Matemáticas

Guía de Matemáticas
UNIDAD 1. Números y operaciones
UNIDAD 2. Fracciones y porcentajes
UNIDAD 3. Geometría básica
UNIDAD 4. Interpretación de gráficas
UNIDAD 1. Números y operaciones
UNIDAD 1. Números y operaciones
El presente módulo tiene como objetivo que conozcas e identifiques los nombres de
las cifras que componen los números naturales y decimales. Aprenderás a realizar
operaciones con números naturales y decimales: suma, resta, multiplicación y división. También resolverás ejercicios relacionados con dichas operaciones.
Números naturales
Cuando contamos o numeramos, nos referimos a la cantidad de cosas, personas, animales, que se encuentran en un grupo, para hacerlo utilizamos los números naturales. Nuestro sistema para contar se llama decimal pues utiliza sólo diez símbolos: 0, 1,
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 a los que llamamos dígitos y con ellos se escriben todos los números
y estos aumentan o disminuyen de diez en diez.
1
uno
9 nueve
15 quince
20 veinte
55 cincuenta y cinco
A cada dígito que forma un número se le llama cifra y tiene un valor que dependerá de
la posición que ocupa en el número.
El número 4,523 tiene cuatro cifras que se cuentan de derecha a izquierda:
Primera cifra 3 representa a las unidades, su valor es 3
Segunda cifra 2 representa a las decenas, su valor es 20
Tercera cifra 5 representa a las centenas, su valor es 500
Cuarta cifra 4 representa a las unidades de millar, su valor es 4 000
4
Matemáticas
Podemos también escribir números con una mayor cantidad de cifras, para saber su
valor conviene separarlas de 3 en 3 cifras, dejando un espacio o bien poniendo una
coma entre ellas.
2 354 265 ó 2,354,265
Apoyándonos en la siguiente tabla será más fácil nombrar los números que escribimos.
Periodo
Clase
Orden
Billones
Millares de
billón
C
D
U
Millones
Billones
C
D
U
Millares de
millón
C
D
U
Unidades
Millones
C
D
U
Millares
C
D
U
Unidades
C
D
U
En donde C representa las centenas, D las decenas y U las unidades.
Si tenemos el número:
2,354,265
El 2 representa las unidades de millón y tendrá un valor de 2 000 000 (dos millones).
El 354 representa los millares y tendrá un valor de 354 000 (trescientos cincuenta y
cuatro mil).
El 265 representa las unidades y tendrá un valor de 265 (doscientos sesenta y cinco).
Por lo que el número lo leeríamos: dos millones trescientos cincuenta y cuatro mil
doscientos sesenta y cinco.
Ejemplos:
a) En el número 5,786 ¿qué representa la cifra 7?
La cifra 7 se encuentra en la tercera posición, representa las centenas.
b) En el número 4,584,367 ¿qué representa la cifra 5?
La cifra 5 se encuentra en la sexta posición, representa las centenas de millar.
“Debemos recordar que las cifras se cuentan de derecha a izquierda”
5
UNIDAD 1. Números y operaciones
Ejercicios:
1. En el número 468 ¿qué representa la cifra 6?
2. En el número 25,712 ¿qué representa la cifra 5?
3. En el número 175,849 ¿qué representa la cifra 7?
4. En el número 3,454,268 ¿qué representa la cifra 3?
Operaciones fundamentales
De las operaciones que podemos realizar con los números naturales, hay una básica
y de la cual derivan las demás: la suma o adición.
Si pensamos en nuestra vida, encontraremos que siempre estamos agregando (sumando) algo: años (tiempo), kilogramos (peso), centímetros (medidas), ingresos,
etc., y a partir de ahí, quitamos o disminuimos (resta o sustracción), aumentamos
(multiplicación*) y compartimos (división).
*La multiplicación es una suma abreviada.
Suma o adición
Veamos el siguiente ejemplo:
La semana pasada Juan Carlos realizó los siguientes gastos: $64.00 en transporte,
$185.00 en desayunos y $87.00 en útiles escolares. ¿Cuánto gastó en total?
Para encontrar el resultado que se nos pide, debemos sumar los gastos que realizó
Juan Carlos:
64+185+87=
6
Matemáticas
El primer paso para realizar la suma es colocar las cifras de acuerdo al valor que tienen según su posición: unidades, decenas, centenas, etc.
64
185
+ 87
-----------
Sumando
Sumando
Sumando
Suma o total
A cada uno de los números que se suman les llamamos sumandos y al resultado suma
o total.
Empezamos sumando las unidades: 4+5+7=16
Colocamos el 6 en las unidades
y tenemos 1 que sumaremos a
las decenas.
1
64
185
+ 87
-----------6
Sumamos las decenas: 1+6+8+8=23
Colocamos el 3 en las decenas
y tenemos 2 que sumaremos a
las centenas
2
64
185
+ 87
-----------36
Sumamos ahora las centenas: 2+1=3
64
185
+ 87
-----------336
La suma o total será 336.
Juan Carlos gastó $336.00 en total
Nota: Los sumandos pueden colocarse en cualquier orden y el total será el mismo. “El
orden de los sumandos no altera la suma”.
