π ρ π ρ π π ρ π

Dr JM Ayensa 2016
Física PAU Comunidad valenciana
Julio 2016
FÍSICA PAU COMUNIDAD VALENCIANA Julio 2016
OPCIÓN A
BLOQUE I - CUESTIÓN
Deduce razonadamente la expresión de la velocidad de escape de un planeta de radio R y masa
m. Calcula la velocidad de escape del planeta Marte, sabiendo que su radio es de 3380 km y su
densidad media es de 4000 kg/m3.
Dato: constante de gravitación universal, G = 6,67.10-11 Nm2/kg2.
Respuesta
La velocidad de escape, ve, es la velocidad que tendría que tener una masa m’ en la superficie de
un planeta (a distancia R) para que pudiera alejarse hasta una distancia infinita del planeta de
masa m que crea el campo gravitatorio. Es decir, sería la velocidad que tendría que adquirir para
que la energía mecánica (suma de la energía cinética y la energía potencial) fuera nula.
Dado que el campo gravitatorio es conservativo, la energía mecánica es constante, es decir, es la
misma en el punto de lanzamiento que en cualquier otro punto. En estas condiciones, de energía
mecánica nula, un cuerpo podría alejarse desde el punto de lanzamiento hasta una distancia
infinita r , en cuyo caso, Ep = - Gmm’/r  0; y la velocidad sería cada vez menor, hasta que en
un punto infinitamente alejado sería cero, Ec = ½ mv2  0
Esto es, E = Ec + Ep = 0 = constante, ½ m’ve2 – Gmm’/R  ve2 = 2Gm/R. (1)  ve =
2Gm
(2)
R
En el caso del planeta Marte, del cual se dan los datos de la densidad y su radio, se puede
expresar su masa en función de la densidad, , y el radio R y sustituir en la expresión (2).
m
m
3R 3
=
(3)

m
V (4 / 3)R 3 r
4
Sustituyendo en la ecuación (2), se tiene, ve =
ve =
2G 3R 3
3GR 2
, con los datos en el SI,

