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Capítulo 1
Análisis vectorial
1.1. Sistemas de coordenadas
A y el vector unitario asociado:
Ax
A x̂
Ay
A ŷ
Az
A ẑ
En este curso se hace un uso intenso de tres sistemas
de coordenadas: cartesianas, cilíndricas y
esféricas. Naturalmente estos sistemas serán de utilidad en situaciones físicas con simetrías rectangular, cilíndrica y esférica. Veremos en esta sección su definición y
algunos resultados de interés que siguen de estas definiciones.
En este sistema entonces un vector cualquiera A se escribe:
A Ax x̂ Ay ŷ Az ẑ 1.1.1. Coordenadas cartesianas
y su norma, definida como la raiz cuadrada del producto
punto del vector consigo mismo (ver nota1), es
X
Ax
{
{
^x
z^
A2x A2y A2z Un caso particular es el del vector de posición r asociado
a un punto: la posición de un punto en este sistema está
definida por la triada de coordenadas x y z y en consecuencia, el vector de posición queda dado por:
A
r xx̂ yŷ zẑ
^y
En este caso se tiene:
{
Az
A
Ay
Y
rx
ry
X
rz
Figura 1.1: Sistema de coordenadas cartesianas.
r x̂ x
r ŷ y
r ẑ z
y su norma es:
Para describir vectores en este sistema de coordenadas
se introduce la triada de vectores unitarios x̂ ŷ ẑ a lo
largo de las direcciones de los ejes cartesianos. Un vector cualquiera A tiene proyecciones a lo largo de las
direcciones asociadas a dichos vectores unitarios. Estas
proyecciones o componentes se denotan: Ax Ay y Az y ellas se obtienen mediante el producto punto entre el vector
r
r r
x 2 y 2 z2
1.1.2. Coordenadas cilíndricas
El sistema de coordenadas cilíndricas está
basado en la geometría del cilíndro. Se ubica un cilíndro
imaginario con su eje axial concéntrico al eje z de un sistema de coordenadas cartesiano.
1 El producto punto entre dos vectores A
yB
B
es A
A x Bx Ay By Az Bz )
1
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2
tanto tiene sólo componentes a lo largo del plano definido
por ρ̂ y ẑ)
Z
Z
A
Z
Y
r
^
Z
^
f
f
X
r
r^
Z
Figura 1.2: Sistema de coordenadas cilíndricas.
Y
Un punto se define sobre este cilindro por una coordenaρ
da de altura z (la altura del cilíndro), una coordenada de
distancia radial ρ (el radio del cilindro) y una coordenada
X
de posición angular φ (el ángulo que substiende el punto
respecto del eje x, medido a lo largo de la superficie del
cilindro). A lo largo de las direcciones en que crecen ρ , φ
y z se definen vectores unitarios ρ̂ , φ̂ y ẑ.
se tiene:
Este sistema está definido entonces por la triada de cor ρ ρ̂ zẑ
ordenadas ρ φ z , y por los correspondientes vectores
y su norma es: r ρ 2 z2 .
unitarios asociados ρ̂ φ̂ ẑ (ver Fig. ??).
Destacamos nuevamente que el vector de posición r no
En estas coordenadas las variables ρ , φ y z varían entre:
tiene componente o proyección sobre el vector unitario φ̂
ρ : 0 ∞
(esto es r φ̂ 0), pero un vector cualquiera A si podría
tenerla (esto es A φ̂ 0).
φ : 0 2π
Proyectando ρ ρ ρ̂ sobre los ejes OX y OY del sistema
z :
∞ ∞
de coordenadas cartesiano asociado se obtiene la transforUn vector cualquiera A tendrá proyecciones sobre las di- mación de coordenadas que nos lleva de las coordenadas
recciones definidas por dichos vectores unitarios. Los val- cilíndricas a las cartesianas:
ores de dichas proyecciones (las componentes del vector)
x ρ cos φ
se denotan correspondientemente por Aρ , Aφ y Az (ver
Fig ??). Ellos se obtienen de la manera usual:
y ρ sin φ
Aρ
A ρ̂
Aφ
A φ̂
Az
A ẑ
z
Un vector cualquiera se escribe en consecuencia:
A Aρ ρ̂ Aφ φ̂
y su norma es A
Azẑ
A A Aρ2 Aφ2
A2z .
En el caso particular del vector de posición (que naturalmente parte del origen del sistema de coordenadas y por lo
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z
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3
Z
Z
r^
^
f
r
^
{
q
q
r
Y
φ
Y
f
^
ρ
X
f
X
Figura 1.3: Sistema de coordenadas esféricas.
y usando que tan φ y x y que ρ 2 x2 y2 sigue que,
para el primer cuadrante, la transformación inversa en el
caso del I cuadrante es:
Para describir vectores en este sistema de coordenadas
se asigna una triada de vectores unitarios r̂ φ̂ θ̂ a lo
φ arctan y x largo de las direcciones en que crecen r, φ y θ . Un vector
ρ x2 y2
cualquiera A tiene proyecciones sobre dichos ejes que se
denotan
Ar Aφ y Aθ respectivamente.
z z
Hay que tener cierto cuidado para otros cuadrantes, pues
por ejemplo en el caso del tercer cuadrante, donde ambos
x e y son negativos, el cociente y x da el mismo valor que
para el primer cuadrante y la transformación anterior no
resulta válida. En este caso se tiene:
φ
ρ
z
arctan y x z
x2
π
El sistema de coordenadas esféricas es muy similar al sistema de coordenadas que permiten ubicar un
punto geográfico sobre la superficie de la Tierra. Se define una superficie esférica imaginaria de radio r, concéntrica al origen de un sistema de coordenadas cartesiano.
La distancia de un punto en la superficie al origen es la
coordenada r. La ubicación del meridiano que contiene
el punto se realiza mediante un ángulo φ medido, en el
plano de las XY, a lo largo de la intersección de la superficie esférica con el meridiano. Finalmente la ubicación del
paralelo que determina la ubicación del punto se realiza
mediante un ángulo azimutal medido desde el eje z hasta
el punto mismo a lo largo del meridiano que lo contiene
(ver Fig. ??).
A r̂
A θ̂
Aφ
A φ̂
De modo que dicho vector se escribe:
A Ar r̂ Aφ φ̂
y2
1.1.3. Coordenadas esféricas
Ar
Aθ
y su norma es: A
Aθ θ̂
A2r Aφ2
Aθ2 .
Un punto en dicho sistema de coordenadas queda determinado por las coordenadas de posición r φ θ . Si embargo
el vector de posición mismo queda dado simplemente por
la expresión:
r rr̂
ya que dicho vector no tiene componentes a lo largo de
las direcciones φ̂ ni θ̂ . La norma del vector posición es
simplemente: r r2 r.
En estas coordenadas las variables r, φ y θ varían entre:
r
φ
: 0
: 0
∞
2π
θ
: 0
π
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La transformación que nos lleva de las coordenadas esféricas a las cartesianas es:
r sin θ cos φ
r sin θ sin φ
x
y
z
r cos θ
(1.1)
(1.2)
(1.3)
como sigue del hecho que la proyección del vector de
posición r sobre el plano de las XY es r sin θ (ver figura).
ds = r drdf
{
r
Z
rd
f
{
{
dr
df
{
r sin
q
Y
{
r
Elemento de superficie sobre el manto de un cilindro. Como se aprecia en la figura dS alto ancho dz ρ d φ ρ d φ dz.
r sin q cos f
{
{
q
{
r cosq
r sinq sinf
Z
X
Figura 1.4: componentes cartesianas en funcion de las
variables esféricas.
ds = r df d Z
{
r
Dependiendo del signo de x y y z, hay ocho sectores denominados octantes. En el primer octante (x t0, y 0,
x 0) la transformación inversa es:
{
{
dZ
φ
r
θ
r df
arctan y x x 2 y 2 z2
z
arc cos
2
x y 2 z2
Y
{
y al igual que en el caso cilíndrico hay que tener los correspondientes cuidados de diferencia ángular al calcular φ
en otros octantes.
