Problemas de gravitación

PROBLEMAS
1.- Con una órbita de 8000 Km de radio gira alrededor de la Tierra un satélite de 500 Kg de masa.
Determina:
a) su momento angular
b) su energía cinética
c) su energía potencial
d) su energía total.
Sol.:a) 3,16 x 1013 mKg/s b) T = 1,57 x 1010 J c) U= -3,136 x 1010 J d) E = -1,57 x 1010 J
2.- ¿Cuánto valen el potencial y la intensidad del campo gravitatorio creado por la Tierra en un
punto de su superficie?
Sol.: V= 6,26 x 107 m2/s2 ; g = 9,8 N/Kg.
3.- Tres cuerpos de masas iguales se encuentran situados en los vértices de un triángulo
equilátero de lado l. Calcula:
a) ¿Cuál es la fuerza que cada dos masas ejercen sobre la tercera ?
b) ¿Con qué velocidad debería girar el sistema alrededor de su centro de masas para que
las distancias permaneciesen fijas ?
Sol.:
(a)F'
Gm 2
l2
3;(b)ω' 3
Gm
l3
4.- Dos masas m1=800 Kg y m2=600 Kg, se encuentran separadas 0,25 m entre sí. Determinar
a) ¿Cuál es la intensidad del campo gravitatorio en un punto situado a 0,2 m de m1 y 0,15
m de m2?
b) ¿Cuál es el potencial gravitatorio en ese punto ?
Sol.: a) g = 2,2 x 10-6 N/Kg perpendicular a la línea que une sus centros y hacia ella.
b) V= - 5,3 x 10-7 m /s
5.- Un satélite de comunicaciones "Early Bird " se encuentra siempre sobre la vertical de un
mismo punto del Ecuador. Sabiendo que la intensidad del campo gravitatorio en la superficie de
la Tierra es g =9,8 N/Kg y que el radio de la Tierra es R = 6400 Km, calcula:
a) su período de revolución y el radio de la órbita, supuesta circular.
b) la energía de la órbita por Kg de masa del satélite.
Sol.: T = 86400 s. r = 42340 Km E = -4,74 MJ/Kg
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6.- Un meteorito cae desde el infinito en el campo gravitatorio terrestre.¿Con qué velocidad
llegará a la superficie de la Tierra ? Datos:g = 9,8 N/Kg R = 6400 Km.
Sol.: v = 11,2 km/s
7.- Un gigante hace un agujero desde Zaragoza hasta sus antípodas y deja caer por él una piedra.
¿ Qué movimiento llevará ? Calcula sus constantes. Considera a la Tierra como una esfera
homogénea. Datos: g = 9,8 N/Kg R = 6400 Km.
Sol: M.A.S. de período T= 1h 34 m 37 s
8.- Un satélite describe una órbita circular plana de radio r y período T en torno a un planeta.
Determina la masa del planeta.
r3
Sol . : M'4π2
GT 2
9.- La masa del planeta Júpiter es de unas 318 veces la de la Tierra, y su diámetro es 11 veces
superior. Calcular:
a) ¿Cuánto pesa en ese planeta un hombre cuyo peso en la Tierra es de 70 Kp ?
b) ¿ Cuál será su masa?
c) ¿Cuál será la relación entre las energías potenciales de dicho astronauta sobre la
superficie de Júpiter y sobre la de la Tierra?
Sol.: a)184 Kp b) la misma c) 29
10.- Calcular la velocidad de un satélite que describe una órbita circular a 200 Km de la
superficie terrestre. Cuando, por efecto del rozamiento con el aire, el satélite vaya perdiendo
energía, ¿qué ocurrirá? y, en particular, ¿qué le pasará a su velocidad angular?.
DATOS: g = 9,8 m/s R = 6400 Km
Sol.:779 m/s ;perderá altura respecto a tierra; ω aumentará , es decir, girara más rápidamente.
11.-Una partícula de masa m está describiendo una trayectoria circular de radio R con velocidad
lineal constante v.
a) ¿Cuál es la expresión de la fuerza qué actúa sobre la partícula en éste movimiento?. ¿Cuál es
la expresión del momento angular de la partícula respecto al centro de la trayectoria?.
b) ¿Qué consecuencias sacas de aplicar el teorema del momento angular en este movimiento?
