la harmona de las esferas

1
LA HARMONÍA DE LAS ESFERAS
Guillermo Correa∗
Resumen
El autor establece, a partir de los testimonios de los pitagóricos, de los
principales representantes de la filosofía griega y otras importantes evidencias
de la Antigüedad tardía, la íntima conexión entre las leyes de la matemática y la
música patentizada en la atrevida hipótesis de la harmonía de las esferas. Esta
teoría es, en efecto, una admirable conjetura presocrática, una atrevida
hipótesis acerca de la estructuración del mundo y de la naturaleza de la
realidad, fundamentada tanto en las ratio numéricas y en los intervalos
musicales, como en la realización de algunas observaciones astronómicas
básicas y esenciales.
En términos generales, el texto trata de la coherencia y conexión entre número
y sonido, esto es, que los intervalos entre los planetas y la esfera de las
estrellas fijas, se corresponden matemáticamente con los intervalos entre las
notas de la octava y que, por ello, el sonido que producen tiene un carácter
musical definido.
Abstract
The author establishes, based on Pythagoric’s testimonies and the most
representative characters of Greek Philosophy and other important evidences of
the late Antiquity, the intimate connection between the laws of mathematics and
∗
Magíster en Filología Clásica de la Universidad de Salamanca, Magíster en Filología
Hispánica por el Consejo Superior de Investigaciones de Madrid (CSIC). Actualmente
es docente Facultad de Filosofía y Coordinador.
Artículo recibido el día 4 de febrero de 2005 y aprobado por el Comité Editorial el 20 de
mayo de 2005.
Dirección del Autor: guillecp@yahoo.com
2
music, made apparent in the bold hypothesis of the harmony of the spheres.
This theory is, in fact, an admirable pre-Socratic conjecture, a daring hypothesis
on the structure of the world and nature of reality, based in the numerical ratio
and musical intervals as well as in the making of some basic and essential
astronomical observations.
In general terms, the text ponders on the coherence and connection between
numbers and sounds, meaning that the intervals between planets and the
sphere of non moving stars are mathematically correspondent with the intervals
between the notes of the octave and that, being so, the sound they produce has
a defined musical character.
Palabras Clave
Pitagóricos, matemática, música, harmonía, esferas.
Key Words
Pythagorics, mathematics, music, harmony, spheres.
La idea de la harmonía de las esferas es quizás el ejemplo supremo del
pitagorismo que explica la totalidad del vasto plan cósmico aludiendo al
descubrimiento básico de su fundador: el influjo, que todo lo domina, de las
leyes de la matemática y de la música, y de la íntima conexión que hay entre
ellas.
Sirviéndose de un poder divino, inefable y difícil de
comprender, Pitágoras aplicaba sus oídos y concentraba
su mente en la sublime sinfonía del universo escuchando y
entendiendo, él solo, según sus manifestaciones, la
universal armonía y concierto de las esferas y de los
astros que se mueven en ellas. Esta armonía produce una
música más plena e intensa que la terrenal por el
movimiento y revolución, sumamente melodioso, bello y
3
.1
La conjunción entre astronomía y harmonía se hizo patente en esta singular
teoría, descrita por Aristóteles como patrimonio de los pitagóricos y adaptada
indirectamente por Platón, quien como veremos, interpretó a las sirenas de la
mitología como las hacedoras de la música celeste, y la recreó en el bellísimo
mito de la creación del mundo.
Esta doctrina se proyectó en el tiempo e influyó notablemente en pensadores y
poetas, quienes la incluyeron como parte de sus obras científicas y literarias,
desde la Antigüedad tardía hasta el Renacimiento; muestra de ello es Kepler
cuando inscribe en su sistema planetario los cinco cuerpos perfectos o sólidos
G ra f 7 : s ó lid o s p la tó n ic o s [ K e p le r]
platónicos, y por ello se convirtió en un vocero más de esta gran sinfonía
mística que une la geometría, la música y la astronomía: símbolo de la unión
del hombre con el cosmos.2
La harmonía de las esferas es, en efecto, una admirable conjetura presocrática,
una atrevida hipótesis acerca de la estructuración del mundo y de la naturaleza
de la realidad, fundamentada en observaciones tanto del ámbito científico, tales
como el descubrimiento de las relaciones entre las ratio numéricas y los
intervalos musicales, como de la realización de algunas observaciones
astronómicas básicas y esenciales.
1
JÁMBLICO. Vida Pitagórica, XV.65. Etnos, Madrid, 1991. Pág. 52–53
Los sólidos o poliedros regulares son el tetraedro, el cubo, el octaedro, el dodecaedro y el
icosaedro; cuatro de estos fueron dotados de significado cosmológico: el cubo = tierra; el
tetraedro = fuego; el octaedro = aire; y el icosaedro = agua. Se destaca el cubo que, como
primer volumen perfecto, sienta las bases de las proporciones fundamentales con sus 8
ángulos, 6 superficies y 12 aristas, porque 12:8 = 9:6 (proporción geométrica), 12:9 = 9:6
(proporción aritmética) y 12:8 = 8:6 (proporción armónica), conformando la serie (6, 8, 9, 12) =
la fórmula de la harmonía cósmica, de los pesos pitagóricos, del perfectissimi corporis (cubus)
natura substantiaque, de la música cósmica de los 8 cuerpos celestes... etc.
