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Problemas de la Lección 2
2.1) Justifíquese la simetría o asimetría de las funciones:
a) Ψ (x) = cos(x)
b) Ψ(x) = 1/sen(x)
2
d) Ψ(x) = exp(-ax )
e) Ψ(x) = F(x)F(-x)
c) Ψ(x) = (13 + x)(13 - x)
f) Ψ(x) = x3(x - 4).
Solución:
Se dice que una función es par o simétrica cuando f(x) = f(-x). A consecuencia de esta propiedad se cumple que:
∞
∞
−∞
0
∫ f (x)dx = 2∫ f (x)dx
Por otra parte, una función es antisimétrica o impar cuando f(x) = -f(-x), por lo que, en este caso:
∞
∫ f (x)dx = 0
−∞
a) Evidentemente cos(x) = cos(-x), luego la función es simétrica
b) Es una función antisimétrica, 1/sen(x) = -1/sen(-x)
c) Es evidente, que es una par f(x) = f(-x).
d) Es par. Para representarla hacemos, por ejemplo a = 30
e) Evidentemente es una función par. Es idéntico al caso c).
f) Esta función no es par ni impar, ya que
f(-x) = x3(x+4) ≠ ± f(x)
1
∂
∂2
∂2
∂2
y
∇2 = 2 + 2 + 2
∂x
∂x
∂y
∂z
Hállese si las siguientes funciones son, o no, funciones propias de dichos operadores:
a) xa
b) log(ax)
c) eax
d) cos(ax)
e) cos(ax) +i sen(ax)
2,2) Sean los operadores:
Solución:
Para que una función f(x) sea función propia de un operador A, debe cumplirse que A f(x) = a f(x), donde a es un
factor numérico
∂ a
a)
x = ax a −1 ≠ cte × x a
∂x
⎛ ∂2
∂2
∂2 ⎞
∂2
∇ 2 x a = ⎜ 2 + 2 + 2 ⎟ x a = 2 x a = a ( a − 1) x a − 2 ≠ cte × x a
∂y
∂z ⎠
∂x
⎝ ∂x
No es función propia de ninguno de los operadores.
b) Si se tiene en cuenta que; log(ax) = log(e)×ln(ax)
∂
a
log(ax) = log(e) ≠ cte × log(ax)
∂x
ax
∂2
log(e)
∇ 2 log(ax) = 2 log(ax) = − 2 ≠ cte × log(ax)
∂x
x
Tampoco es función propia de ninguno de los operadores
c)
∂ ax
e = aeax
∂x
∂2
∇ 2 eax = 2 e ax = a 2 eax
∂x
Las dos son funciones propias, la primera tiene como valor propio a, y la segunda a2.
d)
∂
cos(ax) = −a × sen(ax) ≠ cte × cos(ax)
∂x
∂2
∇ 2 cos(ax) = 2 cos(ax) = −a 2 cos(ax)
∂x
No es función propia del primer operador, pero si del segundo, con valor propio –a2.
e) Vamos a usar la notación de Euler: cos(ax) +i sen(ax) =eiax. Según esta notación:
cos(x) + i ⋅ sen(x) = eix
e − ix = ( eix )
*
cos(x) − i ⋅ sen(x) = e − ix
∂ iax
e = iaeiax
∂x
∂2
∇ 2 eiax = 2 eiax = i 2 a 2 eiax = −a 2 eiax
∂x
Las dos son funciones propias, la primera tiene como valor propio ia, y la segunda -a2.
2
2.3) Determínese bajo que condiciones la función f(x) =exp(-ax2), es función propia del operador A = (bx2 d2/dx2 ) donde b es una constante. Calcúlese, en dicho caso, su valor propio y normalice la función.