4R
2
3 .6 ,67.1011.4000(3,38.106 )2
= 3790 m/s
2
BLOQUE II - CUESTIÓN
Un cuerpo de masa m = 4 kg describe un movimiento armónico simple con un periodo T = 2 s y
una amplitud A = 2 m.
Calcula la energía cinética máxima de dicho cuerpo y razona en qué posición se alcanza respecto
al equilibrio. ¿Cuánto vale su energía potencial en dicho punto? Justifica la respuesta.
Respuesta
Un movimiento armónico simple está caracterizado por la ecuación x(t) = A sin (t + o) (1), donde
x(t) es la elongación o posición de la partícula que oscila en cualquier instante. A es la amplitud,
o sea, el valor máximo de la elongación; t + o es la fase, la cual es el argumento de la función
seno; o la fase inicial (argumento de la función seno en t = 0), siendo  la pulsación o frecuencia
angular, la cual está relacionada con la frecuencia, , y el período, T,  = 2. = 2/T (2)
 =  rad/s.
La energía cinética de la partícula es, en cualquier instante, Ec = ½ mvx2 (3).
La velocidad de la partícula es la derivada, respecto del tiempo, de la elongación, o sea,
vx = dx/dt = - Acos(t + o), (4), la cual es máxima cuando cos(t + o) = - 1, o sea, vxmax = A.
 Ecmax = ½ m(A)2 = ½ 4.222 = 42 = 79,0 J
1
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La fuerza elástica que provoca el movimiento armónico simple es conservativa; la energía
mecánica se conserva, E = Ec + Ep = cte, donde la energía potencial es, Ep = ½ Kx2.
Cuando la Ep = 0 (en x = 0, punto de equilibrio, Ep = ½ k.02);  E = Ecmax + 0, o sea la energía
cinética es máxima, cuando la potencial es nula (en el punto de equilibrio) y la energía cinética
es nula en un extremo, donde la energía potencial es máxima (Epmax = ½ kA2).
BLOQUE III - PROBLEMA
Se desea obtener en el laboratorio la potencia y la distancia
focal imagen de una lente. La figura muestra la lente
problema, un objeto luminoso y una pantalla. Se observa
que la imagen proporcionada por la lente, sobre la pantalla,
es dos veces mayor que el objeto e invertida. Calcula:
a) La distancia focal y la potencia de la lente (en dioptrías).
(1 punto)
b) La posición y tamaño de la imagen si el objeto se situase
a 4⁄3 m a la izquierda de la lente. (1 punto)
Respuesta
a) La lente es convergente (más gruesa en el centro que en los bordes y da una imagen real (se
recoge en una pantalla) e invertida (las lentes divergentes solamente dan imágenes virtuales y
menores que el objeto).
La potencia de la lente es la inversa de la distancia focal imagen, la cual vendrá dada en dioptrías
(m-1) si la distancia focal se da en m; y es positiva en lentes convergentes.
El aumento lateral de la lente es la relación de tamaños entre la imagen y el objeto; y en este caso
es AL =
s'
y'
= -2; en las lentes es la relación entre las distancias objeto e imagen, AL = = - 2
s
y
s’ = - 2s. Se sabe también que la suma de las distancias (en valor absoluto) es 3 m. Por
consiguiente, dado que la distancia objeto es negativa, de acuerdo con las normas DIN, se
cumple, – s + s’ = 3; - s – 2s = 3  s = -1 m; s’ = -2(-1) = 2 m.
1 1 1
1 1
1
2
  1,5; f '  m, con P = 1,5 m-1
  = P, o sea, 
2  1 f'
3
s' s f '
1 3 3 3
1 1 1 1
1
b) Si s = -4/3 m; por la ecuación de lentes,    
 1,5    
s' 2 4 4
s' s f ' s'  (4 / 3)
 s’ = 3/4 m (0,667 m), es una imagen real.
y' s'
3/4
9
El tamaño se obtiene del aumento lateral, AL =
, és decir, y’ = - (9/16)y;
 

y s  (4 / 3)
16
Por la ecuación de las lentes
además estará invertida.
La figura adjunta muestra el objeto, la lente convergente y los rayos que proceden del extremo B
del objeto extenso AB, que permiten obtener gráficamente la imagen. De los infinitos rayos que
salen del punto B se han escogido dos: el paralelo al eje óptico que, después de refractarse, pasa
por el foco imagen y el rayo que pasa por el vértice (centro de la lente), el cual no se desvía. La
conjunción de estos dos rayos da el punto imagen B’; la
B
imagen de A, A’, se encuentra en el eje óptico (cumplen
F’ A’
A
la condición de semejanza de un sistema óptico ideal).
Eje óptico
B’
F’
El resultado es una imagen real, invertida y menor, como
Lente convergente
se aprecia en el esquema de rayos.
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BLOQUE IV - CUESTIÓN
Dos partículas cargadas, y con la misma velocidad, entran en una región del
espacio donde existe un campo magnético perpendicular a su velocidad (de
acuerdo con la figura, el campo magnético entra en el papel). ¿Qué signo tiene
cada una de las cargas? ¿Cuál de las dos posee mayor relación |q|/m? Razona
las respuestas.
Respuesta
La fuerza magnética sobre una carga en movimiento viene dada por el producto vectorial


 
F  qv xB , cuyo módulo es, F  qvB.sen , donde  es el ángulo formado por los vectores
velocidad e intensidad de campo magnético. Si son
perpendiculares, como en este caso, el valor de la fuerza será

el máximo, de módulo F  qvB ; la cual es perpendicular en
todo instante al vector velocidad, por lo que se tratará de una
fuerza centrípeta y la carga describirá una trayectoria circular
de rapidez constante. El sentido dependerá del signo de la
 
carga; si es positiva, será el mismo que el del producto v xB y
será de sentido opuesto si q < 0. En la figura se ha
representado el campo magnético perpendicular al plano del
papel y sentido entrante; la carga positiva describirá una
circunferencia hacia arriba y la negativa hacia abajo.












