Cálculo de Variable Real Guía de trabajo y estudio No. 3 Escuela de Ingeniería Centro de Ciencia Básica Aplicaciones de la derivada (Primera Parte) Fecha: Mayo – Junio de 2006 Metas de aprendizaje: - Definir el concepto de razón de cambio - Determinar la importancia de las aproximaciones lineales y los diferenciales para el cálculo de estimaciones. - Comprender y aplicar el teorema de Taylor sobre funciones diferenciables. Trabajo independiente: I. Analizar del texto guía la sección 3.10 (páginas 253 – 259) y responder las siguientes preguntas: 1. ¿Qué implica un problema de tasas relacionadas? 2. Escribir los pasos para resolver un problema de razones relacionadas. 3. Resolver los siguientes ejercicios: 5, 8, 12, 13, 16, 17, 19, 21, 22, 26, 30, 32, 36. II. Analizar del texto guía la sección 3.11 (páginas 259 – 266) y responder las siguientes preguntas: 1. ¿Qué es la diferencial de una función? 2. ¿Qué es una aproximación lineal de una función? 3. ¿Qué es el error absoluto, el error relativo y el porcentaje de error relativo? 4. Analizar en la hoja adjunta las fórmulas básicas de diferenciales. 5. Resolver los siguientes ejercicios: 6, 7, 10, 11, 12, 23, 26, 27, 30, 32, 35, 36, 39, 41, 42. III. Analizar del texto guía el proyecto de laboratorio de la página 266 y responder: 1. ¿En qué consiste el teorema de Taylor y cómo se demuestra? Trabajo del docente: Elaboración de la guía y de los talleres. Evaluación de la guía y de los talleres. Solución de algunos ejercicios en clase. Trabajo compartido: Asesoría permanente, directa e individual durante el trabajo personal. Conducta de entrada a los conceptos de razón de cambio, aproximaciones lineales y diferenciales. Orientación de: Puesta en común: Solución de las preguntas de los numerales I, II y III. Propuesta evaluativa: Resolver y justificar los ejercicios propuestos por el docente. Evaluación escrita sobre el tema y los ejercicios tratados. Bibliografía: Texto guía: Stewart, James. Cálculo. Trascendentes tempranas. Cuarta edición. Cálculo de Variable Real Guía de trabajo y estudio No. 3 Escuela de Ingeniería Centro de Ciencia Básica Aplicaciones de la derivada (Primera Parte) Fórmulas básicas de diferenciales 2) Incremento en x: ∆x = x f − x i Incremento en y: ∆y = f (x + ∆x ) − f (x ) 3) Si ∆x → 0 entonces ∆y ≈ dy 4) 1) 6) ∆x = h = dx dy tan θ = = f´(x ) dx dy = f´(x 0 )dx = f´(x 0 )∆x = f´(x 0 )h 7) f (x 0 + h) − f (x 0 ) ≈ f´(x 0 )h 8) f (x 0 + h) ≈ f (x 0 ) + f´(x 0 )(x − x 0 ) se llama aproximación lineal o aproximación por la recta tangente de f en x0 y la función L(x ) = f (a ) + f´(a )(x − a ) se le llama linealización de f en a. 5) n f´´(a ) (x − a )2 + f´´´(a ) (x − a)3 + ... + f (a) (x − a)n se llama polinomio de Taylor de 2! 3! n! n-ésimo grado de f con centro en x = a. 10) Error absoluto: EA = ∆y − dy 9) Tn (x ) = f (a ) + f´(a )(x − a ) + 11) Error relativo a y: ERy = dy y 12) Porcentaje de error relativo a y: %ERy = dy x100% y