1er Parcial

Microeconomía
Examen tipo primer parcial
Semestre 2016-1
CONSUMIDOR
1. Sea la siguiente la estructura de preferencias de un consumidor:
∀𝑥, 𝑥 ′ ∈ 𝑆 ⊆ ℝ2+ : 𝑥 ≥ 𝑥 ′ ↔ 𝑥1 ≥ 𝑥1′ − 1
Compruebe que se trata de un orden débil.
2. Con la siguiente función de utilidad Cobb-Douglas:
3
3
𝑢(𝑥) = 𝐴 ∏ 𝑋𝑖∝𝑖 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝐴 > 0 𝑦 ∑ ∝ 𝑖 = 1
𝑖=1
𝑖=1
a) Resuelva el problema del consumidor considerando la restricción 𝑃1 𝑋1 +
𝑃2 𝑋2 + 𝑃3 𝑋3 = 𝑀 , derive las demandas Marshalianas y la función indirecta
de Utilidad.
b) Compruebe que las demandas son homogéneas de grado cero en precios e
ingreso y explique su significado.
c) Cuanto incrementa la utilidad si se incrementa el ingreso en una unidad
(considere el multiplicador de Lagrange en su respuesta).
3. En un mundo de dos bienes, la función de utilidad del consumidor toma la
forma de elasticidad constante de sustitución (CES, por su siglas en inglés)
𝜌
𝜌
1
𝑢(𝑥1 , 𝑥2 ) = (𝑥1 𝑥1 + 𝑥2 𝑥2 )𝜌
a) Demostrar que cuando 𝜌 = 1 las curvas de indiferencias son lineales.
b) Demostrar que conforme 𝜌 → 0, la función de utilidad representa las
mismas preferencias que la función Cobb-Douglas.
c) Demostrar que conforme 𝜌 → ∞, las curvas de indiferencia son ángulos
rectos; esto es, la función de utilidad tiene en el límite un mapa de curvas
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de indiferencia del tipo de la función de utilidad de Leontief, 𝑢(𝑥1 , 𝑥2 ) =
𝑚í𝑛{𝑥1 , 𝑥2 }.
4. La relación de preferencia racional del consumidor en el espacio de bienes
𝕏 ∈ ℝ2+ se representa con la función de utilidad cuasi-lineal,
𝑈(𝑥1 , 𝑥2 ) = 𝑥1 + 𝑙𝑜𝑔(𝑥2 )
el vector de precios es (𝑝1 , 𝑝2 ) = (1, 𝑝2 ) y el ingreso es 𝑤 > 0. Calcular las
demandas Marshallianas.
5. El consumidor 1 tiene la función de gasto 𝑒 1 (𝑝1 , 𝑝2 , 𝑤 1 ) = 𝑢1 √𝑝1 𝑝2 y el 2 tiene
la función de utilidad 𝑢2 (𝑥1 , 𝑥2 ) = 𝑥13 𝑥2𝑎 .
a) ¿Cuáles son las funciones de demanda Marshallianas de cada uno de los
bienes por parte de cada uno de los consumidores?
b) ¿Qué valor tendrá que tener el parámetro 𝒂 para que exista una función
de demanda agregada independiente de la distribución de la renta?
6. Con base en los siguientes datos:
Maximizar u(x1, x2) = 3x1+x2
s.a 𝑃1 𝑋1 + 𝑃2 𝑋2 = m
X0
m = 400
p1 = 40
p2 =20
X1
m = 400
p1 = 50
P2 = 20
Donde X0 es la situación inicial y X1, es la situación final.
a) Calcule el efecto ingreso y efecto sustitución. Compare los dos efectos y
diga cuál es mayor.
b) Calcule la situación intermedia y diga cuál es el nivel del ingreso que bajo
P1=50 y P2 = 20, me permite regresar al mismo nivel de utilidad de 𝑋0.
c) Hallar las demandas Hicksianas y la función de gasto. Determinar la
cuasiconcavidad (cuasiconvexidad) de la matriz de sustitución.
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PRODUCTOR
7. Considerando la función de producción: 𝑌 = 𝐴(𝐾 𝛼 𝐿1−𝛼 )
a) Calcula la elasticidad de escala i(x) para alguno de sus insumos.
b) ¿Qué grado de homogeneidad caracteriza a tal función?
c) Considerando y(t) = f(tx), con t 1, determine sus rendimientos de escala
mediante la fórmula de elasticidad siguiente:
 y ,t 
y(t ) t

