones);

cualquier eje de una reflexión deslizada es también eje de reflexión.
w
v

→
→
traslaciones de vectores −
v y−
w más giro de 180◦



más reflexión según la lı́nea de puntos;
6 = pmg:
existe alguna reflexión deslizada



cuyo eje no es paralelo a ningún eje de reflexión.
28
w
v

→ −
−
→
traslaciones de vectores v y w
7 = pgg: más giro de 180◦ más reflexión deslizada

(no contiene reflexiones).
29
w
v
8 = cm:
→
→
traslaciones de vectores −
v y−
w más reflexión respecto a la diagonal;
hay un eje de una reflexión deslizada que no es eje de reflexión.
30
w
v

→ −
−
→
traslaciones de vectores v y w más giro de 180◦
9 = cmm: más reflexión respecto a la diagonal; tiene una reflexión deslizada

cuyo eje es paralelo (pero distinto) a un eje de reflexión.
31
w
v
10 = p4:
→
→
traslaciones de vectores −
v y−
w más giro de 90◦
(sin reflexiones ni reflexiones deslizadas).
32
w
v

→ −
−
→
traslaciones de vectores v y w más giro de 90◦
11 = p4m: más reflexión según la lı́nea de puntos;

el centro de rotación de 90◦ pertenece al eje de alguna reflexión.
33
w
v

→ −
−
→
traslaciones de vectores v y w más giro de 90◦
12 = p4g: más reflexión deslizada; hay un centro de rotación

de 90◦ no contenido en ningún eje de reflexión.
34
w
v
13 = p3:
−
−
traslaciones de vectores →
v y→
w más giro de 120◦
(sin reflexiones).
35
w
v

→ −
−
→
traslaciones de vectores v y w más giro de 120◦ más reflexión
14 = p3ml: (cualquier centro de rotación de 120◦

está contenido en un eje de reflexión).
w
v

→ −
−
→
traslaciones de vectores v y w más giro de 120◦ más reflexión
15 = p3lm: (hay un centro de rotación de 120◦

