Notas de clase

AGRO 5005
BIOMETRÍA
Notas de clase
2016
Raúl E. Macchiavelli, Ph.D.
Linda Wessel-Beaver, Ph.D.
Estas notas complementan el material presentado en el libro de texto del curso
1
Contenidos
1. Introducción .................................................................................................................... 3
2. Recolectando datos ......................................................................................................... 4
3. Organización y resumen de datos: métodos gráficos ...................................................... 6
4. Medidas numéricas de resumen: tendencia central ....................................................... 13
5. Medidas numéricas de resumen: variabilidad o dispersión .......................................... 15
6. Introducción a probabilidad .......................................................................................... 18
7. Distribución normal ...................................................................................................... 21
8. Muestreo aleatorio. Distribución muestral. ................................................................... 26
9. Estimación de parámetros ............................................................................................. 29
10. Pruebas estadísticas ..................................................................................................... 31
11. Pruebas t para dos muestras independientes ............................................................... 35
12. Pruebas t para datos pareados ..................................................................................... 39
13. Introducción al análisis de la varianza ........................................................................ 43
14. Comparaciones múltiples en ANOVA........................................................................ 47
15. Tablas de contingencia ................................................................................................ 51
16. Regresión lineal simple ............................................................................................... 53
17. Diseño en bloques completos al azar .......................................................................... 59
18. Introducción a los diseños experimentales ................................................................. 63
19. Documentación y comunicación de resultados ........................................................... 65
2
1. Introducción
¿Qué es la Biometría?
¿Cómo?
Es la disciplina que se encarga de obtener información a
partir de datos biológicos.
Mediante gráficos, medidas numéricas de resumen (ej., promedio),
comparaciones, predicciones, etc.
Etapas que debemos seguir para obtener información “buena” a partir de los datos:
1.
2.
3.
4.
Recolectar los datos
Resumir los datos
Analizar los datos
Comunicar los resultados
Ejemplo
Queremos conocer el efecto de un nuevo insecticida sobre la población de un cierto
insecto. Para ello el investigador selecciona cinco fincas en la región de interés y aplica el
insecticida a la mitad del área sembrada en cada finca. La otra mitad del área en cada
finca queda como “testigo” o “control”. Nos interesa conocer el número promedio de
insectos por planta luego de aplicar el insecticida, y compararlo con el número promedio
de insectos por planta en el área testigo.
Población(es) de interés: Todas las plantas de ese cultivo a las que podríamos aplicar el
insecticida (o todos los recuentos de insectos en todas las plantas de ese cultivo a las que
podríamos aplicar el insecticida).
Muestra(s): Las plantas tratadas en las cinco fincas que se usaron en el experimento (o
los recuentos en las plantas usadas en el experimento).
La forma más común para obtener información de los datos es realizar una
INFERENCIA acerca de una población de interés con la información disponible en una
muestra de esa población.
Población (conjunto de
todas las medidas)
Muestra (subconjunto de la
población)
3
2. Recolectando datos
a. Muestreos
b. Experimentos
c. Estudios observacionales
Antes de comenzar a recolectar los datos debemos especificar claramente para qué
recolectamos los datos (OBJETIVOS), identificar la(s) medición(es) de interés
(OBSERVACIONES) y seleccionar un diseño o plan apropiado. Estas tres etapas
preliminares se pueden pensar como tres preguntas:
¿PARA QUÉ?, ¿QUÉ?, ¿CÓMO?
Muestreos
Planes de muestreo más comunes:
1. muestreo aleatorio simple
2. muestreo aleatorio estratificado
3. muestreo por conglomerados (de dos o más etapas)
4. muestreo sistemático
En el muestreo aleatorio simple todas las posibles muestras tienen la misma probabilidad
de ser elegidas. En el muestreo aleatorio estratificado la población es heterogénea, y
entonces de divide en estratos más homogéneos. En cada uno de estos estratos se obtiene
una muestra aleatoria simple. Por ejemplo, se muestrean aleatoriamente 15 fincas de
plátano en la región central de la isla, 15 fincas en la región sur y 15 fincas en la región
norte. En este ejemplo los estratos son las regiones.
En el muestreo por conglomerados la población es homogénea, pero por cuestiones
prácticas se muestrea en dos etapas: primero se muestrean grupos de unidades
(aleatoriamente) y luego se muestrean unidades (aleatoriamente) solo en los grupos o
conglomerados seleccionados en la primera etapa. Por ejemplo, muestreamos
aleatoriamente 10 vaquerías, y en cada vaquería seleccionada muestreamos
(aleatoriamente) la leche de 15 vacas. El conglomerado es la vaquería, y la unidad es la
vaca.
En el muestreo sistemático se comienza en un punto aleatorio (por ejemplo la séptima
planta de la primera fila de un cultivo), y luego muestreamos cada 10 plantas.
Métodos de recolección más comunes:
1. entrevistas (personales, telefónicas)
2. cuestionarios (encuestas)
3. observación directa
4. trampas (insectos)
5. muestreo de suelos
6. transectas
7. cuadrículas
4
Experimentos
Diseños más comunes:
1. diseño completamente aleatorizado (DCA)
2. diseño en bloques completos aleatorizados (DBCA)
3. otros diseños y experimentos factoriales
Estudios observacionales
Similares a experimentos pero no hay control sobre las unidades del estudio (ya vienen
con su “tratamiento” asignado). El tipo de inferencia que podemos hacer no es tan
general como en los experimentos.
Manejo de datos
1. Recibir los datos originales (encuestas, libro de campo, cuaderno de laboratorio,
etc.)
2. Crear la base de datos en la computadora.
3. Editar la base de datos (verificar errores, pruebas lógicas, etc.)
4. Corregir y clarificar los datos.
5. Documentar la base de datos.
6. Almacenar (tanto en forma digital como en papel) los archivos originales
7. Obtener los archivos de trabajo (a partir de los originales) para pasar a las
siguientes etapas.
5
3. Organización y resumen de datos: métodos gráficos
1.
2.
3.
4.
¿Qué es lo que se desea informar al lector del gráfico?
Elegir cuidadosamente los títulos, ejes, colores, rayas, etc.
No sobrecargar de información al gráfico.
Practicar mucho!
Gráficos para una variable:
 Gráfico de sectores (“pie chart”, gráfico de torta)
 Gráfico de barras (verticales, horizontales)
 Diagrama de tallo y hojas
 Histogramas de frecuencias (absolutas, relativas)
 Polígonos de frecuencias acumuladas (ojivas)
Gráficos para dos variables:
 Gráfico x-y (diagrama de dispersión o “scattergram”)
 Series de tiempo
Gráfico de sectores (“pie chart”): Se usa para representar partes de un todo (por ejemplo,
porcentajes). Deben usarse para pocas categorías, y si es posible, ordenarse en forma
ascendente o descendente.
Variedad Cuerdas
A
3500
B
1200
C
700
D
300
D (5% )
C (12% )
B (21% )
A (61% )
Gráfico de barras: similar al de sectores, excepto que la altura de la barra es la frecuencia
o porcentaje que se quiere presentar. También se usa para representar totales, promedios,
sumas u otras cantidades en el eje vertical.
6



Se deben dejar espacios entre las categorías discretas.
Los rectángulos deben ser todos del mismo ancho.
Usar barras horizontales si el número de categorías es muy alto.
3700
Cuerdas
2960
2220
1480
740
0
A
B
C
D
Variedad
Gráfico x-y (diagrama de dispersión o “scattergram”): En el eje horizontal (x) se ubica la
variable independiente (“explicativa”) y en el eje vertical (y) la variable dependiente
(“respuesta”).
100
% Germinación
75
50
25
0
0.0025
0.0035
0.0045
Peso Seco
7
0.0055
Series de tiempo: gráfico x-y en el que el eje horizontal es el tiempo. Debe haber al
menos 4-5 puntos en el eje horizontal para poder observar alguna tendencia.
Diagrama de dispersión del precio de la carne de res y de cerdo entre 1925 y1941
84.0
Precio carne (cents/lbs)
74.8
65.6
56.4
47.2
38.0
1924
1927
1930
1933
1936
1939
Año
Carne res
Carne cerdo
Otros gráficos relacionados
Ganancias netas discriminadas por año de las contribuciones de la casa matriz
y cuatro sucursales de una empresa agropecuaria
Ganancias netas (miles de dólares)
600
500
400
300
200
100
0
1991
1992
1993
1994
1995
1996
1997
1998
1999
Año
CM
SUC1
SUC2
8
SUC3
SUC4
2000
2001
1942
% Germinación
100
75
50
25
0
chicas
medianas grandes
Tam año
PG-claro
PG-rojizo
PG-oscuro
Salto en alto en olimpiadas
95
90
altura
85
80
75
70
1896 1900 1904 1908 1912 1916 1920 1924 1928 1932 1936 1940 1944 1948 1952 1956 1960 1964 1968 1972
año
Principales problemas en la construcción, presentación e interpretación de gráficos






