5. TEOREMA FUNDAMENTAL: Formulación y Demostración

5. TEOREMA FUNDAMENTAL:
Formulación y Demostración
Jorge Eduardo Ortiz Triviño
jeortizt@unal.edu.co
http:/www.docentes.unal.edu.co/jeortizt/
1
CONTENIDO
1.
2.
3.
4.
5.
INTRODUCCIÓN
VARIABLES ALEATORIAS
TEOREMA FUNDAMENTAL.
GENERADORES DE V.A.
GENERALIZACIÓN DELTEOREMA
FUNDAMENTAL.
6. GENERADORES DE VECTORES
ALEATORIOS.
2
GENERADORES DE
VARIABLES ALEATORIAS
x  a   b  a  u 
3
3. TEOREMA FUNDAMENTAL
Si
Entonces
A. U
U  0,1 y
B. X
FX  x 
FX  X  U   0,1 y
1.

1

X

F
U

2.
X 
FX  x 
4
3. TEOREMA FUNDAMENTAL
Verdadera aleatoriedad
Si
Aleatoriedad ficticia
Entonces
A. U
U  0,1 y
B. X
FX  x 
Mundo Real
FX  X  U   0,1 y
1.

1

X

F
U

2.
X 
FX  x 
Mundo Artificial
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Demostración :
1. Sea F una distribucíon contínua en R con
inversa F-1 definida por
F (u)  inf x : F ( x)  u,0  u  1
1
2. Se debe mostrar que la estructura
probabilística de X  es la misma que la de X
FX   x   P  X  x   P  F
u   x 
 P U  FX  x    FU  FX  x    FX  x 

1
X
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Observaciones al teorema :
1. La aleatoriedad ficticia se puede producir
mediante generadores de números
pseudoaleatorios.
2. La expresión X   FX1 U   se denomina
Función percentil.

3. La variable de estado sintética X será la
misma variable de estado real X cuando la
aleatoriedad ficticia sea verdadera.
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Observaciones al teorema :
1. En la práctica se emplea : x  FX1  u 
2. Se dice que la realización x de X  “imita”
o “simula” una realización x de X .
3. El teorema es general puesto que al
trabajar con la Distribución no restringe a
ninguna variable ni a su naturaleza.
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Relaciones entre funciones
• Las funciones de densidad, distribución y
percentil tienen la misma información.
Siempre es posible, en teoría, encontrar una
a partir de la otra.
f X   x 
GeneradorDeX  
FX   x  
1
X
xF
u 
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Distribución uniforme
Interpretación gráfica:
Caso continuo
FX   x 
u
x  FX1  u  
u
x
f(x)
x  FX1  u  
x
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4. GENERADOR VARIABLE
ARTIFICIAL CONTINUA
La fisonomía del algoritmos generador para X
es:
Funcion Generador _ X   
m

INICIO
u  Aleatorio   ;
x  FX1  u  ;
RETORNAR  x  ;
FIN
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Ejemplo 1.- Variable exponencial
La densidad exponencial viene dada por
1
 x
f ( x)  exp  

 
x0
y por tanto su distribución es
F ( x)  
x

 x
f (t )dt  1  exp  
 
x0
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Ejemplo 1.- Variable exponencial
Así pues si U~U(0,1) entonces
X  F (U )   ln(1  U )
1
X
Esto permite generar números que siguen una
distribución exponencial, si se dispone de
un número que siguen una distribución
uniforme en (0,1), es decir un número
aletorio.
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Ejemplo 1.- Variable exponencial

Funcion GeneradorExponencial   


INICIO
u *  Aleatorio   ;
x   ln 1  u *  ;
RETORNAR  x  ;
FIN
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Ejercicio: Distribución triangular
Tri  a, b, c 
• Considere la variable aleatoria X
que se presenta en la gráfica:
f(x)
• Determine:
1.
2.
3.
4.
5.
Su densidad.
Su Distribución.
Su media.
a
Su función percentil
Diseñe el generador de esa variable.
b
c
x
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Ejercicio: Distribución triangular
• Densidad :
• Distribución :
• Media
:
 2( x  a)
 (b  a)(c  a)

 2(c  x)
f X ( x)  
 (c  b)(c  a)

0,


0,


2
(
x

a
)

