Goniometrické vzorce

Goniometrické vzorce
Jakub Michálek
3. března 2007
x−y
sin x + sin y = 2 sin x+y
2 cos
2 cos x + cos y = 2 cos x+y
cos x−y
2
2
cos x − cos y = −2 sin x+y
sin x−y
2
2
sin x sin y = cos(x−y)−cos(x+y)
2
cos x cos y = cos(x−y)+cos(x+y)
2
sin x cos y = sin(x+y)−sin(x−y)
2
Definice McLaurinovým polynomem
sin x ≡ x −
cos x ≡ 1 −
(−1)i x2i+1
i=0 (2i+1)!
i 2i
P∞
x
+
− . . . = i=0 (−1)
(2i)!
i 2i+1
P
3
5
∞
x
− x3 + x5 − . . . = i=0 (−1)
2i+1
5
7
3
1·3·5x
x
+ 1·3x
x + 2·3
2·4·5 + 2·4·6·7 + . . .
x3
3!
x2
2!
arctan x ≡ x
+
x5
5!
x4
4!
− ... =
P∞
arcsin x ≡
P∞ (2i)!x2i+1
=
i=0 (2i i!)2 (2i+1)
Dvojnásobný a polovičnı́ argument
sin 2x = 2 sin x cos x
cos 2x = cos2 x − sin2 x
Pythagorova věta sin2 x + cos2 x = 1, 1 + tan2 x = tan 2x = 2 tan 2x
1−tan x
sec2 x.
2x
sin2 x = 1−cos
2
ix
Gaussova věta e = cos x + i sin x.
1+cos 2x
2
cos x =
n
2
Moivrova věta (cos x + i sin x) = cos nx + i sin nx. tan 2 x = 1−cos
2x
1+cos 2x
Sudost a lichost funkcı́ sin x = − sin (−x) , cos x =
cos (−x).
Sumy
Periodičnost ∀k ∈ Z : sin (x + 2kπ) = sin (x).
sin x
1
PN −1
sin N2x
Definičnı́ vztahy tan x ≡ cos
x , sec x ≡ cos x , csc x ≡
cos (N − 1) x2
n=0 cos nx = sin x
1
2
sin x .
PN −1
sin N2x
sin (N − 1) x2
n=0 sin nx = sin x
P∞ 2
1−p cos x
∀p ∈ (−1, 1) : n=0 pn cos nx = 1−2p
Derivace a integrály
cos x+p2 ,
P∞ n
p sin x
n=0 p sin nx = 1−2p cos x+p2
(sin x)0 = cos x
0
(cos x) = − sin x
0
(sec x) = sec x tan x
0
(tan
x) = sec2 x
R
R sec x dx = ln |sec x + tan x| + C
tan x dx = C − ln |cos x|
0
1
(arcsin x) = √1−x
2
Základnı́ vztahy
0
1
(arctan x) = 1+x
2
0
1
√
(arcsecx) = |x| x2 −1
Sčı́tacı́ vzorce
sin (x + y) = sin x cos y + cos x sin y
cos (x + y) = cos x cos y − sin x sin y
tan x+tan y
tan (x + y) = 1−tan
x tan y
1