X
f
df
1.1.4. Elementos infinitesimales de área
A partir de los resultados expuestos es posible deducir elementos de superficie dS para algunas situaciones geometricas y que serán de utilidad en este curso:
Elemento de superficie sobre la superficie curva
de una esféra. Como se aprecia en la figura dS r sin θ d φ r d θ r 2 sin θ d θ d φ .
Elemento de superficie sobre un disco plano. Como se aprecia en la figura dS largo ancho dρ ρ dφ ρ dρ dφ .
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Z
r sinq
{
ds = r2 sin q dq df
{
dq
ds = r df d Z
{
q
r dq
r
Y
{
{
dr
df
X
1.1.5. Elementos infinitesimales de volumen
A partir de los elementos infinitesimales de superficie (ver
figuras previas) se pueden obtener elementos infinitesimales de volumen para cada sistema de coordenadas. Estos son:
dV
dV
dV
dx dy dz
dv = ds dl = r dr df dz
Figura 1.6: Elemento de volumen en cilíndricas
cartesianas
ρ d ρ d φ dz
r2 sin θ dr d φ d θ
cilíndricas
esféricas
dr
dv = dx dy dz
r dq
{
z
r sinq df
dy
{
x
{
dx
y
{
{
dz
Figura 1.7: Elemento de volumen en esféricas
{
Figura 1.5: Elemento de volumen en cartesianas
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Ejemplo:
1. Cálculo del volumen de un cilindro de radio R y
altura h.
Vol
dV
φ 2π
z h
φ 0
φ 0
R2
z 0
φ 2π
z h
z 0
ρ d ρ d φ dz
ρ dρ dφ dz
R dφ dz
z h
2
z 0
R2
ρ R
ρ 0
2
6
el cálculo de la diferencia de potencial entre dos puntos
(materia que Ud. vió en el curso Física I). En esos cálculos aparecen integrales de camino de la forma (ver nota
3 ):
F d r En estas integrales figura el elemento vectorial de camino
d r (o vector desplazamiento infinitesimal). Revisemos como se escriben los elementos de camino en los tres sistemas de coordenadas descritos anteriormente:
2
Elemento de camino en coordenadas cartesianas: De
la Fig. ?? es directo apreciar que:
2π dz
2π dz
2
π R2 h
d r
h
dxx̂ dyŷ dzẑ
Z
es decir es el área de un circulo de radio R por la
altura h.
θ π
X
2
r 0
φ 0
θ 0
r R φ 2π
2
r 0
φ 0
r R
2
Y
X
Figura 1.8: Elemento de camino en coordenadas cartesianas.
que efectivamente es el volumen de una esféra.
una trayectoria parabólica dada por y Kx2 , partiendo desde el origen
A 0 0 hasta una posición final B L KL2 . Determine el trabajo que realiza ésta fuerza sobre la partícula.
Solución: Como y Kx2 sigue que dy 2Kx dx. Luego d r dxx̂ dyŷ dxx̂ 2Kxdxŷ. La fuerza evaluada sobre la trayectoria es:
r 0
4 3
πR
3
3. Ejercicio propuesto. Calcule el volumen de un cascarón esférico de radio interior R y de grosor ∆R.
Demuestre, a partir de su resultado obtenido vía integracion, que para ∆R muy pequeño, dicho volumen
es aproximadamente: 4π R2 ∆R. Deduzca a partir de
este resultado (considerando que dicho volumen es
aproximadamente superficie por grosor) cuál sería la
superficie de una esféra de radio R.
F
El trabajo resulta:
1.1.6. Elementos diferenciales de camino
Por ultimo a cada elemento de volumen se le puede asociar un vector desplazamiento infinitesimal d r. Este elemento de camino es el que interviene en (i) el cálculo del
trabajo que realiza una fuerza para mover un punto material desde un lugar a otro (ver nota 2 ) así como en (b)
2 NOTA:
Ejemplo de cálculo de trabajo: Considere la fuerza
2
F0 xL3y x̂ F0 Lxy2 ŷ que actúa sobre una partícula que se mueve sobre
F d r
F0 K
F0 K
x2 Kx2
x Kx2
x̂ F0
ŷ
L3
L2
1 4
1 3
F0 K
x x̂ x ŷ
L3
L2
F0
WBA
dy
Y
4π r dr
F
{
{
φ 2π
Z
{
r R
2
{
dV
{
Vol
dz
dx
{
r sin θ dr d φ d θ
r sin θ dr dφ dθ
2r dr dφ
2. Cálculo del volumen de una esféra de radio R.
1 4
x x̂ L3
1 3
x ŷ
L2
L
1
L2
1
L3
0
x4 dx F0 KL2
1 2KL
5
L
0
dxx̂ 2Kxdxŷ
2Kx4 dx
3 NOTA: También aparecen integrales de camino en el cálculo de
otras cantidades de interés para este curso tales como la diferencia de
potencial eléctrico, y la fuerza electromotriz o f.e.m. debida a campos de
inducción magnética variables generados por cables que llevan corriente
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Elemento de camino en coordenadas cilíndricas: De
la Fig. ?? es directo apreciar que:
d r d ρ ρ̂ ρ d φ φ̂ dzẑ
7
Ejercicios:
1. Cálculo de trabajo: Considere una partícula que
se mueve en círculo bajo la fuerza tangencial F F0 2φπ φ̂ (una especie de fuerza elástica en que la
deformación es proporcional al ángulo). Calcule el
trabajo para mover la partícula desde φ 0, hasta
φ φB .
Indicación: Introduzca el elemento de camino en coordenadas cilíndricas y calcule la integral de trabajo.
r df
2. Calculo de trabajo: Una partícula se mueve sobre
una curva espiral descrita por
dz {
dr
Figura 1.9: Elemento de camino en coordenadas cilíndricas.
y
z
R cos φ
x
R sin φ
h
φ
2π
en que φ es el ángulo de giro en coordenadas cilíndricas, y ρ R el radio de cilindro en estas mismas
coordenadas. La curva sube en h en una vuelta (como
se puede ver a partir de la transformación de coordenadas cuando φ cambia en 2π .)
Sobre la partícula actúa una fuerza: F F0 sin
2π
h z
ŷ.
Calcule el trabajo que realiza esta fuerza sobre la
partícula al cabo de n vueltas.
Indicación: Use coordenadas cartesianas (ya que la
fuerza está en cartesianas) pero introduzca que d r dxx̂ dyŷ dzẑ R sin φ x̂ R cos φ ŷ 2hπ dzẑ como sigue de diferenciar las ecuaciones que describen
la curva espiral, esto es:
Elemento de camino en coordenadas esféricas De la
Fig. ?? es directo apreciar que:
d r
dr r̂ r sin θ d φ φ̂
r d θ θ̂
dx
dy
dz
r sinq df
r dq
R sin φ d φ
R cos φ d φ
h
dφ
2π
y reemplaze en la expresión para el trabajo. Calcule
explícitamente la integral.
Indicación: Si ud opta por usar coordenadas cilíndricas (ya que la curva está descrita en coordenadas
cilíndricas), entonces haga uso de que ŷ sin φ ρ̂ cos φ φ̂ , e introduzca esto en su expresión para la
fuerza, y luego realize los productos punto e integre.
dr
Figura 1.10: Elemento de camino en coordenadas esférias.
Por entregar el producto punto un valor escalar su
resultado no debe depender de que sistema de coordenadas utiliza para evaluarlo.
