BACHILLERATO DE CIENCIAS DE LA NATURALEZA PRUEBAS

BACHILLERATO DE CIENCIAS DE LA NATURALEZA
PRUEBAS DE SELECTIVIDAD LOGSE
92 JUNIO A y B
PROBLEMA 1
Opción A.
Una estatua de 3 m de altura descansa sobre un pedestal de 5 m de altura. ¿A qué
distancia debe contemplar un hombre de 1.80 m para que la vea bajo el máximo ángulo
visual?.
Opción B.
Hallar la ecuación de la recta que, pasando por el punto P =(3,4), determina en el primer
cuadrante, con los ejes de coordenadas un triángulo de área máxima.
PROBLEMA 2
Opción A.
Las probabilidades de que un esposo y una esposa estén vivos dentro de 20 años están
dadas por 0.8 y 0.9 respectivamente.
Hallar la probabilidad de que en 20 años i) Ambos vivan. ii) Ninguno de ellos viva, iii) Al
menos viva uno.
Opción B.
El peso medio de 500 estudiantes de una universidad es de 68.5 kilos y la desviación
típica es de 10 kilos. Suponiendo que los pesos están distribuidos normalmente, hallar el
número de estudiantes que pesan: i) Entre 48 y 71 kilos. Ii) Más de 91 kilos.
PROBLEMA 3
Opción A.
En un rectángulo cuyos lados miden 18 y 25 cm se trazan dos circunferencias, una
tangente a tres lados y la otra tangente a la anterio, al cuarto lado y a uno de los
contiguos a éste. Calcular los radios de dichas circunferencias.
Opción B.
Calcular los valores que deben tomar a y b en los sistemas siguientes para que ambos
tengan las mismas soluciones.
S
ax+y = 0
t
x+ay = -3
Bx+2y =1
2x+by = -4
Determinar la ecuación de la recta que pasa por los puntos solución de ambos sistemas
cuando a=1 y b=1 y calcular el ángulo que forman las rectas del sistema S.
Selectividad LOGSE
1
PROBLEMA 4
OPCIÓN A
Calcular el área limitada por la curva y =
x
y las rectas x=3, x=4
x −4
2
OPCIÓN B
Estudiar en función del valor a cuándo las rectas r y s son paralelas.
r
2ax+3y-3=0
s
x y−2
=
6 − 4a
OPCIÓN B
Ajustar una recta de regresión a los datos de la tabla
i)
Utilizando x como variable independiente
ii)
Utilizando y como variable independiente.
iii)
Representar gráficamente los datos y las rectas de regresión en los mismos
ejes de coordenadas.
X
Y
3
2
5
3
6
4
8
6
9
5
11
8
92 SEPTIEMBRE A y B
PROBLEMA 1
OPCIÓN A
Un espejo de dimensiones 40x45 dm se rompe por una esquina según una recta. De los
dos trozos que quedan el menor tiene forma de triángulo rectángulo con catetos de 5 y 6
dm respectivamente, correspondientes a las dimensiones menor y mayor del espejo.
Hallara el área mínima del espejo que se puede construir con el trozo mayor. (los espejos
tienen forma rectangular).
OPCIÓN B.
Un hombre sobre un bote de remos está situado en un punto P a una distancia de 5 km
de un punto A de la costa (rectilínea) y desea llegar a un punto B de la costa a 6 km de A
en el menor tiempo posible. Determinar el camino que debe seguir sabiendo que rema a 2
km/h y camina a 4 km/h.
PROBLEMA 2
OPCIÓN A
Dos amigos A y B juegan 12 partidas de ajedrez de las cuales A gana 6, B gana 4 y 2
terminan en tablas. Acuerdan jugar un torneo consistente en 3 partidas. Hallar las
probabilidades siguientes: i) A gana 3 partidas. ii) Dos partidas terminan en tablas. iii) A y
B ganan alternativamente. iv) B gana al menos una partida.
Selectividad LOGSE
2
OPCIÓN B.
La media del diámetro interior de una muestra de 200 lavadoras es de 1.275 cm. Y la
desviación típica es de 0.0125 cm. El propósito para el cual se han diseñado permite una
tolerancia máxima en el diámetro de 1.26 a 1.29 cm de otra forma las lavadoras se
consideran defectuosas. Determinar el porcentaje de lavadoras defectuosas producidas
por la máquina suponiendo que los diámetros están distribuidos normalmente.
PROBLEMA 3
OPCIÓN A
Hallar la diagonal y los lados de un rectángulo de 12 cm2 de superficie, sabiendo que el
área del cuadrado construido sobre su diagonal es de 25 cm2.
OPCIÓN B
Las coordenadas de los puntos medios de los lados de un triángulo son A=(4,1), B=(6,3) y
C=(3,3). I) Calcular la ecuación de los lados de dicho triángulo, ii) Coordenadas de los
vértices, iii) Ecuación de la recta que dista 8 unidades del lado mayor.
PROBLEMA 4
OPCIÓN A
Dibujar en unos ejes de coordenadas la curva y 2 = x 4 ( x + 4) y calcular el área limitada por
dicha curva.
OPCIÓN B
Representa gráficamente las rectas:
r: 3x-y-8=0, s: 2x-y-6=0
t: 6x-2y-16=0
Resuelve los sistemas
3x-y-8=0
6x-2y-16=0
2x-y-6=0
2x-y-6=0
Justifica, sin resolver, cuál debe ser la solución de:
3x-y-8=0
2x-y-6=0
6x-2y-16=0
OPCIÓN C
La tabla siguiente muestra las estaturas respectivas x, y de una muestra de 8 padres y de
sus hijos de 12 años.
i)
Construir un diagrama de dispersión.
ii)
Hallar la recta de regresión de y sobre x
iii)
Hallar la recta de regresión de x sobre y
Estatura de x padre
Estatura de y hijo
Selectividad LOGSE
1.80 1.76 1.63 1.79
1.60 1.46 1.40 1.49
3
1.68 1.79 1.71 1.84
1.50 1.48 1.43 1.64
93 JUNIO A y B
PROBLEMA 1
OPCION A
Dada una elipse cuyos semiejes miden 5 y 3 unidades, respectivamente, se traza una
circunferencia concéntrica con la elipse y cuyo radio es de 4 unidades; dicha
circunferencia corta a la elipse en cuatro puntos. Hallar esos puntos de intersección.
0PCION B.
Hallar la ecuación del plano que pasando por los puntos A=(3,0,0) y B=(0,4,0) corte al eje
OZ en el un punto C de forma que el área del triángulo de vértices A, B y C sea 25 cm2.
PROBLEMA 2
OPCION A
En un rectángulo de 4m. de perímetro, se sustituyen los lados por semicircunferencias
exteriores. Hallar las dimensiones que debemos dar a los lados para que el área de la
figura resultante sea minina.
OPCION B
Determinar, el área del recinto limitado par la curva y = xsen Y y la recta y = x.
PROBLEMA 3
OPCIÓN A
En una batalla naval tres destructores localizan simultáneamente a un submarino. a)
¿Cuál es la probabilidad P(E) de que sea hundido el submarino? b) Si las probabilidades
de que un destructor hunda al submarino son respectivamente : P(A)=0.5, P(B)=0.2 y
P(C)=0.1 , calcula P(E)
OPCION B
Observando a 900 niños un estadístico concluyó que habla una probabilidad da O.4 que
fuesen morenos. Determinar a) La esperanza matemática y la varianza b) La probabilidad
de ser moreno entre la observación 360 y la 390, ambas inclusive.
PROBLEMA 4
OPCION A
Estudia la posición relativa de la recta y el plano siguientes, calcula también tus vectores
directores.
x-3y+z=0
x-5y-Z+6=0
π = 2x-3y+5z-9=0
Selectividad LOGSE
4
OPCION B
Estudiar y representar gráficamente la función: y =
x2 − 4
x3
OPCION C.
Ajustar por una recta de mínimos cuadrados y calcular el coeficiente de Correlación de la
nube de puntos cuyas coordenadas cartesianas son :
xi
1
3
5
7
9
5
yi
8
6
3
6
1
0
93 Septiembre A y B
PROBLEMA 1
OPCION A
Determinar el área del triángulo de vértices M=(0,3,0), N=(4,0,0) y H=(3,7,2). Hallar
también el ángulo que toman los vectores MN y MH
OPCION B
x y
La recta + = 1 forma un triángulo rectángulo con los ejes. Hallar la ecuación de la
6 8
circunferencia circunscrita,
PROBLEMA 2
OPCION A
Dado el punto P=(2,3) trazar por él una recta que determine con los ejes coordenados un
triángulo de área mínima.
OPCION B
Determinar el área del recinto limitado por la recta x+y=3 y la curva x2+y2=9
PROBLEMA 3
OPCION A
Dos balleneros divisan tina ballena y lanzan sus arpones en el mismo instante .a) ¿Cuál
es la probabilídad P(E) de que la ballena sea capturada? b) Si la probabilidad de que le
al.cance el primero es de 0.8 y la probabilidad de que le alcance el segundo arpón es de
0.75, calcular P(E)
OPCION B
Las notas obtenidas por 1000 se distribuyen de la siguiente forma
xi
yi
18
11
17
20
16
46
15
77
14
117
13
148
12
162
11
147
10
116
9
78
8
45
7
23
calcular la media, la desviación típica y el número de alumnos que tendrá una nota
comprendida entre 6 y 15.
Selectividad LOGSE
5
6
10
PROBLEMA 4
OPCION A
Demostrar :a) r y t son paralelas b) r y s se cruzan
r
x-y-z+1=0
s
2x-y+z-6=0
x=3y-4
t
x−5 y+8
=
=z
2
−3
z=y-1
OPCION B
x2
( x + 1) 2
S93C4) Ajustar por una recta de mínimos cuadrados y calcular el coeficiente de
correlación de la siguiente nube de puntos cuyas coordenadas son:
Estudiar y representar gráficamente la curva y =
x
y
12
1
5
3
9
5
7
0
3
1
6
2
94 JUNIO A
PROBLEMA 1:
Encuentra la matriz C que verifique: 2A + 3B – C = 0, donde
3 5 
A =  1 4 
y
6 2 