7
UNIDAD 1. Números y operaciones
Ejercicios:
1. Para el nuevo ciclo escolar, Jesús gastó $1,540.00 en uniformes, $850.00 en útiles
escolares y $630.00 en zapatos deportivos. ¿Cuánto gastó en total?
2. En el Jardín de niños “Panditas” hay 65 alumnos en 1er grado, 58 en 2° grado y 56
en 3er grado. ¿Cuántos alumnos hay en total?
3. Para hacer un ramo de flores para su mamá, María compró 18 rosas, 12 gerberas,
24 claveles y 36 margaritas. ¿Cuántas flores compró en total?
4. En la panadería “Ara”, el miércoles elaboraron 250 bolillos, 320 tortas y 150 chapatas ¿Cuántas piezas de pan elaboraron?
Resta o sustracción
Veamos el siguiente ejemplo:
Josefina gana $6,500.00 al mes, si debe pagar $1,850.00 de renta, ¿cuánto le queda
para el resto de sus gastos?
Para encontrar el resultado debemos realizar una resta entre lo que gana y lo que
debe pagar (es importante colocar los números en este orden, pues en caso contrario
el resultado se altera):
6500 – 1850 =
Para realizar la resta, de manera semejante a la suma, colocamos los números de
acuerdo a su valor de posición: unidades, decenas, centenas, etc.
6500
- 1850
----------Restamos primero las unidades 0-0 = 0
8
Matemáticas
Colocamos ese valor en la columna de las unidades:
6500
- 1850
----------0
Continuamos restando las decenas, como a 0 no podemos quitar 5, tomamos 1 de las
centenas y tendríamos 10 – 5 = 5
4
6500
- 1850
----------50
Colocamos el valor en la columna de las decenas.
Ahora en vez de 5, tendríamos 4 en las centenas.
Restamos ahora las centenas. Como al 4 que nos quedaba no podemos quitarle 8, tomamos 1 de las unidades de millar que bajará a 5 y tendremos: 14 – 8 = 6, lo colocamos
en la columna de las centena:
5
6 500
- 1 850
----------650
Finalmente restamos las unidades de millar: 5 – 1 = 4 con lo que tendríamos:
6 500
- 1 850
----------4 650
Le quedan $ 4,650.00 para el resto de sus gastos.
9
UNIDAD 1. Números y operaciones
Ejercicios:
1. Cristina ahorró $4,500.00 para sus regalos de Navidad. Si quiere comprarse un
vestido de $1,365.00, ¿cuánto le quedará para los regalos?
2. De 45,300 alumnos que se presentaron al examen de admisión a la universidad,
sólo fueron aceptados 18,350, ¿cuántos fueron rechazados?
3. En la bodega de la tienda de Germán habían 265 bolsas de caramelos, si hoy vendieron 97 bolsas, ¿cuántas quedan en la bodega?
4. Efraín recibió del banco un préstamo de $85,500.00, si ha pagado $38,720.00,
¿cuánto le resta por pagar?
Multiplicación
Cuando tenemos un conjunto de sumandos iguales: 65+65+65+65+65= podemos
abreviar la suma multiplicando el valor de uno de los sumandos por el número total
de sumandos.
65+65+65+65+65 = 65 X 5 = 325
Veamos el siguiente ejemplo:
En el comedor público de la Colonia Renacimiento, se reparten 1160 comidas en una
semana ¿Cuántas se repartirán en 45 semanas?
Para saber la cantidad de comidas que se distribuirán, debemos multiplicar:
1,160 X 45 =
10
Matemáticas
Para realizar la multiplicación, colocamos los factores de acuerdo a su valor de posición: unidades, decenas, centenas, etc.
1160 Multiplicando
X 45 Multiplicador
----------Producto
Comenzamos multiplicando las unidades del multiplicador por cada una de las cifras
del multiplicando (se recomienda repasar las tablas de multiplicar):
1160
X 45
-----------
5800 Producto parcial
Se multiplican las decenas del multiplicador por cada una de las cifras del multiplicando y las escribimos a partir del lugar de las decenas.
1160
X 45
----------5800
4640
Se suman los productos parciales y se obtiene el producto o total.
1160
X 45
----------5800
4640
----------52200
Se repartirán 52,200 comidas
Para realizar la multiplicación los factores pueden colocarse en cualquier orden y se
obtendrá el mismo resultado.
“El orden de los factores no altera el producto”
11
UNIDAD 1. Números y operaciones
Ejercicios:
1. Una caja de chocolates trae 25 piezas, si Luis compró 9 cajas, ¿cuántos chocolates
tiene?
2. ¿Cuántos alumnos asisten a la clase de futbol si hay 7 grupos con 36 alumnos cada
uno?
3. En la fábrica de balones “Estrella” se producen 125 balones por hora, ¿cuántos se
producirán en 15 horas?
4. Mario gana $ 325.00 al día, ¿cuánto ganará en 12 días?
División
Veamos el siguiente ejemplo:
Gilberto compró un refrigerador con un costo de $6,966.00 a pagar en 18 meses.
¿Cuánto debe pagar cada mes?