Ejes no indican claramente qué se está midiendo
Escalas no apropiadas exageran u ocultan diferencias
Sobrecarga de información no relevante (por ejemplo, palabras muy largas, letras
muy pequeñas, 23 barras adyacentes en cada una de 5 categorías, etc.)
Falta de información relevante (por ejemplo, observaciones individuales atípicas,
desviaciones estándar, etc.)
Demasiados detalles que distraen la atención (por ejemplo, exceso de adornos,
sombras, dimensiones innecesarias, colores que no se aprecian, etc.)
Énfasis en la forma y no en el contenido (estamos enseñando a estudiantes
universitarios, no a alumnos de kinder!)
9
Un sitio muy interesante con ejemplos históricos de buenos y malos gráficos estadísticos
que pueden visitar es http://www.math.yorku.ca/SCS/Gallery/
Diagrama de tallo y hoja: Para resumir muchos datos sin perder demasiada información.
1. Dividir cada observación en dos conjuntos de dígitos: el primero es el tallo y el
segundo es la hoja.
2. Hacer una lista vertical con los tallos.
3. Para cada tallo, anotar las hojas.
4. Si quedan muy pocos tallos con muchas hojas cada uno, usar los dígitos 0-4 como
hojas de un primer tallo y los dígitos 5-9 como hojas de un segundo tallo.
5. Si cada hoja tiene demasiados dígitos, redondear.
Ejemplo: los siguientes son recuentos de insectos por planta en 40 plantas escogidas
aleatoriamente. (Los datos ya están ordenados.)
0
30
47
1
33
49
2
34
52
4
36
55
6
36
55
8
37
56
10
38
56
11
40
57
11
42
58
15
42
58
16
45
59
19
45
59
29
46
29
46
Histograma de frecuencias (absolutas o relativas): Se usa para datos cuantitativos. (Si los
datos son cualitativos, el gráfico análogo es el de barras).
Primero construimos una tabla de frecuencias. Dividimos los datos en intervalos de
clase. Cada dato va a pertenecer a exactamente un intervalo. Para definir estos intervalos
definimos el recorrido = valor máximo – valor mínimo. Dividimos el recorrido entre la
cantidad de intervalos deseados (entre 5 y 20, según el número de observaciones).
Ejemplo: los siguientes son recuentos de insectos por plantas en 40 plantas escogidas
aleatoriamente. (Los datos ya están ordenados.)
ω=59-0=59
Recorrido:
10
Si deseamos usar 6 clases, el ancho de cada intervalo debe ser mayor de 9.8 (para cubrir
todas las observaciones). Por lo tanto usaremos un ancho de cada intervalo de 10.
Para evitar ambigüedades, usaremos los límites de clase con un lugar decimal más que
las observaciones (de esta forma ninguna observación caerá en el límite).
Intervalo
-0.5 – 9.5
9.5 – 19.5
19.5 – 29.5
29.5 – 39.5
39.5 – 49.5
49.5 – 59.5
Marca de
clase
4.5
14.5
24.5
34.5
44.5
54.5
Frecuencia
6
6
2
7
9
10
Frecuencia
Acumulada
6
12
14
21
30
40
Frecuencia
Relativa
.15
.15
.05
.175
.225
.25
Frec.Relativa
Acumulada
.15
.30
.35
.525
.75
1.00
Histograma:
15
frecuencia absoluta
12
9
6
3
0
-0.5
9.5
19.5
29.5
39.5
Ins ectos por planta
11
49.5
59.5
Polígono de frecuencias acumuladas:
1.00
frec. rel. acumulada
0.80
0.60
0.40
0.20
0.00
-0.5
9.5
19.5
29.5
39.5
49.5
59.5
Ins ectos por planta
Las frecuencias relativas siempre tienen una interpretación de probabilidad. Por ejemplo,
si seleccionamos una planta al azar, ¿cuál es la probabilidad de encontrar entre 10 y 19
insectos?, ¿cuál es la probabilidad de encontrar menos de 30 insectos?
12
4. Medidas numéricas de resumen: tendencia central
Las medidas numéricas de resumen son más simples que los gráficos y es más sencillo
hacer inferencias sobre ellas que sobre gráficos.
Podemos calcular medidas numéricas sobre todas las mediciones en una población
(medidas poblacionales o parámetros), o sobre las observaciones en una muestra (medidas
muestrales o estadísticos). En la práctica los estadísticos pueden usarse como estimadores
de los parámetros.
1. Medidas de tendencia central
1a. Modo (moda): medición más frecuente (con la mayor frecuencia).
Ejemplo: 3, 5, 7, 9, 7, 8, 5, 7, 1
Modo= Mo = 7
Para datos agrupados en tablas de frecuencia, es el centro del intervalo modal (el más
“alto” en el histograma).
Puede usarse para datos cualitativos o cuantitativos.
Puede haber más de un modo en la distribución (bimodal, trimodal, etc.)
1b. Mediana: valor central de las observaciones cuando éstas están ordenadas de menor a
mayor.
n 1
.
2
n
n
Si n es par, la mediana es el promedio de la observaciones en posiciones
y  1.
2
2
Si hacemos la convención que una posición fraccional (ej. 5.5) es el promedio de las
n 1
posiciones correspondientes, entonces siempre podemos usar la fórmula
para la
2
posición de la mediana.
Si hay un número impar de observaciones (n), la posición de la mediana es
Ejemplos:
7, 9, 11, 11, 13; n=5, posición=3, Mediana=Md=11
1, 5, 6, 7, 8, 10, 10, 11; n=8, posición= 4.5, Md= (7+8)/2=7.5
Si los datos están agrupados el libro presenta una fórmulas que no vamos a usar, pero son
equivalentes a interpolar a partir de la ojiva. Nosotros podemos leerla directamente desde
este gráfico, como el valor sobre el eje horizontal que acumula el 50% de la frecuencia
total. Para los datos de insectos por planta,
13
Frec. Relativa Acum.
Ojiva
1
0.5
0
0
5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60
Insectos
En este caso la mediana es aproximadamente 38.
1c. Media (promedio o media aritmética). Según sea poblacional o muestral, la
denotaremos como  o Y , respectivamente.
1 n
Y   Yi
n i 1
1 k
Si los datos son agrupados en intervalos, Y   f iYi , donde Yi es el centro de cada
n i 1
intervalo y fi es la frecuencia de cada uno de los k intervalos.
Es la medida más usada, la más simple de interpretar, pero puede estar muy afectada por
valores extremos. Por ejemplo, 1, 3, 5, 7 y 9 tienen Y  5 y Md=5; pero 1, 3, 5, 7, 90 tienen
la misma mediana y Y  21.2 .
1d. Media “recortada” (trimmed mean). La media recortada al 10% ( Yr10% ) se calcula
eliminando el 10% superior y el 10% inferior de los datos y calculando el promedio del
resto.
¿Cómo se comparan Mo, Md, Y y Yr ? Si los datos tienen una distribución simétrica con
un único pico central, todas son aproximadamente iguales. Si la distribución es asimétrica
o “sesgada” (tiene una “cola” más larga que la otra), la media tiende hacia la cola y el modo
hacia el otro extremo.
Modo
No único
No influido por extremos
No puede combinarse
Datos cualitativos o
cuantitativos
Mediana
Único
No influido por extremos
No puede combinarse
Datos cuantitativos (al
menos ordinales)
14
Media
Único
Influido por extremos
Puede combinarse
Datos cuantitativos
5. Medidas numéricas de resumen: variabilidad o dispersión
2a. Recorrido (amplitud): ω=máximo-mínimo
ω=9-1=8
Ejemplo: 3, 5, 7, 9, 7, 8, 5, 7, 1, 2
Para datos agrupados en tablas de frecuencia, es la diferencia entre el límite superior
del último intervalo y el límite inferior del primero.
2b. Recorrido intercuartílico (IQR): para definirlo necesitamos presentar otras medidas
de posición: los percentiles.
El percentil 60 ( P60 ), por ejemplo, es un valor de las observaciones que tiene el 60% de las
observaciones por debajo de él, y un 40% de las observaciones por encima. La mediana,
usando esta notación es P50 .
Los cuartiles son percentiles que dividen el 25%, 50% y 75% de las observaciones:
Q1  P25 , Q2  Md, Q3  P75
Para el cálculo de percentiles y cuartiles de datos agrupados, se usa la ojiva (de la misma
manera que se usa para el cálculo de la mediana).
Para datos no agrupados debemos tener los datos ordenados (por ejemplo en un diagrama
n 1
de tallo y hoja). Recordemos que la posición de la mediana es
. La posición de los
2
cuartiles es
posición de la mediana (truncada)+1
.
2
Si estamos calculando el primer cuartil, comenzamos a contar desde el mínimo, y si
estamos calculando el tercer cuartil, comenzamos a contar desde el máximo.
n  10
Ejemplo: 3, 5, 7, 9, 7, 8, 5, 7, 1, 2
posición de la mediana=5.5
posición de los cuartiles = (5+1)/2=3
Q1  3, Md=6, Q3  7.
El recorrido intercuartílico es la diferencia entre los cuartiles: IQR  Q3  Q1 .
Se debe hacer notar que hay formas alternativas de calcular percentiles y cuartiles para
datos no agrupados, y es posible que InfoStat o Excel den resultados levemente diferentes
cuando la cantidad de datos es pequeña.
15
2c. Varianza. Según sea poblacional o muestral, la denotaremos como  2 o s2 ,
respectivamente.
n
s 
2
 (Y  Y )
2
i
i 1
n 1
Es la medida más usada, aunque para expresarla en las mismas unidades de las
observaciones se prefiere la:
2d. Desviación estándar: s  s 2 .
Fórmula de cálculo para varianza y desviación estándar:
2

 n  

 Yi 
1
1  n 2  i 1  
2
s 
SS 
 Yi  n 
n 1
n  1  i 1






Fórmula de cálculo para datos agrupados:
2

 k
 

  fiYi  
1  k
2
2
s 
 fiYi   i1 n  
n  1  i 1






2e. Coeficiente de variación:
CV=
s
100
Y
Esta medida puede usarse para comparar variabilidad de conjuntos de datos diferentes.
Regla empírica: Si los datos tienen un histograma (distribución) en forma de montaña, el
68% de las observaciones estarán en el intervalo Y  s , el 95% en el intervalo Y  2s y
prácticamente el 100% en el intervalo Y  3s.
Esta regla nos permite aproximar el valor de la desviación estándar usando el recorrido:
s   , o podemos usar s   , aunque este valor seguramente subestima s.
4
6
16
Gráfico de caja (“box plot”)
Este gráfico permite representar las medidas de tendencia central y variabilidad de un
conjunto de datos y nos da al mismo tiempo una idea de la forma de la distribución. Aquí
representamos los cuartiles Q1 y Q3 como los bordes de una caja (es decir, adentro de la
caja quedará el 75%-25%=50% central de los datos). El recorrido intercuartílico es la
longitud de la caja. Además marcamos la mediana como una línea en la caja. InfoStat indica
la media con un punto dentro de la caja. De cada borde de la caja (cuartil inferior o
superior), se dibujan líneas (“bigotes”) que se extienden hasta la última observación que
no es atípica (ver más abajo). En InfoStat, las líneas se extienden hasta el valor mínimo y
máximo, si no hay valores atípicos. Otros autores o programas estadísticas dibujen estas
líneas hasta el percentil 5 o 95 respectivamente.
Cualquier valor que esté “lejos” del centro (recordemos que la caja representa el 50%
central de los datos), va a ser considerado un valor atípico. El libro de texto y InfoStat
consideran valores atípicos todos los que se encuentran a una distancia mayor de 1.5 IQR
del borde de la caja (es decir, 1.5 IQR de Q1 si consideramos los extremos inferiores, o 1.5
IQR de Q3 si consideramos los valores superiores). InfoStat llama el 1.5IQR el semi
recorrido intercuartílico (“SRIC”). El mismo libro de texto y InfoStat consideran valores
atípicos extremos aquellas observaciones a más de 3 veces el IQR del borde de la caja.
Otros textos consideran valores atípicos a las observaciones que están a una distancia
mayor de 3 IQR de la mediana. En este gráfico las observaciones atípicas se representan
por puntos, estrellas, etc. InfoStat utiliza un punto para valores atípicos y un círculo para
valores atípicos extremos.
En el gráfico abajo podemos observar la tendencia central de los datos (mediana, y la
media), la forma de la distribución (simétrica, asimétrica, etc.), los extremos, etc.
Título
Perímetro de fruto (cm)
25
Recorrido Intercuartílico (IQR – “intercuartil
range” ) (50% de las observaciones
Q3
20
Q2
15
Q1
10
Valores atípicos (que se encuentran a
una distancia mayor de 1.5 IQR del
borde de la caja)
5
1998
1999
Año
17
6. Introducción a probabilidad
(El material del capítulo 4 del texto que cubriremos en el curso está en las secciones 1, 2,
3, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12)
¿Para qué sirve conocer probabilidad?
Definiciones:
 Experimento aleatorio: acción cuyo resultado no podemos predecir exactamente
(sólo podemos conocer los posibles resultados)
 Evento: conjunto de resultados de un experimento aleatorio.
Conceptos de probabilidad:
A. Clásica: Ne N
Determinando la probabilidad de un evento
1. Listamos todos los resultados igualmente probables (N)
2. Contamos los resultados que son favorables al evento ( N e )
3. Calculamos la probabilidad: Ne N
Ejemplo: la probabilidad de seleccionar ace: N=52; Ne = 4 (número de
resultados “favorables”; P = 4/52
*Solamente funciona en el caso donde los resultados son igualmente probables
n
B. Frecuencia relativa:  e n en muchas repeticiones.
Interpretación práctica. Se halla la probablidad por medio de experimentación.
La probabilidad es la frecuencia relativa. n = número de veces que se realiza el
experimento; ne = número de veces que evento E ocurre
C. Subjetiva: “Hay un 60% de probabilidad que llueva mañana”.
Propiedad 1:
0  P( A)  1
Eventos mutuamente excluyentes: A y B son mutuamente excluyentes si cuando ocurre
uno el otro no puede ocurrir. Ejemplo: supongamos que el experimento sea tirar un dado,
el evento A sea que salga un número menor que 3, y el evento B sea que salga un número
mayor que 5.
Propiedad 2:
P( A o B)  P( A)  P( B) para eventos mutuamente excluyentes
Complemento de un evento A es el evento que A no ocurra ( A ).
18
Propiedad 3:
P( A)  1  P( A)
Unión de dos eventos: A  B es el evento que A ocurra o que B ocurra.
Intersección de dos eventos: A  B es el evento que A ocurra y que B ocurra.
Propiedad 4:
P( A  B)  P( A)  P( B)  P( A  B)
Variable aleatoria: Es una variable cuyo valor no conocemos de antemano. El valor se
determina mediante un experimento aleatorio. Sólo sabemos cuáles son sus valores
posibles, y conocemos la probabilidad que cada uno de ellos ocurra.
Ejemplo: Definamos la variable aleatoria S, la suma de los resultados obtenidos al arrojar
dos dados. Sus valores posibles son 2, 3, ..., 12. Según lo discutido en clase, conocemos la
probabilidad de que cada uno de los valores ocurra:
P(S=2)=1/36, P(S=3)=2/36, P(S=4)=3/36, P(S=5)=4/36, P(S=6)=5/36, P(S=7)=6/36,
P(S=8)=5/36, P(S=9)=4/36, P(S=10)=3/36, P(S=11)=2/36, P(S=12)=1/36
Las variables aleatorias (al igual que todas las variables) se clasifican en cualitativas y
cuantitativas. En general trabajaremos con variables cuantitativas (numéricas). Éstas a
su vez se clasifican en discretas y continuas.
Ejemplos de variables discretas (típicamente recuentos)
 la variable S del ejemplo anterior
 cantidad de árboles enfermos en una muestra de 10 árboles
 cantidad de hembras en una camada de cerdos
 cantidad de días sin lluvia desde la siembra
Ejemplos de variables continuas (típicamente medidas)
 peso
 altura
 concentración de Mn
 pH del suelo
Distribución de probabilidad de una variable aleatoria (discreta): es una función que
asocia a cada valor de la variable aleatoria su probabilidad.
19
Ejemplo: Y=cantidad de caras al arrojar dos monedas.
0 1 2 Suma
Y
1
P(Y) .25 .5 .25
0.6
0.5
P(Y)
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
0
1
2
Y
Variable binomial





