efecto de la segregación de las células sanguíneas en la estimación

UNIVERSIDAD SIMÓN BOLÍVAR
DECANATO DE ESTUDIOS DE POSTGRADO
COORDINACIÓN DE INGENIERÍA QUÍMICA
MAESTRÍA EN INGENIERÍA QUÍMICA
TRABAJO DE GRADO
EFECTO DE LA SEGREGACIÓN DE LAS CÉLULAS SANGUÍNEAS
EN LA ESTIMACIÓN NUMÉRICA DE HEMÓLISIS
por:
Tania Maria Mubita Zambrano
Enero 2012
UNIVERSIDAD SIMÓN BOLÍVAR
DECANATO DE ESTUDIOS DE POSTGRADO
COORDINACIÓN DE INGENIERÍA QUÍMICA
MAESTRÍA EN INGENIERÍA QUÍMICA
EFECTO DE LA SEGREGACIÓN DE LAS CÉLULAS SANGUÍNEAS
EN LA ESTIMACIÓN NUMÉRICA DE HEMÓLISIS
Trabajo de Grado presentado a la Universidad Simón Bolívar por
Tania Maria Mubita Zambrano
como requisito parcial para optar al grado académico de
Magister en Ingeniería Química
Con la asesoría del profesor
Luis Rojas Solórzano
Enero 2012
ii
AGRADECIMIENTOS
“Ante tu valioso apoyo mi silencio vale oro. Sólo quiero decirte:” gracias, Dios
Abel Pérez Rojas
Realmente he sido muy afortunada de encontrar personas extraordinarias durante mi
permanencia en esta universidad; a estas personas me gustaría agradecerles el apoyo
y la amistad que me han brindado.
Al profesor Luis Rojas, por sus comentarios y sugerencias siempre oportunos. Ha
sido un privilegio tenerlo como tutor.
A la profesora María Gabriela Gómez, quien me brindó su apoyo al comienzo de esta
aventura.
A los miembros del Dpto. de Termodinámica; especialmente a Joselin Moreno,
Aurelio Stammitti y Julia Guerra.
A los miembros de la Coordinación de Ingeniería Química, por su amabilidad y
asistencia incondicional.
A Raúl, Felipe, Jaime, Katherine, Nelson, Adriana, Joaquín, por compartir conmigo
sus conocimientos y por hacer del lugar de trabajo un sitio más agradable.
A toda mi familia, por su apoyo incondicional, amor y motivación; especialmente a
Tania Zambrano por ser una continua inspiración para mí; por ser mi guía y mi
fuente de aliento cuando más lo necesitaba.
A mi abuela, Ana Zambrano, por tus oraciones, por tu compañía y por ser como eres:
simplemente genial.
A Virginia Mubita, por tus ocurrencias que siempre terminaban alegrándome el día.
A mis amigas siempre presente, Marien, Yennifer, Marifred, Mayra y Cleo.
A todos los que forman parte de mi vida, enriqueciéndola y llenándola de momentos
gratos.
iii
UNIVERSIDAD SIMÓN BOLÍVAR
DECANATO DE ESTUDIOS DE POSTGRADO
COORDINACIÓN DE INGENIERÍA QUÍMICA
MAESTRÍA EN INGENIERÍA QUÍMICA
EFECTO DE LA SEGREGACIÓN DE LAS CÉLULAS SANGUÍNEAS EN LA
ESTIMACIÓN NUMÉRICA DE HEMÓLISIS
Por: Mubita Zambrano Tania Maria
Carnet No.: 08-86884
Tutor: Luis Rojas Solórzano
Enero 2012
RESUMEN
Los dispositivos de asistencia ventricular (DAV) constituyen una esperanza de
solución clínica a pacientes que presentan fallo cardíaco. La implantación de estos
dispositivos durante períodos cada vez más prolongados no está exenta de
complicaciones producto de alteraciones en la fluido dinámica de la sangre. El
aumento de los esfuerzos de corte causa modificaciones en la membrana de los
glóbulos rojos que eventualmente terminan destruyéndolos y liberando hemoglobina
al plasma, fenómeno conocido como hemólisis. La estimación del daño sanguíneo
causado por los DAV se hace comúnmente mediante experimentación in vitro,
siguiendo normas estandarizadas proporcionadas por la American Society for Testing
and Materials (ASTM) o, más recientemente, empleando modelos numéricos.
En este estudio se propone una metodología para cuantificar el daño hemolítico que
experimentan las células sanguíneas considerando un modelo euleriano para
representar el flujo multifásico y empleando la Dinámica de Fluidos Computacional
(DFC) como herramienta matemática. La sangre se modeló como un fluido no
homogéneo, en el cual glóbulos rojos y plaquetas se consideraron como las fases
dispersas en un medio continuo, el plasma. Las zonas de elevado esfuerzo cortante
fueron analizadas y la fracción de daño fue calculada sólo sobre la fase de glóbulos
rojos, lo que permitió disminuir la sobre-estimación producto de considerar a la
sangre como un fluido homogéneo.
Palabras claves: hemólisis, conectores estenóticos, segregación células, migración.
iv
ÍNDICE GENERAL
Pag.
APROBACIÓN DEL JURADO
ii
AGRADECIMIENTOS
iii
RESUMEN
iv
ÍNDICE GENERAL
v
ÍNDICE DE FIGURAS
vii
LISTA DE SÍMBOLOS Y ABREVIATURAS
x
INTRODUCCIÓN
1
CAPÍTULO I. EL PROBLEMA
I.1. EL FLUJO SANGUÍNEO
I.1.1. Hemodinámica del sistema cardiovascular
3
I.1.2. Estructura y composición de la sangre
3
I.1.2.1. Plasma
4
I.1.2.2. Glóbulos rojos
5
I.1.2.3. Leucocitos y plaquetas
7
I.1.3. Comportamiento reológico microscópico de la sangre
I.2. DISPOSITIVOS DE ASISTENCIA VENTRICULAR (DAVs)
8
13
I.3. HEMÓLISIS MECÁNICA
I.3.1. Estimación numérica de la hemólisis
16
I.3.2. Cuantificación de la hemólisis
22
I.4. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
23
I.5. JUSTIFICACIÓN
25
I.6. OBJETIVOS
I.6.1. Objetivo General
26
I.6.2. Objetivos Específicos
26
CAPÍTULO II. METODOLOGÍA
II.1. FLUJO MULTIFÁSICO : Modelos más empleados
27
II.2. ECUACIONES DE GOBIERNO MULTIFÁSICAS
II.2.1. Conservación de la masa
30
II.2.2. Conservación de la cantidad de movimiento
30
v
II.3. MOVIMIENTO DE LA FASE DISPERSA
31
32
II.3.1. Fuerzas de arrastre, FD
II.3.1.1. Correlación Schiller-Naumann
32
II.3.1.2. Correlación de Gidaspow
33
II.3.1.3. Correlación de Ishii-Zuber
33
II.4. FLUJO TURBULENTO
34
II.5. FLUJO EN MICROCANALES
38
II.6. DESCRIPCIÓN DEL MODELO COMPUTACIONAL
39
II.7. ESTUDIO HEMODINÁMICO
45
II.7.1. Distribución de los componentes sanguíneos
II.7.1.1. Microcanal
47
II.7.1.2. Microtubo
47
II.7.1.3. Estudio de la generación de hemólisis
48
CAPÍTULO III. RESULTADOS Y ANÁLISIS
III.1. ESTUDIO DE LA SENSIBILIDAD DE LOS RESULTADOS A LA
MALLA
III.1.1. Microcanal y microtubo
51
54
III.1.2. Conector estenótico tipo D
III.2. VALIDACIÓN DEL MODELO DE SEGREGACIÓN
III.2.1. Evaluación
segregación.
del
efecto
de
la
gravedad
en
la
56
III.2.1.1. Fuerzas aplicadas
60
III.2.1.2. Fuerzas inerciales, viscosas y de arrastre.
65
III.2.1.3. Comparación del modelo con datos experimentales
67
III.2.2. Evaluación
del estado termodinámico
dispersa y su efecto en la segregación.
de la fase
70
III.3. EVALUACIÓN DEL DAÑO HEMOLÍTICO APLICANDO EL
MODELO DE SEGREGACIÓN
76
CAPÍTULO IV. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES
BIBLIOGRAFÍA
84
87
vi
ÍNDICE DE FIGURAS
CAPÍTULO I
Figura 1.1 Principales componentes sanguíneos
Figura 1.2 a) Dimensiones GRs.; b) Rouleaux—agregados de glóbulos rojos
Figura 1.3 Viscosidad relativa de la sangre humana a 25 °C como una
función de la fracción volumétrica de GRs, comparada con una
suspensión de esferas rígidas de latex, discos rígidos, gotas, y
GRs falciformes
Figura 1.4 Perfil de concentración de las plaquetas obtenido por la ec.
(1.2)
Figura 1.5 DAVs comúnmente empleados. a) Bomba pulsátil; b) Bomba
de flujo axial
CAPÍTULO II
Figura 2.1 Dimensiones del canal rectangular empleado en la evaluación
de distribución de las fases
Figura 2.2 Dimensiones del microtubo empleado en la evaluación de
distribución de las fases
Figura 2.3 Conectores estenóticos empleados por Umezu et al. (1992) para
evaluar hemólisis
CAPÍTULO III
Figura 3.1
Perfil de concentración de plaquetas en el microcanal,
obtenido a una distancia de 350 μm de la entrada del canal y
en una sección que abarca 5 μm de distancia desde la pared
(dirección en y)
Figura 3.2
Perfil de concentración de plaquetas en el microcanal, para la
malla media con la barra de errores de discretización
calculada con la ecuación (2.26)
Figura 3.3
Perfil de concentración de plaquetas en el micro tubo,
obtenido a una distancia de 70 mm de la entrada del tubo y
en una sección que abarca 10 μm de distancia desde la pared
(dirección radial)
Figura 3.4
Perfil de concentración de plaquetas en el microtubo, para la
malla media con la barra de errores de discretización
calculada con la ecuación (2.26)
Figura 3.5
Perfil de concentración de glóbulos rojos en el conector D,
obtenido a una distancia de 47,5 mm de la entrada del
conector y en una sección que abarca 0,3 mm de distancia de
la pared (dirección radial)
4
6
6
12
15
47
48
49
51
52
52
53
54
vii
Figura 3.6
Figura 3.7
Figura 3.8
Figura 3.9
Figura 3.10
Figura 3.11
Figura 3.12
Figura 3.13
Figura 3.14
Figura 3.15
Perfil de concentración de GRs en el conector D, de la malla
media con la barra de errores de discretización calculada con
ecuación (2.26)
Perfil de concentración de plaquetas, obtenido vía DFC, a una
distancia de 70 mm de la entrada del tubo, dirección radial. El
número de Re de las plaquetas, medido a la entrada del canal
es RePLTs =1,70; ρplasma= 1025 kg/m3
Perfil de concentración de plaquetas, vía DFC, a una distancia
de 70 mm de la entrada del tubo, dirección radial. El número
de Re de los GRs, medido a la entrada del canal es ReGRs =1,80;
ρplasma= 1025 kg/m3
Perfil de concentración del plasma, vía DFC a una distancia
de 70 mm de la entrada del tubo, dirección radial. El número
de Re del plasma, medido a la entrada del canal, es Replasma
=2,74; ρplasma= 1025 kg/m3
Perfil de concentración de las plaquetas, vía DFC al variar el
di{metro de las partículas, considerando ΩG-P= 1,06 . ρplasma=
1025 kg/m3; fracción volumétrica en la entrada αPLTs=2% y
αGRs=40%
Perfil de concentración de plaquetas, vía DFC, obtenido al
variar el diámetro de la fase dispersa, considerando ΩG-P= 1.
ρplasma= 1025 kg/m3, fracción volumétrica a la entrada αPLTs=2%
y αGRs=40%
Perfil de concentración de a) plaquetas; b) glóbulos rojos,
obtenido al variar la fracción volumétrica de las fases
dispersas. ρplasma= 1025 kg/m3, ρPLTs= 1040 kg/m3, ρGRs= 1100
kg/m3
Perfil de velocidad de plasma, plaquetas y glóbulos rojos.
ρplasma= 1025 kg/m3, ρPLTs= 1040 kg/m3, ρGRs= 1100 kg/m3¸
fracción volumétrica a la entrada αPLTs=2% y αGRs=40%
Velocidad de deslizamiento, obtenida empleando DFC, para
la fase plaquetas, variando la concentración de las fases
dispersa. ρplasma= 1025 kg/m3, ρPLTs= 1040 kg/m3, ρGRs= 1100
kg/m3
Perfil radial de las fuerzas que influencian el movimiento de
las fases a través del conducto. ρplasma= 1025 kg/m3, ρPLTs= 1040
kg/m3, ρGRs= 1100 kg/m3; fracción volumétrica a la entrada
αPLTs=2% y αGRs=40%
55
57
58
58
61
61
62
64
64
66
viii
Figura 3.16
Figura 3.17
Figura 3.18
Figura 3.19
Figura 3.20
Figura 3.21
Figura 3.22
Figura 3.23
Figura 3.24
Figura 3.25
Figura 3.26
Figura 3.27
Figura 3.28
Perfil radial de las fuerzas que influencian el movimiento de
las fases a través del conducto. ρplasma= 1025 kg/m3, ρPLTs= 1040
kg/m3, ρGRs= 1100 kg/m3; fracción volumétrica a la entrada
αPLTs y αGRs=2%
Comparación del perfil de concentración de plaquetas
experimental y numérico. Las barras expresan el error
relativo de los resultados computacionales
Perfil de concentración de PLTs, vía DFC, en un microcanal
para un flujo en la entrada de 15 mL/h.
Perfil de concentración de PLTs, vía DFC, en un microcanal
para un flujo en la entrada de 6 mL/h
Perfil de concentración de GRs, vía DFC, en un microcanal
para un flujo en la entrada de 6 mL/h
Líneas de corriente de la velocidad de la fase plaquetas a lo
largo del canal
Perfil de concentración de PLTs, vía DFC, para la sección de
expansión del canal con un espesor de 20μm; flujo en la
entrada de 6 mL/h
Comparación gráfica del flujo: a) a la salida del conector
estenótico; b) con el flujo en un escalón reverso
Esfuerzos cortantes generados a lo largo del conector
estenótico
a) Líneas de corriente para la velocidad de los glóbulos rojos
en el conector estenótico tipo D. b) Flujo cortante generado
por el chorro que emerge de un orificio (Sutera, 1977)
Esfuerzo de corte generado en un plano axial en el conector
estenótico. a) el tensor de esfuerzo de la forma
b)
tensor de esfuerzo que considera la viscosidad efectiva,
66
Fracción de daño, HGW, medida a) calculada considerando
b) calculada considerando
Fracción de daño, HGW, en un plano a lo largo del conector
estenótico D.
81
68
71
72
73
74
75
77
78
79
80
81
ix
LISTA DE SÍMBOLOS Y ABREVIATURAS
ABREVIATURAS
AHA
Asociación Americana del Corazón (American Heart Association)
ASTM
CSS
Asociación Americana de Ensayos y Materiales (American Society of
Testing and Materials)
Esfuerzo de corte comparativo (Comparative Shear Stress)
DAVs
Dispositivo de Asistencia Ventricular
DFC
Dinámica de Fluidos Computacional (Computational Fluid Dynamics,
CFD)
DNS
D.R
Simulación Numérica Directa (Direct Numerical Simulation)
)
Discos Rígidos
DPM
Modelo de fase dispersa (Dispersed Phase Model)
ECV
Enfermedades Cardiovasculares
EMM
Modelo Euleriano Multifásico (Eulerian Multiphase Model)
GCI
Índice de Convergencia de la Malla (Grid Convergence Index)
GRs
Glóbulos Rojos
LES
Simulación de Grandes Vórtices (Large Eddy Simulation)
MIH
Índice Modificado de Hemólisis (Modified Index of Hemolysis)
MIHexp
MIH calculado a partir del modelo euleriano modificado
NIH
Índice Normalizado de Hemólisis (Normalized Index of Hemolysis)
OMS
Organización Mundial de la Salud
VOF
Modelo de Volumen de Fluido (Volume of Fluid)
PLTs
Plaquetas
RANS
Ecuaciones de Navier-Stokes promediadas por Reynolds (Reynoldsaveraged Navier-Stokes)
SST
Transporte de Esfuerzos Cortantes (Shear Stress Transport)
SÍMBOLOS
Ap
Área partícula
CD
Coeficiente de arrastre
dp
Diámetro de partícula *μm+
Operador vectorial diferencial nabla
x
g
Aceleración de la gravedad [m/s2]
h
Tamaño de elemento
Aumento de hemoglobina libre en el plasma [mg/l]
Hb
Concentración total de hemoglobina [mg/l]
HGW
HL
Fracción de hemoglobina libre en el plasma, según ecuación
de Giersiepen
Fracción linealizada de hemoglobina libre en el plasma, según modelo
original de Garon y Farinas (2004)
Índice promedio de hemólisis [-]
Htc
Hematocrito [-]
k
Energía cinética turbulenta [m2/s2]
F
Fuerza
p
Presión [Pa]
Flujo de sangre [l/min]
R
Radio del conducto
r
Factor de refinamiento o ubicación radial del pico de máxima
concentración
Re
Número de Reynolds [-]
S
Tasa de deformación por corte [s-1]
t
Tiempo de exposición al esfuerzo de corte [s]
tm
Tiempo de muestreo [min]
u
Vector velocidad [m/s]
x, y, z
Componentes del vector posición. Direcciones principales en un
sistema de coordenadas cartesianas
Volumen de control utilizado en la discretización de las ecuaciones de
transporte
Volumen de sangre en el circuito experimental [l]
V
Vol
ye
Relación entre la distancia lateral de la línea central de un conducto a
la
[l]posición del pico máximo, en el perfil de concentración (r/R) [-]
LETRAS GRIEGAS
α
Fracción volumétrica
δ
Tensor delta de Kroenecker: δij = 1 si i=j; δij = 0 si i ≠ j
μ
Viscosidad molecular [cP]
xi
μeff
Viscosidad efectiva [cP]
μT
Viscosidad turbulenta [cP]
ρ
Densidad [kg/m3]
ρ
uu 
i
j
Tensor de esfuerzos de Reynolds [Pa]
σ
Coeficiente de tensión superficial
σ1, σ2, σ2
σ
τ3
Esfuerzos principales [Pa]
τCCS
Esfuerzo de corte comparativo (Comparative Shear Stress) [Pa]
τij
Componente desviatoria del tensor de esfuerzos de fluidos [Pa]
τVM
Esfuerzo cortante de von Mises [Pa]
τx
Esfuerzo de corte límite [Pa]
ω
Frecuencia de disipación turbulenta [s-1]
ϕ
Di{metro de partícula *μm+
ΩG-R
Relación entre las densidades de los glóbulos rojos y plaquetas
(ΩG-R=ρGRs/ρPLTs) [-]
Esfuerzo de corte [Pa]
xii
INTRODUCCIÓN
Según
la
Organización
Mundial
de
la
Salud
(OMS)
las
enfermedades
cardiovasculares (ECV) son la principal causa de muerte en todo el mundo. Nada
más en Estados Unidos la Asociación Americana del Corazón (American Heart
Association, AHA) reportó, sobre la base de mortalidad registrada en el 2007, que
más de 2200 estadounidenses mueren por ECV cada minuto (American Heart
Association, 2011) . Desafortunadamente, según reportes de esta misma asociación,
en el 2009 sólo se realizaron 2211 trasplantes debido a la escasez de corazones
donados. Este hecho ha acelerado el desarrollo de dispositivos mecánicos de
asistencia circulatoria como un tratamiento alternativo.
En este sentido, los estudios realizados por más de 50 años, han llevado al desarrollo
de ciertos dispositivos de asistencia ventricular (DAVs) que ayudan al corazón en su
tarea vital de mantener la circulación de la sangre en el cuerpo humano cuando éste
no es capaz de mantener por si sólo un flujo suficiente de dicho fluido debido a una
enfermedad o a un proceso degenerativo.
Para que el dispositivo sea lo más eficiente posible, minimizando los efectos
secundarios que se puedan generar, es necesario tomar en cuenta ciertos aspectos de
diseño, que involucran principalmente las disposiciones geométricas que eviten la
formación de zonas de estancamiento, alta presión y de esfuerzos elevados asociados
1
a “puntos críticos”, en los cuales pueden ocurrir cambios fisiológicos y morfológicos
irreversibles a cualquier componente de la sangre.
Esta evaluación debe hacerse en la etapa de diseño, donde la simulación numérica ha
resultado ser una herramienta poderosa para evaluar tanto la hemodinámica como la
eficiencia y biocompatibilidad de diferentes secciones de estos dispositivos,
permitiendo disminuir el daño generado a las células mientras se mantiene el tamaño
adecuado del dispositivo que hace posible su implantación.
No obstante, aún cuando los esfuerzos se dirigen a disminuir el daño celular asociado
al funcionamiento de los DAVs, no existe una metodología numérica que estime con
suficiente precisión la cantidad de daño generado una vez diseñado el dispositivo y
que se corresponda con el valor medido experimentalmente. Algunos intentos se han
hecho a este respecto (De Wachter & Verdonck, 2002; Lacasse, Garon, & Pelletier,
2007; Hentschel et al., 2008); sin embargo, los resultados aún distan de ser
satisfactorios a un nivel que permita utilizar la herramienta numérica como elemento
de soporte en el diseño final de los DAVs.
Por lo tanto, en este estudio se propone una metodología numérica para cuantificar
este daño, específicamente hemólisis, en ciertas secciones críticas dentro de los DAVs.
Para lograr este cometido se considera la naturaleza corpuscular de la sangre,
modelándola como un fluido multifásico lo cual debe permitir determinar la
distribución de las células sanguíneas; posteriormente, se realiza la estimación
numérica del daño sanguíneo sólo a la fase responsable de éste, glóbulos rojos, como
un nuevo enfoque para evitar la sobre-estimación que se ha observado en el cálculo
hecho por previos autores.
2
CAPÍTULO I
EL PROBLEMA
I.1.
EL FLUJO SANGUÍNEO
I.1.1. HEMODINÁMICA DEL SISTEMA CARDIOVASCULAR
El corazón es una bomba que envía sangre oxigenada y nutrientes a los diferentes
órganos del cuerpo a través de una sofisticada red de vasos interconectados que
involucra una gran variedad de arterias, venas de medio calibre, así como también
capilares. El flujo no es estacionario sino pulsátil, en donde los vasos capilares
distribuyen la sangre a los diferentes órganos y las arterias se adaptan a las
variaciones en el flujo y la presión expandiéndose o contrayéndose dependiendo de la
demanda hemodinámica (Wootton & Ku, 1999).
Exceptuando en los delgados y pequeños capilares, el flujo sanguíneo humano puede
tratarse como un continuo incompresible, describiéndose su comportamiento
hemodinámico a través de los campos de velocidad y presión relacionados por las
ecuaciones de momento y conservación de masa (Ternik & Marn, 2007).
I.1.2. ESTRUCTURA Y COMPOSICIÓN DE LA SANGRE
La sangre es un fluido fisiológico, que a nivel macroscópico se considera homogéneo,
pero a nivel microscópico es un tejido compuesto de varios tipos de células (ej.,
3
glóbulos rojos, plaquetas y glóbulos blancos; ver Fig. 1.1) y una sustancia electrolítica
llamada plasma. Reológicamente, la sangre tiene características de un fluido bifásico,
pudiéndose considerar como una suspensión sólido-líquido; siendo las células, la fase
sólida, o una emulsión líquido-líquido basados en el comportamiento que
experimentan los glóbulos rojos (GRs), al ser sometidos a esfuerzos (Baskurt &
Meiselman, 2003).
Fig. 1.1.- Principales componentes sanguíneos. Fuente: (Fundación Niño y Cáncer)
I.1.2.1. PLASMA
El Plasma es un fluido electrolítico que está compuesto por aproximadamente 91% de
agua, 7% de proteínas, 2% de solutos inorgánicos y otras sustancias orgánicas
(Dzwinel, Boryczko, & Yuen, 2003). Estudios recientes han demostrado que el plasma
es un fluido newtoniano con una viscosidad aproximada de 1.2 mPa.s, a 37 °C, que es
función de la temperatura de acuerdo a la ec. 1.1 (Yilmaz & Yasar, 2008).
4
I.1.2.2. GLÓBULOS ROJOS
La fracción volumétrica de glóbulos rojos (GRs), también llamada hematocrito, y la
tasa de corte son los determinantes más importantes del comportamiento reológico
de la sangre normal; siendo la principal explicación para su carácter no-newtoniano la
agregación, deformación, orientación y migración de los glóbulos rojos o eritrocitos.
Desde el punto de vista de la geometría, los GRs humanos suspendidos en plasma y
en ausencia de fuerzas externas asumen una forma de discos bicóncavos (Fig. 1.2a),
con un di{metro promedio de 8 μm y su espesor varía desde 2 μm en el centro a 2.5 ó
3 μm cerca del borde. Su volumen medio es de 90 μm3 y su superficie de 140 μm2,
(Eggleton & Popel, 1998). La forma bicóncava de estas células facilita su principal
función, la cual es el transporte de gases ya que acorta las distancias de difusión entre
la superficie y el centro, en comparación con las que tendría, por ejemplo, una esfera
o un elipsoide. Adicionalmente, esta forma discoidal bicóncava permite que bajo la
acción de fuerzas externas, puedan deformarse notablemente cuando fluyen a través
de microconductos (Zohdi & Kuypers, 2006).
A bajas tasas de corte (valores menores de 100 s-1) los glóbulos rojos tienden a
asociarse cara con cara formando los denominados rouleaux o “pilas de monedas”
(Fig. 1.2b). Sin embargo, éstos se segregan y se alinean con el flujo a altas tasas de
corte (> 200 s-1); a tasas aún más elevadas, los GRs comienzan a deformarse y la
viscosidad de la sangre alcanza un valor de 3 a 4 cP y, como en un fluido newtoniano,
ya no varía con incrementos posteriores en la tasa de corte (Ternik & Marn, 2007).
5
2 μm
a)
b)
8 μm
Fig. 1.2.- a) Dimensiones GRs.; b) Rouleaux—agregados de glóbulos rojos.