2
4
La teoría, en términos generales, trata de la coherencia y conexión entre
número y sonido, esto es, que los intervalos entre los planetas y la esfera de
las estrellas fijas se corresponden matemáticamente con los intervalos entre las
notas de la octava y que, por ello, el sonido que producen tiene un carácter
musical definido.
Debemos destacar que en conjunto, dadas las condiciones epistémicas del
siglo V a.C., esta teoría no pudo ser incorporada a un sistema científico
elaborado en detalle. Pero esto no es razón para suponer, como sí lo hace
Burkert, que la harmonía de las esferas no tenga nada que ver con las
matemáticas o la teoría sobre la música.
The contradictory nature of the later tradition, too,
sometimes using seven, sometimes eight, and
occasionally three musical notes, and even connecting
the nine Muses with the sphere of the All, shows that the
idea of cosmic music is not bound to any particular
astronomical system. This concept has nothing to do with
mathematical or musical theory...3
Esta teoría, en efecto, tiene diversas descripciones, algunas veces divergentes
entre sí, dependiendo del número de cuerpos celestes y de los lugares que
éstos supuestamente ocupaban en los períodos orbitales determinados por los
diferentes sistemas cosmológicos.
Heath y Burkert4, por su lado, se inclinan a pensar que la forma original de la
teoría de la harmonía de las esferas es la asociación entre la antigua y
proverbial lira de 7 cuerdas con la también muy difundida idea de un sistema
3
BurkeRT,W., Lore and Science in Ancient Pythagoreanism, Harvard University Press, 1972.
Pág. 355.
4
HEATH, T., Aristarchus of Samos, The ancient Copernicus: a History of Greek astronomy to
Aristarchus together with Aristarchus´s treatise on the sizes and distances of the sun and moon.
Oxford 1959. Pág. 107; Brukert,W., Op. Cit. Pág. 351.
5
planetario de siete cuerpos, los cuales, debido a sus movimientos producían las
notas del heptacordio.5
ARISTÓTELES
Veamos, en primer lugar la exposición de Aristóteles sobre el asunto. En De
Caelo 290 b12, nos hace una clara descripción de la teoría y, en 291a 8, nos
dice que dicha tesis es pitagórica:
Resulta patente a partir de esto que la afirmación de que
se produce una armonía de los <cuerpos> en traslación,
al modo como los sonidos forman un acorde, ha sido
formulada de forma elegante y llamativa por los que la
sostienen, pero no por ello se corresponde con la
realidad. A algunos, en efecto, les parece forzoso que, al
trasladarse cuerpos de semejante tamaño, se produzca
algún sonido, ya que también <se produce> con los
próximos a nosotros, aún no teniendo el mismo tamaño
ni desplazándose con la misma velocidad comparable:
que, al desplazarse el sol y la luna, además de astros tan
numerosos y grandes, en una traslación de semejante
velocidad, es imposible que no se produzca un sonido de
inconcebible magnitud. Suponiendo esto, así como que,
en función de las distancias, las velocidades guardan
<entre sí> las proporciones de los acordes musicales,
dicen que el sonido de los astros al trasladarse en círculo
se hace armónico. Y como parece absurdo que nosotros
no oigamos ese sonido, dicen que la causa de ello es
que, desde que nacemos, el sonido está ya presente, de
modo que no es distinguible por contraste con un silencio
opuesto: pues el discernimiento del sonido y el silencio
es correlativo; de modo que, al igual que los broncistas
no parecen distinguir <los sonidos> por su habituación al
<ruido>, otro tanto les ocurre a los hombres.6
5
Heath, por su parte, ejemplifica su afirmación con las siguientes citas: Hippol. Refut. I.2.2,
(D.G. p 555), Pythagoras maintained that the universe sings and is constructed in accordance
whit a harmony; and he was the first to reduce the motion of the seven heavenly bodies to
rhythm and song ; Cesorinus, De die natali 13.5, Pythagoras showed that the whole of our world
constitutes a harmony. Accordingly, Dorylaus wrote that the world is an instrument of God;
others added that is a heptachord, because there are seven planets which have the most
motion.
6
ARISTÓTELES, De Caelo 290b 12-29. Ed Gredos 1994.
6
Pues el hecho problemático que hace decir a los pitagóricos que se
produce un acorde por efecto de las traslaciones <de los astros> es un
testimonio a nuestro favor.7
Alejandro de Afrodisias, por su parte, nos da su versión acerca de la doctrina
pitagórica de los planetas. Dicha exposición la toma del libro especial de
Aristóteles titulado Sobre los pitagóricos8. Allí nos comenta que, según los
pitagóricos, las distancias entre los planetas, sus velocidades y los tonos que
emiten están de acuerdo con las ratio armónicas; aquellos que se mueven más
lentamente y que a su vez recorren una distancia más corta producen el sonido
más bajo; y los que se mueven con mayor rapidez recorren una distancia
mayor y producen una nota más alta:
They also said that the whole celestial system (ouranos) is
composed according to a kind of musical scale, because it
is [made up] of numbers both numerically and musically.
