guia_de_ejercicios

E
C
O
N
O
M
E
T
R
Í
A
Guía de
trabajos
prácticos
Universidad de Buenos Aires
Facultad de Ciencias Económicas
Cátedra: Econometría
Profesor titular
Dr. Heriberto Urbisaia
Profesora Asociada
Dra. Juana Z. Brufman
Profesor Adjunto
Ing. Julio Fabris
Jefe de Trabajos Prácticos
Lic. Iván Canay
Esta guía de ejercicios ha sido elaborada tomando como base las valiosas
recopilaciones e invenciones de: Iván Canay, Nicolás Depetris Chauvin.,
Facundo González Alvaredo y Débora Lewi.
2003
Nota referente a la segunda edición.
Como respuesta a la frecuente demanda de los alumnos que cursaron
la materia en los últimos años la cátedra decidió revisar la anterior edición
de la guía. Se ha modificado su estructura, respetando los lineamientos
básicos de la original, a la vez que se han corregido y añadido ejercicios.
Entre las innovaciones, el estudiante podrá encontrar respuestas al
final de la correspondiente práctica. Asimismo, se han calificado los
ejercicios con el propósito de incentivar la resolución de los más relevantes
diferenciándolos de aquellos que implican una mayor profundización en el
tema de estudio.
El criterio utilizado ha sido el siguiente:
• Ejercicio sin asteriscos = indispensable.
• Ejercicio con dos asteriscos (**) = relevante.
• Ejercicio con tres asteriscos (***) = interesante, no indispensable.
Los invitamos a visitar la página web del curso en la que podrán encontrar
material de gran utilidad:
http://www.econ.uba.ar/www/departamentos/matematica/plan97/econometria/urbisaia/index.htm
Clickear curso 4. Allí también encontrarán la presente guía en formato
digital.
Ante cualquier comentario o consulta sobre las diferentes prácticas
podrán contactarnos a las siguientes direcciones:
Ayudante
Alejandro Francetich
Damián Pierri
Damián Sainz de Aja
Diego Ubfal
Emilio Depetris Chauvin
Hernán Finkelstein
Leandro Gorno
María José Tosi
Paula Ricchio
Dirección de correo electrónico
afrancetich@yahoo.com.ar
nicolas_pierri@hotmail.com
sainzdeaja@infovia.com.ar
dubfal@yahoo.com.ar
emidepetris@yahoo.com
hf@econ.uba.ar
leandro551@mail.ru
mjtosi@infovia.com.ar
Franch793@aol.com
Febrero del 2003.
Coordinador: Diego Ubfal.
Editores: Alejandro Francetich y Emilio Depetris Chauvin.
Bibliografía Consultada
•
Fernandez Sainz, Gonzalez Casimiro, Regulez Castillo, Moral Zuazo y Esteban
Gonzalez: “E
Ejercicios de Econometría”, Primera Edición, Schuam, 1995.
•
Gujarati, Damodar: “B
Basic Econometrics”, Tercera Edición, MacGRAW-HILL,
1995.
•
Johnston, J. y Dinardo, J. : “E
Econometrics Methods”, Cuarta Edición, MacGRAWHILL, 1984.
•
Judge, Griffiths, Hill, Lütkepohl y Lee: “T
The theory and practice of econometrics”,
Segunda edición, Wiley and Sons, 1985.
•
Kmenta, Jan: “E
Elementos de Econometría”, Segunda edición, Vincens-Vives,
1984.
•
Novales, Alfonso: “E
Econometría”, Segunda Edición, MacGRAW-HILL, 1994.
•
Stewart, M. B. y Wallis, K. F.: “IIntroducción a la econometría”, Segunda Edición,
Alianza Editorial, 1984.
•
Urbisaia, H. Y Brufman, J.: “E
Econometría: Problemas y ejercicios”, Primera
Edición, Ediciones Macchi, 1985.
Mínimos Cuadrados Clásicos
-1-
1) Sea el siguiente modelo Lineal que vincula a las variables X e Y:
Yt = b0 + b1 X t + ut
b1 > 0
Suponiendo vigente los supuestos de G-M y utilizando la siguiente información
Yt = 3,2,4,5,5,7,6,8,8,12
X t = 1,2,2,3,4,5,5,9,9,15
Se pide:
a)
b)
c)
d)
Estimar el modelo por MCC.
Estimar las varianzas y covarianzas de las estimaciones.
Estimar el coeficiente de determinación.
Al responder el ítem a) utilizar alternativamente las siguientes escalas de medición:
d1) unidades originales para todas las variables del modelo.
d2) unidades centradas para la variable explicativa únicamente.
d3) unidades centradas para todas las variables del modelo.
2) Sea el siguiente modelo lineal con dos variables explicativas:
Yt = b0 + b1 X 1t + b2 X 2t + ut
para el que se suponen vigentes los supuestos de G-M. Utilizando la información estadística
del ejercicio anterior y añadiendo:
X 2t = 8,14,10,9,7,6,8,4,3,1.
Se pide que vuelva a realizar los puntos a, b, c y d del ejercicio anterior teniendo en cuenta el
nuevo modelo y la nueva información.
3) Considerando el modelo de regresión lineal con k variables explicativas y un vector de
perturbaciones aleatorias, esto es, expresado en forma matricial:
y = Xb + u
u ≈ N(0,σ 2 I )
a) Describir los supuestos que hay detrás de este modelo de regresión lineal.
b) El problema central es obtener el vector b desconocido. Demuestre que la
estimación de los parámetros que están incluidos en b, representados por
ˆ = (X′X)−1 X′y
puede obtener como b
c) Explique las propiedades de los estimadores MCC.
d) Derive la matriz de varianzas y covarianzas de los estimadores MCC.
ˆ ≈ N(b,σ (X′X) )
e) Demuestre que b
f) Explique y desarrolle el teorema de Gauss-Markov.
2
−1
1
b̂ se
4) Suponiendo que en la regresión mínimo cuadrática clásica de Y sobre X el coeficiente
estimado de X es 1,2.
Determinar si son ciertas las siguientes afirmaciones:
a) Tomando distintas muestras para la variable Y pueden obtenerse otras
estimaciones.
b) La distribución de estas estimaciones debe estar centrada en torno al verdadero
valor 1,2.
5) Considerando las siguientes especificaciones para la parte sistemática de la función de
regresión:
a)
Yt = a(X1t )b1 ( X 2t )b 2
b)
Yt = e( a +bX t )
c)
Yt = a + b
d)
Yt = a + b1X t + b2 X t2
X = ab y
1
Xt
Se pide:
a) Introducir el término aleatorio en cada modelo.
b) Interpretar los coeficientes en los distintos casos.
c) Determinar si es necesario realizar alguna transformación para poder estimar por
MCC los parámetros del modelo.
6) Determinar si las siguientes afirmaciones son correctas y justificar:
b1 con varianza V 1 proporciona siempre mejores
estimaciones que el estimador sesgado b 2 con varianza V2 , donde V 1 > V2 .
a) El estimador insesgado
b) En el modelo de regresión lineal general la matriz de covarianzas estimada del
estimador MCC de b es la misma para cualquier muestra que se tome.
7) Demostrar que:
a)
∑Y = ∑ y
b)
∑ y = ∑ Yy
c)
∑ XY = ∑ xy + nXY
d)
∑ xy = ∑ Xy = ∑ xY
e)
n ∑ x 2 = n ∑ X 2 − (∑ X) 2
2
2
+ nY 2
2
2
f)
R 2 = (βˆ ′X′y − nY 2 )/(y ′y − nY 2 )
en donde las letras mayúsculas indican variables no centradas y las letras minúsculas variables
centradas.
8) En el modelo
Yt = b0 + b1 X t + ut , demostrar las siguientes igualdades:
2
a) bˆ1 = Sxy / S x
Siendo
S
2
∑x
x=
2
y
T
Sxy =
∑ xy
T
b)
R 2 = A /(1 + A), en donde se define A = bˆ 1Σxy /(T − 2)σˆ u2
c)
2
R 2 = bˆ1 ( S 2 x / S 2 y )
d)
∑ û = ∑ y
2
− bˆ1 ∑ xy
2
9) Demostrar las siguientes expresiones:
ˆ ′uˆ = y ′y − bˆ ′X′y
a) u
b)
uˆ ′uˆ = y ′y − yˆ ′yˆ
Yt = α + β X t + ut es el
inverso del estimador MCC del coeficiente δ en el modelo X t = γ + δ Yt + vt si y solo si el
10) **Probar que la estimación MCC del coeficiente
β
del modelo
coeficiente de determinación del primer modelo (y del segundo) es igual a 1.
11) Demuestre
que
la
ecuación
de
predicción
de
mínimos
cuadrados
Yˆ = bˆ0 + bˆ1 X 1 + ........... + bˆk X k pasa por los valores medios ( X 1 , X 2 ,.........., X k , Y ) de
las variables.
12) Para estimar el modelo
Yt = b0 + b1 X 1t + b2 X 2t + ut se dispuso de 10 observaciones, a
partir de las cuales se calcularon las matrices de momentos muestrales respecto a la
media:
−1,5 
 1
(X′X)-1 = 

