Miscellaneous Integrals (Answers) Instructions: For each of the following, you should be able to perform each of the integrations and differentiate the result to get back to the original integrand without any errors. √ 1 √ dx = 2 tan−1 ( x) + C 1. (1 + x) x x x x x sec2 x dx = − ln tan − 1 − ln 1 + tan + ln tan2 − 1 − 2 tan +C 2. 1 + tan x 2 2 2 2 3. sin x sec x dx = − ln(cos x) + C 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. csc x cot x dx = − tan−1 (cscx) + C 1 + csc2 x tan x 1 dx = sec2 x + C cos2 x 2 csc4 x dx = − cosx 2 cos x +C − 3 sin x 3 sin3 x x tan2 x dx = − 1 x2 + x tan x − ln(1 + tan2 x) + C 2 2 x3 1 x x2 1 cos x sin x + + x cos2 x − cos x sin x − + C 2 6 2 4 4 2 x5 2 − x3 dx = − (2 − x3 )(3x3 + 4) 2 − x3 + C 45 x 1 √ +C dx = sinh−1 2 x2 + 4 x x2 x 25 √ sinh−1 dx = 25 + x2 − +C 2 2 5 25 + x2 1 1 2 2 −1 sin x + C (cos x) 4 − sin x dx = sin x 4 − sin x + 2 sin 2 2 2x − 1 1 2 −1 √ √ dx = tan +C x2 − x + 1 3 3 2 2x + 1 2 3 1 x2 + x + 1 dx = x + x + 1 + sinh−1 √ +C x+ 4 8 2 3 √ 5 29 103 √ 5x + 31 2 −1 dx = ln(3x − 4x + 11) + (6x − 4) + C 29 tan 3x2 − 4x + 11 6 87 58 x2 cos2 x dx = x3 x4 + 1 dx = − x + 2 tan−1 x + C x2 + 1 3 √ 2 x4 + x7 (1 + x3 ) x4 + x7 dx = +C 17. 9x2 √ √ √ x 18. dx = 2 x − 2 tan−1 ( x) + C 1+x sin x cos x 19. dx = sin−1 +C 2 4 − sin2 x 16. 1 20. 21. cos 2x dx = 2 sin x − ln(sec x + tan x) + C cos x tan x dx = − ln(ln(cos x)) + C ln(cos x) √ 22. x7 x4 + 2 dx = − 1 − x4 + C 6 1 − x4 ln(1 + x) dx = (x + 1)(ln(x + 1) − 1) + C 23. x2 1 2 sec−1 x − x −1+C 2 2 x x 2 9 +C x2 + 9 dx = x + 9 + sinh−1 25. 2 2 3 x x x2 √ +C dx = − 4 − x2 + 2 sin−1 26. 2 2 4 − x2 1 1 27. 2x − x2 dx = (x − 1) 2x − x2 + sin−1 (x − 1) + C 2 2 4x − 2 dx = 2 ln x + ln(x − 1) − 3 ln(x + 1) + C 28. x3 − x √ x3 x x4 −1 √ dx = + 2x − 2 2 tanh +C 29. x2 − 2 3 2 sec x tan x dx = ln(sec x) + ln(x − 1) − 3 ln(x + 1) + C 30. sec x + sec2 x 1 x+2 x − tan−1 (x + 1) + C dx = − 31. (x2 + 2x + 2)2 2(x2 + 2x + 2 2 x1/3 6 12 32. dx = x5/6 − x7/12 + 3x1/3 − 12x1/12 + 4 ln(1 + x1/12 ) − 2 ln(x1/6 − x1/12 + 1) + 1/2 1/4 5 x + x 7 √ 1 −1 1/12 √ (2x 4 3 tan − 1) + C 3 1 1 dx = tan x + C 33. 