For the bodies moving around the centre have the intervals
in a [mathematical] proportion, and some of them move
more rapidly, others more slowly, and in their motion they
produce a sound –the slower bodies a deep note, the
faster bodies a high note. Because these notes are in
proportion to the intervals separating the bodies, they
make the sound resulting from them harmonious; and
since [the Pythagoreans] said that number is the principle
of this harmony, they naturally made number the principle
both of the heavens and of the universe. ...and that the
bodies travelling the greatest distance move most rapidly9
Ni Aristóteles, en su exposición sobre la harmonía de las esferas, ni Alejandro
en su comentario, hacen referencia a un esquema pitagórico en el cual los
intervalos musicales estén ligados a un sistema astronómico en una forma
sistemática. Aristóteles nos dice que, para los pitagóricos, las velocidades de
7
Ibid., 291a 8. Es útil recordar que, aunque la traducción del pasaje diga acorde, no se refiere a
lo que contemporáneamente designamos como una simultaneidad sonora de varios sonidos,
sino a su distribución melódica.
8
Aristóteles dedicó dos libros, (hoy perdidos), a la exposición y crítica de las doctrinas
pitagóricas. Plutarco, Alejandro de Afrodisias, Eliano, y especialmente Iámblico, han
preservado material importante de estos libros. Para más información acerca de éstos ver:
BURKERT, W., Lore and Science, Pág. 29. n 5.
9
ALEJANDRO., Met. 39.23 ss. La traducción es de Guthrie, W.
7
los cuerpos celestes, juzgadas en función de las distancias (al centro), guardan
entre sí las ratio de las consonancias musicales; pero no da ejemplos en los
que diga cuáles son esas distancias o las velocidades, o cómo estaban
relacionadas con los planetas.
El punto clave del pasaje es que los cuerpos celestes producen música por sus
movimientos, y que dicho sonido conforma una harmonía o escala musical. De
este modo los pitagóricos dijeron haber asumido que las velocidades de los
cuerpos celestes, juzgados por sus distancias, estaban en las ratio de los
intervalos musicales concordantes. Debemos notar que Aristóteles no dice que
los pitagóricos argumentan que las velocidades están en proporción con los
intervalos, sino que asumían esto  Los pitagóricos no tenían forma de obtener
medidas suficientes para demostrarlo. Esta afirmación, por ello, que las
velocidades tienen ratio idénticas, es otra arriesgada conjetura producto de su
admiración e interés por responder preguntas fundamentales como la
estructura y configuración del Universo.
Notemos también que ni Aristóteles ni Alejandro, en los pasajes anteriores,
discuten en detalle el orden de los cuerpos celestes, y dejan la duda sobre cuál
es el sistema astronómico con el que relacionan la teoría; sin embargo, como lo
confirma Huffman, Aristóteles y Alejandro únicamente mencionan en otros
pasajes el sistema astronómico de Filolao, e incluso Alejandro, en su
comentario sobre la Metafísica 41.2 ss., relaciona explícitamente la doctrina de
la harmonía de las esferas con un sistema astronómico de diez cuerpos.
...they made the arrangement of the celestial bodies
harmonious by supposing that the ten moving bodies which
make up the universe are separated from each other by
concordant intervals, and that they move [at a velocity]
proportionate to the distances separating them, some of
them more rapidly, others more slowly.10
10
ALEJANDRO DE AFRODISIAS, On Aristotle Metaphysics 41.2 ss .Translated by William E.
Dooley. London 1989.
8
EL COSMOS DE FILOLAO
Como punto de referencia para comparar diferentes versiones sobre la
harmonía de las esferas, puede ser conveniente una breve ilustración acerca
del sistema astronómico de Filolao con algunos textos que, a su vez, están
estrechamente ligados con los conceptos a que nos referimos y los recrean de
una forma conjunta.
Dice Huffman11 que este sistema es claramente un producto de la tradición del
pensamiento presocrático sobre el cosmos que puede dar cuenta de los
fenómenos astronómicos de la misma forma que lo hacía el sistema de
Anaxágoras, Empédocles y Demócrito, y que aún es más sofisticado, puesto
que reconoce cinco planetas canónicos y no un número infinito de éstos;
asunto este, considerado como un ejemplo notable de astronomía especulativa,
que lo ubica como un importante precursor de Platón.
Los detalles sobre su sistema astronómico nos los relata, por un lado,
Aristóteles12 y sus comentaristas,13 quienes tuvieron acceso al tratado especial
sobre los pitagóricos; y por otro, la tradición doxográfica presentada por
Aecio14, el cual en última instancia se remonta al discípulo de Aristóteles
llamado Teofrasto. Veamos:
Sobre la discusión sobre la posición de la Tierra en el sistema astronómico
dice:
Quienes afirman que el cielo es limitado dicen que se
halla en el centro, pero los llamados pitagóricos de Italia,
se manifiestan en contra: en efecto afirman que en el
centro hay un fuego, y que la tierra, que es uno de los
astros, al desplazarse en círculo alrededor del centro,
produce la noche y el día. Además postulan otra tierra
11
HUFFMAN, C. A., Philolaus of Croton, Pythagorean and Presocratic. Cambridge 1993, Pág.
241.