¿Por qué?.
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12.- Dí si existe alguna relación entre la dirección del momento de una fuerza y:
a)
La dirección de la fuerza
b)
La dirección del momento angular
c)
La dirección del cambio con el tiempo del momento angular
Sol.:
a)
r r
M⊥ F
r r
b) M// L
13.-Una partícula se mueve por la acción de una fuerza gravitatoria central y describe una
circunferencia con velocidad angular constante. ¿ Realiza trabajo la fuerza centrípeta ?. Teniendo en
cuenta que su velocidad lineal cambia continuamente de dirección representa gráficamente la Energía
cinética de la partícula en función del tiempo.
14.- Deduce la ecuación de dimensiones y las unidades en el S.I. de la constante de Gravitación
Universal.
Sol.: L3 T-2 M-1
Kg3 s-2 Kg-1 = N m2 Kg-2
15.-Deducir el valor de la constante de la 3º ley de Kepler para la Tierra.
Datos : MT = 5,98.1024 Kg; G = 6,67.10-11 N m2 Kg-2
Sol.: = 9,897.10-14 N-1 m-2 Kg-1
16.- Determina el valor de la gravedad en un punto situado a una altura de 130 Km sobre la superficie
terrestre.
Datos: Radio medio terrestre
RT = 6370 Km gravedad al nivel del mar g0 = 9,80 m\s2
Sol.:
9,41 m\s2
17.-La Luna está a 3,9 105 Km del centro de la Tierra. La masa de la Luna es de 7,3 1022 Kg y la de
la Tierra de 6 1024 Kg. ¿ A qué distancia del centro de la Tierra las fuerzas gravitatorias qué ejercen
el planeta y su satélite sobre un objeto son iguales en intensidad y de sentido opuesto ?.
Sol.:
3,5 105 Km
18.a) Compara las fuerzas de atracción gravitatoria que ejercen la Luna y la Tierra sobre un cuerpo
de masa "m" que se halla situado en la superficie de la Tierra. ¿ A qué conclusión llegas ?.
b) Si el peso de un cuerpo en la superficie de la Tierra es de 100 Kp ¿ Cuál sería el peso de ese
mismo cuerpo en la superficie de la Luna ?.
Datos: La masa de la Tierra es 81 veces la masa de la Luna
La distancia entre los centros de la Tierra y la Luna es de 60 radios terrestres.
El radio de la Luna es 0.27 veces el radio de la Tierra.
Sol.:
a) FT \ FL = 281961 b) 16,9 Kp
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19.- La masa de la Luna es aproximadamente 7,36 1022 Kg y su radio 1,74 106 m. Calcula:
a) El valor de la distancia que recorrería una partícula, en un segundo de caída libre hacia la
Luna, si se abandona en un punto próximo a su superficie G = 6,67.10-11Nm2 Kg-2 Sol.:0,81
m
b) En la superficie terrestre, al colocar un cuerpo en un platillo de una balanza y en el otro pesas
por un valor de 23,25 g se consigue el equilibrio. ¿ Qué pesas tendríamos que utilizar para
equilibrar la balanza con el mismo cuerpo en la superficie de la Luna.? Sol.:
23,25 g
20.- La masa del planeta Negro es cinco veces la del planeta Silencioso y su radio es igual a la
mitad del radio del planeta Silencioso. Si un tractor pesa 3000 N en la superficie del planeta
Silencioso. ¿Cuánto pesará en la superficie del planeta Negro?
Sol.:
6. 104 N
21.- Calcular a que altura sobre la superficie terrestre la intensidad de campo gravitatorio se reduce
a la cuarta parte de su valor sobre dicha superficie.
