TEMA 7 Aplicación de derivadas APLICACIÓN DERIVADAS 1 RELACIÓN ENTRE LA MONOTONÍA DE UNA FUNCIÓN Y SU DERIVADA Si f ´(x0) > 0→ f es creciente en x0. Si f ´(x0) < 0→ f es decreciente en x0. EJERCICIOS: 1º.- Dada la función y = x3 – 3x2 – 9x + 5, averigua: a) Dónde crece. b) Dónde decrece. Selectividad nº 16, 40 a) 2 RELACIÓN ENTRE CURVATURA Y SEGUNDA DERIVADA Si f ´´(x0) > 0→ f es cóncava en x0 (la curva queda por arriba de la Si f ´´(x0) < 0→ f es cónvexa en x0 tangente) x0 x0 EJERCICIO: Dada la función y = x3 – 3x2 – 9x + 5, averigua: a) Dónde es cóncava. b) Dónde es convexa. 3 EXTREMOS ABSOLUTOS Y RELATIVOS Una función f presenta un máximo absoluto (mínimo absoluto) en x0A si f(x0)f(x) xA [f(x0)f(x) xA] Una función f presenta un máximo relativo (mínimo relativo) en x0A cuando E(x0) tal que f(x0)f(x) x E(x0) ( f(x0)f(x) xE(x0) ) 4 (AD) (AD) ESTUDIO DE LOS EXTREMOS EN UNA FUNCIÓN Como se observa en la figura, una función definida en el intervalo [a,b] y continua en él, puede presentar extremos en: Derivables Los Puntos Interiores → No Derivables (absolutos o relativos) Los Extremos del Intervalo (Absolutos) pág. 95 ISBN 84-8498-802-3DEPÓSITO LEGAL CS-4601997 TEMA 7 Aplicación de derivadas a 4.1 xo x1 x2 x3 b EXTREMOS EN PUNTOS DERIVABLES Llamamos puntos singulares a las raíces de la ecuación f ´(x)=0. En ellos la recta tangente es horizontal Si una función alcanza un Máximo en un punto c(a,b) en el que es derivable: f '(c) 0 Condición Necesaria f ' ' (c) 0, C.S . La condición suficiente puede sustituirse por el estudio de la monotonía a izq y dcha de los valores que anulan la primera derivada Si una función alcanza un mínimo en un punto c(a,b) en el que es derivable: f '(c) 0 Condición Necesaria f ' ' (c) 0, C.S . La condición suficiente puede sustituirse por el estudio de la monotonía a izq y dcha de los valores que anulan la primera derivada EJERCICIO: Halla todos los puntos singulares (abscisa y ordenada) de la función y = x3 – 3x2 – 9x + 5. Averigua de qué tipo es cada uno de ellos. b) Ídem para y = y = –3x4 + 4x3 4.2 EXTREMOS ABSOLUTOS Para calcular los extremos absolutos de una función en un intervalo [a,b]: 1º.- Se hallan los extremos relativos en (a,b), según se explica en la pregunta anterior 2º.- se calcula f(a) y f(b) 3º.- se comparan los valores de f(a) y f(b) con los valores máximos o mínimos de la función en (a,b). El mayor de ellos será el máximo absoluto y el menor el mínimo absoluto. EJERCICIOS: pág. 96 ISBN 84-8498-802-3DEPÓSITO LEGAL CS-4601997 TEMA 7 Aplicación de derivadas 1.- Determinar el valor máximo y mínimo absoluto de la función f(x)= 3x3 + x - 9 en el intervalo [0,3]. Selectividad nº 31 a, b, nº 33, nº 34 a), 48, 50a 5 ESTUDIO DE LOS PUNTOS DE INFLEXIÓN EN UNA FUNCIÓN Son aquellos que separan arcos de curva cóncavos y convexos, es decir, en ellos cambia la curvatura de la función. En ellos la tangente atraviesa la curva. Si una función presenta un punto de inflexión en x0, en el que es dos veces derivable: x0 Condición Necesaria : f (c) 0 Condición Suficiente : Se estudia la curvatura a ambos lados del punto;si cambia en x c hay inflexión EJERCICIOS: 1.- Determinar los puntos de inflexión de la función: y = x3 – 3x2 – 9x + 5. 2.