F
B





F
v
  










v
 F




 F







Trayectoria de una carga positiva y
una negativa
en un campo
magnético perpendicular.
Dado que la fuerza magnética es centrípeta se cumple,

v2
F  qvB  maN  m
R

q
q
v
, o sea, a menor radio mayor relación
, dado que v y B son iguales en los dos

m
m BR
casos. Por consiguiente, la carga positiva tiene una relación carga/masa mayor que la negativa.
BLOQUE V – CUESTIÓN
Explica los tipos de radiactividad natural conocidos, indicando los nombres de las partículas que
los constituyen. Supongamos que se tiene una sustancia que emite un tipo de radiactividad no
identificado. Describe brevemente alguna experiencia que se podría realizar para identificar de
qué tipo de emisión radiactiva se trata.
Respuesta
Los diferentes isótopos radiactivos pueden emitir una o más de las radiaciones siguientes:
La desintegración  se produce en átomos de número atómico elevado (superior a 82) en los
que, a causa de la repulsión electrostática de los protones (que se produce a cualquier distancia,
mientras que la fuerza nuclear “fuerte” de los nucleones solamente se da entre los nucleones
“contiguos”), la presencia de más neutrones no compensa ésta y son inestables. La emisión de
partículas , que son núcleos de 42He, supone una disminución de 4 unidades en el número
másico y 2 unidades en el número atómico.
Por ejemplo,
238
92
U 
4
2
He +
234
90
Th + 
7
La velocidad con que emergen las partículas alfa de los materiales radiactivos es elevada, del orden de 1,6.10 m/s, y
su energía del orden de 5 MeV (megaelectronvolt).
Su poder de penetración es escaso, son absorbidas por delgadas láminas de metales ligeros (aluminio).
3
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Desintegración  (electrones). Son electrones que proceden del núcleo. Las emiten isótopos
inestables de elementos que tienen un número de neutrones mayor que los correspondientes a
los isótopos más estables del mismo elemento. En el núcleo tiene lugar el proceso de de
desintegración del neutrón, que da un protón, un electrón y un antineutrino, 00 e , o sea,
1
0
n 
0
1
e +
Por ejemplo
1
1
14
6
p  + 00 e
C
14
7
N +
0
1
e  + 00 e
Supone el aumento de una unidad en el número atómico.
Son emitidas con velocidades diferentes, unas a baja velocidad y otras a velocidades enormes (algunas de ellas con
velocidades próximas a la de la luz). El poder de penetración es superior a la radiación alfa, pero mucho menor que la
radiación gamma. Son capaces de atravesar láminas muy delgadas, pero son absorbidas con facilidad por láminas de
metal, plástico, vidrio, etc, de varios mm de grosor.
En todos los casos en los que hay emisiones ,  se emite también radiación gamma γ. Es
debido a la reestructuración del núcleo, supone el paso por un estado intermedio “excitado”, que
al volver a su estado fundamental, emite uno o más fotones, esto es, radiación gamma, . Es una
radiación electromagnética de mayor frecuencia (mayor energía) que los rayos X, con frecuencias
del orden de 3.1018 Hz.
Son muy penetrantes y peligrosas, dado que son ionizantes y provocan rupturas de los enlaces químicos en las
moléculas biológicas, originando el desarrollo de tumores y otras alteraciones.
La emisión de positrones, (desintegración  partículas con carga positiva y de masa la de los
electrones) es propia de los isótopos inestables producidos en reacciones nucleares (tienen un
número de neutrones menor que los correspondientes a los isótopos más estables del mismo
elemento). Por consiguiente, no pueden considerarse emisiones naturales.
Si la radiación es  o  -, se detectará comprobando si se desvían a favor o en contra del campo
eléctrico (a favor las negativas, -; en contra,  porque son positivas). La desviación se detecta
tanto por el impacto en pantallas fluorescentes como en la cámara de niebla, de burbujas, de
centelleo (estas últimas permiten “ver” las trayectorias seguidas). Mejor que someter las partículas
a un campo eléctrico es someterlas a un campo magnético perpendicular y observar la trayectoria
(véase la cuestión del bloque IV de esta misma opción); las trayectorias de las partículas positivas
y negativas son opuestas. La radiación gamma también puede detectarse como los rayos X,
aunque generalmente se aprovecha la creación de pares materia-antimateria (en radiación  muy
energética).
BLOQUE VI – PROBLEMA
En un sincrotrón se aceleran electrones para la producción de haces intensos de rayos X que se
utilizan en experimentos de biología, farmacia, física, medicina y química. La energía máxima de
los electrones es E = 1,0 MeV.
a) Calcula razonadamente la relación entre esta energía de los electrones y su energía en reposo
(es decir, E/Eo). Calcula la velocidad de los electrones. (1 punto)
b) En un determinado experimento se utilizan rayos X cuya energía es de 12 keV. Calcula
razonadamente su longitud de onda. (1 punto)
Datos: velocidad de la luz en el vacío, c = 3.108 m/s; masa del electrón, m = 9,1.10-31 kg; constante
de Planck: h = 6,63.10-34 J.s; carga elemental: e = 1,6 .10-19 C.
Respuesta
4
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a) Si se aplica la ecuación de la Mecánica Clásica Ec = ½ mv2 a un electrón con energía cinética
de 1 MeV (= 1,6.10-13 J) se obtiene un valor v = (2Ec/me)1/2 > c, lo cual es erróneo porque ninguna
partícula supera la velocidad de la luz. Por consiguiente, es preciso aplicar las ecuaciones de la
Mecánica Relativista.
La energía cinética se puede relacionar con la energía en reposo si se tiene en cuenta que
Etotal = Ereposo + Ec, donde Etotal = mc2, Ereposo = mo.c2, se cumple, Ec = (m - mo).c2,
m es la masa relativista, o sea, m =
mo
1
v2
c2
= mo
(3), siendo  =
(2), donde
1
1
v2
c2
mo c 2 (  1)
 Ec = moc .( (4) , por consiguiente, la relación E/Eo =
=  -1 (5)
mo c 2
2
De la ecuación (4,) Ec = 1,0.1,6.10-13 = 9,1.10-31.9.1016 .(=
1,6.10 13
+ 1= 2,954
8 ,19.10 14
La relación E/Eo =  – 1 = 1,954


