estadística - Facultad de Ciencias Agrarias

UNIVERSIDAD DE LA EMPRESA - FACULTAD DE CIENCIAS AGRARIAS
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ESTADÍSTICA
LISTA DE EJERCICIOS No 8 (08 de junio 2012)
1-. Distribución exponencial. Sea una variable T que representa el tiempo de vida de un gato. La
función de densidad que refleja su distribución es de la forma:
f T (t ) = α e −αt ; ∀t > 0
i) Verifique que la función fT(t) es una densidad de probabilidad. ¿Lo será para cualquier α?
ii) Calcule la E(T) y la V(T).
iii) Si se sabe que la E(T) = 8, ¿cuál será la probabilidad de que un gato viva más de la
expectativa de vida?
iv) ¿cuál es la probabilidad de que un gato viva entre 8 y 10 años?
2-. El tiempo de reparación de cierta marca de impresoras tiene aproximadamente una distribución
exponencial de media 22 minutos.
1. Hallar la probabilidad de que el tiempo de reparación sea menor de 10 minutos.
2. El costo de reparación es de 2000 pesos por cada media hora o fracción. ¿Cuál es la
probabilidad de que una reparación cueste 4000 pesos?
3. ¿Cuánto tiempo se debe asignar a cada reparación para que la probabilidad de que cualquier
tiempo de reparación mayor que ese tiempo asignado sea sólo de 0,1?
3-. Distribución Normal o gaussiana. Los pesos de los soldados de un regimiento presentan una
distribución normal de media 65 kg. y desvío típico 8 kg. Calcule la probabilidad de que un soldado
elegido al azar pese:
a) más de 61 kg.
b) entre 63 y 69 kg.
c) menos de 70 kg.
d) más de 75 kg.
4-. La duración de un láser semiconductor a potencia constante tiene una distribución normal con
media 7000 horas y desviación típica de 600 horas.
1. ¿Cuál es la probabilidad de que el láser falle antes de 5000 horas?
2. ¿Cuál es la duración en horas excedida por el 95% de los láseres?
3. Si se hace uso de tres láseres en un producto y se supone que fallan de manera
independiente. ¿Cuál es la probabilidad de que tres sigan funcionando después de 7000
horas?
5-. En las veterinarias de una determinada localidad del país, se supone que el número de
castraciones mensuales realizadas a los gatos se distribuye normal con media 30 y varianza 2.
Determinar:
a) La probabilidad de que en un mes se castren entre 13 y 31 gatos.
b) Determinar el número máximo de castraciones que se realizan en el 90% de los
meses.
c) Supongamos que en la localidad considerada hay 10 veterinarias independientes y
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con las mismas características, Determinar la probabilidad de que más de dos de ellas
castren entre 13 y 31 animales.
6-. Distribución t de Student. Si promediamos variables aleatorias independientes igualmente
distribuidas que tienen una distribución normal cuya media es desconocida y su varianza σ2 es
estimada por S2, surge una variable aleatoria que tiene una distribución de densidad dada por la
siguiente fórmula:
Γ(n + 1) ( y / 2) n / 2
(1 + y 2 / n) −( n+1) / 2 ; ∀y ∈ ℜ; n > 0
fY ( y) =
Γ(n / 2) nπ
X n − E( X )
tiene distribución t de Student con n grados de libertad. Los
σ S/ n
momentos de la misma son: E (Y ) = 0 ; y V (Y ) = n /( n − 2) ; ∀n > 2 .
Se dice que la variable Y =
Al igual que en el caso de la variable normal estándar, la función de distribución de Y se halla tabulada.
Suponga se promedian 10 variables aleatorias independientes que tienen distribución normal de media µ
desconocida y varianza σ2 = 4:
i) calcule la probabilidad de que su promedio supere a la esperanza.
ii) calcule la probabilidad de que su promedio estandarizado no sea mayor a 2 (dos).
iii) calcule la probabilidad de que su promedio estandarizado esté comprendido entre -1 y 1.
7-. Dada la siguiente muestra aleatoria simple que surge de una distribución Normal con parámetro
σ 2 = 144
74,9
87,7
115,0
101,6
92,1
101,2
87,8
73,7
91,6
78,3
91,4
98,8
Calcule:
(a) Una estimación puntual de la media de la población.
(b) El intervalo aleatorio al 90% para la media de la población.
(c) El intervalo de confianza al 95% para la media.
8-. Un determinado proceso de producción se observa durante 10 horas seguidas, con el propósito de
estimar cuál es la cantidad de errores por hora que deben esperarse.
Los valores observados se indican en el cuadro siguiente:
Hora
Cantidad de Errores
1
2
2
1
3
4
4
1
5
0
6
3
7
1
8
2
9
3
10
1
El ingeniero encargado del proceso supone que estos errores tienen distribución Normal con media
desconocida y desvío estándar 1,16.
a. calcule un intervalo de confianza al 95% para la media.
b. calcule un intervalo de confianza al 95% para la media con media desconocida y varianza
desconocida.
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9-. Dados los siguientes intervalos de confianza para la media con varianza desconocida que surgen una
muestra de tamaño 20, 40, 60, 80, 100 y 1000.
a. Determine cuáles son los valores de t n −1;α 2 y t n −1;1−α 2 seleccionado en cada caso:


X −µ
C  t n −1;α 2 ≤
≤ t n−1;1−α 2  = 0,90
s n




X −µ
C  t n −1;α 2 ≤
≤ t n−1;1−α 2  = 0,95
s n




X −µ
C  t n −1;α 2 ≤
≤ t n−1;1−α 2  = 0,975
s n




X −µ
C  t n −1;α 2 ≤
≤ t n−1;1−α 2  = 0,99
s n


b. Determine los valores que surgirían de utilizar cuantiles de una distribución normal
estándar. Compare los resultados con los obtenidos en a.. Comente.
10-. Con el objetivo de conocer la tasa de nupcialidad en una población rural, se hará un muestreo
aleatorio simple entre las personas de más de 18 años y se les preguntará su estado civil. Se desea
establecer cuál es la cantidad de personas a encuestar si se busca que la proporción a estimar esté dentro
del ± 0,006 con un 90% de confiabilidad.
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