12
ARISTÓTELES, Acerca del cielo 293 a 18; Metafísica 986 a2 y Aecio 2.29.4 (=DK 58b36)
13
ALEJANDRO, A., Op. Cit., 38.20 y Simplicio., De Caelo 5 II.25
14
Ver también, AECIO 3.11.3 (=DK A17); 3.13.2 (= DK A21)
9
opuesta a esta, que designan con el nombre de
antitierra, no buscando argumentos y causas conforme a
las apariencias, sino forzando las apariencias e
intentando compaginarlas con ciertos argumentos y
opiniones suyos. ...otros para no designar a la tierra el
centro extraen sus convicciones no de las apariencias,
sino más bien de los argumentos. Creen que conviene
que la región más noble esté a disposición de lo más
noble, que el fuego es más noble que la tierra, y el límite,
más que lo que esté dentro...15
La siguiente cita ha sido ampliamente tratada en la fundamentación de la
filosofía del número en Pitágoras. A propósito de esto, nos dice Guthrie16 que,
sin duda, los pitagóricos fueron responsables de importantes avances en la
ciencia de las matemáticas, y que sin embargo, su actitud respecto a ella era
completamente diferente a la de un matemático de hoy. Para ellos, los números
tenían y conservaban un significado místico, una realidad independiente. Los
fenómenos, aunque afirmaban explicarlos, eran secundarios, porque la única
cosa significativa respecto a los fenómenos era el modo en que reflejaban el
número. El número era el responsable de su harmonía, el principio divino que
gobernaba la estructura de la totalidad del mundo.
Los pitagóricos...supusieron que los elementos de los
números son elementos de todas las cosas que son, y
que el firmamento entero es armonía y número. Y
cuantas correspondencias encontraban entre los
números y las armonías, de una parte, y las
peculiaridades, y las partes del firmamento y la
ordenación del universo, de otra, las relacionaban entre
sí sistemáticamente. Incluso, si echaban en falta algo,
deseaban ardientemente <añadirlo>, de modo que toda
su doctrina resultara bien trabada; quiero decir, por
ejemplo, que basándose en que el número diez parece
ser perfecto y abarcar la naturaleza toda de los números,
afirman también que son diez los cuerpos que se
mueven en el firmamento, y puesto que son visibles
solamente nueve, hacen de la antitierra el décimo.17
Philolaus [says] that there is fire in the middle around the
centre which he calls the hearth of the whole and house
of Zeus... And again another fire at the uppermost place,
surrounding [the whole]. [He says] that the middle is first
15
ARISTÓTELES., Acerca del cielo 293 a 18 ss.
GUTHRIE. W., Historia de la Filosofía Griega Vol I. Los primeros presocráticos y los pitagóricos
. Madrid: Gredos, 1986. Pág.207.
17
ARISTÓTELES., Metafísica 986a 2.
16
10
by nature, and around this ten divine bodies dance:
heaven, planets, after them the sun, under it the moon,
under it the earth, under it the counter-earth, after all of
which the fire which has the position of a hearth about
the centre.18
El rasgo más importante de esta cosmología filolaico-pitagórica es el
significativo hecho de haber quitado a la Tierra del puesto tradicional en el
centro del cosmos y de haberla puesto a girar en órbitas circulares como los
demás planetas. Este acontecimiento es considerado un audaz salto de la
imaginación científica, caracterizado por su relevancia en la astronomía
antigua. En el sistema descrito, vemos también que el centro del cosmos no es
el Sol, sino un misterioso fuego central,19 alrededor del cual giran los otros
cuerpos celestes.
Como lo muestra la imagen (Gráf : 8), empezando desde afuera, tenemos
entonces en el límite exterior la esfera de las estrellas fijas, seguido por los
cinco planetas, el Sol, la Luna, la Tierra, la antitierra y el fuego central. La
antitierra acompaña a la Tierra y gira en una órbita más pequeña, y no es vista
por nosotros porque el lado de la tierra en que vivimos está apartado de ella.
Este sistema experimentó posteriormente una considerable variedad de
interpretaciones y fue también modificado por otros sistemas en la tradición
tardía.
Es también opinión común entre los especialistas que el área que explica los
fenómenos particulares astronómicos es uno de los ámbitos en que el
pensamiento
pitagórico
muestra
divergencias
considerables,
y
allí
precisamente es posible hallar una clara evidencia de división entre ellos.20
De todas maneras, a pesar de las inferencias que podemos hacer a partir de
los testimonios y fragmentos de Filolao, podemos estar de acuerdo con
18
AECIO 2.7.7 (= DK A16)
En otro pasaje en De Caelo 512.9 Simplicio refiriéndose a este mismo asunto lo denomina
así: ...por ello, algunos llaman al fuego Torre de Zeus, como dice Aristóteles en su obra sobre
los pitagóricos, otros lo llaman Cuarto de Guardia de Zeus como aquí, y otros, en fin, trono de
Zeus.
20
Sobre estas consideraciones a BURKERT. W., Op. Cit., Pág. 337 ss; y a HUFFMAN, C., Op.
Cit., Pág. 240. Y para un estudio detallado de la astronomía griega Heath, T., Op. Cit.
19
11
Burkert21en que no hay una conexión orgánica entre la harmonía de las esferas
y su sistema astronómico, y en que es difícil relacionar los diez cuerpos
celestes con la música.
Gráf. 8: El cosmos de Filolao.22
PLATÓN
En el mito de Er, Platón nos ofrece una adaptación imaginativa de la harmonía
de las esferas. Describe allí ocho23 notas diferentes - que conforman una
harmonía - que eran emitidas por sirenas sentadas en una órbita, las cuales
representaban la esfera de las estrellas fijas y los siete planetas.
...El círculo de la tortera más grande era estrellado, el de
la séptima el más brillante, el de la octava tenía su color
del resplandor de la séptima; el de la segunda y el de la
quinta eran semejantes entre sí y más amarillos que los
otros, el tercero tenía el color más blanco, el cuarto era
21
BURKERT, W., Op. Cit., Pág. 351.