Para saber cuánto debe pagar cada mes, debemos dividir
6966 ÷ 18 =
La cantidad a dividir se llama dividendo, la cantidad que divide divisor, el resultado
cociente y si la división no es exacta, a lo que sobra se le llama residuo.
18 6966
Para iniciar la división separamos en el dividendo el mismo número de cifras que
tiene el divisor y hacemos una aproximación 69÷18 aproximadamente 3, colocamos
12
Matemáticas
el 3 sobre el 9 y multiplicamos por cada una de las cifras del divisor restando estos
valores a 69. (Es recomendable repasar las tablas de multiplicar)
3
18 6966
15
Bajamos la siguiente cifra y volvemos a hacer una aproximación entre el primer residuo y el divisor.
3
18 6966
156
156÷18 aproximadamente 8. Colocamos ese número sobre la siguiente cifra, multiplicamos por el divisor y restamos para obtener un nuevo residuo.
38
18 6966
156
12
Bajamos la siguiente cifra y repetimos el procedimiento anterior.
387
18 6966
156
126
00
Gilberto debe pagar cada mes $ 387.00.
Ejercicios:
1. Para la fiesta del día del niño, irán de excursión los 216 alumnos de 4° año de la
escuela “Morelos”. Si en cada autobús caben 36 alumnos, ¿cuántos autobuses se
necesitan?
13
UNIDAD 1. Números y operaciones
2. Para la fiesta de cumpleaños de Pedrito, su mamá preparó 105 tortitas de jamón. Si
habrá 35 invitados, ¿cuántas tortitas tocará a cada invitado?
3. La ganancia obtenida durante el año en la caja de ahorros de la oficina, fue de
$82,000.00, si se repartirá en partes iguales entre los 25 socios, ¿cuánto tocará a
cada uno?
4. Anita repartió una bolsa de 135 caramelos entre sus 3 sobrinos. ¿Cuántos caramelos dio a cada uno de ellos?
Operaciones de números con decimales.
Cuando queremos medir cantidades menores a un entero, lo dividimos en partes más
pequeñas, a las que llamamos decimales y entonces tendremos: décimos si dividimos
entre 10, centésimos si dividimos entre 100, milésimos si dividimos entre 1,000, etc.
Recordemos que nuestro sistema aumenta y disminuye de 10 en 10.
En el número:
0.735
La cifra 7 representa los décimos, el 3 los centésimos y el 5 los milésimos.
El punto decimal separa la parte entera de la parte fraccionaria (decimal).
unidades
de millar
centenas
decenas
unidades
Punto
decimal
décimos
6
4
5
2
.
3
centésimos milésimos
7
8
La parte entera se escribe a la izquierda del punto decimal y la parte fraccionaria a la
derecha.
Para realizar una suma o resta de números con decimales, debemos alinear los números con respecto al punto decimal y realizamos la operación de la forma estudiada.
Ejemplos:
+
6 375.45
2 454.122
385.45
----------9 215.022
14
36 474.426
- 4 246.76
----------32 227.666
Matemáticas
Para multiplicar números con decimales, se realiza la multiplicación de la manera
estudiada y para colocar el punto decimal contamos las cifras decimales presentes
en los factores.
629.35
X 5.4
----------251740
314675
----------3398.490
Para realizar una división de números con decimales, quitamos el punto decimal del
divisor y recorremos el mismo número de cifras en el dividendo, después realizamos
la división de la forma estudiada.
Aunque puedes efectuar las operaciones con la calculadora, es importante que conozcas las bases sobre las cuales se realizan.
Ejemplo de ejercicio que utiliza una combinación de operaciones:
En la frutería del mercado, Marina compró 2 kg de manzanas con un costo de $28.50
c/u, 1.5 kg de plátanos con un costo de $18.50 c/u y 3 kg de naranjas con un costo de
$11.00 c/u.
a) ¿Cuánto gastó en total?
b) Si pagó con un billete de $200.00, ¿cuánto le dieron de cambio?
Solución:
a) Para obtener el gasto total, debemos calcular los costos parciales de la compra
realizada:
2 kg de manzanas 2 X $28.50 = $57.00
1.5 kg de plátanos 1.5 X $18.50 = $27.75
3 kg de naranjas
3 X $11.00 = $33.00
Sumando los resultados: $57.00 + $27.75 + $33.00= $117.75
La cantidad total gastada por Marina fue de $117.75
15
UNIDAD 1. Números y operaciones
b) Si Marina pagó con un billete de $ 200.00 y gastó $117.75, entonces:
Restando $200.00 - $117.75 = $82.25
Marina recibió $82.25 de cambio.
Ejercicios:
1. En la cafetería de la escuela, Luis compró unos tacos de papa que le costaron
$15.00, un café de $5.50 y un pan de dulce de $4.75.
a) ¿Cuánto gastó en total?
b) Si pagó con un billete de $50.00, ¿cuánto le dieron de cambio?
2. En su tienda de artículos escolares, Jesús vendió 30 cuadernos diarios durante 5
días. Si en la bodega tenía 245 cuadernos, ¿cuántos cuadernos quedan?
