Ejercicios Teórica Básica Contrastes

EJERCICIOS TEÓRICA BÁSICA
CONTRASTES
QUINTA FASE DE PREPARACIÓN
Problema 1.- Se dispone de rendimientos de dos máquinas. La máquina A ha resultado
con 137,5 ;140,7 ;106,9 ;175,1 ;177,3 ;120,4 ;77,9 ; y 104,2 ; mientras que la B con
103,3 ;121,7 ;98,4 ;161,5 ;167,8 ; y 67,3. Suponiendo que los rendimientos de las
máquinas siguen distribuciones normales, se pide:
a) Someter a contraste la hipótesis de que las máquinas son iguales con =0,05;
b) Calcular, aproximadamente, el nivel crítico p del contraste. ¿Vamos a aceptar
siempre la hipótesis nula?
Problema 2.- La variabilidad de un proceso en condiciones correctas es de 3 unidades.
Los fallos del proceso se manifiestan por un aumento de la variabilidad. Se dispone de
una
muestra
de
tamaño
15
con
los
valores
siguientes :27,17,18,30,17,22,16,23,26,20,22,16,23,21,17. Se pide :
a) Contrastar la hipótesis de funcionamiento correcto con =0,05.
b) Calcular, aproximadamente, el nivel crítico p del contraste.
Problema 3.- Ciertas piezas de una máquina tienen una duración -que se distribuye
normalmente- con media de 1.800 h. Variando uno de los materiales componentes, una
muestra de 10 piezas ha dado una vida media de 2.000 horas con desviación típica
muestral de 150 horas. ¿Ha producido el material un cambio significativo de la vida de
las piezas ?
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Quinta Fase de Preparación
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Problema 4.- Calcular el tamaño muestral n necesario para que el contraste en una
población normal de =0 frente a =0+ (>0) tenga probabilidades de error tipo I y
II iguales a . Diferencie cuando la desviación típica es conocida y cuando no lo es.
Problema 5.- Un proceso industrial fabrica piezas con longitudes que se distribuyen
normalmente (=190 mm y =10 mm). Se toma una muestra de tamaño 5 obteniendo
las siguientes longitudes : 187, 212,195,208,1922. Se pide :
a) Contrastar que estos cinco datos provienen de una población con media 190
b) Contrastar que la varianza de la población de la cual provienen es 100
c) Supuesto que la varianza es 100, llegar a la expresión de la curva de potencia
del contraste de la media con 5 datos y =0,05.
Problema 6.- Una muestra de 10 piezas de acero del proveedor A ha dado una
resistencia media a la tracción de 54.000 unidades con desviación típica corregida de
2.100, mientras que otra muestra de 12 piezas del proveedor B ha resuelto en una media
de 49.000 unidades y una desviación típica también corregida de 1.900. Las piezas B
son más baratas que las A y éstas últimas sólo serían rentables si tuviesen una
resistencia media de al menos 2.000 unidades mayor que B sin tener mayor variabilidad.
En caso contrario sería mejor comprar B. ¿Qué decisión se tomaría ? Suponga que las
resistencias se distribuyen normalmente.
Problema 7.- Se anuncia que el tiempo en recorrer un trayecto es por término medio de
15 horas con =2 horas, distribuyéndose según una normal. Se realiza el trayecto 25
veces, obteniendo un tiempo medio de 13,8 horas. Se pide :
a) Contrastar con =0,05 la Hipótesis nula H0 : =15 horas frente a H0 : <15,
proporcionando el nivel crítico y tomando la decisión más apropiada.
b) Calcular la función de potencia del test para   0.01 . Evaluar dicha función
en =14 horas. ¿En qué punto de su dominio la función de potencia no tiene sentido tal
y cómo se define? ¿Cuánto vale en ese punto     y qué está midiendo?
c) Dibujar la función de potencia del test, a partir de la representación gráfica de
los valores de  : 5, 7.5, 10, 12.5, 15, 17.5, 20.
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Problema 8.- Se han hecho cuatro determinaciones químicas en dos laboratorios A y B
con los resultados siguientes : A : 26,24,28,27 y B : 28,31,23,29. Suponiendo que la
varianzas son iguales, contrastar con =0,05 que los laboratorios no son
significativamente distintos.
Problema 9.- Un laboratorio de farmacia sostiene que uno de sus productos es 90%
efectivo para reducir una alergia en 8 horas. En una muestra de 200 personas con esa
alergia, el medicamento dio buen resultado en 160. Determinar si la afirmación del
laboratorio es legítima.