 (b  a)(c  a )
FX ( x)  
2
(
c

x
)
1 
 (c  b)(c  a )

1

abc
E( X ) 
3
a xb
bxc
otro
xa
a xb
bxc
xc
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Ejercicio: Distribución triangular
Función percentil, Aplicando el teorema fundamental
se obtiene :
b  a


0u
 a   b  a  c  a  u
c  a

X (u )  
b  a   u  1
c  c  b c  a 1  u
 
 

c  a

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Ejercicio: Distribución triangular
 a, b 
GeneradorTriangular  a  b  c 

INICIO
Generador de
una variable
aleatoria :
X
Tri  a, b, c 
u  Aleatorio   ;

b  a 

SI  u 
 ENTONCES
c  a 

INICIO
xa
 b  a  c  a  u ;
FIN
SINO
INICIO
xc
 c  b  c  a 1  u  ;
FIN
RETORNAR  x  ;
FIN
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Interpretación gráfica:
Caso discreto
FX   x 
FX   x 
1
u
0
xi  FX1  u  
X
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Ejemplo 2.- Variable Uniforme
discreta
Distribución uniforme discreta en [1,k]. Se
desea generar números enteros entre 1 y k
de tal modo que todos tengan la misma
probabilidad. Para ello:
– Genere U ~ U(0,1).
– Haga X = kU + 1.
Entonces X tiene la distribución deseada. Este
método es más rápido que inversión.
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4. GENERADOR
VARIABLE
ARTIFICIAL
DISCRETA
Funcion Generador _ X   
m
INICIO
u  Aleatorio   ;
i  1;
F  f X  x1*   ;
MIENTRAS  F  u  HACER
INICIO
i  i  1;
F  F  f X  xi*   ;
FIN
RETORNAR  xi*  ;
FIN
21

Ejemplo: Distribución Binomial
• Considere la variable aleatoria X Bin  n, p 
diseñe su generador.
• Solución: La densidad binomial está dada por:
n x
n x
f X ( x n, p)     p 1  p 
 x
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GENERADOR VARIABLE ARTIFICIAL
BINOMIAL
0,1, 2, , n Funcion GeneradorBinomial  n  , p  0,1
INICIO
u  Aleatorio   ;
x  0;
F  1  p  ;
n
MIENTRAS  F  u  HACER
INICIO
x  x  1;
n
n x
F  F     p x 1  p  ;
 x
FIN
RETORNAR  x  ;
FIN
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Ejercicio: Distribución Geométrica
• Considere la variable aleatoria
diseñe su generador.
• Solución:
X
Geom  p 
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VARIABLES SINTÉTICAS
TRUNCADAS
• Sea X f X  x  a partir de la cual se desea
simular la variable truncada:
Y
gY  y  
f X  y   I  a ,b   x 
FX  b   FX  a 
• Claramente,
GY  y  
FX  y   FX  a 
FX  b   FX  a 
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FUNCIÓN PERCENTIL
TRUNCADA
• Aplicando el teorema fundamental de la
simulación es fácil ver que:
1
X
yF
F
X
*
 a    FX b   FX  a   u 
*
*
• ¿Cómo queda el simulador para una
variable aleatoria truncada?
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GENERADOR VARIABLE
SINTÉTICA TRUNCADA
 a, b 
Funcion GeneradorTruncada _ Y   
m
,a  b 
INICIO
u  Aleatorio   ;
  FX  a    FX  b   FX  a   u;
*
*
*
y  FX1   ;
RETORNAR  y  ;
FIN
27

EJEMPLO: GENERADOR
EXPONENCIAL TRUNCADA
 a, b 
Funcion ExponencialTruncada _ Y    ,  a  b 
INICIO
u  Aleatorio   ;
a
a
b
   
 

   1  e     e   e   u;

 

y   ln 1    ;
RETORNAR  y  ;
FIN
28

Dificultades:
1. En ocasiones es difícil (sino imposible)
encontrar analíticamente FX  x 
2. En ocasiones es difícil (sino imposible)

x
“despejar” la variable
3. Una solución frecuente, aunque no es la
única posible, esta en emplear técnicas de
métodos numéricos para encontrar esa
información.
4. O (mejor) aplicar otros métodos que
produzcan los resultados esperados.
29