3. Para la fiesta de Panchito, Cristina compró 3 bolsas de dulces con 110 dulces cada
una, si debe repartir el total entre 15 niños, ¿cuántos dulces toca a cada uno?
4. En el taller de Angélica se elaboraron 25 canastas diarias durante 12 días, si cada
una se vendió en $135.00, ¿cuánto se obtuvo en total por la venta?
16
Matemáticas
Soluciones de los ejercicios propuestos
Números Naturales
1. Las decenas
2. Las unidades de millar
3. Las decenas de millar
4. Las unidades de millón
Sumas
1. Gastó $3,020.00
2. 179 alumnos
3. 90 flores
4. 720 piezas
Restas
1. Le quedarán $3,135.00
2. 26,950 alumnos
3. 168 bolsas
4. Le resta $46,780.00
Multiplicación
1. 225 chocolates
2. 252 alumnos
3. 1875 balones
4. $3,900.00
División
1. 6 autobuses
2. 3 tortitas
3. $3,280.00
4. 45 caramelos
Combinación de operaciones
1. Gastó $25.25 y le dieron de cambio $24.75
2. 95 cuadernos
3. 22 dulces
4. $40,500.00
17
UNIDAD 2. Fracciones y porcentajes
UNIDAD 2. Fracciones y porcentajes
El presente módulo tiene como objetivo que conozcas y resuelvas problemas relacionados con los conceptos de fracción y porcentaje. Reconocerás lo que es una fracción, lo que son las fracciones equivalentes y realizarás operaciones matemáticas
con fracciones. Resolverás problemas relacionados con los temas de porcentaje y
proporcionalidad.
¿Qué es una fracción?
En el módulo anterior resolviste ejercicios relacionados con números enteros, pues
estamos familiarizados con la presencia de objetos que podemos representar con
ellos, es decir: 1 autobús, 3 mesas, 6 casas, 50 jugadores; sin embargo, cuando realizamos una medición o queremos compartir o dividir algo, requerimos de números
más pequeños que un entero.
Por ejemplo:
Si tenemos una pizza y queremos repartirla en partes iguales entre 8 personas, a cada
una de ellas corresponderá –1 de pizza.
8
A números como: –1 , –1 , –1 , –1 , los conocemos como fracciones.
2
3
4
8
Una fracción está compuesta por dos partes, el número de arriba se llama numerador y representa el número de partes que se toman del entero dividido, y el número
de abajo se llama denominador y representa el número de partes en que se divide el
entero.
18
Matemáticas
Cuando en una fracción el numerador y el denominador son iguales decimos que son
equivalentes a un entero.
2
2
3
3
4
4
8
8
Así, un entero tendrá: – , – , – , –
Cuando varias fracciones representan la misma cantidad, decimos que son fracciones equivalentes.
Por ejemplo:
1 2
–=–
2 4
1 2
–=–
3 6
4 12
– = ––
8 24
Ejemplo:
Para preparar buñuelos, la señora Julia necesita 4 kg de harina, pero en la tienda sólo
hay paquetes de –1 kg. ¿Cuántos paquetes debe comprar?
2
2
2
Sabemos que 1 entero tiene – entonces para reunir 4 kg necesita 4X2=8
1
2
Debe comprar 8 paquetes de – kg
Ejercicios
1
4
1. ¿Cuántas bolsas de – kg se pueden llenar con 5 kg de dulces?
1
2. Para pintar su recámara, Juan necesita 2 2– litros de pintura, si en la tienda sólo hay
1
botes de 2– litro, ¿cuántos botes debe comprar?
1
8
3. ¿Cuántos vasos de – litro se pueden llenar con un garrafón de agua de 20 litros?
1
3
4. Para hacer una servilleta, María Luisa necesita – m de tela. ¿Cuántas servilletas
hará con 5 m de tela?
Operaciones con fracciones
Sumas y Restas
1
Para preparar las tortas de la cena, Lucía compró 4– kg de jamón de pavo, pues en el
1
2
1
8
refrigerador tenía – kg más. ¿Cuánto jamón tiene? Si le sobró – kg, ¿cuánto jamón
utilizó?
19
UNIDAD 2. Fracciones y porcentajes
Para saber la cantidad de jamón que tiene, debemos sumar las dos cantidades:
1 1
–+– =
4 2
Para resolver la suma de fracciones buscamos un común denominador.
1
Una forma es buscar fracciones equivalentes, por ejemplo, convertir – a cuartos con
2
lo que encontramos –1 = 2– y sumando –1 + 2– = 3–
2 4
3
Lucía tiene – kg de jamón.
4
4 4
4
Si le sobró –1 kg
8
Restando: 3– - –1 = 6– - –1 = 5–
4 8 8 8 8
5
Lucía utilizó – kg de jamón.
8
Otra forma de encontrar un común denominador es multiplicando los denominado1 1
4 2
res. Considerando el ejemplo anterior + – = –tenemos que el común denominador sería 4X2=8. Teniendo el común denominador, buscamos los numeradores para hacer
equivalentes las fracciones iniciales.
1 2
– = – ya que multiplicamos por 2 el denominador, hacemos lo mismo con el numerador.
4 8
1 4
– = – ya que multiplicamos por 4 el denominador, hacemos lo mismo con el numerador.
