Examen 2EV Gravitación (Sol.)

2º G Bach. Física
- Examen 2EV (I) Gravitación -
Fecha : 16 / 02 / 2015
1.- Un cometa se mueve en una órbita elíptica alrededor del Sol. Explicar razonadamente, indicando los
principios físicos y leyes que se precisen, en qué punto de la órbita del cometa (afelio o perihelio) tienen
mayor valor las siguientes magnitudes :
a) El momento angular del cometa respecto al Sol
b) La velocidad del cometa (lineal y angular)
c) La energía potencial
Sol.:
a) El momento angular es constante por ser la fuerza gravitatoria una fuerza central, y por lo tanto es
nulo el momento de la fuerza :
⃗
dL
⃗ r∧ ⃗F= ⃗
⃗ ⇒L
⃗ = cte⇒
⃗ afelio = ⃗
⃗ L
M=⃗
0 ;
=M
Lperihelio
dt
b) Por ser constante el momento angular, sabiendo que en el afelio y perihelio el vector velocidad y el
vector posición son perpendiculares y que r a >r p se cumplirá que :
Para la velocidad lineal La =L p ⇒ m r a v a= m r p v p ⇒ r a v a= r p v p ⇒ v a< v p
2
2
2
2
Para la velocidad angular L a=L p ⇒ m ra ωa= m r p ω p ⇒ r a ω a= r p ωp ⇒ ωa< ω p
c) Las energías potenciales en el afelio y perihelio serán :
GMm
r 2a
de donde se deduce que
GM m
E p ( p)=−
2
rp
Ep (a)=−
∣Ep (a)∣<∣Ep (p)∣⇒ E p (a)>E p (p)
2.- Un satélite describe una órbita circular con un periodo de 15 horas alrededor de un planeta esférico. La
−2
aceleración de la gravedad en la superficie del planeta es 2,8 m.s
y el radio del planeta es 3650 km.
Calcular :
a) La altura a la que orbita el satélite
b) la velocidad orbital del satélite
c) La velocidad de escape desde la superficie del planeta
Sol.:
Torb=5,4.104 s ; R =3,65.106 m ; g o =gsuperficie= 2,8 m.s−2
GM
2
−2
* Se obtiene el producto GM a partir de : g o= 2 ⇒ G M=go R , con g o =2,8 m.s
R
T2orb 4 π2
T2orb g o R 2
3
7
a) De la 3ª Ley de Kepler :
=
⇒
r
=
⇒ r orb=1,40.10 m
orb
3
2
rorb G M
4π
* Datos en S.I. :
La altura de la órbita :
h orb =R −r orb=1,037.10 7 m
b) Por ser una órbita circular : v orb =
2 π r orb
⇒ v orb =1,63.10 3 m /s
Torb
c) Desde la superficie del planeta : v escape=
IES Vicente Aleixandre
√
2G M
= √ 2 g o R=4,52.103 m /s
R
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3.- Una nave espacial de 800 kg de masa realiza una órbita circular de 6000 km de radio alrededor de un
8
planeta. Sabiendo que la energía potencial de la nave es E p =−6,54.10 J , calcular :
a) La masa del planeta
b) La velocidad orbital de la nave
c) La energía cinética y la energía mecánica de la nave
Datos :
G=6,67.10−11 N . m 2 . kg−2
Sol.:
* Datos en S.I. :
r orb =6.106 m
a) A partir de la E. potencial en la órbita:
b) V. orbital (orb. Circular) :
c) E. cinética en la órbita :
En órbitas circulares :
v orb =
√
E p=−
E r
GMm
⇒ M=− p =7,35.10 22 kg
r
Gm
GM
=9,04.10 2 m /s
r orb
1
Ec = m v 2orb =3,27.108 J
2
E m =−
1 GMm
=−E c ⇒ E m =−3,27.10 8 J
2 rorb
4.- Un satélite artificial de 400 kg de masa describe una órbita circular de radio 5 R T alrededor de la Tierra.
Calcular :
a) El trabajo que hay que realizar para llevar el satélite desde la órbita de radio 5 R T hasta otra órbita
circular de radio 10 R T y mantenerlo en dicha órbita
b) La relación entre los periodos de rotación en ambas órbitas
c) La relación entre las energías cinéticas en ambas órbitas
Datos :
G=6,67.10−11 N . m 2 .kg −2 ; R T=6370 km ; M T=5,98.1024 kg
Sol.:
* Datos en S.I. :
R T =6,37.10 6 m
a) Trabajo externo para el cambio de órbita :
despejando :
W ext =Em (r 2 )−Em ( r1 )=
b) De la 3ª Ley de Kepler :
T22
T1
r1
T1
c) E. cinética (órb. Circular) : Ec ( r)=
IES Vicente Aleixandre
(
r 32
3⇒
E m (r)=−
G MTm
2r
G MT m 1
1
−
⇒ W ext =1,25.109 J
2
5 R T 10 R T
T22
2=
E m (r1 )+W ext =Em (r 2 ) , con
(
2=
)
10 R T 3
=8 ⇒ T2 =2 √ 2 T1
5RT
)
G MT m Ec (r 2 ) G MT m/ 20 R T
1
⇒
=
= ⇒ Ec (r 1 )=2 Ec (r 2 )
2r
Ec (r 1)
G MT m /10 R T
2
(
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