1 + cos 2x 2 sec x 34. dx = ln(csc x − cot x) + C tan x 3 − 5 cos2 x 35. sec3 x tan3 x dx = +C 15 cos5 x 1 x3 x2 tan−1 x − + ln(x2 + 1) + C 36. x2 tan−1 x dx = 3 6 6 2 x 3 3 3x2 37. x(ln x)3 dx = ln3 x − x2 ln2 (x) + x2 ln x − +C 2 4 4 8 1 1 √ dx = − tanh−1 √ +C 38. x 1 + x2 x2 + 1 ex 1 39. ex 1 + e2x dx = 1 + e2x + sinh−1 (ex ) + C 2 2 24. x sec−1 x dx = 2 x x +C dx = − 4x − x2 + 2 sin−1 −1 + 2 4x − x2 √ 3 1 1 1 x2 − 9 √ √ 41. arctan − dx = +C 18 x2 54 x3 x2 − 9 x2 − 9 x 1 1 −16 −15 42. dx = − +C (7 x + 1) (7 x + 1) (7x + 1)17 784 735 4x2 + x + 1 1 43. dx = ln x + tan−1 (2x) + C 4x3 + x 2 4x3 − x + 1 2 1 4 2x − 1 2 −1 √ 44. dx = 4x − ln(x + 1) + ln(x − x + 1) − √ tan +C x3 + 1 3 2 3 3 1 1 1 45. tan2 x sec x dx = sin x tan2 x + sin x − ln(sec x + tan x) + C 2 2 2 2 x + 2x + 2 −1 46. dx = + ln(x + 1) + C 3 (x + 1) 2(x + 1)2 4 x + 2x + 2 2 47. dx = − 3 + ln(x + 1) + C x5 + x4 3x 8x2 − 4x + 7 48. dx = 2 ln(4x + 1) − tan−1 x + C (x2 + 1)(4x + 1) 3x5 − x4 + 2x3 − 12x2 − 2x + 1 1 2 49. + ln(x − 1) + ln(x2 + x + 1) − 2 +C dx = (x3 − 1)2 x−1 x +x+1 2 1 x x −1 dx = tan +1 +C 50. x4 + 4x2 + 8 4 2 51. (ln x)6 dx = x(ln x)6 − 6x(ln x)5 + 30x(ln x)4 − 120x(ln x)3 + 360x(ln x)2 − 720x ln x + 720x + C √ 40. 52. 53. 54. 55. 56. 57. 58. 59. 60. 5/2 (1 + x2/3 )3/2 3 2/3 1 + x dx = +C 5 x1/3 (arcsin x)2 1 √ dx = (sin−1 x)3 + C 3 1 − x2 −2 1 6 dx = √ + 1/6 + 6 tan−1 (x1/6 ) + C x x x3/2 (1 + x1/3 ) tan3 x dx = 1 1 tan2 x − ln(1 + tan2 x) + C 2 2 1 1 1 1 cos3 x sin x + cos x sin x + x + C sin2 x cos4 x dx = − sin x cos5 x + 6 24 16 16 2 2 xex 1 dx = tan−1 (ex ) + C 2 1 + e2x2 √ cos3 x 2 √ dx = − (sin x)5/2 + 2 sin x + C 5 sin x 2 2 1 x3 e−x dx = − e−x (x2 + 1) + C 2 √ √ √ √ sin x dx = 2 sin( x) − 2 x cos( x) + C 3 1 +C 1 − x2 x x 1 1 − x2 + sin−1 x + C 62. x2 1 − x2 dx = − (1 − x2 )3/2 + 4 8 8 x 2 9 x2 − 9 dx = x − 9 − ln x + x2 − 9 + C 63. 2 2 1 x − 1 1 64. x 2x − x2 dx = − (2x − x2 )3/2 + 2x − x2 + sin−1 (x − 1) + C 2 2 2 5 1 x−2 dx = + ln(1 + 2x) + C 65. 