Tenemos n ensayos idénticos
Cada ensayo puede resultar en “éxito” o “fracaso”
P(éxito en un ensayo)=π es siempre la misma para todos los ensayos
Los ensayos son independientes (el resultado de uno no afecta al resultado de otro)
La variable Y es el número de éxitos en los n ensayos.
Ejemplos:
1. Entrevistamos 40 vecinos y le preguntamos a cada uno cuál es su opinión sobre el
nuevo vertedero (favorable/desfavorable)
2. Arrojamos una moneda 6 veces y contamos el número de caras obtenidas.
3. En una finca que tiene un 70% de las plantas de plátano con sigatoka (una enfermedad), muestreamos 50 plantas aleatoriamente y a cada planta la evaluamos para
ver si tiene o no la enfermedad.
La distribución de probabilidad de Y se llama la distribución binomial:
n!
P( y ) 
 y (1   ) n y
y !(n  y )!
La media y la varianza de Y son respectivamente,   n y  2  n (1   ) .
Ejemplo: Para el ejemplo 2, ¿cuál sería la probabilidad de observar 0 caras? ¿y 3 caras?
20
7. Distribución normal
Variable aleatoria continua: ejemplos de variables continuas (típicamente medidas)
 peso
 altura
 concentración de Mn
 pH del suelo
Para variables continuas nos interesa la probabilidad de encontrar observaciones en un
intervalo, P(a  Y  b) , y no en un valor especifico, ya que P(Y  a)  0 .La distribución
de probabilidad se denomina f ( x) y es en general una curva suave. El área bajo esta curva
es 1, y la probabilidades se calculan como áreas bajo la curva entre los valores de interés.
Función de densidad
0.18
f(x)
0.14
0.09
0.05
P(3<x<9)
0.00
0
3
6
9
12
15
18
x
La distribución normal es la más comúnmente usada para variables continuas. Está
caracterizada por dos parámetros:  y  (la media y la desviación estándar respectivamente). La variable aleatoria Y puede tomar cualquier valor real.
 1 Y   2 
1
f (Y ) 
exp  
,
 2 2 
2


   Y  .
Hay infinitas curvas normales, una para cada combinación de  y  .
21
1.
1   2
1   2
1.0
0.8
Curva 1
y=f(x)
0.6
0.4
Curva 2
0.2
0.0
0
1
2
3
4
X
2.
1   2
1   2
1.0
0.8
Curva 1
Curva 2
y=f(x)
0.6
0.4
0.2
0.0
0
1
2
3
4
X
Para calcular probabilidades podemos usar la Tabla 1, que indica probabilidades
asociadas con Z, que es una variable que tiene una distribución normal “estandarizada” (
  0,   1 ). Se debe notar que esta distribución es siempre simétrica alrededor de  .
Ejemplo 1
P(Z
P(Z
P(Z
P(Z
 1)  ?
 1.63)  ?
 0.5)  ?
 1)  ?
Para otros valores de ( ,  ) también podemos usar la tabla 1, notando que en esta tabla
tenemos áreas desde menos infinito hasta Z desviaciones estándar a la derecha. Para usar
Y 
esta tabla debemos calcular primero el valor Z 
.

22
Ejemplo 2,   100,   10. Calculemos
P (Y  120)  ?
P (Y  90)  ?
P (95  Y  110)  ?
P (110  Y  120)  ?
El problema inverso también se puede se puede resolver con la tabla 1: Dada un área o
probabilidad, calcular el valor de Z o Y asociado. Debemos recordar que las áreas que
presenta la tabla 1 son áreas a la izquierda del valor. Por lo tanto siempre debemos
expresarla de esta forma
Ejemplo 3, calcular el valor de a tal que:
P( Z
P( Z
P( Z
P( Z
 a )  .75
 a )  .10  P( Z  a )  0.90
 a )  .3212
 a )  .9599  P( Z  a )  .0401
Ejemplo 4, con   100,  10, calcular el valor de a tal que:
P (Y  a )  .60
P (Y  a )  .1515
P (Y  a )  .33  P (Y  a )  .67
P (Y  a )  .7157  P (Y  a )  .2843
Los mismos cálculos se pueden realizar en InfoStat usando el menú Estadísticas >
Probabilidades y Cuantiles. Allí podemos seleccionar la distribución normal, su media y
su varianza, y el dato que disponemos. Por ejemplo, para el ejemplo 1b, podemos hacer
23
Para el ejemplo 4b,
Para ver gráficamente las áreas y poder variar los parámetros de la distribución normal
podemos usar el menú Aplicaciones > Didácticas > Gráficos de funciones de densidad
continuas, y elegir la normal, con los parámetros de interés. Por ejemplo, para visualizar
el ejemplo 2d,
24
Función de densidad
0.04
Normal(100,100): p(evento)=0.1359
Densidad
0.03
0.02
0.02
0.01
0.00
50
70
90
110
Variable
25
130
150
8. Muestreo aleatorio. Distribución muestral.
Recordemos que el muestreo aleatorio nos permite evitar tendencias sistemáticas (sesgos)
en nuestra inferencia, ya que antes de hacer el muestreo no sabemos qué elementos de la
población van a ser incluidos en la muestra.
Muestra aleatoria simple: cada posible muestra de tamaño n tiene la misma probabilidad
de ser elegida. Existen muestras aleatorias simples con y sin reemplazo, pero para
poblaciones grandes no hay mucha diferencia.
¿Cómo obtenemos una muestra aleatoria simple? Mediante una tabla de números
aleatorios, un generador de números aleatorios en la calculadora, u otro mecanismo físico
que nos permita asegurar igual probabilidad a todas las muestras.
Población de todas las muestras de tamaño n. Dada una población cualquiera, podemos
generar una nueva población cuyos elementos son cada una de las muestras posibles de
un cierto tamaño n. Es una población teórica que nos sirve para estudiar las propiedades
de los estadísticos (medidas de resumen calculadas con la muestra).
Ejemplo: Consideremos una población formada por los números 1, 2, 3, 4, 5. Todas las
muestras posibles de tamaño n=2 (sin reemplazo). Es decir nuestra población de muestras
de tamaño 2 está formada por los siguientes elementos:
(1,2); (1,3); (1,4); (1,5); (2,3); (2,4); (2,5); (3,4); (3,5); (4,5)
Ahora supongamos que calculamos Y , la media muestral a cada una de las muestras. Lo
que tenemos ahora es una media muestral asociada a cada elemento de nuestra nueva
población:
1.5; 2; 2.5; 3; 2.5; 3; 3.5; 3.5; 4; 4.5
Como ésta es una población de medias muestrales, podemos calcular su media  Y  , su
desviación estándar  Y  , etc. También podemos considerar la distribución de probabilidad del estadístico Y . Esta distribución se llama la distribución muestral de Y . En este
caso sería:
Y
f (Y )
1.5
0.1
2.0
0.1
2.5
0.2
3.0
0.2
26
3.5
0.2
4.0
0.1
4.5
0.1
Los pasos a seguir cuando construímos la distribución muestral de un estadístico son:
1. Obtenemos todas las muestras posibles del tamaño deseado (o tomamos muchas
muestras del tamaño deseado).
2. Para cada muestra calculamos el valor del estadístico.
3. Calculamos la probabilidad asociada con cada uno de los valores calculados en 2.
Esto es una construcción teórica para estudiar las propiedades del estadístico. En la práctica
no hacemos esto sino que obtenemos una muestra, y calculamos el valor de la media (u
otro estadístico). Con las propiedades que conocemos usamos este valor de Y para hacer
inferencias acerca de  , la media poblacional de interés.
Para la media muestral, y considerando muestreo con reemplazo, tenemos las siguientes
propiedades:
Y  ;
Y 

n
;
 
2
Y
2
n
Si la población original es normal, la distribución de Y también es normal. Si n es grande, la
distribución de Y es aproximadamente normal aunque la población original no lo sea.
Este resultado se denomina “teorema central del límite”.
¿Cuán grande tiene que ser la muestra para que esta propiedad se cumpla? Depende de la
forma de la distribución de la población original. En la práctica se considera que n  30
ya es suficientemente grande para la mayoría de las aplicaciones reales (esto depende de
la simetría de la población original).
El mismo ejemplo en Infostat. Para generar todas las muestras posibles, ponemos los
datos en una columna, seleccionamos Aplicaciones > Didácticas > Todas las muestras
posibles.
27
Los valores generados aparecerán en una nueva hoja de datos, y entonces podemos
construir una tabla de frecuencias, o un histograma para observar la distribución muestral,
o calcular medidas numéricas de resumen.
Distribución muestral (n=2)
frecuencia relativa
0.25
0.20
0.15
0.10
0.05
0.00
1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0
Valores de media muestral
28
9. Estimación de parámetros
El problema central que la estadística trata de resolver es cómo hacer inferencias confiables. Es decir, tratamos de decir “algo” acerca de la población usando la información
disponible en una muestra. Ese “algo” que nos interesa de la población es típicamente un
parámetro como la media o la varianza (en otros casos el “algo” puede ser la distribución
poblacional completa, no solamente la media y la varianza de la distribución).
Existen dos formas principales de hacer inferencia estadística: la estimación y la prueba
de hipótesis. En la estimación nos interesa dar un valor (o un conjunto de valores)
aproximado al parámetro de interés, mientras que en la segunda tratamos de ver si un valor
postulado del parámetro es razonable a la luz de la evidencia en la muestra.
La forma más obvia de realizar estimación es la estimación puntual: usamos el esta-dístico
como un estimador del parámetro. Por ejemplo, para estimar la media poblacional   
podemos usar la media muestral  Y  . Decimos entonces que Y es un estimador puntual
de  , y podemos indicarlo poniendo un “sombrerito” a  :
ˆ  Y
Ya sabemos de la clase anterior que usar Y como estimador de  es razonable, ya que
Y   (es decir, el promedio de todos los valores posibles de Y es el parámetro de
interés). Otro ejemplo es ˆ 2  s 2 . Podemos verificar que  s 2   2 .
El principal problema con la estimación puntual es que en la práctica no es muy realista.
Es mejor dar un intervalo de posibles valores del parámetro. Esta forma de estimación se
llama estimación por intervalos de confianza. Para construir el intervalo, recordemos el
  
“teorema central del límite”: si n es grande, Y ~ N   ,
 . Esto significa que el 95% de
n



,   1.96 
los valores de Y van a estar en el intervalo    1.96 
 . Pero cada
n
n

vez que Y está en este intervalo,  estará en el intervalo
 Y  1.96 

, Y  1.96 

.
n
n


Esto significa que si obtuviéramos muchas muestras aleatorias de la misma población, el
95% de las veces obtendremos valores de Y con los que podemos construir intervalos que
cubrirán a  .
29
Podemos pensar este proceso de la siguiente manera:
1. Obtenemos una muestra, calculamos Y y el intervalo
 Y  1.96 

, Y  1.96 


n
n


2. Verificamos si este intervalo cubre a  . Si lo cubre, será un intervalo “bueno”, y
si no lo cubre será un intervalo “malo”.
3. Repetimos los pasos 1 y 2 muchas veces.
El 95% de las veces tendremos intervalos “buenos”, y el 5% de las veces intervalos
“malos”.
En la práctica nosotros sólo obtenemos un intervalo, y no sabemos si es “bueno” o “malo”.
Pero como sabemos que la mayoría de los intervalos son “buenos”, decimos que tenemos
una “confianza” del 95% que nuestro intervalo sea “bueno”.
En general, para cualquier nivel de confianza 1    100%, el intervalo de confianza será
donde z
Y  z 
,
, Y  z 



