Ejercicios Teórica Básica Normal

EJERCICIOS TEÓRICA BÁSICA
NORMAL
QUINTA FASE DE PREPARACIÓN
1. Hemos lanzado un dado 100 veces, anotando el resultado obtenido cada vez. La
información queda reflejada en la siguiente tabla:
a) Calcula la media y la desviación típica.
b) ¿Qué porcentajede resultadoshay en el intervalo  x  σ, x  σ  ?
2. La nota media de una clase, A, en un examen ha sido 5,5, con una desviación típica de
2,1. En otra clase, B, la nota media en el mismo examen ha sido 7,3 y la desviación típica,
de 2,6. Calcula el coeficiente de variación y compara la dispersión de ambos grupos.
3. En un sorteo que se realiza diariamente de lunes a viernes, la probabilidad de ganar es
0,1. Vamos a jugar los cinco días de la semana y estamos interesados en saber cuál es la
probabilidad de ganar 0, 1, 2, 3, 4 ó 5 días.
a) Haz una tabla con las probabilidades.
b) Calcula la media y la desviación típica.
4. En cada una de las siguientes situaciones, explica si se trata de una distribución
binomial. En caso afirmativo, identifica los valores de n y p:
a) Se ha comprobado que una determinada vacuna produce reacción alérgica en dos de
cada mil individuos. Se ha vacunado a 500 personas y nos interesamos por el número
de reacciones alérgicas.
b) El 35% de una población de 2000 individuos tiene el cabello rubio. Elegimos a diez
personas al azar y estamos interesados en saber cuántas personas rubias hay.
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5. El 65% de los alumnos de un cierto instituto cursan estudios universitarios al terminar el
Bachillerato. En un grupo de ocho alumnos elegidos al azar, halla la probabilidad de que
estudien una carrera:
a) Alguno de ellos.
b) Más de seis.
Calcula la media y la desviación típica.
6. Se lanzan cuatro dados (no sabemos si son correctos o no) y se cuenta el número de
treses obtenido en cada lanzamiento. En 1000 lanzamientos, los resultados han sido los
siguientes:
¿Se ajustan estos datos a una binomial?
7. La siguiente gráfica corresponde a la función de probabilidad de una variable continua,
x:
Calcula la probabilidad de que x:
a) Sea menor que 1.
b) Esté entre
1
3
y .
2
2
8. Halla, en una distribución N(0, 1), las siguientes probabilidades:
a) pz   0,2
b) pz  1, 27
c) p  0, 52  z  1, 03
2
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9. Las ventas diarias, en euros, en un determinado comercio siguen una distribución
N(950, 200). Calcula la probabilidad de que las ventas diarias en ese comercio:
a) Superen los 1200 euros.
b) Estén entre 700 y 1000 euros.
10. En una distribución N(0, 1), halla el valor de k en cada caso:
a) pz  k   0, 9969
b) p k  z  k   0, 985
11. Al preguntar a 100 familias por el número de hijos, hemos obtenido los siguientes
resultados:
Estudia si es aceptable considerar que estos datos provienen de una distribución normal
12. En una urna hay 3 bolas rojas, 2 blancas y 5 verdes. Sacamos una bola, anotamos su
color y la devolvemos a la urna. Si repetimos la experiencia 50 veces, ¿cuál es la
probabilidad de sacar roja en más de 20 ocasiones?
13. El gerente de personal de una gran compañía requiere que los solicitantes a un puesto
efectúen cierta prueba y alcancen una calificación de 500. Si las calificaciones de la prueba
se distribuyen normalmente con media   485 y desviación estándar   30 ¿Qué
porcentaje de los solicitantes pasará la prueba?