- Sea f (x) = ax3 + bx2 + cx + d un polinomio que cumple f (1) = 0, f ' (0) = 2 y tiene dos extremos relativos para x = 1 y x = 2. a) Halla a, b, c y d. b) ¿Son máximos o mínimos los extremos relativos? 3.- La función f (x) = x3 + ax2 + bx + c verifica que f (1) = 1, f ' (1) = 0 y que f no tiene extremo relativo en x = 1. Calcula a, b y c. 4.- Halla los coeficientes a, b, c, d de la función f(x) = ax3+bx2+cx+d. sabiendo que la ecuación de la tangente a la curva en el punto de inflexión (1,0) es y= - 3x+3, y que la función tiene un extremo relativo en x = 0 Selectividad nº: 22, 26 a), 36, 41 a) b), 43a) b) 6 PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN En estos problemas se trata de conseguir un volumen, unos beneficios, una población… máximos; o unos costes, un área… mínimos. En ellos nos interesan los extremos absolutos, por lo que siempre habrá que calcular el valor de la función en los extremos del intervalo. EJERCICIO: 1º.- De todos los triángulos rectángulos cuyos catetos suman 10 cm, halla las dimensiones de aquel cuya área es máxima. pág. 97 ISBN 84-8498-802-3DEPÓSITO LEGAL CS-4601997 TEMA 7 Aplicación de derivadas 2º.- Entre todos los rectángulos de perímetro 12 m, ¿cuál es el que tiene la diagonal menor? 3º.- Determina las dimensiones que debe tener un recipiente cilíndrico de volumen igual a 6,28 litros para que pueda construirse con la menor cantidad posible de hojalata. 4º.- Entre todos los triángulos isósceles de perímetro 30 cm, ¿cuál es el de área máxima? 5º.- Se quiere construir un recipiente cónico de generatriz 10 cm y de capacidad máxima. ¿Cuál debe ser el radio de la base? 6º.- Se desea construir una caja cerrada de base cuadrada cuya capacidad sea 8 dm3. Averigua las dimensiones de la caja para que su superficie exterior sea mínima. 7º.- En un triángulo isósceles de base 12 cm (el lado desigual) y altura 10 cm, se inscribe un rectángulo de forma que uno de sus lados esté sobre la base del triángulo y dos de sus vértices sobre los lados iguales: a) Expresa el área, A, del rectángulo en función de la longitud de su base, x, y di cuál es el dominio de la función. b) Halla el valor máximo de esa función. 8º.- Halla la base y la altura de una cartulina rectangular de perímetro 60 cm que, al dar la vuelta completa alrededor de un lado vertical, genere un cilindro de volumen máximo. 9º.- Queremos hacer un envase con forma de prisma regular de base cuadrada y capacidad 80 cm3. Para la tapa y la superficie lateral usamos un determinado material, pero para la base debemos emplear un material un 50% más caro. Halla las dimensiones de este envase para que su precio sea el menor posible. 10º.- Con una lámina cuadrada de 10 dm de lado se quiere construir una caja sin tapa. Para ello, se recortan unos cuadrados de los vértices. Calcula el lado del cuadrado recortado para que el volumen de la caja sea máximo. Si la altura de la caja no puede pasar de 2 dm, ¿cuál es la medida del lado del cuadrado que debemos recortar? 11º.- El valor, en millones de euros, de una empresa en función del tiempo t viene dado por f (t) = 9 - (t - 2)2, 0 ≤ t ≤ 4,5. Deduce en que valor de t alcanzo su máximo valor y en que valor de t alcanzo su valor mínimo. 12º.