2
2
n
n

es un valor de la tabla normal que deja un área de
2

2
a su derecha.
Si la desviación estándar poblacional  no se conoce y n  30, podemos usar s, la
desviación estándar muestral. Si n  30 veremos más adelante qué hacer.
Tamaño muestral para estimar  :
Para estimar  con un intervalo de confianza de un ancho no mayor de W (o lo que es lo
mismo, para estimar  de manera que quede a una distancia no mayor de E  W de la
2
media muestral Y ) podemos usar la siguiente fórmula, que se obtiene a partir del intervalo presentado antes:



n
2
z
2
E2
2
.
Siempre debemos redondear el resultado hacia arriba, para asegurarnos que nuestro tamaño muestral sea suficiente para lograr la precisión deseada.
Si no conocemos  2 , podemos usar información de estudios previos, estudios preliminares o usar la aproximación    , que presentamos junto a la regla empírica.
4
30
10. Pruebas estadísticas
Esta es una forma de inferencia muy comúnmente usada: establecemos una hipótesis
científica y tratamos de comprobarla (o no) mediante datos observados.
Las etapas en la realización de pruebas estadísticas son las siguientes:
1. Formulación de las hipótesis. La hipótesis alternativa, H a , es la hipótesis de
investigación (es decir, la que formulamos para ver si los datos la verifican). La
hipótesis nula, H 0 , es la que mantendremos si no hay evidencia suficiente a favor
de la alternativa.
2. Definición del estadístico de la prueba.
3. Construcción de la región de rechazo (valores del estadístico que me van a hacer
rechazar H 0 ).
4. Conclusiones (aceptación o rechazo de H 0 ).
Ejemplo: Queremos probar que el diámetro promedio del tronco de árboles de una cierta
variedad de mango es mayor que 25 cm a los 5 años de injertado.
Las hipótesis pueden formularse así:
H 0 :   25
H a :   25
En la práctica, la hipótesis nula se plantea como el valor más cercano a la alternativa. En
este caso sería H0 :   25 .
Para probar estas hipótesis, obtenemos una muestra aleatoria de 15 árboles y medimos
sus diámetros. Supongamos por el momento que conocemos que la distribución de los
10 

diámetros es N ( ,10) . Entonces podemos afirmar que Y ~ N   ,
.
15 

Con esta información podemos definir nuestra región de rechazo, que estará formada por
valores de Y que sean contradictorios a H 0 . En este caso podemos pensar en un conjunto
de valores de Y mayores a una cierta constante Yc , ya que éstos serían los valores
contradictorios a la hipótesis nula.
31
Gráficamente, si H 0 es verdadera,
0.2
f(y)
0.1
0.1
0.0
0.0
12.1
25.0
18.5
Yc
37.9
31.5
Diámetro
Al tomar una decisión podemos estar cometiendo uno de los dos errores siguientes:
1. Rechazar H 0 cuando ésta es verdadera (error de tipo I).
2. Aceptar H 0 cuando ésta es falsa (error de tipo II).
El criterio para definir la región de rechazo es fijar la probabilidad de cometer un error de
tipo I (  ) y definir en base de este valor la región de rechazo. Debemos observar que este
error de tipo I se puede cometer cuando H 0 es verdadera, y en ese caso nosotros
conocemos exactamente la distribución de Y :
10 

Y ~ N  25,
.
15 

Supongamos que fijamos   0.05 . Entonces la región de rechazo estará formada por los
10
 29.25
valores de Y  25  1.645
15
Ahora supongamos que en nuestra muestra, Y  30. Como 30 está en la región de rechazo,
la conclusión es que rechazamos H 0 , y por lo tanto afirmamos que el diámetro promedio es
mayor que 25.
Otra manera de alcanzar la misma conclusión es definir nuestro estadístico de la prueba como
Z
Y  0

n
y calcular la región de rechazo en función de Z. En este caso sería Z  1.645. Como el
30  25
valor observado de Z 
 1.936 está en la región de rechazo, entonces
10
15
rechazamos H 0 .
32
Las etapas en la realización de pruebas estadísticas son las siguientes:
1. Formulación de las hipótesis nula y alternativa ( H 0 y H a ). Existen tres tipos de
hipótesis alternativas, según cuál sea la hipótesis científica de interés:
Ha :   0 ,
Ha :   0 ,
Ha :   0 .
Las dos primeras son hipótesis unilaterales (o “de una cola”), mientras que la
tercera es bilateral (“de dos colas”).
2. Definición del estadístico de la prueba:
Y  0
Z
.

n
3. Construcción de la región de rechazo (R.R.), que son los valores del estadístico
que me van a hacer rechazar H 0 . Ésta dependerá de la hipótesis alternativa:
Para H a :   0 , la R.R. es Z  Z ,
para H a :   0 , la R.R. es Z   Z
y para H a :   0 , la R.R. es Z  Z 2 .
4. Conclusiones (aceptación o rechazo de H 0 ).
Otra manera de definir nuestra región de rechazo es mediante el “valor p” o “nivel de
significancia observado”. Este método consiste en calcular el área hacia los valores más
extremos que el valor observado de Z y comparar esta área con  . En este caso la regla de
decisión es muy simple:
Si p   , rechazamos H 0 ,
y si p   , no rechazamos H 0 .
El cálculo de p depende de la hipótesis alternativa:
Para H a :   0 , p  Pr( Z  Z observado ),
para H a :   0 , p  Pr( Z  Z observado ),
y para H a :   0 , p  2 Pr  Z  Z observado  .
Ejemplo: Para el ejemplo de la clase anterior, recordemos que para probar
H0 :   25, Ha :   25 teníamos Y  30,   10, n  15 y Z  1.936. El valor p es el área
a la derecha del valor observado de Z (1.94):
p  Pr(Z  1.94)  1  .9738  .0262
33
¿Qué hacemos cuando  es desconocido?
Podemos estimarlo con s (la desviación estándar muestral). Si el tamaño de muestra es
grande (n>30) entonces podemos sustituir  por su estimador y usar el mismo
estadístico que usábamos antes. En caso contrario tenemos que usar otro estadístico: la t
de Student.
Y  0
t
.
s
n
Los valores críticos para definir la región de rechazo son diferentes y deben buscarse en
otra tabla. Para usar esta tabla necesitamos conocer los “grados de libertad”, que son el
denominador del estimador de desviación estándar que estemos utilizando (en este caso
recordemos que s tiene como denominador a n  1 , y por lo tanto tenemos n  1 grados de
libertad). Si los grados de libertad son  , entonces la distribución es la normal estándar.
Resumen
Hipótesis
H0 :   0
Ha :   0 ,
Ha :   0 ,
Ha :   0 .
Y  0
Estadístico de la prueba:
t
.
s
n
Región de rechazo: t  t ,
t  t ,
t  t 2 .
Conclusiones (aceptación o rechazo de H 0 ).
Para usar esta prueba, los datos deben ser normales (o por lo menos, en forma de
montaña).
Un intervalo de confianza para  basado en el estadístico t es Y  t 2 s
34
n
.
11. Pruebas t para dos muestras independientes
Consideremos la siguiente situación: queremos estudiar el efecto de una droga sobre la
cantidad de parásitos en corderos. Para este estudio se eligieron 14 corderitos similares,
todos infectados con el parásito. A 7 de ellos (elegidos aleatoriamente) se los trató con la
droga, y los otros 7 se dejaron sin tratar. Al cabo de 6 meses se contó el número de
gusanos presentes en los intestinos de cada uno de los corderos.
Tratados 14
43
28
50
16
32
13
𝑌̅1=28.00
s22=215.00
Control
54
26
63
21
37
39
Y2  40.00
s22  215.33
40
¿Cuáles serían las hipótesis de interés?
H0 : 1  2
Ha : 1  2
(Las siguientes hipótesis son idénticas: Ha: tratados < control; Ha: control > tratados)
Para poder probar estas hipótesis debemos conocer la distribución muestral de Y1  Y2 .


 
 
Sabemos que Y1 ~ N  1 , 1  y que Y2 ~ N  2 , 2  . Además, ambas medias son


n1 
n2 


independientes (por la forma en que diseñamos nuestro experimento). Entonces,

2 2 
Y1  Y2 ~ N  1  2 , 1  2 

n1 n2 

Si suponemos que 12   22 , el error estándar de la diferencia se simplifica a 
1 1
 .
n1 n2
El estimador de la varianza común se denomina s 2p y se calcula como un promedio
ponderado de las dos varianzas:
s
2
p
n1  1 s12   n2  1 s22


n1  n2  2
s12  s22
.
2
estimador  valor hipotético
Ahora recordemos la estructura del estadístico t 
. Para
error estándar del estim.
probar las hipótesis de interés podemos usar también un estadístico t con la misma
estructura.
Este estimador tiene n1  n2  2 grados de libertad. Si n1  n2 , entonces s 2p 
35
H 0 : 1  2  D0
H a : 1  2  D0
H a : 1  2  D0
1. Hipótesis:
H a : 1  2  D0
t
2. Estadístico:
3. Región de rechazo:
Y1  Y2  D0
1 1
sp

n1 n2
t  t , t  t
o
t  t
2
(los grados de libertad son n1  n2  2 )
4. Conclusiones.
También podemos calcular un intervalo de confianza para 1  2 basado en el
estadístico t:
1 1
Y1  Y2  t 2 s p
 .
n1 n2
Para que la prueba y el intervalo sean válidos, necesitamos realizar tres supuestos:
1. Poblaciones normales
2. Varianzas iguales
3. Muestras independientes
Ejemplo (continuación). Para el ejemplo presentado antes, sp = 14.67 y t = -1.53 (t
“observado”) Para   .05 la región de rechazo son los valores de t  1.782 (observar
que tenemos 12 g.l.). Por lo tanto la conclusión es que aceptamos H 0 : no hay evidencias
para decir que el tratamiento con droga es mejor que el control sin droga. [si usamos Ha:
control > tratado, entonces t = +1.53, la región de rechazo son los valores de t > +1.782, y la
conclusión es la misma).
Muestras con Varianzas no iguales
¿Cómo sabemos si las varianzas poblacionales son iguales? Existen distintas pruebas para
ello. Infostat calcula una prueba F que la estudiaremos en el laboratorio correspondiente.
Si los tamaños de muestra son iguales, podemos usar el cociente entre las varianzas
muestrales como criterio aproximado: si la varianza mayor dividida la menor nos da un
cociente menor a 3, entonces el supuesto de varianzas poblacionales iguales es aceptable.
¿Qué hacemos si el supuesto de varianzas iguales no se cumple? Existe una prueba aproximada, llamada la prueba t de varianzas separadas. El estadístico de esta prueba es
t'
Y1  Y2  D0
s12 s22

n1 n2
, y los grados de libertad se calculan como:
36
gl 
 n1  1 n2  1
, donde c 
 n2  1 c2   n1  1 (1  c)2
s12
n1
.
s
s22

n1 n2
2
1
Ejemplo en InfoStat:
Cada dato se clasifica de una
sola manera: por su tratamiento
(tratado o control).
(“tratamiento” es el “criterio de
clasificación”
37
Infostat entran los nombres de
grupos en orden alfabético.
Para este ejemplo, grupo 1 es
CONTROL y grupo 2 es
TRATADOS. La Ha es:
control > tratados, una prueba
unilateral DERECHA
`
Resultado de la prueba F de homogenidad de
varianzas. Como 0.9985 > 0.05, concluimos que
el supuesto de varianzas poblacionales iguales
es aceptable.
Dos maneras de interpretar los resultados:
 t “observado” (1.53) es menor que t “crítico” o “tabular”
(1.782). Está en la región de aceptación. Aceptamos Ho: no
hay evidencia para decir que el uso de la droga fue mejor que
no usarla (control)

