TEMA 1 Relación de Problemas. Tema 1. Curso 06-07

TEMA
Relación de Problemas. Tema 1. Curso 06-07
Ejercicio 1. Para las fórmulas bien formadas:
1. p → (q → r)
2. (¬p ∧ ¬q) → (¬r ∧ s)
3. p ↔ q
4. (p ∨ q ∨ r) ∧ (¬p ∨ ¬q ∨ ¬r)
5. (p ↔ ¬q) ↔ r)
6. p ∧ q ∧ r
Encontrar fórmulas equivalentes a ellas en las que se usen solamente las conectivas
a) {¬, ∧}
b) {¬, ∨}
c) {¬, →}
d) {∨, ∧}
Ejercicio 2. Estudia si las siguientes equivalencias son ciertas o no. Justifica la respuesta.
1. a → b ≡ ¬a → ¬b
2. a ↔ b ≡ ¬a ↔ ¬b.
3. (a ∨ b) → c ≡ (a → c) ∨ (b → c).
4. (a ∨ b) → c ≡ (a → c) ∧ (b → c).
5. a → (b ∨ c) ≡ (a → b) ∨ (a → c).
6. a → (b → c) ≡ (a ∧ b) → c
Ejercicio 3. Probar que las siguientes fórmulas son tautologías:
1. p → (q → p)
2. (p → (q → r)) → ((p → q) → (p → r))
3. (p → q) → (¬q → ¬p)
Ejercicio 4. Demuestra que:
1. ² (α ∧ (α → β)) → β
Modus ponens
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Fundamentos lógicos de la programación
2. ² ((α → β) ∧ ¬β) → ¬α
Modus tollens
3. ² (¬α → ¬β) → ((¬α → β) → α)
4. ² ((α → β) → α) → α
5. ² (¬α → α) → α
6.
Ley de Peirce
Ley de Clavius
² (α → β) → ((β → γ) → (α → γ))
² (β → γ) → ((α → β) → (α → γ))
7. ² (α → (β → γ)) → (β → (α → γ))
8.
² ¬α → (α → β)
² α → (¬α → ¬β)
Leyes de silogismo
Ley de conmutación de premisas
Leyes de Duns Suite
Ejercicio 5. En cada uno de los apartados siguientes encuentra una fórmula α que lo haga verdadero.
1. {α, a → b} ² a → c, pero α 6² a → c.
2. {α, a ∨ ¬b} ² ¬a y {α, b → c} ² c.
3. {α, a → b} ² ¬a y α ² b → c.
4. {α, a → b} ² ¬α y α 6² b.
5. {α, a} ² b y α ² a ∧ ¬b.
6. {α, a → c, b → c} ² c, pero α 6² a y α 6² b.
Una fórmula se dice contingente si es satisfacible y refutable. Con esto, una fórmula es tautología, contingente o insatisfacible, y las tres opciones son mutuamente excluyentes.
Ejercicio 6. Justifica si los siguientes enunciados son verdaderos o falsos.
1. Si α y β son contingentes, entonces α ∨ β es contingente.
2. Si α y β son contingentes, entonces α ∧ β es contingente.
3. Si α y β son contingentes, entonces α → β es contingente.
4. Si α y β son contingentes, entonces α ↔ β es contingente.
5. Si α y β son contradicciones, entonces α ↔ β es tautología.
6. Si α es tautología, entonces β ∨ α es tautología.
7. Si α es insatisfacible, entonces α → β es una tautología.
8. α ∨ β es una tautología si, y sólo si, α y β son tautologías.
9. Si α ∨ β es contradicción, entonces α y β son contradicciones.
10. Si α ∨ β es una tautología, entonces α o β son tautologías.
11. Si α ∨ β es contingente, entonces α y β lo es.
12. Si α → β es una tautología, entonces α es una contradicción o β es una tautología.
13. Si α → β es una fórmula contingente, entonces α y β son contingentes.
Departamento de Álgebra
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Ejercicio 7. En cada una de las situaciones siguientes indica en cada caso que tipo de fórmula es β (o
que tipo de fórmula no es β). Justifica la respuesta.
1. α es una tautología y α ↔ β es una contradicción.
2. α es una tautología y α ∧ β es cotingente.
3. α es una tautología y α ∧ β es una contradicción.
4. α es una tautología y α → β es contingente.
5. α es una tautología y α → β es una contradicción.
6. α es una contradicción y α ↔ β es una contradicción.
7. α es una contradicción y α ∨ β es una contradicción.
8. α es una contradicción y α ∨ β es contingente.
9. α es una contradicción y β → α es una tautología.
10. α es contingente y α ∨ β es una tautología.
11. α es contingente y α ∧ β es una contradicción.
12. α es contingente y α → β es una tautología.
13. α es contingente y α → β es contingente.
Ejercicio 8. Razonar si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas:
1. Si una fbf no es satisfacible, su negación sí lo es.
2. Si una fbf no es consecuencia de un conjunto de fórmulas, su negación sí lo es.
3. Si una fbf no es consecuencia lógica de un conjunto de fórmulas, su negación tampoco.
4. Si Γ ² α es posible que exista ∆ ⊂ Γ tal que ∆ 2 α.
5. Si Γ 2 α es posible que exista ∆ ⊂ Γ tal que ∆ ² α.
Ejercicio 9. Estudiar si el siguiente conjunto de proposiciones es satisfacible o insatisfacible:
Γ = {γ → (α ∨ β), β → (γ → α), δ ∧ ¬(γ → α)}
Ejercicio 10. Usar los distintos tipos de técnicas estudiadas ( cálculo de interpretaciones en Z2 , resolución, algoritmo de Davis-Putnam) para determinar si son o no tautologías las siguientes fórmulas:
¡
¢
1. (q → p ∨ r) → (p → q) → (p → [(r → q) → r])
2. (β → ¬α) → ((¬α → ¬(α → β)) → α)
3. (α → β) → ((β → γ) → (α → γ))
4. ((α → β) → α) → α
5. (β → γ) → (¬(α → γ) → ¬(α → β))
6. ((α → β) → γ) → (β → γ)
7. ((¬α ∨ β) ∧ (α ∨ ¬β)) ↔ (α ↔ β)
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Fundamentos lógicos de la programación
8. ¬(a → b) → (¬a → ¬b)
9. (¬a → ¬b) → ¬(a → b)
10. (p → q) → [(¬p → q) → q]
Ejercicio 11. Estudia si las siguientes afirmaciones son ciertas o no. Caso de no serlo, encuentra una
asignación que lo muestre.