2 8
Ahora sumamos las dos equivalencias. Se suman los numeradores y se deja el denominador común.
2 4 6
6
3
– + – = – siendo – el resultado, que es equivalente a – que obtuvimos con el método
8 8 8
8
4
anterior.
Como observamos, la suma y la resta se resuelven de manera semejante, encontrando
un denominador común y sumando o restando los numeradores, según sea el caso.
20
Matemáticas
Ejemplo:
3
1
Lucía compró una botella de – litro de aceite y 1 botella de – litro. ¿Cuánto aceite
4
2
compró?
Sumamos las dos cantidades que compró. Usaremos los dos métodos mostrados, sólo
para observar que el resultado es el mismo.
3 1
–+– =
4 2
1
1 2
3 2 5
Convertimos – a cuartos; – = – Sumando – + – = –
2
2 4
4 4 4
Si buscamos un denominador común, tenemos 4 X 2 = 8
6 4 10 5
– + – = –– = –
8 8 8 4
Ejercicios
3
4
2
8
1. Josefa compró – m de tela. Si necesita – m para confeccionar una servilleta.
¿Cuánta tela le sobra?
2. Luis y 4 de sus amigos comparten una pizza, si la dividen en partes iguales, ¿qué
parte toca a cada uno? Si 2 de ellos deciden no comer, ¿cuánta pizza sobra?
1
8
2
8
3. Para pintar una silla Carlos usó – litro de pintura y para pintar una mesa usó – litro. ¿Cuánta pintura usó?
1
4
3
8
4. Para preparar picadillo Alicia compró – kg de carne de puerco y – kg de carne de
res. ¿Cuánta carne compró?
21
UNIDAD 2. Fracciones y porcentajes
Cálculo de porcentajes
En la vida cotidiana es común que en la TV, en la radio, en los almacenes, etc., escuchemos o leamos las expresiones:
¡Descuentos del 25% en toda la tienda!
¡Precios más IVA!
¡Grandes ofertas! ¡Descuentos del 20% al 50% en muebles!
Esto nos indica que a los precios base debemos agregar o quitar la cantidad indicada
en el porcentaje.
El signo % indica que tenemos un número fraccionario con denominador 100.
30
100
30% = –––
Cuando escribimos el signo % indicamos que de cada 100 se quitará o aumentará la
cantidad indicada.
En el caso anterior 30%, nos indica que de cada 100 aumentaremos o quitaremos 30,
según sea el caso, descuento o aumento.
Ejemplo:
Ignacio adquirió una lavadora con un precio de $5,600.00 más el IVA. ¿Cuánto debe
pagar en total?
El IVA (impuesto al valor agregado) actual es del 16%.
22
Matemáticas
Para calcular el valor del porcentaje a pagar, multiplicamos el precio por el valor del
impuesto 5,600 X 16 = 89,600 y el resultado lo dividimos entre 100:
89,600/100 = 896 por lo que decimos que el 16% del precio es $896.00
El total a pagar lo encontramos sumando el valor del precio más el impuesto:
$5,600.00 + $896.00 = $6,496.00
Otra manera en que podemos calcular el porcentaje es dividiendo el valor del impuesto entre 100:
16/100 = 0.16
El resultado multiplicarlo por el valor del precio:
0.16 X $5,600.00=$896.00
Ejemplo:
En la barata de fin de temporada de los almacenes “Rivas” el descuento en todos los
artículos es del 30%. Marcelino compró unos zapatos deportivos de $1,750.00. ¿Cuánto
pagó en total?
Calculamos primeramente el descuento usando alguno de los métodos expuestos:
30% = 0.30
Multiplicamos el precio de los zapatos por el factor obtenido:
1,750 X 0.30 = 525
Al precio total le restamos el valor del descuento obtenido:
1,750.00 – 525 = 1,225
Marcelino pagó en total $1,225.00 por los zapatos.
23
UNIDAD 2. Fracciones y porcentajes
Ejercicios:
1. De los 50 alumnos del grupo 4° A, el 40% participará en los bailables del fin de curso. ¿Cuántos alumnos participarán y cuántos no participarán en los bailables?
2. En la librería “La Esperanza” el precio del libro “El principito” bajó de $120.00 a
$90.00. ¿En qué porcentaje disminuyó?
3. El señor Juan Carlos gana $8,500.00 al mes. Si el 20% lo utiliza para pagar la renta
¿Cuánto paga de renta?
4. Mario compró un terreno a un costo de $94,500.00. Si debe pagar el 6% de escrituración, ¿cuánto pagará por las escrituras?
Proporcionalidad
Cuando tenemos dos cantidades y observamos que, si modificamos una cantidad en
un cierto valor, la otra cantidad también se modifica en el mismo valor, se dice que
son proporcionales.
Para resolver problemas en los que se establece una proporcionalidad entre cuatro
datos y conocemos tres de ellos, utilizamos el método de la Regla de tres.
Ejemplo:
Para elaborar 25 tortillas, doña Marina utiliza 0.5 kg de masa. ¿Cuántas tortillas elaborará con 4.5 kg de masa?