t
y(t )
d) Obtenga la función de costos de largo plazo. Compruebe el lema de
Sheppard y la equivalencia entre el multiplicador de Lagrange y el costo
marginal.
8. Con la siguientes funciones de producción:
1
1
a) q(K, L) = 2L2 K 4
b) q(K, L) = 6L + 2K
1
1
c) q(K, L) = (L2 + K 2 )2
Determine:
a) La elasticidad de sustitución.
b) Los rendimientos de escala (globales).
c) Los rendimientos de escala (locales).
1
1
9. Sea la función de producción: 𝑓(𝑘, 𝑙) = 𝑘 2 + 𝑙 2
a) Calcular la función de oferta, la demanda de insumos y la función de
beneficios.
b) Comprobar que la función de oferta es HG0.
c) Verificar que la función de beneficios es HG1, creciente en 𝑝 y decreciente
en 𝑟 y 𝑤.
d) Utilizar el lema de Hotelling para calcular la función de oferta y demanda
de factores.
e) Construir la matriz ∇2 𝜋 (𝒑) = ∇𝑦(𝒑) Comprobar que es una matriz
simétrica, semi-definida positiva y cumple la Ley de Euler ∇𝑦(𝒑)𝑝 = 0.
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EQUILIBRIO PARCIAL
10. Considere la aplicación de un impuesto unitario, t  0, sobre la producción de
un monopolio. El monopolista enfrenta una demanda, Q  p  , siendo   1,
y opera con costos medios constantes. Muestra que el monopolista
incrementará su precio en un monto mayor al del impuesto unitario.

11. Suponga que en un mercado operan 30 empresas idénticas precio
aceptantes, con una función de producción q(L, K) = L1/2 K1/2 y una demanda
de mercado q =1000-5p. Los precios de los factores son w=5 y r=6.
a. Obtenga la curva de oferta de corto plazo para cada empresa cuando
̅ =10.
𝐾
b. Obtenga la curva de oferta de corto plazo de la industria.
c. Calcule el equilibrio del mercado.
d. Calcule el beneficio de la empresa individual.
e. Calcule el excedente del productor.
f. Calcule el excedente del consumidor.
12. Suponga que una empresa opera bajo condiciones de monopolio puro, con
una función de costos 𝐶(𝑞) = 2𝑞 2 + 2𝑞 + 32 y con una demanda de
mercado 𝑞 = 400 − 2𝑝.
a. Obtenga la cantidad y precio que maximizan el problema del
monopolista.
b. Calcule el beneficio del monopolista.
c. Calcule el excedente del consumidor y diga cuál es la pérdida de
bienestar para el consumidor con respecto al del mercado
competitivo (suponga que la curva de costo de la industria es igual a
la del monopolista).
d. Calcule la pérdida social asociada.
13. Suponga que una empresa opera bajo condiciones de monopolio puro, con
una función de producción q(K, L) = L1/2 K1/4 y con una demanda de
mercado q = 80 − p. Donde los precios de sus factores son w=2 y r=4.
̅ =2
a) Calcule el equilibrio de corto plazo para el monopolista cuando 𝐾
b) Determine la demanda de L, que maximiza el beneficio.
c) Calcule el excedente del consumidor y diga cuál es la pérdida de bienestar
para el consumidor con respecto al del mercado competitivo (suponga
que la curva de costo de la industria es igual a la del monopolista).
d) Calcule la pérdida social asociada.
14. La función inversa de demanda es
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𝑝 = 𝑞 −2
a) Comprobar que la función de demanda tiene elasticidad constante.
b) Suponer que la función de costos es 𝑐(𝑞) = 2𝑞. Calcular el precio, la
cantidad y el excedente del consumidor si la estructura de mercado es
monopolio.
c) Calcular la pérdida de bienestar. ¿Cuál es la transferencia del consumidor
al monopolista?
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