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1.2. Repaso: Resultados importantes de algebra vectorial
8
El módulo de vecA B se relaciona con los módulos
de cada uno de los vectores que intervienen y el seno
del ángulo θ que substienden entre ellos:
En este curso se requiere ciertos conocimientos previos
del algebra vectorial, que normalmente se revisan en un
curso de Fisica I (alias Mecánica de la partícula). En esta
sección y como repaso recordarmos como se definen estos
productos cuando los vectores se escriben en sistemas de
coordenadas cartesianas, y algunas propiedades (que Ud.
debe preocuparse de saber demostrar) que siguen de estas
definiciones.
A B
A
B
sin θ
Una propiedad que sigue de lo anterior es:
A A 0
Lo mismo ocurre para el producto cruz de dos vectores paralelos.
1.2.1. Producto escalar o producto punto: 1.2.3. Ejercicios
A B
Demuestre, usando las definiciones ?? y ?? del producto
Se mezclan dos vectores para obtener un escalar. Se define escalar y producto vectorial, que:
mediante:
A B Ax Bx Ay By Az Bz
(1.4)
A B
A B
(1.6)
Este producto es conmutativo:
A B
B A
(1.7)
A A
A B B A A B
A
B
cos θ
A B
A
(1.8)
A B C
El módulo del producto punto se relaciona con los módulos de cada uno de los vectores que intervienen y el coseno
del ángulo θ que substienden entre ellos:
0
C
B C
(1.9)
A C B
A B C
(1.10)
1.3. Nociones de Campo Escalar y
Campo Vectorial
1.2.2. Producto vectorial o producto cruz:
A B
1.3.1. Campo Escalar
Aquí se mezclan dos vectores para obtener un nuevo vector. Una receta mnemotécnica práctica que da un resultado
equivalente a la definición formal es la que hace uso del
determinante de una matriz de 3 3 en que las filas son
construida con los vectores unitarios x̂ ŷ ẑ , las componentes cartesianas del vector A y las componentes cartesianas del vector B:
ŷ
Ay
By
ẑ
Az
Bz
f x y z coordenadas cartesianas
f ρ φ z
coordenadas cilíndricas
(1.5)
f r Ay Bz By Az x̂ Ax Bz
Ax By Bx Ay ẑ
x̂
det Ax
Bx
f r A B
Entenderemos por un campo escalar a una aplicación de
3
. Es decir una aplicación que combina 3 valores
reales para dar 1 valor real.
Para los efectos prácticos de este curso un campo escalar es una función real cuyo valor depende del punto
r x y z del espacio de coordenadas que se considere:
Bx Az ŷ
o
f r f r θ φ coordenadas esféricas
Propiedades
El producto cruz es anti-conmutativo
A B B A
Ejemplos familiares de campo escalar son la temperatura sobre la superficie del globo terráqueo T T r θ φ ,
de la cual nos informamos diariamente en los programas
sobre el clima en televisión. En esos mismos programas
se habla de zonas de presión alta y baja. Asociado a ellos están el campo de presión p p r θ φ que también
es un escalar. En estos ejemplos las coordenada r toma
el valor de radio terrestre y las coordenadas θ y φ son
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la localización geográfica de un punto sobre la superficie
terrestre.
Otros campos escalares importantes son:
la densidad de número n n r definida como la cantidad de partículas dN que hay por unidad
de volumen dV del espacio:
n n x y z ∆N
0 ∆V
lı́m
∆V
dN
dV
9
oscuros y las densidades más altas en colores más
claros:
f x y x
1
0.8
0.6
0.4
Z
0.2
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Campo escalar que varía tanto con x como con y.
Un campo que varía lo largo de planos inclinados en
45o respecto del eje y:
Y
X
f x y
Figura 1.11: Densidad de masa. Elemento de masa y de
volumen.
x y
1
0.8
la densidad de masa ρm , definida como la cantidad de masa que hay por unidad de volumen dV del
espacio:
0.6
0.4
0.2
ρm
ρm x y z ∆M
lı́m
∆V 0 ∆V
dM
dV
0
un campo escalar importante en este curso es
la densidad de carga eléctrica, definida
como la cantidad de carga dQ que hay por unidad de
volumen dV del espacio:
ρq
ρq x y z lı́m
∆V
0
∆Q
∆V
dQ
dV
0
0.2
0.4
0.6
Ejemplos y ejercicios
Campo que varía uniformemente con la dirección
x. Considere un campo escalar f cuya dependencia
en x y sólo se da a través de la variable x. Veamos
una gráfica de dicho campo escalar. En la gráfica las
densidades más bajas se representan en colores más
1
La densidad del aire que rodea la tierra puede describirse en coordenadas esféricas aproximadamente
por una expresión de la forma:
Que estas funciones son campos se aprecia porque ellas
toman distinto valor dependiendo de la posición r del espacio que se considere.
0.8
ρm r θ φ ρ0 e
r RT
L en que RT 6400 [km] es el radio terrestre, y L es
una distancia característica en que varia la densidad.
Considere que L 10 [km] y evalue cuanto disminuye la densidad a una distancia de 1 radio terrestre
sobre la superficie del suelo.
El campo de temperatura en torno a un cable caliente
recto, ubicado a lo largo del eje z y sometido a
temperatura T0 , calienta el espacio en torno de él.
Este calentamiento está dado aproximadamente por
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la siguiente expresión evaluada en un cierto instante
de tiempo:
T r T0 e
ρ 2 L2
T0 e
x2 y2
L2
10
r x y z del espacio que se considere. Por ejemplo en
coordeandas cartesianas:
f r La longitud L es una función del tiempo que mide la
distancia característica que ha alcanzado a calentar el
cable en torno de él. Un gráfico de la distribución de
temperatura en torno al cable corresponde a la siguiente figura, para el caso L 1:
1.5
f x y z fx x y z x̂ fy x y z ŷ fz x y z ẑ
Note que a partir de la definición anterior queda claro que
un campo vectorial tiene por componentes 3 campos escalares (en este caso los campos f x fy y fz ).
Similarmente si el campo vectorial está descrito en coordenadas cilíndricas:
f r f ρ φ z fρ ρ φ z ρ̂ 1
fφ ρ φ z φ̂
fz ρ φ z ẑ
y similamente si está descrito en coordenadas esféricas:
0.5
0
f r f r φ θ fr r φ θ r̂ -0.5
-1
-1.5
-1.5
fφ r φ θ φ̂
fθ r φ θ θ̂
Ejemplos
-1
-0.5
0
0.5
1
Un ejemplo familiar de campo vectorial es el campo de
velocidades de un fluído. La figura de a continuación
muestra el caso del llamado flujo de Poiseuille, o flujo en
un canal de sección uniforme:
1.5
La figura siguiente corresponde a un las curvas
de iso-temperatura (misma temperatura) en coordenadas cilíndricas:
1
0.8
0.6
0.4
1.5
0.2
1
0
0
1
0.5
1.5
2
0.5
Figura 1.12: Representación gráfica del campo vectorial asociado al flujo de Poiseuille (flujo a lo largo de un
canal).
0
-0.5
-1
-1.5
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
Este flujo está descrito por la expresión
f
1.3.2. Campos vectoriales
Entenderemos por campo vectorial a una función de 3
3
. Es decir una aplicación que combina 3 valores reales
para dar 3 valor reales.
Para los efectos prácticos de este curso un campo vectorial es una función vectorial cuyo valor depende del punto
4
v0
yy
L2
L x̂
en que v0 es la rapidez del fluido al centro del canal y
L la separación entre las paredes del canal. En este caso
las paredes del canal corresponden a los bordes superior e
inferior del dibujo.
Otras situaciones posibles y que exhiben el tipo de campos
que serán de interés en este curso son:
Prof. Dino E. Risso, Departamento de Física, Facultad de Ciencias, Universidad del Bío-Bío.