14. Encuentre las probabilidades siguientes usando la tabla Z.
P(-1.23 < Z > 0)
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15. La vida media de los habitantes de un país es de 68 años, con una varianza de 25. Se
hace un estudio en una pequeña ciudad de 10.000 habitantes:
16. En una pregunta del CIS sobre la edad hasta la que consideran convenientes los padres
controlar los programas y el tiempo de televisión de los hijos, la media fue de 15,4 años y la
desviación típica de 2,11. Teniendo en cuenta que las respuestas se distribuyen
aproximadamente como la curva normal y que van de los 7 a los 24 años, calcular:
a)- Cuantos respondieron que la edad debe ser hasta los 13 años
b)- Cuantos dijeron que debe estar entre 14 y 17 años.
c)- Cuantos respondieron que debe estar por encima de los 19 años
17. Supongamos que cierto fenómeno pueda ser representado mediante una variable
aleatoria X  N(45,9) , y queremos calcular la probabilidad de que X tome un valor entre
39 y 48, es decir, P(39  X  48)
18. Durante cierta epidemia de gripe, enferma el 30% de la población. En un aula con 200
estudiantes, Cuál es la probabilidad de que al menos 40 de ellos padezcan la enfermedad? y
Calcular la probabilidad de que haya 60 estudiantes con gripe.
19. Los resultados de una prueba objetiva de selección pasada a 200 personas indicaron
que la distribución de puntuaciones era normal, con media 60 puntos y desviación típica de
6 puntos. Cada prueba se puntuó con 0 ó 1 puntos. Calcular cuántos examinados han
obtenido una puntuación entre 30 y 40 puntos, y cuál es la mínima puntuación por debajo
de la cual están el 75 % de los examinados.
20. Una empresa instala en una ciudad 20.000 bombillas para su iluminación. La duración
de una bombilla sigue una distribución normal con media 302 días y desviación típica 40
días. ¿Cuántas bombillas es de esperar que se fundan antes de 365 días? ¿Cuántas durarán
más de 400 días? Explica razonadamente el método seguido para encontrar la solución.
21. Explica el significado de la expresión “LA BINOMIAL COMO APROXIMACIÓN A
LA NORMAL”.
22. Explica qué es una distribución de probabilidad de variable continua.
Como ejemplo describe la ley de distribución normal.
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23. El peso de los adultos de una población numerosa se distribuye normalmente con
media 65 kg. y desviación típica 3 kg. Se eligen dios individuos al azar. Calculando las
correspondientes probabilidades, justifica qué es más probable:
a) Que cada uno de los individuos tenga un peso comprendido entre 63,5 y 66,5 kg.
b) Que uno de ellos tenga un peso comprendido entre 62 y 68 kg. y el otro tenga un peso
no comprendido entre 62 y 68 kg.
24. Explica qué es una distribución de probabilidad normal. Supón que x e y representan la
talla de ,los adultos de dos ciudades, que supondremos que se distribuyen normalmente con
medias 168 y 171 cm. y desviaciones típicas de 2 y 1 cm. respectivamente. Justifica, sin
recurrir a tablas, que la probabilidad de que x esté comprendida entre 166 y 170 cm.
coincide con la probabilidad de que y esté comprendida entre 170 y 172 cm.
25. La estatura de una población se distribuye normalmente con media 170 cm. y
desviación típica 6 cm. Calcular la probabilidad de que, elegido un individuo al azar, tenga
estatura comprendida entre 158 y 182 cm.
26. Los resultados de una prueba objetiva de selección pasada a 200 personas indicaron
que la distribución de puntuaciones era normal, con media de 80 puntos y desviación típica
de 6 puntos. Calcular cuántos examinados han obtenido una puntuación entre 70 y 90
puntos. Si se eligen al azar dos de esas 200 personas, calcular la probabilidad de que ambas
personas tengan puntuación superior a 90.
27. Los ingresos diarios de una empresa tienen una distribución normal con media 35560
ptas. y desviación típica 2530 ptas. Justifica si es o no razonable el esperar obtener un día
unas ventas superiores a 55000 ptas.. Calcular cuántos días en un año se espera obtener
unas ventas superiores a 40620 ptas.
28. Se sabe que las puntuaciones obtenidas al pasar un test siguen una distribución normal
con media 210 puntos y desviación típica 0,6 puntos. Si se pasa el test a 100 personas,
¿Cuántas de esas 100 personas deberemos esperar que obtengan una puntuación entre 209 y
211 puntos?
29. Se sabe que dos poblaciones distintas X e Y se distribuyen normalmente con media 0.
Además, p(X). Se pide que calcules sus respectivas varianzas. Indicaciones: Si Z es normal
con parámetros 0, 1, entonces p(Z  1)  0,8413.
