1. Energ´ıa Potencial Eléctrica [1]

UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA
Departamento de Fı́sica
Fundamentos de Electricidad y Magnetismo
Taller No 05: Energı́a potencial y Potencial eléctrico I
Docente Aux.: Juan Gabriel Martı́nez
1.
Energı́a Potencial Eléctrica [1]
Anteriormente se enunció que el trabajo W realizado por
~ que actúa sobre una partı́cula que se desplaza
una fuerza F
desde un punto a al punto b estaba dado por
W =
Z
b
~ · d~l
F
+ q0
b
d
~
E
Figura 1: Partı́cula cargada positivamente moviéndose en
un campo eléctrico constante.
Como el desplazamiento se realiza a lo largo del eje y, la
carga de prueba se mueve desde la altura ya hasta la altura
yb , utilizando la ecuación (1) se tiene que:
W = −∆U = −(Ub −Ua ) = −(q0 Eyb −q0 Eya ) = q0 E(ya −yb )
a
donde d~l es un desplazamiento a lo largo de la trayectoria
de la partı́cula.
~ es conservativa, el trabajo reaAhora, si la fuerza F
~
lizado por F se puede expresar en términos de una energı́a
potencial U . Si el cuerpo se desplaza de un punto donde
la energı́a potencial es Ua a otro punto donde la energı́a
~ es
potencial es Ub , el trabajo W realizado por la fuerza F
W = Ua − Ub = −∆U
a
donde U = q0 Ey es la energı́a potencial correspondiente
a la fuerza eléctrica Fy = −q0 E.
La energı́a potencial aumenta si la carga de prueba q0 se desplaza en la dirección opuesta a la fuerza
~ la energı́a potencial disminuye si q0 se
eléctrica F;
~ ya sea q0 positiva o
desplaza en la misma dirección de F,
negativa.
(1)
donde ∆U es el cambio de energı́a potencial. Cuando W > 1.2. Energı́a potencial eléctrica de dos
cargas puntuales
0, Ua > Ub y ∆U < 0, la energı́a potencial disminuye. Si el
trabajo realizado sobre la partı́cula es producto de fuerzas
Si se tienen dos partı́culas cargadas como en la Figura 2,
conservativas, entonces, el trabajo neto es
la fuerza que ejerce la partı́cula q sobre la partı́cula q0
W = Kf − Ki = Ua − Ub = −∆U
(2) está dada por la Ley de Coulomb. Como la fuerza no es
constante durante el desplazamiento es necesario integrar
donde Kf y Ki son la energı́a cinética final e inicial de la para calcular el trabajo W
partı́cula respectivamente.
Z rb
Z rb
1
1
qq0
~ · d~r =
−
Fr dr =
F
W =
4πε0 ra
rb
ra
ra
1.1. Energı́a potencial eléctrica en un
campo uniforme
En la Figura 1. se muestra un par de placas paralelas que
producen un campo eléctrico constante dirigido hacia abajo. Si se coloca una carga positiva q0 , en medio de la placas,
el campo ejerce una fuerza de magnitud F = q0 E dirigida
hacia abajo sobre la partı́cula a medida que ésta se mueve
del punto a al punto b una distancia d. En este caso, el
trabajo realizado por el campo eléctrico está dado por:
W = F d = q0 Ed
Este trabajo W es positivo porque la fuerza tiene la misma
dirección que el desplazamiento de la carga.
Del anterior resultado, se observa que la energı́a potencial eléctrica de un par de partı́culas cargadas cuando la
partı́cula q0 está a una distancia r de la carga q, está dada
por:
1 qq0
(3)
U=
4πε r
Si se tiene una carga q0 que se encuentra fuera a una distancia r del centro de una distribución de carga esféricamente simétrica, por la ley de Gauss, el campo eléctrico
debido a esta distribución es la misma si se considerara que
toda la carga está concentrada en el centro, por tanto, la
ecuación (3) sigue siendo válida.
2.
b
rb
q0
2.1.
a
r
Figura 2: Carga q0 moviendose desde el punto a al punto
b
1.3.
Energı́a
potencial
eléctrica
muchas cargas puntuales
de
2.2.