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Un sumidero:
f r r
ρ ρ̂
xx̂
11
yŷ
3
1.3.3. Elementos de masa y carga
2
Elemento de masa dM . A partir de la densidad de masa
y los elementos de volúmen en los diferentes sistemas de
coordenadas se obtiene:
1
0
dM
-1
ρm dV
ρm dx dy dz
(cartesianas)
ρm ρ d ρ d φ dz
(cilíndricas)
2
ρm r sin θ dr d θ d φ
(esféricas)
-2
-3
-3
-1
-2
0
1
2
3
Figura 1.13: Representación gráfica del campo vectorial
asociado a un sumidero de fluido.
Una fuente:
f r r
ρ ρ̂
ρq dV
ρq dx dy dz
(cartesianas)
ρq ρ d ρ d φ dz
(cilindricas)
ρq r2 sin θ dr d θ d φ
dQ
xx̂ yŷ
Elemento de carga dQ . A partir de la densidad de carga y los elementos de volúmen en los diferentes sistemas
de coordenadas se obtiene:
3
(esféricas)
2
1
Ejercicios
0
-1
-2
-3
-3
-2
-1
0
1
2
3
Figura 1.14: Representación gráfica del campo vectorial
correspondiente a una fuente de flujido centrada en el origen
Un vórtice:
f
ẑ r Suponga que la masa M de un cilindro maciso de radio a y altura h está distribuida uniformemente sobre
el volumen de éste, de modo que la densidad de masa
es uniforme. Use que en este caso, por ser la densiM
dad uniforme, se cumple ρm dM
dV V , donde V es
el volumen del cílindro, para determinar una expresión para la densidad de éste.
Repita su ejercicio anterior pero considerando una
esféra de radio a y masa M.
Considere un cilindro de radio a y altura h, con masa
total M, cuya masa esta distribuída de acuerdo a la
densidad
z
ρm z A
h
yx̂ xŷ
(i) Determine la constante A integrando la densidad de masa e imponiendo que ésta integral
debe ser igual a la masa total M del cilindro.
Es decir imponiendo M ρm dV .
1
0.5
0
(ii) A partir de su resultado y usando la expresión
para la densidad determine cuanto vale la densidad de masa en la parte superior del cilindro
(z h).
-0.5
-1
-1
-0.5
0
0.5
1
Figura 1.15: Representación gráfica del campo vectorial
correspondiente a un vórtice de fluido
Prof. Dino E. Risso, Departamento de Física, Facultad de Ciencias, Universidad del Bío-Bío.
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12
1.3.4. Derivadas parciales de campos es- Ejemplos y Ejercicios:
calares
A pesar de que este curso tiene como requisito inscribir
paralelamente el Cálculo III conviene enfatizar aquí
la notación que se usará en cuanto a derivación parcial.
Cálculo de la derivada de f x y z la coordenada x:
∂f
∂x
∂f
∂x
f x y z Del mismo modo la derivación parcial respecto de la variable y sería:
∂f
∂y
f x y ∆y z lı́m
∆y 0
∆y
f x y z Sigue en forma natural una relación similar para la
derivación respecto de la variable z.
∂f
∂z
f x y z ∆z lı́m
∆z 0
∆z
f x y z lı́m
∆ρ
0
lı́m
∆φ
0
f ρ φ z
La derivación respecto de la variable z no cambia respecto
de la definición en cartesianas.
Esféricas: La derivación respecto de la variable r (coordenadas esféricas) de una función escalar f r φ θ está
definida como:
∂f
∂r
lı́m
∆r
0
f r ∆r θ φ ∆r
f r θ φ Del mismo modo la derivación parcial respecto de la variable θ sería:
∂f
∂θ
lı́m
∆θ
f r θ
0
2 x 2 y 2 z2 ∂ z
1
2z 2
2 x y 2 z2
z
f ρ φ z
∆φ z ∆φ
∆θ φ ∆θ
f r θ φ ∂x
∂x
∂x
∂y
∂ρ
∂θ
∂φ
∂z
∂φ
∂θ
∂r
∂θ
lı́m
∆φ
0
f r θ φ
∆φ ∆φ
x 2 y 2 z2
x 2 y 2 z2 x 2 y 2 z2
f r θ φ ?
?
?
(cilíndricas)
?
(cilíndricas)
?
(esféricas)
?
(esféricas)
En el caso que se mezcla coordenadas hay que tener
cierto cuidado. Por ejemplo vea lo que pasa cuando
se desea calcular ∂∂ xr . Aquí usamos que r r
2 y2 z2 y se hace:
x
∂r
∂x
∂
x 2 y 2 z2
∂x
x
x 2 y 2 z2
La derivación respecto de la variable φ toma la misma
forma que en cilindricas:
∂f
∂φ
∂
1
Calcule la derivadas:
f ρ ∆ρ φ z ∆ρ
f ρ φ
∂f
∂z
Del mismo modo la derivación parcial respecto de la variable φ sería:
∂f
∂φ
Cálculo de la derivada de f x y z respecto de z:
Cilíndricas: La derivación respecto de la variable ρ
(coordenadas cilíndricas) de una función escalar f ρ φ z está definida como:
∂f
∂ρ
f x ∆x y z lı́m
∆x 0
∆x
∂
xy2 ∂x
∂x 2
∂ 2
y x
y ∂x
∂x
1 y2 x 0
y2
Cartesianas: Entendemos por derivada parcíal, en el
punto x y z , respecto a la variable x de una función escalar f x y z a:
xy2 respecto de
x
r
Calcule las derivadas (usando que r
Prof. Dino E. Risso, Departamento de Física, Facultad de Ciencias, Universidad del Bío-Bío.
r
230017 Electromagnetismo. Ingeniería de Ejecución en Electricidad
x2 y2 z2 ) de:
∂r
∂y
∂r
∂z
∂ 1
∂y r
∂ 2
r
∂z
∂
ln r
∂x
?
?
?
?
?
13
aquí es escribir las componentes cartesianas del vector ρ̂
explícitamente en coordenadas cílindricas, usando como
vectores unitarios los cartesianos x̂ ŷ ẑ :
ρ̂
cos φ x̂ sin φ ŷ Puesto que los vectores x̂ ŷ y ẑ son constantes, la derivada
∂ ρ̂
∂ φ es simplemente:
∂ ρ̂
∂φ
∂
∂
cos φ x̂ sin φ ŷ ∂φ
∂φ
∂
∂
cos φ x̂ sin φ ŷ
∂φ
∂φ
sin φ x̂ cos φ ŷ
φ̂
1.3.5. Derivadas parciales de campos vecto
riales
de modo que finalmente:
∂ ρ
∂φ
La derivada parcial respecto de una variable x de una función vectorial f fx x y z x̂ fy x y z ŷ fz x y z ẑ es:
∂
f
∂x
∂
fx x̂ fy ŷ fz ẑ ∂x
∂
∂
∂
fx x̂ fy ŷ fz ẑ ∂x
∂x
∂x
∂ fy
∂ fx
∂ fz
x̂ ŷ ẑ
∂x
∂x
∂x
Calcule (escribiendo adecuadamente las componentes cartesianas) las derivadas de los siguientes
vectores unitarios:
∂ φ̂
∂φ
∂ r̂
∂φ
∂ r̂
∂θ
∂ fy
∂ fx
∂ fz
x̂ ŷ ẑ ∂y
∂y
∂y
Notar que al hacer estas derivadas los vectores unitarios
se consideraron como constantes.
Hay que tener un cierto cuidado cuando se hace derivadas
de este tipo para otros sistemas de coordenadas, por ejemplo al derivar el vector r respecto de la variable φ en coordenadas cilindricas:
∂ r
∂φ
∂
ρ ρ̂ zẑ ∂φ
∂
∂
ρ ρ̂ zẑ ∂φ
∂φ
∂ρ
∂ ρ̂
∂
ρ̂ ρ
zẑ ∂φ
∂φ
∂φ
∂ ρ̂
0 ρ̂ ρ
0 ẑ
∂φ
Notar que aqui se ha usado la regla del producto aplicada
a la combinación ρ ρ̂ , y se ha usado que ∂∂ ρφ 0 por ser r y
φ variables independientes en el sistema de coordenadas
cilindrico. Idem para ∂∂φz 0. Por último en este ejercicio falta calcular explícitamente como varía el vector unitario ρ̂ cuando se varía la coordenada φ ; lo más adecuado
ρ φ̂ Ejercicios:
Idem si se deriva f respecto de y:
∂
f
∂y
?