 −1,5 2,5 
16 
(X′y) =  
9
obteniendo una suma residual de 5,2. Las medias muestrales fueron
Recuperar las estimaciones MCC de los coeficientes
varianzas y covarianzas.
.
3
Y = 4 , X 1 = 3, X 2 = 5 .
b0 , b1 , b2 , ***Así como su matriz de
13) Una empresa consultora de mercado realiza un relevamiento en 22 distritos electorales.
Luego estima la siguiente regresión:
V i = α + β Pi + u i
i = 1, 2,..., 22.
Donde Vi es porcentaje de votos obtenidos por el partido A en el distrito electoral i y Pi es la
población en edad de votar del distrito electoral i. Por una falla de impresión, solo algunos de
los resultados se conocen,
LS // Dependent Variable is V
Sample: 1 22
Included observations: 22
Variable
Coefficient
P
0.137
C
26.034
2
R
RSS
Varianza
residuos
Coeficiente de
correlación
entre V y P
Std. Error
0.028
-----(2)------
t-Statistic
------(1)----14.955
----(3)-----305.9600
-----(4)-----
Media var independiente
Varianza var dependiente
Varianza var independiente
54.478
31.954
925.91
-----(5)-----
Media var dependiente
------(6)-----
Complete los resultados que faltan (1) a (6).
14) En un estudio de los determinantes de la inversión se utilizaron 20 observaciones anuales.
Las variables utilizadas fueron:
Yt = α + βX t + δZt + u t
Donde:
Yt = Inversión (en billones de pesos) en el año t.
X t = tipo de interés (en porcentajes) en el año t.
Zt = Variación anual del PBI en el año t (en billones de pesos).
A partir de las muestra utilizada se obtuvieron los siguientes momentos muestrales:
∑X
t
= 100
∑ (X
∑Y
t
=5
∑ (Y − Y)
∑Z
t
= 24
∑ (Z − Z)
t
− X)2 = 9
2
t
t
2
∑ (X − X)(Y − Y) = −14
t
t
= 60
∑ (Z − Z)(Y − Y) = 7
=1
∑ (X − X)(Z − Z) = −1
t
t
t
t
a) Estimar la regresión de Y sobre X y Z.
b) ¿Qué porcentaje de la evolución temporal de la inversión puede explicarse por la
influencia lineal de los tipos de interés y las variaciones del producto?
c) ¿Puede decirse sin ninguna ambigüedad que tipos de interés elevados conducen a
un nivel de inversión bajo?
4
d) A tipos de interés del 10% y una variación anual de 2 billones de pesos en el PBI,
¿qué puede esperarse del nivel anual de la inversión?
**15) Sea el modelo de regresión:
Yt = α + βX t + u t
Pero el investigador estima el siguiente modelo:
*
Yt = α* + β* X t + u t
donde
X*t =
*
a+ Xt
, siendo a y b constantes conocidas.
b
a) Estime el segundo modelo utilizando MCC. ¿Cuál es la relación entre los
coeficientes de ambos modelos?
b) ¿En qué situaciones puede ser conveniente realizar este tipo de transformaciones?
16) **Un profesor de Econometría encarga a dos de sus estudiantes que elijan la mejor
estimación posible de un parámetro, dados los distintos estimadores propuestos en los
libros de Econometría. El estudiante A propone un estimador insesgado tal que:
bˆ* = 5, 0
*
Var( b̂ ) = 8,0
R
2*
=0,86
El estudiante B propone también un estimador insesgado con el que se obtuvo:
bˆ** = 6, 0
**
Var( b̂ ) = 4,0
R
2**
= 0,43
Como no llegan a un acuerdo sobre el estimador que deben proponer finalmente al profesor,
piden consejo a un compañero. Este, muy diplomático, les aconseja utilizar la media de las dos
estimaciones, es decir, bˆ
¿Por qué?
= 5, 5 . ¿Cuál de estas tres estimaciones hubiera elegido usted?
17) ***Obtener la formula del estimador lineal insesgado óptimo de b 0 , y de su varianza, en el
modelo de regresión:
Yt = b0 + b1X1t + b 2 X 2 t + u t
18) Estimar las pendientes de la ecuación:
Yt = b1 + b 2 X 2 t + b3 X 3t + u t
dados los siguientes momentos muestrales:
Y
X2
X3
Y
1
3
7
X2
3
20
30
X3
7
30
50
5
19) Dado el modelo estimado:
Ŷt = 5, 77 − 0, 47X1t
(0,038) (0,068)
donde Y es la demanda de saldos monetarios reales y X es la tasa de inflación.
S 2 Ŷ = 0, 255
R² = 0,9039
T = 100
a) Interpretar las estimaciones obtenidas.
b) Diga qué porcentaje de la varianza del regresando está explicada por la parte
aleatoria del modelo.
c) Comente la siguiente afirmación: “ Debido a que la dispersión de b̂1 es muy
pequeña, se puede afirmar que la variable X1t no es relevante para explicar el
modelo”. Justifique detalladamente.
d) Un ajuste alternativo agrega la variable X2t (tasa de interés mensual),
obteniéndose los siguientes resultados:
∑ uˆ
Ŷt = 4, 02 − 0, 62X1t − 0,74X 2t
(0,021) (0,007)
2
t
= 1, 08
(0,028)
Verifique la significatividad de la regresión estimada. Interprete.
e) ¿Cuál modelo seleccionaría? Justifique su respuesta.
20) Supongamos que para el siguiente modelo de regresión simple se cumplen los supuestos
de G-M:
Yt = b0 + b1X t + u t
a) Obtener el estimador lineal insesgado óptimo de b 0 y su varianza.
b) Considérese dos perturbaciones
u t y u s (t ≠ s) cualquiera de la regresión. Según
los supuestos de G-M, estas perturbaciones tienen la misma varianza y son
independientes entre sí. ¿Puede afirmarse lo mismo acerca de los residuos mínimo
cuadráticos uˆ t y uˆ s respectivos?
21) Se ha estimado el siguiente modelo de regresión simple, utilizando el criterio MCC:
V̂t = 1767,61 + 7,48Wt
R² = 0,80
Los estadísticos t para el contrate de los coeficientes resultan ser iguales a 1,4 para el término
constante y 18,5 para la pendiente. Dado que el valor del estadístico para el contraste de
significación nos lleva a no rechazar la hipótesis nula, se formula y estima el siguiente modelo:
V̂t = 11,71Wt
R² = 0,91
Como el mayor coeficiente de determinación corresponde a la segunda regresión, se opta por
elegir el segundo modelo. ¿Le parece adecuada esta decisión?
6
22) Se quiere estimar un modelo que explique el ahorro generado, S, en función del tipo de
interés, R, de la forma:
St = a + bR t + u t
a) Para estimar con mayor precisión b, si pudiera elegir la muestra en diferentes
períodos, ¿la elegiría durante un período de tiempo en el cual los tipos de interés
fueran fluctuantes o durante un período de tiempo en el cual los tipos de interés
fueran relativamente constantes?
b) ¿Qué ocurriría con los estimadores MCC de los coeficientes de la regresión si el
ahorro ha fluctuado muy poco en torno a un valor constante durante el período
muestral?
23) **Una de las contrastaciones relativas a la existencia de una relación entre X e Y se
efectúa construyendo el estadístico t, mediante
b̂ / Sb̂ . Mostrar que esto es, para el
modelo de regresión simple, exactamente igual a:
 R 2 (n-2)/(1-R 2 ) 
1/ 2
24) **A partir de la ecuación de regresión múltiple:
Yi = b 0 + b1X1i + .... + b k X ki + b k +1X k +1,i + ..... + b q X qi + u i
Demostrar que:
a)
SCE q ≥ SCE k
b)
R q2 ≥ R 2k
25) A partir de la información para un período de 20 años, se obtuvo la estimación:
σˆ u2 = 3
Ŷt = 5 + 8X t
(2)
donde la cifra entre paréntesis es el desvío estándar de la estimación. Calcular R².
26) Se desea estimar el comportamiento del costo total (Y). Para ello se realizó un estudio
sobre 89 empresas, determinándose los siguientes resultados:
∑X
t
= 258,1
∑ Y = 516, 2
t
∑ (X
t
− X) 2 = 50,5
∑ (Y − Y)
t
2
= 113, 6
7
∑ (X − X)(Y − Y) = 36,8
t
t
∑ (Z − Z)(Y − Y) = 39,1
t
t
∑ (Z − Z)
Z = 3,9
t
2
∑ (X − X)(Z − Z) = −66, 2
= 967,1
t
t
donde X representa la tasa de producción y Z la tasa de ausentismo:
a) Estimar el costo total en función de la tasa de ausentismo.
b) Supóngase que se realizó una estimación del costo total en función de las dos
variables explicativas la cual arrojó:
∑ uˆ
2
t
= 78,117856
b1) ¿Son significativas las variables en forma conjunta?
b2) ¿Es significativa la variable agregada?
b3) ¿Qué modelo seleccionaría?
27) ***Se han obtenido los siguientes resultados al estimar dos rectas de regresión:
Ŷt = 1,72 + 0,37X t
R² = 0,71
(0,03)
Ŷt = 2,37 + 0,81Zt
R² = 0,22
(0,35)
a) Sabiendo que las variables Z y X no están correlacionadas entre sí, y que Y = 20 ,
indique cuales serán las estimaciones de los coeficientes y el valor de R² al estimar
por MCC la siguiente ecuación de regresión.
Yt = α + βX t + δZt + u t
b) ¿Se puede decir que la suma de cuadrados residual del modelo es igual a la suma
de SCR de los dos modelos anteriores? ¿Por qué?
28) Se dispone de los siguientes datos anuales desde 1963 a 1972 sobre la cantidad de dinero,
Mt, la renta nacional de un país, Yt, en millones de unidades monetarias que se resume en:
∑M
t
= 37, 2
∑ Y = 75,5
t
∑M
2
t
= 147,18
2
t
= 597, 03
∑Y
∑M Y
t
t
= 295,95
a) Especifique un modelo lineal que represente la teoría de que la cantidad de dinero
determina la renta nacional de un país. Derive los estimadores MCC de los
coeficientes del modelo.
b) Demuestre que, bajo las hipótesis del modelo de regresión lineal, los estimadores
MCC, b 0 y b1 , son los estimadores lineales insesgados. Derive su matriz de
varianzas y covarianzas. ¿Cómo es esa matriz en comparación con la de otro
estimador lineal insesgado cualquiera? Si se supone que la perturbación sigue una
distribución normal, ¿cuál es la distribución del estimador MCC?
c) Calcule las estimaciones de los parámetros a partir de la muestra inicial. ¿Cuál es
la interpretación del término constante y de la pendiente de la recta de regresión?
8
d) Demuestre que los residuos MCC,
son ortogonales, es decir,
uˆt , y los valores ajustados, Yˆt , de la regresión
∑ uˆ Yˆ = 0 .
t t
e) Calcule la SCE y la SCR de la regresión. Demuestre que la suma de ambas
coincide con la SCT. ¿Se cumple esta igualdad para cualquier modelo de regresión
que especifiquemos?
f)
Calcule el R² de la regresión anterior. ¿Entre que valores espera que se
encuentre? Interpretar su significado.
g) Defina un estimador insesgado de la varianza de la perturbación. Calcule su
estimación.
29) Sea X la tasa de variación del IPC e Y, la tasa de variación del índice de precios de las
acciones en 20 países diferentes:
a) Estime e interprete los coeficientes de la regresión de Y sobre X dada la siguiente
información muestral:
∑ (X
i
∑ (X − X)(Y − Y) = 387,395
− X) 2 = 511, 4575
∑ (Y − Y)
i
2
= 500, 402
i
i
Y = 8,53
X = 5,175
b) ¿Son las acciones una protección contra la inflación? ¿Son una protección perfecta
en el sentido de que cada subida porcentual en el IPC se ve reflejada con la misma
subida porcentual en el índice de precios de las acciones?
c) ¿Cuál sería la variación esperada en el índice de precios de las acciones si la tasa
de variación del IPC fuera del 5%?
30) Demostrar que
σˆ 2u = ∑ uˆt2 /(n − (k + 1 )) es una estimación insesgada de σ 2u .
31) **Demostrar que
bˆ = r ( S y / S x ) , en donde r es el coeficiente de correlación entre X e Y, y
S y y S x son las desviaciones típicas de Y y X, respectivamente.
32) ***Demostrar que el punto estacionario encontrado cuando minimizamos la SRC es,
efectivamente, un mínimo.
33) Demostrar para un modelo con una única variable explicativa que:
a)
Var (bˆ0 ) = (σ u2 ∑ X t2 ) / n∑ ( X t − X ) 2
b)
Cov(bˆ0bˆ1 ) = −σ u2 X / ∑ ( X t − X )2
34) Puede verse en el ejercicio anterior que la covarianza entre
bˆo y b̂1 va a ser cero si la
media muestral de X es cero. Dar una explicación intuitiva de por qué debe ser así.
9
Respuestas. Mínimos Cuadrados Clásicos.
-11) a)
Yˆt = 2, 44 + 0, 647 X 1t
−1
 0,192 −0, 023 
5, 49  10 55 
b) Σ =

 =

8  55 471
 −0, 023 0, 004 
2
c) R = 0,928
d) Se debe llegar al mismo resultado usando las diferentes escalas de medición. Ayuda: d2)
Y = Y + b1 ( X t − X ) + ut
−1
Yˆ  10
0   60   6

  =
 
=

bˆ1   0 168, 5  109   0, 647 
2) a)
Yˆt = 5, 41 + 0, 447 X 1t − 0, 268 X 2t
 1,916 −0,135 −0,161


0, 011 0, 011 
b) Σ = a12

 a
a23
0, 014 
 13
2
c) R = 0,9576
3) Asegúrese de que es capaz de responder a todos los ítems, caso contrario acuda a
cualquier manual de Econometría.
4) a) Verdadero.
b) Falso. Justifique en ambos.
5) a) Modelo log-log, b1 y b2 representan la elasticidad de X1t y X2t con respecto a Yt.
Yt = aX 1t b1 X 2t b 2 eut , ln Yt = b0 + b1 ln X 1t + b2 ln X 2t + ut
b) Modelo log-lin, b mide el cambio relativo en Y ante un cambio absoluto en X.
Yt = e( a +bX t ) eut , ln Yt = a + bX t + ut
c) Modelo recíproco,
a representa el límite asintótico. No requiere transformación.
d) Modelo polinomial, no requiere transformación, los coeficientes describen a la parábola.
6) a) Falso, b) Falso. Justifique apropiadamente.
7)-11) Intente demostrar todos los ítems, si resulta necesario consulte un manual.
10
 bˆ0   4 
 
 0, 74 −1,11


12)  bˆ1  = 2, 5 . Σ bˆ1 , bˆ2 = 



−1,11 1,86 
  


ˆ
−
 b2   1,5 
 
2 1
T
t
−1
Ayuda: var(bˆ0 ) = σ u ( + X 2 ( X 2 X 2 ) X 2 ) =19,76
t
ˆ
cov(b0 , bˆ1 ) = −σ u 2 X 2 ( X 2 t X 2 ) −1 = (3,34; −5,94)
(
)
13) (1) = 4,89 , (2)= 1,741; (3)= 0,565; (4)= 15,298; (5)= 0,705 ; (6)= 33,497
14) a)
109 7
49
Yˆt = −
− X t + Zt
40 8
8
2
b) R = 0,91875.
c) Siempre y cuando Xt sea significativo y Zt se mantenga constante.
d) Se puede esperar que tenga un nivel de 0,775 billones de pesos.
15) a) bβˆ = β * , la traslación no modifica el resultado del modelo; mientras que el cambio de
variable lo deja multiplicado por b (ya que el cambio consistía en dividirla por b).
b) Resulta útil para cambiar de origen y/o de unidades.
16) Se elige el de menor varianza: b̂ (si son estimadores independientes) ya que se pretende
la mejor aproximación lineal al parámetro de la población y no la bondad de ajuste de la
muestra.
18)
3
1
bˆ2 = − , bˆ3 =
5
2
19) a) Un aumento de una unidad en la tasa de inflación genera una disminución de 0,47
unidades en la demanda monetaria real. Si la tasa de inflación fuera 0, se demandarían 5,77
unidades de saldo monetario real. Por último, las variaciones en la tasa de inflación explican un
90,39% de las variaciones en la demanda monetaria real.
b) Un 9,61%.
c) Falso, justifique.
2
e) Se seleccionaría el nuevo modelo (comparando los R ajustados).
20) a)
2
ΣX t 2ΣYt − ΣX t ΣX tYt
ˆ ) = ΣX t σ 2 ,
,
var(
bˆ0 =
b
0
t ΣX t 2 − (ΣX t ) 2
t Σxt 2
b) Los supuestos son sobre la función de regresión poblacional, no sobre los residuos
muestrales los cuales resultan heteroscedásticos y correlacionados.
2
21) No se puede comparar el R de un modelo simple con el de uno que no tenga intercepto,
los coeficientes de determinación están calculados sobre escalas diferentes.
22) a) Conviene que los valores de bt hayan sido fluctuantes, ya que caso contrario al estimar
σ
var(bˆ) = u 2 , el denominador tendería a cero y el estimador resultaría muy impreciso.
Σx
2
a:
b) Se podría correrlo contra una constante, no siendo conveniente la regresión MCC sino
podría haber un problema de multicolinealidad con la constante a.
11
25)
R2 =
26) a) Yˆt
8
, ayuda: partir de lo demostrado en el ejercicio 23.
17
= 5, 64 + 0, 0404Zˆt
b) Sí, se elige el nuevo modelo.
27) a) βˆ = 0, 37, δˆ = 0,81; αˆ = Y − 0,37 X − 0,81Z = -15,91
b) No es la simple suma ya que la SCT no varía.
28) a)
Yt = b0 + b1M t = 1,588 + 1, 603M t + uˆt
b) Asegúrese que puede responder a este ítem.
e) Siempre que el modelo tenga intercepto. 24,277 + 2,728 = 27,005.
2
f) R = 0,899
g)
29) a)
σˆ u2 =
SCR
2,728
=
= 0,341
T − ( K + 1) 10 − 2
bˆ0 = 4, 61; bˆ1 = 0, 757
b) La elasticidad (0,46) nos indica que no es una protección perfecta.
c) Yˆ
= 4, 61 + 0, 757 *5 = 8, 3975
t
32) Demostrar que X X es una matriz semidefinida positiva.
34) Si la media muestral de X es cero, entonces
covariar junto a
b̂0 será una constante, por lo cual no va a
b̂1 .
12
Intervalos de confianza y test de hipótesis
- 2-
1)
Deduzca las distribuciones muestrales de los estimadores MCC de los parámetros del
modelo, de la varianza homocedástica y el estimador del regresando.
2)
Deduzca la expresión y distribución del estadístico de restricciones lineales, e interprételo
desde el punto de vista del estadístico de Wald. Demuestre que este estadístico puede
reducirse a los ya conocidos de significatividad (individual y global).
3)
Suponga el siguiente modelo:
Yt = b0 + b1X1t + b 2 X 2t + b3 X3t + u t
 5 −3 2 0 


