Capítulo 6 Formas indeterminadas 6.1. Formas 0=0 e 1=1. Cuando se estudian las propiedades elementales de límite, se obtiene que si f y g son funciones de…nidas en un entorno de a y x!a f (x) = ` y x!a g(x) = L, entonces si L 6= 0 se tiene que f (x) ` = , x!a g(x) L independientemente del valor que tome `. Cuando L = 0 esto no tiene sentido, y aparecen dos situaciones posibles: 1. si ` 6= 0 entonces, dependiendo del signo de ` tenemos f (x) = 1 si ` > 0, x!a g(x) f (x) = x!a g(x) ó si ` < 0. 2. Si ` = 0 también, entonces la cosa se complica, y no es posible predecir el resultado: sin(x) x sin(x) p x!0 x sin(x) p =0 x x sin(1=x) no existe x!0 sin(x) x!0 x!0 Y entonces aparece la pregunta: f ! 0; g ! 0 ) f ! ? g Estamos haciendo el cociente de dos cosas que se hacen arbitrariamente chicas (ambas tienden a cero). Si la de arriba “se va a cero mas rápido” que la de abajo, entonces el límite valdrá cero, 87 Formas indeterminadas 88 si la de abajo “se va a cero mas rápido” que la de arriba, entonces el cociente tenderá a ; …nalmente, si ambas “se van a cero a la misma velocidad” entonces el cociente tenderá a un número real distinto de cero. Y tambien puede pasar que amabas tiendan a cero, pero el cociente no tienda a nada. Un límite de este tipo, es decir, el límite de un cociente donde tanto numerador como denominador se anulan se conoce como una “forma indeterminada”. Todas las siguientes se conocen 1 como formas indeterminadas: 00 (la que explicamos recién), , 01, , 00 , 10 , y 11 . Todas 1 ellas se re…eren a un límite donde aparece la operación sugerida (cociente, producto, potencia) y donde las funciones intervinientes tienen el límite indicado en la forma. f ! 1; g ! 1 f ! 0; g ! 1 f ! 0; g ! 0 f ! 1; g ! 1 ) ) ) ) f ! ?; (f g) ! ? g f g ! ?; gf ! ? f !? gf ! ? g gf ! ? Todas las formas indeterminadas pueden verse como una lucha, donde el resultado dependerá de la velocidad con la que las funciones involucradas tienden al límite. Por ejemplo, f ! 0; g ! 1 ) g f ! ? Como g(x)f (x) = ef (x) ln(g(x)) , y por lo tanto el resultado dependerá de lo que pase con f ln(g) (¡que es un límite de la forma 01!). La Regla de L‘Hopital es un resultado que nos ayuda a calcular estos límites, y tiene una variedad importante de enunciados. Comenzamos con el caso mas elemental: Teorema 6.1 (L´Hopital, 0=0) Supongamos que f y g son funciones derivables en I = (a "; a + ") ag para algún " > 0, y que x!a Si x!a f (x x!a g(x) = 0. f 0 (x)=g 0 (x) existe, entonces f (x) x!a g(x) f 0 (x) . x!a g 0 (x) Demostración. Una demostración bien hecha demanda bastante trabajo, y utiliza resultados que no hemos visto, como el Teorema del Valor Medio de Cauchy : Daremos una idea de como uno puede intuir el resultado: supongamos que además sabemos que f 0 y g 0 existen y son continuas en a; entonces f y g son continuas en a y f (a) = g(a) = 0; y f (x) x!a g(x) f (x) x!a g(x) f (a) = f (a) f (x) x g(x) x!a x x!a f (a) a f (a) a = f 0 (a) g0 (a) f 0 (x) . x!a g 0 (x) Formas indeterminadas 89 Ejemplo 6.2 1. ex x!0 2. ex =1 x!0 1 1 x ln(x) x!1 x 1 3. x!0 sinh(x) sin(x) 1=x =1 x!1 1 x!0 cosh(x) =1 cos(x) Muchas veces al intentar aplicar la Regla de L´Hopital nos queda otra forma indeterminada, que se puede resolver usando L´Hopital. Ejemplo 6.3 Al intentar aplicar L´Hopital para calcular x3 3x + 2 x!1 1 x + ln x x!1 x3 3x+2 x!1 1 x+ln x , nos quedaría 3x2 3 , 1 + 1=x que es otra forma indeterminada (0=0). Procedemos a calcular el mismo, usando L’Hopital: x!1 3x2 3 1 + 1=x Y ahora si, puesto que ya sabemos que L’Hopital para concluir x!1 x!1 x3 3x + 2 x!1 1 x + ln x 6x = 1=x2 3x2 3 1+1=x x!1 = 6. 