El p-valor es mayor que alpha (0.0759 > 0.05). Aceptamos
Ho: no hay evidencia para decir que el uso de la droga fue
mejor que no usarla (control)
38
12. Pruebas t para datos pareados
Consideremos la siguiente situación: queremos comparar dos laboratorios en cuanto a su
confiabilidad para determinar residuos de plomo en muestras de suelo. Para ello escogemos aleatoriamente 7 muestras de suelo. A cada muestra la dividimos por la mitad, y
enviamos una mitad al laboratorio 1 y la otra al laboratorio 2.
Laboratorio1 7.6
10.1 9.5
1.3
3.0
5.4
6.2
Y1  6.1571
s12  10.4895
Laboratorio2 7.3
9.1
1.5
2.7
4.8
5.4
Y2  5.6000
s22  8.1467
8.4
¿Cuáles serían las hipótesis de interés? H0 : 1  2
El estadístico de la prueba es t 
Ha : 1  2
6.1571  5.6
 0.343 , y el valor crítico para   .05 es
3.0525 17  17
t12;.025  2.179. Por lo tanto la conclusión sería que aceptamos H 0 .
Si observamos los datos cuidadosamente podemos ver que casi siempre el laboratorio 1
presenta resultados más altos que el laboratorio 2. El problema es que la prueba t realizada
supone que los datos son independientes, mientras que claramente los datos son “pareados”
por lo que la prueba realizada es inválida.
Para situaciones como esta existe una prueba que es apropiada: en vez de considerar los
datos separadamente podríamos considerar las diferencias entre los datos de cada par. De
esta manera eliminamos las diferencias entre pares (que no nos interesan) y nos
concentramos en las diferencias dentro de cada par (que es lo que realmente nos interesa).
En nuestro ejemplo nos interesa saber si, para una muestra de suelo dada, hay diferencias
entre los dos laboratorios, pero no nos interesa que haya o no diferencias entre muestras
diferentes (en realidad, es mejor que haya muchas diferencias entre los diferentes pares, así
nuestra inferencia es más general).
En resumen, lo único que necesitamos hacer es crear una nueva variable di  Y1i  Y2i , y
realizar una prueba t para una muestra. Es decir, hemos reducido nuestro problema a tener
una muestra aleatoria de diferencias, y ya sabemos que tenemos la prueba t disponible para
esta situación.
39
1.
H 0 : 1  2  0
H a : d  0
( d  0)
H a : d  0
Hipótesis:
H a : d  0
t
2.
Definición del estadístico:
3.
Definición de la región de rechazo:
(los grados de libertad son
4.
d 0
sd
n
t  t , t  t
o
t  t
n  1 , donde n es el número de pares)
2
Conclusiones.
También podemos calcular un intervalo de confianza para 1  2 basado en el
estadístico t:
s
d  t 2 d .
n
Para que la prueba y el intervalo sean válidos, sólo necesitamos suponer poblaciones
normales (y tener el estudio diseñado como observaciones pareadas).
Para hacer los cálculos en Infostat, los datos deben disponerse en columnas separadas, y
cada fila representará un par. El menú Estadísticas>Inferencias para dos muestras>
Prueba t apareada nos permite realizar la prueba.
Los resultados para la prueba bilateral y para el intervalo de confianza del 95% son:
Prueba T (muestras apareadas)
40
Obs(1)
Lab. 1
Obs(2)
Lab. 2
N
7
media(dif)
0.56
DE(dif)
0.46
T
3.22
p Bilat_
0.0181
Usando un nivel de significancia del 5%, podemos ver que rechazamos la hipótesis nula,
ya que el valor p es menor que α. Usando la tabla, el valor crítico correspondiente a 6
grados de libertad y 0.025 (α/2, ya que es una prueba a dos colas), es 2.447, por lo que la
conclusión es también rechazar H0.
Los mismos resultados se obtienen si creamos una variable diferencia=lab1-lab2 (usando
el menú Datos>Fórmulas), y realizamos una prueba t de una muestra:
41
Si hubiésemos usado (en este caso) erróneamente la prueba t para muestras
independientes, los datos se deberían haber arreglado de otra manera,
42
13. Introducción al análisis de la varianza
En esta clase vamos a generalizar la idea de comparar dos medias independientes.
Mediante el análisis de la varianza se puede probar la igualdad de t medias
 H 0 : 1  2  ...  t  .
Consideremos los siguientes ejemplos. Los datos son diámetros de aguacates de 3
variedades (5 frutos de cada variedad).
CASO A
6.00
5.95
5.90
5.85
5.80
Y  5.90
5.59
5.54
5.50
5.46
5.41
Y  5.50
CASO B
5.90
4.42
7.51
7.89
3.78
Y  5.90
5.10
5.05
5.00
4.95
4.90
Y  5.00
6.31
3.54
4.73
7.20
5.72
Y  5.50
4.52
6.93
4.48
5.55
3.52
Y  5.00
Caso B
Caso A
8.30
7.30
7.30
6.30
6.30
Y
Y
8.30
5.30
5.30
4.30
4.30
3.30
3.30
Var 1
Var 2
Var 1
Var 3
Var 2
Var 3
Variedad
Variedad
Aquí podemos ver que en ambos casos las medias muestrales son las mismas, pero nosotros
estaríamos más convencidos que las medias poblacionales serían diferentes en el caso A,
mientras que en el caso B no estaríamos tan seguros. Esto se debe a que los datos en A son
menos variables dentro de cada muestra.
Podemos particionar la variabilidad de las 15 observaciones en dos: la variabilidad dentro
de cada muestra (grupo) y la variabilidad entre muestras (grupos). Si la variabilidad entre
muestras es grande con respecto a la variabilidad dentro de muestras (Caso A), entonces
vamos a pensar que los grupos tienen medias poblacionales distintas. Por otra parte, si la
variabilidad entre grupos es más o menos comparable a la variabilidad dentro de grupos,
entonces no habría evidencias para concluir que las medias poblacionales son diferentes.
43
Cuando pensamos en la variabilidad de las Yij podemos ver que éstas varían debido a dos
causas: una es que pertenecen a distintos grupos (las “i” son diferentes) y la otra es la
variabilidad aleatoria dentro de cada grupo (las desviaciones que existen entre cada Yij y
su promedio i ):
Variabilidad total = Variabilidad entre grupos + Variabilidad dentro de grupos
Si sólo tuviéramos dos grupos (tratamientos) entonces usaríamos el estadístico t para dos
muestras independientes
Y Y
t 1 2
s p n11  n12
Aquí también estamos comparando la variabilidad “entre” (en el numerador) con la
variabilidad “dentro” (en el denominador).
Si tenemos más de dos grupos podríamos comparar de a pares (por ejemplo, probar 1  2
, 1  3 , 2  3 ), pero tenemos el problema que los errores de tipo I pueden acumularse,
y entonces las pruebas no ser válidas. La idea es entonces lograr una prueba para probar
simultáneamente todas las medias. Esta prueba se basa en el estadístico F obtenido de la
tabla de ANOVA para la partición de la variabilidad total en variabilidad “entre” y
“dentro”.
La notación que usaremos será la siguiente: tenemos t tratamientos, cada uno con ni
repeticiones.
Yij denota la j  ésima observación del i  ésimo tratamiento .
ni
Yi   Yij , es la suma de todas las observaciones del tratamiento i.
j 1
t
ni
t
Y   Yij   Yi , es la suma de todas las observaciones.
i 1 j 1
i 1
Yi es la media de las observaciones del tratamiento i.
Y es la media de todas las observaciones (media general).
n   ni es la cantidad total de observaciones (nt si hay n observaciones en cada tratamiento).
i
44
Las sumas de cuadrados se calculan de la siguiente manera:
SCTotal=SCTot   Yij  Y    Yij2  Y
2
2
i, j
i, j
n
SCEntre=SCTratamientos=SCTrat   ni Yi  Y   
2
i
i
Yi2 Y2

ni n
SCDentro=SCResidual=SCError=SCRes   Yij  Yi   SCTot-SCTrat
2
i, j
La siguiente es la tabla de ANOVA:
Fuente de
Variación
Tratamiento
Residual (Error)
Total
Suma de
Cuadrados
SCTrat
SCRes=SCE
SCTot
grados de
libertad
t 1
n  t
n  1
Cuadrado
Medio
CMTrat
CMRes=CME
F
F=CMTrat/CME
H 0 : 1   2  ...  t
H a : al menos una i es diferente
Estadístico de la prueba: F  CMTrat
CME
Región de rechazo: F  F (g.l.: t 1, n  t )
Vamos a aplicar estas ideas a un ejemplo: consideremos los siguientes datos de contenido
de almidón en tallos de tomate bajo 3 regímenes diferentes de fertilización:
A
22
20
21
18
16
B
12
14
15
10
9
C
7
9
7
6
2
SCTot   Yij2  Y
i, j
n
 3062  200
2
15
14
Y1  111
Y1  18.5
Y2  60
Y2  12.0
Y3  7.25
Y3  29
 395.3333
Yi2 Y2 1112 602 292 2002
SCTrat   




 317.0833
n
6
5
4
15
i ni
SCRes  SCTot-SCTrat=78.2500
45
Fuente de Variación
Suma de
Cuadrados
grados de
libertad
Cuadrado
Medio
F
Tratamiento
Residual (Error)
Total
317.0833
78.2500
395.3333
2
12
14
158.5417
6.5208
24.313
H 0 : 1   2  ...  t
H a : al menos una i es diferente
Estadístico de la prueba: F  CMTrat
CME
Región de rechazo (α=.05): F  3.89
Cálculo del estadístico de la prueba: F  24.313
Conclusión: Rechazamos H 0 , al menos uno de los tratamientos es diferente.
Otra manera de pensar este análisis es mediante un modelo para explicar cada observación:
Yij  i   ij
Vemos que cada tratamiento tiene su propia media. Los supuestos que hacemos para que
nuestra prueba sea válida son los siguientes: vamos a asumir que los 11 ,...,  tnt son
independientes y tienen distribución normal con media 0 y varianza constante:
 ij ~ N  0,   
Otra manera de escribir este mismo modelo es pensando que cada media i se puede
descomponer en una media general  y una desviación de esa media i , que llamaremos
el “efecto” del tratamiento i  i  i    . Esta formulación nos permitirá extender el
modelo a otras situaciones y diseños experimentales.
Yij  i   ij    i   ij
Las hipótesis que estamos probando pueden escribirse en término de cualquiera de las
dos formulaciones del modelo:
H 0 : 1   2  ...   t  0
H 0 : 1   2  ...  t
H : al menos un  es diferente de 0
a
H a : al menos una i es diferente
46
i
14. Comparaciones múltiples en ANOVA
Cuando rechazamos la hipótesis nula de igualdad de medias de tratamiento (o ausencia de
efectos de tratamiento), concluimos que al menos una de las medias es diferente. La
pregunta que nos hacemos inmediatamente es ¿cuál es/son la(s) media(s) diferente(s)?
Una manera de responder a esta pregunta es a través de la comparación de cada media con
todas las restantes, usando uno de los procedimientos de comparaciones múltiples. Éstos
consisten en probar las siguientes t(t-1)/2 hipótesis:
1  2 ; 1  3 ; ...; t 1  t .
Si tuviésemos una sola de estas hipótesis que probar, podríamos usar el estadístico t para
dos muestras independientes. Como aquí tenemos más de una hipótesis, el uso de t para
cada una podría ocasionar una acumulación de los errores, por lo que sólo se aconseja hacer
esta prueba luego de encontrar mediante la prueba F que hay diferencias entre al menos
una de las medias.
Bajo el supuesto que las varianzas son iguales, el mejor estimador de la desviación estándar
común es sw  CME . Entonces podemos construir cada uno de los estadísticos t como,
por ejemplo,
Y1  Y3
t
CME n11  n13
Supongamos que la cantidad de repeticiones en cada tratamiento es la misma (n). Entonces,
Y1  Y3
.
t
CME n2
¿Cuándo vamos a rechazar la hipótesis nula y quedarnos con la alternativa (de dos colas)?
Cuando el valor del estadístico t sea mayor (en valor absoluto) que t 2 . Es decir, vamos a
concluir que las medias i y j son diferentes cuando
t 
Y1  Y3
CME
2
n
 t .
Equivalentemente, vamos a concluir que las medias i y j son diferentes cuando
2
2CME
Yi  Y j  t sw
 t
=DMS.
2
2
n
n
Debemos notar que la cantidad a la derecha no depende de i o j (siempre que los n sean
iguales) y se llama DMS “diferencia mínima significativa” porque es la diferencia más
pequeña que va a hacer que dos medias sean consideradas diferentes. Si los tamaños
muestrales fueran diferentes, entonces el DMS dependerá de los ni , n j .
47
2
Ejemplo
Vamos a considerar un ejemplo en el que tenemos 6 tratamientos, cuyas medias aparecen
en orden descendente a continuación. El valor de la diferencia mínima significativa es
DMS=2.2.
Tratamiento
Trat. 3
Trat. 1
Trat. 5
Trat. 4
Trat. 2
Trat. 6
Y
35.7
34.0
33.9
25.1
24.7
22.8
a. El primer paso va a ser comparar la media del tratamiento 3 con todas las que le siguen
(es decir, Y3 con Y1 , Y3 con Y5 , Y3 con Y4 , Y3 con Y2 , Y3 con Y6 ). Vamos a conectar con
una línea las medias que no son significativamente diferentes (es decir, aquéllas cuya
diferencia sea menor que DMS)
Tratamiento
Trat. 3
Trat. 1
Trat. 5
Trat. 4
Trat. 2
Trat. 6
Y
35.7
34.0
33.9
25.1
24.7
22.8
b. Ahora compararemos Y1 con todas las medias que le siguen, y conectaremos con líneas
las medias que no son significativamente diferentes de Y1 :
Tratamiento
Trat. 3
Trat. 1
Trat. 5
Trat. 4
Trat. 2
Trat. 6
Y
35.7
34.0
33.9
25.1
24.7
22.8
c. Cuando seguimos el proceso para Y5 , observamos que la media que le sigue, Y4 , tiene
una diferencia mayor que DMS, y por lo tanto no podemos poner una línea que una Y5
con una media que está más abajo.
48
d. Repetimos el proceso para Y4 y Y2 :
Tratamiento
Trat. 3
Trat. 1
Trat. 5
Trat. 4
Trat. 2
Trat. 6
Y
35.7
34.0
33.9
25.1
24.7
22.8
e. Observar que hay una línea (uniendo las medias 1 y 5) que está de más, ya que las
medias 1 y 5 ya aparecen unidas por la línea que va desde la media 3 hasta la media 5.
Por lo tanto, eliminamos la línea redundante.
Tratamiento
Trat. 3
Trat. 1
Trat. 5
Trat. 4
Trat. 2
Trat. 6
Y
35.7
34.0
33.9
25.1
24.7
22.8
f. Ahora podemos dejar las líneas, o cambiar las líneas por letras iguales:
Tratamiento
Trat. 3
Trat. 1
Trat. 5
Trat. 4
Trat. 2
Trat. 6
Y
35.7
34.0
33.9
25.1
24.7
22.8
a
a
a
b
bc
c
g. Se debe observar que las medias que no están unidas por líneas verticales (o la misma
letra) son significativamente diferentes entre sí.
49
Intervalos de confianza para medias y diferencias de medias en ANOVA
Para reportar las medias luego de realizar un ANOVA podemos usar un gráfico de barras
(que se genera opcionalmente en InfoStat), e incluir límites de confianza para las medias
(o errores estándar para las medias). Las fórmulas estudiadas anteriormente usando la
tabla t se podrían aplicar aquí:
Y  t 2 s
.
n
s
n como
Si usamos una salida de InfoStat, podemos leer directamente la cantidad
E.E. (error estándar) en la salida “Medias ajustadas, error estándar y número de
observaciones”.
Como hemos hecho para el cálculo del DMS, el mejor estimador que tenemos de la
desviación estándar poblacional es (bajo el supuesto que las varianzas son iguales),
CME
Este estimador tiene los grados de libertad del error. Por lo tanto, el intervalo de
confianza para una media de tratamiento es
CME
Y  t 2
n
Recordar que en esta fórmula n representa la cantidad de observaciones en la media
específica (cantidad de repeticiones), y no la cantidad total de observaciones en todo el
experimento. Los grados de libertad para el valor tabular de t son los grados de libertad
del error.
Similarmente podemos calcular un intervalo de confianza para la diferencia de dos
medias. Suponiendo igual número de repeticiones n:
2CME
n
Observar que el término que se suma y resta en esta fórmula es DMS, por lo que el
intervalo de confianza para la diferencia de dos medias es:
Yi  Y j  t /2
Yi  Y j  DMS
Si este intervalo incluye el valor de cero, las dos medias correspondientes no son
significativamente diferentes. Esto es lo que hemos usado cuando estudiamos la prueba
de DMS: si la diferencia de dos medias es menor que DMS, esas medias no son
significativamente diferentes. El intervalo va a incluir 0 si y solo si la diferencia de las
dos medias es menor que DMS.
50
15. Tablas de contingencia
Este tipo de análisis se usa también para estudiar el efecto de una variable (como en
regresión, que estudiaremos en las próximas conferencias) o de un tratamiento (como en
ANOVA). A diferencia de ANOVA, la variable dependiente en tablas de contingencia es
categórica. Por ejemplo, podemos comparar la susceptibilidad de 4 cultivares de
habichuela al tizón bacteriano. Se escogen 30 plántulas al azar de cada cultivar, y se
clasifica cada plántula en dos categorías: con síntomas y sin síntomas de la enfermedad.
Los datos se presentan a continuación.
Cultivar
Bac-6
V
PC
GNT
Con
síntomas
2
16
13
7
Sin
síntomas
28
14
17
23
30
30
30
30
Debemos observar que la respuesta aquí es una variable con dos posibles categorías: con o
sin síntomas. Nos interesa ver si la presencia de síntomas es independiente del cultivar (es
decir, si la proporción de plantas con síntomas es la misma en cada cultivar). Recordando
la variable binomial (SÍ / NO), la proporción de “éxitos” la denotábamos con  , en este
caso denotaremos con  i a la verdadera proporción de éxitos en el grupo (tratamiento) i.
Entonces la hipótesis que nos interesa probar es
H 0 : 1   2   3   4
Usando una notación análoga a ANOVA, la cantidad de plántulas observada en cada
celda se denotará como nij :
Cultivar
Bac-6
Con
síntomas
n11 =2
Sin síntomas
PC
n21 =16
n31 =13
n12 =28
n22 =14
n32 =17
GNT
n41 =7
n42 =23
V
Si todas las variedades tuvieran la misma proporción de enfermas en la población (es
decir, la hipótesis nula fuese cierta), las cantidades esperadas de plántulas en cada celda
se podrían calcular como
ni n j (total fila i )(total columna j )
Eij 