no contenido en ningún eje de reflexión).
36
w
v
16 = p6:
−
−
traslaciones de vectores →
v y→
w más giro de 60◦
(sin reflexiones).
w
v
→
→
traslaciones de vectores −
v y−
w más giro de 60◦
17 = p6m:
más reflexión según la lı́nea de puntos.
37
6.
GRUPOS CRISTALOGRÁFICOS ESPACIALES.
Un sistema de puntos del espacio se llama sistema espacial regular de puntos si satisface
las propiedades siguientes:
1) Todo punto del sistema se puede transportar a cualquier otro punto del sistema mediante
movimientos que transforman el sistema en sı́ mismo.
2) Ninguna esfera de radio finito contiene infinitos puntos del sistema.
3) Existe un número positivo r tal que toda esfera de radio r contiene al menos uno de los
puntos del sistema.
El problema de estudiar la estructura de los cristales está ı́ntimamente ligado con el problema
de la clasificación de los sistemas espaciales regulares, ya que un cristal tiene la peculiaridad
de que sus átomos forman, en cierto sentido, un sistema regular en el espacio; estas cristalizaciones aparecen en general en la estructura de las moléculas y, a su vez, está relacionada con
la clasificación de los grupos discretos de movimientos en el espacio, entendiendo que un grupo
de movimientos H del espacio se dice discreto (o no continuo) si para cada punto P existe una
esfera de radio r y centro P tal que todo movimiento de H, o deja fijo el punto P , o lo lleva
fuera de la esfera.
En 1891, el eminente cristalógrafo y geómetra ruso E.S. Fedorov resolvió por métodos de la
teorı́a de grupos uno de los problemas fundamentales de la cristalografı́a: clasificar los sistemas
regulares de puntos en el espacio. Este fue el primer ejemplo de aplicación de la teorı́a de grupos
a la solución de un problema de las ciencias naturales, causando un impacto importante en el
desarrollo posterior de la teorı́a de grupos.
Se puede demostrar que el conjunto de los movimientos del espacio que llevan un sistema espacial
regular de puntos a coincidir consigo mismo es necesariamente un grupo discreto y que todos
los puntos del sistema se pueden obtener a partir de un punto dado del sistema transformando
éste por todos los movimientos del grupo. Recı́procamente, dado un cierto grupo discreto H, si
tomamos un punto arbitrario P y lo sometemos a todas las transformaciones del grupo obtenemos
un sistema de puntos que cumplen las propiedades 1) y 2).
Añadiendo condiciones muy sencillas, se pueden aislar, de entre los grupos discretos, aquellos
que para puntos P convenientemente elegidos dan, de hecho, sistemas regulares de puntos, es
decir, sistemas de puntos con las tres propiedades 1), 2) y 3). Tales grupos discretos se llaman
cristalográficos o de Fedorov (en el espacio). De todo lo dicho se desprende que el objetivo más
importante en el estudio de los sistemas espaciales de puntos es la clasificación de los grupos de
Fedorov. Se ha comprobado que para los objetivos que persiguen las ciencias de la naturaleza
es interesante considerar grupos que constan no sólo de movimientos propios, sino también de
movimientos propios e impropios, es decir, que incluyen simetrı́as respecto a ejes. El número de
grupos de Fedorov formados solamente de movimientos de primera especie es 65, y el número
de grupos de Fedorov que contienen también movimientos de segunda especie es 165; en total
tenemos pues 230 grupos de Fedorov en el espacio, número muy grande en comparación con los
17 grupos de Fedorov que hay en el plano. En contraposición al plano, sólo la teorı́a de grupos ha
permitido analizar el número excepcionalmente grande de posibilidades que se dan en el espacio.
Una deducción y enumeración detallada de todos los grupos de Fedorov en el espacio requiere
varias docenas de páginas de texto. Nos hemos limitado a dar los resultados cuantitativos y
remitimos al lector a las obras especializadas. Podemos citar la colección [HL] que proporcionan
la descripción completa de todos los grupos cristalográficos planos y espaciales.
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BIBLIOGRAFÍA.
[Bl] Ma F. Blanco. Movimientos y Simetrı́as. Univ. de Valladolid, 1994.
[Co] H.S.M. Coxeter. Fundamentos de Geometrı́a. Limusa, 1984.
[Fe] E.S. Fedorov. Simetrı́a de los sistemas regulares de figuras. Obras completas, Akad. Nauk
URSS, Moscú, 1949.
[GS] B. Grünbaum y G.C. Shephard. Tilings and Patterns. Freeman, 1987.
[HL] N. Henry y K. Lonsdale (eds.). International Tables for X-Ray Crystallography, vol.
1. Kynoch Press, Birmingham, 1952.
[HC] D. Hilbert y S. Cohn-Vossen. Geometry and the Imagination. Chelsea Pub., 1952
(english translation).
[Sc] D. Schattschneider. Visions of Symmetry, Note Books, Periodic Drawings and Related
Works of M.C. Escher. Freeman, 1990.
[We] H. Weyl. Simetrı́a. McGraw Hill, 1990.
REFERENCIAS EN LA WEB
1. David Joyce,
http://aleph0.clarku.edu/∼djoyce/wallpaper
2. Grupo Virtual Chemistry (Dpto. de Quı́mica de la Universidad de Oxford),
http://neon.chem.ox.ac.uk/vrchemistry/sym/splash.htm
3. Xah Lee,
http://www.best.com/∼xah/Wallpaper dir/c0 WallPaper.html
4. Allan Bergmann Jensen,
http://home6.inet.tele.dk/bergmann/16engelsk/idx16.htm
5. Alok Bhushan, Kendrick Kay y Eleanor Williams,
http://library.advanced.org/16661/
6. Steven Dutch,
http://gbms01.uwgb.edu/∼dutchs/symmetry/symmetry.htm
7. John Grant Mcloughlin,
http://www.ucs.mun.ca/∼mathed/Geometry/
Transformations/Transformations.html
8. Carol Bier y Melissa June Dershewitz,
http://forum.swarthmore.edu/geometry/rugs/index.html
9. Hans Kuiper,
http://web.inter.nl.net/hcc/Hans.Kuiper/
PROGRAMAS RELACIONADOS
1. KALI. Realizado por Jeff Weeks para The Geometric Center. Dibuja diseños simétricos
basados en alguno de los 17 grupos de murales. También se pueden generar los grupos de frisos
y los grupos de Leonardo.
Se consigue en http://www.geom.umn.edu/software/download/kali.html
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2. REPTILES. Escrito por Olaf Delgado y Daniel Huson. El programa es capaz de generar
todos los grupos cristalográficos planos. Permite también diseñar esquemas geométricos más
complejos e interesantes. Útil también para cristalógrafos y quı́micos.
Se consigue en ftp://ftp.uni-bielefeld.de/pub/math/tiling/reptiles
3. PLANETILING. Realizado por Xah Lee. Este paquete, escrito para el programa Mathematica, permite representar los 17 tipos de diseños de murales con un motivo ornamental arbitrario.
Contiene documentación que permite representar la celosı́a fundamental y la celda unidad de
cada uno de los grupos.
http://www.best.com/∼xah/SpecialPlaneCurves dir/
MmaPackages dir/mmaPackages.html#PlaneTiling
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