Suponiendo que el campo eléctrico en el que se mueve
una carga q0 es debida a muchas cargas puntuales
q1 , q2 , ...qi que se encuentran a distancias r1 , r2 , ...ri
de q0 respectivamente. El campo eléctrico total es la
suma vectorial de cada uno de los campos generados
por lar cargas qi y el trabajo total que se realiza
sobre q0 durante cualquier desplazamiento es la suma
algebraica de las contribuciones de las cargas individuales.
q2
q0 X qi
q1
+
+ ··· =
r1
r2
4πε0 i ri
!
2. Tres cargas están ubicadas en las esquinas de un
cuadrado como se indica en la Figura 3. ¿Cuánto trabajo les toma hacer para traer otra carga +q desde
muy lejos y colocarla en la cuarta esquina? ¿Cuánto
trabajo se requiere para ensamblar la configuración
total de las cuatro cargas?
3. Suponga que en el cuadrado de la Figura 3 se colocan
cuatro cargas Q idénticas en cada una de las esquinas.
Muestre que la cantidad necesaria de trabajo para
agrupar las cargas es 5.41ke Q2 /a.
(4)
Cuando la carga se desplaza del punto a al punto b el
trabajo que el campo realiza sobre ésta es W = Ua − Ub .
-q
En la ecuación (4) no se tuvo en cuenta la energı́a
potencial que se requiere para juntar las cargas q1 , q2 , ....
Si inicialmente, éstas cargas estaban separadas unas de
otras por distancias infinitas y luego se traen juntas de
modo que la distancia entre qi y qj sea rij , la energı́a
potencial total U es la suma de las energı́as potenciales de
interacción de cada par de cargas. Esto se puede escribir
como
U=
1 X qi qj
4πε0 i<j rij
Ejercicios para entregar
1. Una carga puntual q1 = +2,40µC se mantiene
inmóvil en el origen. Una segunda carga puntual
q2 = −4,30µC se traslada del punto x = 0,150 m,
y = 0 al punto x = 0,250 m, y = 0,250 m ¿Cuánto
trabajo realiza la fuerza eléctrica sobre q2 ?
La energı́a potencial en cualquier punto está dada
por:
q0
U=
4πε0
Preguntas
1. La energı́a potencial es definida en relación con cierto
punto de referencia donde U = 0. En la ecuación (3),
U representa el trabajo que el campo de q realizarı́a
sobre la carga de prueba q0 si q0 se desplaza desde una
distancia inicial r al infinito. En esta situación ¿Cómo
es el trabajo (positivo o negativo) que realiza el campo
de q sobre q0 cuando las cargas son a) de igual signo?
b) de signos diferentes? ¿Cómo es la energı́a potencial
en ambos casos? Explique su respuesta.
ra
q
Ejercicios
+q
a
-q
Figura 3: Tres cargas puntuales ubicadas en los vértices
de un cuadrado de lado a
(5)
4. Tres cargas puntuales, que inicialmente están infinitamente lejos unas de otras, se colocan en los vértices de
un triángulo equilátero de lados d. Dos de las cargas
puntuales son idénticas y su carga es q. Si el trabajo
neto que se requiere para colocar las tres cargas en
los vértices del triángulo es cero, ¿cuál es el valor de
la tercera carga?
La anterior suma se extiende a todos los pares de cargas;
no se hace i = j por que serı́a una interacción de una carga
con sigo misma y se tiene en la suma i < j para asegurar
que se sume la interacción de un par de cargas una sola
vez.
2
5. Un electrón se libera desde el reposo a 3.00 cm desde
el centro de una esfera aislante uniformemente cargada de radio 2.00 cm y carga total 1.00 nC. ¿Cuál es la
rapidez del electrón cuando éste llega a la superficie
de la esfera?
2.3.
Para ir trabajando en casa
Se recomienda ir estudiando el concepto de potencial
eléctrico y cómo calcular el potencial eléctrico debido a
diferentes distribuciones de carga.
Referencias
[1] Sears - Zemansky - Young - Freedman Fı́sica Universitaria. Tomo II. Pearson Education. 2004
[2] R. Serway. Fı́sica. Tomo I. McGraw-Hill. México D.F.
1997
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