n
total general
51
La tabla de valores esperados sería
Con síntomas
Sin síntomas
PC
E11  9.5
E21  9.5
E31  9.5
E12  20.5
E22  20.5
E32  20.5
GNT
E41  9.5
E42  20.5
Cultivar
Bac-6
V
¿Cómo sabemos que lo que nosotros estamos observando  nij  está lo suficientemente
cerca de lo que nosotros esperamos si la hipótesis nula fuese cierta  Eij  ? Una forma es
comparando cada valor observado con cada valor esperado:
n
2  
ij
 Eij 
2
Eij
Éste será el estadístico de la prueba (chi-cuadrado). Debemos notar que si lo que
observamos es exactamente igual a lo que esperamos, entonces  2  0 . Si lo que
observamos está muy “lejos” de lo que esperamos entonces el estadístico será muy grande.
Por lo tanto, una región de rechazo razonable para esta prueba rechazará cuando el
estadístico tenga valores muy grandes. Para encontrar el valor crítico debemos usar la tabla
de una distribución nueva: la distribución chi-cuadrado. Para usar esta tabla debemos
conocer los grados de libertad, que en el caso de tablas de contingencia siempre serán
 r  1 c  1 , donde r es la cantidad de filas y c la cantidad de columnas. Para que esta
aproximación funcione bien necesitamos que todos lo valores esperados sean mayores o
iguales a 5.
En el ejemplo que estamos revisando,
 2  9.5
 
2
9.5
2
16  9.5

9.5
2

 23  20.5 

20.5
2
 18.023
La región de rechazo, para   0.05 y 3 grados de libertad según la tabla 7 (páginas 11001101) es  2  2  7.815 . Por lo tanto rechazamos H 0 y concluimos que al menos una de
las variedades tiene una susceptibilidad diferente.
Otra aplicación de esta prueba es para probar que hay independencia entre dos variables
categóricas observadas conjuntamente. Por ejemplo, nos puede interesar saber si el color
de flor (azul/amarillo) y el tamaño de la semilla (pequeña/mediana/grande) son caracteres
independientes. Las fórmulas para el estadístico de la prueba son las mismas que las que
hemos presentado para probar la igualdad de proporciones.
Es importante destacar que estamos siempre probando hipótesis acerca de relaciones entre
proporciones (no frecuencias absolutas) y por lo tanto cualquier gráfico de resumen que
construyamos debe hacerse con proporciones.
52
16. Regresión lineal simple
Hasta ahora hemos estudiado la relación entre una variable dependiente (Y) y dos o más
“tratamientos” (por ejemplo: tratado / control, variedades 1-4, etc.).
Ahora vamos a estudiar la relación que existe entre dos variables: una independiente y
otra dependiente. Por ejemplo la cantidad de proteína en la dieta y el aumento de peso. La
variable que nosotros variamos a voluntad es la “variable independiente”, y sobre la que
nos interesa estudiar el efecto es la “variable dependiente”. Por ejemplo, queremos ver
cuál es el promedio de ganancia de peso cuando agregamos 10%, 15%, 20% y 25% de
proteína a la dieta.
La relación más simple es la de una línea recta Y  0  1 x , donde Y es el aumento de
peso, x es el porcentaje de proteína en la dieta, 0 es el intercepto (valor de Y cuando
x=0) y 1 es la pendiente (cambio en Y cuando x aumenta en una unidad). La pendiente
también se denomina coeficiente de regresión asociado a la variable independiente.
Y
Este modelo se llama modelo determinístico: conociendo el valor de x podemos predecir
exactamente el valor de Y. En la práctica no es muy realista, ya que los puntos observados
no van a estar exactamente sobre la línea recta. El siguiente gráfico es más realista:
10
9
8
7
6
5
4
3
2
0
2
4
6
8
10
x
Un modelo más realista es pensar que la línea recta representa la relación entre la media
de las Y para un valor dado de x y la variable independiente: Y  0  1 x . Otra forma
de escribir este modelo es
Y  0  1 x  
donde  es el error aleatorio y representa la diferencia entre el valor de Y y su media Y
(o lo que es lo mismo, entre el valor observado y la recta). La media de estos errores
aleatorio para un valor dado de x es 0 (es decir, los valores positivos y negativos se
“balancean”) y por lo tanto ambas formulaciones de este modelo estocástico son
equivalentes.
53
Problema: los parámetros de la recta   0 , 1  son desconocidos, por lo que
necesitaremos una muestra de N observaciones  x1 , Y1  ,...,  xN , YN  para estimarlos. La
recta que obtendremos será la recta estimada:
Yˆ  ˆ  ˆ x
0
1
La diferencia entre cada valor observado Yi y el valor correspondiente sobre la recta
estimada se llama “error de predicción” o residuo, y se denomina como e  Y  Yˆ .
i
i
i
Observar que esto no es lo mismo que el error aleatorio  i , que es la diferencia entre
cada valor observado y la recta verdadera (poblacional).
Para estimar la recta vamos a usar el método de mínimos cuadrados, que consiste en
elegir los parámetros   0 , 1  que minimicen la suma de los cuadrados de los errores de
predicción:
N
N
i 1
i 1
 (Yi  Yˆi )2   (Yi  ˆo  ˆ1 xi )2
Los estimadores son
ˆ1 
S xy
S xx
 N

S xx   ( X i  X )   X    X i 
i 1
i 1
 i 1 
N
N
2
ˆ0  Y  ˆ1 x
,
2
2
i
N
= suma de cuadrados de X
N
N
N
N
i 1
i 1
i 1
i 1
S xy   ( X i  X )(Yi  Y )   X iYi   X i  Yi N
= suma de productos
Peso Consumo
4.6
87.1
5.1
93.1
4.8
89.8
4.4
91.4
5.9
99.5
4.7
92.1
5.1
95.5
5.2
99.3
4.9
93.4
5.1
94.4
Consumo
Ejemplo: Relación entre el peso de gallinas (lb) y el consumo de alimento durante 1 año.
102
100
98
96
94
92
90
88
86
y = 55.2633+ 7.6901x
4
4.5
5
5.5
6
Peso
Para este ejemplo S xx  1.536, S yy  11.812, ˆ1  7.69, ˆ0  55.26.
Ahora vamos a estudiar cómo realizar inferencias en regresión lineal (es decir, vamos a
construir intervalos de confianza y a probar hipótesis acerca de los parámetros de interés).
54
Cuando pensamos en la variabilidad de las Yi podemos ver que estas Yi varían debido a
dos causas fundamentales: una es la relación que existe entre Y y las x (la recta de
regresión) y la otra es la variabilidad aleatoria alrededor de la recta (las desviaciones que
existen entre cada Yi y su promedio Yi :
Variabilidad total = Variabilidad explicada + Variabilidad no explicada
Este mismo concepto se traduce en la siguiente fórmula:
 Y  Y    Yˆ  Y    Y  Yˆ 
2
2
i
i
i
2
i
SC “Total” = SC “Regresión” + SC “Residual”
Las fórmulas de cálculo para estas sumas de cuadrados son bastante sencillas:
SCTotal  SYY   Yi
2
 Y
 
2
i
N
SCRegresión  ˆ1 S XY
SCResidual  SCTotal  SCRegresión
Podemos ver qué pasaría si todas las observaciones estuviesen sobre la recta
(SCResidual=0), y qué pasaría si la mejor recta de ajuste fuese una línea horizontal
(SCRegresión=0).
Ahora estamos en condiciones de realizar inferencias. Recordemos nuestro modelo
Yi  0  1 xi   i .
Vamos a asumir que este es el modelo correcto, que los 1 ,...,  n son independientes y
tienen distribución normal con media 0 y varianza constante:
 i ~ N  0,   
Si estos supuestos se cumplen, entonces tenemos las siguientes propiedades de la
distribución muestral de ˆ0 y ˆ1 :
ˆ   0 ,
 ˆ  1
0
 ˆ   
0
1
x
2
N S xx
,  ˆ 
1

S xx
Además, ˆ0 y ˆ1 tienen distribución normal.
Un estimador de   se obtiene a partir de la suma de cuadrados residual (también
llamada suma de cuadrados del “error”):
55
SCResidual SYY  ˆ1S XY

