11/3/2015 ESTRUCTURA GALÁCTICA Y DINÁMICA ESTELAR Órbitas Dr. César A. Caretta – Departamento de Astronomía – Universidad de Guanajuato Calculo vectorial: recordatorio ® operador nabla ® vector gradiente divergente rotacional Laplaciano š potencial gravitacional Definiciones š fuerza gravitacional š energía mecánica š momento angular 1 11/3/2015 Órbitas bajo potenciales esféricamente simétricos y estáticos Es también un problema clásico, donde consideramos un potencial que solo depende de r y no cambia con el t (el caso más sencillo): ecuación de movimiento š L campo de fuerza central Torca 0 0 movimiento en un plano (plano orbital) Si el movimiento es en un plano, perpendicular a la dirección del momento angular, podemos utilizar coordinadas polares: š r š q TAREA Luego: F(r) Así: 0 2ª. Ley de Kepler 2 11/3/2015 Ahora veamos como queda la energía mecánica: Órbita circular pericentro Entonces: apocentro y, tomando en cuenta que: tenemos: periodo Potencial Kepleriano Considerando que: y: tenemos: Ahora, hacemos es siguiente cambio de variables: y quedamos con: es decir: 3 11/3/2015 Que tiene como solución: donde C > 0 y q 0 son constantes. excentricidad semi-eje mayor Definiendo: pericentro apocentro semi-eje menor e<1 e=1 e>1 no ligadas ligadas e=0 3ª. Ley de Kepler e < 1 son casos especiales de órbitas que son ligadas y cerradas Órbitas bajo potenciales axi-simétricos y estáticos Motivado, principalmente, por la forma de nuestra Galaxia… š r z q F(R) F(R) F(q ) = 0 R F(z) F(z) 2ª. Ley de Kepler 4 11/3/2015 Potencial Efectivo Movimiento radial y vertical En principio podemos aproximar las órbitas de estrellas en discos por órbitas circulares con pequeñas deviaciones. Wg R Rg Definiendo: Rg ® radio circular de referencia* R ® radio real (Galactocéntrico) x = R – Rg Wg = dqg /dt = Lz /Rg2 ® velocidad angular de referencia (2da. Kepler) Donde Rg es la solución para una órbita circular (Vc ), en el plano orbital (z = 0): satisfecha para R = Rg (el valor promedio de R a lo largo de la órbita) satisfecha para z = 0 (cualquier parte del plano ecuatorial) _____________________________________________ * La “g” es usada en la literatura en inglés para “guiding center” 5 11/3/2015 frecuencia epicíclica frecuencia vertical osciladores armónicos Y, ahora, expandiendo F en serie de Taylor alrededor de eses puntos: Donde: Luego: Cuyas soluciones son: Movimiento azimutal Integrando: misma frecuencia de x(t), pero fuera de fase por 90° Luego: movimiento retrogrado 6 11/3/2015 Epiciclos • Epiciclo elíptico y retrógrado en relación al deferente (los epiciclos de Tolomeo eran prógrados) Deferente (W g) • Razón axial: Y0 Epiciclo (k, n ) X0 Epicentro (R = Rg) • En lo general, k y Wg son diferentes, lo que implica que las órbitas no se cierran! (sin embargo, si observadas del referencial en rotación en Wg - (1/2) k , las órbitas se convierten a elipses cerradas, centradas en el epicentro) • Limite Kepleriano (k = Wg ): Limite de rotación plana (k = Ö 2 Wg ): Limite de cuerpo rígido (k = 2Wg ): • En lo general, W g < k < 2W g Movimiento epicíclico en la vecindad solar Es útil expresar las velocidades angulares del deferente y epiciclo en términos de las constantes de Oort: TAREA Como vimos en el tema 2, las mejores estimaciones actualmente (Hipparcos) para las constantes de Oort son: A = 14.8 ± 0.8 km s–1 kpc–1 Luego: B = –12.4 ± 0.6 km s–1 kpc–1 Ω0 = 27.2 km s–1 kpc–1 k0 = 36.7 km s–1 kpc–1 k0/W0 = 1.35 (Tk ~ 170-180 Myr) Es decir, las estrellas de la vecindad solar cumplen 1.35 epiciclos en una órbita. La razón axial del epiciclo es k0/2W0 = 0.65. ______________________________ Recuerda que Tk = 2p/k y TW ~ 240 Myr 7 11/3/2015 El tamaño físico del epiciclo (oscilación radial) es dado por: disco delgado Simulación de 2.5 “vueltas” del Sol alrededor del Centro Galáctico. La frecuencia epicíclica fue tomada como 1.3 veces la frecuencia circular, pero el epiciclo