B=.
 3 − 1


2 5 
6 3 


PROBLEMA 2:
Se conocen dos vértices opuestos de un cuadrado, A = ( 0, 3 ) y C = ( 3, − 2 ). Calcular los
otros dos vértices.
PROBLEMA 3:
Un hilo de alambre de longitud dada se corta en dos trozos, formando con uno de ellos
una circunferencia y, con el otro un cuadrado. Prueba que la suma de les áreas es
máxima cuando el lado del cuadrado es el doble que el radio del círculo.
PROBLEMA 4:
Calcular el coeficiente de correlación entre N e Y el coeficiente de correlación entre N y Z.
Explicar por qué el resultado es distinto, a pesar de que Y y Z son funciones de N.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
Y Y= 10 − N
2
Z Z= N
1
4
9
16
25
36
49
64
81
100
Selectividad LOGSE
6
94 JUNIO B
PROBLEMA 1:
Pon 3 ejemplos de sistemas de 3 ecuaciones con 2 incógnitas que sean respectivamente
compatible determinado, compatible indeterminado e incompatible. Interpreta
geométricamente cada uno.
PROBLEMA 2:
Un móvil se desplaza sobre el plano de manera que su distancia al punto ( 0, 2 ) es 2/3 de
su distancia a la recta 2y – 9 = 0. Qué trayectoria sigue el móvil.
PROBLEMA 3:
Calcular el área cerrada entre el eje de abscisas y la curva y = x 3 – 6x 2 + 8x.
PROBLEMA 4:
La calificación media en un cierto examen fue 6’5 y la desviación típica 1’6. Si el profesor
piensa calificar con sobresaliente al 10 % de la clase, a partir de qué nota se consigue
sobresaliente?.
94 SEPTIEMBRE A
PROBLEMA 1:
Determina si existe una matriz X tal que AX = B, donde
1 3 0 
A =  2 0 1 
5 1 3 


y
 2 1
B =  1 1  .
 0 3


PROBLEMA 2:
Determinar razonadamente si el plano que pasa por los puntos ( 0, 0, 1 ), ( 1, 1, –1 ) y ( 2,
–1, 0 ) tiene o no un punto en común con el plano que pasa por los puntos ( 3, 2, – 4 ), (–
3, –3, 7 ) y ( 2, 2, –3 ).
PROBLEMA 3:
Un camión está a 975 Km al este de un automóvil y viaja hacia el oeste a una velocidad
constante de 60 km/h. Mientras tanto, el automóvil va hacia el norte a una velocidad
constante de 90 km/h. ¿En qué instante estarán más próximos el camión y el automóvil?.
PROBLEMA 4:
Se piensa que los gastos en ocio de les familias están relacionadas con su composición.
Eligiendo una muestra de once familias se obtuvieron los siguientes resultados:
Núm. miembros
2
Miles ptas/mes 11’1
3
11’4
3
11
4
10’6
4
10’2
2
11’6
2
12
¿Qué gastos se han de esperar para una familia de 5 miembros?.
Selectividad LOGSE
7
6
10’5
3
9’8
2
10’9
3
8’6
94 SEPTIEMBRE B
PROBLEMA 1:
Representa en la forma matricial AX = B el siguiente sistema de ecuaciones y construye y
resuelve después el sistema de ecuaciones representado por A 2 X = B.  x + y = 2 .
 2 x − 2 y = −4
PROBLEMA 2:
Sea P ( xo , yo ) un punto arbitrario de una circunferencia y Q ( x1 , y1 ) el punto
diametralmente opuesto. P y Q determinan el punto R ( xo , y1 ), con la abscisa de P y la
ordenada de Q. Identifica y describe el lugar geométrico formado por los puntos R cuando
P se mueve sobre la circunferencia.
PROBLEMA 3:
Resolver la integral
1
∫0 x
3 −x
e dx .
PROBLEMA 4:
La cuantidad de refresco en las botellas que llena una máquina sigue una distribución
normal con media 33’3 cc y desviación típica 0’4 cc. El control de calidad de la
embotelladora retira las botellas que contienen más de 33’8 cc o menos de 33 cc de
refresco. ¿Qué porcentaje de botellas son retiradas?.
1995 JUNIO A
PROBLEMA 1:
Obtener la mínima distancia entre dos partículas A y B con posiciones dadas por
(xA ,yA,zA ) i (xB, yB, zB) = ( 2, – 4, 7 ) + t (–2, 3, 0), donde t es el tiempo en segundos.
Calcular la mínima distancia entre las rectas r ≡ ( x, y, z ) = t ( 1, 2, 0 ) y
s ≡ ( x, y, z ) = ( 2, 3, 7 ) + t (–2, 3, 0 ). Justificar la coincidencia de los dos resultados.
PROBLEMA 2:
 x + y − 3z = 0