Cantidad de tortillas
25
X
24
Cantidad de masa
0.5 kg
4.5 kg
Matemáticas
Multiplicamos las dos cantidades cruzadas que conocemos:
25 X 4.5 = 112.5
Y dividimos el resultado entre la tercera cantidad:
112.5 / 0.5 = 225
Entonces con 4.5kg de masa se elaborarán 225 tortillas.
Ejercicios:
1. Para confeccionar 5 manteles cuadrados, doña Matilde utiliza 8m de tela. ¿Cuántos manteles confeccionará con 40m?
2. Juanito recortó 30 tarjetas usando 2 cartulinas. Si requiere de 150 tarjetas, ¿cuántas cartulinas necesita?
3. Si en la tortillería te dan 15 tortillas por $6.00. ¿Cuántas tortillas te darán por $24.00?
4. María tarda 20 días en bordar 4 vestidos. ¿Cuántos vestidos bordará en 120 días?
25
UNIDAD 2. Fracciones y porcentajes
Soluciones de los ejercicios propuestos.
Equivalencias:
1. 20 bolsas
2. 5 botes
3. 160 vasos
4. 15 servilletas
Sumas y restas de fracciones:
4
8
2
4
1
2
1. Le sobra – m = – m = – m
1
5
3
3. Usó – de litro
8
4. Compró 5– kg de carne
8
2
5
2. Toca – a cada uno, sobra – de pizza
Cálculo de porcentajes
1. Participarán 20 alumnos, no participarán 30 alumnos
2. Disminuyó el 25%
3. Paga $1,700.00
4. Pagará $5,670.00
Proporcionalidad
1. 25 manteles
2. 10 cartulinas
3. 60 tortillas
4. 24 vestidos
26
Matemáticas
UNIDAD 3. Geometría básica
El presente módulo tiene como objetivo que conozcas y resuelvas problemas relacionados con perímetros y áreas de algunas figuras geométricas, que puedas localizar
puntos en un plano según sus coordenadas X, Y, y conozcas lo que es la simetría.
Si miramos nuestro entorno, encontraremos que la forma del terreno sobre el que
está construida nuestra casa, las formas de la mesa del comedor, de la ventana, de
las losetas del piso, de la pantalla de TV, etc., corresponden a alguna de las figuras
geométricas más comunes que conocemos: triángulo (3 lados), cuadrado (4 lados),
pentágono (5 lados)… hasta llegar al círculo.
Perímetros y Áreas
El perímetro de una figura geométrica es la longitud del contorno de dicha figura
mientras que el área, es la superficie interior contenida en dicho contorno.
Para calcular el perímetro de cualquier polígono, hay que sumar las longitudes de sus
lados o si los lados son iguales, multiplicar el valor de un lado por el número de lados
del polígono.
27
UNIDAD 3. Geometría básica
Perímetro y área de un triángulo
Para calcular el perímetro y el área de un triángulo, empleamos las siguientes fórmulas:
Perímetro
Área
Ejemplo:
En el jardín del parque central hay un prado con forma de triángulo equilátero (lados
iguales) que mide 12 m por lado y 10.4 m de altura. ¿Cuál es su perímetro y cuántos
m2 tendrá de área?
Solución:
Perímetro
Fórmula
P=l+l+l
P = 12 m+12 m+12 m
P = 36 m
Datos:
l = 12m
h = 10.4 m
P=?
A=?
Área
Fórmula
A = (b X h)/2
A = (12 m X 10.4 m)/2
A = 124.8 m2 /2
A = 62.4 m2
Tendrá un perímetro de 36 m y un área de 62.4 m2
Ejercicios
1. Las dimensiones de los lados del triángulo que se muestra en la figura son:
A= 10 m
28
b=15 m
c=20 m
¿De cuántos metros es su perímetro?
Matemáticas
2. Para la habitación de su bebé, Guadalupe quiere pintar un dibujo como el de la si-
guiente figura, en el cual todos los lados son iguales. Si las dimensiones del triángulo son: 2 m por lado y 1.7 m de altura, ¿cuál es el valor de su perímetro y cuál el
de su área?
3. El terreno de 15 m de base y 9 m de altura que se muestra en la figura, se cubrirá
con pasto. ¿Cuántos m2 de pasto serán necesarios para cubrirlo?
b=15 m
4. Para la fiesta de Navidad, se pintará sobre el piso un pino de 3 m de base y 4 m de
altura como el que se muestra en la figura. ¿Cuántos m2 deberán pintarse de verde?
29
UNIDAD 3. Geometría básica
Perímetros y áreas de cuadrados y rectángulos
Para calcular los perímetros y áreas de rectángulos y cuadrados emplearemos las
siguientes fórmulas.
Perímetro
Área
Ejemplo:
a) Se desea cubrir con mosaicos una habitación rectangular de 6 m de largo y 4 m de
ancho. ¿Cuántos m2 de mosaicos se requieren? ¿Cuál es el perímetro de la habitación?
Solución:
Datos:
l=6m
a=4m
P=?
A=?