6 −2 − 4 
-1

′
(X X) =

4 3


4 

 3
 
2
′
(X y) =  
1
 2 
 
T = 90
(y ′y ) = 80
a) Estimar el modelo y obtener el coeficiente de determinación.
b) Testear H 0 :
4)
b0 = 8

2b1 + b2 − 3 = 0
12 − 6b = b
2
3

Se ha especificado un modelo de la función de producción de la forma:
Yi = b0 + b1X1i + b 2 X 2i + u i
Yi es el logaritmo de la cantidad producida, X1i es el logaritmo de la cantidad de
trabajo y X 2i es el logaritmo de la cantidad de capital. El subíndice i indica la empresa. En la
en el que
muestra aparecen 23 observaciones y las matrices de momentos (en desviaciones con
respecto de las medias muestrales) son:
12 8 
(X′X) = 

 8 12 
10 
(X′y) =  
8
(y ′y) = 10
a) Obtener las estimaciones minimocuadráticas de los coeficientes de regresión
b1 y b 2 , y sus errores standard estimados. Calcular el valor de R².
b) Efectuar la contrastación de la existencia de rendimientos constantes a escala.
c) Supóngase que queremos imponer a priori la restricción de rendimientos
constantes, y estimar la función de producción de esa forma. ¿Cuál es la
estimación minimocuadrática de b 2 y su error standard estimado? ¿Cuál es el
valor de R² con esta especificación?
13
5) ** Un monopolista que maximiza beneficios enfrenta la siguiente curva de demanda,
Qt = α + β Pt + ε t
Donde, Qt es la cantidad del bien, Pt es el precio del bien, α y β son parámetros desconocidos
y
εt
es un término aleatorio. Con datos históricos de la empresa la estimación mínimo
cuadrática de la curva de demanda (utilizando el EVIEWS) es:
LS // Dependent Variable is Q
Sample: 1 15
Included observations: 15
Variable
Coefficient
P
-0.840583
C
20.76912
R-squared
Adjusted R-squared
S.E. of regression
Sum squared resid
Log likelihood
Durbin-Watson stat
Std. Error
0.237563
2.821568
0.490596
0.451411
3.967605
204.6446
-40.88326
1.946562
t-Statistic
-3.538363
7.360845
Prob.
0.0036
0.0000
11.46667
5.356794
2.879891
2.974298
12.52002
0.003600
Mean dependent var
S.D. dependent var
Akaike info criterion
Schwarz criterion
F-statistic
Prob(F-statistic
La matriz de varianzas y covarianzas de los coeficientes es:
P
C
P
0.056436
-0.624559
C
-0.624559
7.961244
Asumiendo que el costo marginal de la empresa es 10, contraste la hipótesis de que la
cantidad esperada que maximiza el beneficio es igual a 7 utilizando un nivel de significatividad
del 5%.
6) ** Las sumas siguientes fueron obtenidas a partir de 16 pares de observaciones de X e Y.
∑Y
2
t
= 526 ;
∑X
2
t
= 657 ;
∑ X Y = 492 ; ∑ Y
t
t
t
= 64 ;
∑X
t
= 96
Estimar la regresión de Y sobre X y contrastar la hipótesis de que la pendiente es la unidad.
7)
La estimación de una función de producción Cobb-Douglas de la forma,
Log (Yt ) = α + β Log ( Lt ) + γ Log ( K t ) + ε t
donde Y es el producto, L el insumo trabajo y K el insumo capital se realiza por mínimos
cuadrados clásicos resultando:
LS // Dependent Variable is log(Y)
Sample: 1 27
Included observations: 27
Variable
Coefficient
LOG(L)
0.602999
LOG(K)
0.375710
C
1.170644
Std. Error
0.125954
0.085346
0.326782
14
t-Statistic
4.787457
4.402204
3.582339
Prob.
0.0001
0.0002
0.0015
R-squared
Adjusted R-squared
S.E. of regression
Sum squared resid
Log likelihood
Durbin-Watson stat
0.943463
0.938751
0.188374
0.851634
8.350542
1.885989
Mean dependent var
S.D. dependent var
Akaike info criterion
Schwarz criterion
F-statistic
Prob(F-statistic
7.443631
0.761153
-3.234213
-3.090232
200.2489
0.000000
La matriz de varianzas y covarianzas de los coeficientes estimados es:
LOG(L)
0.015864
-0.009616
-0.019835
LOG(L)
LOG(K)
C
LOG(K)
-0.009616
0.007284
0.001189
C
-0.019835
0.001189
0.106786
Esta función de producción: ¿Tiene rendimientos constantes a escala? ¿La elasticidad del
trabajo es igual a uno?
8)
Dado el siguiente modelo econométrico:
Yt = a + bX t + cZt + u t
se ha tomado una muestra de cinco elementos en el espacio (Y,X,Z) proporcionando las
observaciones (1,1,1); (2,2,2); (3,2,2); (4,3,3); (5,4,5).
a) Obtenga las estimaciones MCC para a, b y c.
b) Proponga un estimador insesgado para
σ u2 . Obtenga una estimación para esta
muestra. Calcule un intervalo de confianza del 95% para
σ u2 .
c) Calcule el valor del coeficiente de determinación y comente la fiabilidad del modelo.
d) Contraste las siguientes hipótesis nulas:
H 0 :a = 0
H 0 :b-c = 0
i)
ii)
9) ** Efectuar el contraste de hipótesis
H 0 :b-c = 0 en el modelo:
Yt = a + bX t + cZt + dWt +u t
si se ha obtenido b̂ = 4,5 y
ĉ = 5,0 a partir de:
 50 13 21 −120 


4 2 −20 
−1

′
(X X) =

6 −10 


10 

SRC = 40
T = 25
15
b) ¿Cómo contrastaría la hipótesis anterior junto con la nueva hipótesis d = 0 si se ha
estimado d̂ = −1,5 ?
10) ** En un estudio de 89 empresas la variable dependiente es el costo total, Y, y las variables
explicativas son la cantidad de producción X2, y la proporción de ausencias del trabajo X3.
Las medias muestrales de las variables son:
Y = 0,8
X 2 = 2,9
X 3 = 3, 9
y los momentos centrados respecto a la media:
y ′y = 113,9
 36,8 
X′y = 

 39,1 
 50,5 −66, 2 
X′X = 

 −66, 2 967,1 
a) Estime los coeficientes del modelo de regresión siguiente:
Yt = a + bX 2t + cX3t + u t
b) Contraste si el efecto de X3, una vez incluida X2 en la regresión, es o no relevante.
c) Realice el contraste de significatividad conjunta de los coeficientes.
11) ** En el modelo de regresión:
Yt = β 0 + β1X1t + β 2 X 2t + β 3X 3t + β 4 X 4t + u t
a) ¿Qué estadísticos puede utilizar para contrastar las hipótesis nulas:
H 0 : β1 = 0
H 0 : β 0 = β1 = β 2 = β 3 = β 4 = 0
H 0 : β1 = β 2 = β 3 = β 4 = 0
H 0 : β1 = β 2 = β 3 = β 4
H 0 : β1 = 0 y β 2 + β 3 + β 4 = 0
12) La función de consumo Keynesiana estimada en el período 1964-1971 es la siguiente:
a) Cˆ = 1416, 21 + 0, 3663R
(3460,28)
(0,1098)
R 2 = 0,9121
En el período 1972-1983:
b) Cˆ = 337, 24 + 0,8846 R
(1018,73) (0,0191)
R 2 = 0,9121
En el período 1984-1990:
16
c) Cˆ = 337, 24 + 0,8846 R
(11675,1)
(0,1571)
R 2 = 0,9544
Finalmente la estimación para los años 1964-1990 es:
d) Cˆ = 202, 23 + 0,895 R
(501,5)
(0,009)
R 2 = 0,9544
Teniendo en cuenta la siguiente información adicional:
1990
1971
1964
1964
∑ (C-C)2 = 6403270
1983
∑ û
2
∑ û
1990
∑ û
= 3679, 02
1972
2
= 2379,315
2
= 1295,861
1984
Se pide:
a) Explicar el concepto de cambio estructural.
b) ¿Es admisible la hipótesis de constancia de los parámetros del modelo en los tres
períodos considerados? Nivel de significación 5%.
13) Se ha obtenido la siguiente ecuación estimada por MCC utilizando datos trimestrales
desde
1971 hasta 1976 inclusive.
Ŷt = 1,10-0,0096X1t -4,56X 2t + 0,034X 3t
(2,12) (0,0034)
SCE= 109,24
a)
b)
c)
d)
(3,35)
(0,007)
SCR= 20,22
Contrastar la significatividad de cada uno de los coeficientes.
Calcular el coeficiente de determinación.
Contrastar la significatividad conjunta de la regresión.
Se han calculado dos regresiones más para los períodos: primer trimestre de 1971
primer trimestre de 1975, y segundo trimestre de 1975 cuarto trimestre de 1976,
obteniéndose los siguientes resultados:
1971(I)—1975(I): SCR= 11,09.
1975(II)—1976(IV): SCR= 2,17.
Contrastar la proposición de que tuvo lugar una ruptura estructural entre el primer y segundo
trimestre de 1975.
14) ** En una población, la verdadera relación entre X e Y viene dada por la ecuación:
Yi = 2 + 3Xi
Supóngase que los valores de X en una muestra de 10 observaciones son 1,2,3,4,...,10. Los
valores de los términos de perturbación se obtienen de forma aleatoria a partir de una
población normal de media cero y varianza unitaria.
17
u1 = 0, 464 u2 = 0, 06
u3 = 1, 486 u4 = 1, 022 u5 = 1,394
u6 = 0,906 u7 = −1,501 u8 = −0, 69 u9 = 0,179 u10 = −1,372
a) Presentar los 10 valores observados de X e Y.
b) Estimar los coeficientes de regresión y sus errores standard utilizando MCC,
comparando estos resultados con los verdaderos valores.
c) Contrastar la existencia de relación entre X e Y.
15) ** Verificar la constancia de la estructura usando los siguientes datos (centrados):
A
B
A+B
20
1
20
1
40
1
12
10
22
∑x y
∑y
10
12
22
10
18
28
Y
8
9
8,5
n
X
∑ xt2
t
t
2
t
16) La ecuación siguiente fue estimada por MCC con datos trimestrales desde 1963 hasta
1972 inclusive
Ŷt = 2,417 + 0,724X t
(0,702)
R 2 = 0, 678
(0,081)
SRC = 137,21
Se calcularon separadamente dos regresiones más para los períodos del primer trimestre de
1963 hasta el tercer trimestre de 1966 y del cuarto trimestre de 1966 hasta el cuarto de 1972:
1963(I)—1966(III): SRC = 33,04
1966(IV)—1972(IV): SRC = 68,19
Contrastar la proposición de que entre el tercer y el cuarto trimestre de 1966 se ha producido
un cambio estructural.
17) Dada la siguiente estimación para el período 1974-1997:
Ŷt = 2,2-0,85X1t + 0,17X 2t -0,0048X3t
(1,41)
1997
∑ uˆ
2
t
= 20, 22
(0,042)
(0,0012)
SCE = 109,24
1974
Verificar si se produjo un cambio estructural entre 1990 y 1991 si se sabe que:
18
1974-1990 ⇒ SCE = 78,34
1991-1997 ⇒ SCE = 37,86
18) Dado el modelo de regresión lineal con una variable explicativa:
Yt = b0 + b1X t + u t
bajo los supuestos de G-M es fácil verificar las siguientes relaciones:
∑ û
∑ (Yˆ -Y)
t
2
t
1
T-2 ∑ (X t -X) 2
ˆ ˆ =
Var(b)
2
.
2
= bˆ 12 ∑ (X-X)
Utilice estas relaciones para resolver el siguiente problema:
Estimada la función de consumo de dos regiones A y B, en forma independiente, se obtuvieron
los siguientes resultados:
Región A:
Ĉ t = 25 + 0,60Yt
T = 30
(0,06)
Región B:
Ĉ t = 20 + 0,80Yt
T = 40
(0,10)
a) Hallar los R² correspondientes a ambas regiones.
b) Contrastar la hipótesis de que ambas regiones tienen igual propensión marginal al
consumo con un nivel de significación de 5%.
19) Supóngase que Yi es el logaritmo del valor de la producción por trabajador, X i es el
logaritmo de la tasa de salario, y que el subíndice i hace referencia a la empresa i-ésima. El
parámetro b puede considerarse como una media de la elasticidad de sustitución entre
trabajo y capital. Los resultados MCC correspondientes a la industria A son los siguientes:
Ŷi = -0,4 + X i
(n = 50)
(0,1)
Los resultados correspondientes a la industria B son:
Ŷi = -0,3 + 0,8X i
(n = 50)
(0,1)
Las dos muestras pueden considerarse independientes.
2
2
a) Mostrar que R A=25/37 y R B=4/7.
b) Contrastar la hipótesis de que ambas industrias tienen la misma elasticidad de
sustitución.
19
20) *** Demuestre que el predictor MCC cumple la condición de primer orden de mínimo error
cuadrático medio.
21) ** Demuestre que el predictor MCC es el de mínima varianza de entre los lineales
insesgados (se asumen vigentes los supuestos de Gauss-Markov). Para ello se propone
como expresión de cualquier otro predictor:
-1
ỹf = [ x´f (X´X) X´ + g] y
donde g es un vector fila no nulo.
22) Deduzca la expresión de los intervalos de confianza para las predicciones individuales y
media.
23) La variable Y es una función de tres variables independientes X1, X2, X3 que se
relacionan de la manera siguiente:
Yt = b0 + b1X1t + b 2 X 2t + b3X3t + u t
a) Ajuste el modelo a los 7 datos siguientes:
Y
X1
X2
X3
1
-3
5
-1
0
-2
0
1
0
-1
-3
1
1
0
-4
0
2
1
-3
-1
3
2
0
1
3
3
5
1
b) Prediga Y cuando X1 = 1, X2 = -3 y X3 = -1. Compare con la respuesta observada
entre los datos originales. ¿Por qué no son iguales?
c) ¿Presentan los datos evidencia suficiente para indicar que X3 proporciona
información para la explicación de Y?
d) Encuentre un intervalo de confianza del 95% para el valor esperado de Y dados los
siguientes valores de las variables explicativas: X1 = 1, X2 = -3 y X3 = -1.
e) Encuentre un intervalo de predicción del 95% para Y usando los valores del punto
anterior.
24) La siguiente tabla contiene 20 observaciones trimestrales del gasto real de los
consumidores (C) y de renta personal disponible (Y) para el período 1972-1976 de la
economía Británica (ambas magnitudes están expresadas en millones de libras de 1975).
Período
Ct
Yt
1972.1
1972.2
1972.3
1972.4
1973.1
1973.2
1973.3
1973.4
1974.1
1974.2
1974.3
1974.4
14528
15519
15865
16850
15752
16037
16552
17156
15156
15612
16249
17053
16424
17675
17506
18176
17913
18587
18826
19036
18253
17878
19128
19622
20
1975.1
1975.2
1975.3
1975.4
1976.1
1976.2
1976.3
1976.4
15263
15659
15781
16489
15026
15506
15917
16871
18734
18447
18650
18530
18257
18290
19113
18524
C t = b0 + b1Yt + u t
a)
Estimar los coeficientes de la ecuación
b)
Construir un intervalo de confianza del 95% para la propensión marginal al
consumo.
Verificar la hipótesis de que la propensión marginal es la unidad.
Calcular R².
Construir un intervalo de predicción del 95% para el gasto dado que el valor de Y
para el primer trimestre de 1977 es de 17803 millones de libras.
c)
d)
e)
25) ** Utilizando datos trimestrales para el período 1996-1998 se ha especificado el siguiente
modelo de demanda de dinero
(
Md
) t = A ⋅ y t a e ut = m d t
P
que aplicando una transformación monótona resulta:
log(md t ) = b0 + b1 ⋅ log( yt ) + ut
donde los saldos reales se explican en función del producto real; el coeficiente que acompaña
al producto indica la correspondiente elasticidad.
La estimación MCC ha arrojado los siguientes resultados:
Dependent Variable: M1LOG
Method: Least Squares
Date: 01/05/03 Time: 23:34
Sample: 1996:1 1998:4
Included observations: 12
Variable
Coefficient
Std. Error
t-Statistic
Prob.
C
Y
-7.548935
1.891087
2.930275
0.521313
-2.576186
3.627545
0.0276
0.0046
R-squared
Adjusted R-squared
S.E. of regression
Sum squared resid
Log likelihood
Durbin-Watson stat
0.568204
0.525024
0.090146
0.081263
12.94258
1.028343
Mean dependent var
S.D. dependent var
Akaike info criterion
Schwarz criterion
F-statistic
Prob(F-statistic)
3.080352
0.130801
-1.823764
-1.742946
13.15909
0.004631
a) Predecir el valor de la demanda de dinero para el primer trimestre de 1999 considerando
los siguientes escenarios posibles:
a.1 – los temores de corridas bancarias se disipan y el comercio exterior se mantiene en
niveles normales; se recupera levemente la inversión productiva y el consumo; se prevé que el
PBI será de 259.174 miles de millones de pesos (base 1993).
21
a.2 – los temores de corridas bancarias crecen, por lo que los bancos deciden elevar en
general las tasas pasivas parea retener depósitos, volviendo a las inversiones especulativas
más atractivas que a las productivas; un resurgimiento de casos de aftosa provoca un resultado
desfavorable en la balanza comercial; se prevee entonces que el PBI será de 148.0574 miles
de millones.
b) Construya los intervalos de confianza para la predicción puntual en cada caso sabiendo
que la inversa de la matriz de momentos es
 1057,8278 −188,1873 


