1 Derivadas Parciales (Parte 1) FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES Hasta ahora nos hemos preocupado del Cálculo Diferencial e Integral de funciones de una variable, sin embargo, en el mundo real las cantidades físicas dependen de dos o más variables, por ejemplo : el volumen de un cilindro recto circular depende del radio y de la altura , la presión ejercida por un gas ideal encerrado es una función de su temperatura y de su volumen , la temperatura de un punto ( ) de un objeto en el espacio puede depender del tiempo y además de las tres coordenadas rectangulares , de , un fabricante puede saber que el costo de producir cierto artículo depende del material, la mano de obra, el equipo, el costo de mantenimiento y los gastos materiales (¡cinco variable!) etc. Como usualmente se trabajará con funciones de dos o tres variables se presenta la Definición formal de una función de dos variables. DEFINICION 1.1 Sea . Una FUNCION DE DOS VARIABLES es una regla que asigna a cada par ordenado de números reales ( ) en un único número real denotado por . NOTACION : se tiene ahora : Manteniendo la notación utilizada para funciones de una variable En lo que resta de esta unidad se considera una región o dominio (ver Apéndice OBSERVACION 1.1 En este caso Dominio de sea necesario precisarlo se utiliza el concepto. mientras que el RANGO de ) , o bien, en el caso que está dado por el conjunto de imágenes, esto es : Además las variables e corresponden a las variables independientes mientras que corresponde a la variable dependiente. 2 DEFINICION 1.2 Si es una función dada por entonces la GRAFICA de que se denota por conjunto es el Tal como en el caso de una función de una variable en que su gráfica está dada por una curva de ecuación contenida en el plano , así la gráfica de una función de dos variables está dada por una superficie con ecuación contenida en el espacio Existe otro método gráfico de gran utilidad para describir una función consiste trazar en el plano las gráficas de las ecuaciones ,éste , para varios 3 valores de la constante . Las gráficas así obtenidas se llaman CURVAS DE NIVEL DE y un conjunto de tales curvas se llama MAPA de CONTORNO de OBSERVACION Las curvas de nivel se usan frecuentemente en la elaboración de mapas orográficos o planos de configuración, mapas hidrográficos, mapas meteorológicos o climáticos donde las curvas de nivel corresponden a las isotermas (temperatura constante) o bien isobaras (presión atmosférica constante) 4 FUNCIONES DE TRES O MAS VARIABLES Las definiciones de funciones de tres o más variables son simplemente generalizaciones de la Definición 1.1 . Por ejemplo es una función de tres variables si es una regla de correspondencia que asigna a cada trío ordenado ( ) en un único número real dado por EJEMPLO El volumen de una caja rectangular está dado por la función por la función está dado OBSERVACION i) Como en este caso, la gráfica de una función está dado por es decir, está contenida en de modo que no es posible representarla graficamente. ii) La idea equivalente a las curvas de nivel está dada por las superficies de nivel , definidas por , donde : constante. Si mide la temperatura de un cuerpo contenido en entonces las superficies de nivel se llaman superficies isotermas y si representa el potencial eléctrico entonces se llaman superficies equipotenciales. LIMITES Y CONTINUIDAD 2 Consideremos la función definida en un entorno reducido de ( , ), es decir, puede que ( ) no esté definida en ( , ). Interesa dar ahora el significado correspondiente a la expresión. lim ( ) ( ) ( , ) El análisis para el concepto de límite de funciones de una variable encuentra algunas dificultades, por ejemplo ya no es posible recurrir a la gráfica de la superficie 5 , puesto que éstas son más difíciles de obtener; por otra parte la idea intuitiva de que ( ) "tiende" a un punto ( , ) tampoco tiene la simpleza de las funciones de una variable en las cuales las alternativas de acercamiento eran solamente dos : por la izquierda y por la derecha, mientras que ahora existen infinitas maneras de acercarse al punto ( , ). Entonces para que lim , exista, se requiere que tienda al mismo número por toda trayectoria posible que pase por ( DEFINICION 2.2 Sea ( , lim , ) 2 : ). tal que está definida en un entorno de Se dice que es CONTINUA en ( , ) ssi . OBSERVACION Analogamente a lo que ocurre en funciones de una variable, La Definición significa que : i) está definida en ii) Existe lim ) iii) El límite anterior es igual a esto es lim DERIVADAS PARCIALES Supongamos que es una función de 2 variables e . Si se mantiene constante, digamos entonces es una función que depende solamente de . Su derivada en se llama derivada parcial de con respecto a en También se puede mantener fijo y obtener la derivada parcial de con respecto a en La formalización de esta idea está dada por : DEFINICION 3.1 2 Sea : y sea ( , llama DERIVADA PARCIAL de ( , ) al límite. ) un punto interior de se con respecto a en el punto lim cuando existe Se llama DERIVADA PARCIAL de punto ( , ) al límite. lim con respecto a en el 6 cuando existe La derivada parcial de NOTACION denota por o ( ) con respecto a en ( , ) se lo mismo para Análogamente la derivada parcial de denota por : con respecto a o , lo mismo para DERIVADA PARCIAL de en , se con respecto a lim DERIVADA PARCIAL de con respecto a lim En este caso es más claro que la derivación parcial de con respecto a corresponde a la razón a la cual cambia ( ) cuando varía , mientras que se mantiene constante. Análogamente se interpreta la derivada parcial de con respecto a . Por lo tanto la técnica de derivación parcial consiste en : 1. Para encontrar . , considérese a como constante y derívese ( ) con respecto a 2. Para encontrar . , considérese a como constante y derívese ( ) con respecto a EJEMPLO Considerando Si , hallar y como constante se obtiene, por derivación respecto a : 7 Considerando EJEMPLO como constante se obtiene , por derivación respecto a Si : hallar entonces Por otra parte : entonces ( ) ( ) Por lo tanto : INTERPRETACION GEOMETRICA Supongamos que se conserva fija en el valor , entonces las ecuaciones corresponden a la curva 1 de intersección entre el plano y la superficie (Ver Figura 3.1 (a) ). En este caso ( , ) puede interpretarse como la pendiente de la tangente a la curva 1 en el punto , 8 Similarmente , 2: ( , ) representa la pendiente de la tangente a la curva de intersección en el punto EJEMPLO Una lámina de metal plana se encuentra en el plano y la temperatura en ( ) está dada por ( ) , donde se mide en grados y e en centímetros. Calcule la tasa de cambio o variación de con respecto a la distancia en el punto(1,2) en la dirección a) del eje ; b) del eje . Aquí la tasa de cambio con respecto a la distancia corresponde a la derivada parcial de modo que : a) ( ) (1,2) b) ( ) (1,2) (grados por cms.) 0 (grados por cms.) DERIVADAS PARCIALES DE ORDEN SUPERIOR Si es una función de dos variables y si tiene derivadas parciales en cada punto ( ) de una región entonces y , son a su vez funciones de e que pueden tener también derivadas parciales. En este caso resultan cuatro segundas derivadas parciales de . EJEMPLO Encontrar las cuatro segundas derivadas parciales de ( ) ( ( ) ( ) ) ( ) ) 9 ( ) ( ) ( ) ( ) Notar que las derivadas parciales , llamadas DERIVADAS PARCIALES MIXTAS son iguales, situación que ocurrirá para el tipo de funciones que utilizaremos con mayor frecuencia . La formalización de esta situación está dada por el siguiente teorema. TEOREMA (DE CLAIRAUT) Si , , , y son continuas en un conjunto abierto entonces : ( , ) ( , ) para todo ( , ) TEOREMA Si DEFINICION admite primeras derivadas parciales en un entorno de p y si estas derivadas parciales son continuas en p entonces es diferenciable en p. Sea una función de dos variables que admite primeras derivadas parciales . Entonces i) Las DIFERENCIALES de las variables independientes están dadas por ii) La DIFERENCIAL (o DIFERENCIAL TOTAL) de la variable dependiente está dada por Como las derivadas parciales y son continuas en un entorno del punto (6,3) entonces la aproximación obtenida es aceptable. REGLA DE LA CADENA Recordemos que si y son funciones de una variable tales que 10 y entonces la función compuesta entre y la derivada y está dada por se puede precisar aplicando la Regla de la Cadena, esto es : Interesa ahora generalizar esta idea a funciones de varias variables Para el caso de funciones de 2 variables, la situación más simple está dada por : siendo e funciones de la variable , entonces problema de determinar TEOREMA (Regla de la Cadena A) Sean e diferenciales en . Entonces diferenciable en y y tiene sentido el funciones es