.
N 2
N 2
Con esta información podemos construir intervalos de confianza y realizar pruebas de
hipótesis usando el estadístico t que hemos estudiado antes. Por ejemplo, un intervalo de
confianza para 0 sería:
ˆ 2  s2 
ˆ0  t s
x
2
2
N S xx
Si usamos una salida de InfoStat, podemos leer directamente las cantidades
se
x
2
N S xx
ó
se
S xx
como E.E. (error estándar) que acompaña a los estimadores del intercepto y pendiente
respectivamente (“Est.”) en la salida “Coeficientes de regresión y estadísticos asociados”.
Otro ejemplo:
H 0 : 1  0, H a : 1  0
ˆ  0
t 1
, gl  N  2
s
S xx
Esta última prueba es la más importante en regresión lineal: si no podemos rechazar H 0
entonces estamos concluyendo que no hay una relación lineal entre el promedio de las Y y
las x. Otro estadístico alternativo para esta misma prueba se obtiene a partir de la tabla de
“análisis de la varianza”, que refleja la partición de la variabilidad que mencionamos al
comienzo de la clase.
Fuente de
Variación
Suma de
Cuadrados
grados
de
libertad
Regresión
SCRegresión
1
Residual (Error) SCResidual=SCE
N-2
Total
SCTotal
N-1
CMReg
El estadístico para esta prueba es F 
Cuadrado Medio
F
CMReg=SCReg/1 F=CMReg/CME
CME=SCE/(N-2)
CME y debemos rechazar H 0 si F  F .
Para encontrar el valor tabular de F debemos buscar en la tabla correspondiente con 1 y N2 grados de libertad. Podemos verificar que tanto para el valor observado como para el
tabular, F  t 2 y por lo tanto ambas pruebas siempre van a conducir a las mismas
conclusiones.
56
Correlación lineal
Un concepto relacionado con el de regresión es el de correlación. Cuando hablamos de
correlación pensamos en la relación que existe entre dos variables, sin distinguir cuál es la
dependiente y cuál la independiente. Para medir correlación se usa el coeficiente de
S XY
correlación lineal: r 
. Este coeficiente puede tomar valores entre –1 y 1, y mide
S XX SYY
la fuerza de la asociación lineal entre ambas variables. Observar que no importa cuál es la
x y cuál es la y, el coeficiente es simétrico.
2500
40
1913
36
Salinidad
Biomasa
Ejemplos de correlación:
1325
738
32
28
150
24
3.00
4.25
5.50
6.75
8.00
0
7
14
21
28
35
Zinc
2500
3.28
1913
3.14
PB
Biomasa
pH
1325
738
3.00
2.85
150
2.71
23
27
31
35
39
1.65
Salinidad
1.77
1.90
2.03
2.15
CO
Otra forma de pensar en correlación es considerar el coeficiente de determinación, que es
la proporción de la variabilidad total explicada por la regresión:
57
R2 
SCRegresión
SCTotal
Este coeficiente siempre está entre 0 y 1, y cuanto más cerca de 1 está mejor será el ajuste.
Si tuviésemos una regresión lineal simple, R 2 es simplemente el cuadrado del coeficiente
de correlación lineal r.
58
17. Diseño en bloques completos al azar
Recordemos el diseño completamente aleatorizado. Un supuesto fundamental era que las
unidades experimentales debían ser homogéneas. Cuando las unidades no son homogéneas
pero pueden agruparse en grupos de unidades homogéneas existe otro diseño, que es la
generalización del diseño pareado para comparar dos grupos: el diseño en bloques
completos aleatorizados (DBCA). Un “bloque” es un conjunto de unidades experimentales
homogéneas (es decir, parecidas entre sí). Este diseño consiste en asignar los tratamientos
aleatoriamente dentro de cada bloque de manera tal que cada tratamiento que representado
una vez en cada bloque. De esta manera garantizamos que todos los tratamientos estarán
representados en todos los bloques, y que las comparaciones estarán libres de las
diferencias entre bloques (el mismo efecto que lográbamos con el diseño pareado). Para
que este efecto del DBCA sea útil en reducir la variabilidad necesitamos que haya
diferencias entre los bloques y dentro de cada bloque las unidades sean homogéneas.
La notación que usaremos será la misma que para el DCA: tenemos t tratamientos, cada
uno con n repeticiones (=bloques).
Yij denota la observación del i  ésimo tratamiento en el bloque j. .
Ahora tendremos una fuente adicional de variabilidad: los bloques. Las sumas de cuadrados
se calculan de la siguiente manera:
SCTotal=SCTot   Yij  Y    Yij2  Y
2
2
i, j
i, j
nt
SCTratamientos=SCTrat   n Yi  Y   
2
i
i
SCBloques=SCBl   t Y j  Y   
2
j
j
2
j
Y
t