Esquema que representa el sistema astronómico de Filolao. Tomado de
http://www.divulgamat.net/weborriak/Historia/MateOspetsuak/pitagoras.
23
Dice Heath que este sistema se corresponde con el octacordio de la lira de ocho cuerdas, la
cual fue inventada por aquél mismo tiempo. O.c.,108.
22
12
rojizo, el sexto era segundo en blancura. El huso entero
giraba circularmente con el mismo movimiento, pero,
dentro del conjunto que rotaba, los siete círculos
interiores daban vuelta lentamente en sentido contrario al
conjunto. El que de éstos marchaba más rápido era el
octavo; en segundo lugar, y simultáneamente entre sí, el
séptimo el sexto, y el quinto; en tercer lugar, les parecía,
estaba el cuarto, que marchaba circularmente en sentido
inverso; en cuarto lugar el tercero y en quinto lugar, el
segundo. En cuanto al huso mismo, giraba sobre las
rodillas de la Necesidad; en lo alto de cada uno de los
círculos estaba una sirena que giraba junto con el círculo
y emitía un solo sonido de un solo tono, de manera que
todas las voces, que eran ocho, concordaban en una
armonía única.24
Según Heath25, el siguiente sería, entonces, el orden de los tonos, según el
sistema platónico26 y de acuerdo a la descripción anterior:
Círculo de las estrellas fijas....
la nota más alta (nh/th)
Saturno
Júpiter
Marte
Mercurio
Venus
El Sol
La luna....
24
la nota más baja (u(pa/th)
PLATÓN., República X 617 a-b Ed. Gredos 1986.
HEATH, T., Op. Cit. Pág. 110
26
En el sistema platónico la tierra está quieta en el centro libre de soporte; los planetas circulan
alrededor de ella a diferentes distancias. Sus aparentes movimientos irregulares los explicaba
con principios matemáticos. El orden de los planetas, con la Tierra en el centro, es el siguiente:
la Luna, el Sol, Venus, Mercurio, Marte, Júpiter y Saturno; y por último, la esfera de las estrellas
fijas. Este orden es el mismo que utilizaron Eudoxo, Callipo, Aristóteles y Eratóstenes entre
otros.
25
13
También Platón, en su pasaje del Timeo 35b ss 27, donde relata la creación del
alma del mundo nos hace más clara esta herencia pitagórica de los números y
sus propiedades cosmogónicas. En él se nos relata un mito en el que se utiliza
una estructura harmónica constituida por series de progresiones aritméticas y
harmónicas que, a su vez, están asentadas sobre un esquema musical.
Estas proporciones que desempeñaron un papel importantísimo en las
especulaciones científicas y filosóficas de aquellos tiempos, eran ya conocidas
por los pitagóricos de Sicilia y fueron transmitidas a Platón quizás por Arquitas
de Tarento.28
Escuchemos entonces el ritmo con que el demiurgo, teniendo en sus manos la
cuarta sustancia, empieza la construcción del alma del mundo.
En primer lugar separó de la mezcla total una
parte. Inmediatamente tomó una segunda parte
doble de aquella; luego, una tercera parte igual a
una vez y media la segunda y a tres veces la
primera; una cuarta porción que fuera doble de la
segunda; una quinta porción que fuera el triple de
la tercera; una sexta porción igual a ocho veces la
primera; y una séptima porción igual a veintisiete
veces la primera.
Son siete partes que preludian la conformación de los siete cuerpos celestes
que orquestan la harmonía de las esferas, 1, 2, 3, 4, 9, 8, 27, y que conforman
además dos progresiones geométricas: una de razón =2 (1, 2, 4, 8) y otra (1, 3,
9, 27) de razón = 3.
27
El Timeo seguirá siendo un texto importantísimo para la exacta significación sobre los
escritos de música. Acerca de él se escribieron muchos comentarios, como los de Plutarco (De
Animae Procreatione in Timae), Calcidio y Proclo, que han llegado hasta nosotros. Se han
perdido, entre otros, los de Jenócrates, Eratóstenes, Crantor, Eudoro, Clearco, Teodoro,
Adrastro, y Posidonio de Apamea. Teón de Esmirna (que trabaja en Alejandría desde el 130,
donde también trabaja Claudio Ptolomeo, contemporáneos ambos de Nicómaco de Gerasa)
reúne en un libro todo el conocimiento matemático necesario para la comprensión de Platón.
La estética musical de los números y simetrías inscrita en El Timeo tuvo una gran influencia en
los tiempos posteriores en la Edad Media (es útil recordar que El Timeo fue de nuevo traducido
en el siglo IV por Calcidio).
28
ARQUITAS (430-365 a. c.) fue quien por primera vez trató oficialmente el famoso asunto de la
duplicación del cubo, que es el caso particular del problema de intercalar dos medias
geométricas entre dos números “sólidos” o volúmenes.
