Bole tin de Matemiticas Volumen X (1976). pigs. 140 - 147 UN PLAN DE ESTUDIO EN MATEMATICAS G ur L L E R M 0 REST REP 0 Se trata de un plan de estudios para forrnar : 1. a) Profesores de maternati c as para Ia escuela b) Profesores univers itar ios e investigadores. lntrcducc secundaria ien. En el documento anterior, se sefialaba que los campos fundarnentale sde sernpefio profesional de un maternat ico eran Ia enseiianza iianza en la Universidad. de- y Ia ense - LaInveat igac ion empieza a abrirse campo en laIh iver- 'sidad como una actividad que Ie es propia, especialmente ca. La investigacion secundaria la investi gac icn teori en maternaticas se hara principalrriente en los institutos inve s tiqa c ion que serv iron de eje ocodemico a los estudios tudios de posgrado seran para aquellos estudiantes de posgrado. de Los es- aptos para la invest igac ion y no deben ~ener un plan de estudio determin ado. En este documento de trabajo se habl ara de las experiencias > no educ ativas del proceso educativo de posgrado. So- lo indicarernos que a nivel de posgrado el proceso educative debe estar encarni nado a forrnar investigadores. Por tanto podran hacer estudios de posgrado en ma- ternaticas solo quiene s hayan demostrado talento y gusto por 1a investigacion ternatica durante sus estudios La coexistencia lhiversidad 140 universitarios de Facultades rna- profesionales. de Cienc ias y Facultades colombiana parece ser un hecho irreversible. de Educacion en la En el memento, las Fa- cultades de Educacion muchos aspectos Fisica administran (vease administrados matriculados por las Facultades Desde hace blema parece cusion estos que de rechazo, de a disminuir. carrer as de sertan (Ingenierias del principaldel Va- Como era de esperarse, por parte Ade- al cabo peris ando en l a lhiversidad la opo- de los estudiantes. un as veces, una propuesta tiende profesionales programas. por integrac ion. Pero, sin presentarse sin una definicion El pro- clara de 10 que es peor , s iernpre se ha planteado concreta que sirva de base para una dis- seria. generales 2.1. distinguir Es preciso "profesor de secundar solo debe existir Tambien el profesor area casi Consideraciones ticas. carreras que ha sido mal planteado 10 que se entiende 2. de integrar ha side grande, el asunto y deMatematicas var ios afios se ha venido lie en la posibilidad sicion en otras en y de Matematicas Ej niimero de estudiantes de Cienclas. de quien es ingres an a estas ana para enrolarse mente). a los programas en los program as de F'is ica mas un alto porcentaje segundo progr arnas de Matematic e-Fis ica diferentes la Pr imera Parte) una diierenc!o debe existir secundaria una partic ipacion 2.2. fesionales educativas "profesor z as se refieren bos profesionales re extender activa tener de secundaria" alcanzar de de l profesor su de y en la investiga que manifest ar se las dos actividades universitario". pedagc5gica dentro que en aprop iados. las s emeioriz as entre y "profesor en materna - Se espera se espera tendran a los niveles No en un investigador en la docencia diferencias a 10 cOT/I5n en la actividad deben necesariamente y creadora Estas distinta. investigativas, Por el contrario, diferentes presente a profundi zacion profesional en actividades fisica. 0 a fundamentalmente. Es preciso en cuanto sin que se convierta en matematicas profesionales un iver sitar io " (ver la Pr imera Parte). una expectativa profesional las experiencias entre las dos actividades de nivel part ic ipara fundamentalmente, cion didactic claramente y " profesor ia" universitario la propuesta. sobre Estas y al nivel en el area de matematicas s ernej an - minimo (y fisica pro- que am- si se quie- la integracion). 141 2.3. lha division de todo el proceso educativo en ciclos acoersejable para tener la suficiente rencias y las semejanzas descritas parece ser 10 mas flexibilidad que permita incorporar las difeen los numerales anteriores. Se propone : (A) lh cicio bc1sico de dos afios de durac ion, No se trata de revivir los llamados "estudios Generales" para darles a los estudiantes conocimientos generales. Por el contrario, enestos una dieta balanceada de dos afios se dara a los estu- bc1sicos par(J su lvtur» oesorrollo diantes los conocimientos prof.sionol. Se pre- tende que el plan de estudios refleje 10 que hay de comiin en las expertencias educativas sica 0 que es preciso dar a quienes vayan a ser profesores de secundaria (fi- matematicas) profr sores universitarios 