Mecánica percusiva: Teorema de Carnot

Facultad de Ingenierı́a - U.N.L.P.
Mecánica Racional - Curso 2008
Mecánica percusiva: Teorema de Carnot
Enunciado. Consideramos un sistema indeformable de N puntos materiales
de masa mi (i = 1, ..., N ).
a) Si el sistema está animado de un movimiento rı́gido general y se introduce un vı́nculo súbitamente, el cambio de energı́a cinética del sistema,
∆ T ≡ T + − T − , es siempre negativo y está dado por la energı́a cinética de
las velocidades perdidas:
∆T = −
N
X
1
i=1
2
−
mi v+
i − vi
2
.
(1)
Para el caso lı́mite de un cuerpo rı́gido, esta expresión resulta
1
1
2
O
∆T = mv−
·
∆ω
×
(G
−
O)
−
∆ω
·
J
∆ω
−
mv−
O
O ,
2
2
(2)
donde O es el punto del cuerpo rı́gido que se vincula súbitamente, m, JO y
G son la masa, el tensor de inercia respecto de O y el baricentro del cuerpo,
respectivamente, y ∆ω es el cambio de velocidad angular del cuerpo.
b) Si el sistema está vinculado a un punto fijo y éste se libera súbitamente,
el cambio de energı́a cinética del sistema es siempre positivo y está dado por
la energı́a cinética de las velocidades ganadas:
∆T =
N
X
1
i=1
2
−
mi v+
i − vi
2
.
(3)
Para el caso lı́mite de un cuerpo rı́gido, esta expresión resulta
1
1
2
+
∆T = ∆ω · JO ∆ω + mv+
O + mvO · ∆ω × (G − O),
2
2
donde O es el punto liberado.
1
(4)
Demostración de la parte (a). A partir de la definición de ∆T , y siguiendo
simples pasos algebraicos, se tiene que
∆T =
=
=
=
=
=
N
X
1
i=1
N
X
i=1
N
X
i=1
N
X
i=1
N
X
i=1
N
X
2
2
mi v+
i
−
N
X
1
2
i=1
mi v−
i
2
1 +2
−2
mi vi − vi
2
+
1 +
−
mi vi + v−
·
v
−
v
i
i
i
2
+
1 +
−
−
mi 2vi − (v+
−
v
)
·
v
−
v
i
i
i
i
2
1 +
−
+
− 2
mi 2vi · v+
−
v
−
(v
−
v
)
i
i
i
i
2
−
mi v+
i − vi
i=1
· v+
i −
N
X
1
i=1
2
− 2
mi (v+
i − vi ) .
(5)
La expresión (1) requiere demostrar que la primera sumatoria en la expresión
(5) es nula.
Para ello, notamos que el cambio de cantidad de movimiento de una
partı́cula i del sistema es resultado de la percusión exterior al sistema acext
tuante en dicha partı́cula Ii , y de las percusiones interiores debidas a las
int
demás partı́culas del sistema Ii,j (j 6= i, j = 1, ..., N ). De acuerdo a la primera
ecuación cardinal de la mecánica percusiva,
mi v+
i
−
v−
i
=
ext
Ii
+
N
X
int
Ii,j ,
i = 1, ..., N.
(6)
j=1
j6=i
En consecuencia, la primera sumatoria en la expresión (5) es


N
X
i=1
mi v+
i
−
v−
i
·
v+
i
N
N
X
 ext X
int 

 +
=
I
+
I
i,j  · vi
 i
i=1
=
N
X
i=1
2
j=1
j6=i
ext
Ii
·
v+
i
+
N X
N
X
i=1 j=1
j6=i
int
Ii,j · v+
i
(7)
Para la situación considerada en la parte (a), sólo actúa una percusión exterior
al sistema en aquella partı́cula que se vincula. Pero como dicha partı́cula tiene
velocidad posterior nula (v+
i = 0), la primera sumatoria en la expresión (7) es
nula. Resta probar que la segunda sumatoria en la expresión (7) es también
nula.
Para ello, recordamos que, por tratarse de sistemas rı́gidos, las velocidades
de dos partı́culas cualesquiera del sistema se relacionan por la ley de variación
de velocidades,
+
+
v+
(8)
i = vj + ω × (Pi − Pj ),
donde ω + es la velocidad angular del sistema posterior al impacto. En consecuencia, la segunda sumatoria en la expresión (7) puede escribirse como
N X
N
X
int
Ii,j
·
v+
i
=
i=1 j=1
j6=i
N X
N
X
i=1 j=1
j6=i
=
N X
N
X
int +
Ii,j · v+
+
ω
×
(P
−
P
)
i
j
j
int
Ii,j
·
v+
j
+
N X
N
X
i=1 j=1
j6=i
i=1 j=1
j6=i
int Ii,j · ω + × (Pi − Pj ) . (9)
El producto vectorial ω + × (Pi − Pj ) da como resultado un vector perpendicint
ular a (Pi − Pj ). Recordando que los impactos interiores Ii,j actúan a lo largo
de la lı́nea que une las partı́culas i y j, es decir en la dirección de (Pi − Pj ),
concluı́mos que todos los términos de la segunda sumatoria son nulos. Por lo
tanto, la expresión (9) se reduce a
N X
N
X
int
Ii,j
·
v+
i
=
i=1 j=1
j6=i
N X
N
X
int
Ii,j · v+
j .
(10)
i=1 j=1
j6=i
Ahora bien, por el principio de acción y reacción, las percusiones interiores
int
int
son tales que Ii,j = −Ij,i . Por lo tanto, la expresión (10) implica que
N X
N
X
i=1 j=1
j6=i
int
Ii,j
·
v+
i
=
N X
N
X
int
Ii,j
·
v+
j
=−
i=1 j=1
j6=i
N X
N
X
i=1 j=1
j6=i
int
Ij,i
·
v+
j
=−
N X
N
X
int
Ii,j · v+
i .
i=1 j=1
j6=i
(11)
Como la última sumatoria obtenida es igual a la primera sumatoria cambiada
de signo, concluı́mos que
N X
N
X
int
Ii,j · v+
(12)
i =0
i=1 j=1
j6=i
3
Por lo tanto, la sumatoria (7) es nula, y la expresión (5) se reduce a la
expresión (1).
La expresión (2) para un cuerpo rı́gido se obtiene considerando el lı́mite
cuando el número de partı́culas tiende a infinito. En este caso, la sumatoria
(2) se convierte en la integral sobre el cuerpo
Z
2
1 +
∆T = −
vP − v−
dm,
(13)
P
m 2
Las velocidades de cada punto P del cuerpo pueden referirse a las velocidades anteriores y posteriores del punto O que se vincula mediante la ley de
variación de velocidades:
+,−
v+,−
= v+,−
× (P − O).
P
O +ω
(14)
Como v+
O = 0, la expresión (13) resulta
Z
+
2
1
−
ω × (P − O) − v−
−
ω
×
(P
−
O)
dm
∆T = −
O
2 Zm
+
2
1
ω − ω − × (P − O) − v−
= −
O dm
2 Zm
2
1
= −
∆ω × (P − O) − v−
O dm
2 Zm
h
i
1
2
−
− 2
= −
(∆ω × (P − O)) − 2vO · ∆ω × (P − O) + (vO ) dm
2 m
1
1
− 2
= − ∆ω · JO ∆ω + mv−
O · ∆ω × (G − O) − m(vO ) .
2
2
Demostración de la parte (b). La parte (b) puede demostrarse siguiendo
un razonamiento similar al empleado para la parte (a). La demostración se
deja como ejercicio.
4