154 Cálculo de la emisión de energı́a en el interior solar debido a la cadena PP Jonathan M. Marı́n Universidad Nacional de Colombia Departamento de fı́sica jmmarinv@unal.edu.co Abstract En el presente trabajo se desarrolla un cálculo numérico para la tasa de generación de energı́a de una estrella con una masa solar, tal como el sol, debido a la cadena protón protón (PP) la cual se considera como el principal mecanismo por el cual los núcleos de hidrógeno (protones) son convertidos en núcleos de helio. Para hacer más real nuestros cálculos usamos los datos de las densidades, temperaturas y composición quı́mica locales del modelo solar estandar de Bahcall[3] encontrándose una concordancia entre la región de producción de energı́a de nuestro modelo con la región en donde se ha completado la luminosidad solar. 1.. Introducción En un tiempo se desconocı́a como las estrellas producen su propia energı́a y era una cuestión intrigante que duró miles de años hasta finales del siglo XIX donde se involucraron una larga serie de argumentos observacionales y teóricos que dieron frutos para proponer que la posible fuente de energı́a serı́a la conversión de alguna fracción de masa de la estrella (inicialmente el estudio se basó en nuestro sol) en energı́a de acuerdo con la famosa ecuación de Einstein E = mc2 y posteriormente gracias al avance en la época (siglo XX) en el desarrollo de la mecánica cuántica se conoció en detalle el mecanismo de dicha conversión pues la única forma de producir tal energı́a es por medio de las reacciones termonucleares. La cadena protón-protón (PP) es la principal serie de reacciones de fusión nuclear por las cuales los núcleos de hidrógeno (protones) se convierten en núcleos de helio en el interior de las estrellas de baja masa. Esta cadena está descrita en tres pasos o tres subcadenas, dependiendo de los agentes interactuantes, conocidas como PPI, PPII y PPIII. Posteriormente después de que los núcleos de H han sido consumidos para producir He, algunos remanentes de H pueden interactuar con núcleos más pesados como el carbono, oxı́geno o nitrógeno cuyas reacciones son conocidas Benjamı́n Calvo Mozo Universidad Nacional de Colombia Observatorio Astronómico Nacional bcalvom@unal.edu.co como ciclo CNO; este último proceso domina en estrellas muy masivas. Es nuestro objetivo determinar la tasa de generación de energı́a para el sol calculando las tasas de reacción correspondientes a las interacciones presentes en la cadena PP e importando los datos de masa (M/M! ), radio (R/R! ), temperatura (T), densidad (ρ), presión (P), luminosidad (L/L! ) y las fracciones de masa del H, He3 , He4 , (XH , XHe3 , XHe4 ) respectivamente, datados en el SSM (modelo solar estandar) BS2005-AGS,OP[3] para hallar el valor de la tasa de generación de energı́a " debida a la cadena PP. 2.. Cadena PP La serie más importante de reacciones de fusión son aquellas que convierten hidrógeno en helio en un proceso conocido como “quemado de hidrógeno”. La probabilidad de que cuatro protones se fusionen para formar helio es completamente despreciable, en vez de esto, la reacción debe proceder por una serie de pasos, por ejemplo (PPI, PPII y PPIII), que dentro de las varias posibilidades tendremos en cuenta como la principal cadena de reacciones para el quemado de hidrógeno la cadena PP. Para determinar completamente la cadena de reacciones, es posible pensar en determinar las tasas de todas las reacciones posibles entre las partı́culas presentes en el medio a estudiar. Sin embargo se ha podido determinar que muchas de las posibles reacciones ocurren a una tasa despreciable o su sección eficaz es muy pequeña o incluso el producto de las abundancias de las especies interactuantes es muy pequeña[1] que tales reacciones son consideradas a aportar un minúsculo porcentaje a la producción de energı́a y por ende pueden ser despreciadas; esta condición será aplicada en el presente trabajo. 2.1.. Cadena PPI Esta rama la constituyen los siguientes pasos: H 1 + H 1 −→ D2 + β + + ν (1) 155 D2 + H 1 −→ He3 + γ H 3 + H 3 −→ He4 + 2H 1 (2) (3) La secuencia principal por el cual los núcleos de hidrógeno se convierten en núcleos de helio inicia por el proceso de interacción débil entre dos protones que forman un núcleo de hidrógeno pesado, deuterio (D2 o H 2 ), junto con la emisión de un positrón y un neutrino. Una vez producido el deuterio este reacciona con un protón para crear un isótopo ligero del helio con la emisión de un rayo γ. El núcleo de He3 puede entonces interactuar con otro núcleo de He3 para finalizar lo que se ha denominado cadena PPI o dar paso a la cadena PPII cuando el He3 en vez de reaccionar con otro núcleo semejante, interactúa con un núcleo de He4 (o partı́cula α). 