0 maticas. Este cicio, por consiguiente, sica y matematicas e investigadores en fisica es bc1sico y comun para estudiantes ya sea que se preparen para ser profesores 0 mate- de fi- de secundaria 0 profesores de universidad e investigadores. (B) lh cicIo de clecision profes ionol de un afio de duracion diza en matematicas 0 carse a Ia docencia distinguirse secundaria en fisica. EI estudiante, en secundaria co~ especialidad y/ oinvestigadores docencia universitaria. Creemos en fisica y docente de en matematicas. profesionol. Para profesores universitarios relacionadas con oiOOcfico (de la fisica 0 experiencias educativas 3. Plan d•• studios para expe - de la metematlce) oocente. Los segundos profundizarian en sus respectivos (Nota: que debe seria de dos afios de durac ion. Los primeros tendrian riencias educativas tendrian al final, podra elegir entre dedi- entre docente de secundaria con especialidad (C) lh cicIo de especiolizocion y practico 0 . Aqui se profun- campos de tipo investigativo. .1 cicio A. numero en parentesis indica semestre). 3.1 (1) Numeros reo/es y las funciones e/emento/es. Es un curso de nivela- cion (aunque no remedial). lh estudio riguroso (mas no formal!) de los numeros 142 y reales y de las propiedades logaritmica, y graficas de las funciones polinomiales, trigonometricas. Las propiedades de "aproximacion" reales se estudian via sucesiones creciente de los niimeros monotonas (axioma: toda suces ion monoton a y es convergente). 3.2 (2). Calculo I. lh curso de calculo diferencial unificado(el e integral de una variable teorerna fundamental del calculo da el eje del curso), Limites, con- tinuidad, derivada de las funciones elementales, mentales, exponenc ial , integracion de las funciones ele- areas y vohimenes, axiom as y minirnos, trazado de curvas, aplicaciones. (Aproximadamente Cap. 3.4, 5.6 de L. Bers), 3.3 (2) Geometria Analitica. EI estudio de la fun cion cuadratica La .. x· x . tl t 1 en dos y tres variables nor 0 (uso sistematico de matrices y determinantes de orden meigual a tres), EI espacio 1R3, como espacio euclideo, debe estudiar se com- pletamente. Propiedades particulares de con icas reducidas a sus ejes principa - les. Teorema de diagonal izac ion (ejes principales). 3.4 (3) Calculo 1/. Calculo diferencial e integral de varias variables (teori a elemental). Fune iones de IR1 en 1R2 : curvas orientadas, tangentes, longitud de . d as parc ' . Ies, gra dilenuna curva, ap I·· icaciones. F'uncrones d]R3 e en lR1 : d enva ia te, integrales de linea, potenciales les en general, maxirnos y rninirnos. y sistemas conservatives. Derivadas parc ia - J acobiano de una transforrnac ion lineal y vo3 lumen, jacobiano de una transforrnac ion de 1R en lR3 y su rel acion con "cambio de volumen". Coordenadas.cil indr icas y esfericas. Integral de funciones de'lR3 en R 1 y reduccion a integrales de variables para integrales de orden inferior (rnetodo de secciones). triples. Aplicaciones Cambio al calculo de areas, vohimenes, momentos de inerc ia, masas, etc. 3.5 (3) lntroduccion o los complejos, ses ortonormales. alalgebra dependencia Ecuaciones trices. Determinantes. lineal. Espacios vectoriales sobre los reales lineal, bases. Producto esc alar , ortogonalidad, balineales 0 matrices, operacione s , inversion de ma- Valores propios y vectores propios de matrices simetr icas, 143 hermitian as. 3.5 (4) Calculo III. Sucesrones y series de niimeros reales y complejos. terios de convergencia (integral de la tencias, teorema de Taylor. Ecuaciones razon), Integrales diferenciales Fourier. Resolucion de algunas ecuaciones c-r. impropias. Series de po- de segundo orden. Series de diferenclales parciales por el metodo de separacion de variables. 3.n (4) Matematicos Integrales Especiales. Integrales de linea y el teorema de Geen . de superficie y el teorema de Stokes. Divergencia,rotacional. Introduc- cion a las funciones de variables compleja, integral de Cauchy, residuos. 3.7 (2) Fisico General I. 3.8 (3) Fisico II. 3.9 (4) Fisico III Nota. Seria conveniente que el curso de Iisrca general I fuese un curso de n ivelacion, En fi sica II y III can el conocimiento del calculo de los estudiantes po- dria hacerse un curso acelerado. 3.10 (1) Ic/;oma extranjero. 3.11 (2) rc/ioma extranjero. 3.12 (3) Ic/;oma extranjero. 