Solución:
Vamos a resolver este problema intentando aprovecharnos al máximo posible del álgebra de operadores. Como
en el operador A interviene una derivada, vamos a llamar D = d/dx. Por lo tanto A = bx2 – D2. Realicemos la
siguiente operación:
2
d − ax 2
Df (x) =
e
= −2axe − ax = −2axf (x)
dx
Además
d
Dx =
x =1
dx
Por lo tanto:
D 2 f (x) = DDf (x) = D ( −2axf (x) ) = −2aD ( xf (x) ) = −2a ( xDf (x) + f (x)Dx ) = −2a ( −2ax 2 f (x) + f (x) ) =
= 2a ( 2ax 2 − 1) f (x)
Por lo tanto:
Af (x) = ( bx 2 − D 2 ) f (x) = bx 2 f (x) − 2a ( 2ax 2 − 1) f (x) = 2af (x) + ( b − 4a 2 ) x 2 f (x)
Por lo tanto, la única forma de que Af(x) = cte f(x), consiste en que el segundo sumando de la expresión anterior
sea cero, es decir, b = 4a2
Para normalizar la función, redefiniremos:
ψ ( x ) = Ne − ax
2
∫ ψ ψdx = ∫ ψ dx = 1
⇒
*
2
Por lo tanto
2
2
∫ ψ dx = 1 = N
∞
∞
−2ax
−2ax
2
∫ e dx = 2N ∫ e dx Sabiendo que
2
−∞
2
0
∞
∫x
2n − cx 2
e
0
dx =
( 2n )! π
22n +1 n! c 2n +1
En nuestro caso, n = 0 y c = 2a. Como 0! = 1, podemos escribir que:
1/ 4
∞
2
0!
π 2N 2 π
⎛ 2a ⎞
1 = 2N 2 ∫ e −2ax dx = 2N 2
=
⇒ N=⎜ ⎟
2 × 0! 2a
2
2a
⎝ π ⎠
0
2.4) Demuéstrese que en el intervalo 0 ≤ φ ≤ 2π, las funciones ψ n = Neinφ , donde n = 0, ± 1, ± 2, …, forman
un conjunto ortogonal. Determinar la constante de normalización de estas funciones.
Solución:
Si las funciones ψn, forman un conjunto ortogonal, debe cumplirse que:
2π
⇒ δ nk = 1
⎧n = k
*
∫0 ( ψ n ) × ψ k dφ =δnk = ⎩⎨n ≠ k ⇒ δnk = 0
2π
∫ (ψn )
*
0
2π
2π
0
0
⋅ ψ k dφ =N 2 ∫ e − inφ ⋅ eikφ dφ =N 2 ∫ e( k − n )iφ dφ
Si n = k, entonces:
2π
1 = N 2 ∫ e(
0
k − n ) iφ
2π
dφ = N 2 ∫ dφ = N 2 2π
⇒ N=
0
1
2π
Si n ≠ k
2π
2π
⎡ ei ( k − n ) φ ⎤
N2
N2
⎡cos ⎡⎣( k − n ) 2π ⎤⎦ + i ⋅ sen ⎡⎣( k − n ) 2π ⎤⎦ − 1⎤⎦
N 2 ∫ e( k − n )iφ dφ = N 2 ⎢
ei ( k − n ) 2 π − 1 =
⎥ =
i (k − n)
i (k − n) ⎣
0
⎣⎢ i ( k − n ) ⎦⎥ 0
(
)
Como n y k son enteros, su diferencia es también entera, por lo que el coseno de un múltiplo de 2π vale 1 y el
seno cero. Por lo tanto:
N2
[1 + i ⋅ 0 − 1] = 0
i (k − n)
3
2.5 ) Supóngase una partícula sometida a un campo de potenciales. En que condiciones es posible conocer
simultáneamente su impulso y su energía.