Encontrar el conjunto de soluciones del sistema  2 x + 6 y + 2 z = 0
 x + 13 y + 21z = 2

geométricamente el resultado.
i interpreteu
PROBLEMA 3:
Área del lóbulo limitado por la parábola y = x 2–2x–10 i la recta x–y+8=0.
PROBLEMA 4:
Una máquina produce continuamente una pieza, cuya longitud ha de estar comprendida
entre 15’30 y 15’36 cm. Todas las piezas no tienen la misma longitud debido a la
variabilidad normal de cualquier proceso productivo continuo. Por eso la longitud de las
piezas sigue una distribución normal con media 15’34 cm y desviación típica 0’02 cm.
Calcular el porcentaje de piezas que tienen longitud comprendida entre 15’30 y 15’36 cm.
Selectividad LOGSE
8
1995 JUNIO B
PROBLEMA 1:
 0
Considerar la matriz A =  1
−1

3
−4
3
4 

3
− 5  . Demostrar que A + I = O, donde I es la matriz
4 
identidad y O es la matriz nula. Calcular de forma razonada A 10.
2 x + y = 1
Calcular la inversa de la matriz de los coeficientes del sistema 
. Resolver el
 x− y = 2
anterior sistema de ecuaciones con la matriz inversa calculada.
PROBLEMA 2:
Supongamos que A = ( 2, 3 ), B = ( 7, 6 ), C = ( 5, 10 ) y D son los vértices de un
paralelogramo.
a) Averiguar las coordenadas del vértice D.
b) Encontrar la relación entre la suma de los cuadrados de las longitudes de los
cuatro lados del paralelogramo y la suma de los cuadrados de las longitudes de
las dos diagonales.
PROBLEMA 3:
En el instante t = 0 el móvil A está situado en (100,0) y el móvil B se encuentra en el punto
(0,50). Los dos comienzan un movimiento uniforme con velocidades vA =–3i y vB=2i–j.
Determinar el instante y las posiciones por las cuales la distancia entre los dos móviles es
mínima.
PROBLEMA 4:
En la tabla aparecen en miles de millones la producción industrial de los últimos seis años
y las importaciones de maquinaria industrial.
Producción industrial
Importación maq.indus.
105
22
120
33
125
45
130
50
140
65
154
67
Estimar la importación de maquinaria industrial cuando la producción industrial sea de 175
miles de millones.
1995 SEPTIEMBRE A
PROBLEMA 1:
El salario semanal y el gasto en electricidad de seis persones en miles de pesetas es:
Salario semanal
Gasto electricidad
4
0’2
6
0’3
8
0’5
10
0’9
12
1
20
0’9
Obtener la recta de regresión del gasto en electricidad en función del salario semanal.
Calcular el gasto en electricidad para un salario semanal de 15 miles de pesetas.
Selectividad LOGSE
9
PROBLEMA 2:
Suponemos que el sistema de referencia OXYZ tiene el eje OZ vertical y el plano OXY es
horizontal. Se considera el segmento vertical de extremos A=(2,1,0) y B=(2,1,12). En dos
momentos determinados del día la sombra que proyecta A sobre el plano XOY coincide
con los puntos (7,0,0) y (0,6,0). Obtener:
a) Las ecuaciones de la recta que describe la sombra de A a lo largo del día.
b) Calcular la longitud más corta de la sombra al largo del día.
PROBLEMA 3:
Una partícula recorre la curva y=–x2+10x–25 de forma que al cabo de t segundos ocupa la
posición x=t e y=–t2+10t–25 . Al llegar al instante t=5 segundos escapa por la tangente
a la curva recorriendo 10 unidades de longitud cada segundo en la dirección positiva del
eje OX, es decir, hacia la derecha.
Calcular la posición de la partícula en el instante 15 segundos.
PROBLEMA 4:
 x + y+ z = 7

Resolver el sistema − x + 2 y + z = 5 sólo cuando tenga infinitas soluciones. En ese caso
 2 x − y + az = 2

interpretar geométricamente el significado de cada ecuación así como el significado del
sistema.
1995 SEPTIEMBRE B
PROBLEMA 1:
Sea A una matriz que verifica A 2+A=0, donde 0 es la matriz nula. Demostrar que la matriz
A es regular y obtener una expresión sencilla de su inversa A —1 en función de la matriz A
y de la matriz identidad I.
2 x + y = 1
Calcular la inversa de la matriz de los coeficientes del sistema 
. Resolver el
 x− y = 2
anterior sistema de ecuaciones con la matriz inversa calculada.
PROBLEMA 2:
Encontrar los vértices C del triángulo ABC donde A=(4,3), B=(12,9), y considerando que
los lados AC y BC tienen la misma longitud y que su área es 25.
PROBLEMA 3:
Se divide un hilo de alambre de longitud 100 en dos trozos. Con uno de ellos se forma un
triángulo equilátero y con el segundo un cuadrado. Determinar las longitudes de esos
trozos para que la suma de les áreas del triángulo y del cuadrado sea máxima.
PROBLEMA 4:
Las calificaciones de cierto examen han seguido una distribución normal con media 6 y
desviación típica 0’5. Si se seleccionan dos alumnos al azar, calcular:
• La probabilidad de que los dos hayan obtenido calificaciones inferiores a 5.
• La probabilidad de que los dos hayan obtenido calificaciones superiores a 6’75.
Selectividad LOGSE
10
•
•
La probabilidad que uno haya obtenido calificación inferior a 5 y el otro haya
obtenido calificación superior a 6’75.
Sumar las tres probabilidades anteriores y justificar el resultado de la suma.
1996 JUNIO A
PROBLEMA 1:
Encontrar una matriz X que verifique AX+B=C, siendo:
1 0 0 
1 0 0
3 0 0