4x2 + 4x + 1 4(1 + 2x) 4 2x2 − 5x − 1 66. dx = 2 ln(x − 1) − ln(x − 2) + ln(x + 1) + C x3 − 2x2 − x + 2 e2x 1 67. dx = ln(e2x − 1) + C 2x e −1 2 cos x 68. dx = − ln(−1 + sin x) + ln(−2 + sin x) + C 2 sin x − 3 sin x + 2 5 3 2x3 + 3x2 + 4 + 2 ln(x + 1) + C dx = − + 69. 4 3 (x + 1) 3(x + 1) x+1 sec2 x 70. dx = tan−1 (1 + tan x) + C 2 tan x + 2 tan x + 2 3 1 1 x + x2 + 2x + 1 dx = − + ln(x2 + 1) + tan−1 x + C 71. x4 + 2x2 + 1 2(x2 + 1) 2 1 1 72. sin x cos 3x dx = − cos(4x) + cos(2x) + C 8 4 2 (3x6 − x3 − 2) x3 − 1 + C 73. x5 x3 − 1 dx = 45 74. ln(x2 + 2x) dx = x ln(x2 + 2x) − 2x + 2 ln(x + 2) + C 61. arcsin x sin−1 x dx = − − tanh−1 2 x x √ 75. 76. √ 2 1 + sin x dx = (1 + sin x)3/2 + C sec x 3 x2/3 (1 1 dx = 3 tan−1 (x1/3 ) + C + x2/3 ) 1 sin x dx = ln(sec x + tan x) + C sin 2x 2 x √ √ 78. 1 + cos x dx = 2 2 sin +C 2 √ √ 2(−1 + sin x) 1 + sin x +C 1 + sin x dx = 79. cos x x 1 x sec2 x 1 2 x 2 x 80. dx = − ln tan + 2 tan − 1 + ln tan − 2 tan − 1 +C 2 2 2 2 2 2 1 − tan2 x √ 1 + 2x 1 √ 81. ln(x2 + x + 1) dx = x ln(x2 + x + 1) − 2x + ln(x2 + x + 1) + 3 tan−1 +C 2 3 77. 4 82. ex sin−1 (ex ) dx = ex sin−1 (ex ) + 1 − e2x + C 1 tan−1 x arctan x + ln x − ln(x2 + 1) + C dx = − 2 x x 2 25 x 2 x2 √ ln x + x2 − 25 + C x − 25 + dx = 84. 2 2 x2 − 25 1 x3 1 + ln(x2 + 1) + C 85. dx = 2 (x + 1)2 2(x2 + 1) 2 √ 6x − x2 1 √ +C dx = − 86. 2 3x x 6x − x 3x + 2 x−6 87. dx = √ +C 2 3/2 (x + 4) 2 x2 + 4 2 4 88. x3/2 ln x dx = x5/2 ln x − x5/2 + C 5 25 1 1 + sin2 x 89. dx = (1 + sin2 x)3/2 + C sec x csc x 3 √ √ e sin x √ dx = 2e sin x + C 90. sec x sin x 1 91. xex sin x dx = − ex (x cos x − cos x − x sin x) + C 2 3/2 3/2 2 92. x2 ex dx = (x3/2 − 1)ex + C 3 1 1 tan−1 x 1 arctan x − ln(x − 1) + ln(x2 + 1) + C dx = − − 93. 3 2 (x − 1) 2(x − 1) 4(x − 1) 4 8 √ 3 √ x 94. ln(1 + x) dx = (x − 1) ln(1 + sqrtx) + + x − + C 2 2 2x + 3 2 11 −1 3x − 1 √ sin 95. dx = − 3 + 6x − 9x2 + +C 9 9 2 3 + 6x − 9x2 1 √ dx = tan−1 e2x − 1 + C 96. e2x − 1 x3 1 x4 + x2 + 3x − + 4 ln(x − 1) + C dx = 97. 2 (x − 1) 3 x−1 √ √ x 1 2 x2 + − ln(x + 1) + C 98. x3/2 tan−1 ( x) dx = x5/2 tan−1 ( x) − 5 10 5 5 √ √ √ 99. sec−1 ( x) dx = x sec−1 ( x) − x − 1 + C 83. 100. x 1 − x2 1 1 dx = 1 − x4 + sin−1 (x2 ) + C 2 1+x 2 2 5