Álgebra con operadores; Si A, B y C son tres operadores y k una constante numérica, debe cumplirse que:
[ kA, B] = kAB − BkA = k ( AB − BA ) = k [ A, B]
[ A + B, C] = ( A + B ) C − C ( A + B ) = AC − CA + BC − CB = [ A, C] + [ B, C]
[ A, k ] = Ak − kA = k(A − A) = 0
Solución:
Para simplificar supondremos que la partícula se mueve en un solo eje. En este caso:
∂ h ∂
=
Operador momento lineal: p x = −ih
∂x i ∂x
p2
h2 ∂2
Operador Energía cinética: T = x = −
2m
2m ∂x 2
Operador energía: H = T + V
La forma explícita del operador V (energía potencial), dependerá de cada sistema en particular.
Para que dos observables puedan ser determinadas simultáneamente debe cumplirse que sus operadores
conmuten [H, px] =0. Operando
[ H, p x ] = [T, p x ] + [ V, p x ]
El primer término es evidentemente cero
1
1
[T, p x ] = ⎡⎣ p2x , p x ⎤⎦ = ( p3x − p3x ) = 0
2m
2m
Vamos a ver que ocurre con el segundo sumando. Para ello lo aplicaremos a una función genérica f(x)
h ∂f (x) h ∂Vf (x) h ⎛ ∂f (x)
∂f (x)
∂V ⎞
h
∂V
−
= ⎜V
−V
− f (x)
[ V, p x ] f (x) = ( Vp x − p x V ) f (x) = V
⎟ = − f (x)
i ∂x
i ∂x
i⎝
∂x
∂x
∂x ⎠
i
∂x
Para que esta expresión sea cero, y por lo tanto se cumpla que [H, px] = [V, px] =0, debe cumplirse que V sea
constante, es decir, que no depende de x.
h
∂V
∂V
si V = cte
=0
[ V, p x ] f (x) = − f (x)
i
∂x
∂x
Por lo tanto H y px pueden determinarse simultáneamente solo en el caso de que la energía potencial sea
constante.
2.6) Calcular los conmutadores [d2/dx2, x] y [d2/dx2, x2].
Solución:
d
Llamaremos D =
. Sabemos de teoría que [D,x] = 1, por lo tanto:
dx
⎡⎣ D 2 , x ⎤⎦ = DDx − xDD = DDx − xDD + DxD − DxD = D [ D, x ] + [ D, x ] D = 2D
⎡⎣ D 2 , x 2 ⎤⎦ = DDxx − xxDD = DDxx − xxDD + xDDx − xDDx = ⎡⎣ D 2 , x ⎤⎦ x + x ⎡⎣ D 2 , x ⎤⎦ = 2Dx + 2xD
Como
[ D, x ] = Dx − xD = 1 ⇒ Dx = 1 + xD
⎡⎣ D 2 , x 2 ⎤⎦ = 2 + 2xD + 2xD = 2 + 4xD
4
2.7) Determina los conmutadores [H,px] y [H,x], donde H = [px2 + py2 + pz2]/2m + V, para
a) V = constante
b) V = kx2/2
∂
c) V = e2/r
Datos:
p x = −ih
r = [x2 + y2 + z2]1/2
∂x
Solución:
Dado que [T,px] = 0 (ver problema 5, y que [V,x] = 0, ya que V depende solo de la posición, para los tres casos
se cumple que:
[ H, p x ] = [T, p x ] + [ V, p x ] = [ V, p x ]
[ H, x ] = [T, x ] + [ V, x ] = [T, x ]
Además [T,x] es independiente de la forma de V, por lo que [H,x] = [T,x] toma el mismo valor para los tres
apartados.
p2
∂2
Sabiendo que T = x , y que p 2x = − h 2 2 = −h 2 D 2 , podemos escribir que:
2m
∂x
2
1
h
[ H, x ] = [T, x ] = ⎡⎣p2x , x ⎤⎦ = − ⎡⎣D2 , x ⎤⎦
2m
2m
Que del problema anterior:
h2
2h 2
h
px
[ H, x ] = − ⎡⎣ D2 , x ⎤⎦ = − D =
2m
2m
i⋅m
Analicemos ahora
[ H, p x ] = [T, p x ] + [ V, p x ] = [ V, p x ]
a) Si V = cte
[ H, p x ] = [ V, p x ] = 0
Una constante conmuta con cualquier operador.