Problema 10.- La vida media de una muestra de 100 tubos fluorescentes producidos en
una empresa es de 1570 h con una desviación típica de 120 h. Si u es la vida media de
todos los productos de esa empresa, contrastar la hipótesis de que u = 1600 h contra la
hipótesis alternativa u  1600 h., usando nivel de significación de (a) 0.05 y (b) 0.01.
¿Cuál es el valor crítico del contraste?
Problema 11.- Las tensiones de ruptura de los cables fabricados por una empresa tienen
media de 1800 lb y una desviación típica de 100 lb. Se desea comprobar si un nuevo
proceso de fabricación aumenta dicha tensión media. Para ello se toma una muestra de
50 cables y se encuentra que su tensión media de ruptura es 1850 lb. ¿Se puede afirmar
la mejoría del nuevo proceso al nivel de significación 0.01?.
Problema 12.- Una compañía produce sogas cuya tensión de ruptura tiene media de 300
lb y desviación típica de 24 lb. Se espera que un nuevo proceso de fabricación haga
crecer la media.
a) Diseñar una regla de decisión para rechazar el proceso antiguo al nivel de
significación 0.01 con una muestra de 64 sogas.
b) Con esa regla de decisión, ¿Cuál es la probabilidad de aceptar el antiguo
procedimiento cuando de hecho el nuevo ha aumentado la tensión media de las sogas a
310 lb?. Suponemos que la desviación típica es todavía de 24 lb.
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Problema 13.- Dos grupos A y B consisten en 100 personas cada uno, aquejadas todas
de cierta enfermedad. Se suministra un suero al A pero no al B (que se llama el control);
por lo demás ambos reciben idéntico tratamiento. Se encuentra que 75 individuos del A
y 65 del B se recuperan de la enfermedad. Contrastar la hipótesis de que el suero ayuda
a curar la enfermedad al nivel de significación (a) 0.01, (b) 0.05 y (c) 0.10.
Problema 14.-Una muestra de 10 medidas del diámetro de una esfera dan una media
x  4.38 cm y una desviación típica s = 0.06cm. Hallar los límites de confianza (a) 95%
y (b) 99% para el diámetro verdadero. Suponga que el diámetro sigue una distribución
normal.
Problema 15.- Hace tiempo, una máquina producía arandelas de 0.05 pulgadas (in) de
espesor. Para determinar si sigue en buen estado, se toma una muestra de 10 arandelas,
que dan un espesor medio de 0.053 in con desviación típica de 0.003 in. Contrastar la
hipótesis de que la máquina sigue funcionando bien, con nivel de significación (a) 0.05
y (b) 0.01. Suponga normalidad en los datos.
Problema 16.- Una prueba con 6 sogas de un cierto fabricante dio una tensión media de
ruptura de 7750 lb y una desviación típica de 145 lb, mientras el fabricante anunciaba
que era de 8000 lb. ¿Puede sostenerse la afirmación del fabricante al nivel de
significación (a) 0.05 y (b) 0.01 ? Suponga normalidad.
Problema 17.- Con el fin de probar un fertilizante, se tomaron 24 parcelas de la misma
área, de las que la mitad se trataron con ese fertilizante y las otras no (el grupo de
control); por lo demás, las condiciones fueron idénticas para todas ellas. La producción
media de trigo en las parcelas sin tratar fue de 4.8 bushels (bu) con desviación típica de
0.40 bu, y en las tratadas fue 5.1 bu con desviación típica de 0.36 bu. ¿Podemos concluir
que se produjo mejora a causa del fertilizante de significación (a) 1% y (b) 5%?.
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Problema 18.- Se toman dos muestras de tamaños 8 y 10 de dos poblaciones
normalmente distribuidas con varianzas poblacionales respectivas 20 y 36. Hallar la
probabilidad de que la varianza muestral de la primera sea, al menos, el doble que la de
la segunda.
Problema 19.- Una muestra de 12 medidas de la tensión de ruptura de hilos de algodón
da una media de 7.38 gramos (g) y una desviación típica de 1.24 g. Hallar los límites de
confianza (a) 95% y (b) 99% para la verdadera tensión de ruptura.
Problema 20.- En un examen de psicología, 12 estudiantes de una clase obtuvieron
media de 78 con desviación típica 6, y 15 de otra clase consiguieron media de 74 con
desviación típica 8. Mediante un nivel de significación 0.05, determinar si el primer
grupo es superior al segundo.
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TODAS ESTAS PREGUNTAS Y SUS SOLUCIONES
ESTÁN PENSADAS PARA EL PRIMER EXAMEN
DE LA OPOSICIÓN
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