(cilindricas)
?
(esféricas)
?
(esféricas)
1.4. Diferencial y Gradiente de un
campo escalar
El diferencial de un campo escalar se define como la diferencia de valor de la función entre dos puntos separados
infinitesimalmente en d r:
df
f r d r f r Coordenadas cartesianas. En el caso de una sóla variable (por ejemplo x) el diferencial es simplemente d f df
dx dx, sin embargo cuando hay más de una variable se
debe derivar con respecto a cada una de ellas. El diferencial de un campo escalar en coordenadas cartesianas es:
df
∂f
dx ∂x
∂f
x̂ ∂x
∇ f d r
Prof. Dino E. Risso, Departamento de Física, Facultad de Ciencias, Universidad del Bío-Bío.
∂f
∂f
dy dz
∂y
∂z
∂f
∂f
ŷ ẑ dxx̂ dyŷ dzẑ ∂y
∂z
230017 Electromagnetismo. Ingeniería de Ejecución en Electricidad
En que hemos introducido la siguiente notación vectorial
∇f
∂f
∂f
∂f
x̂ ŷ ẑ
∂x
∂y
∂z
Coordenadas cilíndricas De la misma manera se puede
proceder en el caso de coordenadas cilíndricas. El diferencial de un campo escalar es:
df
∂f
dρ ∂ρ
∂f
dρ ∂ρ
∂f
ρ̂ ∂ρ
∇ f d r
∂f
∂f
dφ dz
∂φ
∂z
1∂f
∂f
ρ dφ dz
ρ ∂φ
∂z
1∂f
∂f
φ̂ ẑ d ρ ρ̂ ρ d φ φ̂
ρ ∂φ
∂z
dz ẑ En que luego de identificar el diferencial de camino en coordenadas cilíndricas hemos introducido la siguiente notación vectorial:
∂f
1∂f
∂f
ẑ
ρ̂ φ̂ ∇f ∂ρ
ρ ∂φ
∂z
Coordenadas esféricas Para el caso de coordenadas esféricas se tiene:
∂f
∂f
∂f
df dr dθ dφ
∂r
∂θ
∂φ
∂f
1∂f
1 ∂f
dr r dθ r sin θ d φ ∂r
r ∂θ
r sin θ ∂ φ
∂f
1∂f
1 ∂f
θ̂ ẑ r̂ ∂r
r ∂θ
r sin θ ∂ φ
dr r̂ r d θ θ̂
r sin θ φ̂ ∇ f d r
En que luego de identificar el diferencial de camino en
coordenadas esféricas hemos introducido la siguiente notación vectorial:
∂f
1∂f
1 ∂f
θ̂ φ̂
∇f r̂ ∂r
r ∂θ
r sin θ ∂ φ
1.4.1. Operador gradiente
Con el objeto de resumir conviene introducir un nuevo
operador vectorial que se construye con las derivadas parciales. Este es el operador gradiente o nabla:
∇
x̂ ∂∂x ρ̂ ∂∂ρ
r̂ ∂∂r ŷ ∂∂y ẑ ∂∂z
φ̂ ρ1 ∂∂φ ẑ ∂∂z
φ̂
∂
θ̂ ∂
r ∂ θ r sin θ ∂ φ
con esto el diferencial d f queda:
df
∇ f dr
(cartesianas)
(cilndricas (es f ricas 14
Significado del operador ∇ o gradiente aplicado a un
campo escalar El operador gradiente o ∇ recién introducido, cuando es aplicado a un campo escalar, permite
obtener un vector que apunta (localmente, es decir en cada posición r)
en la dirección que crece más rapidamente
el campo escalar.
Para el ejemplo f r x, propuesto en la sección ??, el
gradiente vale:
∂
∇ f x̂ x x̂
∂x
de modo que el campo escalar crece en la dirección x̂ de
manera uniforme.
Para el ejemplo f r x y propuesto en esa misma sección el gradiente vale:
∇f
∂
x y
∂x
x̂ ŷ
x̂
ŷ
∂
x y
∂y
indicando que el campo tambien crece en forma uniforme,
pero en dirección 45o respecto del eje de las x.
En el caso de la fórmula aproximada para la densidad
del aire con la altura, que vimos en la seccion ??, encontramos:
∇ρ m
r̂
∂
ρ e r RT L
∂r 0
ρ r̂ 0 e r RT L
L
indicando que el aumento de densidad ocurre contra la
dirección radial r̂ y la tasa a lo cual ocurre esto depende
de la coordenada radial r.
Por último en el ejemplo del calentamiento en torno a un
cable delgado orientado a lo largo del eje z (que también
vimos en esa misma sección), el gradiente de la temperatura obedece:
∇T
ρ̂
∂
Te
∂ρ 0
ρ 2 L2
T0
2ρ e
L2
ρ̂
ρ 2 L2
mostrando que el aumento de temperatura ocurre radialmente hacia el cable, y este aumento depende de la distancia radial ρ al cable.
1.4.2. Ejercicios
hallar ∇Φ (usando coordenadas cartesianas y coordenadas esféricas) para:
1. Φ ln r ln r
2. Φ rn
r
n
Demuestre que
∇ ΨΦ Prof. Dino E. Risso, Departamento de Física, Facultad de Ciencias, Universidad del Bío-Bío.
∇Ψ Φ Ψ ∇Φ 230017 Electromagnetismo. Ingeniería de Ejecución en Electricidad
Considere que Φ Φ r , es decir el campo escalar
depende exclusivamente de la coordenada radial r
(esféricas). Muestre que en este caso:
∇Φ f r r̂
Calcule ∇Φ, usando coordenadas cartesianas, para
los siguientes campos escalares:
1. Φ 2. Φ 1 r
r
r0
15
Evalúe el trabajo de esta fuerza al ser aplicada sobre un
objeto qeu se mueve desde un punto A 3 2 0 hasta un
punto B 1 2 0 (en metros). Considere x0 2 [m] y F0 20 [N]. Solución:
Haciendo la integral en forma directa: Usamos que el
camino se caracteriza por y 2, y que luego dy 0
WBA
r0
3. Φ ln r r 0
4. Φ r r0 n
F d r
F0 2 x
x0 4 x̂
2F0 dxx̂
B
1.4.3. Un primer teorema
B
fA
A
B
B
A
∇ f d r df
A
f
B
A
fB
2
4 dx
2xdx
160 N Evaluándo el negativo de la diferencia de energía potencial U:
WBA
BA
x
A
B
F0 x2 A
F0 xx 13
2
∇ f d r
Que el teorema se cumple se verifica directamente pues
d f ∇ f d r,
luego:
A
B
F0
La integral sobre un camino cualquiera del gradiente de
una función escalar, es igual a la diferencia de la función
evaluada entre los extremos de dicho camino (ver nota4 ).
fB
F0
UB
UA F0 1
2
2
2
1
Si un fuerza es conservativa entonces existe una función
escalar U tal que F ∇U, en que U es el llamado potencial asociado a dicha fuerza. El potencial U U r es un
campo escalar que tiene dimensiones de energía. Se tiene:
2
F0 3 2 2 3 2 5F0 13F0 8F0 160[N]
Aplicación: Obtención del trabajo para fuerzas conservativas.
2
Que efectivamente es el valor obtenido por integración directa.