 −188,1873 33, 4811 
Respuestas. Intervalos de confianza y test de hipótesis.
- 2-
3) a)
 aˆ0  11 
   
 aˆ1  =  −7 
 aˆ2  12 
   
 aˆ3   3 
e
b) Se rechaza la hipótesis. F = 8452.82.
4) a)
 aˆ1   7 /10 
 ˆ =

 a2  1/ 5 
2
R = 0.86
e
b) La evidencia no permite rechazar la hip. de rendimientos constantes. F = 0.015.
5) La muestra no permite rechazar la hipótesis de que es q=7 la cantidad que maximiza
e
beneficios. t = -1.4488
6) a)
 aˆ1   −3,98 
 ˆ =

 a2  1,93 
e
b) No se rechaza que la pendiente sea la unidad. t = 0.99
e
7) No se rechaza la existencia de rendimientos constantes (t = -0.4866), aunque sí se rechaza
e
la existencia de elasticidad de trabajo unitaria (t = -3.161).
22
8) a)
 aˆ1   −0,50 
  

 aˆ2  =  2 
 aˆ   −0, 26 

 3 
b)
σˆ u2 = 1, 4884
IC=(0.4033; 59.5359) ; α = 0.05
2
c)
d)
R = 0.7
e
e
No se rechazan las hipótesis (t = -0.2732; t = 2.619).
e
9) a) No se rechaza la hipótesis. t = -0.1057.
e
b) No se rechaza la hipótesis. F = 2.3625.
 aˆ1   −2, 077 
  

10) a) aˆ 2 = 0,8587
  

 aˆ   0, 0992 

 3 
e
b) Se rechaza la hipótesis nula. t =2.9433
e
c) Se rechaza la hipótesis nula. F = 19.45
e
12) Se rechaza la hipótesis de constancia de estructura. F = 615.64.
13) a) El intercepto y el coef. que acompaña al segundo regresor no son significativos.
e
e
e
e
t = 0.5188. t = -2.8235. t = -1.3611. t = 4.8571.
2
b) R = 0.84
e
c) Se rechaza la hipótesis de no significatividad global. F = 35.
e
d) La evidencia no sugiere un quiebre de estructura. F = 2.1.
14) b)
 aˆ1   170, 6 
 ˆ =

 a2  1534,91
σˆ (aˆ0 ) = 0, 6826; σˆ (aˆ1 ) = 1,1
e
c) Se rechaza la hipótesis. t = 1395.3727
e
15) Se rechaza la constancia de estructura. F = 3.
e
16) La evidencia disponible no indica un quiebre estructural. F = 0.51.
e
17) La muestra seleccionada no revela cambios estructurales. F =2.1087.
2
2
18) a) R A= 0.78 ; R B= 0.62
e
b) No se rechaza la hipótesis nula. t = -1.7152
23
e
19) b) No se rechaza la hipótesis nula. t = 1.4142
23) a)
 aˆ0   1,53 
ˆ  

 a1  =  0,55 
 aˆ2   0,12 
  

 aˆ3   −0,38 
b)
c)
d)
e)
ŷf = 2.1
e
No se rechaza la hipótesis. t = -1.6081.
IC= (–4.004 ; 8.204)
IC= (–4.2239 ; 8.4239)
24) a)
 aˆ0   3860,98 
 ˆ =

 a1   0, 6573 
b)
c)
d)
f)
IC= (0.26 ; 1.04)
e
Se rechaza la hipótesis. t = -1.84.
2
R = 0.409
IC= (15566.3 ; 15566.51)
25) a) ŷf(I) = 19.2979 ; ŷf(II) = 6.6959
b) IC= (15.4699 ; 24.0708)
; IC= (3.1553 ; 14.2079)
24
Mínimos Cuadrados Restringidos
-3-
*1)
a) Deduzca el estimador mínimo-cuadrático restringido, así como también la matriz de
covarianzas de dicho estimador, a partir de la minimización de los residuos sujeta a la
restricción Rb = r.
b) Demuestre que SRR ≥ SRS, siendo la SRR la suma de residuos restringida, y la SRS
la suma de residuos sin restringir.
¿Qué implicancias trae esto sobre la calidad de las estimaciones y sobre el coeficiente
de determinación?
*2) Considere el siguiente modelo lineal, que relaciona las variables X e Y:
Yt = a + bX t + u t
Dados los siguientes datos:
Y
X
8 14 16 6 6
10 8 4 12 16
a) Estime el modelo aplicando MCC.
b) Calcule la suma de los residuos cuadráticos y verificar que:
∑ uˆ = ∑ uˆ X
t
t
=0
t
c) Considere la siguiente hipótesis nula:
H 0 :a = 0
y estime el modelo sujeto a tal restricción.
d) Calcular la suma de los residuos cuadráticos restringidos:
∑ uˆ ; ∑ uˆ
2
tR
tR
;
∑ uˆ
tR
Xt
e) Verificar la siguiente relación:
∑ uˆ
2
tR
f)
ˆ -Y
ˆ )2
= ∑ uˆt2 + ∑ (Y
tR
t
Contrastar mediante un test F, al 5% de significatividad, la hipótesis nula:
H 0 :a = 0
g) Llevar a cabo el mismo test utilizando una distribución t.
h) Graficar las observaciones y ambas estimaciones. Efectuar los comentarios que
crea pertinentes.
*3) La función de Cobb-Douglas se utiliza con frecuencia para representar la relación entre la
producción de una empresa (P) y los factores capital (K) y trabajo (L) utilizados.
a) Determinar la forma funcional del modelo. De ser necesario explicar las transformaciones
que deben realizarse para estimar el modelo por MCC.
25
b) Explicar detalladamente el procedimiento de contraste de hipótesis de rendimientos
constantes a escala frente a la alternativa de rendimientos decrecientes a escala en dicho
modelo.
c) Si se satisface la existencia de rendimientos constantes a escala. ¿Cómo se incorpora
dicha información a la hora de estimar el modelo? ¿En qué sentido mejoran las
estimaciones y por qué?
**d) Aplicada la función anterior a los datos de una empresa de fabricación de plásticos, la
estimación MCC da lugar a:
ln Pˆ = 1,37 + 0,632 ln K + 0,452 ln L
(0,257)
R 2 = 0,98
(0,219)
Utilizando estos resultados y las respuestas de los puntos a, b y c contraste la hipótesis
de rendimientos constantes a escala sabiendo que existe una correlación positiva entre
los insumos. (Nivel de significación: 5%).
Ayuda: Tenga en cuenta la relación existente entre los estadísticos t-student y F, asi
como también la relación entre éste último y el coeficiente de determinación.
*4) Dada la matriz de productos cruzados centrados obtenida a partir de 103 observaciones:
y
10
3
-3
-2
3
y
x1
x2
x3
x4
x1
3
10
4
-2
0
x2
-3
4
8
0
0
x3
-2
-2
0
6
0
x4
3
0
0
0
8
a) Obtener las estimaciones MCC del modelo:
Yt = β 0 + β1X1t + β 2 X 2t + β 3X 3t + β 4 X 4t + u t
b) Obtener las estimaciones MCR si:
β1 + β 2 = 0
−4 β 3 + 2 β 4 = 3
así como la matriz de covarianzas de dicho estimador.
*5) Para estimar el modelo
t
yt = β1 x1t + β 2 x2t + β 3 x3t + ut se dispone de las observaciones:
y
1
3
2
6
3
10
4
5
5 6
10 12
7
5
8 9 10
10 10 8
x1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
x2
1
0
-1
1
0
-1
1
0
-1
0
x3
1
1
1
0
0
0
-1
-1
-1
0
26
a) Estime el modelo y obtenga la matriz de varianzas y covarianzas del vector
Estime
β.
σ u2 .
b) Considere la hipótesis conjunta
H 0 : β1 = 7 , β2 = 2 β3 . Escríbala en la forma
Rβ = r y calcule el valor del estadístico F para su contraste. Muestre que no
puede rechazarse la hipótesis al 95% de confianza.
c) Si la hipótesis fuese cierta, la regresión podría escribirse:
yt − 7 x1t = β3 (2 x2t + x3t ) + ut o de forma similar:
yt∗ = β3 xt∗ + ut
Efectúe la regresión MCC en este nuevo modelo, calcule el valor del estadístico:
( SRR − SRS ) / q
SRS /(T − ( k + 1))
y utilícelo para contrastar dicha hipótesis. Tenga en cuenta que SRR denota la suma residual
restringida y SRS la suma residual sin restringir.
Verifique que el valor de dicho estadístico sea igual al calculado en el punto b), ¿a
qué se debe la igualdad?
*6) Se ha estimado, con 20 datos, el siguiente modelo de regresión utilizando MCC
2
Ŷt = 1767,67 + 7,48 Xt con R = 0,80
Los estadísticos t para el contraste de los coeficientes resultan ser iguales a 1,4 para el
término constate y 18,5 para la pendiente. Dado que el valor del estadístico para el
contraste de significación del intercepto nos lleva a no rechazar la hipótesis nula, se
formula y estima el siguiente modelo:
2
Ŷt = 11,71 Xt con R = 0,70
Como el coeficiente de determinación correspondiente a la primera regresión es mayor, se
opta por elegir el primer modelo. ¿Le parece adecuada esta decisión?
*7) Estime el modelo Yt = β1 + β2X2t + β3X3t + ut sujeto a la restricción
β 2 + β3 = 1
disponiendo
únicamente de la información:
∑ (Y -X
t
∑X
3t
3t
)2 =8250
= 400
∑X
∑Y
2t
t
∑ (X
= 200
2t
-X3t )2 = 600
∑ (Y − X
= 600
t
3t
T = 100
)(X 2t -X 3t ) = 200
y obtenga la matriz de varianzas y covarianzas de sus estimaciones.
*8) Un economista está estudiando la variabilidad de los accidentes en las rutas de las
diferentes provincias. Supone que la tasa de accidentes depende de la velocidad promedio
y de la desviación standard de la velocidad en cada provincia. Como no hay información
disponible sobre la desviación standard decide aproximarla por la diferencia entre el 85º
percentil y el 50º percentil (supone una distribución normal).
Por lo tanto el modelo especificado es:
27
Yt = β1 + β 2 X 2t + β 3 (X3t -X 2t ) + u t
Yt = Tasa de accidentes.
X 2t = velocidad promedio (50º perc.)
X 3t = 85º percentil de la velocidad.
En vez de hacer esto, un asistente estima
Yt = α1 + α 2 X 2t + α 3 X 3t + u t con el siguiente
resultado:
R 2 = 0, 62
Ŷt = c - 0,24X 2t + 0,20X 3t
Los estadísticos t para las dos pendientes fueron –1,8 y 2,3 respectivamente y la covarianza de
las pendientes de la regresión es 0,003.
Use estos resultados para calcular una estimación puntual de β 2 y someta a contrastación la
hipótesis de que la velocidad promedio no tiene efectos sobre la tasa de accidentes.
Respuestas. Mínimos Cuadrados Restringidos.
-3-
*2)
a) Ŷt = 39/2 – 19/20 Xt
c) ŶtR = 106/145 Xt
d) ΣûtR = 390/29
2
ΣûtR = 40316/145
ΣûtR.Xt = [ 390/20 ; 0 ]
f)
No existe evidencia suficiente para aceptar la Ho, puesto que F (1,3) = 49,79.
g) La evidencia lleva a rechazar la Ho. El estadístico t es 7,05
*3)
a) Existen rendimientos constantes a escala al 5% de significación.
*4)
a) ŷt = 23/44 x1t – 7/11 x2t – 7/44 x3t + 3/8 x4t
b) ŷtR = ½ x1t – ½ x2t – ½ x3t + ½ x4t
28
c) Matriz de covarianzas de las estimaciones
 19 /188 −19 /188 1/188 1/ 94 