Área
Fórmula
A=lXa
A=6mX4m
A = 24 m2
Perímetro
Fórmula
P = 2l + 2a
P = 2X6 m + 2X4 m
P = 12 m + 8 m
P = 20 m
Se requieren 24 m2 de mosaicos y tiene un perímetro de 20 m
b) La mesa del comedor es cuadrada y tiene 1.5 m por lado. ¿Cuál es su perímetro y
cuál su área?
Solución:
Datos:
a = 1.5m
30
Perímetro
Fórmula
P = 4a
P = 4 X 1.5 m
P=6m
Área
Fórmula
A=aXa
A = 1.5 m X 1.5 m
A = 2.25 m2
Matemáticas
Su perímetro es de 6m y su área de 2.25 m2
Ejercicios:
1. Las dimensiones de un campo de fútbol son: 120 m de largo por 80 m de ancho.
¿Cuántos m2 de pasto lo cubren? ¿Cuál es su perímetro?
2. Josefina cortó una servilleta rectangular con las siguientes medidas:
a= 30 cm, b= 40 cm. ¿Cuál es el área de la servilleta?
3. Utilizando figuras geométricas, Juanito formó un cuadrado de 15 cm por lado como
se muestra en la figura. ¿Cuál es el valor de su perímetro y el de su área?
4. El patio central de la escuela de Luis tiene forma cuadrada y mide 13 m por lado.
¿Cuál es el valor de su área?
31
UNIDAD 3. Geometría básica
Perímetro y área del círculo
Para calcular el perímetro y el área de un círculo, emplearemos las siguientes fórmulas:
Perímetro
Área
r representa el radio que es la línea que va del centro a cualquier punto del círculo.
Si multiplicamos el radio por 2 obtendremos el diámetro.
π es una constante cuyo valor lo podemos considerar como 3.14
Ejemplo:
El radio de la rueda de una bicicleta mide 30 cm. ¿Cuánto mide su perímetro (circunferencia) ?
Datos:
r = 30 cm
Fórmula
P=2πr
P = 2 X 3.14 X 30 cm
P = 188.4 cm
El perímetro mide 188.4cm
¿Qué área cubriría el círculo?
A = π r2 = 3.14 X 30 cm X 30 cm = 2,826 cm2
Elevar un número al cuadrado significa multiplicarlo por sí mismo.
32
Matemáticas
Ejercicios:
1.El mantel circular que cubre la mesa del comedor tiene un radio de 1.4 m. ¿Cuál es
el valor del perímetro y del área del mantel?
2.El comal donde prepara las tortillas Doña Jacinta tiene un radio de 35 cm. ¿Cuánto
miden su área y su perímetro?
3.El radio de la fuente circular de la Alameda es de 4 m. ¿De cuánto es su perímetro?
4.La glorieta de la avenida “Morelos” es un círculo de 3.5 m de radio. ¿Qué superficie
ocupa?
Ubicación de puntos en el plano cartesiano
El plano cartesiano está formado por dos líneas perpendiculares, el punto donde se
cruzan se conoce como origen y se identifica con el número 0 (cero). A las rectas perpendiculares se les llama ejes coordenados siendo la línea horizontal el eje de las X y
la línea vertical el eje de las Y.
Para ubicar un punto en el plano cartesiano, debemos considerar que cada punto
tiene un par ordenado (X, Y) que nos indica las coordenadas. El primer número representa la coordenada X y el segundo número representa la coordenada Y.
Ejemplo:
¿Cuáles son las coordenadas de los puntos A, B y C que se presentan en la figura?
33
UNIDAD 3. Geometría básica
Para saber las coordenadas del punto A, observamos que a partir de A y hacia abajo,
la línea nos indica el número 3 sobre el eje de las X, por lo que la coordenada X es 3.
A partir de A, y hacia la izquierda, la línea nos indica el número 5 sobre el eje de las Y,
entonces la coordenada Y es 5,
Con lo cual obtenemos que el punto A está colocado en (3, 5). Se escribe primero la
coordenada X y después la coordenada Y.
Siguiendo el mismo procedimiento encontramos que el punto B se cruza en X con 2 y
en Y con 2. En consecuencia sus coordenadas son: B (2, 2).
El punto C se cruza en X con 6 y en Y con 3. Por lo tanto sus coordenadas son: C (6, 3).
Ejercicios:
1. Localiza los puntos (encuentra sus coordenadas), A, B, y C que se muestran en la
figura.
34
Matemáticas
2. Indica las coordenadas en que se encuentran cada uno de los muebles de la casa.
Sillón
Mesa
Taburete
3. Ubica en el plano cartesiano los puntos A, B, C y D que se muestran en la figura.
Simetría
En la naturaleza podemos encontrar cosas y seres que tienen simetría. Un eje de simetría
divide una figura en dos partes iguales. Si observamos el corazón de la figura, encontramos que una mitad es idéntica a la otra y que si lo doblamos, corresponde exactamente
una mitad con la otra como si estuvieran frente a un espejo, el eje permite esa reflexión.
Un cuerpo u objeto tiene simetría reflexiva cuando la mitad del cuerpo u objeto es el
reflejo de la otra mitad.