- Dos postes de 12 y 18 m de altura distan entre sí 30 m. Se desea tender un cable que una un punto del suelo entre los dos postes con los extremos de estos. pág. 98 ISBN 84-8498-802-3DEPÓSITO LEGAL CS-4601997 TEMA 7 Aplicación de derivadas ¿Dónde hay que situar el punto del suelo para que la longitud total del cable sea mínima? Selectividad Todos excepto los 4 primeros. Empezar por el final (no olvidar 43c) 7 REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES A pesar de que, para representar una función, siempre haremos el mínimo número de cálculos, suele ser imprescindible: 1. Dominio y continuidad 2. Asíntotas y Ramas Infinitas 3. Monotonía y Extremos 4. Curvatura y puntos de inflexión En el supuesto de que estos cálculos no aporten los datos suficientes para la representación, se podrá completar con: puntos de corte con los ejes, simetrías, tabla de valores... 7.1 REPASO DE ASÍNTOTAS Y RAMAS INFINITAS Asíntota horizontal: Si lim f ( x) l (no infinito) entonces la asíntota horizontal por la derecha es x la recta de ecuación: y= l Si lim f ( x) l (no infinito) entonces la asíntota horizontal por la izquierda x es la recta de ecuación: y= l Asíntota Vertical: Si lim f ( x) , a , hay asíntota vertical; es la recta de ecuación x= a. x a Para saber la posición de la curva respecto a la asíntota es preciso calcular los límites laterales. Asíntota Oblicua: Si: f ( x) m 0 y lim f ( x) mx n siendo m, n x x x x Entonces la recta y= mx+n es una asíntota oblicua por la derecha. Para calcularla por la izquierda, se efectúan los mismos cálculos con x . P( x) la localización de la asíntota En el caso de funciones racionales y Q( x) oblicua es mucho más sencilla: Si grado de P(x) – grado de Q(x) = 1 hay asíntota oblicua. Su ecuación es y= mx+n, siendo mx+n el cociente de dividir P(x) entre Q(x) Ramas Parabólicas lim f ( x) , lim pág. 99 ISBN 84-8498-802-3DEPÓSITO LEGAL CS-4601997 TEMA 7 Aplicación de derivadas lim f ( x) Si x y no hay asíntota oblicua, entonces puede haber rama parabólica. Análogamente se procede para x P( x) si grado de P(x) – grado de En el caso de funciones racionales y Q( x) Q(x) > 1 hay rama parabólica EJERCICIOS: Selectividad: 35 a), 37 a) 43 a), 49 Representa las funciones1: 1.- y = x3 – 3x2 – 9x + 5 2.- y 3.- y x2 x 3 2 x ln x 4.- y 5.- y x2 1 x ex Recuerda las funciones elementales ln x, ex, sen x, cos x… y sus transformadas obtenidas sumando o restando k, a la función y a la x 1 pág. 100 ISBN 84-8498-802-3DEPÓSITO LEGAL CS-4601997 TEMA 7 Aplicación de derivadas EJERCICIOS SELECTIVIDAD 1.-Un hilo de alambre de longitud dada se corta en dos trozos, formando con uno de ellos una circunferencia y con el otro un cuadrado. Demuestra que la suma de las áreas es mínimo cuando el lado del cuadrado es doble que el radio del círculo. (1994) 2.- Un camión está a 975 Km al este de un automóvil y está viajando hacia el oeste a una velocidad constante de 60 Km/h. Mientras tanto, el automóvil está yendo al norte a una velocidad constante de 90 Km/h. ¿En qué momento estarán el camión y el automóvil más próximos el uno del otro? (1994) 3.- En un instante t = 0 el móvil A está situado en (100,0) y el móvil B se halla en el punto (0,5). Ambos comienzan un movimiento uniforme con velocidades v A = - 3i y vB = 2i-j. Determinar el instante y las posiciones para las que la distancia entre ambos móviles sea mínima. (1995) 4.