19 /188 −1/188 −1/ 94 
149  a12
Σ=
5 /188 5 / 94 
a23
2904  a13

 a
5 / 47 
a24
a34
 14
*5)
a) Ŷt = 79/10 X1t – 19/6X2t –X3t
191/1050



Σ=
191/ 630



191/
630


σ 2 (û) = 1,819047
c) No puede rechazarse la Ho con el 5% de significatividad.
*6) No. ¿Por qué?
*7)
a) Ŷt = 8 + 3 X2t – 2 X3t
b)
 363 /194 121/194 
Σ=

121/ 388 

*8) El estadístico t es –0,3217, con lo cual puede afirmarse con el 5% de significatividad que la
velocidad promedio no tiene efectos sobre la tasa de accidentes.
29
Variables dummy
-4-
1) Defina Variable Dummy. ¿qué valores puede tomar?
¿Qué diferencia estos valores de los que puede tomar cualquier regresor?
2) Plantee el modelo: detecte la discriminación por sexo y por procedencia étnica en el
mercado de trabajo. Además, sus superiores requieren específicamente saber si el grado
de discriminación sexual disminuye a medida que los años de experiencia aumentan. ¿qué
resultados deben arrojar las estimaciones para no rechazar la hipótesis que plantean sus
superiores?
3) Plantee el modelo: sospecha usted, que los gastos en indumentaria infantil son llevados a
cabo mayormente por mujeres. Además, si superan los treinta años, estarían más
dispuestas a comprar en este tipo de locales. Testee que ambos efectos no son
independientes, esto es, las mujeres mayores de treinta años son proclives a comprar en
este tipo de comercios. Ahora bien, se requiere además que averigüe si este “efecto
combinado”, es constante o varía con el nivel de ingreso.
4) a) Defina categoría Base.
b) Si en una regresión dada la variable ficticia tiene asignado el par (1,0), en ese
orden, y arroja los siguientes resultados: los coeficientes ( α1 ,β 2 ) son ambos positivos,
indicando la influencia de la discriminación racial en la selección de puestos de trabajo
( α1 )
y además que el grado de discriminación aumenta con los años de experiencia
( β2 ) .
Si ahora realiza el mismo ejercicio pero invierte el orden de los valores (0,1),
¿qué signo espera que tengan los coeficientes?, ¿cómo los interpretaría?
5) Los niveles educativos son diferentes con respecto al tipo de variable que venimos
manejando, ya que puede ser tratada cardinalmente asignando años invertidos en
educación. Además, las categorías pueden no ser excluyentes, esto es, un egresado
universitario debe tener título secundario.
Interprete los coeficientes en los siguientes modelos y determine cual de ellos será posible
de estimar y cual no.
a ) y = α 1 .E 1 + α 2 .E 2 + α 3 .E 3 + α 4 .E 4 + u
E 1 : D e s e r t o r e s ; (1, 0 , 0 , 0 )
E 4 : P o s tG r a d o ; (0 , 0 , 0 , 1 )
b ) y = α 1 + γ 2 .E 2 + γ 3 .E 3 + γ 4 .E 4 + u
γ
i
= αi −α1
c) y = α1 + γ 2 .E2 + γ 3 .E3 + γ 4 .E4 + u
E3 : (1,1,1, 0 )
d ) y = α1.E1 + α 2 .E2 + α 3 .E3 + α 4 .E4 + x´ β + u
Definido igual que en el item a)
x´ incluye un vector de unos
30
6) Represente Gráficamente:
a ) yt = α1 + β1.kt + α D .D + ut
D : ( 0, 0,....1,0 ) ;
Donde y es el ingreso nacional, k es el flujo de capitales y D es una dummy que toma valor uno solo par
b)yt = α1 + β1.kt + α D1 .D1 + α D2 .D2 + α D3 .D3 + ut
Las variables representan lo mismo que en el punto anterior.
D1 : Crisis Mejicana(Tequila) ; D2 : Crisis Rusa ; D3 : Crisis Brasilera.
c) yt = α1 + β1.kt + α D1 .D1 + ut
D1 : Remarca si el flujo de capitales fue predominantemente de corto o largo plazo.
d ) yt = α1 + β1.kt + β D1 .( D1 ).kt + ut
D1 : Representa lo mismo que en el apartado anterior.
7) La tabla muestra información sobre (y) ingreso nacional, (s) sexo, y nivel educativo (e). Por
ejemplo, tres personas en la primera categoría de sexo y nivel educativo, tienen ingresos
de 8,10 y12.
Detecte la influencia de sexo y nivel educativo en los niveles de ingreso, en base a la
siguiente información:
E1
s1
s2
E2
E3
8,10,12 12,14 20,22
5,6
10,12 20,24
Deje volar su imaginación, testee influencia sobre intercepto, pendiente y no olvide el
efecto “combinado” de ambas características.
Encuentre los coeficientes para los niveles educativos definidos de manera excluyente y no
excluyente.
8) Se requiere estudiar la dependencia de los años de educación de un grupo de jóvenes
respecto de la renta familiar y la procedencia socioeconómica de los mismos, para lo cual
se dispone de los siguientes datos muéstrales:
Zona
Urbana
Rural
Años de Educación
16
18
14
18
12
10
11
14
Renta familiar
8
13
9
12
7
3
6
10
31
a) Especificar un modelo que explique los años de la educación en base a la
información disponible.
b) Estimar los parámetros del modelo propuesto. Calcular el coeficiente de
determinación.
c) Contrastar las siguientes hipótesis a un nivel de significación del 5%:
i)
Relevancia de la variable renta familiar.
ii)
Relevancia de la variable procedencia geográfica.
d) Predecir puntualmente y por intervalo (nivel de confianza 95%) la duración de la
educación de un joven de zona urbana cuya familia tiene una renta de 10,5.
9) Si en una estimación por MCC se ha obtenido:
Ŷt =40,5+10,5D1t +0,4X t
y a continuación se estima el siguiente modelo alternativo:
Ŷt = a 0 D 2t + a1D1t + bX t
Donde
D1t = 1 si se trabaja/ 0 en caso contrario.
D 2t = 1 si no se trabaja/ 0 en caso contrario.
Explicar y hallar los valores numéricos de
a 0 , a1 y b en el segundo modelo con la información
del primer modelo.
10) Se desea explicar el comportamiento de la variable Y que representa el sueldo inicial al
ingresar a cierta empresa. El mismo depende del nivel de instrucción, alcanzado por el
postulante, admitiéndose tres niveles de enseñanza: primaria, secundaria y universitaria.
a) Formular el modelo econométrico apropiado.
b) Hallar el valor medio condicional. Interpretar.
c) Hallar la matriz (X′X)
d) Si designamos con:
−1
y los estimadores MCC de los parámetros del modelo.
Np, Ns, Nu: número de postulantes en la muestra con educación primaria,
secundaria y universitaria, respectivamente, verificándose que N = Np + Ns + Nu.
Yp : Ingreso promedio muestral de postulantes con educación primaria.
Ys : Ingreso promedio muestral de postulantes con educación secundaria.
Ys : Ingreso promedio muestral de postulantes con educación universitaria.
Relacionar estos valores promedios con las estimadores del modelo.
11) ¿Qué posibles ventajas presenta el uso de variables dummy frente a las regresiones
particionadas cuando existen cambios estructurales en el modelo testeado? ¿Qué
desventajas posee?
32
12) Considere el modelo para estudiar el consumo de bebidas gaseosas, con datos de nivel
trimestral:
C t = a + bYt + cD1t + dD 2t + eD3t + u t
Siendo:
C t : Consumo de bebidas gaseosas.
Yt : Ingreso personal.
D1t , D 2t , D3t : Variables binarias según la asignación de valores
Primavera
Verano
Otoño
Invierno
a)
b)
c)
d)
D1
0
1
1
1
D2
0
0
1
1
D3
0
0
0
1
Graficar la función propuesta para cada estación.
Hallar los valores medios condicionales.
¿Cómo determinaría la relevancia del efecto estacional?
Considere como alternativa la posibilidad de trabajar con variables
desestacionalizadas:
C∗t e Yt∗ , formulando el modelo:
C∗t = β 0 + β1Yt∗ + v t
Analizar las relaciones entre
β 0 y a , β1 y b .
e) Analizar las diferencias con el siguiente modelo:
Primavera
Verano
Otoño
Invierno
f)
D1
0
1
0
0
D2
0
0
1
0
D3
0
0
0
1
¿Qué ocurriría si se agregara D4 al modelo especificado originalmente, con la
siguiente asignación: Primavera = 1/ 0 en cualquier otra estación?
33
Multicolinealidad
-5-
1) Dadas las siguientes observaciones:
Yt 11 24 35 42 25 23 29 45 18 19
X1t 1 5 7
9 3
2 8 7 11 12
X2t 3 11 15 19 7
5 17 15 23 25
Estimar si es posible por MCC la siguiente regresión:
Yt = a + bX1t + cX 2t + u t
En caso de no ser posible explicar por qué, e indique como corregiría el problema
Si puede demuestre sus afirmaciones.
2) En el modelo de regresión lineal general siguiente:
Yt = α + β X t + γ Zt + ut
¿Podemos afirmar que surgen los mismos problemas de multicolinealidad si
si
β +γ = 5?
¿Qué sucede si en el modelo verdadero
X t + Zt = 5 que
α =0 ?
3) Considere los dos casos siguientes y explique en que situaciones se pueden encontrar
indicios de presencia de multicolinealidad.
CASO A
i)
ii)
iii)
Estimando la regresión de Y sobre X, esta resulta no relevante.
Realizando la regresión de Y sobre Z, también resulta no relevante.
De la regresión de Y sobre X y Z conjuntamente resulta, sin embargo, un buen
ajuste y además ambas variables son individualmente relevantes.
CASO B
i)
ii)
iii)
X resulta relevante en la regresión de Y sobre X.
Z resulta relevante en la regresión de Y sobre Z.
La regresión de Y sobre Z y X nos da un buen ajuste, pero los contrastes
individuales nos indican no relevancia de cada una de las variables.
4) Para estimar el modelo:
Yt = a + bL t + cK t + u t
donde:
Yt : Volumen de producción facturado en el período t.
L t : Cantidad del factor mano de obra en el período t.
34
K t : Cantidad del factor capital en el período t.
Se disponen de las siguientes observaciones:
Yt
Lt
Kt
230
30
160
140
10
50
180
20
100
270
40
200
300
50
210
240
20
190
230
30
160
350
60
300
120
40
150
El investigador estima el modelo tomando solo las primeras ocho observaciones y obtiene los
siguientes resultados:
Ŷt = 97,258 + 0,970L t + 0,650K t
(1,956)
(0,12)
R 2 = 0,999
(0,03)
Cuando se da cuenta del error cometido, piensa que este es irrelevante y decide tomar los
resultados obtenidos como válidos, pero su honestidad profesional se impone y, finalmente
estima el modelo con todas las observaciones (T = 9), obteniéndose en este caso los
siguientes resultados:
Ŷt = 75,479-1,970L t + 1,272K t
(32,046)
(1,74)
R 2 = 0,824
(0,38)
Su desconcierto es grande al comparar ambas estimaciones y no puede comprender cómo,
utilizando una sola observación más, los resultados son tan diferentes.
a) ¿Cabe encontrar alguna razón que permita justificar estas diferencias?
b) ¿Podría haber llegado a la misma conclusión sin necesidad de realizar la segunda
estimación? ¿Podría explicar cómo?
c) ¿Qué herramienta de e-views utilizaría para observar este hecho?
5) Aun en presencia de multicolinealidad las estimaciones MCC siguen siendo BLUE.
Verdadero o falso. Justifique.
6) Si bien la presencia de alta multicolinealidad entre las variables genera un problema para la
estimación MCC, este problema no es grave en el caso que el modelo se utilice para la
predicción. Verdadero o falso.
7) En un modelo de regresión múltiple la presencia de 2 variables explicativas altamente
correlacionadas es condición necesaria para la presencia de multicolinealidad. Verdadero o
falso. Justifique.
8) Un cambio producido como el del ejercicio 4 solo se justifica con presencia de
multicolinealidad. Verdadero o falso. Justifique.
9) ¿Existe un problema similar en un modelo que presenta multicolinealidad (no perfecta) y
otro modelo donde el número de observaciones obtenidas de la muestra es lo
suficientemente reducida? Explique su respuesta.
35
Heteroscedasticidad.
- 61*) Considere el modelo:
Yi = b0 + b1Xi + ui
Var ui = σ2 Z2i
habiendo datos disponibles sobre todas las variables seleccionadas. Indique cómo estimaría el
modelo y diseñe el esquema de cálculo.
2*) Obtenga expresiones matriciales para el estimador MCG, su matriz de covarianzas, así
como el estimador de σ2 u para el modelo:
Yt = b0 + b1X1t + b2X2t + ut
donde E (u t) = 0
∀ t; E (ut2 ) = tσ u2 y E (u t u s) = 0 ∀ t≠ s
3*) Proponga un estadístico para el contraste de hipótesis nula Ho: b1=0 en el modelo:
Yt= b0 + b1X1t + ut
Var(ut ) = σ2τ = σ2u X21t
4*) Se quiere estimar el modelo
Yt= b0 + b1X1t + ut
para el que se dispone de las observaciones
yt 20 45 50 55 70 80
xt 10 20 20 30 40 40
a) Estime el modelo mediante MCO.
b) Suponiendo que tanto las observaciones de x como la constante se multiplican por 10,
obtener la nueva estimación. ¿Supone esto que el modelo es más heteroscedástico?
