Semana 11 Movimiento oscilatorio

Semana
Semana
1111
Movimiento oscilatorio
Movimiento oscilatorio
¡Empecemos!
En la naturaleza nos encontramos con movimientos en
los cuales la velocidad y aceleración no son constantes. Un
movimiento que presenta tales
características es el movimiento
oscilatorio. Algunos fenómenos cotidianos, pueden aproximarse a éste, por ejemplo, el
movimiento de una hamaca,
el aleteo de una abeja, los latidos del corazón, el movimiento del péndulo de un reloj (relojes antiguos). Un
tipo de movimiento oscilatorio de gran relevancia en la física es el Movimiento
Armónico Simple (MAS), el cual estudiarás en el transcurso de esta semana.
¿Qué sabes de...?
Explica de acuerdo a tus conocimientos adquiridos en el tema de movimiento circular uniforme: ¿qué es período y frecuencia?, ¿cuál es la unidad de frecuencia?, ¿qué relación hay entre el período y la frecuencia?, ¿qué significa
que la frecuencia de vibración de un cuerpo sea 20Hz?, ¿cuál es el período
asociado a esta vibración? Imagina que un auto le da dos vueltas a una pista
en cada minuto. Calcula la frecuencia y período.
El reto es...
¡A experimentar! Construye un péndulo simple. Para ello sujeta en el extremo de una cuerda (delgada y resistente), un cuerpo pesado de pequeñas dimensiones (una piedra, una bola de metal, entre otras).
224
1. Fija el extremo libre de la cuerda a un soporte cualquiera (por ejemplo,
a un clavo en una pared), de manera que la longitud del péndulo sea
de casi 50cm. Ponlo a oscilar y usando un cronómetro o reloj que tenga
segundero, mide el tiempo que necesita el péndulo para efectuar 20
oscilaciones (el movimiento de ida y vuelta). A partir de esta medición
calcula el periodo del péndulo (tiempo que tarda en hacer una oscilación).
Semana 11
Movimiento oscilatorio
2. Aumenta la longitud del péndulo a 2m y repite el procedimiento descrito en el problema anterior, determinando el nuevo valor del período de
oscilación. Registra los datos en la tabla 4.
Tabla 4
Longitud del péndulo
20 oscilaciones
Periodo
50cm
200cm= 2m
El período pendular, ¿aumentó, disminuyó o no se alteró cuando se incrementó su longitud?
3. Sustituye el cuerpo colgado de la cuerda por otro de diferente masa, sin
alterar la longitud del péndulo y mide su período. Registra los datos en
la tabla 5.
Tabla 5
Masa
20 oscilaciones
Periodo
Masa 1=
Masa 2=
¿Que ocurrió? ¿Se volvió mayor, menor o prácticamente no se modificó
al cambiar el valor de la masa suspendida en la cuerda?
Vamos al grano
Para comprender este tipo de movimiento es necesario tener claridad en
algunos conceptos básicos que son aplicables tanto al péndulo como al sistema masa-resorte, que estudiarás durante esta semana. El movimiento de
ida y vuelta se llama oscilación y el tiempo que tarda en dar una oscilación
(vibración, ciclo) se llama período. En la figura 26 el péndulo realiza una oscilación completa, cuando se mueve del punto B hasta llegar nuevamente a
él. El número de oscilaciones o vibraciones completas que el cuerpo efectúa
en unidad de tiempo se conoce como frecuencia. Por ejemplo, si el péndulo
va de B a B´ y luego vuelve a B, realizando esto 20 veces en 1 segundo, la frecuencia será f=20 oscilaciones/segundo, es decir, 20Hz. El tiempo que tarda
en efectuar una oscilación es de 0,05s, es decir, su periodo es:
T=
1s
20
=0,05s.
f y T guardan entre sí una relación inversa T= 1
f
225
Semana 11
Movimiento oscilatorio
Los objetos que oscilan tienen una posición de equilibrio, aquella en que se
encuentra cuando no están oscilando. La distancia entre la posición de equilibrio a la posición extrema se denomina amplitud (A) del movimiento.
Amplitud
Posición de equilibrio
Figura 26
El movimiento oscilatorio es el realizado por un cuerpo cuando ocupa sucesivamente posiciones simétricas respecto a una posición de equilibrio. Este
se caracteriza porque en intervalos iguales de tiempo todas las variables del
movimiento (velocidad, aceleración, entre otras), toman el mismo valor, por lo
que se trata de un movimiento periódico.