Datos : RT = 6370 Km
Sol.: 6370 Km
22.- Dos masas puntuales m1 = 5 kg y m2 = 10 kg se encuentran situadas en al plano XY en dos
puntos de coordenadas ( x1 , x2 ) = (0.1) y (x2 , y2 ) = ( 0,7 ) respectivamente. Se pide:
a) Campo gravitatorio debido a las dos masas en el punto de coordenadas ( x , y ) = ( 4, 4 ).
b) Trabajo necesario para trasladar una masa de 1 kg situada en el punto ( 0 , 4 ) hasta el punto
( 4, 4 ) en presencia de las otras dos masas.
c) ¿Qué interpretación física tiene el signo del trabajo calculado?
Datos: 6,67.10-11 N m2 Kg-2
Nota: Todas las coordenadas espaciales
r están dadas en metros.
r
-12
-1
-11
Sol.: a) B3,21.10-11 i + 8,0.10 j ( N. Kg );b) -13,4.10 J
23.- Si la densidad media de la Tierra es 5,5 g cm-3.
a) Calcula el valor de su radio sabiendo g = 9,8 m\s2.
b) Calcula el valor de "g" a una altura de la superficie de la Tierra igual a dicho radio.
Datos: G = 6,7 10-11 en SI.
Sol.: R = 6349 Km
g = 2,45 ms-2
24.- Sea una partícula de masa 3 Kg que se mueve con movimiento circular uniforme de velocidad
20 m\s bajo la acción de una fuerza central de valor F = 3\r2 dirigida hacia el origen de coordenadas.
a) Calcula el momento angular de la partícula respecto al centro o polo de fuerzas.
b) ¿ Se conserva dicho momento angular ? ¿ Por qué ?.
r
Sol.:
0,15 k
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25.- Sean A y B dos puntos de la órbita elíptica de un cometa alrededor del Sol, estando A más
alejado del Sol que B:
a) Haga un análisis energético del movimiento del cometa y compare los valores de las
energías cinética y potencial en A y en B.
b) ¿En cuál de los puntos A o B es mayor el módulo de la velocidad?. ¿Y el de la
aceleración?
Sol.: a) EpA>EpB y EcB>EcA ; b) vB>vA y aB >aA
26.- El cometa Halley se mueve en una órbita elíptica alrededor del Sol. En el perihelio (posición
más próxima ) el cometa está a 8,75 x 107 Km del Sol y en el afelio ( posición más alejada ) está
a 5,26 x 109 Km del Sol.
a) ¿En cuál de los dos puntos tiene el cometa mayor velocidad?. ¿Y mayor aceleración?.
b) ¿En qué punto tiene mayor energía potencial? ¿Y mayor energía mecánica?.
ap > aa EPa< EPp EMa = EMp
Sol.: va< vp
27.- Se considera el movimiento elíptico de la Tierra en torno al Sol. Cuando la Tierra está en afelio
(la posición más alejada del Sol) su distancia al Sol es de 1,52 1011 m y su velocidad orbital es 2,92
104m\s. Hallar:
a) El momento angular de la Tierra respecto al Sol.
b) La velocidad orbital en el perihelio. ( distancia en este punto al Sol 1,47 1011m).
Datos: MT= 5,98 1024Kg.
Sol.: a) 2,65.1040 Kg m2 s-1 ; b) 30193,197 m/s
28.- Un satélite de 2000 Kg de masa describe una órbita ecuatorial circular alrededor de la Tierra de
8000 Km de radio. Determinar:
a) Su momento angular respecto al centro de la órbita.
b) Su energía cinética, potencial y total.
Datos : MT = 5,98 1024; G = 6,67.10-12 N m2 Kg-2
Sol.: a) 1,129.1014 Kg m2 s-1 ; b) Ec= 4,98.1010J Ep= -9,972.1010 J; c) ET =-4.99.1010 J
29.- Calcula la masa del Sol a partir del periodo de rotación de la Tierra.
Datos: d S BT = 1,49 1011 m ; G = 6,67.10-11 N m2 Kg-2
Sol.:
1,99 1030 Kg
30.a) Si el radio solar es de 696000 Km y la aceleración de la gravedad en su superficie es
27,9 veces la terrestre, determinar la masa del Sol es función de la terrestre
b) Nuestro Sol rota con un período de 25 días y 9 horas . Determinar el radio de la órbita
circular que debería tener un planeta para que estuviera siempre en la misma vertical
de un punto determinado del ecuador solar.
c) Determinar el módulo del momento angular de tal planeta en su revolución. Realizar
los cálculos en función de la masa del planeta.