Fuente: (Dzwinel, Boryczko, & Yuen, 2003)
De hecho, se ha observado que los glóbulos rojos se comportan como gotas de líquido
en la mayor variedad de condiciones de flujo a las que son sometidos. Una
comparación del comportamiento de estas células y otro tipo de partículas en
solución puede observarse en la Fig. 1.3.
Viscosidad Relativa
Esferas Rígidas
Gotas:
Emulsión aceite en agua
GRs desoxigenados
Discos
GRs Normales Humanos
Fracción volumétrica de la partícula
Fig. 1.3.- Viscosidad relativa de la sangre humana a 25 °C como una función de la
fracción volumétrica de GRs, comparada con una suspensión de esferas rígidas de
latex, discos rígidos, gotas, y GRs falciformes. Fuente: (Fung Y. , 1984).
6
Aún cuando las gotas de aceite dispersas en agua exhiben una viscosidad mayor que
la suspensión de GRs, el comportamiento elástico de ambas partículas es comparable;
es decir, que para fracciones volumétricas por encima del 50% estas suspensiones no
dejan de fluir, y en el caso especial de la sangre, se ha encontrado que sigue fluyendo
hasta que el hematocrito es de 98%. Adicionalmente, estas diferencias en las
viscosidades sugieren que los GRs exhiben una mayor flexibilidad en relación a las
gotas de aceite.
I.1.2.3. LEUCOCITOS Y PLAQUETAS
Después de los glóbulos rojos, los leucocitos o glóbulos blancos de la sangre son los
más numerosos en el fluido sanguíneo. Sin embargo, éstos constituyen menos del 1%
del volumen total de glóbulos en la sangre humana normal y ejercen poca influencia
sobre las propiedades reológicas de la sangre. Estas células que forman parte del
sistema inmune, participan en la defensa del organismo contra las enfermedades
infecciosas y materiales extraños. Son por lo general, células esféricas con un
diámetro medio de 6-8 μm que poseen un núcleo, y por lo tanto, no se deforman con
facilidad. Adicionalmente, tienen un interior viscoelástico que los hace varios órdenes
de magnitud más rígidos que los glóbulos rojos (Shaik, Hoffmann & Dietiker, 2006).
Las plaquetas o trombocitos, tampoco influyen de manera importante en el
comportamiento reológico de la sangre en condiciones normales, pero sí desempeñan
un papel importante en los procesos de hemostasia (prevención y detención de las
hemorragias) y trombosis. A raíz de los daños de los vasos sanguíneos, las plaquetas
se adhieren al sitio de la lesión y liberan su contenido de gránulos. El material
liberado estimula la agregación de plaquetas. La película formada en el lugar de la
7
lesión proporciona una superficie para la coagulación de la sangre (Huang &
Hellums, 1993).
I.1.3. COMPORTAMIENTO REOLÓGICO MICROSCÓPICO DE LA SANGRE
Al estar la sangre compuesta de células altamente flexibles que tienden a distribuirse
no uniformemente a través del conducto por el cual transitan, las propiedades
materiales que están bien definidas para fluidos homogéneos, como viscosidad, ya no
lo son para la sangre y se hacen dependientes de la geometría del conducto junto con
las propiedades de cada partícula. En este sentido, se requiere la consideración de
cada célula sanguínea como una entidad distinta rodeada de plasma.
En microcirculación, el comportamiento individual de las células es esencial para
lograr una comprensión del flujo sanguíneo. La mayor parte del conocimiento que se
tiene de la microcirculación se basa en fenómenos macroscópicos tales como los
efectos Fahraeus y Fahraeus- Lindqvist (Sun & Munn, 2005).
Estudios in vitro del flujo sanguíneo a través de tubos estrechos ha revelado un
comportamiento reológico complejo. En canales con diámetro interno mayores de 500
μm, la sangre se comporta como un fluido newtoniano con una viscosidad constante.
En ductos cuyo di{metro es menor de 300 μm la sangre adquiere propiedades de
fluido no-newtoniano, la viscosidad disminuye y comienza a ser función del diámetro
del conducto (Moyers-González, Owens, & Fang, 2008).
La explicación física a este efecto es la formación de una capa libre de células como
producto de la migración lateral de los GRs hacia el flujo de la corriente principal y
lejos de las paredes del ducto. La tasa de migración depende de cuán fácil la partícula
8
se deforma; una partícula fácilmente deformable en un flujo parabólico migra más
rápidamente al centro del ducto en lugar de una partícula menos deformable.
En suspensiones diluidas, los GRs migran continuamente hacia el centro; sin
embargo, en suspensiones densas, la interacción hidrodinámica entre células
adyacentes afecta su movimiento. De allí, que la capa libre de células, adyacente al
vaso sanguíneo, se forma bajo un balance entre la deformación inducida por la
migración lateral y la dispersión debido a la interacción célula-célula (Bagchi, 2007)
El espesor de la capa libre de células, que depende del diámetro del ducto, la
velocidad del flujo y el hematocrito, son los factores principales que determinan la
viscosidad aparente de la sangre. La viscosidad aparente desde un análisis
macroscópico se define como la relación entre: Esfuerzo de corte/Tasa de corte; la
resistencia al flujo se describe frecuentemente en términos de la viscosidad aparente y
la viscosidad relativa, la cual relaciona el flujo de la sangre con el fluido newtonianoplasma. Las viscosidades aparente y relativa no son propiedades intrínsecas de la
sangre, ambas varían con el hematrocrito, el estado de agregación de GRs, y la
geometría del conducto (Sharan & Popel, 2001).
I.1.3.1. CARACTERIZACIÓN
EXPERIMENTAL
DE
LA
DISTRIBUCIÓN
DE
CÉLULAS SANGUÍNEAS
En años recientes, debido a los avances computacionales, ópticos y técnicas de
procesamiento de imágenes digitales, ha sido posible analizar detalladamente el
comportamiento de la sangre, específicamente de las células sanguíneas al fluir por
tubos y microcanales.
9
Investigadores como Lima et al. (2008) han empleando la técnica de velocimetría de
imagen cofocal de micropartículas (confocal microparticle image velocimetry, PIV)
para medir el campo de velocidades de soluciones salinas fisiológicas y suspensiones
de sangre con hematocrito de 40% y 20%, además de analizar la distribución de los
GRs en microcanales. Lima y colaboradores, no observaron la formación de la capa de
plasma entre GRs centrales y la pared (efecto Fahraeus- Lindqvist), al emplear un
canal rectangular de polidimetisiloxane (PDMS) de 300 μm di{metro. Para poder
explicar este comportamiento, evaluaron el efecto de la geometría, la velocidad de
flujo y el medio en el cual se encuentran suspendidas las células, y su efecto en la
formación de la capa de plasma. Bajo condiciones similares, los resultados muestran
que la capa libre de GRs se hace más evidente a medida que el ancho del canal se
estrecha; resaltando, que no hay una tendencia de los glóbulos rojos a migrar hacia el
centro del canal para Re por encima de 0.1 o cuando se eliminan los efectos de
sedimentación a bajas tasas de corte al emplear diferentes fluidos para suspender las
células. Estos resultados son consistentes con los reportados por Faivre (2006) en su
estudio del flujo de GRs en contracciones.
Trabajos como los de Aarts et al. (1983), Zhao et al. (2007 y 2008), Jain y Munn (2009)
destacan un aspecto importante de la migración de los GRs lejos de las paredes del
canal; y es, que éstos son capaces de influenciar la marginación (tendencia de las
células a dirigirse hacia la pared) de los leucocitos y plaquetas y su adhesión a las
paredes del conducto. La marginación es determinada de manera importante por
aumentos del hematocrito y este efecto se acentúa al existir variaciones en la
geometría del conducto. Cuando leucocitos y plaquetas se agregan, reducen la
velocidad del flujo y aumentan la tasa de corte cerca de la pared, promoviendo la
adhesión.
10
Esta distribución se ha tratado de modelar numéricamente, como una forma de
predecir los patrones de flujo y comportamiento de las células al fluir por ductos de
diferente geometría; varios de estos estudios se abordan a continuación.
I.1.3.2. CARARACTERIZACIÓN NUMÉRICA DE LA DISTRIBUCIÓN DE CÉLULAS
SANGUÍNEAS
Para modelar el perfil de concentración observado de partículas de latex (simulando
plaquetas) en suspensiones de glóbulos rojos (sangre), Eckstein y Belgacem (1991)
adaptaron la ecuación tradicional de difusión convectiva adicionando un término a
una ecuación de transporte, para modelar el desplazamiento de las plaquetas a través
de un conducto, mediante un enfoque multi-componente. El modelo de transporte
adaptado lo presentaron en dos formas equivalentes: como una ecuación diferencial
parcial con una forma similar a la empleada para la transferencia de masa y una
ecuación diferencial estocástica, la cual es apropiada para simular el movimiento
individual de las partículas.
La función que emplearon para obtener el perfil de concentración de las plaquetas es
la siguiente:
donde R es la posición lateral relativa (ej., la distancia desde el centro divido por la
altura de la mitad del canal), K es un parámetro que establece la amplitud relativa del
pico y C0 es un parámetro de normalización. Para producir el efecto cercano a la
pared, establecieron n igual a 2 y m igual a 19. El perfil de concentración predicho por
la ecuación anterior se muestra en la Fig.1.4.
11
Cuando
Eckstein
y
Belgacem
compararon
este
perfil
con
lo
reportado
experimentalmente, concluyeron que la función captura las características generales
de los datos experimentales para tubos de espesor y di{metro interno ~100 μm.
Fig. 1.4.- Perfil de concentración de las plaquetas obtenido por la ec. (1.2).
Por otro lado, Jung y Hassanein (2008) emplearon la dinámica de fluidos
computacional y un enfoque multifásico que considera el plasma, GRs y leucocitos
para simular la hemodinámica en flujo perturbado en un canal con expansión súbita y
una porción de la arteria carotida. Ellos analizaron la fracción volumétrica local y los
patrones de flujo de cada elemento de la sangre, pero solo hacen una comparación
cualitativa con datos experimentales.
Massoudi y Antaki (2008) propusieron el modelo de teoría de mezcla basado en
“Theory of Interacting Continua”. Este modelo asume que la sangre esta compuesta
de GRs suspendidos en plasma, es computacionalmente costoso y presenta algunas
complicaciones matemáticas. Adicionalmente, estos autores no presentan una
validación cuantitativa del modelo.
12
I.2.
DISPOSITIVOS DE ASISTENCIA VENTRICULAR (DAVs)
La asistencia ventricular consiste en apoyar o sustituir totalmente la función cardíaca
empleando dispositivos intra o extracorpóreos en uno o los dos ventrículos del
corazón, mediante una bomba mecánica que restaura la función cardiovascular y el
flujo sanguíneo. Se emplean cuando el daño cardíaco es reversible, se puede
ralentizar su deterioro o es permanente. En las situaciones reversibles, el uso de estos
dispositivos proporciona descanso al corazón y le permite recuperar posteriormente
su función. Además, al aumentar la presión sanguínea y el flujo de sangre, se alcanza
una mayor perfusión de los principales órganos y sistemas que favorece su
recuperación.
Los DAVs se conectan al corazón mediante una cánula de entrada que descomprime
la cavidad ventricular y una cánula de salida que devuelve la sangre a la aorta o a la
principal arteria pulmonar Estas cánulas se unen tangencialmente al cuerpo, y la
sangre es impulsada por medio de una bomba de flujo axial o flujo pulsátil, que
cuentan entre las más comunes.
Las primeras consisten en un rotor girando continuamente a lo largo de un eje
central; la sangre se extrae de las hojas de rotación de la turbina propulsada a 4-6 l /
min con hemólisis mínima. La bomba pulsátil utiliza una placa de empuje
electromagnética para ampliar en función del ciclo y una cámara de descompresión;
esta placa puede proporcionar entre 5 y 10 l / min de flujo sanguíneo pulsátil, (ver
Fig. 1.5).
13
La clasificación de los dispositivos de asistencia ventricular no es sencilla dado que
puede hacerse de acuerdo a múltiples parámetros, algunos de los cuales se recogen
en la Tabla 1.1 (Pérez, 2008).
Tabla 1.1- Clasificación de los dispositivos de asistencia ventricular.
PARÁMETRO
TIPO DE ASISTENCIA
Localización (lado asistido)
Izquierda/derecha/biventricular
Duración
Temporal /definitiva
Tiempo de apoyo
Corto/medio plazo/permanente
Tipo de flujo
Continuo (centrífugo, axial)/pulsátil
Modo de impulsión
Neumático/eléctrico/electromagnético
Posición del implante
Paracorpóreo/intracorpóreo/extracorpóreo
Al diseñar un DAV, se deben abordar dos aspectos importantes; en primer lugar, los
requisitos
hidráulicos
se
deben
cumplir,
es
decir
la
sangre
debe ser transportada con el caudal deseado. En segundo lugar, se deben atender los
aspectos hematológicos. En particular, esto incluye evitar el daño a los glóbulos rojos,
que liberan hemoglobina en la sangre y la activación de plaquetas, que contribuye a
la formación de trombos.
Estas complicaciones severas son el resultado de la elevación de los esfuerzos de corte
debido a aceleraciones en el flujo generadas en la bomba y distancias estrechas entre
las partes fijas y giratorias del dispositivo (Untaroiu, Wood, & Allaire, 2009).
14
a)
b)
Fig. 1.5.-. DAVs comúnmente empleados. a) Bomba pulsátil; b) Bomba de flujo
axial. Fuente: (Wilson et al. 2009)
I.3.
HEMÓLISIS MECÁNICA
La hemólisis mecánica, es una de las principales complicaciones que se presentan al
emplear un DAV y comienza cuando un eritrocito (glóbulo rojo) se deforma
excesivamente en respuesta a elevados esfuerzos de corte, liberando parte de su
contenido de hemoglobina a la corriente sanguínea a través de pequeñas aberturas
reversibles en la membrana (poros).
El caso más severo de hemólisis se presenta cuando la membrana de los GRs se
rompe completamente. Hasta una cierta cantidad de está hemoglobina libre en el
plasma puede ser filtrada por los riñones; concentraciones superiores llevan a la
intoxicación y, en el peor de los casos, la muerte (Behbahani, Behr, Nicolai, & Probst,
2008).
15
En este sentido, es importante hacer una estimación temprana de la hemólisis
producida por este tipo de dispositivo; es decir, en la fase de diseño. De allí, que en
años los esfuerzos se han dirigido a desarrollar ecuaciones o metodologías numéricas
para cuantificar el daño con precisión en dispositivos durante su fase de diseño. Parte
de estos esfuerzos se resumen a continuación.
I.3.1. ESTIMACIÓN NUMÉRICA DE LA HEMÓLISIS
A lo largo de los años, los estudios sobre la estimación del daño sanguíneo han
llevado a investigadores como Leverett et al. (1972); Blackshear (1987), y Paul et al.
(2003), a exponer que la hemólisis es un fenómeno en masa, que depende
principalmente de los esfuerzos de corte y del tiempo de exposición de las células
sanguíneas a éstos. Este conocimiento se deriva de los experimentos in vitro
realizados principalmente en viscosímetros rotacionales, en donde después de
someter a los GRs a esfuerzos cortantes constantes durante un cierto período de
tiempo, se cuantifica el daño midiendo la cantidad de hemoglobina liberada al
plasma.
Según Leverett y colaboradores, existe un umbral de esfuerzo cortante con un valor
aproximado de 1500 dinas/cm2, a partir del cual se manifiesta una alta destrucción de
glóbulos rojos y en cuyo régimen, la interacción de las células con superficies sólidas
o la interacción entre GRs no juega un papel importante en la generación del daño.
Después que se reconoció el problema del daño sanguíneo, y se elucidó qué factores
influyen en la fatiga hidrodinámica de la membrana de los GRs, los estudios se
enfocaron en relacionar estos factores en una función que permitiera estimar
numéricamente la hemólisis.
16
A pesar de la extensa investigación, todavía no existe un modelo que estime con
precisión este daño. Sin embargo, en la mayoría de los trabajos publicados sobre el
tema, se emplea la correlación propuesta por Giersiepen, Wurzinger, Opitz, y Reul
(1990), como resultado de una regresión 2D basada en los experimentos desarrollados
por Wurzinger, Opitz, y Eckstein (1986) en un viscosímetro Couette, donde los
esfuerzos cortantes generados estaban en el rango de 57-255 Pa, a tiempos de
exposición de 7 a 700 ms. Esta correlación se presenta en la ec. (1.3).
Esta ecuación permite describir la fracción de daño o concentración global de
hemoglobina libre en el plasma, HGW, como una función del esfuerzo de corte,  , al
que se somete toda la muestra de sangre, y del tiempo de exposición a dicho esfuerzo.
Esta ecuación supone intrínsecamente que el esfuerzo de corte es uniplanar, y que es
uniforme en toda la geometría bajo estudio. Asimismo, asume que el tiempo de
exposición al esfuerzo de corte es el mismo para toda la muestra, no considerando los
efectos acumulativos del daño a las células, lo que constituye una limitación de la
ecuación.
Según Paul et al. (2003), Wurzinger sobreestimó en sus experimentos el daño
sanguíneo, debido a la generación de calor en los sellos de carbón que empleó. Paul et
al. pudieron demostrar que para tiempos de exposición y esfuerzos cortantes
similares, el daño en los glóbulos rojos medido fue, en general, mucho menor que los
reportados por Wurzinger. Aun así, una gran parte de los trabajos publicados que
estiman numéricamente la hemólisis (Lacasse, Garon, & Pelletier, 2007; Arora, Behr,
Coronado-Matutti, & Pasqualli, 2005; Farinas, Garon, Lacasse, & N´dri, 2006),
17
emplean la correlación de Giersiepen. La razón es que los exponentes son muy
cercanos a los correctos, reflejando las propiedades mecánicas de la membrana de los
glóbulos rojos (Goubergrits, 2006).
Es necesario resaltar que experimentalmente, el daño sanguíneo sólo puede
cuantificarse en la entrada o salida del dispositivo; por lo que no se obtiene
información de los sitios dentro de éste donde se genera el daño. En este sentido, el
modelo computacional es más conveniente; adicionalmente, permite establecer
relaciones causa-efecto entre el campo de flujo y el daño sanguíneo, siendo apropiado
en la fase diseño para optimizar las regiones críticas dentro del dispositivo.
Investigadores como Yeleswarapu et al. (1995) y Grigioni et al. (2005), han propuesto
modificaciones a la ley de potencias de Giersiepen, tratando de considerar las
variaciones del esfuerzo cortante con el tiempo y la acumulación del daño sufrido
por los GRs. Sin embargo, validar y calibrar las constantes empíricas de estos
modelos no ha sido posible, dada la dificultad de desarrollar experimentos en donde
la muestras de sangre se expongan a diferentes condiciones de campos de flujo y se
pueda controlar las variaciones de la tasa corte, limitando su aplicabilidad.
Para emplear la ley de potencias en la predicción de hemólisis computacionalmente,
es necesario considerar que para estimar la tasa de generación del daño, se puede
hacer el cálculo integrando a lo largo de líneas de corrientes (enfoque lagrangiano) o
evaluándola sobre todo el dominio computacional (enfoque euleriano).
En este trabajo se emplea la metodología propuesta por Farinas, Garon, Lacasse, y
N´dri (2006) en donde se toma como marco de referencia el euleriano. Farinas y
colaboradores, realizaron una interpretación de la correlación de Giersiepen18
Wurzinger basados en una ecuación de transporte derivada directamente de la
ecuación (1.3). Como esta ecuación no es lineal con respecto al tiempo de exposición,
sería incorrecto considerar que la hemólisis a la salida del dominio es la suma de los
porcentajes locales de hemólisis; por lo tanto, estos investigadores primero la
linealizaron con respecto al tiempo y luego, formularon el daño como una ecuación
diferencial parcial discretizada sobre las celdas en las cuales se resuelven
numéricamente las ecuaciones de Navier-Stokes, obteniéndose la siguiente expresión:
donde HL, es la fracción lineal del daño hemolítico, que se relaciona con la fracción de
daño de la ecuación (1.3).
A partir de la ecuación anterior y aplicando el teorema de transporte de Reynolds,
derivaron una ecuación de transporte hiperbólica, expresada como sigue:
El factor (1-HL) fue agregado a la ecuación para hacerla asintóticamente consistente,
indicando que para un esfuerzo de corte dado, habrá un número de glóbulos rojos
que se destruir{n y no podr{n destruirse nuevamente; por lo tanto, el termino σ sólo
será aplicado a la fracción de GRs no hemolizada.
Una modificación de la ecuación 1.6 fue hecha por Lacasse, Garon, y Pelletier (2007),
en donde adicionan un coeficiente, δ, que considera el valor límite de esfuerzo de
corte τx requerido para generar hemolisis, que es:
19
El valor de τx lo establecieron en 250 Pa, basados en los datos presentados
gráficamente por Leverett, y un tiempo estimado de exposición del orden de 10 -1 s.
Finalmente, la ecuación queda expresada así:
donde:
-
es el promedio de la velocidad.
es el daño sanguíneo local linealizado. Esta variable representa la medida de la
-
tasa de hemólisis en cada punto del dominio computacional. La precisión de este
enfoque euleriano está relacionada solamente con la precisión de los resultados en
DFC, los cuales dependen básicamente de la resolución de la malla y del modelo
de turbulencia seleccionado.
Al aplicar la ecuación anterior sólo se cuantifica el daño que supone la ruptura total
de la membrana de los GRs y no se considera el daño sub-lítico, que es el ocasionado
por la abertura de pequeños poros en la membrana.
Ahora bien, para aplicar las ecuaciones 1.3, 1.6 ó 1.8, se debe tomar en cuenta que el
esfuerzo de corte es función del campo de velocidades y puede cambiar tanto en
espacio como en tiempo, expresándose como un tensor de segundo orden. Por lo que
debe utilizarse un criterio para reducir las seis componentes del tensor de esfuerzo a
un valor de esfuerzo cortante escalar representativo. La mayoría de los autores han
empleado criterios tomados de la mecánica de sólidos para la reducción del tensor de
esfuerzos a un esfuerzo escalar. Garon y Farinas (2004) exponen que dentro de los
criterios más empleados están los siguientes:

El criterio de Tresca permite calcular el esfuerzo cortante máximo mediante la
siguiente expresión:
20
donde los

son los esfuerzos principales.
El criterio de von Mises empleado por Bludszuweit (1995), está basado en la
maximización de la energía de deformación para un sólido elástico:
Dhruv, Behr, & Pasquali (2006), plantean otro criterio de reducción del tensor de
esfuerzos, basado en la segunda invariante de la componente isotrópica del tensor de
esfuerzos de fluidos. Dicho esfuerzo se denomina Esfuerzo de Corte Comparativo,
(Comparatives Shear Stress, siglas en inglés), y tiene la siguiente forma, escrita en
términos de las componentes del tensor de esfuerzo:
En notación indicial el esfuerzo CSS puede escribirse de la siguiente manera:
Sustituyendo la definición para un fluido newtoniano, se obtiene la siguiente relación:
La variable S se conoce como tasa de deformación por corte, y está definida como una
variable estándar en el software comercial de CFD, ANSYS CFX, que será empleado
en este estudio.
En el caso de régimen turbulento, no se considera la viscosidad turbulenta, para el
cálculo del esfuerzo de corte.
21
I.3.2. CUANTIFICACIÓN DE LA HEMÓLISIS
Para cuantificar experimentalmente el índice de hemólisis y establecer un criterio de
comparación entre los resultados reportados de diferentes evaluaciones in vitro, la
“American Society of Testing Material” (ASTM International-Standards Worldwide,
1997), estandarizó un método para evaluar hemólisis en bombas cardíacas de flujo
continuo. Esta norma ha sido publicada bajo la designación fija F 1841-97. En el
protocolo se establecen ciertas fórmulas para reportar la cantidad de hemólisis
generada por un dispositivo artificial, las cuales son:

Índice normalizado de hemólisis, (NIH, siglas en inglés): gramos de
hemoglobina libre en el plasma por 100 litros de sangre bombeada, corregido
por el volumen de plasma empleando el hematocrito y normalizado por la tasa
de flujo y el tiempo de circulación.

Índice modificado de hemólisis, (MIH, siglas en inglés): masa de hemoglobina
liberada en el plasma, normalizado por la cantidad total de hemoglobina
bombeada a través del circuito.
Las definiciones anteriores de NIH y MIH son adecuadas para medir hemólisis
experimentalmente; sin embargo, no es así cuando se hacen predicciones numéricas.
En este caso es preferible emplear las definiciones desarrolladas por Garon y Farinas
(2004):
22
donde:
El índice promedio de hemólisis,
se calcula integrando el valor de
sobre los
límites de la salida del dominio computacional (Г+):
I.4.
PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
La minimización de la hemólisis mecánica, constituye un criterio importante a
considerar en el diseño de los dispositivos de asistencia ventricular (DAVs). El daño
sanguíneo se genera como producto de los requerimientos hidráulicos asociados al
funcionamiento de los DAVs; en donde, se inducen campos de esfuerzos cortantes
que son considerados la causa raíz de la hemólisis; sumado a esto, se encuentra
también el tiempo de exposición en el que las células están sometidas a estas
condiciones de flujo.
En este sentido, modificar el diseño de un DAV para disminuir la hemólisis requiere
que esta última sea cuantificada confiablemente, idealmente, antes de la construcción
de cualquier prototipo. Por esta razón, numerosos investigadores ahora tratan de
predecir la hemólisis empleando métodos computacionales. Una de las correlaciones
más utilizadas para predecir el daño sanguíneo, como una función de la hemoglobina
libre en el plasma, es la desarrollada por Giersiepen et al. (1990), a partir de la cual se
derivan varias metodologías para estimar computacionalmente la hemólisis.
23
Un factor común en los estudios de predicción de hemólisis es que la mayoría de ellos
sobreestima el daño sanguíneo. El origen de esto, se debe a la complejidad de los
distintos fenómenos involucrados en la generación del daño.
Varias simplificaciones y asunciones se hacen para lograr que la simulación sea
posible; como, por ejemplo, considerar a la sangre como un fluido homogéneo. No
obstante, esta simplificación es válida sólo si ésta fluye a través de conductos con
diámetros por lo menos dos órdenes de magnitud superiores al tamaño de los
glóbulos rojos. Adicionalmente, una desventaja del enfoque anterior es que no
considera la distribución espacial de los elementos de la sangre y su dependencia con
el régimen de flujo.
Por lo tanto, el objetivo de este estudio es hacer una estimación del daño hemolítico
que experimentan los glóbulos rojos, empleando una metodología para evaluar la
distribución de las células sanguíneas cuando la sangre fluye a través de ciertos
dispositivos, aplicando las ecuaciones de daño sólo a la fase en donde se genera. El
modelo matemático de la sangre a emplear será el Fluido-Continuo, bajo un marco de
referencia euleriano, con dos fases dispersas (Glóbulos Rojos y Plaquetas)
suspendidas en plasma. Para estimar la hemólisis se considerará el modelo
desarrollado por Farinas et al. (2006).
24
I.5.
JUSTIFICACIÓN
Este proyecto de investigación pretende desarrollar una metodología numérica, para
cuantificar la hemólisis inducida por esfuerzos de corte en dispositivos cardíacos, con
la finalidad de proporcionar una alternativa que ayude a disminuir en gran medida el
esfuerzo y los costos de diseño y desarrollo que se han venido empleando para la
evaluación in vitro del daño sanguíneo.
Como la dinámica de fluidos computacional (CFD, siglas en inglés) ha emergido
como una herramienta viable y confiable para el diseño de los DAV; en este estudio,
se empleará este importante instrumento numérico para hacer la estimación de
hemólisis. Cabe destacar, que las predicciones de hemólisis empleando (DFC) con
modelos eulerianos son relativamente rápidas y económicas, pueden mostrar
fácilmente el efecto de modificaciones localizadas en el desempeño del dispositivo y
también evaluar los efectos agregados de múltiples cambios en el diseño; lo anterior
permite, descartar desde un principio los diseños deficientes desde el punto de vista
hematológico. De esta manera sólo se requeriría probar de manera experimental los
diseños que se haya estimado ocasionen menos daño a la sangre.
Es así, como la simulación del flujo sanguíneo empleando CFD en y alrededor de los
dispositivos de asistencia ventricular constituye un hito para las aplicaciones en el
área de la biomedicina y bioingeniería.
25
I.6.
OBJETIVOS
I.6.1. OBJETIVO GENERAL
Desarrollar una metodología para la estimación numérica de hemólisis en conectores
estenóticos.
I.6.2.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS
Establecer un modelo computacional que describa el transporte de las células
sanguíneas en microconductos.

Analizar el comportamiento y distribución de las plaquetas y glóbulos rojos en
microtubos y microcanales.

Estimar el daño sanguíneo tomando en cuenta la distribución de los glóbulos
rojos en conectores estenóticos.

Validar el modelo numérico empleando datos experimentales reportados.
26
CAPÍTULO II
METODOLOGÍA
II.1
FLUJO MULTIFÁSICO
Un sistema multifásico se define como una mezcla de las fases sólida, líquida y
gaseosa de una o varias sustancias (en principio miscibles o inmiscibles –como en el
caso aquí estudiado- a nivel molecular). Estos sistemas se clasifican frecuentemente
de acuerdo a la naturaleza del sistema en: (a) flujos dispersos (partículas o gotas en
líquido o gas, burbujas en líquido); (b) flujos separados (flujo anular en tuberías
verticales, flujo estratificado en tuberías horizontales); y (c) flujos transicionales, los
cuales son una combinación de los otros dos casos (Manninen & Taivassalo, 1996).
Desde el punto de vista de computacional, el flujo multifásico se refiere a la condición
en la cual más de un fluido está presente. Cada fluido puede presentar su propio
campo de flujo, o todos los fluidos comparten un campo de flujo común; desde un
punto de vista microscópico, los fluidos no se mezclan. Es decir, un flujo multifásico
consiste de un número de regiones de una fase rodeada por interfases móviles.
II.1.1 ALGUNOS MODELOS MULTIFÁSICOS
Los modelos básicos, y más conocidos, empleados para describir el flujo de un fluido
se basan en dos enfoques (Sobieski, 2008):
27
-
El enfoque Langrangiano: con el cual el fluido es tratado como un conjunto de
partículas discretas que tienen un campo de fuerzas, masa y aceleración asociado
a cada una de ellas. La posición de las partículas es rastreada y el fluido es
simulado a través de la dinámica de colisión de partículas. Los sólidos como los
GRs se simulan como una colección de partículas sólidas que se comportan de
manera diferente cuando colisionan.
-
El enfoque Euleriano: con este enfoque las diferentes fases se tratan
matem{ticamente como “continuos interpenetrantes” introduciéndose el concepto
de fracción volumétrica. Las fases comparten el mismo volumen y penetran entre
sí en el espacio, intercambiando masa, momento y energía. Cada fase es descrita
por sus propiedades físicas distintivas teniendo su propio campo de velocidad,
presión, temperatura y concentración, empleándose correlaciones empíricas para
calcular la transferencia en la interfase. Este enfoque es menos costoso
computacionalmente y arroja resultados que representan el comportamiento del
conjunto de partículas considerando peculiaridades de las individualidades (ej.
competencia entre el arrastre y la sustentación de las partículas dentro de la fase
que es considerada como continua, aún cuando el tratamiento matemático de cada
fase se hace sobre la base del medio continuo).
Cuando se tienen fases dispersas, existen cuatro enfoques principales para modelar el
flujo multifásico, los cuales se describen a continuación:

MODELO DE FASE DISCRETA, (DPM, siglas en inglés): Con este modelo, la
descripción del sistema se basa en una fase continua en la cual partículas esféricas
sólidas, burbujas o gotas de otro fluido se encuentran dispersas. La fase dispersa
puede intercambiar masa, momento y energía con la fase continua. La fase
28
continua se describe de acuerdo a un enfoque Euleriano, mientras que la fase
dispersa con un enfoque Lagrangiano.