B
WBA
A
F d r
B
A
B
Una consecuencia interesante del teorema es que la integral de trabajo sobre un camino cerrado de una fuerza
conservativa es automáticamente nula:
∇U d r
dU
A
UB
UA ∆BAU
Considere el potencial U F0 x
asociada a este potencial es
F
2
F d r ∇U d r UA
UA 0
2xy . La fuerza
∂U
∂U
∂U
x̂
ŷ
ẑ
∇U ∂x
∂y
∂z
F0 2 x x0 2y x̂ 2F0xŷ
x0 ya que al ser la integral sobre un camino cerrado el punto
final B coincide con el punto inicial A.
Ejemplo
1.4.4. Trabajo sobre un camino cerrado de
una fuerza conservativa
1.4.5. Circulación de un campo vectorial
4 NOTA: Por supuesto la validez de este teorema depende de cuan
derivable sea la función y cuan suave sea el camino de integración. Cálculo III
Es importante observar que esto no es cierto para todas
las fuerzas, esto ocurre sólo en el caso de las conservativas. Cuando las fuerzas son NO CONSERVATIVAS, la
integral resultante es no nula. Llamaremos a esta integral la circulación del campo de fuerzas o
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230017 Electromagnetismo. Ingeniería de Ejecución en Electricidad
circulación Γ de un campo vectorial f
Γ
f d r
En lo que sigue deduciremos un importante teorema asociado a este tipo de integrales: el Teorema de Stokes, pero
previamente conviene revisar los conceptos asociados a
las integrales de superficie:
16
superficie no es cerrada (en cuyo caso no es posible distinguir que es exterior e interior). La regla es darse el sentido
en que es recorrido el camino que delimita el borde de
la superficie. La dirección de n̂ es definida de acuerdo a
la regla de la mano derecha al recorrer dicho camino (ver
figura)
1.4.6. Integrales de superficie
Flujo de un campo vectorial
Una tipo de integración importante de un campo vectorial
f f r es el llamado flujo Φ f del campo vectorial. Esta
integración está definida como:
Φf
f r d S
donde d S dSn̂ es un vector que está construido como un elemento infinitesimal de área multiplicando a un
vector unitario orientado en forma exterior al volumen
definido por la superficie y perpendicularmente a la superficie (vector normal a la superficie). La figura siguiente
muestra distintos elementos de superficie de una superficie cubica de acuerdo a sus distintas caras.
Figura 1.17: Trayectoria cerrada que delimita una superficie. La orientación de d S es “exterior” de acuerdo a la
regla de la mano derecha respecto al sentido en que se
recorre dicho camino.
Aún no se ha resuelto la ambiguedad de la dirección de n̂,
pero en cambio se ha especificado una regla para elegirlo
cuando el borde de la superficie esta delimitado por un
camino que es recorrido en un sentido dado.
1.4.7. Circulación de un campo vectorial y
teorema de Stokes
Consideremos primero la circulación del campo f sobre
el camino que describe la figura siguiente:
f
f
f
Figura 1.16: Superficies de integración infinitesimales sobre las caras de un cubo
Orientación del vector unitario n̂ Un aspecto importante a considerar (y que tendrá importancia posterior) es
como definir la orientación del vector unitario n̂ cuando la
Figura 1.18: Circulación de un campo vectorial
Prof. Dino E. Risso, Departamento de Física, Facultad de Ciencias, Universidad del Bío-Bío.
230017 Electromagnetismo. Ingeniería de Ejecución en Electricidad
17
Es claro que dicha circulación se puede escribir como la
circulación de dos caminos que tienen parte de su trayectoria en común, pero en que el segmento común es recorrido en direcciones opuestas (y por lo tanto la contribución
de dicho segmento por ambas integrales se cancela):
A
Figura 1.20: El camino exterior ha sido reemplazado por
N caminos rectangulares.
B
Figura 1.19: El camino cerrado se construye con dos
caminos que delimitan la misma trayectoria
En lo que sigue veremos que estas integrales sobre pequeños caminos cuadrados al interior de la superficie se
pueden reescribir en término de: (a) la superficie de los
cuadrados y (b) derivadas del campo f . La integral total
de circulación se reescribira a su vez como una integral de
superficie (el llamado “Teorema de Stokes”).
Para motivar este resultado veamos qué es la integral de
camino sobre un camino cerrado cuadrado pequeño cuando éste está contenido en el plano de las XY . Se tiene que
la integral sobre el circuito cerrado se puede descomponer en cuatro integrales de línea sobre los segmentos rectos
que forman el camino.
Se cumple:
f r f d r 1
Z
f d r
2
Este argumento se puede externder al particionar finamente una superficie de forma arbitraria en N elementos
de superficie
f d r
f d r 1
2
N ∑
i 1
f d r f d r
f d r
(1.11)
i
es decir la integral de camino sobre el circuito exterior se
puede escribir como una suma sobre pequeños caminos
cuadrados distribuidos en toda la superficie que delimita
el camino exterior
Y
( x, y, z )
N
( x,y+Dy, z )
X
( x+Dx, y, z )
Figura 1.21: Trayectoria rectangular paralela al plano XY
Llamemos a estos segmentos rectos
integración se puede escribir
a,
b,
c
f d r
f d r a
f d r c
Prof. Dino E. Risso, Departamento de Física, Facultad de Ciencias, Universidad del Bío-Bío.
f d r
b
f d r
d
y
d.
La
230017 Electromagnetismo. Ingeniería de Ejecución en Electricidad
Haciendo uso de que en los segmentos
d r dxx̂, y que que en los segmentos
d r dyŷ, las integrales quedan:
a
b
y
y
c
d
se tiene
se tiene
18
Un cálculo análogo para el camino propuesto en la Fig. ??
entrega:
f d r
∂ fz
∂y
∂ fz
∂y
x ∆x
f d r
f d r
fx x y dx
x
a
fx x y ∆x
y ∆y
x
b
x ∆x
c
f d r
∆Sx en que hemos definido la superficie ∆Sx
∆y∆z.
Z
fx x y ∆y ( x, y, z+Dz )
dx fx x y ∆y ∆x
y ∆y
∆y∆z
fy x ∆x y dy
y
d
fy x ∆x y ∆y
x
f d r
∂ fy
∂z
∂ fy
∂z
( x+Dx, y, z )
fy x y dy
fy x y ∆y
( x, y, z )
Y
La integral total queda:
f d r
fx x y ∆x fy x ∆x y ∆y
fx x y ∆y ∆x fy x y ∆y
fy x ∆x y fy x y ∆y
X
x y ∆y fx x y ∆x
fy x ∆x y fy x y ∆x
fx x y ∆y fx x y ∆x∆y
∆y
∂ fy ∂ fx
∆x∆y
∂x
∂y
∂ fy ∂ fx
∆Sz
∂x
∂y
fx
Figura 1.23: Trayectoria rectangular paralela al plano ZX
Si se considera el cámino propuesto en la Fig. ?? se obtiene:
∂ fx
∂z
∂ fx
∂z
f d r
∂ fz
∂x
∂ fz
∂x
∆x∆z
∆Sy en que hemos definido la superficie ∆Sz
∆x∆y.
en que hemos definido la superficie ∆Sy
∆y∆z
∆Sx
( x, y, z+Dz )
( x, y, z )
∆Sy
∆Sz
Y
∆x∆z.
Definiendo un vector de superficie ∆S con componentes
vectoriales:
Z
( x,y+Dy, z )
∆z∆x
∆x∆y
la integración en un camino rectangular con dirección n̂
arbitraria para el vector ∆S,
queda:
f d r
X
Figura 1.22: Trayectoria rectangular paralela al plano YZ
∂ fz
∂y
∂ fx
∂z
∂ fy
∂x
∂ fy
∂z
∂ fz
∂x
∂ fx
∂y
Prof. Dino E. Risso, Departamento de Física, Facultad de Ciencias, Universidad del Bío-Bío.
∇ f
∆S
∆Sx
∆Sy
∆Sz
230017 Electromagnetismo. Ingeniería de Ejecución en Electricidad
en que en la última línea, para simplificar la notación,
hemos hecho uso del producto vectorial (producto cruz)
que repasamos en ?? y del operador ∇ (gradiente) recientemente introducido.
