Ejercicios diversos sobre triángulos

Ejercicios diversos sobre triángulos
Entregar soluciones escritas para los problemas marcados: ∗ 2.4.3 y ∗ 2.5.9.
2.3.10. Si 4 ABC es un triángulo rectángulo con ∠CAB =
medio de BC, demostrar que |AK| = |BK|.
π
2
y si K es el punto
2.3.13. Si K, L, M son los puntos medios de los lados BC, CA, AB respectivamente
del triángulo 4 ABC y si AD es la perpendicular desde A a BC, demostrar las
congruencias:
(a) 4 KLM ∼
= 4 AML ∼
= 4 MBK ∼
= 4 LKC.
(b) 4 KLM ∼
= 4 DML.
[2]
2.4.2. Si 4 ABC y 4 PQR son triángulos que cumplen |AB| = |PQ|, |CA| = |RP|
y además ∠CAB > ∠ RPQ, demostrar que |BC| > |QR|.
∗ 2.4.3.
Si E y F son puntos de los lados respectivos CA y AB del triángulo 4 ABC
tales que |BF| = |CE| y |AB| > |AC|, demostrar que |BE| > |CF|. [[ Indicación:
usar el Ejercicio anterior. ]]
2.5.1. Dado un cuadrángulo convexo ABCD (véase la Definición 2.27), construir
un triángulo 4 ABE que tenga la misma área.
←
→
2.5.3. Si A y D son puntos en diferentes lados de la recta BC y si (ABC) = (DCB),
←
→
demostrar que BC biseca el segmento AD.
2.5.8. Verificar la Construcción 18. Esto es: demostrar que el triángulo 4 ABC
construido con ese método cumple |AB| · |CB| = |AC|2 .
∗ 2.5.9.
Si T es un punto en el interior del triángulo 4 ABC, sean T P, T Q, T R
las perpendiculares desde T a los lados respectivos BC, CA y AB. Comprobar la
igualdad:
|AR|2 + |BP|2 + |CQ|2 = |BR|2 + |CP|2 + |AQ|2 .
Inversamente, si P, Q, R son puntos de los lados respectivos BC, CA, AB que
satisfacen esa igualdad, demostrar que hay un punto T tal que los segmentos T P,
T Q, T R son perpendiculares a los lados respectivos del triángulo 4 ABC.
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