Algunos ejemplos de este tipo de movimiento son: una lámina fija por un
extremo y haciéndola vibrar por el otro extremo, el mover de un péndulo para
desplazamientos pequeños, una masa unida a un resorte que comienza a oscilar, una cuerda tensa, los electrones de una antena emisora o receptora, entre otros.
Péndulo simple
Un péndulo simple consta de un pequeño cuerpo de masa m atado al extremo de un hilo de masa despreciable e inextensible de longitud L.
Cuando el péndulo está en la posición de equilibrio, la tensión que se produce en el hilo se equilibra con el peso de la masa pero, cuando se desplaza
hacia una determinada amplitud, ya no ocurre lo mismo, por lo que aparece
una fuerza F, que obliga al péndulo a moverse hasta la posición de equilibrio.
La fuerza restauradora que mantiene al cuerpo en oscilación es la componente de su peso tangente a la trayectoria (ver figura 27).
226
Semana 11
Movimiento oscilatorio
θ
θ
N
A1
A
mgsenθ
mgcosθ
C
mg
Figura 27
Sistema masa-resorte
Al comprimir o estirar un resorte, se origina en él una fuerza restauradora que tiende a llevarlo a su posición de equilibrio para recuperar su estado
original. Si una pequeña masa m apoyada en una superficie horizontal sin
fricción se sujeta al extremo a un resorte, que se encuentra fijo a una pared,
como indica la figura 28, al comprimirlo y estirarlo y luego dejarlo en libertad
de movimiento, la masa oscilará entre dos posiciones extremas debido a la
fuerza F (Ley de Hooke) que se produce en el resorte, la cual es proporcional
a la magnitud del desplazamiento x (siempre que el desplazamiento no sea
tan grande), se expresa:
(a)
F=-kx
Donde k es la constante elástica y es distinta para cada resorte. El signo menos indica
que se trata de una fuerza restauradora, es
decir, que tiende a traerlo de vuelta a su posición de equilibrio (estas fuerzas estan presentes en el sistema masa resorte y el péndulo). Así, cuando la posición x es positiva, la
fuerza es negativa y, por tanto, dirigida hacia
la izquierda y, si la posición x es negativa,
¿qué signo tiene la fuerza y hacia dónde se
dirige?
A
F
(b)
B
X
(c)
X
F
F
(d)
(e)
A
F
B’
Figura 28
227
Semana 11
Movimiento oscilatorio
Al soltar el cuerpo se acelera debido a esta fuerza y su velocidad se irá incrementando conforme se acerca a la posición de equilibrio (0). A medida que el
cuerpo se aleja de B, el valor de F disminuye, anulándose en el punto de equilibrio. Pero debido a la velocidad adquirida el cuerpo sobrepasa la posición de
equilibrio y el resorte, al hallarse estirado en esta parte, ejerce una fuerza que
todavía está dirigida al punto 0 y es de sentido contrario a la velocidad del
cuerpo. El movimiento es, entonces, retardado y en el punto B´, simétrico B, la
velocidad del cuerpo se anula.
En este tipo de movimientos el cuerpo va de una posición extrema y regresa
a la posición inicial pasando siempre por la misma trayectoria.
Movimiento armónico simple
Un movimiento armónico simple (MAS) es un movimiento oscilatorio en el
que la fuerza que actúa en el cuerpo es proporcional a su distancia respecto al
punto de equilibrio y en ausencia de todo rozamiento.
Los dos sistemas físicos estudiados, el de masa-resorte y el péndulo son
ejemplos de este tipo de movimiento.
Los movimientos oscilatorios que hemos considerado se refieren a sistemas
ideales, es decir, el movimiento oscilatorio se mantendrá indefinidamente,
pero las fuerzas disipativas (por ejemplo, la fricción), hacen que el móvil retorne al reposo, a su posición de equilibrio estable, en este caso se dice que el
movimiento armónico esta amortiguado.
Para saber más…
En las siguientes direcciones web, se explica de forma sencilla la resolución de ejercicios de MAS. ¡No dejes de consultarlas!
http://goo.gl/QCr8S http://goo.gl/vehFS
Aplica tus saberes
Al realizar el experimento propuesto en la sección “El reto es” tendrás
algunas conclusiones establecidas, algunas de las cuales puedes constatar con el análisis que se realiza a partir de la fórmula del péndulo.
228
Semana 11
Movimiento oscilatorio
Sistema masa-resorte
T=2π
m
k
Péndulo simple
T=2π
L
g
*Cuanto mayor sea la masa del cuer- *Cuanto mayor sea la longitud del
po, mayor será su período de oscila- péndulo, mayor será su período de
ción, es decir, un cuerpo con mayor oscilación.
masa oscila más lentamente (tiene
*A medida que se aumenta el valor
menor frecuencia).
de la aceleración de la gravedad, el
*Cuanto mayor sea la constante elás- período del péndulo será menor, es
tica del resorte (resorte más duro), decir, oscilará con mayor frecuencia.
menor será su período de oscilación, o sea, tanto mayor será la fre- *El período del péndulo no depende
de su masa ni de su amplitud.
cuencia con que oscila el cuerpo.