Volviendo al resultado obtenido en la expresión (??) y usando el resultado recien obtenido podemos escribir para
un camino arbitrario:
Consecuencia importante: El rotor de una fuerza conservativa es nulo.
Si se considera una fuerza conservativa F,
sabemos que
se tiene F d r 0 sobre cualquier camino. Usando el
Teorema de Stokes se concluye que
∇ F d S 0
F d r N ∑
19
(1.12) puesto que el camino es arbitrario y también la forma de la
superficie de integración, sique que, para una fuerza conservativa, el integrando debe ser nulo.
(1.13) Esto es
∑ ∇ f i ∆S i
i 1
∇ F 0
(1.15)
expresión que en el límite de un reticulado muy fino si la fuerza F es conservativa.
(N
∞) se reduce a una integración de superficie, Un ejemplo de esto es la fuerza elástica que experimenta
lo que se conoce como Teorema de Stokes: una partícula ubicada en r debido a un resorte muy blanf d r
f d r
i 1
N
i
∇ f
f d r d S
(1.14)
do que está fijo en r 0 (ejercicio propuesto, verificar que
∇ F 0, para esta fuerza):
la expresión ∇ f se conoce como el rotor del
campo vectorial f .
F
Notación práctica para el rotor en coordenadas cartesianas: Una manera cómoda y util de anotar el rotor en
coordenadas cartesianas es:
x̂
∇ f
det
∂ fz
∂y
∂ fz
∂x
∂ fy
∂x
ŷ
ẑ
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
fx
fy
fz
∂ fy
x̂
∂z
∂ fx
ŷ
∂z
∂ fx
ẑ
∂y
k r
r 0 y la fuerza gravitacional entre dos cuerpos de masas M y
m
GMm
r̂
(esféricas)
F r2
en que en este último caso hemos supuesto la masa M
ubicada en el origen del sistema de coordenadas.
Un resultado similar seguirá para la fuerza eléctrica entre
2 cargas q1 y q2 (nuevamente hemos supuesto una de las
cargas ubicada en el origen del sistema de coordenadas):
F
Kq1 q2
r̂
r2
esféricas
Ejercicios y Ejemplos
Calcule ∇ f . Es decir ∇ r.
1. Considere f r r.
Usando f xx̂ yŷ zẑ se tiene:
x̂
Notación práctica para el rotor en coordenadas cilíndricas:
∇ f
det
ρ̂
∇ f
1
det
ρ
∂
∂ρ
fρ
ρ φ̂
∂
∂φ
ρ fφ
ẑ
∂
∂y
fz
Notación práctica para el rotor en coordenadas esféricas:
r̂
∇ f
1
det
r2 sin θ
∂
∂r
fr
r θ̂
∂
∂θ
r fθ
ẑ
∂
∂x
∂
∂y
∂
∂z
x
y
z
ŷ
r sin θ φ̂
∂
∂φ
r sin θ fφ
∂z
∂y
∂z
∂x
∂y
∂x
∂y
x̂
∂z
∂x
ŷ
∂z
∂x
ẑ
∂y
0
2. Para el campo anterior determine explícitamente la
circulación sobre un camino cuadrado de lado contenido en el plano XY y que tiene un vértice en el
punto 0 0 y el vértice opuesto en el punto a a .
Prof. Dino E. Risso, Departamento de Física, Facultad de Ciencias, Universidad del Bío-Bío.
230017 Electromagnetismo. Ingeniería de Ejecución en Electricidad
3. Considere el campo que describe el siguiente sumidero: f xx̂ yŷ. Verifique que dicho campo tiene
rotor nulo.
4. Considere el campo que describe la siguiente fuente:
f xx̂ yŷ. Verifique que dicho campo tiene rotor
nulo.
5. Verifique que las fuerzas el;astica, gravitacional y
eléctrica, descritas mas arriba son conservativas (es
decir tienen rotor nulo). Para el caso de la eléctrica
verifique que la siguiente funcion potencial
20
1.4.8. Integración sobre superficies cerradas y el Teorema de la Divergencia
Un teorema que tendrá mucho interés en este curso es
el llamado teorema de la divergencia que relaciona integrales de superficie (de campos vectoriales)
sobre superficies cerradas, con integraciones sobre el
volumen encerrado por las superficies en cuestión (de
derivadas de dichos campos vectoriales):
∇ f dV
f d S donde
Kq1 q2
r
∂ fx ∂ fy ∂ fz
∂x
∂y
∂z
permite obtener dicha fuerza al calcular su gradiente
(expresado aquí en coordenadas cartesianas) se conoce
(F ∇U).
como la divergencia del campo f .
yx̂ xŷ. Verifique Argumentemos sobre la validez de este teorema. Primero
6. Considere ahora el vórtice: f veamos que ocurre con la integración de f d S sobre
que el rotor de dicho campo no es nulo.
la superficie que delimita un vólumen con forma de par7. Considere el campo descrito por el flujo de alelepípedo recto.
4v
Poiseuille: f L20 y L y x̂. Verifique que el rotor
de este no es nulo.
U r ∇ f
ds
8. Considere un campo de la forma f f ρ ρ̂ , muestre
que el rotor de este campo es nulo para cualquier dependencia de f con ρ .
9. Considere un campo de la forma f f ρ φ̂ . Estudie
en que condiciones podria el rotor no ser nulo.
ds
ds
ds
10. El campo magnético de un cable recto, orientado a lo
largo del eje z y que lleva corriente I, está dado por:
B r µ0 I
φ̂
2πρ
ds
ds
Determine el rotor de este campo y muestre que es
nulo en todas partes excepto en el origen (donde la
derivadas no estan definidas pues el campo diverge
para ρ 0).
11. Demuestre las siguientes identidades:
a) ∇ ΨΦ c) ∇
∇Ψ d) ∇ f g g ∇ f Es claro que dicha integración puede separarse en dos
volumenes disjuntos, haciendo uso de que en la cara en
común se tiene
Ψ∇Φ Φ∇Ψ
Ψ f b) ∇
S
Ψ ∇ f ∇Ψ f d S 1
f d S 2
f
0
f ∇ g f
g ∇ f
f
∇ g f
ds1 ds2
S1
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S2
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21
para obtener una expresión más reducida:
ya que los vectores normales exteriores n̂1 y n̂2 asociados
a la superficie en comun son opuestos (n̂1 n̂2 ). Como
consecuencia la integral sobre el paralelepípedo se puede
separar en una integración sobre dos paralelepípedos con
una superficie de contácto en común.
f x ∆x y z x̂
f d S
f x y z x̂ ∆y∆z
f d S f x y ∆y y z ŷ
f x y z ∆z ẑ
S1
f d S 1 S2
∑
i 1 Si
f x y z ẑ ∆x∆y
fz x y z ∆z f d S i
fz x y z ∆x∆y
fx x ∆x y z ∆x
fx x y ∆y z ∆y
f d S fx x ∆x y z fx x y z ∆y∆z
f y x y ∆y y z fy x y z ∆x∆z
f d S 2
Extendiendo esta idea una superficie que encierra un volúmen se puede subdividir entonces en muchos pequeños
paralelepípedos que llenan ese volúmen. Se tiene:
f x y z ŷ ∆x∆z
f x y z ∆x∆y∆z
f x y z ∆x∆y∆z
fx x y z ∆z f x y z ∆x∆y∆z
∆x
∂ fy
∂ fx
∂ fz
dv dv dv
∂x
∂y
∂z
∂ fx ∂ fy ∂ fz
dv
∂x
∂y
∂z
Lo importante ahora es ver que ocurre para cada uno de
los parapelepípedos: La integral de superficie se puede
separar en seis integrales sobre las superficies rectangulares de cada área plana asociada al paralelepípedo de la
figura:
∇ f dv
Z
( x, y, z )
en esta expresión reducida (la última línea) hemos introducido la siguiente notación
( x,y+Dy, z )
Ds6
Ds2
∇ f
( x, y, z )
Ds3
Ds4
Y
( x,y+Dy, z )
Ds1
X
( x, y, z )
Ds5
∂ fx
∂x
∂ fy
∂y
∂ fz
∂z
resultado escalar llamado la divergencia de f .