1

La velocidad se obtiene del factor gamma 2,954 = 
2
 1 v

9.10 16




v2
1

=
1


2
c
2,9542


.
v2
1
 1
= 0,8854 v = 0,941 c  v = 2,82.108 m/s
2
c
2,9542
b) La energía de la radiación (de sus fotones) viene dada por la expresión de Planck E = h,
donde h es la constante de acción de Planck y  la frecuencia de la radiación. En el sistema
internacional eV = 1,6.10-19 C; E = 12.103 eV= 12.103.1,6.10-19 = 1,92.10-15 J.
Sustituyendo en la ecuación de Planck,  =
E 1,92.10 15

= 2,90.1018 Hz
h 6 ,63.10  34
La frecuencia está relacionada con la longitud de onda y con la velocidad de la luz,  
=
8
3.10
= 1,03.10-10 m
18
2,90.10
5
c

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OPCIÓN B
BLOQUE I-CUESTIÓN
¿A qué altura desde la superficie terrestre, la intensidad del campo gravitatorio se reduce a la
cuarta parte de su valor sobre dicha superficie? Razona la respuesta. Dato: radio de la Tierra, RT
= 6370 km.
Respuesta
Se pide la altura h a la que g = go/4, donde go es la gravedad en la superficie de la Tierra.
El módulo del vector intensidad de campo gravitatorio, g, debido a una masa puntual M o a una
masa esférica, a una distancia r ≥ R (por ejemplo, la Tierra), viene dada por g  G
caso de un punto situado en la superficie terrestre es, g o  G
superficie de la Tierra, g  G
MT
RT
2
M
(1). En el
r2
(2) y a una altura h sobre la
MT
(3).
( RT  h ) 2
2
R h
g
GMT / RT2
 (4), o sea
  T
Si se divide la ecuación (2) entre la ecuación (3), o  4 
2
g
GMT /(RT  h)  RT 
 RT  h 

  4 =2, (5)  RT + h = 2RT h = RT
 R

T


(6); h = 6,37.106 m, lo cual es lógico; porque la
gravedad disminuye con el cuadrado de la distancia; a doble distancia, la gravedad la cuarta parte.
BLOQUE II- PROBLEMA
Un dispositivo mecánico genera vibraciones que se propagan
como ondas longitudinales armónicas a lo largo de un muelle. La
función de la elongación de la onda, si el tiempo se mide en segundos, es: e(x,t) = 2.10-3 sin (2t –
x) m. Calcula razonadamente:
a) La velocidad de propagación de la onda y la distancia entre dos compresiones sucesivas. (1
punto)
b) Un instante en el que, para el punto x = 0,5 m, la velocidad de vibración sea máxima. (1 punto)
Respuesta
a) Se pide la velocidad de propagación de la onda longitudinal, la cual es la distancia
recorrida por el movimiento ondulatorio en la unidad de tiempo (la onda recorre una
longitud de onda,  (período espacial o distancia mínima entre dos puntos de la dirección
de propagación que se encuentran en la misma fase), en cada período temporal. O sea, la
velocidad de propagación es v = /T
(1).
La ecuación general de una onda unidimensional que se propaga en el sentido positivo del
eje X viene dada por, e(x,t) = A.sen(t – kx + o) (2), donde A es la amplitud,  la
frecuencia angular o pulsación, k el número de ondas y o la fase inicial (valor de la función
en el instante inicial en el origen de coordenadas). En este caso, la ecuación es,