A = 1 2 0 
B =  0 1 0
C = 2 5 2.
1 2 4 
 0 0 1
0 1 3






PROBLEMA 2:
Los planos π:x+y+z=0; π’:x–z=0; π’’:x+y=3 tienen un único punto en común. Se pide:
a) Determinarlo.
b) Encontrar les ecuaciones de las rectas en que cada uno de estos planos corta a x=0.
c) El volumen del tetraedro limitado por estos planos y el plano x=0.
PROBLEMA 3:
Representar la función f(x) tal:
f(x) = x + 6
si x∈[– 6, –3].
f(x) = 3
si x∈[– 3, 3].
f(x) = 6 – x
si x∈[ 3, 6].
Encontrar el conjunto de puntos donde está definida la derivada y representar la función
f‘(x).
PROBLEMA 4:
El peso en kilogramos de los adultos de un pueblo sigue una distribución normal de media
70 y desviación típica 4. Si se seleccionen al azar 3 habitantes de este pueblo, cuál es la
probabilidad de que dos de ellos pesan más de 74 Kg?.
1996 JUNIO B
PROBLEMA 1:
 x + y + 2z = 3

Considerar el sistema de ecuaciones  x + 2 y + 3z = 5 . Determina:
 x + 3 y + mz = 7

El valor de m para que el sistema tenga soluciones. Para este valor de m calcular todas
las soluciones del sistema.
Los valores de m para los cuales el sistema no tiene solución.
PROBLEMA 2:
Idear un método que sin resolver el sistema, os permita averiguar si la recta
Selectividad LOGSE
11
3x+4y–8=0 es exterior, tangente o secante a la circunferencia (x–3)2+(y–6)2=25. Razonar
la respuesta.
PROBLEMA 3:
Encontrar la base x y la altura y de una cartulina rectangular de perímetro 60 cm que al
dar una vuelta completa alrededor de un lado vertical genera un cilindre de volumen
máximo.
PROBLEMA 4:
Una urna conté 2 bolas rojas y 3 bolas negras. Se extraen sucesivamente 3 bolas,
devolviendo la bola a la urna después de cada extracción, y se representa por x el número
de bolas rojas obteidas.
Calcular las cuatro probabilidades cuando x=0, x=1, x=2 y x=3.
Calcular la suma de les cuatro probabilidades anteriores y justificar el valor de la suma
obtenida.
1996 SEPTIEMBRE A
PROBLEMA 1:
Una matriz cuadrada A verifica que A 2+3A=I, siendo I la matriz unidad. Encontrar
razonadamente el valor de la incógnita x en la ecuación A —1=A+x.
x + y = 4
Obtener la inversa de la matriz de los coeficientes del sistema 
y resolver el
x − y = 2
sistema utilizando esta matriz inversa.
PROBLEMA 2:
Las bases de un paralelepípedo son ABCD y EFGH donde A=(2,3,1), B=(4,3,1),
C=(2,7,1) y E=(8,0,0). Se pide:
a) Coordenadas de D, F, G y H.
b) Volumen del paralelepípedo.
c) Altura del paralelepípedo.
PROBLEMA 3:
Un punto material recorre la parábola y2=8x–9 , determinar razonadamente en qué
posición la distancia del punto al origen (0,0) es mínima.
PROBLEMA 4:
Joan sabe que sus amigos no acuden a veces a sus invitaciones, y ha estimado que la
probabilidad de que uno de sus amigos acuda a una invitación suya es 0’8. Por eso para
su cumpleaños va a invitar a 10 amigos, pero sólo va a preparar 8 cubiertos.
a) Cuál es la probabilidad de que se presenten menos de 8 amigos.
b) Cuál es la probabilidad de que se presenten 8 amigos.
c) Cuál es la probabilidad de que se presenten más de 8 amigos.
Justificar cuánto suman las tres probabilidades obtenidas.
Selectividad LOGSE
12
1996 SEPTIEMBRE B
PROBLEMA 1:
x + y + z = 2

Resolver el sistema  2 x + z = 2 . Suponemos que S es el conjunto de soluciones
 4x + 2z = 4

obtenido, y que:
S1 es el conjunto de soluciones de x + y + z = 2 .
S2 es el conjunto de soluciones de 2 x + z = 2 .
S3 es el conjunto de soluciones de 4 x + 2 z = 4 .
Razona cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas:
a) S 1 I S2 ⊂ S3
b) S2 = S3
c) S 2 I S3 ⊂ S
d) S 1 I S3 ⊂ S
PROBLEMA 2:
Deducir razonadamente en qué casos los planos son o no paralelos:
a) π 1: x – y + 2z = 8
π 2: 2x – 2y + 3z = 16
b) π 1: x – y + 2z = 8
π 2: 2x – 2y + 4z = 8
c) π 1: x – y + 2z = 8
π 2: 2x – 2y + 4z = 16
Calcular la distancia entre π 1 y π 2 cuando sean paralelos.
PROBLEMA 3:
Justificar que la ecuación de una circunferencia de centro (0,0) y radio 5 es x2+y2=25.
Deducir el volumen de la figura limitada por la superficie que genera esta circunferencia
cuando gira una vuelta completa arededor del eje OX.
PROBLEMA 4:
Un estudio sociológico proporciona la siguiente tabla:
Nivel de estudios
1
2
3
4
5
Salario Medio
100
250
400
450
700
Calcular el coeficiente de correlación lineal entre el nivel de estudios y el salario mínimo y,
en función del valor obtenido, explica si se puede considerar que el salario medio está
bastante determinado por el nivel de estudios ( 1= estudios primarios, 2= estudios
secundarios, 3= formación profesional, 4= técnicos superiores, 5= doctores).
Deducir el salario mínimo esperado para el nivel de estudios 6.
1997 JUNIO A
PROBLEMA 1:
Estudiar según los valores del parámetro λ , el sistema de ecuaciones lineales
λx + y = 1


λx + z = 1 . Resolverlo en los casos en que sea compatible indeterminado.