MODELO EULERIANO MULTIFASE, (EMM, siglas en inglés): propone la
descripción de mezclas con un número cualquiera de fases, bien sean continuas o
dispersas, en el cual cada fase es tratada mediante un enfoque Euleriano y las
ecuaciones de masa, momento y energía se resuelven para cada una de ellas. El
acoplamiento entre fases se da a través de la presión y de coeficientes interfaciales
de masa, momento y energía, donde no se considera explícitamente la interfase
entre fases dispersas, sino las de fase continua-fase dispersa, para lo cual, la fase
con mayor presencia y/o tendencia a rodear a las demás, es considerada la fase
continua, mientras que las demás son consideradas fases dispersas.
Estos coeficientes son característicos del modelo y juegan un papel importante en
su resolución. La limitación del modelo es que no proporciona información acerca
de
la
hidrodinámica
de
partículas
individuales
(burbujas,
gotas),
imposibilitándose la predicción de ciertas características discretas del flujo, como
el efecto de la aglomeración, coalescencia o rompimiento de gotas y burbujas,
entre otros.

MODELO DE MEZCLA: propuesto para describir mezclas homogéneas, en el que
se resuelve un solo sistema de ecuaciones para todas las fases, considerando
propiedades físicas ponderadas.

MODELO DE VOLUMEN DE FLUIDO, (VOF, siglas en inglés): describe los flujos
de superficie libre o el flujo de fluidos que no se interpenetran a nivel
macroscópico, como por ejemplo los flujos estratificados de superficie libre. Se
considera un marco de referencia euleriano para todas las fases, con reformulación
de la interfase entre ellas sobre bases volumétricas.
29
II.2
ECUACIONES DE GOBIERNO MULTIFÁSICAS
Los modelos multifásicos para estudiar la hemodinámica de mezclas emplean el
principio de conservación de masa y momento para cada fase.
II.2.1 CONSERVACIÓN DE LA MASA
Si se tiene un sistema multifásico con k fases, la ecuación de continuidad ponderada
por la fracción volumétrica, para cada fase, está dada por:
donde,
son la densidad y la fracción volumétrica de la fase k respectivamente,
mpk es la transferencia de masa de la fase pesima a la kesima.
Para la fracción volumétrica de las fases, se debe cumplir que:
II.2.2 CONSERVACIÓN DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO
Para flujo multifásico, la ecuación de momento es la siguiente para cada fase:
En esta ecuación se incluyen la fricción molecular, expresada por el tensor τ; la
convección por el tensor uu y la presión como el escalar p. Las fuerzas volumétricas
son, por ejemplo, la gravedad, las fuerzas eléctricas y magnéticas; estas fuerzas se
30
denotan todas por el vector S. El último término de la ecuación (2.3) representa la
transferencia de momento en la interfase; es decir, entre la fase continua y las
partículas individuales de la fase dispersa. F, representa las fuerzas como:
sustentación y masa virtual (Kim, VandeVord, & Sang, 2008).
tensor de esfuerzo cortante, puede calcularse empleando la siguiente expresión:
Donde
y
son la viscosidad dinámica y la de bulto de la fase k, respectivamente;
es el vector unitario.
II.3
MOVIMIENTO DE LA FASE DISPERSA
Cuando se aplica el modelo Euleriano-Euleriano se pueden considerar sistemas
continuo-disperso y continuo-continuo. Para los primeros, la fase dispersa puede
estar en forma de partículas, gotas o burbujas. Las fuerzas que actúan sobre la fase
dispersa se modelan empleando correlaciones empíricas, basadas en el arrastre de
cuerpos rígidos en medios continuos de acuerdo al número de Reynolds relativo a la
velocidad de deslizamiento entre fases. Los efectos de arrastre, sustentación,
gravedad y masa virtual son algunas de las fuerzas que pueden actuar sobre la fase
dispersa y se incluyen en las ecuaciones de momento como parte de los términos de
intercambio en la interfase. Estas fuerzas se calculan para partículas individuales y
luego se escalan por la fracción volumétrica local para contabilizar los efectos sobre
múltiples partículas.
31
II.3.1 FUERZAS DE ARRASTRE, FD
Esta fuerza la experimentan las partículas al fluir por un medio continuo y actúa
como un mecanismo por el cual la inercia de una partícula es afectada por el campo
de velocidades cambiantes del líquido que lo rodea.
Para una partícula esférica rígida, la fuerza de arrastre se puede escribir:
Los sub-índices c y p se refieren a la fase continua y las partículas, respectivamente; y
es la velocidad relativa, (
El coeficiente de arrastre, depende del régimen de flujo (Re de partícula) y de las
propiedades de la fase continua. Varias correlaciones empíricas se han propuesto
para su estimación; a continuación se definen las empleadas en esta investigación
(Yilmaz & Yasar, 2001).
II.3.1.1
CORRELACIÓN SCHILLER-NAUMANN
Es una de las correlaciones más empleadas cuando la fase dispersa corresponde a
partículas sólidas; sin embargo, cuando la fase dispersa está formada por gotas o
burbujas el coeficiente de arrastre puede aproximarse a esta correlación siempre y
cuando el Reynolds de las partículas,
, sea bajo (régimen viscoso), dado que las
partículas de fluido se comportan de la misma manera que las partículas sólidas a
bajos Re:
32
II.3.1.2
CORRELACIÓN DE GIDASPOW
Empleada cuando la fase dispersa está conformada por partículas sólidas densamente
distribuidas:
II.3.1.3
CORRELACIÓN DE ISHII-ZUBER
Si la fase dispersa está conformada por partículas de fluido (gotas o burbujas) y se
tienen Reynolds elevados, el régimen inercial y los efectos de tensión superficial
comienzan a ser importantes, las partículas de fluido comienzan a deformarse
tomando al principio una forma elipsoidal y finalmente la forma de media-esfera. En
estos casos es apropiada la correlación de Ishii-Zuber, la cual toma automáticamente
los efectos en partículas densas, para diferentes tipos de régimen de flujo:
a)
Régimen viscoso: la partícula de fluido puede considerarse esférica y se
modifica la correlación de Schiller-Naumann empleando un número de Re basado en
la viscosidad de la mezcla.
33
Aquí rdm es el valor de máximo empaquetamiento, que por defecto es 1 cuando la fase
dispersa es líquida.
b)
Régimen con distorsión de la partícula:
II.4
FLUJO TURBULENTO
Ocasionalmente, se puede encontrar matemáticamente o experimentalmente, flujos
que son independientes del tiempo o muestran una dependencia muy simple. Este
tipo de flujo por lo general es llamado laminar. Sin embargo, en determinados
sistemas el flujo puede llegar a ser inestable, generándose pequeñas oscilaciones en
la velocidad, respecto a la media, bien sea en espacio, en tiempo o en ambos.
A medida que las oscilaciones crecen, éstas van cambiando gradualmente de una
forma sinusoidal simple a un movimiento aparentemente aleatorio. Esta aleatoriedad,
es la característica esencial de la turbulencia. Por supuesto, que la velocidad sigue
siendo una función continua del tiempo y el espacio; sin embargo, la distribución de
velocidad en un determinado punto es cercana a la familiar distribución Gaussiana o
34
a una distribución probabilística. Esto significa que se debe tratar a la turbulencia en
términos de propiedades estadísticas (Bradshaw, 1971).
Para facilitar la solución de flujos turbulentos se han desarrollado diversas técnicas
matemáticas; entre las más comunes se puede mencionar (Ranade, 2002):
a. Ecuación Navier-Stokes promediada por Reynolds, (RANS, Reynolds-averaged
Navier-Stokes). Este método se basa en promediar las ecuaciones de movimiento
en el tiempo y en una coordenada en la cual el flujo medio no varía. Al promediar,
la no-linealidad de las ecuaciones de Navier-Stokes da origen a términos que
deben ser modelados.
El desarrollo del método se basa en que, en un flujo estacionario cada variable puede
escribirse como la suma del valor de velocidad promediado en el tiempo y una
fluctuación sobre ese valor (llamada descomposición de Reynolds):
donde,
t es el tiempo y T es el intervalo de promedio. Este intervalo debe ser grande
comparado con la escala de tiempo típica de las fluctuaciones. Las ecuaciones RANS
permiten considerar de manera explícita sólo las componentes de velocidad
promediadas temporalmente, tomando en cuenta el efecto de las fluctuaciones
mediante los llamados esfuerzos de Reynolds
o esfuerzos turbulentos. Así, la
forma de la ecuación de momento RANS para un fluido incompresible es:
35
La presencia de los esfuerzos de Reynolds de un flujo escalar turbulento, implica que
deben hacerse ciertas aproximaciones para poder resolver la ecuación anterior. La
más popular de estas aproximaciones y que da lugar a las condiciones de clausura de
0, 1 y 2 ecuaciones, es la llamada aproximación de Boussinesq:
k es la energía cinética turbulenta:
Para determinar
se emplean algún modelo de turbulencia. Existe una diversa
gama de estos modelos, cuya efectividad depende de las características del flujo. La
selección del modelo de turbulencia constituye la principal fuente de incertidumbre
en una simulación numérica (Ferziger & Peric, 2002).
En este estudio, se emplea el modelo de Transporte de Esfuerzos Cortantes (SST,
Comparative Shear Stress); este modelo fue validado por Salazar et al. (2008) en el
cual compararon los resultados de la simulación RANS con experimentos realizados
en geometrías donde los fenómenos de separación y re-adhesión de capa límite están
presentes dentro de geometrías microscópicas. La geometría analizada fue un escalón
con flujo reverso; para la validación del modelo, Salazar et al. seleccionaron el trabajo
experimental realizado por Yang et al. (1994).
El modelo de turbulencia SST combina las ventajas de los modelos k-ω para describir
comportamiento del fluido en la región cercana a la pared y k-ε para el resto del
dominio (Pope, 2000).
36
Las ecuaciones para la energía cinética k y la frecuencia turbulenta ω son las
siguientes para cada fase (Menter, Kuntz, & Langtry, 2003):
La viscosidad turbulenta se define por:
F1 es una función de mezcla definida por:
y es la distancia a la pared más cercana y:
F1 es igual a 0 lejos de la superficie (modelo k-ε), y cambia a 1 dentro de la capa límite
(modelo k-ω). S es la tasa de deformación media y F2, es una segunda función de
mezcla definida por:
Un factor limitador se emplea en el modelo SST para evitar la acumulación de
turbulencia en regiones de estancamiento:
37
Todas las constantes se calculan ponderando las constantes correspondientes de los
modelos k-ε y k-ω vía,
Estas constantes son:
b. Simulación de Grandes Vórtices, (LES, Large Eddy Simulation): resuelve las
escalas de movimiento más grandes mientras aproxima las de menor escala.
c. Simulación Numérica Directa, (DNS, Direct Numerical Simulation): este método
es el más preciso y más costoso computacionalmente; resuelve las ecuaciones de
Navier-Stokes sin promediar o aproximar la turbulencia. El elevado costo
computacional se deriva del minúsculo tamaño (escalas de Kolmogorov) que
deben tener tanto los elementos del mallado como el salto de tiempo (time-step).
Es el enfoque más simple desde el punto de vista conceptual en donde se
resuelven todos los movimientos contenidos en el flujo de un fluido y la única
incertidumbre que cabe en los resultados numéricos se debe al error de redondeo,
truncamiento y al modelo físico mismo que se haya adoptado.
II.5
FLUJO EN MICROCANALES
En general, en los problemas tradicionales de ingeniería, el flujo turbulento es el tipo
de flujo más común. Sin embargo, en microfluídica
las pequeñas dimensiones
suprimen el desarrollo de la turbulencia y predomina principalmente el régimen
laminar.
38
Bajo este régimen de flujo, las fuerzas que gobiernan en una suspensión pueden
dividirse en fuerzas viscosas y coloidales. Las fuerzas viscosas se relacionan a la
fricción entre moléculas vecinas; mientras que la segunda clase, incluye el
movimiento Browniano, fuerzas superficiales y fuerzas de repulsión electrostática.
Al considerar el fluido bajo estudio, sangre, compuesto tanto por plasma, plaquetas y
GRs, en el que las últimas dos son células relativamente grandes, por lo que su
movimiento Browniano tiene poca influencia sobre el flujo en microcirculación. Por lo
tanto, la mezcla es impulsada por difusión a bajos números de Peclet; indicando este
número que las fuerzas relacionadas con el movimiento Browniano son menos
importantes que las viscosas (Glatzel, y otros, 2008).
Adicionalmente, el hecho de que a micro-escala la convección no juegue un papel
importante en el transporte de momento, simplifica considerablemente el tratamiento
que se hace al modelar un sistema en Dinámica de Fluidos Computacional (CFD,
siglas en inglés); sin embargo, la difusión de las fases dispersas es difícil de explicar
con la precisión requerida en los casos prácticos. Por lo tanto, se requieren órdenes de
discretización mayores para evitar la llamada “difusión numérica”, la cual no es otra
cosa sino la acumulación de errores numéricos a medida que se resuelven los
algoritmos empleados en cálculo numérico.
II.6
DESCRIPCIÓN DEL MODELO COMPUTACIONAL
Para implementar todos los modelos antes descritos y estudiar la dinámica de las
células sanguíneas, los patrones de flujo y estimar el daño de los glóbulos rojos, se
empleó un software de simulación numérica de fluidos de uso comercial y académico
ANSYS versión 12.0 (ANSYS Inc., Canonsburg, PA, U.S.A). Este programa brinda la
base de cálculo matemática que describe los fenómenos bajo estudio.
39
Todas las simulaciones se desarrollaron en un procesador AMD Turion64 con sistema
operativo MS Windows 7, SP2, 3 GB de memoria RAM. El tiempo de simulación
promedio, con los modelos de segregación es de 6 horas, y con el modelo de daño
hemolítico fue de 24 horas.
Cada geometría analizada fue creada empleando el módulo de diseño (CAD) del
programa ANSYS Workbench (Design Modeler), y se aprovechó la simetría para
resolver solamente en la mitad del dominio las ecuaciones de gobierno discretizadas,
lográndose así simplificar la simulación.
El mallado de cada una de las geometrías se realizó con el generador de mallas
estructuradas ICEM (ANSYS, USA) que se vale de un proceso de discretización con
elementos hexaédricos, que sirven de base a los elementos finitos que definen la
geometría sobre la cual se resuelven luego las ecuaciones de gobierno empleando el
métodos de los volúmenes finitos de control. La ventaja de emplear este tipo de
elementos es, que permiten una adecuada densificación de la malla en zonas de
interés, como regiones de contracción, o las regiones próximas a las paredes, donde es
importante conocer el comportamiento del flujo para determinar zonas de separación,
formación de vórtices y distribución de tensiones de corte.
El software empleado permite resolver los problemas del flujo de fluidos empleando
mallas estructuradas y no estructuradas, mediante volúmenes finitos; se discretiza
con elementos finitos pero las ecuaciones se resuelven en forma conservativa sobre
volúmenes finitos creados a partir de los vértices de los elemento.
En general, la solución del problema se dividió en tres etapas: el pre-procesamiento,
cálculo-solucionador, y post-procesamiento. En el cálculo de las propiedades de los
40
fluidos, el solucionador puede aplicar diferentes esquemas de interpolación. En este
estudio se empleó, en todos los casos, una discretización de segundo orden con
diferencias hacia adelante (Higher Order Upwind).
El pre-procesamiento se maneja en el modulo CFX-Pre, en donde se especifican las
propiedades de flujo requeridas, los límites y las condiciones iniciales establecidas
sobre el dominio. Las condiciones de borde que se emplearon en el problema son los
siguientes:

Pared: se introdujo la condición de no deslizamiento, en donde el fluido
inmediatamente sobre la pared asume la velocidad de ésta.

Simetría: condición de simetría en donde todos los gradientes de las variables
normales al plano son cero.

Entrada: en el microcanal se trabajó con flujos correspondientes a 6, 15 y 30
mL/h, para lo cual, el perfil de velocidad se ajusto al valor uniforme que
origina tal flujo. En el microtubo se ajustó la velocidad de manera de obtener
una tasa de corte en la pared aproximada de 555 s-1. En los conectores
estenóticos se consideró flujo desarrollado, especificada empleando la ecuación
propuesta por Nikuradse como:
El exponente n, varía lentamente con el número de Reynolds, yendo desde n=6
hasta 10 para Re desde 4000 hasta 3.2∙106. El valor n=7 se utiliza
corrientemente.