- Una partícula recorre la curva y = -x2 +10x – 25 de manera que en el tiempo t segundos ocupa la posición x = t e y = - t2 +10t – 25. Al llegar al instante t = 5 segundos se escapa por la tangente a la curva recorriendo diez unidades de longitud en cada segundo en la dirección positiva del eje OX, es decir hacia la derecha. Calcular la posición de la partícula en el instante 15 segundos. (1995) 5.- Se divide un alambre de longitud 100m en dos trozos. Con uno de ellos se forma un triángulo equilátero y con el segundo un cuadrado. Determina las longitudes de esos trozos para que la suma de las áreas del triángulo y del cuadrado sea máxima. (1995) 6.- Representar la función f(x) tal que: f(x) = x+6 si x[ - 6,- 3] f(x) = 3 si x( - 3, 3) f(x) = 6 - x si x[ 3,6] Halla el conjunto de puntos donde está definida la derivada y representa la función f ´(x). ( A Junio 1996) 7.- Halla la base “x” y la altura “y” de una cartulina rectangular de perímetro 60 cm que al dar la vuelta completa alrededor de un lado vertical genere un cilindro de volumen máximo. (B Junio 1996) 8.- Un punto material recorre la parábola y2 = 8x – 9. Determinar razonadamente en que posición la distancia del punto al origen (0,0) es mínima. (A Septiembre1996) 9.- Un hilo elástico tiene un extremo fijo en el punto O = (0,0) y el otro extremo P recorre la curva (x – 3)2 + (y – 4)2 = 4 Determinar las coordenadas de P cuando sea máxima la longitud OP, interpretando geométricamente el resultado obtenido. (B Junio 1997) pág. 101 ISBN 84-8498-802-3DEPÓSITO LEGAL CS-4601997 TEMA 7 Aplicación de derivadas 10.- Descomponer un segmento del longitud 20 metros en cuatro partes para obtener el paralelogramo de la mayor área posible. (A Septiembre1997) 11.- Un punto material recorre la parábola y = x2 – 7. Determinar razonadamente la posición o posiciones en que la distancia del punto al origen (0,0) es mínima. (B Junio.1998) 12.- Un hilo de 100 metros se divide en dos trozos de longitudes x e y; con el primero se forma un cuadrado y con el segundo un círculo. Razonadamente: a) Halla x e y para que la suma de las áreas del cuadrado y del círculo sea máxima. b) Halla x e y para que la suma de las áreas del cuadrado y del círculo sea mínima. (B Septiembre.1998) 13.- Con un hilo de 60 cm formamos un rectángulo que al girar alrededor de uno de sus lados engendra un cilindro de área total (área lateral + área de las bases) máxima. (B Junio 1999) x2 y2 1 . Deduce las posiciones 25 9 del punto P para las que su distancia al punto (0,0) es máxima, y también las posiciones de P para las que su distancia es mínima. (A Septiembre.1999) 14.- El punto P(x,y) recorre la elipse de ecuación 15.- El punto P(x,y) recorre la curva y = x2. Utilizando razonadamente el cálculo de derivadas, calcula la posición del punto P para la cual su distancia al punto (0, -4) es mínima. (A Junio.2000) 16.- A través de la utilización razonada de la relación de la derivada de una función con su crecimiento o decrecimiento, obtén en que puntos del intervalo [ - 2,2] son crecientes o decrecientes las funciones: a) f(x)= x2 b) g(x)= x3 – 7 (2000) 17.- Se divide un hilo de 100 metros en dos trozos de longitudes “x” e “y”. Con el trozo de longitud “x” se forma un cuadrado y con el de longitud “y” se forma un rectángulo, el lado mayor del cual mide el doble que el lado menor. Encuentra “x” e “y” para que la suma de las áreas del cuadrado y del rectángulo sea máxima. Idem para que sea mínima. (A.Septiembre.2000) 18.