λx + 2 y + z = 1

Selectividad LOGSE
13
PROBLEMA 2:
Encontrar la distancia desde el origen a la recta determinada por la intersección de los
planos π 1 y π 2, teniendo en cuenta que la ecuación de π 1 es x+2y+z+4=0 y que π 2 es el
plano que pasa por los puntos (1,1,1), (1,2,3) y (2,0,0).
PROBLEMA 3:
Volumen limitado por la elipse
x2
+ y 2 = 1 al dar una vuelta completa alrededor del eje OX.
9
PROBLEMA 4:
Calcular de forma razonada la probabilidad de obtener al menos un dos al lanzar diez
dados simétricos al aire.
1997 JUNIO B
PROBLEMA 1:
2 x + 3 y = 1
Resolver los sistemas de ecuaciones 
 x− y = 0
2 x + 3 y = 0
. Encontrar la relación

 x− y =1
2 3 
entre las soluciones obtenidas y la matriz inversa de la matriz de coeficientes 
 .
 1 −1
PROBLEMA 2:
Sea r1 la recta que pasa por los puntos A=(1,0,2) y B=(0,1,3). Sea r2 la recta que pasa por
los puntos C=(0,3,0) y D=(1,2,1). Justificar si r1 y r2 se cruzan o no. Encontrar la distancia
entre r1 y r2 .
PROBLEMA 3:
Un hilo elástico tiene un extremo fijo en el punto O=(0,0) y el otro extremo P recorre la
curva (x-3)2+(y -4)2 = 4. Determinar las coordenadas de P cuando sea máxima la longitud
OP, interpretando geométricamente el resultado.
PROBLEMA 4:
Las calificaciones obtenidas por ocho alumnos en Matemáticas y Estadística son:
Matemát
Estadística
2
3
4
4’5
6
7
5
5’5
6
6
8
8’5
9
10
10
1
Encontrar el coeficiente de correlación entre las calificaciones de matemáticas y
estadística de los siete primeros alumnos. Calcular también el coeficiente de correlación
entre las notas de las dos asignaturas para todos los alumnos. Explicar la diferencia de
los resultados obtenidos.
Selectividad LOGSE
14
1997 SEPTIEMBRE A
PROBLEMA 1:
2 x + y = 1
Resolver los sistemas 
 x− y =0
2 x + y = 1
y encontrar la relación entre las

 x− y =0
2 x + 3 y = a
soluciones anteriores y las soluciones del sistema 
justificando la relación
 x− y =b
obtenida, empleando matrices o cualquier otro método.
PROBLEMA 2:
Explicar la relación entre la ecuación x2+y2=1 y la característica geométrica de la curva
que representa.
Encontrar la ecuación de la curva obtenida transformando cada punto (x,y) de la curva
x2+y2=1 en el punto (x’,y’) tal que x’=ax e y’=by. Representar la curva obtenida, indicando
su nombre y sus elementos más notables.
PROBLEMA 3:
Descomponer un segmento de longitud 20 metros en cuatro partes para obtener el
paralelogramo de área más grande posible.
PROBLEMA 4:
El 30 % de los altavoces d’una gran remesa son defectuosos. Si es eligen 3 altavoces al
azar, calcular:
a) La probabilidad de que los tres sean defectuosos.
b) La probabilidad de que nada más dos sean defectuosos.
c) La probabilidad de que nada más uno sea defectuoso.
d) La probabilidad de que ninguno sea defectuoso.
1997 SEPTIEMBRE B
PROBLEMA 1:
Estudiar, según los valores del parámetro λ , el sistema de ecuaciones lineales:
 x − y + λz = λ

 x + λy − z = λ . No es necesario resolver el sistema para ningún valor de λ .

y + λz = λ

PROBLEMA 2:
Siga r1 la recta que pasa por los puntos A=(0,0,0) y B=(0,1,0) y sea r2 la recta que pasa
por C=(0,0,5) y D=(a,7,5). Calcular la distancia entre r1 y r2 interpretando
geométricamente la dependencia o independencia del resultado obtenido respecto al
parámetro a.
Selectividad LOGSE
15
PROBLEMA 3:
Calcular el área del recinto S limitado por el eje OX, la curva y=+x(1/2) , cuando 0≤x≤1, y la
recta x=1.
Calcular el volumen de la figura obtenida cuando S hace una vuelta completa alrededor
del eje OX.
PROBLEMA 4:
En cierto país los tipos de interés y el índice de la Bolsa en los últimos seis meses vienen
dados a la tabla:
Tipos de interés
Índice Bolsa
8%
120
7’5 %
130
7’2 %
135
6%
142
5’5 %
150
5%
165
Encontrar el índice previsto de la Bolsa en el séptimo mes, suponiendo que el tipo de
interés en ese mes es del 4’1 %, analizando la fiabilidad de la predicción, según el valor
del coeficiente de correlación.
1998 JUNIO A
PROBLEMA 1:
Resolver el sistema formado por las tres ecuaciones:
x + y + z = 3 ; 2x − y = 1 ; − x + 2 y + z = 2
y justificar si tiene o no las mismas soluciones que el sistema:
x+ y+ z =3;
2x − y = 1 .
PROBLEMA 2:
Calcular el volumen de un paralelepípedo de bases ABCD y EFGH, sabiendo que
A=(8,0,0), B=(0,8,0), C=(0, 0, 8 ) y E=(8,8,8). Obtener también las coordenadas de los
vértices restantes.
PROBLEMA 3:
Considerar la superficie limitada por:
• La semicircunferencia y = 5 + 25 − x 2 .
• El eje OX.
• El segmento que une los vértices (5,0) y (5,5).
• Y el segmento que une los vértices (–5,0) y (–5,5).
Calcular el volumen de la figura obtenida, al girar esta superficie una vuelta alrededor del
eje OX.
PROBLEMA 4:
Se reparten unas invitaciones sabiendo que sólo el 40 % asistirán a l’acto. Se seleccionan
al azar 10 invitados. Calcular: a) La probabilidad de que sólo tres de estos 10 invitados
acudan al acto. b) la probabilidad de que acudan más de tres de los 10 invitados.
Selectividad LOGSE
16
1998 JUNIO B
PROBLEMA 1:
x − y = 2
Obtener la inversa de la matriz de los coeficientes de les incógnitas del sistema: 
x + y = 3
y utilizar esta matriz para resolver el sistema.
Si la matriz cuadrada A verifica que A 2+7ª =I. Encontrar razonadamente la inversa A —1
PROBLEMA 2:
Deducir razonadamente en qué casos los planos π 1 y π 2 son o no paralelos:
a) π 1: x + y + z = 2
i
π 2: x + y – z = 4
b) π 1: x – y + z = 4
i
π 2: x – y + z = 2
Obtener la distancia entre los planos π 1 y π 2 cuando sean paralelos.
PROBLEMA 3:
Un punto material recorre la parábola y=x2–7 . Deducir razonadamente la posición, o
posiciones, en que la distancia del punto al origen (0,0) es mínima.
PROBLEMA 4:
Un estudio sociológico proporciona la siguiente tabla:
Nivel de estudios
% de paro
1
30
2
23
3
15
4
10
Calcular el coeficiente de correlación entre el nivel de estudios y el tanto por ciento de
paro, e interpretar el resultado.
1998 SEPTIEMBRE A
PROBLEMA 1:
Calcular la ecuación del conjunto de puntos (x,y) desde los cuales se ve el segmento de
extremos (–5,0) y (5,0) bajo un ángulo de π/2 radianes. Describir la figura obtenida e
indicar los elementos principales.
Determinar un punto de esta figura situado en el eje OY, y comprobar que desde este
punto se ve el segmento de extremos (–5,0) y (5,0) bajo un ángulo de π/2 radianes
PROBLEMA 2:
Indicar el valor de a par que el sistema:
x + y + z = 0 ; 2 x + y + 3z = 0 ;
x + az = 0
tenga soluciones distintas de (0,0,0), y en este caso encuentra todas las soluciones del
sistema, e interpreta el resultado obtenido como una intersección de planos.
PROBLEMA 3:
Un triángulo tiene por vértices O=(0,0), A=(5,5) y B=(5,10). Calcular el volumen generado
por este triángulo al dar una vuelta completa alrededor del eje OX.
PROBLEMA 4:
Selectividad LOGSE
17
Se lanzan al aire cuatro dados simétricos.
a) Calcular la probabilidad de que el número de doses obtenido sea 0.
b) Calcular la probabilidad de que el número de doses obtenido sea 2.
c) Calcular la probabilidad de que el número de doses obtenido sea 4.
En), b) i c) deducir la probabilidad de que el número de doses obtenido sea impar.
1998 SEPTIEMBRE B
PROBLEMA 1:
De un paralelogramo ABCD se sabe que A=(3,4), B=(4,3), que las dos coordenadas del
vértice C son positivas, y que la diagonal AC y el lado BC miden las dos 5. Calcular las
coordenadas de C y D.
PROBLEMA 2:
 − 3 − 6 4   5 4 2