Salida: presión estática y derivada de la velocidad normal iguales a cero.
41
Para determinar el grado de independencia entre los resultados reportados y la
discretización o mallado adoptado, se empleó la metodología de GCI descrita a
continuación.
II.6.1 VERIFICACIÓN MALLA
Con el fin de simular el flujo multifásico en mallas finas (celda de computo más
pequeñas que el diámetro hidráulico típico del dominio computacional), varios
métodos se han desarrollado durante las últimas dos décadas, para garantizar que los
resultados sean independientes del tamaño de la malla, dentro de un porcentaje de
error aceptable por el analista. En este estudio se aplicó la metodología propuesta por
Celik (2008), conocida como el método del índice de convergencia de malla (GCI,
Grid Convergence Index, siglas en inglés).
II.6.1.1
ESTIMACIÓN DEL ERROR DE DESCRETIZACIÓN.
Este método fue propuesto originalmente por Roache (1994) como un método general
para reportar la sensibilidad de la solución a la discretización numérica. El GCI
calcula un índice de incertidumbre de la solución de una malla comparada con la de
otra. Este método, se basa en la extrapolación generalizada de Richardson y asume
que dentro de un cierto radio de convergencia, la solución discreta de alguna
variable, φ, converge monotónicamente a un punto a medida que el espaciamiento, h,
de la malla tiende a cero.
La estimación del GCI requiere un mínimo de tres mallas diferentes y el
procedimiento de cálculo es el siguiente:
42
1. Definir una celda representativa, malla o tamaño de elemento h.
Para cálculos en tres dimensiones:
siendo
es el promedio global del volumen de la iesima celda, y N es el número
total de celdas del dominio.
2. Crear tres mallas diferentes, en donde es conveniente que el factor de
refinamiento sea:
Una vez establecido que:
h1 < h2 < h3
y
Entonces se calculan los siguientes parámetros:
donde:
Las variables de interés evaluadas en las mallas finas, media y gruesa son φ 1, φ2 y
φ3 respectivamente, (e.j. U, V, W, TKE etc.)
43
3. Se calculan los valores extrapolados:
4. Se calcula y reportan los siguiente errores:
Error relativo aproximado:
Error relativo extrapolado
5. El índice de convergencia de la malla fina proporciona un estimado del error de
discretización en la malla más fina relativa a la solución numérica convergida.
II.7
ESTUDIO HEMODINÁMICO
Este estudio consistió de dos etapas de simulación: la primera en la cual se modeló la
distribución de las células, desarrollando un modelo multifásico en un marco de
referencia Euleriano-Euleriano y evaluándolo en dos geometrías diferentes; y la
44
segunda etapa, en donde se realizó la estimación de daño tomando como base el
modelo de segregación.
II.7.1 DISTRIBUCIÓN DE LOS COMPONENTES SANGUÍNEOS
En esta etapa, se modeló la sangre tomando en cuenta su naturaleza multifásica,
considerando el plasma como la fase continua y a los glóbulos rojos y las plaquetas
como las fases dispersas. Este enfoque asume un comportamiento newtoniano para
cada fase; el objetivo es analizar la distribución de las fases a medida que fluyen a
través de un microcanal con expansión y un microtubo con sección transversal
constante.
Al considerar que los GRs tienden a comportarse más como gotas encapsuladas que
como esferas rígidas, se consideró la variación del estado termodinámico de la fase
dispersa para analizar su efecto en la distribución de las células. En este sentido, se
consideraron los siguientes enfoques:

Modelo A: glóbulos rojos y plaquetas modelados como fase dispersa líquida.

Modelo B: glóbulos rojos y plaquetas modelados como fase dispersa sólida.

Modelo C: glóbulos rojos como líquidos y plaquetas como sólidos.
Las propiedades empleadas para cada una de las fases en las simulaciones se
resumen en las siguientes tablas:
45
Tabla n° 2.1. Propiedades de las fases empleadas en la simulación
Densidad [kg/m ]
3
Di{metro partícula *μm+
(microcanal)
Di{metro partícula *μm+
(microtubo)
Fracción Volumétrica [%]
*
PLASMA
1010-1025
PLAQUETAS
1040
GRs
1100
-
2,00
5,64*
-
2,50
6,00
2
40-20
58-78
Diámetro medio de Sauter (diámetro de una esfera que posee el mismo volumen de los GRs)
Tabla n° 2.2. Modelos de arrastre empleados en la simulación
MODELO LÍQUIDO-LÍQUIDO
Plasma|RBCs
Ishii-Zuber
Plasma|PLTs
Schiller-Naumann
MODELO SÓLIDO SÓLIDO
Plasma|RBCs
Gidaspow
Plasma|PLTs
Gidaspow
Para cada fase se resuelve la ecuación de continuidad (ec. 2.1), y de momento (ec.
2.3); obteniéndose el campo de velocidades, y la fracción volumétrica. A partir de la
fracción volumétrica se realiza el análisis de la distribución de las fases a lo largo del
dominio.
Numéricamente, el simulador asume que cada fase está presente en principio en cada
volumen de control, y le asigna una fracción volumétrica igual a la fracción de
volumen de control ocupada por esa fase.
46
II.7.1.1 MICROCANAL
El dominio computacional se muestra en la Fig. 2.1; debido a que las simulaciones se
realizaron en estado estacionario, se optó por aprovechar la simetría del flujo dentro
del canal, desarrollando un dominio que considera sólo la mitad de la geometría que
empleó Zhao et al. (2008) en sus experimentos.
El canal rectangular, presenta una expansión súbita de 100: 200 μm, en donde ocurre
una separación de la capa límite, acompañada de un vórtice axisimétrico cercano a la
pared. En este sentido, el dominio se extendió luego de la estenosis 750 μm para
evitar que la zona de recirculación alcance la salida. La altura del canal es de 100 μm.
Fig. 2.1.- Dimensiones del canal rectangular empleado en la evaluación de
distribución de las fases
II.7.1.2
MICROTUBO
Yeh y colobaradores (1994), realizaron experimentos en un tubo de 217 μm de
diámetro y analizaron el perfil de concentración de las plaquetas a través del tubo.
Tomando este estudio como referencia, se empleó una geometría que considera
simetría radialmente y en donde la longitud del dominio es de 100 mm, Fig. 2.2.
47
Fig. 2.2.- Dimensiones del microtubo empleado en la evaluación de distribución de
las fases
II.7.2 ESTUDIO DE LA GENERACIÓN DE HEMÓLISIS
En la estimación del daño generado a los glóbulos rojos, se analizaron los conectores
A, D y H empleados por Umezu, Murayama, Nogawa, y Kijima (1992) en su
investigación experimental (Fig. 2.3).
Conector (A), diámetro interno se reduce de 10 mm a 5 mm. La longitud de la
estenosis es de 15 mm.
Conector (D), tiene un diseño idéntico al conector tipo A; sin embargo, el
borde de la entrada a la estenosis es redondeado (R=0,5 mm).
Conector (H), igual diseño que A, excepto que la longitud de la estenosis es de
1,0 mm.
El estudio con los diferentes conectores, evaluó la influencia que tienen las
variaciones en ciertas secciones de la geometría y la generación del daño sanguíneo.
El set de ecuaciones a resolver involucra nuevamente la de continuidad, la de
momento para régimen turbulento ec. (2.20) y las ecuaciones correspondientes al
modelo de turbulencia SST. Adicionalmente, están las ecuaciones relacionadas con la
48
generación de hemólisis, ecuación (1.6) y (1.8), aplicadas sólo a la fase involucrada en
la generación del daño de los GRs.
Con las ecuaciones hiperbólicas de transporte del daño sanguíneo, la información del
daño sanguíneo viaja a lo largo de las líneas de corriente; por este motivo el cálculo
del MIH se hace integrando sobre la superficie de salida del dominio computacional,
aplicando la ecuación (1.20).
Conector A
Conector D
Conector H
Fig. 2.3.- Conectores estenóticos empleados por Umezu et al. (1992) para evaluar
hemólisis
49
CAPÍTULO III
RESULTADOS Y ANÁLISIS
En este capítulo se condensan los resultados obtenidos en esta investigación; la
primera parte enfoca el análisis previo realizado para calcular los errores relacionados
con la discretización del dominio (verificación del dominio y su discretización). En la
segunda sección se aborda la validación del modelo de segregación con base en el
trabajo experimental de Zhao et al. (2008) y Yeh et al. (1994), exponiéndose los criterios
de selección del modelo más adecuado empleado para el estudio de la estimación
numérica de hemólisis, que se aborda en la tercera parte del capítulo.
III.1. ESTUDIO DE LA SENSIBILIDAD DE LOS RESULTADOS A LA MALLA O
VERIFICACIÓN DE LA MALLA
En las geometrías empleadas para evaluar la segregación de los componentes
sanguíneos y hacer la estimación de hemólisis, se empleó el método de GCI (Grid
Convergence Index) (Celik, 2008), para establecer un criterio en la cuantificación de
la sensibilidad de los resultados a la discretización numérica. El índice de
incertidumbre, asociado a la malla seleccionada, se indica por las barras de error
graficadas sobre el perfil de la variable monitoreada, lo cual establece una base para
estimar la credibilidad de los resultados obtenidos.
50
III.1.1. MICROCANAL Y MICROTUBO
En estas geometrías la variable monitoreada fue la fracción volumétrica de plaquetas;
los resultados obtenidos con el set de mallas empleado se muestran en las figuras 3.1
y 3.3. Para el análisis numérico posterior que implicaba la validación del modelo de
segregación, se seleccionó la malla de resolución media (Figs. 3.2 y 3.4).
Distancia de la Pared [μm]
5.0
4.0
MALLA
Gruesa (3)
ELEMENTOS
61.740
Media (2)
152.920
Fina
387.266
(1)
3.0
2.0
Malla Fina
1.0
Malla Media
Malla Gruesa
0.0
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03
Fracción Volumétrica PLTs [-]
Fig. 3.1.- Perfil de concentración de plaquetas obtenido a una distancia de 350
μm de la entrada del canal y en una sección que abarca 5 μm de distancia desde
la pared (dirección en y)
51
Distancia de la Pared [μm]
5.0
4.0
3.0
Malla Media
2.0
1.0
0.0
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03
Fracción Volumétrica PLTs [-]
Fig. 3.2.- Perfil de concentración de plaquetas en el microcanal, para la malla
media con la barra de errores de discretización calculada con la ecuación (2.26)
Distancia de la Pared [μm]
10.0
9.0
MALLA
Gruesa (3)
ELEMENTOS
61.740
Media (2)
152.920
Fina
387.266
(1)
8.0
7.0
6.0
5.0
Malla Fina
Malla Media
Malla Gruesa
4.0
3.0
0.00
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
Fracción Volumétrica PLTs [-]
Fig. 3.3.- Perfil de concentración de plaquetas en el microtubo, obtenido a una
distancia de 70 mm de la entrada del tubo y en una sección que abarca 10 μm de
distancia desde la pared (dirección radial)
52
Distancia de la Pared [μm]
10.0
9.0
8.0
7.0
6.0
5.0
Malla Media
4.0
3.0
0.00
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
Fracción Volumétrica PLTs [-]
Fig. 3.4.- Perfil de concentración de plaquetas en el microtubo, para la malla media
con la barra de errores de discretización calculada con la ecuación (2.26)
En el canal, el máximo error de discretización en la malla media, relativa a la solución
numérica convergida, es de 64,78 %, que corresponde a una distancia de 0,6 μm de la
pared; sin embargo, en promedio el índice de convergencia para la malla de
resolución media es de 7,7%.
En el caso del microtubo, en la malla media el índice de convergencia promedio es de
13,26%, registr{ndose los mayores errores en la medidas realizadas entre 5,6 y 6,8 μm
de la pared del conducto, donde los errores están en un intervalo de 12,73-19,26%.
Tanto con el canal como con el tubo, con la malla más fina se obtienen menores
valores del error asociado a la discretización; sin embargo, se emplea la malla
intermedia principalmente debido a que con ésta se logra más rápidamente la
convergencia y se tiene una incertidumbre relativamente baja.
53
III.1.2. CONECTOR ESTENÓTICO TIPO D
En esta geometría, la variable bajo estudio fue también la concentración de PLTs. El
punto de monitoreo se ubicó en la sección media de la contracción, obteniéndose un
índice de convergencia para la malla fina en el rango de 0,14-9,66% con valores
máximos localizados entre 0,1 y 0,21 mm de la pared del conducto.
El perfil de concentración que se obtuvo con cada malla analizada y los errores de
discretización que se generan con la malla seleccionada para el estudio de daño
hemolítico se muestran en las figuras 3.5 y 3.6 respectivamente.
Distancia de la Pared [mm]
0.30
MALLA
Gruesa (3)
0.25
ELEMENTOS
35.856
Media (2)
86.144
Fina
231.000
(1)
0.20
0.15
0.10
Malla Fina
Malla Media
Malla Gruesa
0.05
0.00
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Fracción Volumétrica RBCs [-]
Fig. 3.5.- Perfil de concentración de glóbulos rojos en el conector D, obtenido a
una distancia de 47,5 mm de la entrada del conector y en una sección que abarca
0,3 mm de distancia de la pared (dirección radial)
54
Distancia de la Pared [mm]
0.30
0.25
0.20
0.15
Malla Fina
0.10
0.05
0.00
0.15
0.25
0.35
0.45
Fracción Volumétrica RBCs [-]
Fig. 3.6.- Perfil de concentración de GRs en el conector D, de la malla media con
la barra de errores de discretización calculada con ecuación (2.26)
III.2. VALIDACIÓN DEL MODELO DE SEGREGACIÓN
Para modelar el comportamiento individual de las células sanguíneas, plaquetas y
glóbulos rojos, es necesario considerar el flujo en la microcirculación; a estas escalas,
la sangre debe ser tratada como un fluido no-homogéneo y la naturaleza corpuscular
de la sangre comienza a ser importante. Los estudios experimentales empleados para
realizar la validación del modelo numérico de segregación son los reportados por Yeh
et al. (1994) para un microtubo de sección uniforme y los de Zhao et al. (2008) para un
microcanal con una expansión súbita; en donde, se analiza el flujo de glóbulos rojos y
partículas esféricas con diámetro igual al de las plaquetas y su distribución a lo largo
del dominio.
55
III.2.1. EVALUACIÓN
DEL
EFECTO
DE
LA
GRAVEDAD
EN
LA
SEGREGACIÓN.
En esta etapa se tomó como punto de partida, para simular el flujo multifásico de la
sangre, el sistema empleado por Yeh y colaboradores (1994); en donde analizan la
distribución de fases en una suspensión del 40% de hematocrito y partículas de latex
del tamaño de las plaquetas (2,5 μm de di{metro), en tubos de aproximadamente 217
μm de di{metro y manteniendo una tasa de corte en la pared de ~ 555 s-1. Estos
investigadores reportan, el perfil de concentración de las partículas de menor
diámetro y hacen un análisis teórico para establecer una función matemática que
prediga la forma de este perfil.
Computacionalmente, en nuestro estudio, se simula una fase continua (plasma) y dos
fases dispersas (plaquetas y glóbulos rojos) modeladas como líquido. La densidad de
cada fase y la viscosidad del plasma son tomadas de la literatura (De Gruttola,
Boomsma, & Poulikakos, 2005). En esta parte de la validación, no sólo se buscó
reproducir el comportamiento que plaquetas y glóbulos rojos presentan en
microcirculación; sino que se analiza la influencia que factores como: diámetro de
partícula y densidad, tienen en los patrones de flujo y en el perfil de concentraciones
de las fases. Un tubo de 207 μm de di{metro (equivalente a ~35 veces el di{metro de
los GRs) y 100 mm de longitud se empleó para la simulación numérica; la fuerza de
gravedad se impuso en la dirección perpendicular al flujo. La sección del tubo que es
sometida al análisis es aquella en donde el flujo está desarrollado y a partir de la cual
no se observan variaciones respecto a ninguna variable relacionada con el
comportamiento fluido-dinámico de las fases.
56
En las Figs. 3.7, 3.8 y 3.9 se presentan los perfiles de fracción volumétrica de
plaquetas, glóbulos rojos y plasma en función de la posición radial. En el perfil de
concentración de la fase plaquetas, se observa un incremento en la fracción
volumétrica a una distancia cerca de la pared. Este comportamiento ha sido reportado
por varios investigadores para partículas esféricas sólidas con flotación neutra (Won
& Yul, 2008), partículas flotantes (Hogg, 1994), para gotas (Nourbakhsh & Mortazavi,
2010),
y en el caso del trabajo de
Eckstein et al. (1988)
encontraron que este
comportamiento también es característico del flujo de las plaquetas en la
microcirculación. En general, este comportamiento se relaciona al flujo multifásico,
cuando la relación entre el tamaño del canal y el de las partículas es relativamente
grande y el número de Reynolds (Re) es bajo; siendo una de las observaciones más
interesantes en los flujos a microescala.
Posición Radial [μm]
Gravedad
PARED
PARED
110
90
70
50
30
10
-10
-30
-50
-70
-90
-110
Re 
V entradadtubo  fase
 fase
ρGRs=1100 kg/m3 y
ρPLTs=1040 kg/m3
ρ GRs y PLTs= 1100 kg/m3
L.C
μPlasma= 1,22 cP
μRBCs = 2,00 cP
μPLTs = 2,00 cP
0.00
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
Fracción Volumétrica PLTs [-]
Fig. 3.7.- Perfil de concentración de plaquetas, obtenido vía DFC, a una
distancia de 70 mm de la entrada del tubo, dirección radial. El número de Re
de las plaquetas, medido a la entrada del canal es RePLTs =1,70; ρplasma= 1025
kg/m3.
57
Posición Radial [μm]
Gravedad
110
90
70
50
30
10
-10
-30
-50
-70
-90
-110
ρGRs=1100 kg/m3 y
ρPLTs=1040 kg/m3
ρ GRs y PLTs= 1100 kg/m3
L.C
0.00
0.20
0.40
0.60
0.80
1.00
Fracción Volumétrica GRs [-]
Posición Radial [μm]
Gravedad
Fig. 3.8.- Perfil de concentración de glóbulo rojos, vía DFC, a una distancia de 70
mm de la entrada del tubo, dirección radial. El número de Re de los GRs, medido a
la entrada del canal es ReGRs =1,80; ρplasma= 1025 kg/m3.
110
90
70
50
30
10
-10
-30
-50
-70
-90
-110
ρGRs=1100 kg/m3 y
ρPLTs=1040 kg/m3
ρ GRs y PLTs= 1100
kg/m3
L.C
0.00
0.50
1.00
Fracción Volumétrica Plasma [-]
Fig. 3.9.- Perfil de concentración del plasma, vía DFC a una distancia de 70 mm de
la entrada del tubo, dirección radial. El número de Re del plasma, medido a la
entrada del canal, es Replasma =2,74; ρplasma= 1025 kg/m3.
58
El pico máximo, en el perfil de las plaquetas, se atribuye a la migración lateral de
partículas que tienden a agruparse a una distancia de la pared conocida como
posición de equilibrio (ye), y se define como la relación entre la distancia lateral de la
línea central del canal a la posición del pico máximo (r/R). Según Ho y Leal (1974) y
los primeros estudios realizados por Segré y Silberberg (1962), en partículas esféricas
con flotabilidad neutra, se observa que en ausencia de cualquier velocidad de
deslizamiento las esferas tienden a emigrar lejos de la pared y la línea central de
conducto, acumulándose en un posición de equilibrio igual a 0,6.
Investigadores como Won y Yul (2008) exponen que la migración lateral no sólo
ocurre marcadamente a números de Reynolds bajos; sino que señalan, que para
partículas con flotación neutra. La posición de equilibrio se obtiene como una función
del número de Re, incrementándose a medida que éste aumenta. Sin embargo, para
partículas flotantes los patrones de migración son más complejos, dependiendo de la
diferencia de densidad entre el fluido y la partícula.
Las fuerzas impulsoras de la migración han sido identificadas como: fuerzas externas
aplicadas, repulsiones en la pared, efectos inerciales, inestabilidades en las fuerzas de
arrastre; interacciones partícula-partícula y fuerzas de sustentación (Fung, Hu, &
Joseph, 1994).
Para evaluar la preponderancia de estas fuerzas en la migración de la fase dispersa, se
hizo el siguiente análisis.
59
III.2.1.1.
Fuerza Aplicadas
El modelo computacional sólo consideró la gravedad como fuerza externa,
influenciando la flotación de las partículas, dada la diferencia de densidad entre las
fases. Como se observa en la Fig. 3.8, los glóbulos rojos tienden a migrar hacia el
fondo del tubo, incrementándose su concentración en esta región, indiferentemente si
se modelan como la fase más densa o se asume que ambas fases dispersas tienen la
misma densidad; lo que genera, un desplazamiento de las fases plasma y plaquetas
hacia la región contraria del conducto.
Está claro que la gravedad afecta el desplazamiento de las fases dispersas hacia un
lado u otro del canal; sin embargo, para el caso en donde la fase plaquetas y glóbulos
rojos se modelan con la misma densidad entran en juego otros factores que afectan la
segregación, como lo son el diámetro de partícula y la concentración.
En los casos anteriores, los glóbulos rojos son la fase más voluminosa, al ser de mayor
diámetro y estar en mayor concentración; no obstante, para analizar mejor el efecto de
la variación de estos parámetros, se realizaron una serie de simulaciones numéricas,
en donde se varió la relación entre las densidades de los glóbulos rojos y plaquetas
(ΩG-R=ρGRs/ρPLTs) y la fracción volumétrica