*El período no depende de la amplitud (A). Si hacemos oscilar un resorte con una amplitud de 10cm y
otro de 20cm comprobaremos que
el período de oscilación es el mismo
en ambos casos.
a=-
k
x
m
a=-
g
x
L
La aceleración es directamente proporcional al desplazamiento del cuerpo
respecto al punto de equilibrio.
Del experimento propuesto aún podemos seguir profundizando. Puedes
obtener el valor local de la aceleración de la gravedad; para ello toma la longitud del péndulo de 2m y, como ya conoces su período (lo calculaste en el
paso 2), emplea la ecuación T=2π L/g; despeja la incógnita g. El valor de g
obtenido, ¿se acerca razonablemente a los 9.8m/s2?
Veamos cómo pueden aplicarse las fórmulas mencionadas en los siguientes problemas:
1. Se conecta un muelle ideal de constante 400N m−1 a una partícula de
masa 5kg. Se desplaza la partícula 8cm desde la posición de equilibrio y
se suelta con velocidad nula. Determina:
a) La amplitud del movimiento.
b) La fuerza que ejerce el muelle en ese instante.
c) El período del movimiento y la frecuencia.
d) La aceleración de la partícula cuando pasa por la posición de
equilibrio.
229
Semana 11
Movimiento oscilatorio
Solución
a) La amplitud es 8cm=0.08m, ya que es el máximo desplazamiento
que se produce.
b) La fuerza que ejerce el resorte viene dada por la Ley de Hooke,
F=-k.x, para una elongación de 0.08m y una constante elástica
de 400N m-1, es:
F=-400Nm-1·0·08m=4x102· 8x10-2N=-32N ¿Qué significa el signo
negativo?
c) Para hallar el período usamos la fórmula:
5kg
m
T=2π
=2π 0.0125s2=2π·0·112s=0.7s
400 Nm-1
k
d) Puesto que la aceleración a es proporcional al desplazamiento
x, cuando el cuerpo pasa por la posición de equilibrio x=0cm, la
aceleración es cero. Puedes comprobarlo si sustituyes el valor de
x en la fórmula:
k
a= -
x
m
T=2π
2. El período de oscilación, T, de una masa m unida a un resorte es el doble
T=2T’ que la de otra masa m’ unida a otro resorte de las mismas características que el anterior. Establece la relación entre ambas masas.
Para la masa m´, su periodo de oscilación es T’
Para la masa m, su período de oscilación es T=2T’
Sustituyendo la fórmula del período en esta expresión, tenemos:
2π
m =2 2π m´
k
k
2π
m =2·2π m´
k
k
m =2 m´
k
k
m =2 m´
m=4m´ Esto nos indica que la masa m es 4 veces mayor que la masa m´
Comprobemos y demostremos que…
Analiza y responde las siguientes preguntas:
1. ¿Por qué en la realidad el péndulo simple, al oscilar, tiende a disminuir
su amplitud hasta cero?
2. Explica en qué puntos de un MAS la aceleración adquiere su valor máximo.
230
3. Supón que en la figura 29 la distancia BB´ es igual a 10cm. Entonces,
¿cuál es la amplitud de vibración del extremo de la lámina?, ¿cuál es la
distancia que el extremo de la misma recorre durante un intervalo de
tiempo igual a dos períodos
Semana 11
Movimiento oscilatorio
B´
A
A
B
Figura 29. Ejemplo de un movimiento vibratorio
4. Un cuerpo realiza un MAS sujeto al extremo de un resorte. Di si el tiempo que el cuerpo tarda en efectuar una oscilación completa aumentará,
disminuirá o no se alterará, en cada uno de los siguientes casos:
a) El cuerpo es sustituido por otro de menor masa.
b) El resorte es sustituido por otro más duro.
c) El cuerpo se coloca en vibración con una menor amplitud.
5. ¿En qué proporción aumenta el período si la masa de un sistema masaresorte se multiplica por 9?
6. El período del péndulo simple se midió en dos lugares diferentes, uno
es un tercio mayor que otro. Determina la gravedad del segundo lugar
sabiendo que el primero es la Tierra.
Lo que consigues siguiendo tu destino no es tan importante como en quién te
conviertes siguiendo tu destino. Robert Anthony
231