14
Enseguida, utilizando medias aritméticas y armónicas armonizó los intervalos
en dos repeticiones de manera que pudiera intercalar entre cada término de la
progresión dos términos medios. Debemos tener en cuenta que armonizar o
llenar un intervalo entre dos términos dados consiste en este caso en encontrar
la media que dé nacimiento a la proporción, es decir, hallar términos que se
den en razones definidas con los términos iniciales y así proporcionar los
intervalos que finalmente hagan consonar (sunfwni/a) la totalidad de la serie
(a)nalogi/a) que se está generando. Este procedimiento lo hizo el demiurgo
con ayuda de lo que Platón denomina meso/thj, palabra que designa una serie
de tres términos que forman una progresión continua, es decir, una proporción:
kai\ ta\j tw=n h(mioli/wn kai\ e)pitri/twn kai\ e)pogdo/wn meso/thtaj29...y las
medidas de los intervalos de uno y un medio, de uno y un tercio y de uno y un
octavo... y que literalmente significa en este contexto mediedad.
Consideremos el resto del pasaje: [Timeo 36a].30
El primero excedía de ellos o era excedido por ellos
en una misma fracción de cada uno de ellos. El
segundo excedía de los extremos en una cantidad
igual a aquella en que él mismo era excedido. Con
estas relaciones nacieron en los intervalos que
acabamos de señalar nuevos intervalos de uno y un
medio [h(mioli/wn] , de uno y un tercio [e)pitri/twn] y
de uno y un octavo [epogdo/wn].31
Los intervalos resultantes no vienen ya determinados por diferencias entre
números sino por diferencias entre la representación de sonidos por
proporciones musicales. Los resultados de esos nuevos intervalos que cita
29
PLATÓN., Timeo 43d Ed. Burnet 1903.
ta/ te dipla/sia kai\ tripla/sia diasth/mata, moi/raj e)/ti e)kei=qen a)pote/mnwn kai\ tiqei\j
ei)j to\ metacu\ tou/twn, w(/ste e)n e(ka/stw? diasth/mati du/o ei)=nai meso/thtaj, th\n me\n
tau)tw=? me/rei tw=n a)/krwn au)tw=n u(pere/xousan kai\ u(perexome/nhn, th\n de\ i)/sw? me\n
kat' a)riqmo\n u(pere/xousan, i)/sw? de\ u(perexome/nhn. h(mioli/wn de\ diasta/sewn kai\
e)pitri/twn kai\ e)pogdo/wn genome/nwn e)k tou/twn tw=n desmw=n e)n tai=j pro/sqen
diasta/sesin,
Ibid., 36a.
31
Ibid., 35b ss. Ed Aguilar, 1966. El resaltado es del autor.
30
15
Platón hace que supongamos además que cada término de la progresión inicial
equivale a un tono musical definido y que entre cada uno de ellos, por estas
distancias que se generan en su interior (3/2, 4/3, 9/8), se conforma el intervalo
de una octava o de una escala musical propiamente dicha, es decir, de
a(rmoni/a.
Resulta, pues, sorprendente que estos nuevos intervalos que surgieron de los
términos dados en las progresiones originales con la aplicación de dos
términos medios en cada intervalo estén en la misma proporción que los
intervalos fundamentales de la escala musical. Veamos: los nuevos intervalos
guardan, respecto a la relación 2/1 de la serie (1, 2, 3, 4), las siguientes
proporciones.
1 + 1/2 = 3/2 está en una proporción sesquiáltera. (hmioli/wn)
1+1/3 = 4/3 está en una proporción sesquitercia. (epitri/twn)
1+1/8 = 9/8 está en una proporción sesquioctava. (epogdo/wn)
Y 2/1 equivale a una proporción dupla, que es la octava completa.(armoni/a)
En correspondencia con las anteriores proporciones obtenemos los siguientes
intervalos:
El intervalo de quinta = 3/2 (diape/nte)
El intervalo de cuarta = 3/4 (diatessa/rwn
El tono que separa dos tetracordios = 9/8 (diesij - lei=mma)
Y el intervalo de octava = 2/1, que son los términos extremos (diapasw=n).
Sigue el texto:
Con ayuda del intervalo de uno y un octavo, el
Dios rellenó todos los intervalos de uno y un
tercio, dejando subsistir de cada uno de ellos una
fracción tal que el intervalo restante viniera
definido por la relación entre el número doscientos
16
cincuenta y seis y el número doscientos cuarenta
y tres. Y así pudo emplear toda entera la mezcla
en la que había hecho estas divisiones.
Sobre los números 256 y 243, podemos decir que establecen la misma relación
de una fracción de un tono entre los intervalos, ya que su razón es la misma
que la de 9/8, la cual, a su vez, establece la distancia de un tono completo
entre dos términos de la progresión de la cual estamos tratando. De esta
manera entonces, hemos obtenido hasta ahora una grandiosa progresión de
escalas que estructuran musicalmente el Universo en una inmensa harmonía y
acople de partes sonoras.
Resta sin embargo aclarar que en otros pasajes que dan cuenta de la
concepción platónica de la música se distingue entre una música que se oye y
otra que no se oye, y que ésta última es, como veremos, la digna de atención
del filósofo. De hecho, Platón es considerado como el primero y mayor
responsable de la marcada escisión que se presenta en el pensamiento
musical entre la música teórica, emparentada con las matemáticas en tanto
ciencia armónica, y la música práctica ejecutada con instrumentos y por
músicos.
¿O no sabes que con la armonía hacen algo similar?
En efecto, se pasan escuchando acordes y midiendo
sonidos entre sí, con lo cual, como los astrónomos,
trabajan inútilmente?.