6, podemos (recién ahora) aplicar 3x2 3 = 1 + 1=x 6. En general no hace falta separar tanto las cuentas, y uno hace todo en una sola cadena de igualdades, pero hay que tener cuidado: se debe veri…car que en cada paso se cumplan las hipótesis. Nota importante 6.4 En toda esta sección aparecen cocientes de derivadas, es decir, cosas de la forma f 0 =g 0 . Un error común es olvidar esto y calcular la derivada del cociente, es decir, (f =g)0 . Es importante tener esto presente. Nota importante 6.5 El entusiasmo que se adquiere al estudiar estos procedimientos suele llevar al lector a calcular todos los límites usando L´Hopital, incluso aquellos que no son indeterminados (!). Es importante leer bien y veri…car las hipótesis. Por ejemplo x3 x!1 x2 + x x3 x2 1 3x2 2x + 1 x!1 3x2 2x x!1 está mal calculado. ¿donde está el error? (el valor correcto es 2). 6x 6x 2 =1 2 Formas indeterminadas 90 Observación 6.6 En el Teorema 6.1 se puede cambiar la hipótesis x ! a por x ! a (con I = (a "; a)), x ! a+ (con I = (a; a + ")), x ! 1 (con I = (R; 1) para algún R 2 R), y/o x (con I = ( ; R)). Para demostrar los casos x ! a ; x ! a+ se usa exactamente el mismo argumento usado en la demostración del Teorema 6.1. Para demostrar los casos x ! 1 y/o x ; se usa el siguiente hecho (que es válido en general): x!1 '(x x!0+ y '(1=x) '(x x x!0 '(1=x). Por ejemplo, el caso x ! 1 quedaría así: f (x) x!1 g(x) f 0 (1=x) f (1=x) g(1=x) x!0+ x!0+ g 0 (1=x) 1 x2 1 x2 x!0+ f 0 (1=x) g 0 (1=x) f 0 (x) . x!1 g 0 (x) Ejemplo 6.7 1. x!0+ 2. sin(x) p x 1=x x!1 tan(2=x) x!0+ cos(x) p 1=2 x x!0+ 1=x2 x!1 sec2 (2=x) ( 2=x2 ) p 2 x cos(x) = 0: x!1 1 1 = . 2 sec2 (2=x) 2 Observación 6.8 (L´Hopital, 1=1) En el Teorema 6.1 (y en la Observación siguiente) se puede cambiar la hipótesis f (x g(x) = 0 por x!a x!a x!a f (x x!a g(x) = : Ver esto es delicado y requiere utilizar el Teorema del Valor Medio de Cauchy. Un argumento que suele aparecer en algunos libros de Cálculo es el siguiente: supngamos que f 0 =g 0 ! ` y llamemos F = 1=g y G = 1=f . Entonces f =g = F=G, y F0 = G0 Si g 0 =g 2 g0 f 2 = , f 0 =f 2 f 0 g2 F0 !L G0 entonces de donde F ! L, G f0 G0 f 2 = g0 F 0 g2 es decir f ! L. g Pero usando f 0 =g 0 ! ` concluimos que `= 1 2 L = L, L y entonces f ! `. g Este argumento está lleno de huecos y no se si aporta demasiado. Uno de los principales problemas es que agrega la hipótesis F 0 =G0 ! L, y analizando con cuidado lo hecho, estaríamos probando que si sabemos (de alguna manera) que f =g ! L, entonces L = `. Ejemplo 6.9 Formas indeterminadas 91 1. x!1+ 1) 2) ln(x tan( x!1+ 2. 1) 2) 2 1=(x sec2 ( ln jxj x!0 1=x x!1+ 2) cos2 ( (x 1) 2 1=x 1=x2 x!0 x!0 2 cos( x!1+ 2) sin( 2 2) x2 = 0. x Observación 6.10 En el Teorema 6.1 (y por consiguiente en las Observaciones siguientes) hemos usado que f 0 (x)=g 0 (x) existe (es decir, es un número real l). Esta hipótesis puede x!a extenderse a un caso mas general donde se permite creible este resultado es la siguiente: x!a f 0 (x)=g 0 (x) = x!a g 0 (x)=f 0 (x) = 0 ) x!a x!a f 0 (x)=g 0 (x) = g(x)=f (x) = 0 ) . Una idea que hace x!a jf (x)=g(x)j = 1. Si f; g ! 