- Se divide un alambre de 100 m de longitud en dos segmentos de longitudes “x” y “100 – x”. Con el de longitud “x” se forma un triángulo equilátero y con el otro segmento se forma un cuadrado. Sea f(x) la suma de las áreas del triángulo y del cuadrado. a) Determina el dominio de la función f; es decir, los valores que puede tomar “x” b) Con el estudio de la derivada de f obtén cuando f es creciente y cuando es decreciente. c) Indica razonadamente para que valor de “x” se obtiene que la suma de las áreas del triángulo y del cuadrado es mínima. (A Junio.2001) pág. 102 ISBN 84-8498-802-3DEPÓSITO LEGAL CS-4601997 TEMA 7 Aplicación de derivadas si 3 x 3 4 19.- Sea la función definida por f ( x ) Justifica si f es 7 x si 3 x 7 derivable o no en x = 3. ¿Que significado geométrico tiene el resultado obtenido? (B Junio.2001) 20.- Descomponer un segmento de longitud 200 m en cuatro partes, de manea que esas partes sean los lados de un rectángulo cuya área sea máxima dentro de la familia de rectángulos de perímetro 200 m. (B Septiembre.2001) x 21.- Considerad las funciones definidas para x ≥ 0, f ( x) arcsen y 1 x2 1 g( x ) arccos . Calculad f´(x) y g´(x) expresadlas del modo más 1 x2 simplificado posible. Comparad los resultados y deducid justificadamente la diferencia entre f(x) y g(x) (B Junio 2002) 22.-Sea f(x)=x3 + ax2 + bx + c. Hallad a, b, c sabiendo que f alcanza un máximo en x = 4 y un mínimo en x = 0 y que f(1) =1 (A Septiembre. 2002). 23.- Sea T un triángulo de perímetro 60 cm. Uno de los lados del triángulo T mide x cm y los otros dos lados tienen la misma longitud. a) Deducir razonadamente las expresiones de las funciones A y f tales que: A(x) = Área del triángulo. f(x) = {A(x)}2 Indicar además entre qué valores puede variar x. c) Obtener, razonadamente, el valor de x para el que f(x) alcanza el valor máximo. ( B Junio.2003) 24.- En una gran pradera se tiene que vallar una zona de 400 m 2, que debe tener forma de rectángulo. Cada metro de valla cuesta 100 euros. Si x es la medida en metros de uno de sus lados, se pide: a) Obtener razonadamente la función de f tal que f(x) sea el coste de la valla, indicando entre qué valores puede variar x. b) Deducir razonadamente el valor de x para el que la función f(x) alcanza el valor mínimo. (A Septiembre 2003) 25.- Encontrar razonadamente el punto de la curva y= 1 1 x2 en que la recta tangente a la curva tiene pendiente máxima y calcular el valor de esa pendiente. (Junio 2004. 3,3 puntos) 26.- Sea f(x)= x2+mx (donde m es un parámetro real) y f ’ (x) la función derivada de f(x). Se pide: a) Hallar el valor del parámetro m para que f(x) tenga un mínimo relativo en x=-3/4 1,5 puntos 2b) Para el valor de m calculado en a), determinar el área de la región comprendida entre la curva y=f(x) y la recta de ecuación y = f ‘ (x) 1,8 puntos ( septiembre 2004.) 2 Este apartado se hará en el tema de Áreas pág. 103 ISBN 84-8498-802-3DEPÓSITO LEGAL CS-4601997 TEMA 7 Aplicación de derivadas x ln x a si x 0 27.- Hallar las constantes reales a y b para que f(x)= b si x 0 sea una senx si x 0 x función continua para todo valor de x. (3,3 puntos. Junio 2005) 28.