 

Calcular el producto de matrices  92
8 − 112  ·  2 2 3  , y utilizar el producto anterior
 −1 −1 1   7 6 6

 

5 x + 4 y + 2 z = 2

para obtener la solución del sistema: 2 x + 2 y + 3 z = 3
7 x + 6 y + 6 z = 5

PROBLEMA 3:
Un hilo de 100 cm se divide en dos trozos de longitud x e y; con el primer se forma un
cuadrado y con el segundo es forma un círculo. Razonadamente:
Calcular x e y para que la suma de les áreas del cuadrado y del círculo sea máxima.
PROBLEMA 4:
Obtener razonadamente la probabilidad de obtener algún seis al lanzar cinco dados
simétricos al aire. Calcular la probabilidad de obtener cuatro seises al lanzar los cinco
dados anteriores
1999 JUNIO A
PROBLEMA 1:
x + 2 y + z = 3

Determinar el valor de m para que el sistema:  x + 3 y + 2 z = 5 tenga infinitas soluciones, y
 x + my + 3 z = 7

obtener todas estas soluciones.
Calcular razonadamente que no hay valores de m para los cuales el sistema no tiene
solución.
Selectividad LOGSE
18
PROBLEMA 2:
Idear dos métodos diferentes que permitan decidir si la recta 4x+3y–8=0 es exterior,
tangente o secante a la circunferencia (x–6)2+(y–3)2=25. Razonar la respuesta.
PROBLEMA 3:
2
Volumen del cuerpo limitado por la elipse x + y 2 = 1 al dar una vuelta completa alrededor
25
del eje OX.
PROBLEMA 4:
Una urna tiene una bola roja y tres bolas blancas. Se extraen una bola, se anota su color
y se devuelve a la urna. Se vuelve a extraer otra bola y se anota su color. Sea x el número
de bolas rojas obtenidas después de las dos extracciones. Calcular las probabilidades de
que x sea 0, 1 y 2, y comprobar que las tres probabilidades suman 1.
1999 JUNIO B
PROBLEMA 1:
En la suposición de que exista, calcular una matriz X de manera que AX = B, en los casos
 2 0 1
 1 1
 1 1
 2 0 1








siguientes: a) A =  1 3 0  y B =  2 1  .
b) A =  2 1  y B =  1 3 0  .
 5 1 3
 0 3
 0 3
 5 1 3








PROBLEMA 2:
Con un hilo de 60 cm formar un rectángulo que al girar alrededor de sus lados engendra
un cilindro de área total (área lateral + área de les bases) máxima.
PROBLEMA 3:
Siga r1 la recta que pasa por A=(2,4,0) y B=(6,2,0) y sea r2 la recta que pasa por
C=(0,0,7) y D=(3,2,0). Obtener razonadamente la distancia entre r1 y r2 .
PROBLEMA 4:
La tabla da, aproximadamente los tiempos empleados (x), y las velocidades conseguidas
(y) por una piedra lanzada al vacío:
x
y
1
10
2
20
3
30
4
40
5
50
6
60
7
70
Obtener el coeficiente de correlación entre x e y, y justificar el resultado.
Selectividad LOGSE
19
8
80
9
90
1999 SEPTIEMBRE A
PROBLEMA 1:
Representar matricialmente los sistemas:
 3x + y = 1
 3x + y = 0


11x + 4 y = 0
11x + 4 y = 1
Calcular las soluciones y mira si existe alguna relación entre les soluciones obtenidas y la
 3 1
inversa de la matriz 
 . Justifica la relación obtenida.
11 4 
PROBLEMA 2:
Obtener la distancia desde el punto ( 0, 0, 7 ) al plano que pasa por los puntos (0,0,0),
(0,2,4) y (4,0,2). Explica brevemente el método seguido.
PROBLEMA 3:
x2 y2
+
= 1 . Deducir las posiciones del
25 9
punto P para les cuales su distancia al punto (0,0) es máxima, y también las posiciones
del punto P para les cuales su distancia al punto (0,0) es mínima.
El punto P ( x, y ) recorre la elipse de ecuación
PROBLEMA 4:
La tabla adjunta nos da los tiempos y los espacios recorridos por una piedra que cae
desde cierta altura. Encontrar los coeficientes de correlación y las rectas de regresión del
espacio e respecte al tiempo t, y del espacio e respecte al tiempo al cuadrado t 2.
Interpretar los resultados obtenidos.
tiempo
Espacio
1
5
3
45
5
125
7
245
11
605
15
1.125
20
2.000
30
50
100
4.500 12.500 50.000
1999 SEPTIEMBRE B
PROBLEMA 1:
Calcula el volumen d’un paralelepípedo de bases ABCD y EFGH, sabiendo que A=(1,0,0),
B=(2,3,0), C=(4,0,5) y E=(7,6,3). Encuentra las coordenadas de los restantes vértices del
paralelepípedo.
PROBLEMA 2:
Calcula el valor de λ para el cual admite infinites soluciones el sistema
x + y + 2z = 3

 x + 2 y + λz = 5
2 x + y − 3z = 4

Obtener todas las soluciones e interpretar geométricamente el resultado obtenido,
recordando que cada e ecuación del sistema representa un plano.
Selectividad LOGSE
20
PROBLEMA 3:
Calcula el área del recinto plano limitado por la curva y=x2ex, cuando x varía entre 0 y 5,
el segmento horizontal de extremos (0,0) y (5,0), y el segmento vertical de extremos (5,0)
y (5,25e5).
PROBLEMA 4:
El peso de una población sigue una distribución normal de media 70 k y desviación típica
4 k. Encontrar la probabilidad de que, al pesar un individuo al azar, pese más de 74’48 k.
Se escogen 5 individuos al azar. Calcula la probabilidad de que exactamente dos de ellos
pesen más de 74’48 k.
2000 JUNIO A
PROBLEMA 1:
 0 1 2