Datos:
MS = 3,33. 105 MT
RT = 6370 Km
g0 = 9,8 m\s2
5
10
15
2 -1
Sol.: a) MS = 3,33.10 MT ; b) 2,53.10 m ; c) 1,83.10 mp Kg m s
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31.-Un satélite artificial de la Tierra de masa 10 Tm tiene una velocidad de 4,2 Km/s en una
determinada órbita circular. Hallar:
a) El radio de la órbita.
b) El trabajo necesario para colocarlo en la órbita.
c) Su período.
d) El trabajo realizado por el peso en una vuelta.
Datos: RT = 6370 Km. ;MT = 5,98 1024 Kg ; G = 6,67 10-11 N m2 Kg-2
Sol.: a) 22,6 106 m; b) 5,342 1011 J ;c) 33,79 103 s
32.- Un satélite artificial gira entorno a la Tierra en una órbita circular, a una altura de 300 Km sobre
su superficie.
a) ¿ Con qué velocidad se desplaza ?.¿ Y su aceleración ?
b ) El tiempo que tarda en dar una vuelta.
c) Si el satélite tiene una masa de 200 Kg. ¿ Qué Ep posee en la órbita ?.
Datos: MT = 5,98 1024 Kg ;RT = 6370 Km; G = 6,67.10-11 N m2 Kg-2
Sol.: a) 7733,04 m/s ; 8,96 m/s-2 ; b) 5419,4 s ; c) B1,196.1010 J
33.- Las distancias de la Tierra y de Marte al Sol son respectivamente 140,6.106 Km y 228,0.106 Km.
Suponiendo que las órbitas son circulares y que el período de revolución de la Tierra en torno al Sol
es de 365 días:
a) ¿ Cuál será el período de revolución de Marte ?
b) Si la masa de la Tierra es 9,6 veces la de Marte y sus radios respectivos son 6370 Km y
3390 Km ¿ Cuál será el peso en Marte de una persona de 70 Kg ?
Datos: Gravedad en la superficie terrestre: g = 9,8 m/s2.
Sol.: a) 753,7 días b) 252,31 N
34.-Se pretende situar un satélite artificial, de 50 Kg de masa, en una órbita circular a 500 Km de
altura sobre la superficie terrestre. Calcula:
a) La velocidad que debe poseer el satélite para girar en esa órbita.
b) La energía que fue preciso comunicarle desde la superficie terrestre para ponerlo en órbita.
c) El valor de la intensidad del campo gravitatorio terrestre en esa órbita.
Datos: G = 6,67.10-11 N m2/Kg2; MT = 5,98.1024 Kg ;RT = 6400 Km
Sol.: a) 7603,06 m/s b) 1,67.109 J c) 8,37 m/s2
35.-Teniendo en cuenta que el radio terrestre es de 6400 Km y que el valor de la aceleración de
la gravedad en la Superficie de la Tierra es de 9,8 m/s2 :
a) Determinar el valor numérico del producto GM, donde G es la constante de
gravitación universal y M la masa de la Tierra.
b) Calcular la velocidad a la que se debe mover un satélite en órbita circular alrededor
de la Tierra , si el radio de la órbita es tres veces más grande que el radio terrestre.
c) Si este satélite tiene una masa de 10 Tm : ¿Qué energía potencial gravitatoria tendrá?
Sol.: a) 4.1014 Nm2 Kg-1; b) 4572,4 m/s ;c) B2,1.1011 J
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36.- Se coloca un satélite meterológico de 1000 Kg en órbita circular, a 300 km sobre la
superficie terrestre. Determine:
a) La velocidad lineal, la aceleración radial y el período en la órbita
b) El trabajo que se requiere para poner en órbita el satélite.
Datos: Gravedad en la superficie terrestre
g = 9,8 ms-2
Radio medio terrestre RT = 6370 Km
Sol.:
a) 7721,3 ms-1
8,94 ms-2
1,5 h b) 3,26.1010 J
37.- Sabiendo que el radio de la órbita circular de la Luna alrededor de la Tierra es 384.10 3 Km
y que su período es de 27,3 días, hallar:
a) La masa de la Tierra
b) La velocidad lineal de la Luna en su órbita
Datos: G = 6,67.10-11 ( S.I.).