mismo fue hecho circular (y no elíptico, con razón axial 0.65, como debería haber sido). Whittle 2012, http://www.astro.virginia.edu/class/whittle/astr553/Topic06/t6_solar_orbit.html Y, para la oscilación vertical, tenemos: ~ 80 Myr valores actuales Eso implica que el Sol “cruza” el disco a cada ~ 35-40 Myr. Interesantemente, ese periodo parece coincidir con los picos en la incidencia de cráteres y extinciones en masa en la Tierra! Parece ser que, al cruzar el disco, la Nube de Oort se ve afectada (perturbaciones de marea) y hay una inyección acentuada de cometas en el Sistema Solar interior. Oscilación aproximada en la componente W de la velocidad del Sol (actualmente ~ +7 km/s) y en su posición en relación al plano (actualmente ~ +40 pc). Whittle 2012, http://www.astro.virginia.edu/class/whittle/astr553/Topic06/t6_solar_zmotion.gif 8 11/3/2015 grandes cráteres de impacto flujo teórico de cometas capturados por Júpiter Patrones de rotación Corresponden a regiones con acentuada densidad estelar en el disco de una galaxia. Normalmente tienen la forma de brazos espirales o de una barra. Eses patrones no son estacionarios ni se mueven junto con las estrellas del disco, pero se mueven con una velocidad angular intermediaria, W p La interacción entre eses patrones y el movimiento epicíclico de las estrellas puede producir resonancias*: W« es la velocidad angular de referencia de la estrella Wp velocidad angular del patrón (frecuencia de forzado) k es su frecuencia epicíclica m es un entero _______________________________ donde: * Un comportamiento similar ocurre, por ejemplo, en los anillos de Saturno (perturbación por satélites del planeta) y en Cinturón Principal de Asteroides (Júpiter)… trailing arms 9 11/3/2015 Resonancia de co-rotación (CR) Ocurre cuando: Las estrellas en esas órbitas sienten el potencial gravitacional acentuado a lo largo de toda su órbita (una perturbación no axi-simétrica y persistente). Como el potencial es siempre atractivo, eso representa una barrera en el potencial efectivo. Estrellas en órbitas internas a esta resonancia parecerán progresar en relación al patrón, mientras estrellas en órbitas externas serán retrógradas en relación a él. • Las barras rotan con Wp = W (R = CR), y nunca se extienden más allá de CR. G. Bertin & C.C. Lin 1996, in “Spiral Structure in Galaxies: A Density Wave Theory”, MIT Press, Cambridge, USA, p. 79 CR Resonancias de Lindblad (LR) B. Lindblad (1927) encontró dos otras regiones de resonancia*, una interna y otra externa a la CR. Son nombradas ILR (Inner Lindblad Resonance) y OLR (Outer Lindblad Resonance), correspondiendo, respectivamente, a: • Se esperan la formación de anillos estelares en CR y OLR • El gas es conducido en dirección al ILR, tanto externo cuanto interno; luego, se espera la formación de un anillo/disco de gas (y formación estelar) en ILR • La ubicación, y la misma existencia, de esas resonancias depende de la curva de rotación (por ejemplo la existencia de una transición entre una rotación de cuerpo rígido y una rotación plana) de la galaxia y de su W p. Por ejemplo, pueden existir 0, 1 o 2 ILR. __________________________________________________________________ * Equivalen a las resonancias de Kirkwood (perturbación por Júpiter) en el Cinturón Principal de Asteroides 10 11/3/2015 • Las ondas de densidad solamente pueden sobrevivir entre ILR y OLR (en la ILR las ondas de densidad son absorbidas como ondas en una playa) • Al mismo tiempo que las ondas de densidad pueden generar un patrón de resonancia, el patrón de resonancia puede generar ondas de densidad estacionarias (llamadas ondas de densidad cinemáticas). • El patrón de dos brazos espirales es favorecido (m = 2) Lindblad, P.O. 1999, A&AR 9, 221 L.S. Sparke & J.S. Gallagher 2000, in “Galaxies in the Universe: An Introduction” Cambridge Univ. Press Wp ~ 15 km s-1 kpc-1 m=2 ILR (~ 3 kpc) CR (~ 14 kpc) OLR (~ 20 kpc) 11