- En el plano se tiene la curva y = x2+2x – 1. Encontrar razonadamente las ecuaciones de las rectas que pasan por el punto (2 , 3) y son tangentes a dicha curva. (Septiembre 2005. 3,3 puntos). 29.- a) El perímetro de un sector circular de radio R es 4 m. ¿Cuántos radianes α debe medir su ángulo central para que su área sea máxima? (1,8 puntos). (Nota: Perímetro = 2R +R α ; Área = ½ α R2) b) El, área de otro sector circular es de 1m2. ¿Para qué radio es mínimo su perímetro? (1,5 puntos. Septiembre 2005). 30.- Dada la función y= Ln x en el intervalo [1,e], siendo e= 2,718281…: a) Razonar que existe un punto P de la gráfica y= Ln x en el que la recta tangente a ella es paralela a la recta que pasa por los puntos A=(1,0) y B(e,1) (1 p) b) Obtener el punto P considerado en a) (1,8 p) c) Calcular la pendiente de la recta tangente a y= Ln x en P (0,5 p) Junio 06 31.- a) Dibujar razonadamente la gráfica de la función g(x)= x2 – 4, cuando 1 x 4 (1,1 p) b) Obtener razonadamente los valores máximo y mínimo absolutos de la función f ( x) x 2 4 en el intervalo [-1,4] (1,1 p) c) 3Calcular el área del recinto limitado por la curva de ecuación y= f(x) y las rectas x= -1 e y= 0 (1,1 p) Junio 06 32.- El coste de un marco de una ventana rectangular es de 12,5 € por metro lineal de los lados verticales y 8€ por metro lineal de los lados horizontales. a) Calcular razonadamente las dimensiones que debe tener el marco de una ventana de 1 m2 de superficie para que resulte lo más económico posible (2,3 p) b) Calcular, además el coste de ese marco más económico posible considerado en a) (1 p) Junio 2006 33.- a) Obtener la derivada de la función f(x) ax b sen x (0,5 puntos). Calcular a y b si O (0, 0) es un punto de la curva y ax b sen x , cuya recta tangente en O(0, 0) es el eje OX (1,8 puntos). 3 Este apartado se hará en el tema de Áreas pág. 104 ISBN 84-8498-802-3DEPÓSITO LEGAL CS-4601997 TEMA 7 Aplicación de derivadas b) Justificar que la función g(x) 2 x sen x se anula en dos puntos del intervalo 0, (0,5 puntos). c) Calcular esos dos puntos (0,5 puntos). Septiembre 2006 34.- Dadas las funciones f (x) x 3 - 3x 8 y g(x) 3x , se pide: a) Calcular el máximo absoluto de la función f (x) en el intervalo 3, 0(1 p). b) Calcular el punto de corte de la curva y f (x) y la recta y g(x) (1 punto). c) Obtener el área del recinto limitado por la curva y f (x) y las rectas y g(x) , x 3 y x 0 (1,3 puntos). Septiembre 2006 35.- Se consideran las funciones reales f(x) = 12x3 – 8x2+9x – 5 y g(x) = 6x2 – 7x+2. Se pide: f (x) a) Determinar las ecuaciones de las asíntotas a la gráfica de la función (1,6 g( x ) puntos). f (x) b) Calcular la función H(x) = dx que cumple H(1)=1. (1,7 puntos) g( x ) Junio 2007. 36.-Se considera la función real f (x) x3ax2bx c, donde a, b y c son parámetros reales. a) Averiguar los valores de a y b para los que las rectas tangentes a la gráfica de f(x) en los puntos de abscisas x = 2 y x = 4 son paralelas al eje OX. (2 puntos). b) Con los valores de a y b hallados anteriormente, obtener el valor de c para el que se cumple que el punto de inflexión de la gráfica de f(x) está en el eje OX. (1,3 puntos). Junio 2007 37.- Dadas las funciones reales f (x)= 4x2+ 2x +10 y g(x) = x3+x 2 +5x+5. Se pide: f(x) a) Determinar las ecuaciones de las asíntotas a la gráfica de la función (1,6 P. g(x) f(x) b) Calcular la función H(x) dx que cumple H(0) = 0. (1,7 puntos). Sept 07 g(x) 4 38.