Como el resultado anterior se repite en cada paralelepípedo al interior del volúmen resulta:
N ( x+Dx, y, z )
f d S
lı́m
n ∞
S
Figura 1.24: Superficies de integración para un paralelepípedo elemental
N
∑
∞
lı́m
∑
i 1 Si
N
f d S i
∇ f dv
i 1
de donde sigue:
Los campos y las superficies elementales satisfacen:
∆S 1 ∆y∆zx̂
∆S 2 ∆y∆zx̂
∆S 3 ∆x∆zx̂
∆S 4 ∆x∆zx̂
∆S 5 ∆x∆yx̂
∆S 6 ∆x∆yx̂
f 1
f 2
f 3
f 4
f 5
f 6
f
f
f
f
f
f
x ∆x y z x y z x y z x y ∆y z x y z x y z ∆z de modo que la integral de superficie se puede trabajar
f d S
S
∇ f dv
Que establece el teorema de la divergencia: La integral
de superficie del flujo de un campo vectorial f sobre una
superficie cerrada, es igual a la integral de la divergencia
de dicho campo (∇ f ) sobre el volúmen encerrado por
dicha superficie (ver nota5 ).
5 Nota: para las condiciones de validez del teorema vea su curso de
Cálculo III
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Ejercicios y ejemplos
1. Considere el campo f r Solución
r.
Calcule ∇ f
x̂
∇ ∇Ψ
det
∇ r
∂
∂
∂
x
y
z
∂x
∂y
∂z
1 1 1 3
2. Calcule, para el campo anterior, ∇ f dv sobre un
volumen esférico de radio R centrado en el orígen
Solución:
∇ f dv
3 dv
3
4 3
πR 3
4π R3
ŷ
∂
∂x
∂Ψ
∂x
∂ 2Ψ
∂ y∂ z
∂ 2Ψ
∂ x∂ z
∂ 2Ψ
∂ x∂ y
ẑ
∂
∂
∂y
∂z
∂Ψ
∂Ψ
∂y
∂z
2
∂ Ψ
x̂
∂ z∂ y
∂ 2Ψ
ŷ
∂ z∂ x
∂ 2Ψ
ẑ 0
∂ y∂ x
en que se ha supuesto que el campo escalar Ψ es diferenciable tal que las derivadas parciales son simétricas
2
2
( ∂∂x∂ y ∂∂y∂ x ).
3. Calcule, para este mismo campo f r la integral so- Identidad ∇ ∇ f 0. Esta es la que sigue de intebre la superficie de una esféra de radio R arbitrario grar un camino cerrado (muy pequeño) que delimita una
superficie (ver figura).
centrada en el origen.
Solución:
f dS
rr̂ dS n̂
Rn̂ dSn̂
R
dS
R 4π R2 4π R3
4. Considere el campo vectorial f y ŷ. Calcule ∇ f .
Calcule también la integral ∇ d f dv sobre un cubo
de lado L con 3 de sus caras apoyadas en las superficies XY , Y Z, ZX de un sistema de coordenadas cartesiano. Verifique el teorema de la divergencia calculando explícitamente f dS sobre las caras de dicho
cubo.
En el límite que el camino tiende a cero en tamaño, la
integral f dr tiende a cero, de modo que se tiene:
Algunos resultados importantes
Identidad ∇ ∇Ψ 0. Si se aplica el teorema de
Stokes a un campo que satisface f ∇Ψ (con rotor nulo ∇ f 0) se obtiene que, para cualquier
superficie:
∇ f dS
f dr 0
0
∇Ψ f dr
∇ f dS
por el teorema de Stokes. Pero por el teorema de la divergencia sigue que tambien:
∇Ψ dr
∇
0
dS
de modo que sigue la identidad:
∇ f dS ∇ ∇ f dv
de donde, comparando los lados derechos de estas últimas
expresiones, se obtiene la identidad: ∇ ∇ f 0.
Esta identidad se puede chequear directamente con el
método algebraico como en el ejemplo anterior. Haga esto
como ejercicio.
∇
∇Ψ 0
Identidad que se puede chequear formalmente:
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Calcule las derivadas parciales (coordenadas esféricas) ∂∂ rf , ∂∂ φf , ∂∂ θf de las funciones:
Conclusiones importantes:
1. Si un campo vectorial satisface ∇ f
existe Ψ tal que f ∇Ψ.
0, entonces
Por ejemplo esto ocurre en el caso de una fuerza conservativa, como la fuerza eléctrica entre cargas, en
que ∇ F 0, y luego existe una energía potencial
U tal que F ∇Ψ ∇U, con U Ψ.
23
f r φ θ q 1
4πε0 r
f r φ θ 2. Si un campo vectorial satisface ∇ f 0, entonces
existe A tal que f ∇ A (ya que ∇ ∇ A 0).
f r φ θ En el caso del campo de inducción magnética B,
este
satisface ∇ B 0, de modo que exsite una función
A,
llamada el vector potencial magnético que permite calcular B mediante B ∇ A.
El campo A está
relacionado con las corrientes de carga que hay distribuidas en el espacio en que interesa conocer B.
f r φ θ a3
r cos θ
r2
Qa cos θ
4πε0 r2
Qa
1
2
2
4πε0 d r 2dr cos θ
E0
Rotor de un campo vectorial
1. Demuestre las siguientes identidades:
∇
Más ejercicios
∇Φ 0
Φ ∇ F ∇
Calcule ∇ r
ΦF
∇ F G
Calcule ∇ r̂
r r0
r0 n .
Calcule ∇ f , para f r nulo para el caso n 3.
∇Φ F ∇ G
F
Verifique que resulta
G
∇ F
∇ G
F
G
∇ F 2. Evalúe los rotores de los siguientes campos (se
indica las coordenadas para que ud. determine
el sistema de coordenadas a utilizar):
Calcule ∇ r
Calcule ∇ r̂
Calcule ∇
stante.
r
F x y z J0
r0 n .
Calcule ∇ J 0
r
r
El vector J 0 es un vector con-
r 0 r0 n
F x y z F x y z , para los casos n 1 2 3.
El vector J 0 es un vector constante.
Derivación parcial
Calcule las derivadas parciales
ciones:
f x y z f x y z f x y z kxyz
q
4πε0
q
4πε0
∂f ∂f ∂f
∂x , ∂x , ∂x
kxx̂
kxŷ
kxẑ
µ0 I
φ̂
2πρ
GMm
r̂
r2
m
r
4π r3
B ρ φ z F r φ θ de las funA
donde para el último ejemplo el vector m
es un
vector constante.
1
x 2 y 2 z2
Divergencia de un campo vectorial
1
x
x0 2
y
y0 2
z
z0 Calcule las derivadas parciales (coordenadas cilñdricas) ∂∂ ρf , ∂∂ φf , ∂∂ zf de las funciones:
f ρ φ z
f ρ φ z
f ρ φ z
λ
ln ρ0 ρ 2πε0
q
1
4πε0 ρ 2 z2
λ a cos φ
2πε0 ρ 2
2
1. Demuestre que
∇ ΦF ∇ ∇ A ∇Φ F Φ ∇ F 0
B ∇ A ∇ ∇ F ∇ A B ∇
∇ F A
∇ B
∇2 F 2. Hallar (usando coordenadas cartesianas, cilindricoas y/o esféricas) ∇ A para los siguientes
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campos vectoriales:
A
A
A
r
r
r2
µ0 I
φ̂
2πρ
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