e(x,t) = 2.10-3 sin (2t – x) m, por lo cual,  = 2 rad/s, y k =  rad/m.
La frecuencia está relacionada con la frecuencia angular, = 2 = 2/2 = 1 Hz. El
período es la inversa de la frecuencia, por consiguiente, T = 1/1 = 1 s.
La longitud de onda está relacionada con el número de ondas, de modo que,
k = 2 / siendo k= rad/m = 2/ = 2 m, la cual es la distancia entre dos
compresiones sucesivas.
La velocidad de propagación es v = /T =  = 2.1 = 2 m/s.
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b) Se pide el instante en el que la velocidad es máxima en el punto x = 0,5 m La velocidad
transversal de una partícula (velocidad de vibración) es la derivada de la posición respecto
del tiempo vy = dy/dt = A..cos (t - kx+ o)
Para que vy sea máxima, cos (t - kx+ o) = 1; (t - kx+ o) = 2n (con n = 0, 1, 2, …)
En x = 0,5, con o = 0, el primer instante es, (2t – 0,5) = 0  t = 0,5/2 = 0,25 s
BLOQUE III-CUESTIÓN
Un rayo de luz que se mueve en un medio de índice de refracción 1,33
incide en el punto P de la figura ¿Cómo se denomina el fenómeno óptico
que se observa en la figura? ¿Qué es el ángulo límite? Razona cuál es su
valor para el caso mostrado en la figura.
Respuesta
Se trata del fenómeno de reflexión total.
Por la 2ª ley de Snell, se cumple, sen r = sen i ni/nr. Si un rayo
nr
luminoso pasa a un medio de menor índice de refracción, el
r1 r
r4 = 90º
2
r3
rayo refractado se aleja de la normal, o sea, es mayor que el
de incidencia (véase la figura). Cuanto mayor sea el ángulo de
ilim
ni
i1 i2 i3
incidencia, mayor será el de refracción, de modo que el rayo
incidente se alejará cada vez más de la normal. La situación
ni > nr
O
límite es la que corresponde a un ángulo de refracción de 90º
Figura. Al aumentar el ángulo de
incidencia aumenta el de refracción,
(sen 90º = 1). En tal caso, el rayo refractado no emerge en el
hasta el límite de éste (90º).
segundo medio, sino que
sale rasante. Al ángulo de
incidencia, que le corresponde un ángulo de refracción de 90º se le llama ángulo límite. Su valor,
de acuerdo con la 2ª ley de Snell, está dado por,
sen r = sen î. ni/nr = 1, esto es, îlim = arc sen nr/ni. Con un ángulo de incidencia mayor, se produce
la reflexión total. Sustituyendo los datos, îlim = arc sen(1/1,33) = 48,75º
BLOQUE IV-PROBLEMA
Se colocan tres cargas puntuales en tres de los cuatro vértices de un cuadrado de 3 m de lado.
Sobre el vértice A(3,0) m hay una carga Q1 = - 2 nC, sobre el vértice B(3,3) m una carga Q2 = - 4
nC y sobre el vértice C(0,3) m una carga Q3 = - 2 nC. Calcula:
a) El vector campo eléctrico resultante generado por las tres cargas en el cuarto vértice, D, del
cuadrado. (1 punto)
b) El potencial eléctrico generado por las tres cargas en dicho punto D. ¿Qué valor debería tener
una cuarta carga, Q4 situada a una distancia de 9 m del punto D, para que el potencial en dicho
punto fuese nulo? (1 punto)
Dato: constante de Coulomb: ke = 9.109 Nm2/C2
Respuesta
C
B