 0 0 3 ,
 0 0 0
 , calcula las matrices A 2, A3, A4 y A5.
Dada la matriz A = 
n
Obtén razonadamente A para n>5.
PROBLEMA 2:
El punto P(x,y) recorre la curva y=x2. Utilizando razonadamente el cálculo de derivadas,
calcula la posición del punto P para la cual su distancia al punto (0,4) es mínima.
PROBLEMA 3:
Consideramos el paralelepípedo de bases ABCD y EFGH, siendo A=(1,1,1), B=(21,1,1),
C=(2,4,1) y E=(1,2,7). Calcula el área de una de las bases, el volumen del paralelepípedo
y la distancia entre las bases.
PROBLEMA 4:
Considera los datos relativos al porcentaje de interés x aplicado en ciertas entidades
financieras y el porcentaje de paro y en ciertos años. Como es usual, cada columna
corresponde a los datos de un año.
x
y
18
25
16
25
14
21
12
20
10
19
8
16
6
14
4
13
Explica cómo se obtendrá la proporción de paro esperado si el porcentaje de interés
aplicado por las entidades financieras fuera del 2%. Calcula esta proporción de paro
esperada.
Calcula cuál es el porcentaje de aumento o de disminución de paro si el porcentaje de
interés aumenta en un 1%, y explica qué has utilizado para el cálculo.
Selectividad LOGSE
21
2000 JUNIO B
PROBLEMA 1:
Calcula la distancia desde el punto (0,0,10) al plano que pasa por los puntos (0,0,1),
(4,2,,7) y (4,0,3)
PROBLEMA 2:
Averigua para qué valores de λ tiene solución única el sistema:
x + y + z = 1

x + 2 y + 3z = 3
3x + 4 y + λz = λ

Y obtén razonadamente para qué valores de λ el sistema tiene infinitas soluciones.
Da el significado geométrico del hecho de que el sistema tenga infinitas soluciones, y
recuerda que cada una de las ecuaciones del sistema representa un plano.
PROBLEMA 3:
El peso de una población sigue una distribución normal media 70 kilos y desviación típica
5 kilos.
Determina razonadamente cuál es la probabilidad de que un individuo elegido al azar
pese más de 75 kilos.
Calcula la probabilidad de que un individuo elegido al azar, pese más de 80 kilos.
Si se elige al azar un individuo entre los que pesan más de 75 kilos, ¿cuál es la
probabilidad de que pese más de 80 kilos?.
PROBLEMA 4:
La gráfica de la curva y=xcosx, para 0≤x≤π/2, y el eje OX limitan una superficie. Determina
el área de esta superficie.
2000 SEPTIEMBRE A
PROBLEMA 1:
Calcular el valor de λ para el que tiene infinitas soluciones el sistema:
x + y − z = 0

2 x + y + z = 0
λx + y = 0

Obtener todas las soluciones correspondientes a ese valor de λ e interpretar
geométricamente por qué el sistema tiene infinitas soluciones.
PROBLEMA 2:
Se lanzan cinco monedas simétricas al aire. Calcular
a) La probabilidad de no obtener ninguna cara.
b) La probabilidad de obtener una cara.
c) La probabilidad de obtener más de una cara.
Selectividad LOGSE
22
PROBLEMA 3:
y = 5
Considera las rectas r : x = y = z y r ′ : 
. Comprueba que los puntos O=(0,0,0) y
z = 0
A=(1,1,1) pertenecen a la recta r, y que los puntos B=(0,5,0) y C=(10,5,0) pertenecen a la
recta r’. Obtén la distancia entre esas dos rectas.
Explica la relación entre el producto mixto de los vectores OA = i + j + k = (1,1,1) , BC y OB ,
el producto vectorial de OA y BC y las distancias entre las rectas r y r’.
PROBLEMA 4:
Se divide un hilo de 100 metros en dos trozos de longitudes x e y. Con el trozo de longitud
x se forma un cuadrado y con el de longitud y se forma un rectángulo cuyo lado mayor
mide el doble que el lado menor. Hallar x e y para que la suma de las áreas del cuadrado
y del rectángulo sea máxima. Idem para que sea mínima.
2000 SEPTIEMBRE B
PROBLEMA 1:
Obtener la distancia del punto (0,0,7) al plano determinado por los puntos (0,0,0), (0,2,2) y
(2,0,2).
PROBLEMA 2:
Obtener en función de λ las soluciones del sistema:
x + y + z = 3 + λ