2.2.. Cadena PPII Esta rama de la cadena PP consta en esencia de las siguientes reacciones: He + He −→ Be + γ (4) Be7 + e− −→ Li7 + ν (5) 3 4 7 Li7 + H 1 −→ He4 + He4 (6) Con la interacción del He3 con un núcleo de He4 inicia la cadena PPII cuyo resultado es la formación del núcleo Be7 junto con la emisión γ. Allı́ una vez formado el Be7 este puede reaccionar con un electrón para dar continuidad a PPII, que da origen al núcleo de Li7 y un neutrino. El 90 % de los neutrinos producidos en la reacción Be7 (e− , ν)Li7 transportan una energı́a de 0.861 MeV, mientras el resto (10 %) transportan 0.383 MeV dependiendo si el Li7 está en el estado base o en un estado excitado respectivamente. Y por último el Li7 interactúa con un protón para formar dos partı́culas α. La rama PPII es dominante en un rango de temperaturas entre 14 a 23 MK aproximadamente. 2.3.. Cadena PPIII Y por último la tercera rama de la cadena PP viene dada por: Be7 + H 1 −→ B 8 + γ (7) B 8 −→ Be8 + e+ + ν Be8 −→ 2He4 (8) (9) En vez de que el Be reaccione con un electrón, como en PPII, puede reaccionar con un protón y se produce la primera interacción de lo que se conoce como cadena PPIII (la suerte de que interaccione con electrones o con protones depende de los tiempos de vida relativos del 7 Be7 contra la captura de electrones y contra la captura de protones) en el cual se produce un núcleo de B 8 y emisión γ. Posteriormente el B 8 decae a Be8 (ver ec.(8)) que es inestable y se rompe en dos partı́culas α. La cadena PPIII llega a ser dominante a temperaturas superiores a los 23 MK y aunque su contribución a la generación de energı́a es de 0.11 % es muy importante para el problema de los neutrinos solares ya que genera neutrinos de muy alta energı́a hasta de 14.06 MeV. 3.. Tasa de generación de energı́a (!) Procedemos a calcular la tasa de la reacción p-p rpp [1] debida a la reación (1) (sin la corrección del apantallamiento electrónico) y posteriormente la tasa de reacción r33 debida a la reacción (3) como[1] raX = (1 + δaX )−1 na nX λaX (10) donde a es la partı́cula proyectil y X la partı́cula blanco, Na,X son las densidades de cada especie y λaX [1] la tasa de reacción por pareja de partı́cula con λaX "3/2 1 e−τ × = KT $ ! "2 % # ∞ E − E0 × S(E) exp − dE ∆/2 0 ! 8 µπ "1/2 ! (11) en donde µ es la masa reducida de las partı́culas involucradas en la reacción, K la constante de Boltzmann, τ es el parámetro donde está contenida la fuerte dependencia de la tasa de reacción con la temperatura, E0 frecuentemente llamada la energı́a más efectiva para las reacciones termonucleares, que resulta del producto entre los factores exp(−E/KT ) proveniente de la distribución de energı́a maxwelliana y el factor exp(−bE 1/2 ) introducido por la penetración a la barrera de coulomb, ası́ se forma un pico (el pico de “Gamow”) de energı́a E0 con un ancho de pico igual a ∆. Ası́ obtenemos la tasa de generación de energı́a por PPI dada por[1] ρ"P P I = 1,069 × 10−5 rpp + 2,060 × 10−5 r33 ergcm−3 s−1 (12) Debido al corto tiempo de vida media del deuterio D en la reacción (2) podemos asumir que la abundancia de dicho isótopo se encuentra en equilibrio, por consiguiente el He3 es predominantemente destruı́do por interacciones consigo mismo, ec.(3), después de que este ha alcanzado el equilibrio. Únicamente para una abundancia muy baja del He3 156 (comparada con su valor de equilibrio) la destrucción de He3 ocurre principalmente por interacciones con el deuterio; ec.(2). Ası́ considerando la tasa dD ≈0 (13) dt la tasa de generación de energı́a por PPI se simplifica a ρ"P P I = 2,099 × 10−5 rpp ergcm−3 s−1 (14) en equilibrio, o −2/3 2 "P P I = 2,326 × 106 ρXH T6 × (1 + 1/3 0,012328T6 + −1/3 exp(−33,748T6 2/3 0,010785T6 ergg )× + 0,000929T6 ) −1 −1 s (15) Teniendo en cuenta la contribución de PPI a la tasa de generación de energı́a ahora estudiamos el funcionamiento de la cadena completa descrito por un conjunto de ecuaciones diferenciales gobernando las abundancias. Si las únicas fuentes de cambio en abundancias son reacciones nucleares y teniendo en cuenta que la competencia para los núcleos de He3 es la que determina si es PPI, PPII o PPIII la que domina y las siguientes simplificaciones secuenciales: Debido al corto tiempo de vida media que presenta el deuterio (segundos a horas), tal isótopo es considerado a estar en equilibrio y por ende se tiene la ec.