3.13 (4) Ic/;oma extranjero. Nota. EI idioma puede ser Ingles, aleman, ruso, frances.Es los estudiantes adquieran un conocimiento mas (traducir correctamente, de los procesos sociales 3.15 (2) Psicologia. gicas con enfasis socia/es. adecuadamente). Estudio de dos "teorias" so- (funcional ismo y materialismo histdrico). Estudio de los procesos psiquicos y sus bases fisiolo- en el proceso de formacion del pensam iento y el desarrollo psi- quico de los escolares. 144 menos profundo de otro idioma hablar un poco y escribirlo 3.14 (1) Introc/uccion a las ciencias ciologicas 0 ;nc/;spensable que 3.16 (3) Pedagogia distintas general. Estudio de los procesos educativos dentro formaciones socioeconomicas. de <l>jetivos de Ia educacion en Colombia,el sistema educativo. Problemas de la ensefianza segiin las edades. 3.17 (4) DiclOctica general. Se estudia el proceso de Ia ensefianza, los as- pectos cientificos de la ensefianza, el trabajo del alumno y el trabajo del maes- tro, etc. 4. Plan d•• studios para el cicio B. (En matematicas). Algo por el estilo deberia hacersepara fistca. :4.1 (5) Fundamentos inferior, sucesiones de Analisis I. Los numeros reales, extremo superior e de Cauchy. Espacios metricos y funciones continuas en espa- cios metricos. 4.2 (5) FunJamentos de Algebra Moderna I. Las estructuras fundamentales (grupo, anillo, campo). Los niimeros enteros, polinomios. Congruencias de niimeros y polinomios. 4.3 (5) Principios de probobilidad. (Ver, por ejemplovGiedenko y Khinchin, a an elementary introduction to the theory of probability). No se debe hacer un en- foque conjuntista. 4.4 (6) Fundamentos de Analisis II. Los conceptos de derivada e integral de funciones de una variable, sucesiones 4.5 (6) Fundamentos ria de ecuaciones. \ . . y series de funciones. de algebra mcderna II. Es basicamente un curso de teo- Extensiones braicos. Solucion de ecuaciones cu adraticas y cubic as de campos, niimeros alge por radicales, 4.6 (6) FuncJamentos cJe 10 motematica, Es un curso en que se estudian los problemas de la axiomatizacion (independenc ia y completitud, categoricidadr.Aplicaciones a la axiomatice en geometria. Geometrias finitas, geometries sin el axioma de las paralelas, etc. I\xiomatica de la geometria euclideana. 145 5. Plan de estudios para el cicle C. (En maternaticas). 5.1 Quienes vayan a ser profesores de secundaria con especialidad en mate - rnaticas deberian estudiar en el ultimo afio (cuarto) : a. Maternaticas elementales y los problemas especiales que se presentan para ensefiarlas (ar itrnetica, geometria, calculo, etc.). Esto encajari a dentro de la de- nominacion corniin didoctica fianz a de la rnatematica especial de la matemat ico (0 rnetodologia como dirian otros. Con el terrnino didactica de la ens e- especial se quiere indicar algo mas concreto). b. Practice docente. No se como se pod rIa orj?;anizar esta experiencia va. Pero creo que se debe obligar a que cada estudiante completo de sus experiencias iianza de la fis ica en bach illerato 0 que se incluya problemas sobre la ense- didactica de la iisica ? Reciproca especial mente, para quienes van a ser docentes en secundaria 5.2 Quienes vayan a ser profesores universitarios con especialidad y/o investigadores - en flsica? con es- en matematicas (matematicos ) deben : a. (7.8). Tomar una tadas" presente un informe muy en algun colegio de secundaria. Pregunta : i Es posible y conveniente pecialidad educati- secuencra por un grupo colectivo rnaticas (colectivo de dos curs os obl igatorics en areas "represen- de especialistas de anal isi s, colectivo dentro del Departamento decornputacion, de Mate- colectivo de estadist i- ca y probabil idad). b. (7.8) Tomar dos cursos colect ivos segdn la conveniencia tes y disponibilidad de los estudian - del Departamento. c. (8.9). Seminarios I y II dentro de urn tema especializado. d. (9.10) T es is de grado. cion de caracter exploratorio La tesis de grado debe ser un tratado de in vestiga present ado en forma de monografia. Noto 7, Se proponen los siguientes 146 titulos : a. Profesor de secuhdaria con especialidad en matematicas'{o fisica) para quien complete el plan de cuatro afios en matematicas (0 fistca). b. Matematico (0 fislco) para quien complete el plan de cinco afios (con te sis). Noto 2. No se debe tomar al pie de la letra la duracion de los programas. posible que sea mas 0 Es que sea menos. Ut analiais mas detallado podria dar indica- ciones precisas sobre el tiempo que debe durar el proceso educativo en cada caso. Lo fundamental es pensar si se ha indicado 0 no el minimo que un estudiante debeaprender lpara los fines que se persrguen. 147