5*) Considera el modelo
Ct = β0 + β1PNBt + β2Dt + Ut;
donde Ct es el consumo del período t, PNBt es el Producto nacional Bruto del período t, y Dt
son los gastos en defensa del período t. Para estimar los parámetros β0; β1; y β2; se estiman los
siguientes modelos:
2
Ct = 26.19 + 062PNBt – 0.44Dt ; R = 0.9
(2.7)
(0.006)
(0.07)
-1
t
Ct/PNBt = 25.9 PNB
(2.2)
2
+ 0.62 – 0.43 Dt/PNBt ; R =0.8
(0.006) (0.06)
Si se sospecha que la dispersión de los errores pueda estar correlacionado con el PNB,
a) ¿Qué modelo escogería?
b) ¿Qué supuesto sobre los errores habrán hecho los autores de las estimaciones?
6*) Suponiendo el modelo
yt = β0 + β1 x1 + β2 wt + ut;
2
donde ut ≈ N(0; σ ) y donde xt y wt son deterministas. Un investigador cree erróneamente que
2
var(ut) = 2x t, por lo que transforma el modelo y aplica MCO al modelo transformado. ¿Qué
propiedades tendrá este estimador?
36
7*) Establezca si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas y justifique.
a) En presencia de heterocedasticidad, los estimadores MCO son sesgados al igual que
ineficientes.
b) Si hay heterocedasticidad, las pruebas convencionales t y F son invalidas.
c) En presencia de heterocedasticidad, el método MCO usual sobreestima siempre los
errores estándar de los estimadores.
d) Si los residuales estimados a través de una regresión MCO exhiben un patrón
sistemático, significa esto que hay presencia de heterocedasticidad en los datos.
e) Si un regresor que tiene una varianza no constante se omite (incorrectamente) de un
modelo, los residuales (MCO) serán heteroscedásticos.
8*) Sea el modelo lineal sin término constante Y i = bXi + ui donde las variables se expresan
en unidades originales. Halle el estimador del parámetro b suponiendo el patrón de heteroscedasticidad
σ2 ui = σ2 uX2i .
9*) Un econometrista trata de estimar el consumo de una región en función de la renta de esa
región. Para ello toma datos de 10 regiones y propone el siguiente modelo
Ci = β0 + β1Ri + Ui; donde Ci y Ri son al consumo y la renta medios de cada región. El
2
investigador supone que el consumo por individuo tiene una varianza constante σ y aplica
MCO al modelo propuesto. ¿Ha realizado bien la estimación? En caso de que tu respuesta sea
negativa, propón una alternativa.
10**) Heteroscedasticidad por grupos. Se pretende estimar la ecuación de consumo
ci= a +byi +ui, donde ci es el consumo familiar e yi es el ingreso disponible. Para ello
se recoge información de N familias, estructuradas en 5 subgrupos de tamaño Nj ;con
j=1,2,…,5. De cada uno de ellos se obtiene el consumo y el ingreso disponibles agregados, Cj=Σ
ci , Yj=Σ yi con los que se especifica el modelo Cj= α +βyj + vj
a) ¿De cuantos datos se disponen para estimar esta última ecuación?
b) Determinar la relación de los coeficientes de ambos modelos, así como la relación
entre los términos de error ui y vj .
c) Si se supone que E (ui) = 0 y σ2 ui = σ2 u . ¿Cuáles son las características de v j?
d) Si la información recogida es en promedio y no en agregados ¿qué cambios se
producen en el esquema de cálculo?
11***) Para el modelo de regresión lineal, Prais y Houthakker han realizado un supuesto sobre
la estructura de Heteroscedasticidad tal que Var(ui)
σ u2 ( Xb) 2 = σ u2 [E(Y)]2
, en donde X es
la matriz de variables independientes y b es el vector de coeficientes del modelo. Dado tal
supuesto, obtenga la expresión de los estimadores MCG desarrollando el esquema de cálculo.
12**) Dado el modelo lineal sin término constante y un solo regresor:
Yt = βX t + ut
2
donde E(ut) = 0, E( ut ) =
esquema
σ =σ
2
t
2
u
σ t2
y suponiendo que las varianzas cambian de acuerdo con el
Z t, donde Z es variable conocida, obtenga la expresión analítica del
estimador MCG, así como de su varianza. Utilice la desigualdad de Cauchy- Schwartz para
comparar dicha varianza con la del estimador MCC. ¿Qué ocurriría si a pesar de la
heteroscedasticidad se utilizase σu(X´X)-1 como matriz de covarianzas del estimador MCC?
Nota: La desigualdad de Cauchy- Schwartz garantiza que para dos variables cualquiera X e Y
se tiene:
Σ( xy ) 2 = Σ( x 2 )Σ( y 2 )
37
13*) Una empresa de autobuses desea estimar la demanda de billetes (Yt) en función de la
variable constante, del precio de los mismos (X2t) y de la calidad del servicio, evaluada a través
de los gastos que la empresa realiza para la mejora del mismo (X3t). Se dispone de 50 datos
ordenados en forma creciente según la variable X3t y de la estimación MCO de las siguientes
ecuaciones:
(1): Yt = 0.68 - 0.3X2t + 0.33X3t + et
σ =184
(2): e2t= β1 + β2X2t + β3X3t + β4X22t + β5X3t2 + β6X2tX3t + vt
R2 = 0.053
(3): e2t = γ1 + γ2e2t-1 + ωt
R2 = 0.025
(4): Yt = -0.1 – 0.93X2t + 1.48X3t
σ = 204
(5): Yt = 0.42 – 1.85X2t + 1.66X3t
σ = 150
Las tres primeras ecuaciones se estimaron con los 50 datos; la cuarta se estimo con los 20
datos iniciales y la quinta con los 20 datos finales. Supondremos validas las aproximaciones
asintóticas.
a) Contraste el supuesto de homoscedasticidad en el modelo estimado en la ecuación (1)
con el contraste de White.
b) Contraste el supuesto de homoscedasticidad en el modelo estimado en la ecuación (1)
con el contraste de Goldfeld-Quandt, eliminando las 10 observaciones centrales.
14*) Un investigador de la industria del automóvil estima un modelo de ventas mensuales de
automóviles (Yt) en función de la variable constante, la población (X2t) y la renta per capita (X3t)
de varios países del mundo. El modelo satisface los supuestos de Gauss-Markov, excepto el
de homoscedasticidad. Se dispone de 20 datos con los que se obtuvieron las siguientes
estimaciones MCO.
(1) Yt= 1.835+0.059X2t+0.123X3t+et
(1.9)
(11.1)
(2)
et2
σ2
= γ 1 + γ 2 X 2t + γ 3 X 3t + vt
Contraste el supuesto de homocedasticidad en el modelo estimado en la ecuación (1) con
el estadístico de Breusch-Pagan ¿Se puede dar alguna razón económica que explique el
resultado obtenido?
Respuestas. Heteroscedasticidad.
- 6-
2) Ayuda: Ω = ti
38
4)
a)
b̂0 =9.09; b̂1 =1.66
b)
b̂0 =0.909; b̂1 =0.166 VAR( b̂ )= 41.415
La varianza no cambia. Aún si multiplicáramos todas las variables por una constante el
modelo no seria más heteroscedástico sino, de mayor varianza.
5)
a) El segundo.
2
2
b) VAR(µi) = σµ PBN
6) Insesgado pero no eficiente ya que no resuelve el problema de heterocedasticidad.
7)
a)
b)
c)
d)
e)
8) bˆ =
F
V
F
V
V
y*
9) No se ha realizado bien la estimación.
10)
a)
b)
c)
d)
N=5
nja = α ; β = b; Σ ui=vj
La variabilidad de la variable agregada es mayor a la de la variable sin agregar
Cambia la matriz Ω. Se introduce la heteroscedasticidad
11) Ayuda: se trata de un proceso iterativo.
12) Sugerencia: no trabaje en forma matricial para el último punto. Sustituya A=
B= x
x z
z.
13) En ninguno de los casos se detecta la presencia de heteroscedasticidad.
14) Existe heteroscedasticidad. El problema más notorio seria la inclusión de la renta per
cápita. También puede afectar la omisión de variables relevantes, como el precio.
39
Autocorrelación
- 7-
1) A partir de la siguiente información:
Yt
Xt
17
3
13
2
25
7
23
5
17
4
4
2
26
8
28
9
32
11
43
13
46
13
65
15
62
14
48
12
77
17
Yt = b0 + b1 X t + ut utilizando un programa de regresión, que incluye
Se estimó el modelo:
componente de autocorrelación. La salida comprende: a) MCC sobre variables originales; b)
MCC sobre las variables transformadas. Los resultados fueron los siguientes:
a)
b) Y
t
Ŷt = -1,05 + 4,0057X t
*
= -1,87223 + 4,39708X*t
(2,42)
15
∑û
2
t
(0,5032)
15
∑ (uˆ
= 591,7112
i =1
i=1
t
− uˆt −1 ) 2 = 411,7836
Deberá usted a) Indicar si corresponde o no efectuar la corrección por autocorrelación.
En caso afirmativo, expresar la estimación MCG del modelo (no es necesario
que considere la primera fila).
** b) Mostrar que se llega al mismo resultado en forma directa, estimando el
modelo:
Yt * = b0 * + b1 X1* + v t
donde
b0 * = b0 (1-ρˆ ) , es decir, el intercepto ya no es más una fila de unos.
c) Predecir el valor de Y para t = 17, suponiendo que
X17 = 20.
2) Al realizar una regresión MCC con una muestra de 100 datos trimestrales de las series de
tiempo: Y = ingresos por ventas, X1= gastos en I&D y X2= gastos de comercialización; se
obtuvieron los siguientes resultados:
Yˆ = 1, 70+ 1, 25 X 1 + 1, 00 X 2 R2= 0,73
(0,77)
(0,50)
(0,30)
n =100 DW = 0,80.
El consultor que contrató la empresa recomendó seguir invirtiendo en el sector de
investigación y desarrollo, ya que en base a la regresión concluyó que los gastos en ese sector
tenían, al nivel del 5%, un efecto significativo sobre las ventas. ¿La empresa debería adoptar
esa decisión o contratar a un economista más serio? Justifique su respuesta.
3) Suponga el siguiente modelo estimado:
Ŷt = 3,4 + 1,08X1t − 0,83 X 2t
40
38
∑ (uˆ
t =2
t
σˆ u2 = 0, 00026
− uˆt −1 ) 2 = 0, 029
a) ¿Se puede afirmar la existencia de autocorrelación de primer orden? Justifique.
b) En caso de que sea necesario, ¿cómo corregiría el modelo a fin de que los
estimadores cumplan con las características deseadas?
4) Indique si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas justificando adecuadamente
su respuesta.
**a) El principal motivo para utilizar el método de Cochrane-Orcutt en presencia de
autocorrelación consiste en obtener errores estándar correctos para los estimadores minimocuadráticos de los coeficientes
**b) Si luego de realizar la regresión MCC de Y sobre X con una muestra de 100
observaciones, se obtiene la regresión MCC de los residuos sobre sus valores desfasados:
ê t = 0,01 + 0,1 e t-1
entonces la hipótesis nula de ausencia de autocorrelación debe aceptarse a un nivel del 5%.
c) El test de Durbin-Watson supone que la varianza de la perturbación estocástica ut es
homoscedástica.
d) La exclusión de variables relevantes en un modelo de regresión puede generar un valor DW
significativo.
5) Dado el modelo
ut = ρ ut −1 + ε t
Yt = a0 +a1 Xt + ut
donde
t
Y
X
ε t es i., i.d., N(0, σ ε2 ), y disponiendo de las observaciones numéricas:
1
22
4
2
26
6
3
32
10
4
34
12
5
40
14
6
46
16
7
46
20
8
50
22
a) Obtenga una estimación eficiente de los coeficientes a0 y a1, así como de su matriz
de covarianzas, sabiendo que ρ = 0,5 .
b) Contraste la hipótesis Ho: a1= 1.
c) Indique como se estimaría eficientemente el modelo si no se conociese el valor
numérico del parámetro ρ.
***6) Se tiene información de series de tiempo sobre una base trimestral. En los modelos que
contienen datos trimestrales puede resultar conveniente suponer en lugar de un modelo AR(1),
uno AR(4) del tipo:
ut = ρ4 u t-4 + et
es decir, tomar como supuesto que la perturbación actual está correlacionada con la del mismo
trimestre del año anterior y no con la del trimestre anterior.
Para probar la hipótesis de que ρ4 =0 se sugiere una prueba DW modificada:
41
n
d4 =
∑ (uˆ
i =5
t
− uˆt − 4 ) 2
n
∑ uˆ
i =1
La prueba sigue el mismo procedimiento que la DW tradicional.
2
t
En el caso de haber información mensual, ¿podría generalizarse la prueba DW para tener
en cuenta esa información? De ser factible, escriba la fórmula d12 apropiada.
7) Al estimar por MCC un modelo lineal, utilizando 21 observaciones, se obtuvo:
Yt = 1,3 + 0,97Yt −1 + 2,31X t
(0,3)
(0,18)
DW = 1,21
(0,41)
donde las cifras entre paréntesis son las desviaciones típicas asintóticas. Enuncie los
supuestos que requiere el test DW y utilice un método conveniente para contrastar la presencia
de autocorrelación en el término de error.
Respuesta a los problemas impares. Autocorrelación
- 7-
1) a) Ỹt = -5,38 + 4,3970 Xt
( 6,979) ( 0,503)
c) Ŷt+2 = 85, 804
3) a) Hay autocorrelación negativa.
b) Yt + 0,5934 Yt-1 = b0 (1+ 0,5934) + b1 (X1t+ 0,5934Xt-1) + b2 ( X2t + 0,5934Xt-2) + vt
5) a) â0 = 21,3448 ; â1= 1,2931.
 12, 05 −0, 65 
Σ=