(13) El equilibrio para los nucleos de Li7 y Be7 ocurre en un tiempo relativamente corto (del orden de un año o menos) por tanto estas dos abundancias alcanzan bastante rápido el equilibrio, es decir d(Be7 + Li7 ) ≈0 dt (16) Y la última consideración ocurre cuando el He3 alcanza el equilibrio dHe3 ≈0 dt (17) se tiene que la cadena PP operando en equilibrio se simplifica a dHe4 1 dH =− (18) dt 4 dt Teniendo en cuenta la contribución de "P P I calculamos la tasa de generación de energı́a en la cadena completa PP operando en equilibrio "= "P P I Ψ" (α) 0,98032 (19) o −2/3 2 " = 2,3727 × 106 ρXH T6 1/3 × (1 + 0,012328T6 −1/3 exp(−33,748T6 2/3 + 0,010785T6 )Ψ" (α)× + 0,000929T6 ) ergg −1 s−1 (20) en donde T6 denota la temperatura local en millones de Kelvin y Ψ" (α) representa la corrección de la tasa de generación de energı́a a PPI por la simultaneidad de PPII y PPIII, con " ! 4 "2 ! λ234 He He4 = α T, H λ33 λpp H 4.. Cálculo de la emisión de energı́a Importando los datos necesarios del modelo solar estandar usado (BS2005-ags,op)[3], es decir importando los valores de la densidad, temperatura y composición quı́mica locales, calculamos el valor de α y posteriormente Ψ(α)[1] que está dado por la siguiente expresión: Ψ(α) = Φ(α)×(0,980FP P I +0,960FP P II +0,721FP P III ) (21) donde ! 2 Φ(α) = 1 − α + α 1 + α "1/2 (22) y FP P I , FP P II , FP P III son las fracciones de partı́culas α producidas por cada cadena PP respectivamente ya que la energı́a que transportan los neutrinos en cada cadena PP es diferente y por consiguiente la pérdida de energı́a también será diferente. Luego hallamos el valor de la tasa de generación de energı́a " de la ec.(20) y realizamos su gráfica con respecto al radio de la zona en unidades del radio solar (Figura 1) en donde observamos que para un radio mayor a 0.35 veces el radio del sol (R! ) la liberación de energı́a es casi nula, por consiguiente la cadena PP contribuye efectivamente en el interior solar en radios menores a 0.35R! . Para ilustrar mejor nuestro resultado graficamos (Figura 2) también la luminosidad en el interior solar de acuerdo con los datos extraı́dos del modelo SSM[3], notándose que a 0.35R! ya se tiene en el interior solar el total de la luminosidad del sol. 157 5.. Conclusión En el presente trabajo se reprodujo enteramente el proceso de cálculo del coeficiente de emisión de energı́a por unidad de tiempo y por unidad de masa en el interior solar, el cual es uno de los parámetros fundamentales de la estructura ed una estrella. El mecansmo de liberación de energı́a para este caso es el debido a la cadena protón-protón (PP) el cual es el fundamental para una estrella como el sol. En nuestros cálculos seguimos el método desarrollado por Clayton[1] el cual es un trabajo fundamental y clásico en este contexto. Sin embargo, las ecuaciones (15), (19) y (20) del presente trabajo incluyen una ligera mejora con respecto a las que se encuentran en la referencia citada, pues nuestras expresiones incluyen una mejor aproximación. Como en el cálculo de ", nuestro objetivo fundamental, intervienen los valores de la densidad, temperatura y composición quı́mica locales del interior solar, hemos importado dichos datos de uno de los mejores modelos solares conocidos en la literatura como es el desarrollado por Bahcall[2]. En dicho modelo la luminosidad del sol básicamente se ha completado a partir de 0.35R! , y nuestro " decae prácticamente a cero a partir de dicho radio, aproximadamente, indicándonos que la corrección a la generación de energı́a en el sol por parte del ciclo CNO es prácticamente irrelevante. Figura 1. Variación de la tasa de generación de energı́a debida a la contribución de la cadena PP con respecto al radio normalizado del sol. Referencias [1] Donald D. Clayton, “Principles of stellar evolution and nucleosynthesis”, University of Chicago Press (1983). [2] P. D. Parker, J. N. Bahcall & W. A. Fowler, “Astrophys. J.”, 139:602 (1964). [3] En la siguiente página http://www.sns.ias.edu/ jnb/ se pueden descargar los datos del modelo solar estandar empleados en este trabajo. Figura 2. Variación de la fracción de luminosidad en unidades de la luminosidad solar con respecto al radio normalizado del sol.