a) El vector intensidad de campo en un punto, debido a una distribución de
Q2
Q3r2

cargas puntuales, es la suma vectorial de las intensidades de campo
r3
A
eléctrico debidas a cada una de las cargas, calculadas independientemente
X





de la presencia de las demás. Con tres cargas es, E  E1  E 2  E3 Dado
r1
D
Figura a
que el vector intensidad de campo eléctrico en un punto está dado por



r
Q
u

E  ke 2 ur , donde r  , tendrá la dirección de la recta que une la carga
r
r3
con el punto y el sentido desde la carga al punto considerado, como se

muestra en la figura a). El vector E será opuesto al unitario si Q < 0, dirigido
hacia la carga. En la figura b, se representa la posición de las cargas y el
vector intensidad de campo eléctrico debido a cada una de ellas.
7
Q1
C

E3
D
B

Q3E
2

E1
Figura b
Q2
A
X
Q1
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


 2.10 9 

  3i  
r1
Q1 
i
E1  K e 2 ur1 , donde ur1    ur1   ,0  ; E 1  9.10 9
r1
r1
32
 3 

E 1 2 ,0 N / C



 
 
r2
Q1 
3
3 
2
2

E 2  K e 2 ur2 , donde ur2    ur2  
,
,
 , o sea, ur2  
r2
r2
2 
 3 2 3 2
 2
9


2
2 
9  4.10

 ; E2 2 , 2 N / C
E 2  9.10

,

3 2.2  2
2 



r3
Q3 
 
 2.109 
3 
E 3  K e 2 ur1 , donde ur3    ur1  0 ,  ; E1  9.109
j
r3
r3
3
32


E 1 0 ,2 N / C

    

Sumando los vectores E  E1  E2  E3 , E 2  2 ,2  2 N / C  3'41i  3'41 j N/C
 


 


b) El potencial creado por las tres cargas en el punto D es la suma de los potenciales debidos a
cada una de ellas, calculado para cada carga sin tener en cuenta la presencia de las demás.
Dado que el potencial creado por una carga puntual en un punto situado a una distancia r de la
q
, se obtiene para la distribución de las tres cargas puntuales, el
r
Q
Q
Q
potencial total en D, VD  ke 1  ke 2  ke 3 , sustituyendo datos,
r1D
r2D
r2D
carga viene dado por, V  ke
  2.109  4.109  2.109 
  (12  6 2 ) = - 20,5 V