 x − 3 y = −2
− x + 3 z = 2

Explica la relación entre el conjunto de soluciones obtenidas y la intersección de los
planos:
π2 : x − 3 y = − 2
π3 : − x + 3 z = 2
PROBLEMA 3:
La estatura de una población se distribuye normalmente con media 1,79 y desviación
típica 0,1. Se seleccionan al azar cuatro personas y se pide cuál es la probabilidad de que
una, y sólo una, de ellas mida más de 1,72 m. Determinar también cuál es la probabilidad
de que al menos dos de las cuatro personas seleccionadas midan más de 1,72 m.
PROBLEMA 4:
x2 y2
+
= 1 alrededor del eje OX engendra una superficieque encierra
a2
9
una figura parecida a un huevo, llamada elipsoide. Hallar el volumen de este elipsoide.
Si el punto (a,0) se desplaza hacia la derecha de manera que a=5+3t, obtener la función
derivada del volumen del elipsoide respecto a t, explicando su significado.
Al girar la elipse
Selectividad LOGSE
23
BACHILLERATO (LOGSE)
Prueba de acceso a la Universidad Ejercicio de MATEMÁTICAS II
2º Ejercicio
Modalidad de Ciencias de la Naturaleza y de la Salud Modalidad de Tecnología
Materia obligatoria en la opción Científico-Técnica y opcional en la de C. de la Salud.
(Obligatoria también para los alumnos que hagan las dos opciones CientíficoTécnica y de Ciencias de la Salud)
90 minutos
I. CARACTERÍSTICAS DEL EXAMEN
Se ofertarán a los alumnos dos ejercicios y éstos elegirán uno. Cada uno de dichos
ejercicios propondrá la resolución de cuatro problemas relativos al temario de la materia. Los
alumnos tendrán que elegir tres de entre los cuatro propuestos. Independientemente del
ejercicio escogido, cada uno de los cuatro problemas propuestos contribuirá por igual a la
calificación del ejercicio.
Cada estudiante deberá disponer de una calculadora científica o gráfica para la
realización del examen.
Los problemas se plantearán de modo que permitan evaluar las siguientes
capacidades:
1. Plantear en términos vectoriales problemas formulados en contextos de las ciencias de la
naturaleza, la técnica y la geometría; y utilizar el cálculo vectorial para resolverlos e
interpretar las soluciones.
2. Interpretar, reconocer y analizar expresiones analíticas que puedan ser asociadas a
rectas, planos, circunferencias y elipses e identificarlas como lugares geométricos
definidos mediante propiedades métricas.
3. Utilizar las matrices y sus operaciones como instrumento para la resolución de
sistemas de ecuaciones lineales y para representar e interpretar tablas y grafos.
4. Resolver problemas recurriendo a técnicas algebraicas e interpretando las soluciones.
5. Aplicar métodos analíticos al estudio de funciones y a la interpretación de fenómenos
de la naturaleza y de la técnica.
6. Resolver problemas de optimación utilizando técnicas analíticas para estudiar las
propiedades de las funciones.
7. Calcular e interpretar el coeficiente de correlación de una distribución bidimensional y
formular predicciones e interpolaciones, calculando e interpretando los parámetros de
las rectas de regresión de la distribución.
8. Asignar probabilidades a sucesos aleatorios utilizando los modelos probabilísticos
binomial y normal.
9. Resolver problemas que requieran codificar informaciones, seleccionar, comparar y
valorar estrategias y elegir las herramientas matemáticas adecuadas para la búsqueda de
soluciones en cada caso.
II. CRITERIOS DE CORRECCIÓN
A) Todos los problemas del ejercicio elegido por los estudiantes de entre los dos
propuestos en la prueba contribuirán por igual a la calificación de la prueba. Cada
problema valdrá un tercio.
Selectividad LOGSE
24
B) Los problemas obtendrán la máxima puntuación cuando su planteamiento, desarrollo y
solución sean correctos.
C) En otro caso, se valorará de manera especialmente positiva la adecuada estructuración
de las contestaciones atendiendo a los siguientes factores:
• La claridad conceptual en la exposición.
La justificación de la estrategia diseñada para resolver el problema.
• La construcción o elección razonada de los elementos (funciones, modelos
probabilísticos, sistemas de referencia, gráficos,...) necesarios para la formalización
matemática de la situación a resolver.
• La corrección lógica en los razonamientos o cálculos que conduzcan a la obtención de
la o las soluciones o a la convicción de su inexistencia.
• La interpretación de las soluciones obtenidas, si procede, y, en su caso, la puesta de
manifiesto de la inverosimilitud o incorrección de las mismas.
D) En tanto que las matemáticas constituyen también un lenguaje que contiene recursos
apropiados para convencer y comunicar, se valorará positivamente la destreza
demostrada en cuanto a:
• La claridad y precisión, cualidades ambas compatibles con la flexibilidad para explorar
distintas estrategias o para considerar los supuestos de partida si es necesario o
conveniente.
• La coherencia y pertinencia de los argumentos esgrimidos.
• La originalidad de los enfoques adoptados.
• La concisión, pulcritud y claridad comunicativa de los elementos auxiliares del
desarrollo (diagramas, gráficos, tablas,...).
III. TEMARIO DE LA MATERIA
1. GEOMETRIA
Resolución de problemas métricos en el plano y el espacio.
• Producto escalar, vectorial y mixto de vectores. Interpretación geométrica.
Resolución de problemas sobre posiciones relativas y cuestiones métricas en el plano
y el espacio: ángulos y distancias.
Introducción al estudio analítico de las formas geométricas.
• Idea de lugar geométrico del plano. Relación entre ecuación y características
geométricas de las curvas más simples: la circunferencia y la elipse.
2. ANÁLISIS
La derivada.
• La función derivada.
• Derivada de la suma, producto, cociente y composición de funciones. Derivada de las
principales familias funcionales.
• Resolución de problemas de optimación.
La integral.
Selectividad LOGSE
25
• Introducción al concepto de integral definida a partir de la idea intuitiva de área definida
bajo una curva.
• Aproximación intuitiva al teorema fundamental del cálculo integral.
• Noción de primitiva. Técnicas elementales de integración: cambios de variable
sencillos, fórmula de las partes.
• Aplicaciones de la integral definida al cálculo de áreas de recintos planos y de
volúmenes.
3. ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD
Regresión lineal y correlación.
• El coeficiente de correlación lineal.
• Regresión lineal. Rectas de regresión.
Aplicaciones de las rectas de regresión a la resolución de problemas. Interpolación y
predicción en las distribuciones estadísticas bidimensionales.
Distribuciones de probabilidad.
• Introducción intuitiva al concepto de distribución de probabilidad.
• La distribución binomial y la distribución normal.
• Utilización de tablas de números aleatorios, de la distribución binomial y de la
distribución normal en la resolución de problemas de cálculo probabilístico.
4. ÁLGEBRA LINEAL
• Representación matricial de los sistemas de ecuaciones lineales.
• Estudio de las matrices como herramienta para manejar datos estructurados en tablas
y grafos.
• Suma y producto de matrices. Matriz inversa. Aplicaciones de las matrices a la resolución
de sistemas de ecuaciones.
• Determinante de una matriz: aplicación a la resolución de sistemas de ecuaciones y al cálculo
de productos vectoriales y mixtos.
IV. CURRÍCULUM DE LA MATERIA
Decreto 174/1994, de 19 de agosto, que establece el currículo de Bachillerato LOGSE.
B. Matemáticas II
III. Núcleos de contenidos
Geometría
* Problemas métricos.
– Resolución de problemas sobre posiciones relativas y cuestiones métricas en el plano y el
espacio. Aplicaciones del cálculo vectorial.
* Introducción al estudio analítico de las formas geométricas.
Selectividad LOGSE
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– Relación entre ecuación y características geométricas de las curvas y superficies más
simples.
– Idea de lugar geométrico del plano. En particular, introducción al estudio de las cónicas.
Análisis
* La derivada.
– La función derivada.
– Derivada de la suma, producto, cociente y composición de funciones.
– Derivada de las principales familias funcionales.
– Resolución de problemas de optimación.
* La integral.
– Introducción al concepto de integral definida.
– Aproximación intuitiva al teorema fundamental del cálculo integral.
– Noción de primitiva. Técnicas elementales de integración: cambios de variable sencillos,
fórmula de las partes.
– Aplicaciones de la integral definida.
Estadística y probabilidad
* Regresión lineal y correlación.
– El coeficiente de correlación lineal.
– Regresión lineal. Rectas de regresión.
– Aplicaciones de las rectas de regresión a la resolución de problemas. Interpolación y
predicción en las distribuciones estadísticas bidimensionales.
* Distribuciones de probabilidad.
– Introducción intuitiva al concepto de distribución de probabilidad.
– La distribución binomial y la distribución normal.
– Utilización de tablas de la distribución b inomial y de la distribución normal en la resolución de
problemas de cálculo probabilístico.
Álgebra lineal
* Representación matricial de los sistemas de ecuaciones lineales.
• Estudio de las matrices como herramienta para manejar datos estructurados en tablas
y grafos.
* Suma y productos de matrices. Matriz inversa. Interpretación de las operaciones con
matrices. Aplicaciones de las matrices a la resolución de sistemas de ecuaciones.
• * Determinante de una matriz: aplicación a la resolución de sistemas de ecuaciones.
Selectividad LOGSE
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