Trinomio Cuadrado Perfecto

TRINOMIO CUADRADO PERFECTO
Un Trinomio Cuadrado Perfecto, por brevedad, es
un polinomio de tres términos que resulta de elevar al cuadrado un binomio.
Todo trinomio de la forma:
es un trinomio cuadrado perfecto ya que
Siendo la regla: Cualquier suma de binomios al cuadrado es igual al cuadrado
del primer término, más el doble del primer por el segundo término, más el
cuadrado del segundo término. De lo anterior resulta que un trinomio será
cuadrado perfecto siempre que se cumplan las siguientes condiciones:
1. El polinomio pueda ser ordenado en potencias descendentes de una
variable.
2. Dos de los términos son cuadrados perfectos.
3. El otro término es el doble producto de las raíces cuadradas de los
demás.
4. El primer y tercer término deben de tener el mismo signo
Un trinomio cuadrático general de la forma
es un TCP si se
cumple que el discriminante es cero, es decir, que la cantidad
es
siempre igual a .
Para convertir un binomio en un Trinomio Cuadrado Perfecto (TCP), es
necesario aplicar la siguiente fórmula, la primera cantidad elevada al
cuadrado más 2 veces la primera cantidad por la segunda más la segunda
cantidad elevada al cuadrado.
A^2+2AB+B^2=(A+B)^2
Ejemplo:
Aplicamos la fórmula:
Para revertir el TCP a la suma de binomios al cuadrado original,
es necesario hallar la raíz cuadrada de los dos primeros
términos:
Así queda demostrada la fórmula
Se identifica por tener tres términos, de los cuales dos tienen raíces
cuadradas exactas, y el restante equivale al doble producto de las raíces del
primero por el segundo. Para solucionar un Trinomio Cuadrado Perfecto
debemos reordenar los términos dejando de primero y de tercero los
términos que tengan raíz cuadrada, luego extraemos la raíz cuadrada del
primer y tercer término y los escribimos en un paréntesis, separándolos por
el signo que acompaña al segundo término, al cerrar el paréntesis elevamos
todo el binomio al cuadrado.
En un trinomio cuadrado perfecto.
Regla para conocer si un trinomio es cuadrado perfecto.
1) Un trinomio ordenado con relación a una letra
Es cuadrado perfecto cuando el primer y tercer término son cuadrados
2)
perfectos
3) El segundo término es el doble producto de sus raíces cuadradas.
Procedimiento para factorizar
1) Se extrae la raíz cuadrada del primer y tercer término; en el ejemplo a y b.
Se forma un producto de dos factores binomios con la suma de estas
2)
raíces; entonces (a + b)(a + b).
3) Este producto es la expresión factorizada (a + b)2.
Si el ejercicio fuera así:
a2 - 2ab + b2 = (a - b) 2
a
b
Procedimiento para factorizar
1) Se extrae la raíz cuadrada del primer y tercer término; en el ejemplo a y b.
Se forma un producto de dos factores binomios con la diferencia de estas
2)
raíces; entonces
(a - b)(a - b).
3) Este producto es la expresión factorizada (a - b)2.
En álgebra, la factorización es expresar un objeto o número (por ejemplo, un
número compuesto, una matriz o un polinomio) como producto de otros
objetos más pequeños (factores), (en el caso de números debemos utilizar
los números primos) que, al multiplicarlos todos, resulta el objeto original.
Por ejemplo, el número 15 se factoriza en números primos 3 × 5; y a²-b² se
factoriza como binomio conjugados (a - b)(a + b).
La factorización de enteros en números primos se describe en el teorema
fundamental de la aritmética y la factorización de polinomios (en ciertos
contextos) en el teorema fundamental del álgebra.
Factorización del trinomio cuadrado perfecto.
Objetivos:


Definir el concepto de trinomio cuadrado perfecto.
Explicar la factorización del trinomio cuadrado perfecto.
El trinomio cuadrado perfecto es un caso especial de trinomio que se puede
escribir como el cuadrado de un binomio empleando las siguientes
ecuaciones.
Trinomio
Cuadrado del
cuadrado
binomio
perfecto correspondiente
x2+2xy+y2
= (x+y)2
x2-2xy+y2
= (x-y)2
Ejemplo:
(x+3)2=(x+3)(x+3)=x2+6x+9
Donde (x+3)2 es el cuadrado del binomio y x2+6x+9 es el trinomio cuadrado
perfecto. Trinomio porque tiene tres términos y es cuadrado perfecto porque
el primer término (x2), y el tercero (9), aceptan raíz cuadrada.
Para factorizar el trinomio cuadrado perfecto se aplica la siguiente regla:
a) Se escribe un paréntesis.
b) Se obtiene la raíz cuadrada del primer término.
c) Se obtiene la raíz cuadrada del tercer término y se escribe en el paréntesis.
d) El signo del binomio se toma del signo que tenga el segundo término del
trinomio.
e) El binomio se eleva al cuadrado.
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