Distribuciones de Probabilidad Para Variables

Distribuciones de Probabilidad Para Variables
Aleatorias Continuas
Daniel Paredes Moreno
Estadı́stica I
Departamento de Estadı́stica-FACES-ULA
20 de Diciembre de 2013
Daniel Paredes Moreno
Estadı́stica I
Introducción
Recordemos la definición de Variable Aleatoria Continua.
Variable Aleatoria Continua
Sea X una variable aleatoria. Se dice que X es una variable
aleatoria continua si y solo si el conjunto de valores que esta puede
tomar o RangoX es un conjunto infinito no numerable.
Para las variables continuas también se estudia la probabilidad de
eventos relacionados con los valores de la variable. Para esto
definimos la Función de Densidad de Probabilidad análoga a la
función de masa de probabilidad para las variables aleatorias
discretas.
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Función de Densidad de Probabilidad
Función de Densidad de Probabilidad (f.d.p.)
Sea X una variable aleatoria continua. Se define su Función de
Densidad de Probabildad, denotada como f (x) a una función
que cumple con las siguientes condiciones:
1
f (x) > 0 para todo x ∈ RangoX .
2
El área bajo la curva de f (x) para RangoX es igual a 1. Esto
es:
Z
f (x) dx = 1
RangoX
En este caso diremos que X se distribuye según f (x) o X ∼ f (x).
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Estadı́stica I
Ejemplo
Considere una variable aleatoria continua que se distribuye según la
siguiente f.d.p.
f (x) = 1 ∀x ∈ [0, 1]
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Estadı́stica I
Ejemplo
Observemos que esta función cumple con las condiciones descritas
antes:
1 f (x) = 1 > 0
∀x ∈ [0, 1]
2 El área bajo la curva de la función en todo el rango es igual a
1 (base ∗ altura = 1)
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Cálculo de probabilidades con la f.d.p.
Cálculo de probabilidades con la f.d.p.
Sea X una v.a. continua tal que X ∼ f (x), sean además
a, b ∈ RangoX y a R< b entonces:
P (a 6 X 6 b) =
f (x) dx (el área bajo la curva en [a, b])
[a,b]
R
P (a < X 6 b) =
f (x) dx (el área bajo la curva en (a, b])
(a,b]
R
P (a 6 X < b) =
f (x) dx (el área bajo la curva en [a, b))
[a,b)
R
P (a < X < b) =
f (x) dx (el área bajo la curva en (a, b))
R (a,b)
P (X = a)) =
f (x) dx = 0 (el área bajo la curva en {a})
{a}
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Cálculo de probabilidades con la f.d.p.
Cálculo de probabilidades con la f.d.p.
Sea X una v.a. continua tal que X ∼ f (x), sean además
a, b ∈ RangoX ,R entonces:
P (X 6 a) =
f (x) dx (el área bajo la curva en (∞, a])
(∞,a]
R
P (X < a) =
f (x) dx (el área bajo la curva en (∞, a))
(∞,a)
R
P (X > b) =
f (x) dx (el área bajo la curva en [b, ∞))
[b,∞)
R
P (X > b) =
f (x) dx (el área bajo la curva en (b, ∞))
(b,∞)
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Ejemplo
Consideremos de nuevo una variable aleatoria continua que se
distribuye según la siguiente f.d.p.
f (x) = 1 ∀x ∈ [0, 1]
Calculemos las siguientes probabilidades:
1
P (0,2 6 X 6 0,4)
2
P (0,2 < X 6 0,4)
3
P (0,2 < X < 0,4)
4
P (X 6 0,8)
5
P (X > 0,8)
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Ejemplo
P (0,2 6 X 6 0,4) = P (0,2 < X 6 0,4) =
P (0,2 < X < 0,4) = 0,2
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Ejemplo
P (X 6 0,8) = 0,8
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Ejemplo
P (X > 0,8) = 0,2
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Estadı́stica I
Ejemplo
P (X = 0,4) = 0
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Función de Distribución de Probabilidad Acumulada
(F.D.P.A.)
Función de Distribución de Probabilidad Acumulada
Sea X una v.a. continua tal que X ∼ f (x). Se define la Función de
Distribución de Probabilidad Acumulada, denotada como FX (x)
como:
FX (x) = P (X 6 x)
. Esta función cumple que:
1
Su dominio es < y su rango el intervalo [0, 1].
2
lı́mx→−∞ = 0 y lı́mx→∞ = 1.
3
Es monótona no decreciente.
4
Es continua por la derecha en todo <. Esto es,
lı́mx→a+ = FX (a).
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Ejemplo
Volviendo a nuestra v.a. continua que se distribuye según la
siguiente f.d.p. f (x) = 1 ∀x ∈ [0, 1]
la Función de Distribución de Probabilidad Acumulada esta
definida como: FX (x) = P (X 6 x)
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Ejemplo
Esto nos indica que la F.D.P.A de esta variable aleatoria es:


0 x < 0
FX (x) = x x ∈ [0, 1]


1 x >1
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Uso de la Función de Distribución de Probabilidad
Acumulada
Podemos usar la Función de Distribución de Probabilidad
Acumulada para calcular probabilidades, mediante la siguientes
identidades:
Cálculo de probabilidades usando la F.D.P.A.
Sea X una v.a. continua con F.D.P.A. FX (x), entonces:
1
P (a 6 X 6 b) = FX (b) − FX (a)
2
P (X 6 a) = FX (x)
3
P (X > b) = 1 − FX (b)
Recordemos que P (a 6 X 6 b) = P (a 6 X < b) =
P (a < X 6 b) = P (a < X < b)
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Ejemplo
Utilicemos la misma variable del ejemplo anterior. Su F.D.P.A es la
siguiente:


0 x < 0
FX (x) = x x ∈ [0, 1]


1 x >1
Usemos esta función para calcular las mismas probabilidades
usando las identidades antes mencionadas:
1
P (0,2 6 X 6 0,4) = Fx (0,4) − FX (0,2) = 0,4 − 0,2 = 0,2
2
P (X 6 0,8) = Fx (0,8) = 0,8
3
P (X > 0,8) = 1 − Fx (0,8) = 1 − 0,8 = 0,2
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