- Y de modo bien ridículo,¡por los dioses! Cuando
hablan de ‘dos intervalos de un cuarto de tono cada
uno’, y paran sus orejas como si trataran de captar
murmullos de vecinos. Unos afirman que pueden
percibir un sonido en medio de otros dos, que da así
el intervalo más pequeño, mientras otros replican que
ese sonido es similar a los otros; pero unos y otros
anteponen los oídos a la inteligencia.....
Pues éstos hacen lo mismo en la armonía que los
otros en la astronomía, pues buscan números en los
17
acordes que se oyen, pero no se elevan a los
problemas ni examinan cuales son los números
armónicos y cuales no, y por qué en cada caso.32
Podemos inferir, entonces, que las anteriores referencias platónicas a la
harmonía de las esferas nos ubican en la atmósfera pitagórica del concepto de
armoni/a.
Se trata de una concepción que, al envolver la harmonía del alma y la
harmonía del Universo, es el símbolo idóneo de la unidad y del orden divino.
Por tanto, la relación astronomía-matemáticas y música está enmarcada por
este principio inmaterial que trazó el horizonte de la música teórica en la
Antigüedad tardía y el Medioevo. Así pues, la música, de acuerdo con los
lineamientos que hemos dibujado de este concepto, puede ser no sólo la
escala, el tono, los intervalos concordantes o el sonido de los instrumentos,
sino también, y con mayor razón en este contexto, el análisis y el estudio
teórico de los intervalos musicales o la música producida por los astros que
rotan en el cosmos siguiendo unas leyes numéricas y unas proporciones
armónicas.
Por otro lado, refiriéndonos de nuevo al mito, podemos decir que esta idea de
intermediación proporcional generativa se extiende por analogía del ámbito
músico-matemático a diversos espacios, como al de la lógica cuando sirve
como consonancia que liga las diversas proporciones del raciocinio, al de la
poesía cuando actúa como la metáfora que produce la implosión en el
crecimiento de dos imágenes que se conjugan con el mismo ritmo prosódico, o
al de la arquitectura, en la euritmia de los imponentes monumentos griegos.
Son construcciones conceptuales y conjeturales que tienen por base el
grandioso e invisible mundo de las matemáticas en el que están inscritos aún
los gestos que tuvieron los antiguos ante ella: Tales, Heráclito, Pitágoras...
Perviven aún hoy cuando pulsamos la cuerda de una guitarra, cuando nos
sorprendemos ante un inmenso cielo estrellado, cuando calculamos las áreas
32
PLATÓN., República 531 a-b. Ed. Gredos. 1986
18
de los sólidos; así mismo, en la geometría, en el álgebra, en el ritmo, en la
aritmética, en la poética, que en el fondo es parangonable con la música...
Graf:9 El Canon y la Harmonía33
OTRAS DESCRIPCIONES
Aparte de la exposición de Aristóteles y la recreación platónica, la tradición
tardía recoge muchísimas descripciones. Con el fin de ilustrar las relaciones
entre los intervalos musicales (en su dimensión de a(rmoni/a y a)nalogi/a), y la
doctrina de la harmonía cósmica, citemos algunas de ellas:
CICERÓN:
33
La imagen representa el esquema de Robert Fludd (1574-1637), quien en su obra Utriusque
Cosmi Historia (Oppenheim, 1617) Vol I, construye una cosmología musical en términos de
consonancias, proporciones e intervalos.
19
Esta concepción musical del Universo y sus proporciones armónicas34 y
matemáticas es descrita por Cicerón cuando pone en labios de Escipión
Emiliano la narración del siguiente sueño:
Ve aparecérsele en sueños a su padre, Escipión Africano... le revela que el
dios supremo (princeps deus) vive en la vía láctea y habita en la más elevada
de las nueve esferas celestes35, cuya revolución produce una harmonía que
nosotros no percibimos, por estar tan acostumbrados a ella, de igual modo que
los que viven cerca de las cataratas del Nilo no oyen ya su ruido.
Desde la vía láctea, Escipión mira hacia abajo, desde las estrellas hacia el
globo que parece tan pequeño... y mientras contemplaba el mundo con
estupefacción, oyó un sonido dulce y vigoroso que llenó sus oídos. ‘Quae cum
intuerer stupens...quis est qui complet aures meas, tantus et tam dulcis sonus?’
Quae cum intuerer stupens, ut me recepi: 'Quid hic?'
inquam, 'quis est, qui complet aures, tantus et tam
dulcis sonus?' 'Hic est,' inquit, 'ille, qui intervallis
disiunctus imparibus, sed tamen pro rata parte
distinctis, impulsu et motu ipsorum orbium efficitur et
acuta cum gravibus temperans varios aequabiliter
concentus efficit; nec enim silentio tanti motus incitari
possunt, et natura fert, ut extrema ex altera parte
graviter, ex altera autem acute sonent. Quam ob
causam summus ille caeli stellifer cursus, cuius
conversio est concitatior, acuto et excitato movetur
sono, gravissimo autem hic lunaris atque infimus; nam
terra nona immobilis manens una sede semper haeret
complexa medium mundi locum. Illi autem octo cursus,
in quibus eadem vis est duorum, septem efficiunt
distinctos intervallis sonos, qui numerus rerum omnium
fere nodus est; quod docti homines nervis imitati atque
cantibus aperuerunt sibi reditum in hunc locum, sicut
alii, qui praestantibus ingeniis in vita humana divina
studia coluerunt. (19) Hoc sonitu oppletae aures
hominum obsurduerunt; nec est ullus hebetior sensus
in vobis, sicut, ubi Nilus ad illa, quae Catadupa
nominantur, praecipitat ex altissimis montibus, ea gens,
quae illum locum accolit, propter magnitudinem sonitus
34
El tema general de los testimonios tardíos es la comparación del Cosmos con una lira de 7
cuerdas y el uso recurrente de los intervalos concordantes o proporciones armónicas.
