PROBLEMAS RESUELTOS SELECTIVIDAD ANDALUCÍA 2001 MATEMÁTICAS II TEMA 5: INTEGRALES Junio, Ejercicio 2, Opción A Junio, Ejercicio 2, Opción B Reserva 1, Ejercicio 1, Opción A Reserva 1, Ejercicio 1, Opción B Reserva 2, Ejercicio 1, Opción B Reserva 2, Ejercicio 2, Opción A Reserva 3, Ejercicio 1, Opción B Reserva 4, Ejercicio 1, Opción A Reserva 4, Ejercicio 1, Opción B Septiembre, Ejercicio 1, Opción B Septiembre, Ejercicio 2, Opción A www.emestrada.net Siendo ln x el logaritmo neperiano de x, considera la función f : (0, ) f ( x ) x ln x . Calcula: a) definida por f ( x ) dx . b) Una primitiva de f cuya gráfica pase por el punto (1, 0) . MATEMÁTICAS II. 2001. JUNIO. EJERCICIO 2. OPCIÓN A. R E S O L U C I Ó N a) Vamos a calcular la integral I x lnx dx , que es una integral por partes. 1 dx x x2 dv x dx ; v 2 u ln x ; du I x ln x dx x2 x2 1 x2 1 ln x dx ln x x 2 C 2 2 x 2 4 b) Calculamos una primitiva que pase por el punto (1,0). 0 12 1 1 ln1 1 2 C C 2 4 4 Luego, la primitiva que nos piden es: I x2 1 1 ln x x 2 2 4 4 www.emestrada.net Halla el área del recinto rayado que aparece en la figura adjunta sabiendo que la parte curva 2x 2 tiene como ecuación y 1 x MATEMÁTICAS II. 2001. JUNIO. EJERCICIO 2. OPCIÓN B. R E S O L U C I Ó N A1 A2 2 A3 3 0 1 0 2 2x 2 dx 1 x 4 0 2 dx 2 x 4 ln(1 x) 1 4 ln 2 2 1 1 x 0 2 x2 ( x 2) dx 2 x 2 2 0 3 x2 1 0 ( x 2) dx 2 x 2 2 2 El área pedida es: A A1 A 2 A3 4 ln 2 2 2 1 1 4 ln 2 2 2 www.emestrada.net Se quiere dividir la región plana encerrada entre la parábola y x 2 y la recta y 1 en dos regiones de igual área mediante una recta y a . Hallar el valor de a. MATEMÁTICAS II. 2001. RESERVA 1. EJERCICIO 1. OPCIÓN A. R E S O L U C I Ó N Calculamos el área encerrada por la parábola y x 2 y la recta y 1 . 1 x3 1 4 Área 2 (1 x ) dx 2 x 2 1 u 2 0 3 0 3 3 1 2 Calculamos los puntos de corte de la parábola y x 2 y la recta y a . x2 a x a a 2 x3 a a 4 2 (a x 2 ) dx 2 ax 2 a a a aa 0 3 3 0 3 3 a 3 1 4 www.emestrada.net si x 1 5 x 10 la función definida por: f ( x ) 2 x 2 x 2 si x 1 a) Esboza la gráfica de f. b) Calcula el área de la región limitada por la gráfica de f, el eje de abscisas y la recta x 3 . MATEMÁTICAS II. 2001. RESERVA 1. EJERCICIO 1. OPCIÓN B. Sea f : R E S O L U C I Ó N a) b) 1 3 5x 2 x3 5 28 71 2 Área (5 x 10) dx ( x 2 x 2) dx 10 x x 2 2 x u 2 1 6 2 2 3 1 2 3 1 3 2 www.emestrada.net a( x 1) si 1 x 1 definida por: f ( x ) si x 1 x ln x a) Determina el valor de a sabiendo que f es derivable. Considera la función f : ( 1, ) b) Calcula 2 0 f ( x ) dx MATEMÁTICAS II. 2001. RESERVA 2. EJERCICIO 1 OPCIÓN B. R E S O L U C I Ó N a) Para que sea derivable primero tiene que ser continua, luego: lim a ( x 1) 0 lim lim 0 Continua lim x ln x 0 x 1 x 1 x 1 x 1 a si 1 x 1 Calculamos la función derivada: f '( x) x 1 ln x 1 si f '(1 ) a a 1 f '(1 ) 1 b) 2 0 2 x 2 ln x x 2 1 1 5 x f ( x) dx ( x 1) dx x ln x dx x 1 2ln 2 1 2ln 2 0 1 4 1 2 4 4 2 0 2 1 2 1 www.emestrada.net Sea f : la función dada por : f ( x ) x 2 1 a) Esboza la gráfica de f. b) Estudia la derivabilidad de f. c) Calcula 2 0 f ( x ) dx MATEMÁTICAS II. 2001. RESERVA 2. EJERCICIO 2. OPCIÓN A. R E S O L U C I Ó N a) x 2 1 si x 1 b) Abrimos la función: f ( x) x 2 1 si 1 x 1 , la función es continua en x 2 1 si x 1 . 