Lista de ejercicios mat II 2008

PRACTICOS CURSO 2008
MATEMATICA II
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PRÁCTICO 7: Extremos de funciones de varias variables
MATEMÁTICA II - TECNÓLOGO MECÁNICO
Ejercicio 1 Calcular ∆fp (x, y) = f (x, y) − f (p) y usando la definición, probar que f tiene un extremo
relativo en p. Indicar si se trata de un máximo o un mı́nimo relativo
1. f : f (x, y) = xy 2 (6 − x − y)2 + 4, p = (6, 0)
2. f : f (x, y) = 2x + 4y − 5 − x2 − y 2 , p = (1, 2)
Ejercicio 2 Probar que p es un punto estacionario de f y que f no tiene un extremo relativo en p.
1. f : f (x, y) = 1+4xy+x4 +y 4 −2(x2 +y 2 ), p = (0, 0)
2.
f : f (x, y) = (x+1)(5−x−y)y 2 +4, p = (−1, 0)
Ejercicio 3 Justificar que existen los extremos absolutos de la función f en el conjunto D. Hallarlos
1. f : f (x, y) = x2 + y 2 − xy + x + y
D = {(x, y) ∈ R2 : x ≤ 0, y ≤ 0, x + y ≥ −3}
2. f : f (x, y) = xy(1 − x − y)
D = {(x, y) ∈ R2 : x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 1}
Ejercicio 4 Para las siguientes funciones
1. f : f (x, y) = (x + y − 4)(2y − x2 ) 2.
3. f : f (x, y) = (x2 + y 2 − 2x)(x − 2) 4.
f : f (x, y) = (3 − x)(3 − y)(x + y − 3)
f : f (x, y) = y(y + x2 − 2x)
(a) Hallar el signo de f .
(b) Hallar los puntos estacionarios de f y clasificarlos.
(c)
i. ¿f tiene máximo (absoluto) en R2 ? Justifique la respuesta.
ii. ¿f tiene mı́nimo (absoluto) en R2 ? Justifique la respuesta.
Ejercicio 5 Hallar los extremos relativos de la función f : R2 → R tal que
1. f (x, y) = x3 + 3xy 2 − 15x − 12y
2.
f (x, y) = 4xy 2 − xy 3 − x2 y 2
3. f (x, y) = y + 3 − ex
2
+y
Ejercicio 6 Hallar los extremos relativos de las siguientes funciones
1. f (x, y) = x4 + x2 y + y 2 + 3
(Sugerencia: x4 + x2 y + y 2 = (x2 + 12 y)2 + 34 y 2 ).
2. f : f (x, y) = e−x (x2 − 5xy 2 + 4y 4 )
(Sugerencia: x2 − 5xy 2 + 4y 4 = (x − 4y 2 )(x − y 2 ))
Ejercicio 7 Hallar los extremos relativos de la función f en el conjunto S
1. ©f : f (x, y) = x2 + y 2
ª
S = (x, y) ∈ R2 : x + y − 1 = 0
2. f© : f (x, y) = xy
ª
S = (x, y) ∈ R2 : 2x + y = 1
2
Ejercicio
8 Hallar los extremos
©
ª absolutos de la función f : f (x, y) = x + 2y en el conjunto
S = (x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 = 16
Ejercicio 9
1. Usar la mı́nima cantidad de metal para diseñar una lata cilı́ndrica (con tapa) que
deberá contener 1 litro de pintura.
Se recuerda que el volumen de un cilindro es πr2 h y el área es 2πr2 + 2πrh, siendo r el radio de la
base y h la áltura.
2. Usar la mı́nima cantidad de plástico diseñar un “cucurucho” (sección cónica sin tapa) que deberá contener 200 cm3 de helado.
√
πr2 h
y su área lateral πr r2 + h2
Se recuerda que el volumen de un cono cilı́ndrico es
3
3. Se quiere diseñar una abertura que tenga un perı́metro de 10 m, la cual está formada por un
rectángulo cuyo lado superior se ha sustituido por una circunferencia de diámetro igual al lado
sustituido. Hallar las dimensiones para que dé el máximo de luz
(Area cı́rculo de radio r = πr2 y perı́metro de una circunferencia de radio r = 2πr)
1
Mathías BOUREL . José DIAZ