35
Este arreglo astronómico concuerda con el de Platón en el mito de Er, en el cual también el
círculo más exterior - el de las estrellas fijas - producía el tono más alto y la Luna la esfera más
interior y el tono más bajo.
20
sensu audiendi caret. Hic vero tantus est totius
incitatissima conversione sonitus, ut eum
hominum capere non possint, sicut intueri
adversum nequitis, eiusque radiis acies
sensusque vincitur.'36
mundi
aures
solem
vestra
PLINIO:
Las escalas de ocho intervalos dadas por Plinio, Censorino y Marciano Capella
provienen muy probablemente de una misma fuente; según Heath37, tienen
como base común la Sección Musicológica o el Libro de Música de los
Disciplinarum Libri de Varrón (116-27 a.C). Dichas escalas difieren levemente
unas de otras en la distribución de los tonos entre los intervalos, veamos:
Sed Pythagoras interdum et musica ratione appellat
quantum absit a terra luna, ab ea ad Mercurium
dimidium spatii et ab eo ad Veneris, a quo ad solem
sescuplum, a sole ad Martem tonum [id est quantum
ad lunam a terra], ab eo ad Iovem dimidium et ab eo
ad Saturni, et inde sescuplum ad signiferum; ita
septem tonis effici quam dia paswn armonian hoc
est universitatem concentus; in ea Saturnum Dorio
moveri phthongo, Iovem Phrygio et in reliquis
similia, iucunda magis quam necessaria subtilitate.
38
Así nos lo relata Plinio, según él, entre la Tierra y la Luna había un tono, entre
la Luna y Mercurio 1/2 tono, entre Mercurio y Venus 1/2 tono, entre Venus y el
Sol una tercera menor (1+ 1/2), entre el Sol y Marte 1 tono, entre Marte y
Júpiter 1/2 tono, entre Júpiter y Saturno 1/2 tono y entre Saturno y la esfera de
las estrellas fijas una tercera menor (1+ 1/2).
Tierra y la Luna
36
1
tono
CICERÓN., De Republica, Thesaurum Linguae Latinae, TLG. Cap 6.18-19
HEATH, T., Op. Cit., Pág 113.
38
PLINIO., Naturalis Historiae, ii, § 84.
37
21
Luna y Mercurio
½
tono
Mercurio y Venus
½
tono
Venus y el Sol
1+ ½ tono
Sol y Marte
1
tono
Marte y Júpiter
½
tono
Júpiter y Saturno
½
tono
Saturno y la esfera de las estrellas
1+ ½ tono
7
tonos
CENSORINO
El esquema de Censorino estructura los intervalos entre los planetas en dos
tetracordios bien diferenciados: uno, de tres tonos y medio, desde el Sol a la
Tierra y otro, de dos tonos y medio, desde el Sol hasta la última esfera. Éstos
muestran claramente la identificación de la harmonía celeste con la escala
musical o a(rmoni/a).
Itaque solis astrum abesse a terra tonos tres et
dimidium, quod vocatur, a luna autem duos et
dimidium, quod est, a sole vero ad stellam Martis,
cui nomen est Pyrois, tantumdem intervalii esse
quantum a terra ad lunam, idque facere tonon; hinc
ad Iovis stellam, quae Phaethon appellatur,
dimidium eius, quod faciat hemitonion; tantundem a
Iove ad Saturni stellam, cui Phaenon nomen est, id
est aliud hemitonion; inde ad summum caelum, ubi
signa sunt, perinde hemitonion. 5. Itaque a caelo
summo ad solem diastema esse id est duorum
tonorum et dimidi, ad terrae autem summitatem ab
eodem caelo tonos esse sex, in quibus sit
symphonia39
CAPELLA
39
CENSORINO., De Die Natali Liber ad Q. Caerellium. Traduzione e commento a cura di Carmelo
A. Rapisarda. Bologna 1991. Pág. 13.3-5 . Esta escala es también sustancialmente idéntica a
la que describe Teón de Esmirna en (p.p 140-41 Hiller), y a la que acabamos de describir de
Plinio.
22
40
Marciano Capella , de manera similar, nos trae la siguiente distribución:
Tierra y la Luna
1
tonum primum
Luna y Mercurio
½
hemitonio permeato
Mercurio y Venus
½
hemitonio
Venus y el Sol
1+ ½ tonos ac dimidius
Sol y Marte
½
hemitonio
Marte y Júpiter
½
hemitonii interiecta
Júpiter y Saturno
½
parili interiectione
Saturno y Zodiaco
1+ ½ tono ac dimidio
6½
tonoi
Terminemos este periplo con la idea boeciana sobre la harmonía celeste, a
través de esta imagen que representa las ocho esferas que a su vez conforman
el heptacordio (a(rmoni/a) que rubrica de nuevo la estrecha relación entre
astronomía, música y número.
40
MARTIANUS CAPELLA. De nuptiis philologiae et Mercurii, ii. 169-198
23
Graf. 10: La harmonía de las esferas según Boecio