2 x si x 1 Calculamos la función derivada: f '( x) 2 x si 1 x 1 2 x si x 1 f '(1 ) 2 f '(1 ) f '(1 ) ; f '(1 ) 2 f '(1 ) 2 f '(1 ) f '(1 ) f '(1 ) 2 1,1 . Luego, la función es derivable en c) 1 2 0 2 x3 x3 1 8 1 f ( x) dx ( x 1) dx ( x 1) dx x x 1 2 1 2 0 1 3 3 3 3 0 3 1 1 2 2 2 www.emestrada.net Sea f : la función definida por: f ( x ) 2 x 3 9 x 2 12 x . a) Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f. b) Determina los extremos relativos y de f con y calcula f ( x ) dx MATEMÁTICAS II. 2001. RESERVA 3. EJERCICIO 1. OPCIÓN B. R E S O L U C I Ó N a) Calculamos la derivada y la igualamos a cero. f '( x) 6 x 2 18 x 12 0 x 2 ; x 1 , 2 2, 1 1, Signo y ' ― + ― Función D C D Máximo en ( 1, 5) ; mínimo en ( 2, 4) b) 1 2 x 4 9 x 3 12 x 2 1 9 2 ( 2 x 9 x 12 x) dx 4 3 2 2 3 6 8 24 24 2 2 1 3 2 www.emestrada.net 1 si x 0 Sea f : la función definida por: f ( x ) 1 x 1 mx x 2 si x 0 a) Determina m sabiendo que f es derivable. b) Calcula 1 1 f ( x ) dx MATEMÁTICAS II. 2001. RESERVA 4. EJERCICIO 1 OPCIÓN A. R E S O L U C I Ó N a) Para que sea derivable primero tiene que ser continua, luego: 1 1 x 0 1 x lim 1 Continua xlim 0 x 0 2 lim 1 mx x 1 x 0 lim 1 si x 0 Calculamos la función derivada: f '( x) (1 x) 2 m 2 x si x 0 m 1 f '( 0 ) m f '( 0 ) 1 b) 1 1 1 x2 x3 1 1 7 0 2 1 f ( x) dx 1 1 x dx 0 (1 x x ) dx ln(1 x) 1 x 2 3 ln 2 1 2 3 ln 2 6 0 1 0 www.emestrada.net Considera la función f : 0, 4 4x si 0 x 1 16 definida por: f ( x ) si 1 x 3 2 ( x 1) 4 x si 3 x 4 a) Esboza la gráfica de f. b) Halla el área del recinto limitado por la gráfica de f y el eje de abscisas. MATEMÁTICAS II. 2001. RESERVA 4. EJERCICIO 1. OPCIÓN B. R E S O L U C I Ó N a) b) 3 4 4 16 16 x2 1 13 2 2 1 Área 4 x dx dx (4 x ) dx 2 x 4 x 2 4 u 3 0 ( x 1) 0 1 ( x 1) 2 23 2 2 1 1 3 www.emestrada.net Calcula el área encerrada entre la curva y x 3 4 x y el eje de abscisas. MATEMÁTICAS II. 2001. SEPTIEMBRE. EJERCICIO 1. OPCIÓN B. R E S O L U C I Ó N Vamos a calcular los puntos de corte de la función y x 3 4 x y el eje de abscisas y 0 x3 4 x 0 x 0 ; x 2 ; x 2 Por lo tanto, el área pedida será: A 0 2 x 3 4 x dx 0 2 0 2 x4 x4 2 2 x 4 x dx 2 x 4 4 2 x 2 0 3 4 8 4 8 8 u 2 www.emestrada.net 1 cos x , los ejes de coordenadas y la recta x . 2 b) Calcula el área del recinto descrito en el apartado anterior. MATEMÁTICAS II. 2001. SEPTIEMBRE. EJERCICIO 2. OPCIÓN A. a) Dibuja el recinto limitado por la curva y R E S O L U C I Ó N a) 1 cos x y el eje de abscisas y 0 2 1 1 2 cos x 0 cos x x 2 2 3 b) Vamos a calcular los puntos de corte de la función y Por lo tanto, el área pedida será: A 2 3 0 2 1 1 x 3 x cos x dx 2 cos x dx sen x sen x 2 2 2 2 0 2 3 3 2 3 2 3 2 0 3 u 2 2 6 2 6 6 www.emestrada.net