3
3
3 2


VD = 9.109 
Para que el potencial debido a las tres cargas y una cuarta Q4 fuera nulo, es decir, la suma total
VD = (V1D + V2D + V3D) + V4D = 0, la cuarta carga habría de crear un potencial en D de +20,5 V
(habrá de ser positiva). V4D = K e
Q4
Q
 9.109 4 = 20,5  Q4 = 2,05.10-8 C = 20,5 nC
r4D
9
BLOQUE V- CUESTIÓN
El análisis de 146C de un cuerpo humano perteneciente a una antigua civilización mesopotámica
(Periodo Uruk) revela que actualmente presenta el 50% de la cantidad habitual en un ser vivo.
Calcula razonadamente el año en que murió el individuo.
Dato: Periodo de semidesintegración del 146C , T1/2 = 5760 años.
Respuesta
La actividad radiactiva es la velocidad de desintegración, la cual es proporcional al número de
núcleos presentes. Esto es, A  
dN
  . N
dt
(1) , donde l es la constante radiactiva.
Si se aplica la ecuación a ambas muestras da: A1  .N1 y A2  .N 2 ; dividiendo éstas, queda,
A1 N 1

, (2); se deduce que, si presenta el 50 % de actividad al cabo de un tiempo, t, habrá un
A2 N 2
50 % menos de núcleos radiactivos. Ese tiempo es, por definición, el período de
semidesintegración, T1/2, (tiempo que tarda una muestra en reducir sus núcleos iniciales a la
mitad). Por consiguiente, el tiempo transcurrido es 5760 años.
8
Dr JM Ayensa 2016
Física PAU Comunidad valenciana
Julio 2016
Como complemento a esta resolución, cabe considerar que, si se integra la ecuación (1), se
obtiene Ln
N1
A
N
  .t ,(3), esto es, 1  Ln 1  .t , (3), siendo T1/2 = 0,693/, por consiguiente,
N2
A2
N2
para cualquier fracción de núcleos presentes (porcentaje entre 100), respecto a los núcleos de
partida, la ecuación general aplicable será,
A1
N
0 ,693
 Ln 1  
.t
A2
N2
T1 / 2
BLOQUE VI-CUESTIÓN
Si un protón y una partícula alfa tienen la misma longitud de onda de De Broglie asociada, ¿qué
E cprotón
relación,
, hay entre sus energías cinéticas? Datos: masa del protón, mp = 1 u; masa de la
E calfa
partícula alfa, m = 4 u Nota: considera las velocidades de las dos partículas muy inferiores a la
velocidad de la luz en el vacío.
Respuesta
De Broglie señala que la luz tiene una naturaleza dual, esto es, se comporta siempre como onda y
como corpúsculo y atribuye este carácter dual a toda la materia (por ejemplo a protones u otras
“partículas” en movimiento), relacionando el momento lineal (cantidad de movimiento) a la
frecuencia de la onda que lleva asociada, h. = p.c, (1) donde p es el momento lineal de la
partícula, p = mv (2) y  la frecuencia de la onda asociada, o bien,  = h/p.
(3).
Se pide la relación
2
2
E cprotón (1 / 2)mpv p mpv p


E calfa
(1 / 2)m v2 m v2
(4)
Se puede poner la velocidad en función de la longitud de onda y la masa combinando las
ecuaciones (2) y (3); se tiene, v =
p h
h
(5)


m m m
2
Sustituyendo en la ecuación (4)
E cprotón
E calfa


mp  h (m  )
m 2
p p 

(6)


2
2
m



p
p
m h (m  )

  

E cprotón
Sustituyendo los datos (m = 4mp y  = p) ,
=4
E calfa
9