Influencia del diámetro de la fase dispersa.
a) Densidad plaquetas 1040 kg/m3 y glóbulos rojos 1100 kg/m3
En la figura 3.10 se condensan los resultados obtenidos al variar el diámetro de las
fases dispersas, tomando en cuenta las densidades fisiológicas de cada fase.
60
Posición Radial [μm]
Gravedad
PARED
PARED
110
90
70
50
30
10
-10
-30
-50
-70
-90
-110
μPlasma= 1,22 cP
μRBCs = 2,00 cP
μPLTs = 2,00 cp
Diámetro fase
dispersa=6μm
0.00
0.01
0.02
L.C
ye=0,94
φGRs=6,0 μm y
φPLTs=2,5 μm
ye=0,96
φGRs=2,5 μm y
φPLTs=6,0 μm
ye=0,98
0.03
0.04
0.05
Fracción Volumétrica PLTs [-]
Fig. 3.10.- Perfil de concentración de PLTs, al variar el diámetro de las partículas,
considerando ΩG-P= 1,06 . ρplasma= 1025 kg/m3; fracción volumétrica a la entrada
αPLTs=2% y αGRs=40%
b) Densidad plaquetas y glóbulos rojos 1100 kg/m3
Posición Radial [μm]
Gravedad
PARED
PARED
110
90
70
50
30
10
-10
-30
-50
-70
-90
-110
ye=0,96
Diámetro fase
dispersa=6μm
φGRs=6,0 μm y
φPLTs=2,5 μm
L.C
μPlasma= 1,22 cP
μRBCs = 2,00 cP
μPLTs = 2,00 cp
0.00
0.02
0.04
0.06
0.08
0.10
Fracción Volumétrica PLTs [-]
Fig. 3.11.- Perfil de concentración de PLTs, vía DFC, obtenido al variar el diámetro
de la fase dispersa, considerando ΩG-P= 1. ρplasma= 1025 kg/m3, fracción volumétrica a
la entrada αPLTs=2% y αGRs=40%
61