b) Si V = kx2/2
k 2
kh 2
⎡⎣ x , p x ⎤⎦ =
⎡ x , D ⎤⎦
2
2i ⎣
Como [D,x] = 1, y [x,D] = -1
⎡⎣ x 2 , D ⎤⎦ = xxD − Dxx = xxD − Dxx + xDx − xDx = x[x, D] + [x, D]x = −2x
[ H, p x ] = [ V, p x ] =
Por lo tanto:
[ H, p x ] = [ V, p x ] =
k 2
kh 2
2kh
⎡ x , p x ⎤⎦ =
⎡ x , D ⎤⎦ = −
x = khix
2⎣
2i ⎣
2i
c) Si V = e2/r
h
e2 h ⎡ 1 ⎤
,D
i
i ⎢⎣ r ⎥⎦
Antes de nada vamos a calcular
−1/ 2
−3 / 2
1
x
⎛1⎞ d 2
D⎜ ⎟ =
x + y2 + z2 )
= − 2x ( x 2 + y 2 + z 2 )
=− 3
(
2
r
⎝ r ⎠ dx
[ H, p x ] = [ V, p x ] = [ V, D] =
Operando el conmutador
1 d
d ⎛1
1 d
d 1
d 1 x
⎡1 ⎤
⎞ 1 d
⎢ r , D ⎥ f (x) = r dx f (x) − dx ⎜ r f (x) ⎟ = r dx f (x) − r dx f (x) − f (x) dx r = −f (x) dx r = r 3 f (x)
⎣
⎦
⎝
⎠
Por lo que
⎡1 ⎤ x
⎢ r , D⎥ = r3
⎣
⎦
Y por lo tanto
h
e2h 1
e2 h x
[ H, p x ] = [ V, p x ] = [ V, D] = ⎡⎢ , D ⎤⎥ =
i
i ⎣r ⎦
i r3
5
INTEGRALES.
n ax
∫ x e dx =
∞
∫x
2n − ax 2
e
x n eax n n −1 ax
− ∫ x e dx
a
a
dx =
0
∞
∫x e
n − ax
dx =
0
∞
∫x
2n +1 − ax 2
e
∫ sen ( x )
∫ cos ( x )
n
2
2n +1
∫x
n
n! a
dx =
n!
2a n +1
dx = −
dx =
para n = 0, 1, 2 …
para n > -1 y a>0
para n = 0, 1, 2 …
sen ( x )
n −1
cos ( x )
n
cos ( x )
∫ x sen ( x ) dx = −x
n
π
2n +1
n!
a n +1
0
n
( 2n )!
n −1
n
n
sen ( x )
+
+
n −1
n −2
sen ( x ) dx
∫
n
n −1
n −2
cos ( x ) dx
∫
n
cos ( x ) + n ∫ x n −1 cos ( x ) dx
cos ( x ) dx = x n sen ( x ) − n ∫ x n −1sen ( x ) dx
RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS
sen ( a + b ) = sen ( a ) cos ( b ) + cos ( a ) sen ( b )
2cos ( a ) cos ( b ) = cos ( a − b ) + cos ( a + b )
2sen ( a ) sen ( b ) = cos ( a − b ) − cos ( a + b )
2sen ( a ) cos ( b ) = sen ( a − b ) + sen ( a + b )
CONSTANTES FÍSICAS FUNDAMENTALES
Radio atómico de Bohr a 0 = 0.529167 ⋅ 10−10 metros
Constante de Boltzmann k B = 1.389662 × 10−23 Julios/K
Carga del electrón e = 1.60219 × 10−19 C.
Constante de Planck h = 6.62618 × 10−34 Julios/s
Masa del electrón m e = 9.10953 × 10−31 Kg
Velocidad de la luz c = 2.997925 × 108 m/s
Número de Avogadro N A = 6.022 × 1023
6
para n = 2, 3, 4, …
para n = 2, 3, 4, …