35
UNIDAD 3. Geometría básica
Por ejemplo, la mariposa de la figura, tiene un eje de simetría, el triángulo tiene tres
ejes de simetría que lo dividen en tres triángulos iguales, el cuadrado tiene cuatro ejes
de simetría y el círculo tiene un número infinito de ejes de simetría.
36
Matemáticas
Soluciones de los ejercicios propuestos.
Triángulos
1. P = 45m
2. P = 6m A = 1.7m2
3. Serán necesarios 67.5m2 de pasto
4. Deberán pintarse de verde 6m2
Cuadrados y rectángulos
1. Lo cubren 9600 m2 de pasto, su perímetro es de 400 m
2. Es de 1200 cm2
3. P = 60 cm, A = 225 cm2
4. A = 169 m2
Círculos
1. P = 8.792 m, A = 6.15 m2
2. P = 219.8 cm, A = 3,846.5 cm2
3. P = 25.12 m
4. A = 38.465 m2
Localización de puntos
1. A (5, 2), B (4, 4), C (3, 6)
2. Sillón (3, 4), Mesa (6, 3), Taburete (2, 1)
3. A (3, 2), B (5, 1), C (6, 6), D (6, 3)
37
UNIDAD 4. Interpretación de gráficas
UNIDAD 4. Interpretación de gráficas
El presente módulo tiene como objetivo que conozcas y aprendas a interpretar la información que se presenta en gráficas de barras, que utilices los datos en la solución
de problemas y apliques el concepto de promedio. Resolverás ejercicios relacionados
con el volumen que ocupan figuras cúbicas.
Interpretación de gráficas de barras.
En la siguiente gráfica se muestran las calificaciones que obtuvo Cristina en los exámenes parciales del mes de junio.
Tomando como base la información mostrada, resuelve lo siguiente:
1. Ordena las calificaciones de menor a mayor.
2. Indica en qué materias obtuvo la calificación más baja y la más alta, respectivamente.
3. Calcula cuál fue el promedio de las calificaciones obtenidas.
Solución:
1. Para ordenar las calificaciones debemos observar primero la altura de las barras y
relacionarla con el número que está indicado en el eje de las Y, el cual nos indicará
el valor de la calificación:
Matemáticas: 8
Español: 10
Ciencias sociales: 9
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Matemáticas
Ciencias Naturales: 7
Taller: 9
Conociendo los valores, ahora podemos ordenar de menor a mayor:
Ciencias Naturales 7, Matemáticas 8, Ciencias Sociales 9, Taller 9, Español 10.
2. De acuerdo con los valores obtenidos, tenemos:
Calificación más baja: Ciencias Naturales 7.
Calificación más alta: Español 10.
Para conocer el valor promedio de un grupo de valores, hacemos la suma de todos los
valores del grupo y el resultado lo dividimos entre el número de valores.
3. El valor promedio de las calificaciones obtenidas será:
Suma de las calificaciones: 7+8+9+9+10= 43
Número de calificaciones: 5
Dividiendo la suma de las calificaciones entre el número de calificaciones:
43 / 5 =8.6
El promedio de Cristina en los exámenes parciales del mes de junio fue: 8.6
Ejercicios:
1. En la siguiente gráfica se muestran las temperaturas que se tuvieron, la semana
pasada, en la ciudad de Querétaro.
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UNIDAD 4. Interpretación de gráficas
Con base en la información de la gráfica:
a) Ordena, de mayor a menor, los días de acuerdo a las temperaturas.
b) ¿Qué día de la semana tuvo una temperatura de 18°C?
c) ¿Cuál fue el promedio de las temperaturas en esa semana?
2. En la siguiente gráfica se muestra el número de alumnos que representaron a la
escuela “Patria” en el concurso de Matemáticas, durante la última semana.
Con base en la información presente en la gráfica, responde las siguientes preguntas:
a) ¿Cuántos alumnos asistieron al concurso el jueves?
b) ¿Qué día asistieron más alumnos al concurso?
c) ¿Qué día asistieron menos alumnos al concurso?
Volumen de figuras cúbicas
El cubo es un cuerpo geométrico de 6 caras cuadradas, es un prisma recto cuya base
es un cuadrado y su altura es igual al lado de la base.
40
Matemáticas
¿Cuántos cubos están contenidos en la siguiente figura?
Si pensamos en el volumen de la figura, tenemos
V = l3 = l x l x l
Si por cada lado tenemos 3 unidades, sustituyendo el valor en la ecuación:
V = 3 x 3 x 3 = 27
En el cubo de la figura estarán contenidos 27 cubos.
Igualmente podemos decir: si en cada cara hay 9 cubos, entonces 9 x 3 = 27
Ejercicios:
¿Cuántos cubos están contenidos en las siguientes figuras?
1.
41
UNIDAD 4. Interpretación de gráficas
2.
3.
42
Matemáticas
Soluciones de los ejercicios propuestos.
Gráficas
1. a) Miércoles 19°C, viernes 18°C, lunes 16°C, jueves 16°C, martes 12°C
b) El viernes
c) Promedio = 16.2°C
2. a) Asistieron 16
b) El miércoles 20
c) El martes 12
Volumen en cubos
1. 27 cubos
2. 27 cubos
3. 27 cubos
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