 −0, 65 0, 04 
b) No rechazo Ho.
c) Se debe estimar el ρ.
7) Hay autocorrelación, h= 3,20186.
42
Errores de especificación
- 81) Si el verdadero modelo de regresión es:
Yt = a + bX t + u t
pero, por error, se estima:
Yt = c + dX t + eZt + u t
a) ¿Es b = d y e = 0?
bˆ = dˆ y eˆ = 0 ? (Relacione con ejercicio 4 de la practica 1)
ˆ
ˆ = 0 y E(d)=b
c) Demuestre que Ε(e)
b) ¿Es
2) Considere el siguiente modelo explicativo de la variable Y:
y = X1b1 + X 2b 2 + u
Sin embargo, el modelo estimado es:
y = X1b1 + u∗
Demuestre que
σˆ u2 = uˆ *′uˆ * /(T − k − 1) es un estimador que sobrestima σ u2 , incluso cuando
X′1 X 2 = 0 .
¿Qué puede decir de las propiedades de las estimaciones que obtendría de b1? Distinga el
caso en que X′1 X 2 = 0 y X′1 X 2 ≠ 0 . Explique intuitivamente.
3) Suponga que el verdadero modelo explicativo es
error se especifica
Yi = β 0 + β1 X i + β 2 X i2 + ui , pero por
Yi = α 0 + α1 X i + vi .
a) ¿Cuál será la forma del término estocástico?
b) ¿Qué propiedades de las estimaciones se verán afectadas por dicho error?
c) De la pregunta a): ¿puede decir que vi presentará heterocedasticidad? En caso afirmativo,
¿qué propiedades tendrán las estimaciones MCC?
d) Compare a) y c), y discuta diferencias en lo que refiere a propiedades de las estimaciones
MCC.
43
Series de Tiempo
-9Importante: los archivos mencionados en los ejercicios de esta práctica pueden hallarse en la
página web del curso:
http://www.econ.uba.ar/www/departamentos/matematica/plan97/econometria/urbisaia/index.htm
Clickear curso 4 y guía práctica.
1)
Considere un proceso autorregresivo de orden 1 (AR(1))
yt = φ yt −1 + ε t
εt
es ruido blanco
Hallar varianza y covarianzas del proceso. Demostrar que la condición de estacionariedad
implica que
φ
< 1. Expresarlas en forma matricial.
Hallar la función de autocorrelación (FAC) y expresarla en forma matricial. Suponga que
φ =0.9. Graficar el correlograma. Si y80 =55, ¿qué puede decir de y81 ?
2)
Considere un proceso autorregresivo de orden 2 (AR(2))
zt = δ + φ1 zt −1 + φ2 zt − 2 + ε t
εt
es ruido blanco
Hallar E(zt). Reexpresar el modelo en forma de desvíos y nombrar a la nueva variable
“centrada” yt. Hallar las condiciones de estacionariedad en función de φ1 y de φ 2 .Hallar las
autocovarianzas. Hallar la función de autocorrelación (FAC) y de autocorrelación parcial
(FACP).Analice las
condiciones
de estacionariedad para el caso en que
φ1 = 0.5 φ2 = 0.2 δ = 2 .
3)
Dado un proceso MA(1)
wt = α + ε t + θ1ε t −1
Hallar la esperanza matemática del proceso. Hallar la condición de invertibilidad. Hallar la
función de autocovarianza y la función de autocorrelación.
4)
Demuestre que si un proceso AR(1) cumple la condición de estacionariedad (en sentido
débil) puede escribirse como un proceso MA de orden infinito en el que el coeficiente que
acompaña a
εt− j
(el rezago j-ésimo del residuo) es
φ1j .
5)
Halle la función de autocorrelación de un proceso MA(q).
6)
Suponga un proceso MA(1) de la forma:
zt = ut − 5ut −1
Observe que no cumple la condición de invertibilidad. Trabaje con el modelo de manera de
expresar a zt en función de su pasado (v.gr. 3 rezagos) y del pasado de ut. Interprete entonces
el sentido de la no invertibilidad. ¿En cada realización del proceso tiene más importancia el
pasado lejano o el cercano?
44
7)
Considere un proceso AR(p) sin constante. Exprese las condiciones de estacionariedad.
Obtenga las funciones de autocorrelación y de autocorrelación parcial.
8)
Considere dos procesos AR(1) yt y xt. Demuestre que la suma de ambos es un proceso
ARMA(2,1).
9)
Derive la FAC de un proceso ARMA(2,1) y la de un proceso ARMA(1,2). Note que la FAC
se comporta como la de un AR(p) a partir de k > q, donde q caracteriza el orden de la parte
de medias móviles.
10) Considere el siguiente esquema:
 yt = φ yt −1 + ut

ut = ρ ut −1 + vt
donde vt es ruido blanco. ¿Qué proceso genera yt?
11) Explique cómo pueden utilizarse los dos primeros valores estimados de la función de
autocorrelación simple para obtener estimaciones de φ1 y φ 2 en un modelo AR(2):
zt = φ1 zt −1 + φ2 zt − 2 + ε t
ε t ≈ WN
12) En el archivo simular.wf1 encontrará series generadas por simulación según los
siguientes procesos:
•
•
•
•
•
ARMA(1,1)
AR(1)
MA(1)
AR(2)
Variable aleatoria con distribución normal de media 0 y desvío standard 1
Cada serie tiene 250 realizaciones. Descarte las 50 primeras observaciones para evitar
efectos temporarios. Grafique las series con respecto al tiempo. Obtenga la función de
autocorrelación y autocorrelación parcial muestral. Identifique los procesos siguiendo la
metodología de Box y Jenkins. Estime los parámetros.
13) Sea el modelo con rezagos distribuidos:
∞
yt = α + ∑ β j xt − j + ε t
j =0
Expresar el modelo utilizando el operador desfasaje L.
Considerar la hipótesis:
β j = λ j β 0 ; λ ∈ ( 0,1) ;
j = 0,1, 2...
y aplicar la transformación de Koyck.
14) Derive la FACP de un proceso AR(3).
45
15) La teoría más sencilla del valor presente del precio de un activo dice que el precio es la
esperanza del valor (descontado) de todos los dividendos futuros. Suponga que los
dividendos siguen un proceso AR(2). ¿Qué proceso siguen los precios de los activos?
16) En el archivo RETURN.WF1 encontrará la serie "returns." Grafique la FAC y la FACP.
Aplicando la metodología de Box y Jenkins identifique el proceso.
17) Considere un random walk
1
mt = mt −1 + ut
Probar que el proceso no es estacionario.
Generar un modelo en primeras diferencias
wt = mt − mt −1 = ∆mt , probar que es estacionario
y que mt puede expresarse como suma de las diferencias de wt.
2
18) Muestre que los siguientes procesos :
zt = µ + zt −1 + ε t
2. “trend stationary process” zt = µ + β t + ε t
3. “random walk” zt = zt −1 + ε t
1. “random walk with drift”
están caracterizados por una raíz unitaria. Demuestre que la constante produce la tendencia
en el “random walk with drift.” Genere la primera diferencia de los tres procesos. Note que una
de ellas, al menos, es un ruido blanco ¿cuál es? Note que otra es un MA(1). Saque sus
conclusiones.
19) Identificación, Estimación y Predicción de la Inversión
El archivo KOPCKE.WF1 contiene datos trimestrales de la inversión en equipos (IE) y de la
inversión en estructuras (IS) para los Estados Unidos entre el primer trimestre de 1952 y el
último trimestre de 1986.
a) El primer paso es corregir la muestra para trabajar desde el primer trimestre de 1952 hasta el
último trimestre de 1985.
b) La segunda tarea es analizar si estas series son estacionarias. Haga un gráfico de cada
serie contra el tiempo. ¿Se observa alguna tendencia que le haga sospechar que las series no
son estacionarias?. Para confirmar si las series son estacionarias dibuje las funciones de
autocorrelación y autocorrelación parcial para ambas series. Si las series fueran estacionarias
debería observarse un decaimiento exponencial hacia cero de la función de autocorrelación, de
otra forma el decaimiento sería lineal. ¿Qué sucede con las series que está estudiando? Por
último realice el test de raíz unitaria de Dickey-Fuller Aumentado (DFA) utilizando la opción del
test que incluye solamente una ordenada al origen. Determine el número óptimo de rezagos de
la variable dependiente a incluir utilizando el criterio de información de Akaike (Comience con
un rezago máximo de 4). ¿Qué conclusión obtiene?
1
Una de las posibles traducciónes al castellano es “trayectoria al azar”, sin embargo,
por razones de rigurosidad y consistencia con la jerga actual creemos conveniente
denominar a los procesos en inglés.
2
Random walk with drift: trayectoria al azar con desplazamiento.
Trend stationary process: Proceso estacionario en torno a una tendencia.
46
c) De acuerdo a los resultados obtenidos en (b) trabaje con la serie estacionaria, es decir la
original en niveles o la serie en primeras diferencias. Construya el correlograma de cada una
de las series y trate de identificar algún modelo AR, MA o ARMA que caracterice esas series.
Justifique su elección.
d) Habiendo identificado un modelo para IE y un modelo para IS (o sus diferencias) estime los
parámetros de estos modelos. Si en alguna de las series se identificó algún componente AR
estime el modelo usando esos componentes AR y usando la variable rezagada. Por ejemplo, si
se identificó un AR(1) para IE, estime: (IE C AR(1)) y además estime (IE C (IE(-1)). ¿Nota
alguna diferencia entre estas estimaciones? ¿Cómo se podrían reconciliar ambas
estimaciones?
e) Una vez estimados los modelos, analice su identificación en (c) mediante el estudio de la
función de autocorrelación y autocorrelación parcial de los residuos de los modelos estimados.
¿Hay alguna estructura que indique que todavía existe información que no fue capturada por el
modelo identificado? Si la respuesta es afirmativa, vuelva a (c) y repita el procedimiento hasta
que no exista ninguna información en los residuos de los modelos. Haga uso de todas las
herramientas que conoce, incluido el test Q, que proporciona la salida de EVIEWS.
f) El siguiente paso consiste en hacer la predicción de cada una de las series de inversión para
el año 1986. Para esto utilice el botón FORECAST de la salida de la regresión en (d). Cambie
el rango a predecir poniendo desde 1986:1 hasta 1986:4, asegúrese que el método utilizado
por el Eviews sea el dinámico y que la opción FORECAST EVALUATION esté marcada.
Asegúrese de proyectar las series de inversión en niveles aún si estimó los modelos en primera
diferencia.
La salida de la evaluación de la predicción contiene varias medidas que comparan la predicción
con el valor real de la serie. En particular la raíz cuadrada del error de predicción medio
cuadrático (Root mean square error, RMSE) es un estadístico que se utiliza en la práctica para
comparar varias predicciones de la misma variable. Cuanto menor el estadístico mejor la
predicción. Sin embargo, este estadístico sufre del problema de estar afectado por las unidades
de medida de las variables. Para eliminar este problema calcule el RMSE en porcentaje de la
variable a proyectar. Es decir, calcule:
1
 T e2  2
% RMSE ≡  ∑ t 
 t =1 T 
donde T es el número de trimestres de predicción (cuatro en este caso),
et =
I t − Iˆt
es decir el
It
error de predicción en cada trimestre t. (IS o IE). Utilizando esta medida uno podría decir que
la predicción es buena si el % RMSE es menor a 2%. ¿Cuál es su conclusión para las
predicciones que hizo?
20) Demuestre que las predicciones ARIMA son débiles en el largo plazo. Compare sus
propiedades y supuestos subyacentes con respecto a las predicciones clásicas.
21) Suponga que yt sigue un proceso AR(3).
Reescriba yt de manera de realizar el test de Dickey-Fuller de existencia de raíces unitarias.
¿Qué orden de rezago tiene la ecuación del DFA (Dickey-Fuller aumentado) de manera tal que
los errores son ruido blanco?
¿Qué restricción impone sobre los parámetros del AR(3) la hipótesis nula de que existe una
raíz unitaria?
22) Demuestre que si Xt sigue un proceso I(1) e Yt es una serie I(1) y están cointegradas,
entonces el vector de cointegración es único.
47
23) Considere el siguiente ejemplo:
yt + β xt = u1t
yt + α xt = u2t
u1t = 0.2u1t −1 + 0.8u1t − 2 + ε1t
u2t = ρ u2 t −1 + 0.5u2 t − 2 + ε 2t
¿Cuál es el orden de integración de yt y de xt? ¿Bajo qué condiciones están cointegradas?
Suponga que efectivamente están cointegradas y halle el modelo ECM (modelo de corrección
de errores o modelo de corrección de equilibrio).
24) En el archivo data.xls ud. encontrará datos de series correspondientes a la economía
Argentina durante la década de 1980:
•
•
•
•
y:
c:
x:
m:
PBI a precios de mercado en decenas de miles de australes de 1986
consumo en decenas de miles de australes de 1986
exportaciones en decenas de miles de australes de 1986
importaciones en decenas de miles de australes de 1986
Grafique las series en niveles y en logaritmos. ¿La media es constante a lo largo del tiempo?
¿Qué puede decir con respecto a la varianza? Identifique el orden de integración de las series
con el test DFA (Dickey-Fuller aumentado), tanto en niveles como en logaritmos. ¿Sus
conclusiones son válidas para cualquier subperíodo de la década? ¿Puede decir que el
consumo y el ingreso están cointegrados?
25) La cointegración entre los precios de los activos y sus dividendos puede plantearse como
una condición necesaria para la eficiencia de los mercados. Suponga que los precios de los
activos pueden escribirse como:
∞
1
i =1
(1 + r )
Pt = ∑
Donde
i
E ( Dt +i I t ) + ε t
ε t ≈ I (0) .
It es el conjunto de información disponible en t. Suponga también que los
dividendos siguen un random walk:
Dt = Dt −1 + vt
Demuestre que dado que Dt es integrada de orden 1, Pt también lo es. Demuestre también que
si la teoría es válida, ambas variables están cointegradas y que el vector de cointegración es:

 1 
1 ; −  r  
 

48
Modelos Multiecuacionales
- 10 1) Dado el siguiente modelo de mercado en su forma estructural:
Demanda : Qt = 60 – 0.7 Pt + 0.10 Yt + u1t
Oferta : Qt = 20 – 0.6 Pt + 0.8Pt-1 + 0.15 W t + u2t
Equilibrio : demanda = oferta
u1t ,u2t ~ N [0;σ2u ]
a) Analizar las condiciones de identificación.
b) Proponer métodos de estimación parta cada ecuación.
2) Explicar cómo estimaría los parámetros de cada una de las ecuaciones del siguiente
modelo.
y1t + β 12 y2t + δ 11 + δ 12 x2t = u1t
y2t + δ 21 + δ 23 x3t = u2t
β 32 y2t + y3 t + δ 31 + δ 33 x3t = u3 t
3) Para el modelo
y1t + β 12 y2t + δ 11 x1t = u1t
β 21 y1t + y2t + δ 22 x2t + δ 23 x3t = u2t
la matriz de momentos muestrales de segundo orden centrados:
y1
y2
x1
x2
x3
y1
y2
x1
x2
x3
100
200
30
20
40
200
900
0
50
160
30
0
100
0
0
20
50
0
50
0
40
160
0
0
40
a) Calcular las estimaciones de los parámetros de la segunda ecuación por MCI y VI;
comprobar que son idénticas.
b) Comparar las estimaciones por MCC y por MC2E de β 12 y δ 11.
4) La primera ecuación estructural de un modelo de 3 ecuaciones y cuatro variables
predeterminadas es:
y1t = β 12 y2t + δ 11 x1t + δ 12 x2t
Se pide estimar los parámetros de dicha ecuación por MC2E, dada la siguiente información.
la matriz producto X´X es:
49
10
0
0
0
0
5
0
0
0
0
4
0
0
0
0
2
Y además, la matriz [ y1 | y2 ]’.X es :
2
1
3
0
4
2
1
1
5) Considérese el modelo:
y1t = a21 y2t + b11 x1t + b21 x2t + u1t
y2t = a12 y1t + u2 t
a) Obtener la expresión analítica del estimador VI (variables instrumentales) del
parámetro a12 cuando se utiliza la variable x1t como instrumento de y2t .
b) Obtener la expresión analítica del estimador MC2E (Mínimos cuadrados en dos
Etapas) de dicho parámetro.
c) Justificar en qué sentido puede afirmarse que el estimador de MC2E es una
combinación lineal de los estimadores de MCI.
6) Dado el modelo
y1t = a21 y2t + b11 x1t + b21 x2t + u1t
y2t = a12 y1t + b32 x3t + u2t
y la matriz de momentos muestrales de segundo orden centrados:
y1
y2
x1
x2
x3
y1
y2
x1
x2
x3
3,5
3
1
1
0
11,5
1
3
4
1
0
0
1
1
2
a) Calcule el estimador MCC de los parámetros de la forma reducida sin restricciones.
b) Sólo una de las dos ecuaciones del modelo puede estimarse por mínimos
cuadrados indirectos. Discutir cuál de ellas y proceda a su estimación. ¿Es
insesgado este estimador? ¿Es consistente?
c) Estimar la otra ecuación por MC2E. ¿Es insesgado este estimador? ¿Es
consistente?
d) Encuentre las estimaciones de los parámetros de la forma reducida que se derivan
de las estimaciones obtenidas en b) y c). ¿Coinciden estas estimaciones con las
obtenidas en a)?
50
7) Dado el modelo de ecuaciones simultáneas:
y1t = a21 y2t + b11 x1t + u1t
y2t = a12 y1t + b22 x2t + b32 x3t + u2t
y las matrices producto:
1 0 0 


X′X =  0 20 0 
 0 0 10 


 5 10 


X′Y =  40 20 
 20 30 


Estimar la forma reducida del modelo a) por MCC, b) a partir de estimaciones MC2E o
MCI de cada una de las ecuaciones. ¿Coinciden ambas estimaciones? ¿A qué se debe el
resultado? ¿Cambia el procedimiento de estimación utilizado si a21 fuese igual a cero y, a la
vez, los términos de error
8) La ecuación
u1t y u2t fuesen independientes?
y1t = a21 y2t + a31 y3t + b11 x1t + u1t , forma parte de un modelo que incluye
otras tres variables predeterminadas. Si se dispone de los momentos muestrales
60
−20 
 80


Y′Y =  60 240 −180 
 −20 −180 280 


4

0
X′X = 
0

0
20 
 8 8 16


Y′X =  0 16 48 −20 
 0 −8 −48 40 


0 0 0

8 0 0
0 16 0 

0 0 20 
obtenidos a partir de 30 observaciones muestrales, estimar dicha ecuación por MC2E y
obtener las varianzas de sus coeficientes.
9) Analizar la situación de identificación de las ecuaciones del modelo:
Ct = α1Yt + α 2 rt + u1t (función de consumo)
I t = β rt + u2t (función de inversión)
rt = δ 1mt + δ 2Yt + δ 3 Dt + u3t (determinación de tipo de interés)
Yt = Ct + I t
donde las variables:
Ct : Gasto agregado en bs. de consumo.
Yt : Producto Nacional Bruto.
rt : Tasa promedio de rendimiento de la Deuda Pública.
51
I t : Inversión en bs. de equipo.
mt : Tasa de crecimiento de los Activos Líquidos en manos del público.
Dt : Stock de Deuda Pública.
Se hallan todas en desviaciones con respecto a sus medias muestrales. Se consideran
exógenas mt y Dt , y endógenas todas las variables restantes.
b) Proporcionar estimaciones eficientes de los parámetros
momentos muestrales:
Ct
It
rt
mt
Dt
Ct
It
rt
mt
Dt
100
-80
-20
10
-40
80
-60
40
60
80
60
-60
100
50
α1 ,α 2 y β , disponiendo de los
50
10) Dado el modelo:
Ct = α1 + α 2Yt + u1t (función de consumo)
I t = β1 + β 2Yt + β 3Gt −1 + u2 t (función de inversión)
Yt = Ct + I t + Gt
Se pide:
a) Construir la forma reducida del modelo.
b) Estudiar la identificación de las funciones de consumo e inversión.
c) ¿Qué problema tendría el cálculo de la propensión marginal a consumir estimada
aplicando MCC a la primera ecuación?
11) Dados los siguientes modelos :
Ct = α Yt + α2 r t-1 + u1t
I t = β  Yt + β 2 r t-1 + u2t
Y t= C t+ I t
Variables endógenas: Y t , C t y I t , variable exógena: r t
M t = γ rt + γ2 M t-1 + v1t
r t = δ Mt + δ2 M t-1 + δ3 Y t v2t
Variables endógenas: M t y rt , variable exógena: Y t .
a) Evaluar la identificabilidad de las ecuaciones de ambos modelos.
b) Obtener la ecuación de la forma reducida para Y t en el primer modelo y la
ecuación de la forma reducida para rt en el segundo modelo.
c) Evaluar la identificabilidad de un modelo biecuacional compuesto por la ecuación
de la forma reducida para Y t en el primer modelo (una curva IS) y la ecuación de la
52
forma reducida para rt en el segundo modelo (una curva LM). Dadas las series
temporales de datos sobre Y, r y M, ¿Cómo estimaría este modelo?¿Cómo cambia
la estimación de la segunda ecuación de este modelo si se supone que las u y las v
no están mutuamente correlacionadas.
12***) Resuelva los siguientes modelos multiecuacionales determinando si son o no estables.
Analizar el impacto de las variables exógenas sobre el ingreso al cabo de 1, 2, 3 e infinitos
períodos de tiempo. Intente deducir de qué tipo de trayectoria se trata. Contraste sus
presunciones con lo visto en Matemática para economistas.
a) Ct= 0.5Yt-1
It= Ct-Ct-1
Yt= Ct+It+G0
Yt= Ct+It+G0
It= 0.2 (Ct-Ct-1)
Ct= 0.6Yt-1
Yt= Ct+It+G0
It= 3 (Ct-Ct-1)
Ct= 0.7Yt-1
Respuestas. Modelos Multiecuacionales.
- 10 -
1)a) la ecuación de demanda resulta sobreidentificada; la de oferta, exactamente identificada.
b) La primera ecuación puede estimarse por VI y MC2E. Si se opta por el método de VI puede
elegirse Pt-1 o bien W t como variable instrumento. Se obtendrán resultados diferentes, según el
camino elegido.
La ecuación de oferta puede estimarse por MCI, VI o MC2E y los resultados serán idénticos por
ser la ecuación exactamente identificada.
2) Si no se puede suponer que ut (t=1,2,3) son independientes
La primera y la tercera ecuaciones están exactamente identificadas. En este caso
MC2E, MCI y VI son equivalentes y proporcionan estimaciones consistentes. X3 se utiliza
como instrumento para Y3 en la primera ecuación y X2 como instrumento de Y2 en la tercera.
La segunda ecuación no contiene ninguna otra variable endógena aparte de Y2. Por
consiguiente, la regresión por MCC de Y2 sobre X3 proporcionará estimaciones insesgadas y
consistentes.
Si se puede suponer que ut (t=1,2,3) son independientes, despues de reordenar las
ecuaciones y las variables, el sistema es recursivo, por consiguiente se pueden usar MCC
con las tres ecuaciones y proporcionar estimaciones insesgadas y consistentes.
0
 
3) a) −1
 
4
 
 −2 / 9 
 −6 / 23 
 : por MCC 
 : por MC2E
 −3 /10 
 −3 /10 
b) 
4)
1, 6667 


 0, 0333 
 0, 6000 


53
5) c) Porque el estimador MC2E es el estimador de VI que utiliza la matriz
Z = [Ŷ1; X1] como instrumento. Las combinaciones lineales de las variables predeterminadas
utilizadas por el método de MC2E son las que generan un estimador de VI con menor varianza.
6)a)
 1 1


 2 2
 −1 1 


b) Sólo la primera ecuación puede estimarse por MCI por estar exactamente identificada.
 −1 
 
2
4
 
El estimador MCI es, en general, sesgado, a pesar de que los estimadores de la forma
reducida eran insesgados. Esto se debe a que el estimador MCI es una función lineal de las
estimaciones de la forma reducida del modelo. Sin embargo, puede probarse que es
consistenteya que es una función del estimador MCC de la forma reducida.
c) Es sesgado y consistente.
1 
 
 2
7) a)
Ŷ1 = 5X1 + 2X2 + 2X3
Ŷ2 = 10X1 + 1X2 + 3X3
b) de la primera ecuación
 0,909 


 −4, 09 
de la segunda
2
 
 −3 
 −1 
 
Quedando,
Ŷ1 = 5X1 + 10/3X2 + 10/9X3
Ŷ2 = 10X1 + 11/3X2 + 11/9X3
Las estimaciones son diferentes porque las estimaciones por MCC no están
restringidas y, por lo tanto, no satisfacen las restricciones impuestas a los parametros de la
forma reducida por estar sobreidentificado el sistema (porque la primera ecuación esta
sobreidentificada y la segunda exactamente identificada. Hay sólo 2 exógenas y 3
predeterminadas pero hay 6 coeficientes de la forma reducida, las cuales son función de sólo 5
coeficientes estructurales.
Bajo la especificacón adicional el modelo se hace recursivo y las ecuaciones
estructurales pueden ser estimadas consistentemente por MCC.
54
8) Los coeficientes y sus varianzas son,
1, 28 


 1, 03 
 2 


Σ
MC 2 E
ˆˆ
bb
0 
 0, 263 0, 227


0, 222 0 
=  a12
 a
1,55 
a23
 13
9)a) La primera ecuación esta exactamente identificada, la segunda y la tercera están
sobreidentificadas.
10) a) La forma reducida,
Ct = [(1-b1)a1 + b1a2 ] / (1- a2 - b2 ) + a2 / (1- a2 - b2 ). Gt + v1t
It = [a1b2+ (1-a1)b1] / (1- a2 - b2 ) + b2 / (1- a2 - b2 ). Gt + v2t
Yt = [a1 + b1] / (1- a2 - b2 ) + 1 / (1- a2 - b2 ). Gt
b) Ambas ecuaciones se encuentran exactamente identificadas
c) De estimarse la propensión marginal a consumirpor MCC se obtendría una estimación
inconsistente si y sólo si Yt es una variable aleatoria y hay correlación contemporanea entre las
perturbaciones.
11) a) Ninguna de las ecuaciones, en el primer modelo, está identificada. En el segundo
modelo la primera ecuación esta identificada siempre y cuando δ3 sea distinto de cero pero la
segunda ecuación no está identificada.
b)
Y t = [1 / 1 - α1 −β ] [(α2 + β2 )r t-1 + u1t + u2t ]
r t = [1 / 1 - γ1δ ] [δ3Y t + (γ2δ + δ2) M t-1 + δ v1t + v2t ]
c) Si escribimos el modelo biecuacional como:
Y t = θ rt-1 + w1t
r t = θ2 Yt + θ3 M t-1 + w2t
las dos ecuaciones están identificadas siempre que las θ sean distintas de cero. La primera
ecuación tiene solamente una variable endógena retardada en el lado de la derecha, y puede
ser estimada consistentemente por MCC, suponiendo que las perturbaciones no están
autocorrelacionadas. La segunda ecuación puede ser estimada consistentemente por MCI o
por VI (utilizando r t-1 como una variable instrumental para Y t). Si las u y las v no están
correlacionadas, tampoco w1 y w2 lo están y el modelo se hace recursivo, por lo tanto puede
utilizarse MCC.
12)a)
b)
t1= 1
t2= 2
t3= 5/2
t∞= 2
Estable. Oscilante amortiguada.
t1= 1
t2= 1.72
t3= 2.12
t∞= 6.25
Estable. Monótona creciente convergente.
c) Inestable. Oscilante explosiva.
55