-. Sea la función con dominio los números reales no nulos f(x) x a) Calcular la ecuación de la recta tangente y de la recta normal a la gráfica de f(x) en el punto de abscisa x = 2. (1.8 puntos) . b) Determinar los puntos M y N de la gráfica de f(x) para los que las rectas tangentes a la gráfica en M y N se cortan en el punto (4 , - 8 ). (1.5 puntos). Sept 2007 39.- Se considera la función real f(x) = x2 – 4. Obtener, explicando el proceso de cálculo: a) La gráfica de la curva y = f(x). (0,7 puntos). b) Los valores de x para los que está definida la función real g(x) = Ln f(x). (1,3 p) pág. 105 ISBN 84-8498-802-3DEPÓSITO LEGAL CS-4601997 TEMA 7 Aplicación de derivadas c) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función g(x), razonando si tiene, o no, máximo absoluto. (1,3 Puntos) Junio 2008. 40.- Junio 2009 a) Determinar, razonadamente, el dominio y los intervalos de crecimiento y 1 decrecimiento de la función f(x) = . (1 punto) 3 x 3 x 1 b) Obtener razonadamente los valores de A y B tales que = 3 x 3 x A B (1 punto) 3 x 3 x c) Calcular razonadamente el área de la superficie S limitada por la curva 1 y= , el eje OX y las rectas de ecuaciones x = - 2 y x = 2. 3 x 3 x (1,3 puntos) 41.- Dada la función f(x) = ex – e – x, se pide calcular razonadamente: a) La función f(x)+f( - x). (1,1 puntos) b) La integral a a f ( x )dx , donde a es un número real positivo. (1,1 puntos) c) El punto de inflexión de f(x). (1,1 puntos) Junio 2009 42.- Se consideran las funciones reales f(x) = 2x2+12x – 6 y g(x) = (x – 2)(x2+9). Se pide obtener razonadamente: a) Las ecuaciones de las asíntotas a la gráfica de la función (1,6 puntos) b) La función que cumple . (1,7 puntos) Sep 2009 43.- Dada la función real , se pide calcular razonadamente: a) Las derivadas primera y segunda de la función f(x). (0,8 puntos) b) Los puntos de inflexión de la curva y = f(x). (1 punto) c) La pendiente máxima de las rectas tangentes a la curva y = f(x). (1,5 p) Sep 09 44.- Se quiere construir un estadio cerrado de 10.000 m2 de superficie. El estadio está formado por un rectángulo de base “x” y dos semicírculos exteriores de diámetro “x”, de manera, que cada lado horizontal del rectángulo es diámetro de uno de los semicírculos. El precio de 1 m2 de valla para los lados verticales del rectángulo es de 1 € y el precio de 1 m2 de valla para las semicircunferencias es de 2 €. Se pide obtener razonadamente: a) La longitud del perímetro del campo en función de “x”. (3 puntos) b) El coste f(x) de la valla en función de “x”. (3 puntos) c) El valor de “x” para que el coste de la valla sea mínimo. (4 puntos) Junio 2010 pág. 106 ISBN 84-8498-802-3DEPÓSITO LEGAL CS-4601997 TEMA 7 Aplicación de derivadas 45.- Dada la función polinómica f(x)= 4 – x2, se pide obtener razonadamente: a) La gráfica de la curva y = 4 – x2. (2 puntos) b) El punto P de esa curva cuya tangente es perpendicular a la recta de ecuación x+y=0. (3 puntos) c) Las rectas que pasan por el punto (- 2, 1) y son tangentes a la curva y = 4 – x2, obteniendo los puntos de tangencia. (5 puntos) Junio 2010 46.