1. {a → b, a → ¬b} ² ¬a
2. {a → b, a ∨ b} ² b.
3. {a → ¬b, a ∧ b} ² c.
4. {a ∨ b, ¬a ∨ ¬b} ² a ↔ ¬b.
5. {a ↔ ¬b, a → c} ² b ∨ c.
6. {(a ∧ b) ↔ c, ¬c} ² ¬a ∧ ¬b.
7. {¬(a ∧ b ∧ c), (a ∧ c) ∨ (b ∧ c)} ² a → ¬b.
8. {b → (c ∨ a), a ↔ ¬(b ∧ d)} ² b ↔ (c ∨ d).
9. {(a ∧ b) → c, c → (a ∨ d)} ² b → (¬a → c).
10. {(a ∨ c) → ¬a, c → ¬a, b → ¬a} ² ¬a.
11. {(a ∧ b) → c, c → d, b ∧ ¬d} ² ¬a.
12. {(a → b) ∨ (c → d), ¬a → a, ¬c → c} ² b ∨ d.
13. {a → (b ∨ c), c → d, ¬b ∨ d} ² ¬(a ∧ ¬d).
14. {(b → a) ∧ b, c → d, b → c} ² a ∨ d.
15. {(a ∧ b) → c, (¬a ∧ ¬b) → d, a ↔ b} ² c ∨ d.
16. {a → (b ∨ c), d ∨ ¬c, b ∨ d} ² a → d.
17. {(¬b ∧ ¬c) → ¬a, a → b, a ↔ c} ² b ∨ c.
18. {a → (a → b), (b ∨ c) → a, c → (a ∨ b)} ² b.
19. {(a ∧ ¬b) → ¬c, (¬a ∧ b) → d, ¬a ∨ ¬b, e → (a ∧ ¬d)} ² ¬e.
20. {c → d, a ∨ b, ¬(¬a → d), ¬a → b} ² b ∧ ¬c.
Algunos problemas de exámenes anteriores:
Ejercicio 12. Demostrar que para cualesquiera proposiciones α y β, se da lo siguiente:
|= (β → ¬α) → ((¬α → ¬(α → β)) → α)
Ejercicio 13. Estudiar si el siguiente conjunto de proposiciones es satisfacible o insatisfacible:
Γ = {γ → (α ∨ β), β → (γ → α), δ ∧ ¬(γ → α)}
Ejercicio 14. Prueba que las siguientes proposiciones son teoremas del cálculo proposicional:
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1.
(α → β) → ((β → γ) → (α → γ))
2.
((α → β) → α) → α
Ejercicio 15. En el Cálculo de Proposiciones, si
Γ ∪ {α} |= β → (δ → γ) y Γ ∪ {β} ² α → δ
probar que Γ ∪ {α, β} |= γ
Ejercicio 16. Prueba los siguientes enunciados:
1. |= (β → γ) → (¬(α → γ) → ¬(α → β))
2. |= ((α → β) → γ) → (β → γ)
Ejercicio 17. Demostrar las siguientes implicaciones semánticas:
1. |= ((¬α ∨ β) ∧ (α ∨ ¬β)) ↔ (α ↔ β)
2. Si Γ |= α → β y Γ |= ¬α → β entonces Γ |= β
Ejercicio 18. Prueba los siguientes enunciados:
1. |= ((α → β) → γ) → (β → γ))
2. |= α → (β → (γ → γ))
Ejercicio 19. Probar:
|= (p → q) → [(¬p → q) → q]
Ejercicio 20. Demuestra que
1. ¬(a → b) → (¬a → ¬b) es una tautología.
2. α = (¬a → ¬b) → ¬(a → b) no es una tautología
Ejercicio 21. Probar
|= (((ψ → θ) → θ) → (χ → θ)) → (ψ → (χ → θ))
Ejercicio 22. Probar que {q → (¬p → r)} |= r → ¬q
Algunos ejercicios de traducción de lenguaje natural a proposicional
Ejercicio 23. Formalizar en lenguaje proposicional los siguientes argumentos y decidir si son correctos:
1. Si no hay control de nacimientos, entonces la población crece ilimitadamente. Pero si la población
crece ilimitadamente, aumentará el índice de pobreza. Por conxsiguiente, si no hay control de
nacimientos, aumentará el índice de pobreza.
2. Si los jóvenes socialistas españoles apoyan a Zapatero, entonces renuncian a su programa de reivindicaciones. Y si combaten a Zapatero, entonces favorecen a Rajoy. Pero una de dos: o apoyan a
Zapatero o lo combaten. Por consiguiente, habrán de renunciar a su programa de reivindicaciones
o favorecer a Rajoy.
3. Si la función f no es continua, entonces la función g no es diferenciable. g es diferenciable. Así
pues, f no es continua.
4. Si hay petróleo en Poligonia, entonces los expertos tienen razón o el gobierno está mintiendo. No
hay petróleo en Poligonia o los expertos se equivocan. Así pues, el gobierno está mintiendo.
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