Influencia de la concentración de las fases dispersas.
Gravedad
Posición Radial [μm]
110
90
70
50
30
10
-10
-30
-50
-70
-90
-110
PARED
0.000
a)
μPlasma= 1,22 cP
μRBCs = 2,00 cP
μPLTs = 2,00 cP
L.C
ye=-0,96
0.020
Posición Radial [μm]
PARED
0.040
Fracción Volumétrica PLTs [-]
b)
110
90
70
50
30
10
-10
-30
-50
-70
-90
-110
0.000
F.V fase
dispersa=2%
αGRs=40% y
αPLTs=2%
0.500
1.000
Fracción Volumétrica GRs [-]
Fig. 3.12.- Perfil de concentración de a) plaquetas; b) glóbulos rojos, obtenido al
variar la fracción volumétrica de las fases dispersas. ρplasma= 1025 kg/m3, ρPLTs= 1040
kg/m3, ρGRs= 1100 kg/m3
Para analizar los resultados anteriores se considera la expresión de la fuerza de
gravedad:
En donde, al ser pequeña la diferencia de densidad entre las fases, las variaciones en
el diámetro de partícula son las que afectan en mayor medida la magnitud de la
fuerza de gravedad; infiriéndose que, para partículas de mayor tamaño, la fuerza de
gravedad incrementa. Sin embargo, en la Fig. 3.10, los resultados de la simulación
numérica reflejan que la posición de equilibrio de las plaquetas, y e, no cambia
apreciablemente con las variaciones en el diámetro de partícula; sólo observándose
cambios en el perfil de concentración cuando se asume que las fases dispersas poseen
las misma densidad y diámetro (Fig. 3.11), o cuando se asume que la concentración
es igual para éstas (Fig. 3.12).
62
En el primer caso, la fuerza de gravedad tiene el mismo valor en ambas fases; por lo
tanto, la estratificación estará dada por la sedimentación de las fases dispersas en el
fondo de conducto y el desplazamiento de la fase continua hacia el otro extremo. En
este sentido, el fenómeno de segregación en esta geometría, es producto de un efecto
combinado, entre la diferencia de densidades, diámetro de partícula y concentración.
Otro aspecto a considerar en el caso de partículas flotantes, es que la flotación genera
una velocidad de deslizamiento entre la fase continua y la fase dispersa. Para cada
uno de los casos simulados, el flujo que se desarrolla es tipo Poiseuille (Fig. 3.13), en
donde sólo se generan variaciones entre las velocidades de las fases a los extremos del
conducto. Por lo tanto, la posición de equilibrio se ubicará a un extremo u otro del
conducto, dependiendo si la partícula es movida por la fase continua o no. Al
analizar, la Fig 3.14, se tiene que la fase plaquetas exhibirá un pico de máxima
concentración cercano a la pared, en aquella zona del conducto en donde la velocidad
de deslizamiento presenta una inflexión.
Adicionalmente, el flujo que se desarrolla en el tubo no sólo genera esfuerzos de
corte sino también gradientes de éstos, a través de los cuales se induce la migración
lateral. En el centro de un flujo de Poiseuille el esfuerzo se desvanece, pero su
gradiente no, lo que hace del centro del canal una posición de equilibrio inestable.
En este sentido, una partícula en el centro del canal o tubería será conducida por los
gradientes de esfuerzo hacia la pared, y una partícula cerca de la pared será
conducida lejos de ésta; por lo tanto, la posición final será cuando se establezca el
equilibrio entre el centro y la pared del conducto.
63
Posición Radial [μm]
Zona de generación
110
de velocidad de
90
deslizamiento
70
Plasma
50
Plaquetas
30
Glóbulos Rojos
10
-10
-30
-50
-70
-90
-110
-0.001 0.004 0.009 0.014 0.019 0.024 0.029
Velocidad [m s-1]
Fig. 3.13.- Perfil de velocidad de plasma, plaquetas y glóbulos rojos. ρplasma= 1025
kg/m3, ρPLTs= 1040 kg/m3, ρGRs= 1100 kg/m3¸ fracción volumétrica a la entrada
αPLTs=2% y αGRs=40%
110
Posición Radial [µm]
105
100
95
90
-90
-95
GRs=40% y PLTs=2%
GRs=2% y PLTs=2%
-100
-105
-110
-1.5E-004 -1.0E-004 -5.0E-005 0.0E+000 5.0E-005
Velocidad de deslizamiento PLTs [m s-1]
Fig. 3.14.- Velocidad de deslizamiento, obtenida empleando DFC, para la fase
plaquetas, variando la concentración de la fase dispersa. ρplasma= 1025 kg/m3, ρPLTs=
1040 kg/m3, ρGRs= 1100 kg/m3
64
III.2.1.2.
Fuerzas inerciales, viscosas y de arrastre
Cuando se tienen suspensiones diluidas (con fracciones volumétricas, α ≤ 10%), uno
de los fenómenos más importantes reportado por varios investigadores (Takemura &
Magnaudet, 2009; Rusconi & Stone, 2008) es, que los esfuerzos de corte inducen la
migración de las fases dispersas promoviendo la formación de regiones de
concentración elevada en puntos cercanos a la pared; aceptándose el hecho de que
este fenómeno de migración lateral se genera como producto de la inercia del fluido.
Sin embargo, es importante analizar el efecto asociado a otras fuerzas que también se
toman en cuenta al resolver la ecuación de Navier-Stokes; estas son las viscosas y las
de arrastre. En las gráficas siguientes, se representa el perfil de estas fuerzas sobre la
fase plaquetas para dos casos simulados, en donde la posición de equilibrio de
máxima concentración se ubica en el primer caso en el extremo superior del conducto,
y en el segundo caso en el extremo inferior.
En las Figs. 3.15 y 3.16, está claro que cuando la fase dispersa se mueve paralela a la
pared, la fuerza de arrastre aumenta a medida que disminuye la distancia pared-fase
dispersa. Este aumento, se justifica en términos de los efectos viscosos derivados de la
presencia de la pared, que retarda el movimiento del fluido y como consecuencia los
esfuerzos de corte incrementan en esta zona.
65
100
Viscosas
Inerciales
Arrastre
Posición Radial [µm]
80
60
40
20
L.C
0
-20
μPlasma= 1,22 cP
μRBCs = 2,00 cP
μPLTs = 2,00 cP
-40
-60
-80
-100
0.0E+000
1.0E+004
1.0E+006 2.0E+006
Fuerza/Volumen [kg m-2 s-2]
Fig. 3.15.- Perfil radial de las fuerzas que influencian el movimiento de las fases a
través del conducto. ρplasma= 1025 kg/m3, ρPLTs= 1040 kg/m3, ρGRs= 1100 kg/m3; fracción
volumétrica a la entrada αPLTs=2% y αGRs=40%
100
Viscosas
Inerciales
Arrastre
Posición Radial [µm]
80
60
40
20
L.C
0
-20
-40
-60
-80
-100
0.0E+000
1.0E+004
1.0E+006 2.0E+006
Fuerza/Volumen [kg m-2 s-2]
Fig. 3.16.- Perfil radial de las fuerzas que influencian el movimiento de las fases a
través del conducto. ρplasma= 1025 kg/m3, ρPLTs= 1040 kg/m3, ρGRs= 1100 kg/m3; fracción
volumétrica a la entrada αPLTs y αGRs=2%
66
La relativa falta de partículas en el extremo superior del conducto, genera un
descenso en las fuerzas viscosas, atribuyéndose a una combinación de interferencia
mecánica y movimiento lateral, relacionados con la repulsión entre las partículas y la
pared.
Es importante resaltar que aún cuando en los casos simulados la migración lateral se
promueve hacia el extremo superior o al inferior (Fig. 3.12), la tendencia en el
comportamiento de las fuerzas inerciales, viscosas y de arrastre es muy simular para
ambos casos; lo que implica que este fenómeno de migración constituye un balance
entre la fuerza gravitacional, que mueve las fases dispersa hacia el fondo del tubo, y
las fuerzas inerciales que las elevan hacia el extremo superior.
Adicionalmente, la fase con más volumen (mayor diámetro de partícula y
concentración), se depositará en el fondo, desplazando las fases más livianas al otro
extremo.
III.2.1.3.
Comparación del modelo con datos experimentales
Una vez analizados los factores que están influyendo en el modelo de segregación; es
necesario comparar, si el modelo multifásico es capaz de reproducir el
comportamiento que las células sanguíneas presentan al fluir en microconductos.
Para validar el método numérico y medir la exactitud de la simulación se hace una
comparación gráfica, entre los resultados experimentales reportados por Yeh et al. y
los obtenidos computacionalmente, reportándose con barras el error relativo en cada
medida.
67
El modelo numérico es capaz de predecir la concentración de las plaquetas en el
centro del canal; sin embargo, a medida que nos acercamos a la pared de éste, y aún
cuando se captura la elevación de la concentración observada experimentalmente, la
concentración relativa que se predice es aproximadamente 5 veces menor que la
reportada por Yeh y colaboradores en su trabajo.
Distancia de la Pared [μm]
60
Conc. Relativa= α de PLTs
αprom. de PLTs
50
40
Numérico
30
Experimental
20
ye=0,96
10
ye =0,98
0
-10
-5
0
5
10
15
Concentración Relativa PLTs [-]
Fig. 3.17.- Comparación del perfil de concentración de plaquetas experimental y
numérico. Las barras expresan el error relativo de los resultados computacionales
Para analizar el por qué de esta desviación, es importante señalar que
experimentalmente investigadores como Tilles y Eckstein (1987); Aarts et al. (1988);
Zhao et al. (2007), entre otros; han reportado que la marginación y acumulación de
las plaquetas hacia una region cercana a la pared está influenciada principalmente
por la la interacción hidrodinámica de estas células con los glóbulos rojos;
incrementándose su concentración a medida que el hematrocrito aumenta. En este
sentido, en el modelo computacional que se evaluó, no hay ningún término numérico
68
que tome en cuenta la interación entre las fases glóbulos rojos y plaquetas;
asumiéndose solamente que cada fase está presente, en principio, en cada volumen
de control y asignándose una fracción volumétrica igual a la fracción del volumen de
control ocupada por la fase. Esta limitación del modelo, se ve reflejada en el error
calculado para los valores obtenidos en la región cercana a la pared de
aproximadamente 10 μm, y que para el valor de m{xima concentración llega a ser del
60%.
La posición de equilibrio, ye, que obtuvo Yeh y colaboradores experimentalmente es
de 0,98, que corresponde a una distancia de 2,64 μm de la pared; mientras que,
numéricamente se tiene que esta posición es de 0,96, equivalente a una distancia de
4,62 μm de la pared.
En el trabajo de Yeh y colaboradores sólo reportan el perfil de concentración de las
plaquetas; sin embargo, es bien conocido que los glóbulos rojos al fluir por conductos
de di{metros menores a 500 μm tienden a hacerlo por el centro de estos (Sun &
Munn, 2005). La principal razón es la alta flexibilidad y deformación que experimenta
la membrana de GRs que los hace orientarse con las líneas de flujo. El modelo
numérico, considera partículas esféricas que no distorsionan su forma a menos que,
se desarrolle un flujo turbulento; como resultado no se captura, la migración lateral
de la fase GRs hacia el centro del canal.
Resumiendo, el modelo multifásico generado computacionalmente reproduce la
tendencia a la segregación que experimentan las plaquetas cuando fluyen a través de
micro-conductos, siendo el fenómeno de segregación un balance entre las fuerzas
gravitaciones, viscosas, inerciales y de arrastre. Sin embargo, dado que las células
sanguíneas (glóbulos rojos y plaquetas) experimentan una serie de interacciones entre
69
sí que no son tomadas en cuenta numéricamente, existen ciertas discrepancias entre
lo reportado experimentalmente y lo obtenido con el modelo numérico.
Aun así, el modelo permite hacer una reproducción más adecuada del flujo
sanguíneo en conductos, que considerar una sola fase y no tomar en cuenta la
presencia de los componentes de éste.
III.2.2. EVALUACIÓN
DEL
ESTADO TERMODINÁMICO DE LA
FASE
DISPERSA Y SU EFECTO EN LA SEGREGACIÓN.
Para descartar la influencia de la gravedad en el modelo, se simuló el flujo de plasma,
plaquetas y glóbulos rojos en un canal donde la inercia dominaba sobre la gravedad.
En esta etapa se tomó como referencia el estudio experimental realizado por Zhao et
al. (2008), en el cual evaluaron la variación en la distribución espacial de las plaquetas,
en la zona de expansión de un canal, como resultado de la influencia que ejerce la
concentración de glóbulos rojos (hematocrito) sobre estas partículas. Para ello
visualizaron el flujo de GRs bovinos suspendidos (Htc=5-60%) y partículas del
tamaño de una plaqueta, suspendidos en una solución buffer, a caudales controlados
(6-30 mL/h). El dominio empleado en la simulación numérica es un canal que
presenta dos regiones, una contracción seguida de una expansión (100: 200 μm). En
la primera etapa del estudio se consideraron tres casos en donde: 1) ambas fases
dispersas son modeladas como líquido; 2) cómo sólido; 3) GRs como líquido y
plaquetas como sólido; plateándose este estudio, debido a que fisiológicamente las
células sanguíneas son partículas sólidas; sin embargo, los glóbulos tienden a
deformarse y alinearse en dirección del flujo dependiendo de esfuerzo de corte, su
comportamiento puede ser aproximado a el de una gota de líquido.
70
En la gráfica que se muestra a continuación, se ilustra el perfil de concentración de las
plaquetas en la zona de la contracción.
PARED
Posición Latera, y/Y [-]
1.00
0.95
0.90
RBCs(LIQ)-PLTs(LIQ)
RBCs(LIQ)-PLTs(SOL)
RBCs(SOL)-PLTs(SOL)
0.85
0.80
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
Fracción Volumétrica PLTs [-]
Fig. 3.18.- Perfil de concentración de PLTs, vía DFC, en un microcanal para un flujo
en la entrada de 15 mL/h.
Tomando como referencia el efecto de migración lateral que exhiben las plaquetas
cuando fluyen en microcanales; es posible apreciar de la Fig. 3.18, que sólo cuando se
considera a las fases dispersas como líquido se logra en cierta medida este efecto. Con
los otros modelos, las plaquetas experimentan un aumento de la concentración en la
pared, con lo cual no se captura la formación de la capa libre de células producto de
un aumento en la concentración de plasma en esta zona.
Para explicar el por qué de este resultado, se parte del hecho de que numéricamente
el programa CFX 12 hace la distinción entre el flujo de líquidos y sólidos adicionando
un término a la ecuación de momento cuando la fase dispersa es sólida; estos
términos representan los esfuerzos debido a la colisión de partículas.
71
Adicionalmente, también se hace un cálculo de la viscosidad del sólido empleando
ecuaciones constitutivas empíricas o haciendo una analogía con la teoría cinética de
los gases (Teoría Cinética Granular, TCG). Esta viscosidad aparente del sólido, en este
caso, es menor a la viscosidad considerada al modelar las plaquetas como líquido;
esto implica que el número de Reynolds aumente y como consecuencia el coeficiente
de arrastre y por lo tanto la fuerza de arrastre disminuyan en la pared; menor
resistencia al avance da lugar a una propagación de la distribución de partículas hacia
la pared. Este desplazamiento de la posición de equilibrio, ye, con el aumento del
número de Reynolds ha sido reportado por Won y Yul (2008).
Ahora bien, si el modelo que reproduce cualitativamente el comportamiento de las
plaquetas en microcirculación es el líquido-líquido, es necesario evaluar cómo la
viscosidad de cada fase dispersa influye en los resultados. Así, al hacer una variación
en la relación entre la viscosidad de los glóbulos rojos y plaquetas se obtuvieron los
resultados de las figuras 3.19 y 3.20.
PARED
Posición Lateral, y/Y [-]
1.00
0.95
0.90
0.85
0.80
0.75
0.70
0.012
μGRs=2 cP; μPLTs=1,5 cP
μGRs=5 cP; μPLTs=1,5 cP
μGRs=1,5 cP; μPLTs=1,5 cP
μGRs=1,5 cP y μPLTs=3 cP
μGRs=0,61 cP; μPLTs=1,5 cP
0.014
0.016
0.018
0.02
0.022
Fracción Volumétrica PLTs [-]
Fig. 3.19.- Perfil de concentración de PLTs, vía DFC, en un microcanal para un flujo
en la entrada de 6 mL/h
72
PARED
1.00
Posición lateral, y/Y [-]
0.95
0.90
0.85
μGRs=2 cP; μPLTs=1,5 cP
μGRs=5 cP; μPLTs=1,5 cP
μGRs=1,2 cP; μPLTs=1,5 cP
μGRs=2 cP y μPLTs=3 cP
μGRs=0,61 cP; μPLTs=1,5 cP
0.80
0.75
0.70
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
Fracción Volumétrica GRs [-]
Fig. 3.20.- Perfil de concentración de GRs, vía DFC, en un microcanal para un flujo
en la entrada de 6 mL/h
Los perfiles de concentración, tanto de la fase plaquetas como de glóbulos rojos,
exhiben un comportamiento similar; donde, en el centro del canal la concentración se
mantiene constante y en las cercanías de la pared (aprox. 5 μm) comienzan a
mostrarse las variaciones en ésta. Tal como en los casos simulados con el microtubo,
el modelo no captura la migración lateral de los GRs hacia el centro del canal.
Adicionalmente, sólo cuando la viscosidad de las plaquetas se considera mayor que la
de los GRs se obtiene comportamiento esperado para las plaquetas; sin embargo, al
analizar el perfil de concentración de GRs, se observa que cuando la viscosidad de
esta fase es menor que la del plasma, el descenso en la concentración de plaquetas en
la pared es producto de un incremento de la concentración de GRs en esta zona y no
es el producto de la formación de una capa libre de células. En este sentido, para
poder captar, cualitativamente el comportamiento de plaquetas en el canal es
73
necesario que la viscosidad de esta fase sea mayor en comparación con la de GRs,
pero la de glóbulos rojos no debe ser inferior a la del plasma.
Como los estudios de Zhao et al.se centraron en la zona de la expansión de un canal
que presenta cambios en su sección transversal; se realiza una comparación de los
resultados numéricos obtenidos con el modelo líquido-líquido y los reportados por
estos investigadores, en esta sección de canal.
Velocidad PLTs
Cortante
Fig. 3.21.- Líneas de corriente de la velocidad de la fase plaquetas a lo
largo del canal
74
Posición axial salida estenósis
[μm]
140
120
100
80
μGRs=2 cP y μPLTs=6 cP
μGRs=2 cP y μPLTs=3 cP
Experimental
60
40
20
0
1.0
2.0
3.0
4.0
Concentración relativa PLTs [-]
Fig. 3.22.- Perfil de concentración de PLTs, vía DFC, para la sección de expansión
del canal con un espesor de 20μm; flujo en la entrada de 6 mL/h
El número de Reynolds de las fases plaquetas y glóbulos rojos es de 0,06 y 0,53,
respectivamente, cuando se considera una viscosidad de 6 cP para las plaquetas. Los
efectos viscosos dominan sobre los inerciales; sin embargo, los inerciales dominan
sobre la fuerza gravitacional (Fr=5,43). Como el número de Reynolds es bajo, Re < 1, el
flujo no se separa de la pared cuando entra en la expansión; no obstante, se genera
una recirculación en la esquina superior del canal. En esta zona, los experimentos de
Zhao et al. (2008), revelan una fuerte influencia de la fase glóbulos rojos sobre la
distribución espacial de las partículas (plaquetas); en donde, la concentración de éstas
resultó ser más elevada localmente en la esquina, cuando el hematocrito es de 40%, y
esencialmente igual a la línea base para las muestras con menor hematocrito.
El modelo multifásico empleado, predice el perfil de deposición observado
experimentalmente; no obstante, difiere en la predicción de la concentración máxima
obtenida experimentalmente. La posible explicación, está relacionada nuevamente,
75
con que no se está tomando en cuenta la interacción dinámica de los GRs con las
plaquetas, lo que incrementa el transporte de éstas hacia una región cercana a la
pared.
III.3. EVALUACIÓN DEL DAÑO HEMOLÍTICO APLICANDO EL MODELO
DE SEGREGACIÓN
En esta etapa del estudio, se estimó el daño que se genera en los glóbulos rojos al fluir
a través de geometrías con cambios abruptos de sección. Para ello, se consideraron
dos enfoques: el primero, en donde la sangre se simuló como un fluido multifásico,
empleando el modelo de segregación líquido-líquido, desarrollado en la primera fase
de este estudio; y el segundo, en el cual la sangre es tratada como un fluido
homogéneo, como tradicionalmente se le considera en muchos modelos actualmente
existentes para la estimación del daño. Los resultados de ambos enfoques son
analizados y comparados con los datos experimentales publicados por Umezu et al.
(1992); y en cuyo trabajo, realizaron mediciones in vitro para analizar la variación de
hemoglobina libre en el plasma, luego de que la sangre fuera sometida a pasar a
través de conectores que presentaban una reducción en el área de la seccion
transversal; las muestras se tomaron cada hora, hasta un total de seis horas.
El modelo numérico consideró el método propuesto por Farinas et al. (2006) para
determinar la fracción de daño lineal empleando una ecuación diferencial hiperbólica
(ver capítulo I).
Según las condiciones experimentales reportadas, el flujo que se genera dentro de
estos conectores es turbulento (aprox. 3200 en la entrada); por lo tanto, la simulación
numérica se llevó a cabo empleando el modelo de turbulencia de transporte de
76
esfuerzos cortantes (SST, siglás en inglés), que fue validado por Salazar et al. (2008) en
una geometría de un escalón con flujo reverso, donde se generaban los fenómenos de
separación y re-adhesión de capa límite. La similitud de dicha geometría con el
vortice que se genera en el conector estenótico se muestra en la Fig. 3.23.
Vórtice toroidal
a)
b)
Fig. 3.23.- Comparación gráfica del flujo: a) a la salida del conector estenótico; b)
con el flujo en un escalón reverso
En general, cuando se trata de cuantificar el daño hemolítico, se debe considerar la
influencia de factores como la turbulencia, que genera una carga mecánica anormal
sobre la células sanguíneas; los elevados esfuerzos de corte generados en la pared del
conducto, y la formación de áreas de estancamiento o zonas de recirculación;
adicionalmente, está el tiempo de exposicion que tienen las células a estos factores.
Con el modelo Euleriano desarrollado en esta investigación, es posible señalar la
localización de regiones en donde la lisis de los glóbulos rojos se genera en mayor
proporción, producto del incremento en los esfuerzos de corte. Para el caso del
conector, estos puntos críticos se encuentran en la pared de la estenosis y en la
expansión luego de ésta (Fig. 3.24).
77
Esfuerzo Cortante
Puntos críticos
Fig. 3.24.- Esfuerzos cortantes generados a lo largo del conector estenótico tipo D.
De acuerdo a lo repotado por Lacasse et al.
(2007) un esfuerzo de corte de
aproximadamente 250 Pa es necesario para ocasionar la ruptura total de los GRs; sin
embargo, bajo las condiciones empleadas para estimar el daño, en esta geometría no
se alcanza este valor de tensión, siendo el daño sub-lítico el que predomina.
Al analizar las líneas de corriente y el campo de velocidades que describen la fase
glóbulos rojos (Fig. 3.25) al fluir a través del conector, se puede observar la formación
de dos vórtices de recirculación como consecuencia del ensanchamiento abrupto en
una sección del ducto; la longitud aproximada de estos vórtices es de 25 mm. En esta
zona, el líquido que sale de la estenosis penetra una capa de fluido que presenta un
movimiento más lento; por el efecto del rozamiento, el chorro arrastra consigo parte
del fluido que lo rodea, desarrollándose gradualmente una capa libre cortante
alrededor de éste.
En esta situación, el flujo cortante que se genera no está
íntimamente asociado con una superficie sólida, como en el caso de la pared de la
estenósis; sin embargo, contituye un punto crítico de generación de daño.
78
b)
Velocidad RBCs
Cortante
a)
~ 25 mm
Fig. 3.25.- a) Líneas de corriente para la velocidad de los glóbulos rojos en el
conector estenótico tipo D. b) Flujo cortante generado por el chorro que emerge de
un orificio (Sutera, 1977)
Como el esfuerzo de corte (τ) es condiderado el principal causante biomec{nico de los
eventos hemolíticos, y según los estudios de Kameneva et al. (2004) el mecanismo de
generación de hemólisis es fundamentalmente diferente en flujos laminares y
turbulentos,es necesario establecer conciensudamente una forma para calacular estos
esfuerzos y evitar la sobre-estimación del daño.
En este sentido, para el regimen turbulento se hace una analogía con el caso de los
esfuerzos viscosos, considerando el producto de la viscosidad efectiva por la tasa de
corte para el cálculo del esfuerzo cortante turbulento:
Se tiene como resultado, que se genera mayor daño en las células al emplear esta
forma de cálculo, que si solamente se considera la viscosidad dinámica de la fase
glóbulos rojos. En la zona de la estenosis, con ambas metodologías, el esfuerzo
79
generado presenta en promedio, un esfuerzo de corte muy similar (Fig. 3.26); sin
embargo, en la zona de la expansión, al tomar en cuenta la viscosidad turbulenta, el
esfuerzo generado incrementa (por un factor de 2 aprox.); como consecuencia la
fracción de daño aumenta casi dos órdenes de magnitud, comparado con la región de
la estenosis (Fig. 3.27). El daño adicional, puede ser solamente el resultado de la carga
mecánica sobre las fases dispersas debido a vórtices turbulentos. La viscosidad
turbulenta, es un término ficticio que se genera de la ecuación de momento para flujo
turbulento, no contiene información sobre el tamaño de la estructura de flujo y por lo
tanto, no puede caracterizar el ambiente mecánico de las células individuales.
Los estudios de Quinlan y Dooley (2007) y Ge et al. (2008), han demostrado, que los
esfuerzos de Reynolds representan un indicador inadecuado de los verdaderos
esfuerzos viscosos generados en flujo turbulento, porque genera una sobre estimación
de la fuerza requerida para provocar la hemólisis.
100
320
240
Tensor Esfuerzo (
Tensor Esfuerzo (
80
), [Pa]
360
Eff
), [Pa]
120
60
40
20
0
a)
280
200
160
120
80
40
0
0
20
40
60
80
100
Posición Axial [mm]
120
140
b)
0
20
40
60
80
100
120
140
Posición Axial [mm]
Fig. 3.26.- Esfuerzo de corte generado en un plano axial en el conector estenótico D.
a) el tensor de esfuerzo de la forma
b) tensor de esfuerzo que considera la
viscosidad efectiva,
.
80
1.6E-002
Fracción de daño, HGW [-]
Fracción de daño, HGW [-]
6.0E-005
4.0E-005
2.0E-005
0.0E+000
a)
1.2E-002
8.0E-003
4.0E-003
0.0E+000
0
20
40
60
80
100
120
140
Posición Axial [mm]
b)
0
20
40
60
80
100
120
140
Posición Axial [mm]
Fig. 3.27.- Fracción de daño, HGW, medida a) calculada considerando
calculada considerando
.
b)
Considerando lo planteado anteriormente, para la estimación numérica del daño en
los glóbulos rojos se tomó en cuenta sólo la viscosidad dinámica en el cálculo del
esfuerzo. Una representación del daño en los glóbulos rojos, en un plano dentro
conector se muestra en la Figura 3.28.
Fracción de Daño, HGW [-]
x 10
-5
5
4
3
2
1
0
140
Pos
110
ició
n
5
80
axia
l[
55
40
mm
]
2.5
0
0 -5
-2.5
m
dia l [m
a
R
n
ió
Posic
]
Fig. 3.28.- Fracción de daño, HGW, en un plano a lo largo del conector D.
81
Como una medida más adecuada para estimar y clasificar los dispositivos en
términos de daño total generado y compararlo con los resultados obtenidos por
Umezu et al. se empleó el Indice Modificado de Hemólisis (MIH, siglás en inglés),
calculado al emplear la formulación propuesta por Garon y Farinas (2004).
La
metodología numérica empleada para estimar el daño en los glóbulos rojos establece
como premisa que la variación de la concentración de hemoglobina libre en el plasma
por unidad de tiempo es constante, lo que implica que se aborda el problema de
generación de hemólisis desde un punto de vista macrocópico. En la Tabla 3.1 se
muestra el valor experimental de MIH luego de seis horas de flujo a través del
conector tipo D y los obtenidos numéricamente al modelar la sangre como un fluido
multifásico y como homogéneo.
Tabla 3.1.- Indicie Modificado de Hemólisis (MIH), estimado empleando una
metodología numérica, que considera dos enfoques para modelar la sangre:
homogeneo y no homogeneo.
MIH experimental
[-]
1,32
MIH numérico
Modelo Multifásico [-]
5,52
MIH numérico
Modelo Homogéneo [-]
37,05
Para comparar los resultados numéricos con los experimentales, se calcula el efecto
del daño local en los puntos críticos dentro del conector, globalmente a la salida del
conector; lo cual correspondería a lo que se realiza en los experimentos in vitro.
Adicionalmente, se supone que la solución es independiente del tiempo, con lo que el
valor reportado en la Tabla 3.1 es un promedio del índice de hemólisis.
Numéricamente, se observa que el enfoque multifásico discrepa menos del valor
experimental, que cuando se modela la sangre como un fluido homógeneo. El error
relativo del primer modelo es de 3,18 mientras que para el modelo homogéneo es de
27,07. Estos resultados sugieren que aún cuando el modelo de segregación sigue
sobrestimando la hemólisis, se hace necesario considerar la naturaleza corpuscular de
82
la
sangre,
para
obtener
valores
mucho
mas
cercanos
a
los
evaluados
experimentalmente. De hecho, este enfoque permite determinar la distribución de
las células a través del dominio y garantiza que las ecuaciones para estimar el daño
son aplicadas sólo a la fracción de células que están presentes en la regiones de
máximo daño y no a una totalidad de fluido que se considera está distribuido
uniformemente.
Cuando se hace un análisis del daño, empleando otros conectores que difieren en la
configuración de la sección de estenosis (Tabla 3.2), se obtiene que el índice de daño
es mayor en el conector A; la única diferencia entre este conector y el D es que la
entrada de la estenosis no es curva. Esto implica, que la forma de la entrada tiene una
drástica influencia sobre la generación de hemólisis. Cuando Umezu y colaboradores
compararon los resultados obtenidos en ambos conectores, determinaron que este
ligero cambio en la forma interna de la estenosis contribuía a una reducción del 70%
en la hemólisis. Numéricamente, el modelo está capturando aproximadamente la
misma proporción de cambio entre el conector A y el D que el medido
experimentalmente.
Tabla 3.2.- Indicie Modificado de Hemólisis (MIH), calculado empleando el modelo
de segregación para los conectores tipo A y H.
MIH experimental
Conector A [-]
4,45
MIH numérico
Modelo
Multifásico [-]
19,77
MIH experimental
Conector H [-]
1,17
MIH numérico
Modelo
Multifásico [-]
4,16
En el conector tipo H la reducción en la longitud de las contracción disminuye el
tiempo de exposición de las fases a los elevados esfuerzos, generados en esta zona;
evitando que el daño se incremente aún cuando la entrada tiene la misma
configuración que el conector A.
83
CAPÍTULO IV
CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES
Este trabajo propone una metodología numérica para estimar el daño sanguíneo en
dispositivos médicos, que permite disminuir significativamente la sobre-estimación
del daño hemolítico que, típicamente, se obtiene de los modelos Euleriano-Euleriano.
Para ello, se ha aplicado como enfoque, que la sangre debe ser modelada como un
fluido no homogéneo, en el cual los glóbulos rojos constituyen la fase dispersa más
numerosa. Esto permitió establecer la distribución de las células a través del conducto
por el cual fluyen, y aplicar las correlaciones de daño sólo a la fase sobre la cual se
genera.
Fisiológicamente, las células sanguíneas tienden a alejarse de las paredes del ducto;
con el modelo homogéneo de sangre, no se hace esta distinción y las ecuaciones de
daño se aplican de manera global sobre un fluido que está uniformemente
distribuido, y que no permite determinar que fracción de células están en mayor
concentración en los puntos críticos de generación de daño. De allí, que la hemólisis
estimada con el modelo homogéneo es aproximadamente 28 veces mayor que la
predicha en este estudio cuando se considera la segregación de las células.
Las zonas críticas de generación de daño, se encuentran principalmente en regiones
donde hay cambios bruscos en la sección transversal del dominio; esto es, en las
paredes de la contracción y en la expansión luego de ésta. El hecho, que se pueda
84
establecer la localización de estas regiones de elevado daño en las células, es una
ventaja que el método proporciona y que permite optimizar el diseño de los
dispositivos médicos.
Al diseñar dispositivos sanguíneos, es importante realizar un estimado de la
magnitud de la hemólisis que sufre la sangre al circular a través de los mismos, con la
mayor precisión posible; con este estudio se justificó que la viscosidad turbulenta no
debe ser considerada en el cálculo del esfuerzo de corte, dado que no es un término
que describe el comportamiento viscoso de las células, sino un término ficticio que se
genera de la ecuación de momento cuando se modela el flujo turbulento.
Considerar la segregación de las células sanguíneas presenta una ventaja significativa
en la estimación del daño hemolítico; adicionalmente, la semejanza en el perfil de
distribución de las plaquetas es otro punto a favor del modelo, en el cual la posición
de equilibrio, ye, producto de la migración lateral de estas células se compara
cualitativamente con los resultados experimentales reportados por Yeh et al. (1994).
Dentro de las limitaciones del modelo se encuentran, que la concentración máxima en
ye es aprox. 5 veces menor que lo reportado; de igual forma, el modelo no captura de
manera exacta la distribución que tienen los glóbulos rojos cuando fluyen en un
conducto cuyo di{metro es menor de 300 μm. Este hecho, se atribuye a que no se
considera la interacción partícula-partícula entre las diferentes fases dispersas; y en
donde, la deformación que experimentan la membrana de los GRs, cuando fluyen a
través de secciones de diámetro reducido, no se está modelando.
Como la viscosidad de la sangre disminuye a medida que fluye por ductos de
diámetro reducidos; el hecho de modelar la fase dispersa como líquido, permite
85
asignarles una viscosidad, que aún cuando no es la viscosidad real de la fase,
establece mejor las condiciones de flujo que se generan. Si la fase dispersa se modela
como sólido, su viscosidad debe ser considerada despreciable para efectos del
modelo.
RECOMENDACIONES

Una de las limitaciones del modelo es que no se toma en cuenta la interacción
entre las diferentes fases dispersas (glóbulos rojos-plaquetas); la idea entonces es, que
en futuras investigaciones se contabilice esta interacción, adicionando términos a las
ecuaciones de momento, tal como se hace al evaluar la interacción fase continua-fase
dispersa con el término de arrastre.