- Dos elementos de un escudo son una circunferencia y un triángulo. La circunferencia tiene centro en (0,0) y radio 5. Uno de los vértices del triángulo es el punto A=(-5,0). Los otros dos vértices del triángulo son los puntos de la circunferencia B=(x, y) y C=(x, - y). Se pide obtener razonadamente: a) El área del triángulo en función de x. (3 puntos) b) Los vértices B y C para los que es máxima el área del triángulo. (5 puntos) c) El valor máximo del área del triángulo. (2 puntos) Septiembre 2010 47.- Se desea construir un campo rectangular con vértices A, B, C y D de manera que: Los vértices A y B sean puntos del arco de la parábola y = 4 - x2, - 2≤ ≤2 , y el segmento A y B es horizontal. Los vértices C y D sean puntos del arco de la parábola y = x2 - 16, - 4≤ ≤4 , y el segmento C y D es también horizontal. Los puntos A y C tienen la misma abscisa, cuyo valor es el número real positivo x. Los puntos B y D tienen la misma abscisa, cuyo valor es el número real positivo -x. Se pide obtener razonadamente: a) La expresión S(x) del área del campo rectangular en función del número real positivo x. .(4 puntos) b) El número real positivo x para el que el área S(x) es máxima. .(4 puntos) c) El valor del área máxima. (2 puntos) Junio 2011 48.- Un coche recorre un arco de parábola Γ de ecuación 2y=36 – x2, variando la x de -6 a 6. Se representa por f(x) a la distancia del punto (0,9) al punto (x,y) del arco Γ donde está situado el coche. Se pide obtener razonadamente: a) La expresión de f(x). (2 puntos) b) Los puntos del arco Γ donde la distancia f(x) tiene mínimos relativos. (2 p) c) Los valores máximo y mínimo de la distancia f(x). (2 puntos) d) El área de la superficie limitada por el arco de parábola Γ y el segmento rectilíneo que une los puntos (-6,0) y (6,0). (4 puntos) Sep 2011 49.- Dada la función f definida por: Obtener razonadamente: a) El dominio y recorrido de la función f. (2 puntos) b) Los valores de x donde la función f alcanza el máximo y el mínimo relativo. (2 puntos) pág. 107 ISBN 84-8498-802-3DEPÓSITO LEGAL CS-4601997 TEMA 7 Aplicación de derivadas c) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento de dicha función f. (2 puntos) d) Los valores de x donde la función tiene puntos de inflexión. (2 puntos) e) La gráfica de la curva, explicando con detalle la obtención de la asíntota horizontal. (2 puntos). Sep 2011 50.- Con el símbolo ln x se representa el logaritmo de un número positivo x cuando la base del logaritmo es el número e. Sea la función f, que para un número positivo está definida por la igualdad 4 Obtener razonadamente: a) El valor de x donde la función f alcanza el mínimo relativo. (4puntos). b) La ecuación de la recta tangente a la curva y = 4xln x en el punto (1 , 0). (3 puntos) c) El área limitada entre las rectas y= 0, x=e y x=e2 y la curva y = 4xln x (3 puntos) Junio 2012 51.- Para diseñar un escudo se dibuja un triángulo T de vértices A=(0 , 12), B=(-x , x2) y C=(x , x2), siendo x2<12. Obtener razonadamente: a) El área del triángulo T en función de la abscisa x del vértice C. (2 puntos) b) Las coordenadas de los vértices B y C para que el área del triángulo T sea máxima. (3 puntos) Para completar el escudo se añade al triángulo T de área máxima la superficie S limitada entre la recta y = 4 y el arco de parábola y = x2, cuando - 2≤x≤2. Obtener razonadamente: c) El área de la superficie S. (3 puntos). d) El área total del escudo (2 puntos). pág. 108 Junio 2012 ISBN 84-8498-802-3DEPÓSITO LEGAL CS-4601997