1 o si f; g ; entonces el cociente f =g es (para valores de x adecuados) positivo y podemos sacar el módulo para concluir f (x)=g(x) = 1. En la forma 0=0 no podemos x!a mejorar este argumento. Ejemplo 6.11 ex x!1 ln x ex = 1. x!1 1=x A modo de resumen, enunciaremos la Regla de L’Hopital en su forma mas general: Teorema 6.12 (Regla de L’Hospital) f; g funciones de…nidas y derivables en un conjunto I (que depende de H, ver) y tal que existen los límites x!H y existe f (x x!H g(x) = •, f 0 (x) = z. x!H g 0 (x) f (x) x!H g(x) Entonces existe = z, donde H puede ser H I (2 R) a (a "; a + ") a "g (a "; a) (acá " > 0 cualquiera, y R 2 R cualquiera) • puede ser 0; 1; ó z puede ser ` 2 R; 1; ó . . a+ 1 (a; a + ") (R; 1) ( ; R) 2 = 0. Formas indeterminadas 92 6.2. Otras formas indeterminadas En esta sección vamos a estudiar otros casos de indeterminaciones, que en realidad no es mas que reducir (mediante operaciones algebráicas) ciertos límites complicados a las formas donde vimos es posible aplicar L’Hopital. Estos suelen ponerse como casos 01; 00 , 10 , 11 , y . Forma 0 Si x!H f (x) = 0 y x!H g(x) = 1 (o si es que existe. Escribiendo f fg = 1=g ), entonces no está claro el valor de ó fg = x!H f (x)g(x), g 1=f convertimos este límite en uno de la forma 0=0 ó 1=1, y podemos aplicar una forma conocida de L´Hopital. Ejemplo 6.13 1. x!0+ x ln(x x!0+ 2. x x2 ex x ln(x) 1=x x2 e x x!0+ x 1=x 1=x2 2x e x x!0+ ( x) = 0: 2 x e x = 0: Formas 00 ; 10 ; 11 Estas formas indeterminadas vienen del limite x!H f (x)g(x) cuando 1. 1. 2. x!H x!H x!H f (x) = 1 y f (x) = 0 y f (x) = 1 x!H x!H y tipo 11 g(x) = g(x) = 0 x!H g(x) = 0 tipo 00 tipo 10 ya que al usar la de…nición, resulta f (x)g(x) = eg(x) ln f (x) , y entonces tenemos una indeterminación cuando g(x) ln f (x) es de la forma 0 . Calculando x!H g(x) ln f (x) (tal como fue explicado en el punto anterior), podemos determinar el límite buscado. Concretamente, si g(x) ln f (x) = ` tendremos f (x)g(x) = e` (bien entendido cuando ` = ). x!H x!H Estamos usando la continuidad de la función exponencial. Formas indeterminadas 93 Ejemplo 6.14 1. Para encontrar x!1 y entonces x ln 1 + 2. Para encontrar 1 x 1+ x!1 1 x x 1+ x!1 escribimos 1 + x!1 1 x x ln 1 + 1=x 1=x2 (1+ x1 ) 1 x x!1 x x!0+ (x ) 1=x ) x!1 (x x!1 1 1+ 1 x = 1, x ln x = 0, x!0+ xx = 1. 1 escribimos x1=x = e x ln x . Puesto que x!1 1=x ) x!1 (x 1=x2 escribimos xx = ex ln x . Puesto que (calculado en un ejemplo anterior), se tiene resulta que 1 = ex ln(1+ x ) y calculamos = e. x!0+ 3. Para encontrar 1 x x 1 ln x x x!1 1=x = 0, 1=x2 = 1. Observación 6.15 Existe la tentación de pensar que la “forma 01 ” es una forma indetermif (x)g(x) donde nada, pero no es así: si queremos calcular x!H x!H puesto que x!H g(x) ln f (x) = f (x) = 0 tendremos y x!H x!H g(x) = 1, f (x)g(x) y ey = 0. Forma Si , entonces no está claro el valor de x!H f (x) = 1 y x!H g(x) = x!H [f (x) g(x)], si es que existe. Lamentablemente, no existe un procedimiento general que permita calcular este límite (y ni siquiera merece tanta mensión). En algunas ocaciones se puede trabajar algebraicamente la diferencia [f (x) g(x)] para reducirla a alguna de las formas de L´Hopital válidas. Ejemplo 6.16 x!0+ 1 x 1 sin x x!0+ sin x x x sin x x!0+ cos x 1 sin x + x cos x donde hemos utilizado L´Hopital en la 2da y 3ra igualdad. x!0+ sin x = 0, cos x + cos x x sin x 94 Formas indeterminadas