30. Las precipitaciones anuales en una región son, en media, de 2000 mm., con una
desviación típica de 300 mm. Calcular, suponiendo distribución normal, la probabilidad de
que en un año determinado la lluvia no supere los 1200 mm.
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31. Una variable aleatoria continua, tiene como función de densidad:
f ( x)  k  x 2
para x  0,1
Calcular:
a) El valor de la constante k.
b) La varianza de dicha distribución.
32. Se sabe que la talla media de la población en edad escolar es de 165 cm. con
desviación típica de 12 cm. Un centro tiene 1400 alumnos matriculados:
a)
b)
c)
¿Cuántos alumnos miden más de 155 cm.?
¿Qué proporción (%) de alumnos mide entre 150 y 178 cm.?
Determinar la probabilidad de que un cierto alumno mida entre 170 y 185 cm.
33. El peso de 600 alumnos se distribuye según una distribución normal N(67; 5).
Calcula cuántos de ellos pesan:
a) Más de 80 kg.
b) Menos de 50 kg.
c) Entre 50 y 80 kg.
34. Tras un test de cultura general se observa que las puntuaciones obtenidas siguen una
distribución N(65; 18). Se desea clasificar a los examinados en tres grupos (de baja cultura
general, de cultura general aceptable y de excelente cultura general) de modo que haya en
el primero un 20 % de la población, un 65 % en el segundo y un 15 % en el tercero.
¿Cuáles han de ser las puntuaciones que marcan el paso de un grupo al otro?
35. La presión sanguínea de ciertos enfermos sigue una ley normal de media 90 mm. Hg y
de desviación típica 12 mm. Hg. Hallar la probabilidad de que elegido un paciente al azar:
a)
b)
Su presión sea mayor de 115 mm. Hg.
Su presión esté comprendida entre 80 y 100 mm. Hg.
36. En una muestra de 1000 personas de una determinada población, resultó que la talla
media era de 170 cm. con una desviación típica de 10 cm. Sabiendo que la talla se
distribuye normalmente, calcula el número de personas que miden:
a) Menos de 160 cm.
b) Más de 2 m.
37. En una clase hay 15 alumnos y 20 alumnas. El peso medio de los alumnos es de 58,2
kg. y el de las alumnas 52,4 kg. Suponiendo que las desviaciones típicas de los dos grupos
son, respectivamente, 3,1 kg. y 5,1 kg. El peso de Juan L. es 70 kg. y el de Pilar S. es 65 kg.
¿Cuál de ellos puede, dentro del grupo de alumnos de su sexo, considerarse más grueso?
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38. Una persona A mide 1,75 m. y reside en una ciudad donde la estatura media es de 1,60
m. y su desviación típica es de 20 cm. Otra persona B mide 1,80 m. y vive en una ciudad
donde la estatura media es de 1,70 m. y la desviación típica es de 15 cm. ¿Cuál de las dos
será más alta respecto a sus conciudadanos?
39. Las ventas de una determinada revista en un kiosko tienen de media 190 y una
desviación típica de 25. ¿Cuántos ejemplares de la revista deben encargar para atender al 80
% de los clientes?
40. La variable tirar una moneda al aire sigue la distribución de Bernoulli. Si lanzamos la
moneda al aire 50 veces, la suma de estas 50 variables (cada una independiente entre sí) se
distribuye según una distribución normal.
41. Se lanza una moneda al aire 100 veces, si sale cara le damos el valor 1 y si sale Sello el
valor 0. Cada lanzamiento es una variable independiente que se distribuye según el modelo
de Bernoulli, con media 0,5 y varianza 0,25. Calcular la probabilidad de que en estos 100
lanzamientos salga más de 60 caras.
42. Si asumimos que la resistencia de las baldosas se distribuye normalmente con
y
Resistencia de 100 Baldosas
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Si extraemos una baldosa al azar : Cual es la probabilidad de que:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Resista menos de 448 Kg/cm2
Resista más de 588 Kg/cm2
Resista entre 308 y 588 Kg/cm2
Resista entre 168 y 728 Kg/cm2
Resista más de 600 Kg/cm2
Resista menos de 200 ó más de 700 Kg/cm2
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TODAS ESTAS PREGUNTAS Y SUS SOLUCIONES
ESTÁN PENSADAS PARA EL PRIMER EXAMEN DE
LA OPOSICIÓN
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