En los conectores estenóticos evaluados, el esfuerzo de corte generado no
superó el esfuerzo límite reportado por Lacasse et al. (2007), que es de 250 Pa ; por lo
tanto, se propone evaluar, empleando el modelo de segregación, el daño generado en
geometrías donde el esfuerzo supere este valor límite y en el cual se prevé una
ruptura total de la membrana de las células, y no sólo generación de daño sublítico.
Esto, para evaluar si el modelo es capaz de predecir de manera aceptable la fraccion
de daño cuando se tienen condiciones mas severas que inducen la lisis de las células.

Con este modelo Euleriano es posible determinar las zonas críticas de
generación de daño; con lo que se propone hacer un estudio de optimización, en
donde se evalúe los ángulos de entrada y salida de la estenosis que minimicen la
fracción de daño generado y que permitan mejorar el diseño en los DAVs.
86
BIBLIOGRAFÍA
Aarts, P., Bolhuis, P., Sakariassen, K., Heethaar, R., & Sixma, J. (1983). Red blood cell
size is important for adherence of blood platelets to artery subendothelium. Blood , 62
(1), 214-217.
Aarts, P., van den Broek, S., Prins, G., Kuiken, G., Sixma, J., & Heethaar, R. (1988).
Blood platelets are concentrated near the wall and red blood cells, in the center in
flowing blood. Arterioscler. Thromb. Vasc. Biol , 8, 819-824.
Abkarian, M., & Viallat, A. (2008). Vesicles and red blood cells in shear flow. Soft
Matter , 4, 653-657.
American Heart Association. (2011). Heart disease and stroke statistics-2011: A report
from the American Heart Association. J. of the American Heart Association , 123, e19e209.
Arora, D., Behr, M., & Pasquali, M. (2005). Estimation of hemolysis in centrifugal
blood pumps using morphology tensor approach. Computational Fluid and Solid
Mechanics , 578-582.
Arvand, A., Hormes, M., & Reul, H. (2005). A Validated Computational Fluid
Dynamics Model to Estimate Hemolysis in a Rotary Blood Pump. Artificial Organs , 29
(7), 531-540.
ASTM International-Standards Worldwide. (1997). Designation: F 1841-97. Standard
Practice for Assessment of Hemolysis in Continuous Flow Blood Pumps. Annual Book
of ASTM Standard , 13.01.
Bagchi, P. (2007). Mesoscale Simulation of Blood Flow in Small Vessels. Biophysical
Journal , 92, 1858-1877.
Baskurt, O., & Meiselman, H. (2003). Blood Rheology and Hemodynamics. Seminars
in Thrombosis and Hemostasis , 29 (5), 435-450.
87
Behbahani, M., Behr, M., Nicolai, M., & Probst, M. (2008). Towards Shape
Optimization for Ventricular assist Devices Using Parallel Stabilized FEM. NIC
Symposium . 39, págs. 325-332. Jülich: John von Neumann Institute for Computing.
Blackshear, P. (1987). Handbook of Bioengineering. (C. S. Skalak R., Ed.) McGraw-Hill.
Bludszuweit, C. (1995). Model for a General Mechanical Blood Damage Prediction.
Artificial Organs , 19 (7), 583-589.
Bradshaw, P. (1971). An introduction to turbulence and its measurement (Fisrt Edition
ed.). Germany: Pergamon Press.
Burgreen, G., Antaki, J., Wu, Z., & Holmes, A. (2001). Computational Fluid Dynamics
as a Development for Rotary Blood Pumps. Artificial Organs , 25 (5), 336-340.
Celik, I. (2008). Procedure for estimation and reporting of discretization error in CFD
applications. J. of Fluid Engineering , 130, 1-4.
Chang, W., Trebotich, D., Lee, L., & Liepmann, D. (2000). Blood Flow in Simple
Microchannels. 1st Annual International IEEE-EMBS Special Topic Conference on
Microtechnologies in Medicine & Biology. Lyon, France.
Conde, J., Amate, J., & Alcaide, J. (1997). Informe sobre los dispositivos de asistencia
ventricular como puente al trasplante cardíaco. Revista Española de Trasplantes , 6 (2).
De Gruttola, S., Boomsma, K., & Poulikakos, D. (2005). Computational simulation of a
non-Newtonian model of the blood separation process. Artificial Organs , 29 (12), 949959.
De Wachter, D., & Verdonck, P. (2002). Numerical calculation of hemolysis levels in
peripheral hemodialysis cannulas. Artificial Organs , 26 (7), 576-582.
Dhruv, A., Behr, M., & Pasquali, M. (2006). Hemolysis estimation in a centrifugal
blood pump using a tensor-based measure. Artificial Organs , 30 (7), 539-547.
Dzwinel, W., Boryczko, K., & Yuen, D. (2003). A discrete-particle model of blood
dynamics in capillary vessels. J. colloid. Int. Sci. , 258 (1), 163-173.
Eckstein, E., & Belgacem, F. (1991). Model of platelets transpot in flowing blood with
drift and diffusion terms. Biophys. Journal , 60, 53-69.
88
Eckstein, E., Tilles, A., & Millero III, F. (1988). Conditions for the ocurrence of large
near wall excess of small particles during blood flow. Microvascular Research , 36, 3139.
Eggleton, C., & Popel, A. (1998). Large Deformation of Red Blood Cell Ghosts in a
Simple Shear Flow. Phys. Fluids , 10 (8), 1834-1845.
Faivre, M. (2006). Drops, vesicles and red blood cells: Deformability and behavior under flow.
PhD Tesis, Université J. Fourier Grenoble, Grenoble, Francia.
Fang, J., & Owens, R. (2006). Numerical simulations of pulsatile blood flow using a new
constitutive model.
Farinas, M., Garon, A., Lacasse, D., & N´dri, D. (2006). Asymptotically Consistent
Numerical Approximation of Hemolysis. (ASME, Ed.) Journal of Biomechanical
Engineering , 128, 688-696.
Ferziger, J., & Peric, M. (2002). Computational methods for fluids dynamics (3rd edition
ed.). New York: Springer.
Fundación Niño y Cáncer. (s.f.). Recuperado el 10 de Mayo de 2011, de
http://www.ninoycancer.cl/educacion/hemograma.htm
Fung, J., Hu, H., & Joseph, D. (1994). Direct simulation of initial value problems for
the motion of solid bodies in a Newtonian fluid. Part 2. Couette and Poiseuille flows.
J. Fluid Mech. , 277, 271-301.
Fung, Y. (1984). Biomechanics, Mechanical properties of living tissues. (2nd Edition ed.).
Springer Verlag.
Garon, A., & Farinas, M. (2004). Fast Three-dimensional Numerical Hemolysis
Approximation. Artificial Organs , 28 (11), 1016-1025.
Garon, A., & Farinas, M. (2004). Fast Three-dimensional Numerical Hemolysis
Approximation. Artificial Organs , 28 (11), 1016-1025.
Giersiepen, M., Wurzinger, L., Opitz, R., & Reul, H. (1990). Estimation of shear stress
related blood damage in heart valve prostheses in vitro comparison of 25 aortic
valves. Artificial Organs , 13 (5), 300-306.
89
Glatzel, T., Litterst, C., Cupelli, C., Lindemann, T., Moosmann, C., Niekrawietz, R., y
otros. (2008). Computational Fluid Dynamics (CFD) Software Tools for Microfluidic
Applications-A case study. Computers and Fluids , 37, 218-235.
Goubergrits, L. (2006). Numerical modeling of blood damage: current status,
challenges and future prospects. Expert Rev. Med. Devices , 3 (5), 527-531.
Grigioni, M., Morbiducci, U., D´Avenio, G., Di Benedetto, G., & Del Gaudio, C. (2005).
A novel formulation for blood trauma prediction by a modified power-law
mathematical model. Biomech. Model Mechanbiol. , 4, 249-260.
Hentschel, B., Tedjo, I., Probst, M., Wolter, M., Behr, M., Bischof, C., y otros. (2008).
Interactive blood damage analysis for ventricular assist devices. IEEE Trasactions on
Visualization and Computer Graphics , 14 (6), 1515-1522.
Ho, B., & Leal, L. (1974). Inertial migration of rigid spheres in two-dimensional
unidirectional flows. J. Fluid Mech , 65, 365-400.
Hogg, A. (1994). The inertial migration of non-neutrally buoyant spherical particles in
two-dimensional shera flows. J. Fluid Mech. , 272, 285-318.
Huang, P., & Hellums, D. (1993). Aggregation and Disaggregation Kinetics of Human
Blood Platelets: Part I. Development and Validation of a Population Balance Method.
Biophysical Journal , 65, 334-343.
Jain, A., & Munn, L. (2009). Determinants of leukocyte margination in rectangular
microchannels. PLoS ONE , 4 (9), 1-8.
Jung, J., & Hassanein, A. (2008). Three-phase CFD analytical modeling of blood flow.
Medical Engineering & Physics , 30, 91-103.
Kameneva, M., Burgreen, G., Kono, K., Repko, B., Antaki, J., & Umezu, M. (2004).
Effects of trubulent stresses upon mechanical hemolysis: experimental and
computational analysis. Am. Soc. Artif. ntern. Organs J , 50, 418-423.
Kim, H., VandeVord, P., & Sang, J. (2008). Multiphase non-Newtonian effects on
pulsatile hemodynamics in a coronary artery. Int. J. Numer. Meth. Fluids , 58, 803-825.
90
Klaus, S., Paul, R., Mottaghy, K., Reul, H., & Glasmacher, B. (2001). Investigation of
flow and material induced hemolysis with a Couette type high shear system. Mat.wiss. u. Werkstofftech , 32, 922-925.
Lacasse, D., Garon, A., & Pelletier, D. (2007). Mechanical hemolysis in blood flow:
user-independent predictions with the solution of a partial differential equation.
Computer Methods in Biomechanics and Biomedical Engineering , 10 (1), 1-12.
Leverett, L., Hellums, J., Alfrey, C., & Lynch, E. (1972). Red Blood Cell damage by
Shear Stress. Biophysical Journal , 12, 257-273.
Lima, R., Wada, S., Tanaka, S., Takeda, M., Ishikawa, T., Tsubota, K.-I., y otros. (2008).
In vitro blood flow in a rectangular PDMS microchannel: experimental observations
using a confocal micro-PIV system. Biomedical Microdevices , 10 (2), 153-167.
Manninen, M., & Taivassalo, V. (1996). On the mixture model for multiphase flow. Valtio
Teknillinen Tutkimuskeskus. Espoo: VTT Publications 288.
Massoudi, M. (2008). A note on the meaning of mixture viscosity using the classical
continuum theories of mixtures. International Journal of Engineering Science , 46, 677689.
Massoudi, M., & Antaki, J. (2008). An anisotropic constitutive equation for the stress
tensor of blood based on mixture theory. Mathematical problem in engineering , 1-30.
Menter, F., Kuntz, M., & Langtry, R. (2003). Ten years of industrial experience with
the SST turbulence model. Turbulence, Heat and Mass Transfer 4 , 4, 1-8.
Moyers-González, M., Owens, R., & Fang, J. (2008). A non-homogeneous constitutive
model for human blood. Part 1. Model derivation and steady flow. J. Fluid Mech. , 617,
327-354.
Nourbakhsh, A., & Mortazavi, S. (2010). A three dimensional study of the motion of a
drop in plane Poiseuille flow at finite Reynolds numbers. Iranian J. of Science and
Technology , 34 (B2), 179-196.
OMS. (Septiembre de 2009). Organización Mundial de la Salud. Recuperado el 17 de
Noviembre de 2009, de http://www.who.int/mediacentre/factsheets/fs317/es/
91
Paul, R., Apel, J., Klaus, S., Schügner, F., Schwindke, P., & Reul, H. (2003). Shear
Stress Related Blood Damage in Laminar Couette Flow. Artificial Organs , 27 (6), 517529.
Pérez, E. (2008). Concepto, historia y métodos de asistencia ventricular. Cir. Cardiov. ,
15 (1), 51-58.
Pope, S. (2000). Turbulent Flow. Cambridge, University Press.
Quinlan, N., & Dooley, P. (2007). Models of flow-induced loading on blood cells in
laminar and turbulent flow, with application to cardiovascular device flow. Ann.
Biomed. Eng. , 35 (8), 1347-1356.
Ranade, V. (2002). Computational flow modeling for chemical reactor engineering.
Academic Press.
Roache, P. (1994). Perspective: A method for uniform reporting of grid refinement
studies. J. of Fluids Engineering , 116, 405-413.
Rusconi, R., & Stone, H. (2008). Shear-induced diffusion of platelike particles in
microchannels. Physical Review Letters , 101, 1-4.
Salazar, F., Rojas, L., & Blanco, A. (2008). Turbulence modeling in the numerical
estimation of hemolysis in hemodialusis cannulae. Revista de la Facultad de Ingenieria
U.C:V , 23 (4), 93-98.
Segré, G., & Silberberg, A. (1962). Behaviour of macroscopic rigid spheres in
Poiseuille flow: Part 2. Experimental results and interpretation. J. Fluid Mech. , 14, 13657.
Shaik, E., Hoffmann, K., & Dietiker, J.-F. (2006). Numerical flow simulations of blood
in arteries. 44th AIAA Aerospace Sciences Meeting and Exhibit, AIAA 2006-294. Reno,
Nevada.
Shao, X., Yu, Z., & Sun, B. (2008). Inertial migration of spherical particles in circular
Poiseuille flow at moderately high Reynolds numbers. Physics of Fluids , 20 (103307),
1-11.
Sharan, M., & Popel, A. (2001). A two-phase Model for Flow of Blood in Narrow
Tubes with Increased Effective Viscosity Near the Wall. Biorheology , 38, 415-428.
92
Sobieski, W. (2008). Influence of selected eulerian multiphase model parameters on
the simulation results for a spouted bed grain dryer. Task Quartely , 12 (1), 45-70.
Sun, C., & Munn, L. (2005). Particle Nature of Blood Determines Macroscopic
Rheology: A 2-D Lattice Boltzmann Analysis. Biophysical Journal , 88, 1635-1645.
Sutera, S. (1977). Flow-induced trauma to blood cells. Circulation Research , 41, 2-8.
Takemura, F., & Magnaudet, J. (2009). Lateral migration of small spherical buoyant
particle in a wall-bounded linear shera flow. Physics of Fluids , 21, 1-7.
Taylor, C., & Draney, M. (2004). Experimental and Computational Methods in
Cardiovascular Fluid Mechanics. Annu. Rev. Fluid Mech. (36), 197-231.
Ternik, P., & Marn, J. (2007). Novel Rheological Model for the Inelastic Blood
Rheology: Its Derivation and Validation. Int. J. Simul. Model 6 , 4, 218-219.
Tilles, A., & Eckstein, E. (1987). The near wall excess of platelets-sized particles in
blood flow: Its dependance on hematocrit and wall shear rate. Microvascular Research ,
33, 211-223.
Tsai, F., Lauer, J., & Shohet, J. (2006). Aggregation of blood components on a surface
in a microfluidic environment. Journal of applied physics , 99, 024701.1-024701.7.
Umezu, M., Murayama, Y., Nogawa, A., & Kijima, T. (1992). The Effects of Inner
Shapes of Plastic Connectors Blood in a Extracorporeal Circulation. 7th International
Conference on Biomedical Engineering (págs. 197-199). Singapore: JCH GOH & A
Nather.
Untaroiu, A., Wood, H., & Allaire, P. (2009). Computer modeling of fluid-stressinduced blood damage in a mechanical ventricular assist device. Proceedings of the
ASME 2009 International Mechanical Engineering Congress & Exposition (IMECE200911605).
Wilson, S., Givertz, M., Stewart, G., & Mudge, G. (2009). Ventriculas assist devices.
The challenges of outpatient management. J. of the American College of Cardiology , 54
(18), 1647-1659.
93
Won, Y., & Yul, J. (2008). The lateral migration of neutrally-buoyant spheres
transported through square microchannels. J. of Micromechanics and Microengineering ,
1-13.
Wootton, D., & Ku, D. (1999). Fluid Mechanics of Vascular Systems, Diseases, and
Thrombosis. Annu. Rev. Biomed. Eng. (01), 299-329.
Wurzinger, L., Opitz, R., & Eckstein, H. (1986). Mechanical blood-trauma. An
overview. Angeiologie , 38, 81-97.
Yamane, T., Asztalos, B., Nishida, M., Masuzawa, T., Takiura, K., Taenaka, Y., y otros.
(1998). Flow Visualization as a Complementary Tool to Hemolysis Testing in the
Development of Centrifugal Blood Pumps. Artificial Organs , 22 (5), 375-380.
Yang, J., Tsai, B., & Tsai, G. (1994). Separated-reattaching flow over a backstep with
uniform normal mass bleed. Journal of Fluids Engineering , 116, 29-35.
Yasuda, T., Funakubo, A., & Fukui, Y. (2002). An Investigation of Blood Damage
Induced by Static Pressure During Shear-Rate Conditions. Artificial Organs , 1, 27-31.
Yeh, C., Calvez, A., & Eckstein, E. (1994). An estimated shape function for drift in a
platelet-transport model. Biophysical Journal , 67, 1252-1259.
Yeleswarapu, K., Antaki, J., Kameneva, M., & Rajagopal, K. (1995). A Mathematical
Model for Shear-Induced Hemolysis. Artificial Organs , 19 (7), 576-582.
Yeleswarapu, K., Kameneva, M., Rajagopal, K., & Antaki, J. (1998). The Flow of Blood
in Tubes: Theory and Experiment. Mechanics Research Communications , 25 (3), 257-262.
Yilmaz, F., & Yasar, M. (2008). A critical review on blood flow in large arteries;
relevance to blood rheology, viscosity models, and physiologic conditions. KoreaAustralia Rheology Journal , 20 (4), 197-211.
Yilmaz, F., & Yasar, M. (2001). Analysis of conventional drag and lift models for
multiphase CFD modeling of blood flow. Korea-Australia Rheology Journal , 21 (3), 161173.
Zhao, R., Antaki, J., Naik, T., Bachman, T., Kameneva, M., & Wu, Z. (2006).
Microscopic investigation of erythrocyte deformation dynamics. Biorheology , 43, 747765.
94
Zhao, R., Kameneva, M., & Antaki, J. (2007). Investigation of platelet margination
phenomena at elevated shear stress. Biorheology , 44, 161-177.
Zhao, R., Marhefka, J., Antaki, J., & Kameneva, M. (2010). Drag-reducing polymers
diminish near-wall concentration of platelets in microchannel bloo flow. Biorheology ,
47 (3-4), 193-203.
Zhao, R., Marhefka, J., Shu, F., Hund, S., Kameneva, M., & Antaki, F. (2008). MicroFlow visualization of red blood cell-enhanced platelet concentration at sudden
expansion. Annals of Biomedical Engineering , 36 (7), 1130-1141.
Zohdi, T., & Kuypers, A. (2006). Modelling and Rapid Simulation of Multiple Red
Blood Cell Light Scattering. J. R. Soc. Interface , 3, 823-831.
95