Sol.:
a) 6,02.1024 Kg; b) 1023 ms-1
38.- La Luna es aproximadamente esférica con radio RL = 1,74.10 6 m y masa ML = 7,35.1022 Kg. La
constante de gravitación universal es G = 6,67.10 B11N m2 Kg B2 .Desde la superficie de la Luna se
lanza verticalmente un objeto que llega a elevarse una altura máxima sobre la superficie h = RL.
Determina:
a) La velocidad inicial con que se ha lanzado el objeto
b) La aceleración de la gravedad en la superficie de la Luna y en el punto más alto
alcanzado por el objeto.
c) La velocidad de escape desde la superficie de la Luna
Sol.: a) 1678,5 ms-1 ; b) 1,62 ms-2 0,405 ms-2 ;c) 2373,8 ms-2
39.- La nave espacial lunar Prospector permanece en órbita circular alrededor de la Luna a una altura
de 100 Km sobre su superficie. Determina:
a) La velocidad lineal de la nave y el período del movimiento.
b) La velocidad de escape a la atracción lunar desde esa órbita.
Datos: G = 6,67 10-11 N m2 Kg-2 ; ML = 7,36 1022 Kg; RL = 1740 Km
Sol.: a) 1633,4 m/s 7077,9 s ; b) 2,3.103 m/s
40.- Una sonda espacial se encuentra " estacionada " en una órbita circular terrestre a una altura sobre
la superficie terrestre de 2,26 RT. Calcular:
a) La velocidad de la sonda en la órbita de estacionamiento.
b) Comprobar que la velocidad que la sonda necesita a esa altura para escapar de la atracción
de la Tierra es aproximadamente 6,2 Km/s.
Datos : g0 = 9,8 m/s2 ; RT = 6370 Km
Sol.: a) 4,37 Km/ s
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41.- Calcula la velocidad de escape en la superficie terrestre con un valor de g = 9,81 ms-2, siendo RT=
6366 Km
¿ Cuál sería la velocidad de escape en otro planeta de igual densidad que la Tierra y radio la mitad ?.
Sol.: vetierra=11176 ms-1; veplaneta=5588 m/s
42.- Calcula el radio de la órbita circular de un satélite terrestre para que su velocidad coincida con
la velocidad angular de rotación de la Tierra.
G = 6,67.10-11 SI
MT = 5,98.1024 Kg
7
Sol.:: R = 4,23 10 m.
43.a) ¿Cuál es la velocidad mínima que es preciso comunicar a un objeto situado a 1000 Km de
altura sobre la superficie de la Tierra para que escape del campo gravitatorio terrestre?
Sol.: : 10360,212 m/s
44.- La masa de Saturno es aproximadamente igual a los 3 / 10 de la masa de Júpiter, y su radio
5 / 6 del de Júpiter. Se sabe que la velocidad de escape desde la superficie de Júpiter . Se sabe,
que la velocidad de escape desde la superficie de Júpiter es de 59.400 m/ s. Con estos datos,
calcule:
a) La velocidad de escape desde la superficie de Saturno.
b) La velocidad de escape: ¿depende de la masa del objeto?. ¿en qué medida
importa la dirección de la velocidad?
c) El peso que tendrá en Saturno un objeto cuyo peso en Júpiter sea de 1 N.
Sol.: a) 35640 m/s ;b) No depende ni de la masa del objeto , ni de la dirección de la
velocidad c) 0,432 N
45.- En la superficie de un planeta de 3.000 Km de radio, la aceleración es de 3 m/s2.
Calcular:
a) La energía potencial gravitatoria de un objeto de 200 kg de masa situado en
la superficie del planeta
b) La velocidad de escape desde la superficie del planeta
c) La masa del planeta
Datos :G = 6,67.10-11 unidades S.I.
Sol.: a) -1,8.109 J; b) 4242,6 m/s ;c) 4,05.1023 kg
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