Yi2 Y2

n nt
Y2
nt
SCResidual=SCError=SCRes   Yij  Yi  Y j  Y   SCTot-SCTrat-SCBl
2
i, j
La siguiente es la tabla de ANOVA:
Fuente de
Variación
Tratamiento
Bloque
Residual (Error)
Suma de
Cuadrados
SCTrat
SCBl
SCRes=SCE
Total
SCTot
grados de
libertad
t 1
n 1
 n  1 t  1
Cuadrado
Medio
CMTrat
CMBl
CMRes=CME
F
F=CMTrat/CME
F=CMBl/CME
nt  1
El modelo que describe los datos provenientes de este diseño es el siguiente:
59
Yij    i   j   ij
Los supuestos que necesitamos hacer son los mismos que para el DCA (los  ij son independientes, tienen distribución normal y varianza constante) y además necesitamos asumir
que los efectos de los tratamientos son iguales en todos los bloques.
La hipótesis de interés es, como siempre, acerca de los efectos de tratamiento:
H 0 : 1   2  ...   t
H a : al menos una  i es diferente de 0.
Estadístico de la prueba: F  CMTrat
CME
Región de rechazo: F  F  g.l.: t  1, (n  1)(t  1) 
También podemos probar la hipótesis de que no existen diferencias entre bloques:
H 0 : 1   2  ...   t
H a : al menos una  i es diferente de 0.
Estadístico de la prueba: F  CM Bl
CME
Región de rechazo: F  F  g.l.: n  1, (n  1)(t  1) 
Ejemplo de bloque analizado en Infostat
Estos datos aparecen en el archivo Bloque.idb en Infostat, y representan rendimientos de
un ensayo con 5 tratamientos arreglados en un DBCA con 4 repeticiones (=bloques). Para
hacer el análisis en Infostat usamos el menú Estadísticas>Análisis de la Varianza. Usamos
bloque y tratamiento como variables de clasificación y rendimiento como variable
dependiente.
60
61
Análisis de la varianza
Variable
N
R² R² Aj CV
Rendimiento
20
0.94 0.90 5.83
Cuadro de Análisis de la Varianza (SC tipo III)
F.V.
SC
gl
CM
F
p-valor
Modelo
4494763.30 7
642109.04 24.88 <0.0001
Bloque
203319.00 3
67773.00 2.63 0.0983
Tratamiento
4291444.30 4
1072861.08 41.57 <0.0001
Error
309716.50 12
25809.71
Total
4804479.80 19
Test:LSD Fisher Alfa:=0.05 DMS:=247.51210
Error: 25809.7083 gl: 12
Tratamiento
Medias
n
0
1972.75
4
A
75
2498.50
4
B
150
2973.00
4
C
225
3093.50
4
C
D
300
3237.75
4
D
Letras distintas indican diferencias significativas(p<= 0.05)
62
18. Introducción a los diseños experimentales
Hasta este momento hemos discutido dos diseños diferentes: el diseño completamente
aleatorizado (DCA) y el diseño en bloques completos aleatorizados (DBCA). En el primer
caso se requiere independencia entre todas las observaciones. En un experimento, esto se
logra realizando una aleatorización completa de los tratamientos a las unidades
experimentales (es decir, cada unidad experimental tiene la misma probabilidad de recibir
cualquiera de los tratamientos, independientemente del tratamiento asignado a unidades
vecinas).
Ventajas del DCA:
 Simple para construir
 Simple para analizar, aun cuando el número de repeticiones no es constante.
 Sirve para cualquier número de tratamientos.
Desventajas del DCA:
 Requiere que todas las unidades experimentales sean homogéneas.
 Fuentes de variación no consideradas inflarán el error experimental.
Cuando las unidades no son homogéneas pero pueden agruparse en grupos de unidades
homogéneas existe el diseño en bloques completos aleatorizados (DBCA). Un “bloque” es
un conjunto de unidades experimentales homogéneas (es decir, parecidas entre sí). Este
diseño consiste en asignar los tratamientos aleatoriamente dentro de cada bloque de manera
tal que cada tratamiento que representado una vez en cada bloque. De esta manera
garantizamos que todos los tratamientos estarán representados en todos los bloques, y que
las comparaciones estarán libres de las diferencias entre bloques (el mismo efecto que
lográbamos con el diseño pareado). Para que este efecto del DBCA sea útil en reducir la
variabilidad necesitamos que haya diferencias entre los bloques y dentro de cada bloque
las unidades sean homogéneas.
Ventajas del DBCA:
 Útil para comparar tratamientos en presencia de una fuente externa de
variabilidad.
 Simple para construir y analizar (siempre que el número de repeticiones sea
constante).
Desventajas del DBCA:
 Práctico para pocos tratamientos, para que las unidades de un bloque sean
realmente homogéneas.
 Controla una sola fuente de variabilidad externa.
 El efecto del tratamiento debe ser el mismo en cada bloque.
Luego de haber estudiado dos diseños, podemos volver a preguntarnos: ¿qué es diseñar
un estudio científico?
63
El diseño es el proceso de establecer un marco para que se puedan comparar tratamientos,
grupos o condiciones.
Ya hemos discutido anteriormente los tipos de estudios más comunes: experimentos y
estudios observacionales.
En un estudio observacional se obtiene información bajo condiciones “no perturbadas”, es
decir, condiciones naturales, y se comparan las diferentes condiciones o grupos. Por el
contrario, en un experimento, el investigador controla las condiciones y decide qué
tratamiento recibe cada unidad. Este control permite que en un experimento se pueda
atribuir al efecto observado (por ejemplo que la condición A es más efectiva que la
condición B) a que las unidades fueron tratadas con dos tratamientos diferentes.
En el caso de un estudio observacional, se podría argumentar que, como el investigador no
tuvo control sobre las unidades antes de asignarles la condición a la que se verían expuestas,
la causa de las diferencias podría ser otra.
Existen situaciones prácticas, éticas, o de la naturaleza del estudio, que hacen que se tengan
que hacer estudios observacionales. Si podemos escoger, el experimento nos va a brindar
conclusiones más “sólidas”.
Cuando hablamos de controlar las condiciones a las que exponemos a las distintas unidades
en un experimento, también debemos considerar todo el desarrollo del experimento. Es
decir, debemos seguir un plan (protocolo) sistemático durante todo el experimento, y
cualquier situación que pudiera presentarse debería considerarse en este plan. Algunos
aspectos que deberían incluirse en este plan son:
1. Los objetivos de investigación
2. La selección de los factores (condiciones) que se van a variar (“tratamientos”)
3. La identificación de otros factores de variación que puedan estar presentes (por ej.,
factores de bloqueo)
4. Las características a medir en las unidades experimentales (las variables de
respuesta)
5. El método de aleatorización
6. Los procedimientos para registrar los datos
7. La determinación del número de repeticiones según la precisión deseada
64
19. Documentación y comunicación de resultados
Esto es lo que presentamos en la primera clase de AGRO 5005:
¿Qué es la Biometría?
¿Cómo?
Es la disciplina que se encarga de obtener
información a partir de datos biológicos.
Mediante gráficos, medidas numéricas de resumen (ej., promedio),
comparaciones, predicciones, etc.
Etapas que debemos seguir para obtener información “buena” a partir de los datos:
5.
6.
7.
8.
Recolectar los datos
Resumir los datos
Analizar los datos
Comunicar los resultados
En esta conferencia vamos a tratar de discutir algunas ideas que permitan lograr
eficazmente la etapa 4, “comunicar los resultados”.
La comunicación puede ser verbal o escrita. La comunicación verbal puede ser desde una
comunicación informal hasta una presentación formal. La comunicación escrita también
varía desde memorandos e informes de proyecto dentro de la misma organización (interna)
hasta cartas, folletos de divulgación, artículos científicos y libros (externa). En todos los
casos tenemos que tener en cuenta la audiencia (hacia quién nos estamos comunicando).
Los principales problemas que se pueden encontrar al comunicar resultados estadísticos
son los siguientes:
Distorsiones gráficas: recordemos lo que habíamos discutido antes
5. ¿Qué es lo que se desea informar al lector del grafico?
6. Elegir cuidadosamente los títulos, ejes, colores, rayas, etc.
7. No sobrecargar de información al gráfico.
8. Practicar mucho!
Muestras sesgadas: éste es posiblemente uno de los problemas centrales que nos
encontramos. Las conclusiones pueden ser correctas pero se refieren a la “población”
equivocada. Recordemos que si no existe la aleatorización no podemos realizar la
inferencia estadística correctamente. Se requiere de una planificación adecuada del estudio.
Tamaño muestral inadecuado: los resultados de un experimento pueden llevar a una
conclusión equivocada porque no había suficientes observaciones como para que el error
de tipo II (aceptar una hipótesis nula falsa) fuese suficientemente pequeño. Se requiere de
una planificación adecuada para que la cantidad de repeticiones sea suficiente como para
detectar con una probabilidad alta una diferencia que exista en la población y que sea de
interés para el investigador.
65
Al informar las conclusiones debemos especificar claramente cómo se obtuvieron las
observaciones, qué diseño se usó (=cómo se aleatorizó) y cuántas observaciones
(=repeticiones) se realizaron. Si es posible, se debería incluir un estudio de la potencia de
las pruebas para evidenciar que el tamaño muestral fue adecuado para detectar las
diferencias de interés.
Preparación de los datos para el análisis
1. Generar (recibir) los datos originales
2. Crear la base de datos a partir de los datos originales
3. Editar la base de datos
4. Corregir y clarificar la base de datos comparándola con los datos originales
5. Finalizar la base de datos, archivarla y crear copias (en varios medios, como USB,
DVD, papel, etc.)
6. Crear archivos de datos para los análisis
Es muy importante (y en algunas áreas obligatorio) llevar un registro detallado de todo el
proceso para, de ser necesario, rehacer nuevamente las distintas etapas por las que los datos
han pasado. Una forma común de documentar esto es mediante un registro del estudio
(cuaderno de bitácora o “study log”). Éste debería incluir:
a. datos recibidos, y de quién
b. investigador a cargo del estudio
c. estadístico y otro personal asignado
d. descripción breve del estudio
e. tratamientos usados
f. diseño experimental usado
g. mapa de campo con tratamientos y aleatorizaciones
h. fuente de los datos originales
i. variables dependientes medidas (“respuestas”)
j. fechas de toma de datos, análisis, etc.
k. irregularidades en la toma de datos, registro, etc.
l. otra información relacionada
Guías para el análisis e informe estadísticos
Los análisis preliminares, a menudo descriptivos o gráficos, permiten familiarizarse con
los datos, observar algunas relaciones, detectar problemas, etc.
Los análisis primarios se hacen para responder las preguntas de investigación que se
indicaron en los objetivos del estudio.
Los análisis secundarios (o de apoyo) incluyen métodos alternativos de observar los datos,
uso de métodos poco comunes en el área de aplicación, exploración de hipótesis sugeridas
por los resultados del experimento, etc.
Informe estadístico
66
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
Resumen
Introducción
Diseño experimental y procedimientos del estudio
Estadísticos descriptivos
Metodología estadística
Resultados y conclusiones
Discusión
Lista de datos y salidas de computación relevantes
Documentación y almacenamiento de resultados
La idea fundamental es que podamos tener la documentación y los datos almacenados de
forma tal que en el futuro nosotros (o algúna otra persona) pueda rehacer los análisis,
obtener nuevos resultados (o confirmar los obtenidos) y alcanzar nuevas conclusiones sin
mayores dificultades. En algunas áreas de investigación esto es necesario para poder
evaluar la calidad de las conclusiones obtenidas, y en todos los casos es una práctica muy
importante.
67
Biometría
AGRO 5005
Número de horas crédito: 3 (tres). Se realizarán dos horas de conferencia semanales y
un laboratorio semanal de 3 horas.
Prerrequisitos, correquisitos y otros conocimientos: se espera que los estudiantes posean
destrezas básicas en el uso de computadoras personales.
Descripción: Conceptos básicos del razonamiento estadístico aplicado a problemas en
las ciencias agrícolas, biológicas y ambientales. Recolección, descripción gráfica y
resumen numérico de los datos. Conceptos de probabilidad y muestreo. Estimación y
prueba de hipótesis, análisis de la varianza, correlación y regresión lineal. Los
estudiantes describen y analizan conjuntos de datos reales y usan programas
estadísticos de computación.
Propósito del curso: Este curso permite a los estudiantes graduados y subgraduados
avanzados aprender un aspecto crucial para su futura actividad de investigación: la
metodología a seguir para obtener conclusiones válidas a partir de estudios
experimentales. Este curso sirve como base de programas graduados en ciencias
agrícolas, biología, ciencias marinas y kinesiología, y se complementa con el curso de
biometría avanzada (AGRO 6600).
Objetivos:
Se espera que al finalizar el curso el estudiante
 conozca los principales métodos de análisis de datos experimentales.
 pueda construir gráficos y medidas que representen y resuman adecuadamente
los datos disponibles.
 pueda analizar experimentos simples, obteniendo conclusiones válidas.
 conozca y aplique regresión y correlación lineal.
 use el programa estadístico Infostat, obteniendo conclusiones válidas a partir de
las salidas de computación.
Conferencias: Martes y Jueves 9:30-10:20 am, P 213 (sección 036)
Laboratorios: Lunes 1:30-4:20 pm, AP203 (sección 071L)
Lunes 4:30-7:20 pm, AP203 (sección 100L)
Martes 1:30-4:20 pm, AP203 (sección 076L)
Miércoles 1:30-4:20 pm, AP203 (sección 070L)
Miércoles 4:30-7:30 pm, AP203 (sección 101L)
Jueves 1:30-4:20 pm, AP203 (sección 077L)
Profesores:
Dr. Raúl E. Macchiavelli (conferencias)
Oficina: P217A, Decanato AP200
Teléfono: 787-832-4040 ext.3020 (oficina) o 5975 (decanato)
e-mail: raul.macchiavelli@upr.edu
Horas de oficina: Martes y Jueves 8 a 9 am
68
Dra. Linda Wessel Beaver (conferencias; coordinadora de laboratorios)
Oficina: P-110, Laboratorio P 111, Teléfono: 787-832-4040 ext. 6334
e-mail: lindawessel.beaver@upr.edu
Horas de oficina:
Instructores de laboratorio:
Sra. Rocío Suárez (laboratorio de miércoles 4:30-7:30) Oficina: P-218A
Teléfono: 787-832-4040 ext. 3851 o 2313
e-mail: maria.suarez@upr.edu
Horas de oficina: martes y jueves 4:30 – 5:15 pm o por acuerdo
Estrategias instruccionales:
Conferencia: dos conferencias semanales de asistencia obligatoria. El material a discutir
en las conferencias se encuentra en el texto del curso, y un resumen del mismo está
disponible en las notas de clase (ver la página web del curso).
Laboratorio: un laboratorio semanal de asistencia obligatoria. Durante el mismo se
discutirán temas y analizarán datos usando computadoras. El material y los datos de cada
laboratorio estarán disponibles en la página web del curso. Los estudiantes deben llevar
al laboratorio calculadora con funciones estadísticas, el texto (incluyendo las tablas
estadísticas a usarse) y dispositivo de memoria.
(Para no interrumpir las conferencias o laboratorios, está prohibido el uso de teléfonos
celulares. Favor ponerlos en modo silencioso durante las clases y los exámenes.)
Recursos de aprendizaje:
Los laboratorios se realizarán en el laboratorio de computadoras de Biometría, donde hay
disponibles 17 computadoras personales, además de un servidor, impresora y pantalla
inteligente. Los estudiantes deberán traer a los laboratorios sus calculadoras, las que
deben tener funciones estadísticas disponibles.
El material de conferencias y laboratorios, así como los datos a analizar estarán
disponibles en la página del curso http://academic.uprm.edu/rmacchia/agro5005
Estrategias de evaluación / Herramientas de avalúo
Pruebas cortas (quizes): cinco quizes durante los laboratorios. Estos quizes no se
anunciarán. La nota final solamente incluirá el promedio de los 4 mejores quizes.
Exámenes parciales: dos exámenes parciales, tentativamente los días 13 de octubre y 10
de noviembre en P213 (7:30 pm a 9 pm). Durante los exámenes se proveerán las tablas
y fórmulas necesarias, y los estudiantes podrán usar calculadora y el libro (no se permiten
notas de clase ni fotocopias). Los exámenes de años anteriores estarán disponibles en la
página web del curso. Los teléfonos celulares no se permiten durante el examen: los
teléfonos celulares, tabletas y otros aparatos electrónicos deberán permanecer en las
69
carteras o bultos. La posesión de un teléfono celular fuera de una cartera o bulto durante
el examen se considerará como intento de plagio.
Examen Final: el examen final será un trabajo integrador del material estudiado durante
el curso. Durante los exámenes se proveerán las tablas y fórmulas necesarias, y los
estudiantes podrán usar calculadora y el libro (no se permiten notas de clase ni
fotocopias). Los exámenes de años anteriores estarán disponibles en la página web del
curso.
Asistencia y participación en clase y laboratorios: para evaluar la participación de
estudiantes en laboratorios cada estudiante deberá presentar un informe del mismo la
semana siguiente a la realización del laboratorio correspondiente.
La calificación final se basará en un promedio ponderado de las notas de
 Asistencia y participación (10%)
 Quizes (20%)
 Exámenes parciales (22% cada uno)
 Examen final (26%)
Sistema de calificación:
La nota final se basará en la calificación final de acuerdo a la siguiente equivalencia
A: 90 o más
B: 80 o más pero menos de 90
C: 70 o más pero menos de 80
D: 60 o más pero menos de 70
F: menos de 60
Bosquejo del curso
Conferencias
Fecha Aprox.
1. Introducción. Conceptos, usos
y aplicaciones.
2. Estudios observacionales y
experimentales. Muestreo.
Manejo de datos.
3. Descripción de datos.
Métodos gráficos.
4. Descripción de datos.
Medidas de tendencia central y
variabilidad.
5. Elementos de probabilidad.
Distribución binomial.
6. Distribución normal.
16 agosto
Sección del texto Sección del texto Sección del texto
(sexta ed.)
(quinta ed.)
(cuarta ed.)
Capítulo 1
Capítulo 1
Capítulo 1
18, 23 agosto
Capítulo 2
Capítulo 2
Capítulo 2
25, 30 agosto
3.1-3.3, 3.7
3.1-3.3, 3.7
3.1-3.3, 3.7
1, 6 septiembre
3.4-3.6
3.4-3.6
3.4-3.6
8, 13, 15
septiembre
20, 27
septiembre
29 septiembre
4.2-4.3, 4.6-4.8
4.1-4.3, 4.6-4.8
4.1-4.3, 4.6-4.8
4.10
4.9, 4.10
4.9, 4.10
4.11-4.12
4.12
4.12
7. Distribuciones
muestrales.
70
8. Estimación y pruebas de
hipótesis para medias.
PRIMER EXAMEN PARCIAL
4, 6, 11, 13
5.2-5.4, 5.6-5.7
octubre
13 octubre, 7:30
pm
9. Inferencias para dos medias. 18, 25, 27
6.2, 6.4
octubre
10. Análisis de la varianza. DCA. 1, 3 noviembre
8.1-8.3, 9.3
11. Pruebas de chi-cuadrado.
10 noviembre
SEGUNDO EXAMEN PARCIAL 10 noviembre,
7:30 pm
12. Regresión y correlación
15, 17, 22
lineal.
noviembre
13. Introducción al diseño de
29 noviembre, 1
experimentos. DCA y DBCA.
diciembre
14. Comunicación de resultados 6, 8 diciembre
EXAMEN FINAL
10.5-10.6
5.1-5.4, 5.6-5.7
5.1-5.3, 5.5-5.8
Temas 1-6; Labs 1-6
6.1-6.2, 6.4
6.1-6.2, 6.5
8.1-8.4, 9.1, 9.4
13.1-13.4, 14.4,
15.1-2
10.4, 10.6
8.1, 8.7
Temas 7-9; Labs 7-10
11.1-11.3, 11.7
11.1-11.3, 11.7
9.1-2, 9.5, 10.1-2
14.1-14.2, 15.115.2
14.1,14.2, 15.3
15.1-15.3
20.1-20.5
Laboratorio
LAB 1
LAB 2
LAB 3
LAB 4
LAB 5
Fecha (Lu, Ma, Mi, Ju)
22, 23, 24, 25 agosto
29, 30, 31 agosto, 1 sept.
12, 6, 7, 8 septiembre
19, 13, 14, 15 septiembre
26, 27, 21, 20 septiembre
Tema
Introducción. Infostat.
Manejo de datos. Gráficos I
Resumen gráfico de la información II
Estadísticos descriptivos.
Probabilidad y distribución binomial.
LAB 6
3, 4 octubre, 28, 29 sept.
Distribución normal.
LAB 7
LAB 8
LAB 9
12, 11, 5, 6 octubre
17, 18, 19, 13 octubre
24, 25, 26, 27 octubre
Distribución muestral.
Estimación y prueba de hipótesis.
Pruebas t para una media y para dos medias
independientes.
LAB 10
LAB 11
LAB 12
LAB 13
LAB 14
31 oct., 1, 2, 3 noviembre
9, 10, 11, 5 noviembre
16, 17, 18, 12 noviembre
28, 29, 30 noviembre, 1 dic.
5, 6, 7, 8 diciembre
Pruebas para datos pareados.
Análisis de la varianza.
Pruebas de chi cuadrado.
Regresión y correlación lineal.
Diseño en bloques completos aleatorizados
Bibliografía:
Ott, R.L. y M. Longnecker (2010). An Introduction to Statistical Methods and Data
Analysis. 6ta. ed. Pacific Grove (CA): Duxbury (también la cuarta, la quinta y la séptima
edición son recomendadas)
Macchiavelli, R. y Wessel Beaver, Linda (2016). Notas de Clase de Biometría (disponible
en la página web del curso).
InfoStat (2015). InfoStat versión 2015. Grupo InfoStat, Facultad de Ciencias
Agropecuarias, Universidad Nacional de Córdoba, Argentina (descargar gratuitamente
de http://www.infostat.com.ar )
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